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Ángulos circunferencia 3 (PDF)

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Ángulos circunferencia 3 (PDF) Powered By Docstoc
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                                                  3. ELEMENTOS                                   4. ÁNGULOS EN LA                                             4.4.- ÁNGULO EX-INSCRITO
                                                                                                    CIRCUNFERENCIA                                            Es el suplemento del ángulo inscrito.
                                                                                                                                                                                        C
 X. CIRCUNFERENCIA                                                       N                       4.1.- ÁNGULO CENTRAL
                                                               P                                 Es el ángulo que tiene su vértice en el centro
¿Es lo mismo decir circunferencia que                                                  Q         de la circunferencia y sus lados son los                                                                            
circulo?                                                                M                                            B                                         A                                     x°        x=
                                                       L                                         radios.                                                                                                             2
No....
                                                                               R           C                            R
No se debe confundir circunferencia con                                                                                                                                                         B
círculo, aunque ambos conceptos están                                                                                       x°           °
                                                                   R               R                               O
estrechamente relacionados.                                              O                                                                     x=            4.5.- ÁNGULO INTERIOR
Definamos:                                                 B                               A                                                                  Es aquel ángulo cuyo vértice esta en el
                                                                                                                            R
                                                                                                                                                              interior de la circunferencia. Su medida es la
                                                                                                                                     A
1. CIRCUNFERENCIA                                                                                                                                             semisuma de la medida del arco que abarcan
Es el conjunto de los puntos pertenecientes a                                                    4.1.- ÁNGULO CENTRAL                                         sus lados con el arco que abarcan sus
un mismo plano que se encuentran a la                              T                             Es el ángulo que tiene su vértice en el centro               prolongaciones.
misma distancia de un punto fijo llamado                                       L1                de la circunferencia y sus lados son los                               °                  C
centro, ubicado en el mismo plano.                                                               radios.             B

                                                                                                                        R                                          B
                                                   Centro     O: Es el punto interior que                                                                                              F                      
                    R                                                                                                                                                                                     x=
                                                                                                                            x°           °                                                                     2
                                                    equidista de la circunferencia.                                O                           x=                                  x                D
                                                   Radio OA = R: Segmento que va del
                                                                                                                        R
                                                    centro      a cualquier punto de la                                                                                     A               °
                                                    circunferencia.                                                                  A

                                                   Diámetro BC = 2R: Segmento que pasa          4.2.- ÁNGULO INSCRITO                                        4.6.- ÁNGULO EXTERIOR
En la circunferencia se mide su longitud.           por el centro y cuyos extremos están en la   Es aquel ángulo cuyo vértice esta sobre la                   Es aquel ángulo cuyo vértice esta en el
La longitud de la circunferencia se halla de la     circunferencia. Es la cuerda máxima,         circunferencia y cuyos lados cortan a la                     exterior de la circunferencia. Su medida es
siguiente manera:                                   divide a la circunferencia en dos partes     circunferencia en dos puntos.                                la semidiferencia de los arcos que abarcan
                                                    iguales llamadas semicircunferencia.                                                                      sus lados sobre la circunferencia. Hay tres
                                                                                                               B
                 L = 2R                           Arco AC : Es la parte que esta delimitada                                                                 casos y son:
                                                                                                                                                                        CASO 1
                                                    por dos puntos de la circunferencia.                                                           
                                                                                                                   x°                         x=                            C
                                                   Cuerda PQ : Es un segmento cuyos                                                               2
2. CÍRCULO
Superficie determinada por la unión de una          extremos son dos puntos de la                                                        C
                                                                                                                                                                                                                         B
                                                                                                                                                                                                               x°
circunferencia y su región interior.                circunferencia.                                                                                                °                           °
                                                   Recta Secante L: Recta que corta a la
                                                    circunferencia en dos puntos.                         A                     °
                                                   Recta Tangente L1: Recta que toca a la
                    R                                                                            4.3.- ÁNGULO SEMI-INSCRITO                                                     A                              
                                                    circunferencia en un solo punto.             Es aquel ángulo cuyo vértice esta sobre la                                                               x=
                                                                                                                                                              CASO 2                                            2
                                                   Flecha o Sagita MN : Porción del radio.      circunferencia uno de sus lados la corta y el
                                                   Punto de Tangencia: Punto de                 otro es tangente.                                                              A                                            B
                                                    intersección entre la recta tangente y la                      °                                                                                           x°
                                                    circunferencia.                                                                  C                                                          °
En el círculo se halla su área con la siguiente
fórmula:                                                                                                                                                        °
                                                                                                          x°
                                                                                                                                                                                                 C
                                                                                                                                                    
                                                                                                                                              x=                                                                
                 A = R
                          2
                                                                                                      B                                             2                                                     x=
                                                                                                                                                                        D                                        2


                                                                                                                                                   5º SECUNDARIA – 1 BIMESTRE
                                                                                                                                                                                         GEOMETRÍA

CASO 3                                                                B                                    5.7).- Las cuerdas que equidistan del centro
                                                                                     Si : OA  BC          son de igual medida.                                           PROBLEMAS RESUELTOS
   B                                                                                 Entonces:                          A           C
                       C
                                                             O             A                                                                                         1).-Calcula “x”.
                                  x°        F                    F
                                                                                         BF  FC                                                  Si: a = b                                       A
                       °
  °                                                                                                                        O                     Entonces:
                                                                                         BA = AC
                       D                                                                                                a       b                     AB  BC                                              x°
                                                                      C
         A
                                           αθ                                                                                                                                                   40°
                                      x=                                                                       B                         D                                                   O              B
                                            2
                                                 5.4).-Los segmentos tangentes trazados
                                                 desde de un punto B exterior    a una
                                                 circunferencia son iguales.
                                                                                     B
                                                                                                           5.8).- Si desde el vértice donde se unen las              Solución:
5. PROPIEDADES DE LA                                                                                       tangentes trazamos un segmento que se une                 “O” por ser ángulo central se cumple:
                                                                                     Si: A y C son
   CIRCUNFERENCIA                                                                                          con el centro de la circunferencia, el
                                                                                     puntos de tangencia
                                                     A                                                     segmento es una bisectriz.                                                       x = 40°
                                                                                     Entonces:
                                                                                                                                                  B
5.1).- Siendo L una recta tangente y A el                                                                                                         Si:                2).- Calcula “x”.
                                                                                         AB  BC                                        °                                                       A
punto de tangencia se tiene que L  OA .                                                                       A
                                                                                                                                         °
                                                                      C
                                                                                                                                                          AB  BC
                                                                                                                            C                     y son
                                                                                                                                                                                B     x°                   100°
                                                 5.5).- El ángulo exterior y un arco formado                                                      Tangentes.
                                                                                                                   O                              Entonces:
                                                 por dos tangentes son suplementarios.
               O                 A                                                                                                                                                                   C
                           R                                                             A
                                                                                                                                                  OB = Bisectriz
                                                                                                                                                                     Solución:
                                                                                                                                                                     “B” por ser ángulo inscrito se cumple:
                                  L                   B          x°             y°
                                                                                                                                                                                   x° = 100
Si: OA es radio.                                                                                                                                                                          2
Entonces:                                                                                                  5.9).-Siendo AB diámetro y P un punto
                                                                                          C
                                                                                                           cualquiera de la circunferencia, entonces el
                   OA  L                                                                                  ángulo de vértice P en el triángulo APB es                                      x = 50°
                                                                          x° + y° =                        recto.
                                                                            180°                                                                                     3).- Calcula BC.
                                                                                                                       P                          Si:
5.2).-Si se traza dos cuerdas paralelas AD y                                                                                                                                                           C
BC, los arcos AB y CD son de igual medida.                                                                                                       AB es diámetro
                                                 5.6).- Si trazamos dos cuerdas de la misma
Si : BC // AD                                    longitud, entonces los arcos que subtienden                                                      Entonces:
                                                 cada una son iguales.                                     A                                  B                                       60°
     B             C           Entonces:                                                                                                               = 90°
                                                                                                                                                                                  B
                                                             C
                                                         B
 A                     D        mAB = mCD
                                                                                         Si :
                                                                                             AB  CD
                                                                            D            Entonces:                                                                   Solución:
                                                                                                                                                                     “60°” por ser ángulo exinscrito se cumple:
                                                                                                               IMPORTANTE:                                                          BC = 60°
5.3).-Si un radio es perpendicular a una                                                 m AB =mCD
                                                     A                                                         Toda la circunferencia mide 360°.                                     2
cuerda, el radio pasa por el punto medio de la
cuerda y del arco correspondiente a la
cuerda.                                                                                                                                                                               BC = 120°

                                                                                                                                                          5º SECUNDARIA – 1 BIMESTRE
                                                                                                                                                                                GEOMETRÍA

                                                                                                            Solución:                                             a) 100°           b) 80°               c) 110°
4).- Calcula “x”.                                     Solución:                                             Por propiedad:                                        d) 50°            e) N.A
                80°          C                        Por propiedad el radio con la tangente forman
                                                      un ángulo de 90°.                                              AC +x° = 180°                             4).- Si “B” es un punto que pertenece a
          B                                                               T                                        100° + x° = 180°
                                                                                                        A                                                       la circunferencia.
                         F                                                                20°
                                                                                                                             x° = 80°                           Calcula “x”.
                        x°          D                                         70°
                                                                                                                                                                                             A
                                                                         O
                    A        60°                                                                                 PRÁCTICA DIRIGIDA Nº10
                                                                                                                                                                            B       48°              x°
Solución:                                                                                                   1).- Calcula “x”, si “O” es centro de la
“x°” por ser ángulo interior se cumple:                              mTOA = 70°
                                                                                                                 circunferencia.
                                                                                                                                                                                             C
          x° = 80  60
                   2                                  7).- Calcula “x”, si: BC // AD                                                           60°                a) 48°            b) 24°               c) 38°
                                                                                                                                    x°                            d) 96°            e) N.A
          x° = 140             x° = 70°                         B                        C
                                                                                                                              O
                2
                                                                                                                                                               5).- Si AC = 84° y “B” es un punto que
                                                                                               x°
5).- Calcula “x”.                                                                                                                                               pertenece a la circunferencia.
                                                                                    30°
                                                                 A                         D                                                                    Calcula “x”.
                                                                                                               a) 30°        b) 60°                  c) 15°
      B                                                                                                                                                                         A
                             C                                                                                 d) 120°       e) N.A
                             40°         x°       F
   90°                                                Solucion:                                             2).- Calcula “x”, si “O” es centro de la
                                                                                                                                                                                             x°      B
                             D                        “B” por ser ángulo inscrito se cumple:                     circunferencia.
               A                                                     B                     C
                                                                                                                                                                                C
                                                               60°                             x°                                              6x
Solución:                                                                                                                           60°
“x°” por ser ángulo exterior se cumple:                                             30°                                       O                                   a) 84°            b) 42°               c) 168°
                                                                                                                                    °
                                                                  A                        D                                                                      d) 96°            e) N.A
          x° = 90  40
                   2                                                                                                                                           6).- Calcula “x”; si ABC = 200° y “B” es
                                                      Por la propiedad de las cuerdas paralelas:                                                                un punto que pertenece a la
          x° = 50      
                                                                                                               a) 10°        b) 30°                  c) 120°    circunferencia.
                2                   x° = 25°                                                                   d) 60°        e) N.A
                                                                                    x° = 60°                                                                                                     A
                                                                                                            3).- Calcula “x”, si ABC = 260°
6).- Calcula el ángulo TOA, si AT es                  8).- Calcula “x”, si el arco AC = 100°
                                                                                                                                           A
     tangente.                                                                                                                                                                  x°
                                                                                                                                                                       B
                                                                                                    B
                    T
                                              A                                           x°
                                   20°                                                                                                x°
                                                                      A                                                         O
                                                                                                                        B                       C                                            C
                    O
                                                                                                                                                                  a) 84°            b) 80°               c) 200°
                                                                 P                   C                                                                            d) 100°           e) N.A

                                                                                                                                                    5º SECUNDARIA – 1 BIMESTRE
                                                                                                                                                                                      GEOMETRÍA

7).- Si “A” es punto de tangencia.                 10).- Calcula “x”.                                       14).- Calcula “AE”;si: BD = 50°.                      17).- Si: r = 2; calcula “x”.
     Calcula “x”.                                                                       B                                                                                               A            P
                  94°            B                                                                                 A
                                                                                                                                       B                                                     x
                                                               x°                           100°
                                                                                                                                                  40°         C                   r                  B
                 x°                                                                                                                                                                      O
                                                                                        A                                               D
             A                                                                                                    E
                                                      a) 280°           b) 130°                   c) 80°
                                                      d) 140°           e) 50°
                                                                                                                                                                     a) 2               b) 4                  c) 8
                                                                                                               a) 180°             b) 130°              c) 100°
                                                   11).- Calcula “x”.                                          d) 140°             e) 150°                           d) 2     2         e) 4     4
   a) 50°         b) 188°                 c) 94°                    B
   d) 100°        e) 47°                                                                D
                                                                                                            15).- Calcula “x”, si A y C son puntos de             18).- Calcula “x”, si A y C son puntos
                                                             100°                                                 tangencia.                                          de tangencia.
8).- Calcula “x”; si ABC = 260° y “A” es                                x°                  70°                                                                                                           B
     punto de tangencia.                                                                                                                                                            A                x°
                                                                                                                               A
                                                                    A               C
                 A
                        x°
                                                      a) 30°            b) 90°                    c) 170°                            105°     x°          B
                                                                                                                                                                              70°
                                                      d) 40°            e) 85°                                                                                           D
                                                                                                                                                                                                 C
                                                   12).-Si AC = 110° y BD = 80°.                                               C
        B                        C
                                                        Calcula “x”.
                                                                                    C                          a) 105°             b) 75°               c) 15°       a) 15°             b) 70°       c) 140°
                                                                                                               d) 45°              e) 55°                            d) 40°             e) 50°
                                                                A
   a) 100°        b) 25°                  c) 50°                             x°
   d) 200°        e) 150°                                                                                                                                         19).- Calcula la medida del mayor arco
                                                                    B                   D                   16).- Si “P” es punto de tangencia y “O”               AB, si A y B son puntos de
9).- Calcula “x”; si PQR = 280°.                                                                                es centro de la circunferencia                     tangencia.
                                                      a) 35°            b) 180°                   c) 70°        Calcula “x”.
                             P                        d) 45°            e) 85°
                                                                                                                           P                                                      A                       C
                                                   13).- Calcula “x”.                                                                                                                                     100°
                                                                                                               110°                          x°
      R                              x°                                                                                                                       A
                                                         B                                                        O
                                                                             C
                                                                                                                       r
                                                                              30°           x°      F
                                 Q                    110°                                                                                                                                   B
                                                                             D
                                                                A                                              a) 105°             b) 70°               c) 20°       a) 200°            b) 240°          c) 140°
   a) 280°        b) 40°                  c) 80°      a) 80°            b) 90°                    c) 70°       d) 45°              e) 55°                            d) 280°            e) 260°
   d) 140°        e) 50°                              d) 40°            e) 50°


                                                                                                                                                   5º SECUNDARIA – 1 BIMESTRE
                                                                                                                          GEOMETRÍA

20).- Si “A” y “B” son puntos de                     23).- Calcula “x”; si “P” y “Q” son puntos
 tangencia, calcula “n”.                                   de tangencia.

                    A                                                 P
                                  2
                             2n -52

                                           P                              3x°
                                                                                        x°   A
                                  2
                                 n -3
                    B
                                                                      Q

   a) 8             b) 6                  c) 7
   d) 14            e) 5                                a) 20°            b) 30°         c) 36°
                                                        d) 45°            e) 35°
21).- Calcula el valor de “x” siendo “O”
    el centro de la circunferencia.
                                 A                     “Si crees que una cosa va a dar
   a) 80°                                              resultado, verás oportunidades.
   b) 60°                                              Si no lo crees, veras
   c) 40°                80°                           obstáculos.”
   d) 20°           x° O
            C                                                           Wayne w. Dyer.
   e) 30°                             B



22).- Calcula “x”, si P, Q y R son puntos
      de tangencia.
                                                                  CLAVES DE
             B                                                   RESPUESTAS
                             P
   a) 50°                                                1) b      2) a         3) a
   b) 60°                                                4) d      5) b         6) b
                                        20°      C
   c) 70°    Q          x°
   d) 80°                                                7) e      8) c         9) d
   e) 40°                                                10) b     11) e        12) e
                             R
                                                         13) d     14) b        15) b

                A                                        16) c     17) d        18) d
                                                         19) e     20) c        21) c
                                                         22) d     23) c




                                                                                                  5º SECUNDARIA – 1 BIMESTRE

				
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