Pres Tema3 PI by H3zU70v

VIEWS: 4 PAGES: 15

									     Tema 3. Digitalización y cuantificación
Introducción

    Las imágenes reales suelen ser continuas. Para poder trabajar con ellas
     en un ordenador, será necesario digitalizarlas.
    Este proceso comprende dos fases principales: el muestreo y la
     cuantificación.
    El muestreo es la parte encargada de integrar en un punto la
     información que se halla en un área determinada. Estos puntos en los
     que se integra el área son los elementos más pequeños en que se
     divide una imagen: los píxeles (Picture Elements).
    Una vez muestreada la imagen, será necesario codificar digitalmente el
     color integrado en cada píxel. Esta codificación de colores es lo que se
     denomina cuantificación de la imagen.
     Tema 3. Digitalización y cuantificación
Muestreo y reconstrucción de una imagen

    Imagen continua o señal analógica, f(t)
    Valores muestrales: {f(kT), kZ), siendo TR+ el periodo de muestreo.
                      {..., -3T, -2T, -T, 0, T, 2T, 3T,...}


    PROBLEMA: Se trata de encontrar una función de interpolación
     g(t) de manera que
                                              
                               f r (t )      f (kT )  g (t  kT )
                                            k  


     sea igual f(t)
   Tema 3. Digitalización y cuantificación
Reconstrucción:
                
 f r (t )      f (kT )  g (t  kT )
              k  
                                                           
                                 f (kT )  g (t  kT )    
                                                           
                                                                f ( x)  g (t  x)   ( x  kT ) dx

               
                                                     
 f r (t )         f ( x)  g (t  x)    ( x  kT ) dx
                                     k           
                                                                              periódica en [–T/2, T/2]
                                                                 
                                                                                          1
                                              ( x  kT )       a k e i 2kx / T        , k
                                     K                       k                      T

                                                                                                 
                                                                           T /2
                                                                     1
                                                                ak              
                                                                     T T/ 2  k 
                                                                              
                                                                                       ( x  kT )   e  i 2 kx / T dx
                                                                                                   
  Tema 3. Digitalización y cuantificación
                                      
f r (t )        f ( x)  g (t  x)   (ei 2 kx / T / T ) dx
                                     
                                                                        F (u )  0, para u  u c
                   
             
                                          g (t  x) 
           f ( x)  ei 2 kx / T   
                                                    dx
                                      T         
                                                                                   T  1/(2uc)
                                G (u ) 
Fourier  f r (t )  Fr (u ) 
                                                k
                                        F (u  )
                                 T            T
                      .......... ..
                                  1                                 1             1
                       F (u  )                              si     uc  u    uc
           
 *               k     F (u ) T
F (u )   F (u  )                                         si
                                                                     T
                                                                    uc  u  uc
                                                                                   T
        k     T
                       F (u  1 )                            si
                                                                    1            1
                                                                        uc  u   uc
                                  T                                T            T
                      .......... ..
                      
                                         T si u  uc
                                         
     Solución:                    G(u)  
                                          0 si u  uc
                                         
    Tema 3. Digitalización y cuantificación

                                            sen(2 u ct )
                 uc

      g (t )     
                  uc
                        T  ei 2 ut du 
                                                t
                                                              g(t) = senc (2 uc t)

                                                T
                                                                  T = 1/(2uc)


   Teorema de Whittaker-Koteinikov-Shanon:
   Si la transformada de Fourier de la imagen f(t) se anula para           u  uc

   entonces la imagen se puede reconstruir exactamente a partir de los
    valores muestrales siempre que se tomen con un espaciamiento

                                                        1
                                                    T
                                                       2u c
Tema 3. Digitalización y cuantificación
Muestreo con funciones ortonormales.

                 
  f ( x, y )    aij  ij ( x, y )
               i 0 j 0


           
           
                mn   ( x, y )   pq ( x, y ) dxdy   mp   nq ,  m, n, p, q  N

                        1 si i  j
                  ij  
                        0 si i  j

                      f ( x, y )  
                     
                                          mn   ( x, y ) dxdy 

                          

                      a   ( x, y)  
                     i 0 j 0
                                 ij       ij          mn   ( x, y ) dxdy  amn
                                      



 muestras de la imagen f(x,y) con respecto a ese sistema ortonormal de
 funciones
Tema 3. Digitalización y cuantificación
Ejemplo:

                 1          mx ny 
mn ( x, y )         exp 2i  , m, n  0,1,2,.....
                 A B       A  B 
                                                                   B
 (x,y)  [-A/2, A/2][-B/2, B/2]

                                                           -A           A

                                                                   -B
         1 B/2          A/ 2
                                                   mx ny 
amn                          f ( x, y )  exp 2i   dxdy
         A  B B / 2   A/ 2                      A B 

           1      m n
               F  
           A B  A B
Tema 3. Digitalización y cuantificación
Ejemplo:

                              MN                m  0,1,2,..., M  1
              mn ( x, y)       ,
                              AB                n  0,1,2,...,N  1

 (x,y)[mA/M , (m+1)A/M][nB/N , (n+1)B/N]

                              (n 1)B/N (m 1)A/M
                        MN
               amn 
                        AB       
                               nB/N
                                           
                                         mA/M
                                                f ( x, y ) dxdy




                       B                                          B/M

                                                        A/M

                                                    A
Tema 3. Digitalización y cuantificación
Minimizar el error cuadrático medio

                                                                2
                                        M 1 N 1
               eMN   f ( x  y ) 
                2
                                          aij  ij ( x, y)       dxdy
                                       i 0 j 0




Solución:        amn   f ( x, y )  mn ( x, y ) dxdy
                           



 No se consigue nada más si incrementamos M y N más allá de la capacidad
 de resolución espacial del observador o usuario de la imagen recibida. Se
 deben incorporar aquellos términos que contribuyan más en los detalles más
 finos de la imagen y que su eliminación contribuya a una sensible pérdida de
 resolución.
 Tema 3. Digitalización y cuantificación
Problema:
Pasar de una imagen analógica f(x,y) (toma valores continuos),
a una imagen digital que toma valores en el conjunto finito {r1 , r2 ,...., rL}
que llamaremos niveles de reconstrucción
                                                      f (m, n )  r1 , r2 ,... rL 
                                         ri

                                          Ri
Un cuantificador Q (escalar) es una aplicación de  en el conjunto
discreto de puntos C={r1, r2 ,...., rL}: Q :   C
donde el conjunto C se llama código o tabla de códigos.

                          Ri  t  R : Q(t)  ri 

La cantidad r = log2 L se llama resolución y mide el número de bits
necesarios para representar los códigos
 Tema 3. Digitalización y cuantificación

Cuantificador Uniforme
             100           50                         100           100
   Q(t )        (k  1)                  si t  [       (k  1) ,     k)   k  1,2,..., 256
             256           256                        256           256




   Q(t )  rk      si t [t k , t k 1 )       k  1,2,...,L           rk




                                                                                 tk      tk+1
  Tema 3. Digitalización y cuantificación

Cuantificador óptimo
                                                       L ti 1
                             Error Medio    (u  ri )2  pU (u) du
                                                      i 1 ti




E                                                                                                         ri 1  ri
     (ti  ri 1 ) 2  pU (ti )  (ti  ri ) 2  pU (ti )  0                                      ti 
ti                                                                                                             2
                                                                 ti 1


E
            ti 1                                                  u p           U   (u ) u
     2  (u  ri )  pU (u ) du  0                    ri                                      E U    U  ti , ti 1 
                                                                  ti
                                                                       ti 1                                               
ri      ti
                                                                        p
                                                                         ti
                                                                               U   (u ) u
Tema 3. Digitalización y cuantificación

Cuantificador óptimo uniforme
           1
          t  t     si u  t1 , t L 1 
          
pU (u )   L 1 1
          
          0
                    en otro caso


                               (t k 1  t k )
                                  2        2
                                                     t k  t k 1
                       rk                       
                              2(t k 1  t k )            2

                          t L1  t1                                              q
                       q            ,           t i  t i 1  q,   ri  t i 
                               L                                                  2
Tema 3. Digitalización y cuantificación

Aproximación:




pU (u)  pU (t i  t i 1 ) / 2                si u  t i , t i 1 

                                                             K
                                                               ( tk 1  tk )
                                                             L
                                                                                 pU (u )
                                                                                             1/ 3
                                                                                                    du
                             tk 1  t1  (t L 1  t1 ) 
                                                                   t1
                                                                  t L 1

                                                                    p             (u ) 
                                                                                         1/ 3
                                                                                U                du
                                                                   t1
  Tema 3. Digitalización y cuantificación
EL COMPANDOR (compresor-expansor)




       COMPRESOR   CUANTIFICADOR    EXPANSOR
           g       UNIFORME Q          h

								
To top