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Using Fundamental Trig Identities

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Using Fundamental Trig Identities Powered By Docstoc
					                         Using Fundamental
                           Trig Identities
                                   Verifying Identities
                                           And
                                  Solving Trig Equations

                                        By: Jeffrey Bivin
                                     Lake Zurich High School

                                       jeff.bivin@lz95.org


 Jeff Bivin -- LZHS
Last Updated: December 29, 2009
                      Reciprocal Identities
                               1               1
                     sin u          csc u 
                             csc u           sin u


                               1               1
                     cos u          sec u 
                             sec u           cos u


                               1               1
                     tan u          cot u 
                             cot u           tan u



Jeff Bivin -- LZHS
                        Quotient Identities
                             sin u            cos u
                     tan u           cot u 
                             cos u            sin u




Jeff Bivin -- LZHS
                     Pythagorean Identities

                         sin    cos    1
                            2            2




                         1  tan2    sec2  

                         1  cot 2    csc2  




Jeff Bivin -- LZHS
                      Cofunction Identities
                          Complimentary Angles

                sin    u   cos u 
                      2
                                           cos    u   sin u 
                                                 2




                tan    u   cot u 
                      2
                                           cot    u   tan u 
                                                 2




                sec    u   csc u 
                      2
                                           csc    u   sec u 
                                                 2




Jeff Bivin -- LZHS
                       Even/Odd Identities

                 f  x   f  x      f  x   f  x 

             cos  u   cos  u    sin  u    sin  u 

             sec  u   sec u     tan  u    tan u 

                                      cot   u    cot u 

                                      csc  u    csc u 
Jeff Bivin -- LZHS
    Use the given to evaluate all six trig functions
                     cot     5 and sin            26
                                                          26
 First determine that quadrant the given information holds true…….
 What quadrant is cotangent negative and sine positive???
                   tangent                                           II

                     if cot     5 then tan             1
                                                                5

                     if sin       26
                                     26
                                            then csc    26
     sin2    cos2    1
                cos 2    1                  if cos   
               2
          26                                                              5
         26                                                                26
             1
             26
             26
            676
                  cos2    1                   then sec              26

                   cos    26
                                                                             5
                      2         25


                     cos        5
                                     26
                                             5 26
                                                  26


Jeff Bivin -- LZHS
                Simplify a Trig Expression
                            sin x cos x  sin x
                                      2



                                  
                             sin x cos2 x  1 
                     remember : sin2 x  cos2 x  1
                                     cos x  1   sin x
                                        2             2



                                      
                               sin x  sin2 x   
                                   sin 3 x



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                           Verify a Trig Identity
                             sin      cos 
                                             csc 
                           1  cos    sin 
            sin  sin   cos  1  cos  
                                              csc 
                    1  cos  sin
                     sin 2   cos   cos 2 
                                                       csc
                           1  cos  sin
                                     1  cos 
                                                       csc 
                                 1  cos   sin 
                                                1
                                                       csc 
                                              sin 
                                              csc     csc
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                         Verify a Trig Identity
             Use the table feature and graphing utility to check your result.

                              sin      cos                      Select the path
                                              csc            style for y2 so you
                            1  cos    sin                        can see the
                                                                       tracing
                            sin      cos 
                     y1                                 y 2  csc
                          1  cos    sin 




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                     Verify a Trig Identity
            sin   cos       cos   sin 
                                               sec csc 
                 sin              cos 
     cos   sin   cos    sin  cos   sin 
                                                      sec csc
                       sin  cos 
       cos  sin   cos 2   sin  cos   sin 2 
                                                      sec  csc 
                       sin  cos 
                                             1
                                                      sec csc
                                        sin  cos 
                                        1        1
                                                     sec  csc 
                                      sin  cos 
                                      csc sec  sec csc
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               Factoring Trig Expressions
                     sin x  1
                         2
                                         a2  1

         sin x  1sin x  1       a  1 a  1


               4 tan   tan   3
                     2
                                      4a 2  a  3

         4 tan  3tan  1       4a  3 a  1


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               Factoring Trig Expressions
              2 cos   cos   6
                     2
                                                  2a 2  a  6

         2 cos  3cos  2                  2a  3 a  2


                     sec   1
                         3
                                                     a3  1

      sec 1 sec         2
                                   sec 1         
                                                  a 1 a 2  a  1 


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               Factoring Trig Expressions
                 sec   tan   3
                     2


                remember : 1  tan2 x  sec2 x

        1  tan    tan  3
                         2



                tan   tan   2
                     2
                                                   a2  a  2

           tan  2 tan  1                  a  2 a 1

Jeff Bivin -- LZHS
               Factoring Trig Expressions
                              csc x  cot x
                                  4            4


                 csc   2             2
                                          
                            x  cot x csc x  cot x
                                               2               2
                                                                   
                remember : 1  cot x  csc x
                                          2            2

                                   1  csc x  cot x
                                          2       2


                              
                             1 csc x  cot x
                                      2            2
                                                           
                               csc x  cot x
                                   2        2

                             1  cot x  cot x
                                     2        2


                                 1  2 cot x
                                          2

Jeff Bivin -- LZHS
               Factoring Trig Expressions
                      cos x  cos x  cos x  1
                            3     2


                     cos x cos x  1  1cos x  1
                        2


                      cos x  1  cos x  1
                                        2



                 cos x  1 cos x  1 cos x  1
                        cos x  1  cos x  1
                                   2




Jeff Bivin -- LZHS
         Add & Subtract Trig Expressions
                            1           1
                                  
                        1  sin x   1  sin x
                     11  sin x   11  sin x 
                        1  sin x 1  sin x 
                        1  sin x  1  sin x
                              1  sin 2 x
                               2 sin x
                                cos 2 x


Jeff Bivin -- LZHS
         Add & Subtract Trig Expressions
                        sin x     1  cos x
                                
                      1  cos x     sin x
                     sin 2 x  1  cos x 1  cos x 
                             1  cos x  sin x
                        1  cos 2 x  1  cos 2 x
                            1  cos x  sin x
                              2  2 cos 2 x
                           1  cos x  sin x
                               
                             2 1  cos 2 x   
                            1  cos x  sin x
                        2 1  cos x 1  cos x 
                            1  cos x  sin x
                             2 1  cos x 
                                   sin x
Jeff Bivin -- LZHS
         Add & Subtract Trig Expressions
                               csc 2 x
                       cot x 
                               cot x
                      cot 2 x  csc 2 x
                            cot x
                     csc 2 x  1  csc 2 x
                             cot x
                              1
                             cot x

                            tan x

Jeff Bivin -- LZHS
                     Verify Trig Identities




Jeff Bivin -- LZHS
         Verify Trig Identities - Guidelines
1. Work with one side of the equation at a time. It is often
   better to work with the more complicated side first.
2. Look for opportunities to factor an expression, add fractions,
   square a binomial, or create a monomial denominator.
3. Look for opportunities to use the fundamental identities.
   Note which functions are in the final expression you want.
   Sines and cosines pair up well, as do secants with tangents,
   and cosecants with cotangents.
4. If the preceding guidelines do not help, try converting all
   terms to sines and cosines.
5. Always try something. Even making an attempt that leads
   to a dead end provides insight.

Jeff Bivin -- LZHS
                     Verify Trig Identities
                       sec 2 x  1
                                    sin 2 x
                         sec 2 x
                            1
                       1          sin 2 x
                          sec 2 x

                       1  cos 2 x  sin 2 x


                          sin 2 x  sin 2 x




Jeff Bivin -- LZHS
                         Verify Trig Identities
                         1           1
                                           2 csc 2 
                     1  cos    1  cos 
                        1  cos   1  cos 
                                                   2 csc 2 
                        1  cos   1  cos  
                                         2
                                                 2 csc 2 
                                    1  cos 2 
                                           2
                                                 2 csc 2 
                                        sin 2 x
                                            1
                                      2            2 csc 2 
                                          sin 2 x

                                   2 csc 2   2 csc 2 


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                     Verify Trig Identities
                     tan   cot   sec  csc

                       sin    cos 
                                        sec   csc 
                       cos    sin 
                     sin 2   cos 2 
                                          sec   csc 
                       cos   sin 
                                1
                                          sec   csc 
                           cos   sin 
                           1     1
                                        sec   csc 
                         cos  sin 

                       sec  csc  sec  csc


Jeff Bivin -- LZHS
                     Verify Trig Identities
                                       cos 
                     sec   tan  
                                     1  sin 
                                            cos      1  sin 
                        sec   tan               
                                          1  sin  1  sin 
                                          cos  1  sin  
                       sec   tan  
                                          1  sin 2 
                                       cos  1  sin  
                       sec   tan  
                                            cos 2 

                        sec   tan  
                                          1    sin  
                                            cos 
                                       1     sin 
                     sec   tan         
                                     cos    cos 
                     sec   tan   sec   tan 
Jeff Bivin -- LZHS
                     Verify Trig Identities
                       1  cos x    tan 2 x
                                 
                         cos x     1  sec x
                        1  cos x   sec 2 x  1
                                  
                          cos x      1  sec x
                        1  cos x
                                  
                                     sec x  1 sec x  1
                          cos x            1  sec x
                        1  cos x
                                   sec x  1
                          cos x
                         1  cos x     1
                                          1
                           cos x     cos x
                       1  cos x   1  cos x
                                 
                         cos x       cos x

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                     Verify Trig Identities
                       sec2 x  cot 2    x   1
                                        2


                           sec2 x  tan2  x   1

                     1  tan2  x   tan2  x   1

                                             1  1




Jeff Bivin -- LZHS
                            Verify Trig Identities
                                 1  sin x   1  sin x
                                           
                                 1  sin x     cos x
                     1    sin x  1    sin x 
                     1    sin x  1    sin x 

                               1  sin x 
                                                   2



                               1  sin    2
                                               x   
                                1  sin x 
                                                       2


                                      cos 2 x
                                 1  sin x                   1  sin x
                                                           
                                   cos x                       cos x


Jeff Bivin -- LZHS
                       Verify Trig Identities
                     sin 3 x  cos 3 x
                                        1  sin x  cos x
                      sin x  cos x
          sin x               
                       cos x  sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x   
                                   sin x  cos x

                     sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x


                         1  sin x cos x  1  sin x cos x




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                      Verify Trig Identities
    cos x  2 cos x sin 2 x  cos x sin 4 x  cos5 x


                          
                     cos x 1  2 sin 2 x  sin 4 x  cos5 x
                                                      
                                                           2
                                 cos x 1  sin x   2
                                                                cos 5 x


                                                      
                                                           2
                                    cos x cos x    2
                                                                cos5 x


                                             
                                     cos x cos4 x  cos5 x 
                                                 cos5 x  cos5 x
Jeff Bivin -- LZHS
                         Verify Trig Identities
               sin 4 x  cos 4 x  1  2 cos 2 x  2 cos 4 x


                      sin x 
                         2       2
                                      cos 4 x


               1  cos2 x          2
                                          cos4 x


      1  2cos x  cos x  cos x
                         2               4          4




        1  2 cos 2 x  2 cos 4 x  1  2 cos 2 x  2 cos 4 x


Jeff Bivin -- LZHS
                     Solving Trig Equations




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                     Solving Trig Equations
                          2 cos x  1  0
                              2 cos x  1
                                cos x  1  2
                                 on  0, 2 
                             x   or x 
                                   3
                                                5
                                                 3

                                on ,  
                       x    2n or x 
                           3
                                                5
                                                 3
                                                      2n
Jeff Bivin -- LZHS
                     Solving Trig Equations
                       4 tan x  1  tan x
                            2            2

                           3 tan x  1
                                 2

                             tan x  3
                                 2       1

                               tan x   3   3

                                 on  0, 2 
                              x  6 or x  6
                                              7

                          or x  56 or x  11
                                    
                                                6
                                 on  ,  
                        x  6  n or x  6  n
                                                 5

Jeff Bivin -- LZHS
                     Solving Trig Equations
                        sec x  2 tan x  0
                               1
                             cos x
                                    2cos xx  0
                                         sin
                                                               cos x  0
                                   1  2 sin x
                                      cos x
                                               0              x   , 32
                                                                    2
                                                                        


                         cos x      1  2 sin x
                                        cos x        0  cos x
                            1  2 sin x  0
                                  sin x  12
                                on  ,  
                       x    2n or x 
                           6
                                                          5
                                                           6
                                                                2n
Jeff Bivin -- LZHS
                     Solving Trig Equations
                        cos x  cot x  0
                         cos x  cos x  0
                                    sin
                                        x
                                                             sin x  0
                        cos x 1  sin x   0
                                     1
                                                               x  0, 

                         cos x  0            1      0
                                                       1
                                                     sin x
                         x   , 32
                              2
                                  
                                                    1  sin x
                                                          1

                                                sin x  1
                        on    ,                 x 2  


                                     x   
                                          2
                                               n
Jeff Bivin -- LZHS
                     Solving Trig Equations
                              2 sin x  5 sin x  3
                                 2

                         2 sin x  5 sin x  3  0
                               2


                      2 sin x  1sin x  3  0
                        2 sin x 1  0       sin x  3  0
                           2 sin x   1         sin x  3
                             sin x   1 2            
                          x  76 or x  11
                                 
                                           6
                                   on  ,  
                       x  6  2n or x  6  2n
                             7                   11

Jeff Bivin -- LZHS
                     Solving Trig Equations
                             2 cos 2 x  2  0
                                    2 cos 2 x  2
                                      cos 2 x  22


                        2 x    2n or 2 x  74  2n
                               4
                                                   


                          x   
                               8
                                    n or x                 7
                                                               8
                                                                       n
                                   on  0, 2 

                                   8 ,
                                         9
                                           8
                                               ,   7
                                                    8
                                                        ,   15
                                                             8    
Jeff Bivin -- LZHS
             Sum & Difference Formulas




Jeff Bivin -- LZHS
             Sum & Difference Formulas
        sin  x  y   sin x  cos y  cos x  sin y
        sin  x  y   sin x  cos y  cos x  sin y
        cos  x  y   cos x  cos y  sin x  sin y
        cos  x  y   cos x  cos y  sin x  sin y
                     tan  x  y      tan x  tan y
                                       1  tan xtan y

                     tan  x  y      tan x  tan y
                                       1  tan xtan y

Jeff Bivin -- LZHS
  Proof of cos(A+B) = cosA•cosB - sinA•sinB                   R (x2, y2 )  (cos(A+B), sin(A+B) )
                                                              Q (x1, y1)  (cosA, sinA)
                B      Q (x1, y1)                             S (x3, y3) (cos(-B), sin(-B) )
    R (x2, y2 )            A
                             P (1, 0)
                                                               PR  SQ
                                             x2  1 2   y2  0        x1  x3  2   y1  y3 
                                                                  2                                       2
                           -B
                                                                      
                          S (x3, y3)
                                             x2 1 2   y2  0   x1  x3  2   y1  y3 
                                                                  2                               2



        x2   2x2  1   y2    x1   2x1x3   x3    y1   2 y1 y3   y3 
               2                        2          2                  2        2                      2


 x2 2   y2 2   2 x2  1   x1 2   y1 2    x3 2   y3 2   2 x1 x3  2 y1 y3
                                                                       
                     1  2 x2  1  1  1  2 x1 x3  2 y1 y3
                           2 x2   2 x1 x3  2 y1 y3
                               x2  x1 x3  y1 y3
                     cos( A  B)  cos A cos( B)  sin A sin( B)
                     cos( A  B)  cos A cos B  sin A sin B
Jeff Bivin -- LZHS
                                  Proof of
                     sin(A+B) = sinA•cosB + cosA•sinB
                                 Note: This proof uses the cofunction identities.


     sin  A  B   cos     A  B 
                         2             
                               cos    A  B 
                                    2          
                               cos    A  B 
                                     2           
                cos  2  A  cos B  sin  2  A  sin B
                                                              

                          sin A  cos B  cos A  sin B

Jeff Bivin -- LZHS
    Use Sum & Difference Formulas
     Find the exact value of sin(750)

               sin 75     sin 30
                            o                           o
                                                              45         o
                                                                              
                          
                     sin 75o  sin 30o cos 45o  cos 30o sin 45o
                     sin  75  
                            o        1
                                     2
                                             2
                                               2
                                                           2
                                                             3
                                                                    2
                                                                      2


                      sin  75  
                                o
                                         4
                                          2
                                                  4
                                                    6


                      sin  75  
                                o        2 6
                                          4


Jeff Bivin -- LZHS
    Use Sum & Difference Formulas
     Find the exact value of:                       cos  7 
                                                          12


                     cos    7
                             12     cos 
                                      cos            
                                                    3
                                                    124
                                                          
                                                                   
                                                                   4
                                                                   12
                                                                    3   
                     cos  7   cos    cos     sin    sin   
                           12           4         3           4         3

                     cos    
                             7
                             12      2
                                      2
                                           
                                           1
                                           2         2
                                                      2
                                                             2
                                                               3


                     cos  7  
                           12         4
                                       2
                                              4
                                                6


                     cos  7  
                           12
                                      2 6
                                       4


Jeff Bivin -- LZHS
          Use Sum & Difference Formulas
     Find the exact value of:                     tan  13 
                                                         12

       tan          13
                      12       tan     tan  
                                             tan13
                                                  12
                                                                           4
                                                                           123
                                                                                 
                                                                                 
                                                                                 9 
                                                                                  3
                                                                                 124 
                                            3   tan 34  
                                   1  tan  tan 3
                                          tan
                                    
                                              3  4       
                                 3  ( 1) 
                               1  3 ( 1)
    Rationalize                             
        the
   denominator                      3 1 
                                  1 3
                                         
                    1 3
                     1 3
                                
                                  1 3
                                  1 3
                                                1 2 3  3
                                                   1 3
                                                                  42 3
                                                                     2
                                                                            2 3
Jeff Bivin -- LZHS
    Use Sum & Difference Formulas
     Simplfy:                           1
                          cos sin x  cos x        1
                                                            
                    1
                                        1
     cos sin x cos cos x  sin sin x sin cos x               1
                                                                             1
                                                                                     
                      1 x  x  x  1 x
                                 2                          2
                                                                       1            x
                                                                                    1  x2


                      x 1 x  x 1 x
                                     2              2
                                                                           1x x2
                                                                            


                      2x  1  x         2




Jeff Bivin -- LZHS
          Use Sum & Difference Formulas
     Find the exact value of sin(u+v) given the following:
     sin u  13 and cos v  5 ,  u & v areinQuad IV 
             5             3


                     sin u  v   sin u cos v  cos u sin v
                     sin u  v   13 5  cos u sin v
                                    5 3

                             12                   3
                             u                    v
                                  5                  4
                        13                    5
                     sin u  v   13 5  12
                                    5 3
                                               13
                                                      4
                                                      5
                     sin u  v   65  65
                                      15    48

                     sin u  v    65
                                       63
Jeff Bivin -- LZHS
                             Verify Trig Identities
              sin  x  y   sin  x  y   sin2 x  sin2 y

sin x cos y                  cos x sin y    sin x cos y      cos x sin y 


                sin 2 x cos 2 y  cos 2 x sin 2 y

                                 2
                                         
          sin x 1  sin y  1  sin x sin y
                     2                              2
                                                           2




       sin 2 x  sin 2 x sin 2 y  sin 2 y  sin 2 x sin 2 y

                                      sin 2 x  sin 2 y  sin 2 x  sin 2 y

Jeff Bivin -- LZHS
         Solving Trig Equations on [0, 2π)
                     cos  x     cos  x     1
                               4               4
   cos x cos   sin x sin   cos x cos   sin x sin   1
             4             4             4             4

                        cos x cos   cos x cos   1
                                  4              4
                                     2 cos x cos   1
                                                 4

                                  2  cos x      1
                                                 2
                                                  2


                                          2 cos x  1
                                           cos x  12         2
                                                                2


                                          x     
                                                  4
                                                      or x     7
                                                                 4
Jeff Bivin -- LZHS
                     Double-Angle Formulas




Jeff Bivin -- LZHS
                     Double-Angle Formulas
              sin  2x   sin  x  x 
              sin  2x   sin x cos x  cos x sin x
              sin  2 x   2 sin x cos x

               cos  2x   cos  x  x 
               cos  2x   cos x cos x  sin x sin x
               cos  2x   cos2 x  sin2 x
  cos2 x  1  sin2 x         cos  2x   1  sin2 x  sin2 x
                              cos  2 x   1  2 sin2 x
              sin2 x  1  cos2 x                              
                                          cos  2 x   cos2 x  1  cos2 x   
                                          cos  2x   cos2 x  1  cos2 x
                                           cos  2 x   2 cos2 x  1
Jeff Bivin -- LZHS
                      Double-Angle Formulas
                     tan  2x   tan  x  x 

                     tan  2 x      tan x  tan x
                                     1 tan x tan x


                     tan  2 x      2 tan x
                                     1 tan2 x




Jeff Bivin -- LZHS
                          Double-Angle Formulas
        sin  2 x   2 sin x cos x

                                      cos  2x   cos2 x  sin2 x

                                      cos  2 x   1  2 sin2 x

                                      cos  2 x   2 cos2 x  1

        tan  2 x      2 tan x
                        1 tan2 x




Jeff Bivin -- LZHS
                      Half-Angle Formulas

                u     1  cos u                  u     1  cos u
            sin                            cos    
                2         2                      2         2


                            u   1  cos u     sin u
                        tan              
                            2     sin u     1  cos u

                     Note : the signs of sin  u  and cos  u 
                                               2             2
                                                            u
                     depend on the quadrant in which        2
                                                                lies .

Jeff Bivin -- LZHS
                                Solve for x
                          sin 2 x  cos x  0        x    n
                                                         2
                     2 sin x cos x  cos x  0       x  76  2n
                                                          


                       cos x  2 sin x  1  0      x  11  2n
                                                           6


                      cos x  0             2 sin x  1  0
                           x   , 32
                               2
                                               2 sin x   1
                                                  sin x  21
                           x    n
                                                    x  76  2n
                               2                         

                                                    x  11  2n
                                                         6
Jeff Bivin -- LZHS
                 Use Double-Angle Formulas
     Find the exact value of sin(2u), cos(2u) & tan(2u)
      given sin u  5 , 2  u  
                    3
                                                    5
      sin  2u   2sin u cos u
                                           3     u
                                                 4
      sin  2u   2 5 5  25
                      3 4    24
                                         tan  2 x       2 tan x
                                                          1 tan2 x

                                                          
                                         tan  2x  
                                                           2 3

      cos  2u         1  2sin u
                                                              4
                                   2
                                                      1   3 
                                                                 2
                                                             4


      cos  2u         1  2 5 
                                 3 2     tan  2x  
                                                            3
                                                             2
                                                           1 16
                                                               9



      cos  2u         1  2  25
                                 9
                                         tan  2x  
                                                          3
                                                           2
                                                            7


      cos  2u         1  18  25
                                                           16
                                     7
                             25          tan  2x    3  16 
                                                        2 7
                                                                      24
                                                                       7
Jeff Bivin -- LZHS
                     Use Half-Angle Formulas
     Find the exact value of:                    sin  5 
                                                       12

                                   5
           sin             sin  2 
                     5                              u     1  cos u
                                      6
                                                 sin    
                     12
                                                   2         2

                                1  cos  56 
                                           
                            
                                      2                           2 3
                                                              
                                      
                                                                    4
                                 1        2
                                             3

                                                                 2 3
                                      2                       
                                                                   2
                              1        3
                                      2
                                2
Jeff Bivin -- LZHS
                     Use Half-Angle Formulas
     Find the exact value of:              tan  78 
                               7          u   1  cos u     sin u
           tan  8   tan  
                7                4      tan   
                                             2     sin u
                                                             
                                                               1  cos u
                            2
                        1  cos  74 
                                    
                     
                          sin  74 
                                 
                                               2  2        2
                                                        

                        
                            1    
                                  2
                                   2              2          2
                                 2          2 2  2
                                 2         
                                                2
                         1  22   2
                                           2 1  1 2
                           22
                                  2
Jeff Bivin -- LZHS
                 Solve for x
        sin  2   cos x  1  0
              x
                                              0  1  2 cos x
                                            1   2 cos x
      2  cos x  1  0
        1cos x
                                             1   2 cos x
       1cos x  1  cos x
              2
                                              1
                                               2
                                                   cos x
     1cos x   1  cos x 
                   2              2         
                                            3
                                                2n  x
          2                                5
                                                  2n  x
                                              3
            1cos x
                2
                      1  2 cos x  cos 2 x        0  1  cos x
       1  cos x  2  4 cos x  2 cos2 x             cos x  1
                   0  1  3 cos x  2 cos2 x         x  2n
                    0  1  2 cos x 1  cos x 
Jeff Bivin -- LZHS
               Product-to-Sum Formulas

               sin u sin v    1
                               2   cos(u  v)  cos(u  v)
              cos u cos v     1
                               2 cos(u  v)  cos(u  v)
               sin u cos v    1 sin(u  v)  sin(u  v)
                               2


               cos u sin v    1
                               2   sin(u  v)  sin(u  v)


Jeff Bivin -- LZHS
               Sum-to-Product Formulas

                     sin u  sin v  2 sin  u v  cos  u 2 v 
                                               2
                                                            



                     sin u  sin v  2 cos  u v  sin  u 2 v 
                                               2
                                                            



                     cos u  cos v  2 cos  u v  cos  u 2 v 
                                               2
                                                            


                     cos u  cos v   2 sin  u v  sin  u 2 v 
                                                 2
                                                              




Jeff Bivin -- LZHS
             Power-Reducing Formulas

                        1  cos 2u                1  cos 2u
                sin u 
                     2
                                          cos u 
                                             2

                             2                         2

                                     1  cos 2u
                             tan u 
                                 2

                                     1  cos 2u




Jeff Bivin -- LZHS
            Use Power-Reducing Formulas
     Rewrite sin4x in terms of the first power of cosine.
                                 
                     sin  x   sin x    
                                              2
                       4              2


                                          
                                               2
                                 1  cos2 x
                                     2

                                 1  cos 2x 
                                                   2
                                1
                                 4

                               4  1  2cos 2 x  cos 2 x 
                                 1                      2


                               1  1  2cos2 x  1cos4 x 
                                 4                      2

                               1   2  4cos2 x  1  cos4 x 
                                 8

                               1  3  4cos2 x  cos4 x 
                                 8
Jeff Bivin -- LZHS

				
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