# Using Fundamental Trig Identities

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```					                         Using Fundamental
Trig Identities
Verifying Identities
And
Solving Trig Equations

By: Jeffrey Bivin
Lake Zurich High School

jeff.bivin@lz95.org

Jeff Bivin -- LZHS
Last Updated: December 29, 2009
Reciprocal Identities
1               1
sin u          csc u 
csc u           sin u

1               1
cos u          sec u 
sec u           cos u

1               1
tan u          cot u 
cot u           tan u

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Quotient Identities
sin u            cos u
tan u           cot u 
cos u            sin u

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Pythagorean Identities

sin    cos    1
2            2

1  tan2    sec2  

1  cot 2    csc2  

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Cofunction Identities
Complimentary Angles

sin    u   cos u 
2
cos    u   sin u 
2

tan    u   cot u 
2
cot    u   tan u 
2

sec    u   csc u 
2
csc    u   sec u 
2

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Even/Odd Identities

f  x   f  x      f  x   f  x 

cos  u   cos  u    sin  u    sin  u 

sec  u   sec u     tan  u    tan u 

cot   u    cot u 

csc  u    csc u 
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Use the given to evaluate all six trig functions
cot     5 and sin            26
26
First determine that quadrant the given information holds true…….
What quadrant is cotangent negative and sine positive???
tangent                                           II

if cot     5 then tan             1
5

if sin       26
26
then csc    26
sin2    cos2    1
       cos 2    1                  if cos   
2
26                                                              5
26                                                                26
1
26
26
676
 cos2    1                   then sec              26

cos    26
5
2         25

cos        5
26
  5 26
26

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Simplify a Trig Expression
sin x cos x  sin x
2


sin x cos2 x  1 
remember : sin2 x  cos2 x  1
cos x  1   sin x
2             2


sin x  sin2 x   
 sin 3 x

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Verify a Trig Identity
sin      cos 
        csc 
1  cos    sin 
sin  sin   cos  1  cos  
 csc 
1  cos  sin
sin 2   cos   cos 2 
 csc
1  cos  sin
1  cos 
 csc 
1  cos   sin 
1
 csc 
sin 
csc     csc
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Verify a Trig Identity
Use the table feature and graphing utility to check your result.

sin      cos                      Select the path
        csc            style for y2 so you
1  cos    sin                        can see the
tracing
sin      cos 
y1                                 y 2  csc
1  cos    sin 

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Verify a Trig Identity
sin   cos       cos   sin 
                   sec csc 
sin              cos 
cos   sin   cos    sin  cos   sin 
 sec csc
sin  cos 
cos  sin   cos 2   sin  cos   sin 2 
 sec  csc 
sin  cos 
1
 sec csc
sin  cos 
1        1
        sec  csc 
sin  cos 
csc sec  sec csc
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Factoring Trig Expressions
sin x  1
2
a2  1

sin x  1sin x  1       a  1 a  1

4 tan   tan   3
2
4a 2  a  3

 4 tan  3tan  1       4a  3 a  1

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Factoring Trig Expressions
2 cos   cos   6
2
2a 2  a  6

 2 cos  3cos  2                  2a  3 a  2

sec   1
3
a3  1

sec 1 sec         2
  sec 1         
a 1 a 2  a  1 

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Factoring Trig Expressions
sec   tan   3
2

remember : 1  tan2 x  sec2 x

1  tan    tan  3
2

tan   tan   2
2
a2  a  2

 tan  2 tan  1                  a  2 a 1

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Factoring Trig Expressions
csc x  cot x
4            4

csc   2             2

x  cot x csc x  cot x
2               2

remember : 1  cot x  csc x
2            2

1  csc x  cot x
2       2


1 csc x  cot x
2            2

csc x  cot x
2        2

1  cot x  cot x
2        2

1  2 cot x
2

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Factoring Trig Expressions
cos x  cos x  cos x  1
3     2

cos x cos x  1  1cos x  1
2

cos x  1  cos x  1
2

cos x  1 cos x  1 cos x  1
 cos x  1  cos x  1
2

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1           1

1  sin x   1  sin x
11  sin x   11  sin x 
1  sin x 1  sin x 
1  sin x  1  sin x
1  sin 2 x
2 sin x
cos 2 x

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sin x     1  cos x

1  cos x     sin x
sin 2 x  1  cos x 1  cos x 
1  cos x  sin x
1  cos 2 x  1  cos 2 x
1  cos x  sin x
2  2 cos 2 x
1  cos x  sin x

2 1  cos 2 x   
1  cos x  sin x
2 1  cos x 1  cos x 
1  cos x  sin x
2 1  cos x 
sin x
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csc 2 x
cot x 
cot x
cot 2 x  csc 2 x
cot x
csc 2 x  1  csc 2 x
cot x
1
cot x

 tan x

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Verify Trig Identities

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Verify Trig Identities - Guidelines
1. Work with one side of the equation at a time. It is often
better to work with the more complicated side first.
2. Look for opportunities to factor an expression, add fractions,
square a binomial, or create a monomial denominator.
3. Look for opportunities to use the fundamental identities.
Note which functions are in the final expression you want.
Sines and cosines pair up well, as do secants with tangents,
and cosecants with cotangents.
4. If the preceding guidelines do not help, try converting all
terms to sines and cosines.
5. Always try something. Even making an attempt that leads
to a dead end provides insight.

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Verify Trig Identities
sec 2 x  1
 sin 2 x
sec 2 x
1
1          sin 2 x
sec 2 x

1  cos 2 x  sin 2 x

sin 2 x  sin 2 x

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Verify Trig Identities
1           1
            2 csc 2 
1  cos    1  cos 
1  cos   1  cos 
 2 csc 2 
1  cos   1  cos  
2
 2 csc 2 
1  cos 2 
2
 2 csc 2 
sin 2 x
1
2            2 csc 2 
sin 2 x

2 csc 2   2 csc 2 

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Verify Trig Identities
tan   cot   sec  csc

sin    cos 
           sec   csc 
cos    sin 
sin 2   cos 2 
 sec   csc 
cos   sin 
1
 sec   csc 
cos   sin 
1     1
          sec   csc 
cos  sin 

sec  csc  sec  csc

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Verify Trig Identities
cos 
sec   tan  
1  sin 
cos      1  sin 
sec   tan               
1  sin  1  sin 
cos  1  sin  
sec   tan  
1  sin 2 
cos  1  sin  
sec   tan  
cos 2 

sec   tan  
1    sin  
cos 
1     sin 
sec   tan         
cos    cos 
sec   tan   sec   tan 
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Verify Trig Identities
1  cos x    tan 2 x

cos x     1  sec x
1  cos x   sec 2 x  1

cos x      1  sec x
1  cos x

 sec x  1 sec x  1
cos x            1  sec x
1  cos x
 sec x  1
cos x
1  cos x     1
       1
cos x     cos x
1  cos x   1  cos x

cos x       cos x

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Verify Trig Identities
sec2 x  cot 2    x   1
2

sec2 x  tan2  x   1

1  tan2  x   tan2  x   1

1  1

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Verify Trig Identities
1  sin x   1  sin x

1  sin x     cos x
1    sin x  1    sin x 
1    sin x  1    sin x 

1  sin x 
2

1  sin    2
x   
1  sin x 
2

cos 2 x
1  sin x                   1  sin x

cos x                       cos x

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Verify Trig Identities
sin 3 x  cos 3 x
 1  sin x  cos x
sin x  cos x
 sin x               
 cos x  sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x   
sin x  cos x

sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x

1  sin x cos x  1  sin x cos x

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Verify Trig Identities
cos x  2 cos x sin 2 x  cos x sin 4 x  cos5 x


cos x 1  2 sin 2 x  sin 4 x  cos5 x
                 
2
cos x 1  sin x   2
 cos 5 x

             
2
cos x cos x    2
 cos5 x


cos x cos4 x  cos5 x 
cos5 x  cos5 x
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Verify Trig Identities
sin 4 x  cos 4 x  1  2 cos 2 x  2 cos 4 x

 sin x 
2       2
 cos 4 x

 1  cos2 x          2
 cos4 x

1  2cos x  cos x  cos x
2               4          4

1  2 cos 2 x  2 cos 4 x  1  2 cos 2 x  2 cos 4 x

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Solving Trig Equations

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Solving Trig Equations
2 cos x  1  0
2 cos x  1
cos x  1  2
on  0, 2 
x   or x 
3
5
3

on ,  
x    2n or x 
3
5
3
 2n
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Solving Trig Equations
4 tan x  1  tan x
2            2

3 tan x  1
2

tan x  3
2       1

tan x   3   3

on  0, 2 
x  6 or x  6
           7

or x  56 or x  11

6
on  ,  
x  6  n or x  6  n
                    5

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Solving Trig Equations
sec x  2 tan x  0
1
cos x
 2cos xx  0
sin
cos x  0
1  2 sin x
cos x
0              x   , 32
2


cos x      1  2 sin x
cos x        0  cos x
1  2 sin x  0
sin x  12
on  ,  
x    2n or x 
6
5
6
 2n
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Solving Trig Equations
cos x  cot x  0
cos x  cos x  0
sin
x
sin x  0
cos x 1  sin x   0
1
x  0, 

cos x  0            1      0
1
sin x
x   , 32
2

1  sin x
1

sin x  1
on    ,                 x 2  

x   
2
 n
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Solving Trig Equations
2 sin x  5 sin x  3
2

2 sin x  5 sin x  3  0
2

 2 sin x  1sin x  3  0
2 sin x 1  0       sin x  3  0
2 sin x   1         sin x  3
sin x   1 2            
x  76 or x  11

6
on  ,  
x  6  2n or x  6  2n
7                   11

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Solving Trig Equations
2 cos 2 x  2  0
2 cos 2 x  2
cos 2 x  22

2 x    2n or 2 x  74  2n
4


x   
8
 n or x                 7
8
 n
on  0, 2 

8 ,
     9
8
,   7
8
,   15
8    
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Sum & Difference Formulas

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Sum & Difference Formulas
sin  x  y   sin x  cos y  cos x  sin y
sin  x  y   sin x  cos y  cos x  sin y
cos  x  y   cos x  cos y  sin x  sin y
cos  x  y   cos x  cos y  sin x  sin y
tan  x  y      tan x  tan y
1  tan xtan y

tan  x  y      tan x  tan y
1  tan xtan y

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Proof of cos(A+B) = cosA•cosB - sinA•sinB                   R (x2, y2 )  (cos(A+B), sin(A+B) )
Q (x1, y1)  (cosA, sinA)
B      Q (x1, y1)                             S (x3, y3) (cos(-B), sin(-B) )
R (x2, y2 )            A
P (1, 0)
PR  SQ
 x2  1 2   y2  0        x1  x3  2   y1  y3 
2                                       2
-B

S (x3, y3)
 x2 1 2   y2  0   x1  x3  2   y1  y3 
2                               2

 x2   2x2  1   y2    x1   2x1x3   x3    y1   2 y1 y3   y3 
2                        2          2                  2        2                      2

 x2 2   y2 2   2 x2  1   x1 2   y1 2    x3 2   y3 2   2 x1 x3  2 y1 y3
                                                                       
1  2 x2  1  1  1  2 x1 x3  2 y1 y3
2 x2   2 x1 x3  2 y1 y3
x2  x1 x3  y1 y3
cos( A  B)  cos A cos( B)  sin A sin( B)
cos( A  B)  cos A cos B  sin A sin B
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Proof of
sin(A+B) = sinA•cosB + cosA•sinB
Note: This proof uses the cofunction identities.

sin  A  B   cos     A  B 
2             
 cos    A  B 
2          
 cos    A  B 
 2           
 cos  2  A  cos B  sin  2  A  sin B
                                    

 sin A  cos B  cos A  sin B

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Use Sum & Difference Formulas
Find the exact value of sin(750)

sin 75     sin 30
o                           o
 45         o

 
sin 75o  sin 30o cos 45o  cos 30o sin 45o
sin  75  
o        1
2
    2
2
        2
3
   2
2

sin  75  
o
4
2
    4
6

sin  75  
o        2 6
4

Jeff Bivin -- LZHS
Use Sum & Difference Formulas
Find the exact value of:                       cos  7 
12

cos    7
12     cos 
cos            
3
124

         
4
12
3   
cos  7   cos    cos     sin    sin   
12           4         3           4         3

cos    
7
12      2
2
 
1
2         2
2
   2
3

cos  7  
12         4
2
   4
6

cos  7  
12
2 6
4

Jeff Bivin -- LZHS
Use Sum & Difference Formulas
Find the exact value of:                     tan  13 
12

tan          13
12       tan     tan  
 tan13
12
4
123


9 
3
124 
 3   tan 34  
   1  tan  tan 3
tan

          3  4       
 3  ( 1) 
  1  3 ( 1)
Rationalize                             
the
denominator                      3 1 
  1 3
      
        1 3
1 3
    
1 3
1 3
1 2 3  3
1 3
    42 3
2
 2 3
Jeff Bivin -- LZHS
Use Sum & Difference Formulas
Simplfy:                           1
cos sin x  cos x        1

    1
              1
 cos sin x cos cos x  sin sin x sin cos x               1
        1

 1 x  x  x  1 x
2                          2
1            x
1  x2

 x 1 x  x 1 x
2              2
1x x2


 2x  1  x         2

Jeff Bivin -- LZHS
Use Sum & Difference Formulas
Find the exact value of sin(u+v) given the following:
sin u  13 and cos v  5 ,  u & v areinQuad IV 
5             3

sin u  v   sin u cos v  cos u sin v
sin u  v   13 5  cos u sin v
5 3

12                   3
u                    v
5                  4
13                    5
sin u  v   13 5  12
5 3
13
4
5
sin u  v   65  65
15    48

sin u  v    65
63
Jeff Bivin -- LZHS
Verify Trig Identities
sin  x  y   sin  x  y   sin2 x  sin2 y

sin x cos y                  cos x sin y    sin x cos y      cos x sin y 

sin 2 x cos 2 y  cos 2 x sin 2 y

        2
 
sin x 1  sin y  1  sin x sin y
2                              2
   2

sin 2 x  sin 2 x sin 2 y  sin 2 y  sin 2 x sin 2 y

sin 2 x  sin 2 y  sin 2 x  sin 2 y

Jeff Bivin -- LZHS
Solving Trig Equations on [0, 2π)
cos  x     cos  x     1
4               4
cos x cos   sin x sin   cos x cos   sin x sin   1
4             4             4             4

cos x cos   cos x cos   1
4              4
2 cos x cos   1
4

2  cos x      1
2
2

2 cos x  1
cos x  12         2
2

x     
4
or x     7
4
Jeff Bivin -- LZHS
Double-Angle Formulas

Jeff Bivin -- LZHS
Double-Angle Formulas
sin  2x   sin  x  x 
sin  2x   sin x cos x  cos x sin x
sin  2 x   2 sin x cos x

cos  2x   cos  x  x 
cos  2x   cos x cos x  sin x sin x
cos  2x   cos2 x  sin2 x
cos2 x  1  sin2 x         cos  2x   1  sin2 x  sin2 x
cos  2 x   1  2 sin2 x
sin2 x  1  cos2 x                              
cos  2 x   cos2 x  1  cos2 x   
cos  2x   cos2 x  1  cos2 x
cos  2 x   2 cos2 x  1
Jeff Bivin -- LZHS
Double-Angle Formulas
tan  2x   tan  x  x 

tan  2 x      tan x  tan x
1 tan x tan x

tan  2 x      2 tan x
1 tan2 x

Jeff Bivin -- LZHS
Double-Angle Formulas
sin  2 x   2 sin x cos x

cos  2x   cos2 x  sin2 x

cos  2 x   1  2 sin2 x

cos  2 x   2 cos2 x  1

tan  2 x      2 tan x
1 tan2 x

Jeff Bivin -- LZHS
Half-Angle Formulas

u     1  cos u                  u     1  cos u
sin                            cos    
2         2                      2         2

u   1  cos u     sin u
tan              
2     sin u     1  cos u

Note : the signs of sin  u  and cos  u 
2             2
u
depend on the quadrant in which        2
lies .

Jeff Bivin -- LZHS
Solve for x
sin 2 x  cos x  0        x    n
2
2 sin x cos x  cos x  0       x  76  2n


cos x  2 sin x  1  0      x  11  2n
6

cos x  0             2 sin x  1  0
x   , 32
2
           2 sin x   1
sin x  21
x    n
x  76  2n
2                         

x  11  2n
6
Jeff Bivin -- LZHS
Use Double-Angle Formulas
Find the exact value of sin(2u), cos(2u) & tan(2u)
given sin u  5 , 2  u  
3
5
sin  2u   2sin u cos u
3     u
4
sin  2u   2 5 5  25
3 4    24
tan  2 x       2 tan x
1 tan2 x

 
tan  2x  
2 3

cos  2u         1  2sin u
4
2
1   3 
2
4

cos  2u         1  2 5 
3 2     tan  2x  
3
2
1 16
9

cos  2u         1  2  25
9
tan  2x  
3
2
7

cos  2u         1  18  25
16
7
25          tan  2x    3  16 
2 7
24
7
Jeff Bivin -- LZHS
Use Half-Angle Formulas
Find the exact value of:                    sin  5 
12

 5
sin             sin  2 
5                              u     1  cos u
6
sin    
12
                 2         2

1  cos  56 


2                           2 3

 
4
1        2
3

                                    2 3
2                       
2
1        3
          2
2
Jeff Bivin -- LZHS
Use Half-Angle Formulas
Find the exact value of:              tan  78 
   7          u   1  cos u     sin u
tan  8   tan  
7                4      tan   
2     sin u

1  cos u
2
1  cos  74 


sin  74 

2  2        2
             


1    
2
2              2          2
    2          2 2  2
2         
2
1  22   2
                    2 1  1 2
 22
2
Jeff Bivin -- LZHS
Solve for x
sin  2   cos x  1  0
x
0  1  2 cos x
1   2 cos x
 2  cos x  1  0
1cos x
1   2 cos x
 1cos x  1  cos x
2
1
2
 cos x
  1cos x   1  cos x 
2              2         
3
 2n  x
       2                                5
 2n  x
3
1cos x
2
 1  2 cos x  cos 2 x        0  1  cos x
1  cos x  2  4 cos x  2 cos2 x             cos x  1
0  1  3 cos x  2 cos2 x         x  2n
0  1  2 cos x 1  cos x 
Jeff Bivin -- LZHS
Product-to-Sum Formulas

sin u sin v    1
2   cos(u  v)  cos(u  v)
cos u cos v     1
2 cos(u  v)  cos(u  v)
sin u cos v    1 sin(u  v)  sin(u  v)
2

cos u sin v    1
2   sin(u  v)  sin(u  v)

Jeff Bivin -- LZHS
Sum-to-Product Formulas

sin u  sin v  2 sin  u v  cos  u 2 v 
2


sin u  sin v  2 cos  u v  sin  u 2 v 
2


cos u  cos v  2 cos  u v  cos  u 2 v 
2


cos u  cos v   2 sin  u v  sin  u 2 v 
2


Jeff Bivin -- LZHS
Power-Reducing Formulas

1  cos 2u                1  cos 2u
sin u 
2
cos u 
2

2                         2

1  cos 2u
tan u 
2

1  cos 2u

Jeff Bivin -- LZHS
Use Power-Reducing Formulas
Rewrite sin4x in terms of the first power of cosine.

sin  x   sin x    
2
4              2

         
2
1  cos2 x
        2

  1  cos 2x 
2
   1
4

  4  1  2cos 2 x  cos 2 x 
1                      2

  1  1  2cos2 x  1cos4 x 
4                      2

  1   2  4cos2 x  1  cos4 x 
8

  1  3  4cos2 x  cos4 x 
8
Jeff Bivin -- LZHS

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