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10º CONGRESO CASTELLANO Y LEONÉS
DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Segovia, 12, 13 y 14 de septiembre de 2008
La dimensión cultural del número. El legado de Pitágoras
Este texto está dedicado con admiración y entusiasmo a la figura humana y científica del
Profesor Miguel de Guzmán, maestro de matemáticos y profesores de Matemáticas y
apasionado estudioso de Pitágoras y el Pitagorismo.
«El nacimiento y la pervivencia del pitagorismo es uno de los fenómenos más
interesantes en la historia de la ciencia y de la cultura en general».
Miguel de Guzmán. El pitagorismo, vanguardia de la cultura. Saber Leer, nº153,
03/2002, p.8
La Matemática constituye una de las grandes manifestaciones del espíritu, con un desarrollo
milenario relacionado estrechamente con los grandes hitos del pensamiento y de la cultura. La
idea de número para dar cuenta y razón de la realidad ha sido una constante histórica universal
que alcanza su clímax con el pronunciamiento pitagórico «el número es la esencia de todas las
cosas» que conduce en el curso de los siglos al galileano «la naturaleza está escrita en caracteres
matemáticos» y culmina en la actualidad con la digitalización informática.
Los puntos a tratar son:
EL MISTICISMO ARITMÉTICO PITAGÓRICO.
Cosmos y armonía pitagóricos. El número como esencia.
La base metafísica del Pitagorismo.
La Aritmología pitagórica. Los números místicos. La Década o Tetractys.
Clasificaciones y denominaciones pitagóricas de los números.
Los números perfectos y los números amigos.
Números poligonales (número y forma).
FÍSICA Y METAFÍSICA DEL NÚMERO.
El fundamento aritmético de armonía musical (el número gobierna el sonido).
Cosmología y armonía de las esferas (el número gobierna el espacio).
Inconmensurables (insuficiencia y crisis del número).
Estética (el número base de la armonía y la proporción en la belleza y el arte).
Todo ello legado de Pitágoras, filósofo del número y umbral del pensamiento occidental, como
artífice primigenio de la Filosofía y la Matemática.
Pedro Miguel González Urbaneja
pgonzale@xtec.cat
IES Sant Josep de Calassanç. Barcelona
SOCIETAT CATALANA D’HISTÒRIA DE LA CIÈNCIA I DE LA TÈCNICA
EL MISTICISMO ARITMÉTICO PITAGÓRICO
Cosmos y armonía pitagóricos. El número como esencia
Pitágoras introduce el término Cosmos para describir un universo armonioso y ordenado por unas
leyes cognoscibles e inteligibles por el hombre a través del número que es el principio elemental,
«la esencia de todas las cosas», componente básico de la armonía matemática que debe guiar,
con finalidad religiosa, toda investigación sobre el universo, a través de estudios filosóficos,
matemáticos y cosmológicos que actuarán como factores de elevación moral para la dirección de
la existencia. Con Pitágoras el universo se revela como Cosmos, es decir, como un mundo
armónico y ordenado por el número. La Matemática era la llave que permitía el acceso a los
arcanos de la naturaleza y desvelaba su constitución y su orden interno. Naturaleza y número
estaban indisolublemente unidos.
Pitágoras alcanzaría esta iluminación, tras sus viajes, a través de su propia reflexión sobre la
sabiduría milenaria de los pueblos de Oriente Próximo. De los egipcios aprendería que las formas
de las figuras geométricas se ajustan a números y proporciones y de Mesopotamia que los
movimientos de los astros están regidos por leyes numéricas. De su propia experimentación,
Pitágoras deduce que la armonía musical también está regida por el número. De estos tres
hechos, tras una audaz extrapolación, Pitágoras estableció que «el número es la esencia del
universo» y que «el número es la raíz y fuente de la naturaleza eterna».
Los pitagóricos perseguían penetrar en el secreto de la armonía de los números, ya que
desvelado éste creían poder comprender la armonía del universo. Soñaban con poder captar la
esencia del universo bajo la forma de números enteros, imaginándose estar tras las huellas del
misterio último de las cosas.
Veamos algunas citas.
1. Para Pitágoras la primera esencia era la naturaleza de los números y proporciones que se
extienden a través de todas las cosas, de acuerdo con los cuales todo está armónicamente
dispuesto y convenientemente ordenado.
Jámblico (Vida Pitagórica, XII.59, p.48).
2. Pitágoras radicaba la felicidad suprema en la contemplación de la armonía de los ritmos del
universo dirigido por los números.
Heráclides del Ponto (citado por Clemente de Alejandría en Stromata).
3. Las doctrinas de Pitágoras, que comenzaron con el misticismo aritmético, influyeron sobre
toda la Filosofía y Matemática en profundidad. […] la ciencia de los números era la llave del
universo.
B.Russell. Los Principios de la matemática. Espasa, Madrid, 1977, p.12.
4. El mundo platónico de las ideas es la forma revisada y refinada de la doctrina pitagórica de
que el número es la base del mundo real.
A.Whitehead. La Matemática en la Historia del Pensamiento (en SIGMA, el mundo de las
Matemáticas, Vol.1, p.332):
5. En el número reside, como lo comprendió Pitágoras, con la íntima certidumbre de una sublime
intuición religiosa, la esencia de todo lo real, esto es, de lo producido y de lo conocido.
O.Spengler. El sentido de los números (en La decadencia de Occidente. Cap.I.1). Austral,
Madrid, 1998. p.132.
6. La afirmación pitagórica de que el número es la esencia de todas las cosas aprehensibles por
los sentidos siegue siendo la más valiosa proposición de la Matemática antigua.
O.Spengler. El sentido de los números (en La decadencia de Occidente. Cap.I.1). Austral,
Madrid, 1998, p.148.
7. La matemática nace a la sombra de la metafísica pitagórica fundada en la omnipresencia y
omnipotencia del numero –«el numero es la esencia de todas las cosas»–.
Arquímedes: El Método. Introd. y notas de J. Babini. Eudeba, Buenos Aires, 1966, p.14.
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La base metafísica del Pitagorismo
Los pitagóricos basaron su filosofía y su modo de vida en el culto a los números llevándolo hasta
el paroxismo. El número es el principio inteligible a través del cual el Cosmos divino gobernado
por el espíritu manifestaba al hombre su armonía interna. Para los pitagóricos todo era una
encarnación del número.
La fuente primaria más cualificada sobre la Filosofía pitagórica es, sin duda alguna, el capítulo V
del libro I de la Metafísica de Aristóteles –que tiene por título «Los pitagóricos y su doctrina de los
números»–, donde se lleva a cabo una exposición general del Pitagorismo que empieza con estas
palabras (Metafísica, 985b, 986a):
«Los filósofos pitagóricos se dedicaron al cultivo de las matemáticas y fueron los primeros
en hacerlas progresar; estando absortos en su estudio creyeron que los principios de las
matemáticas eran los principios de todas las cosas. Y Puesto que los números son por
naturaleza los primeros de estos principios y en los atributos de los números creían
contemplar muchas semejanzas con los de los cuerpos sensibles y con los que están en
formación –más que el fuego, la tierra o el agua (siendo tal modificación de los números la
justicia, tal otra el alma y la razón, otras distintas la oportunidad y el matrimonio y casi de un
modo semejante todas las demás cosas)–, supusieron que las cosas existentes son
números –pero no números que existen aparte, sino que las cosas están realmente
compuestas de números–, es decir, los elementos de los números son los elementos de
todos los seres existentes y la totalidad del universo es armonía y número. Su razón
consistía en que las propiedades numéricas eran inherentes a la escala musical, a los cielos
y a otras muchas cosas.
[...] Y cuantas propiedades de los números y escalas pudieron demostrar que concordaban
con los atributos, las partes y la disposición total de los cielos, las reunieron y las ajustaron a
su esquema; y si en alguna parte había alguna laguna, hacían prestamente adiciones de
modo que toda su teoría fuera coherente. [...] Es evidente que los pitagóricos creen también
que el número no sólo es el principio material de las cosas sino también el que constituye
sus modificaciones y estados permanentes. [...]».
Este texto de Aristóteles resume el núcleo de la metafísica pitagórica. Cuando los pitagóricos
decían, como médula de su metafísica, que todos los objetos estaban compuestos de números,
que «los números son la esencia del universo», o que el número es el arjé, el principio elemental –
como para otros filósofos presocráticos era el agua, el aire, la tierra, el fuego– lo entenderían en
sentido literal, porque los números eran para ellos como los átomos para Demócrito, pero átomos
con magnitud y extensión. En efecto, Aristóteles insiste en su Metafísica (1080b):
«Los pitagóricos reconocen un único tipo de número, el número matemático, pero no lo
conciben con una existencia separada e independiente de las cosas sensibles [que era la
opinión de los platónicos en general], sino como constitutivo de las sustancias sensibles.
Ellos, en efecto, construyeron la totalidad del universo a partir de los números.»
Se supone incluso que los primeros pitagóricos no distinguían realmente los números de los
puntos geométricos, entendidos naturalmente como puntos extensos o esferas minúsculas. En
Geometría todos los conceptos pitagóricos parten del concepto de punto «como unidad que tiene
una posición», es decir la unidad en el espacio, de modo que todo cuerpo geométrico es una
pluralidad, una suma de puntos, de igual forma que el número es una suma de unidades. Sin
distinguir entre cuerpo físico y cuerpo geométrico, los pitagóricos consideraron los objetos de la
naturaleza formados por la reunión de puntos físicos –una especie de atomismo de corte múltiple:
numérico, geométrico y físico que identifica las tres esencias–, lo que a pesar de la incoherencia
que supone –y que pondrá de manifiesto el propio Aristóteles en la Metafísica– les condujo al
descubrimiento de algunas importantes propiedades y relaciones numéricas, pero fracasaron al
querer determinar la longitud de un segmento rectilíneo, calculando un número proporcional al de
puntos situados entre sus extremos, lo que les situó en la pista del origen de la falsedad de su
concepción espacial que culmina al aplicar el teorema del triángulo rectángulo al isósceles de
2
catetos unitarios para «medir» la hipotenusa en función del cateto, o aplicar la «sección áurea»
para «medir» la diagonal del pentágono regular en función del lado, lo que produjo el gran
escándalo lógico entre los pitagóricos ante la aparición de lo inconmensurable, origen de la
primera crisis de fundamentos en la Historia de la Matemática.
Sentada la base metafísica, los pitagóricos establecen la generación de las figuras geométricas a
partir de los puntos, según el mínimo número de puntos necesarios para definir cada una de ellas.
Un único punto –carente de dimensión– es el generador de todas las dimensiones, dos puntos
engendran una recta de dimensión uno, tres puntos no alineados determinan un triángulo o área
de dimensión dos, y cuatro puntos no coplanarios determinan un tetraedro o volumen de
dimensión tres. El esquema tal como los pitagóricos lo pensaban gráficamente sería:
Puede ayudar a la compresión de estas concepciones recordar la costumbre primitiva
(mencionada por Herodoto), que perduró a lo largo del transcurso de la Matemática griega, de
visualizar la representación de los números mediante hileras de puntos, de sucesiones de letras ,
o de piedras dispuestas en dibujos regulares (mencionemos que el término cálculo deriva de la
expresión latina de piedra). Esto dio a la aritmética una forma geométrica que se mantuvo (aunque
también por otras muchas razones) durante casi todo el ciclo griego.
En el fondo, estas cuestiones son otra forma mas útil de postular la doctrina de que las cosas son
números al suponer que la estructura de los objetos depende de las formas geométricas, que, a
su vez, podrían describirse mediante números, atribuyendo a cada figura el mínimo de puntos
necesarios para contenerla (dos para una línea, tres para el triángulo, cuatro para el tetraedro). Es
decir, las cosas son números y por tanto la base de la naturaleza es numérica porque los cuerpos
sólidos se componen de superficies, las superficies de planos, los planos de líneas y las líneas de
puntos, y, en su concepción geométrica del número, los pitagóricos identificaban puntos y
unidades.
Esta visión aritmético-geométrica de la realidad es descrita por Diógenes Laercio (Vida de los
filósofos más ilustres. Libro VIII. Pitágoras.15. Porrúa, México, DF, 1998, pp.209–210) con estas
palabras:
«Según Pitágoras, el principio de todas las cosas es la unidad, y de ésta procede la
dualidad, y de la unidad y la dualidad proviene toda la numeración. De los números
provienen los puntos; de éstos las líneas; de las líneas las figuras planas; de éstas las
sólidas y de éstas los cuatro sólidos de los cuales constan los cuatro elementos, fuego,
agua, tierra y aire que engendran el mundo animado».
Esta correlación descrita entre números y figuras geométricas es también desarrollada, explicitada
y refinada por numerosos escritores neopitagóricos como Arquitas de Tarento, Teón de Esmirna,
Sexto Empírico y sobre todo en la Introducción a la Aritmética de Nicómaco de Gerasa, Jámblico,
Proclo y Boecio.A veces la secuencia punto, línea, triángulo, tetraedro, en la generación de
figuras, descrita por la progresión aritmética (1,2,3,4) es sustituida por la secuencia punto, línea,
cuadrado, cubo, descrita por la progresión geométrica (1,2,4,8) que ofrece el esquema gráfico:
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La concepción pitagórica sobre la generación de figuras geométricas es criticada por Aristóteles
en la Metafísica (1036b):
«La continuidad es la materia de las figuras geométricas y el número el elemento formal»,
de modo que para él
«una línea es lo que se extiende entre dos puntos» más bien que «dos puntos colocados
uno al lado del otro constituyen en sí una línea».
Esto es lo que se conoce, generalmente, como Teoría del flujo que Proclo y Sexto Empírico
expresarán al definir «la línea como el flujo de un punto, la superficie sin profundidad como flujo de
una línea, y el cuerpo como el flujo de una superficie».
La Teoría del flujo enfrenta la divisibilidad de los segmentos ad infinitum con la existencia
atomística de partes intrínsecamente indivisibles, objeto de polémicas entre los filósofos de La
Academia y los de El Liceo acerca de la constitución de la materia y la estructura del continuo.
Las controversias al respecto se prolongaron durante siglos en un ámbito filosófico. Unos
pensadores sostenían que la materia era infinitamente divisible y que en cada división se
conservaban las propiedades básicas de la materia inicial. Otros, por el contrario, mantenían que
la descomposición de la materia era limitada, de forma que se llegaría a unas partículas
indivisibles o átomos cuyas propiedades ya no serían idénticas a las de la materia primigenia.
Estas concepciones tuvieron su repercusión en la Matemática, de modo que la primera estaría
vinculada con los Infinitesimales y la segunda con los Indivisibles llamados por algunos,
«heterogéneos». La dualidad Infinitesimales–Indivisibles, de gran trascendencia en la gestación
del Cálculo Infinitesimal establece una tradición cinemática representada por Arquímedes,
Oresme, Galileo, Torricelli, Roberval, Barrow y Newton frente a una tradición atomística
representada por Demócrito, Kepler, Cavalieri, Fermat, Pascal y Huygens.
La Aritmología pitagórica. Los números místicos. La Década o Tetractys
Los pitagóricos vivieron imbuidos de un efervescente entusiasmo místico hacia los números, hasta
el punto de que Filolao (el pitagórico favorito de Aristóteles) llegó a afirmar:
«Todo lo cognoscible tiene un número, pues no es posible que sin número nada pueda ser
concebido ni conocido».
Para los pitagóricos el gran sistema del mundo reposa sobre la consideración de los números.
Quien conoce sus propiedades y sus mutuas relaciones, conoce las leyes merced a las cuales la
naturaleza existe. Los números determinan el nexo de unión de todas las cosas y la mecánica
armónica del universo entero, son la base del espíritu y el único medio por el cual se manifiesta la
realidad. Según el neoplatónico Porfirio:
«Para Pitágoras los números eran símbolos jeroglíficos mediante los cuales explicaba las
ideas relacionadas con la naturaleza de las cosas».
A esta doctrina pitagórica se la llama, a veces, misticismo numérico, como queriendo indicar la
atribución a los números, no sólo de un carácter sagrado, sino también de una realidad sustancial
descriptiva tanto de los aspectos cualitativos como de los aspectos físicos de las cosas.
Los pitagóricos denominaron Década a los diez primeros números y en la consideración de sus
propiedades místicas y cabalísticas y de sus virtudes mágicas desarrollaron, como se ha dicho,
más allá de la Aritmética, un cierto misticismo numérico, una Aritmología (la palabra número
deriva del término griego «Aritmo») al establecer que cada número poseía sus propios atributos
especiales que le dotaban de ciertas propiedades vitales. Con base en Filolao, Platón –en algunos
de sus Diálogos–, Aristóteles –en su Metafísica–, Alejandro de Afrodisias (comentador de
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Aristóteles), Teón, Porfirio, Jámblico, Sexto Empírico y Nicómaco de Gerasa resumimos estos
atributos de acuerdo con la tabla sintética siguiente:
Señalemos la especial importancia de los números cinco y diez.
Número 5.– Conjunción de los principios masculino y femenino y por tanto símbolo del
matrimonio (2+3=5). También de lo par y lo impar. Número esférico o circular porque sus
potencias terminan en cinco. Menor número cuyo cuadrado es suma de cuadrados (52=32+42),
representación aritmética del triángulo divino. Simboliza los cinco sólidos regulares (tetraedro,
octaedro, cubo, dodecaedro e icosaedro), conocidos más tarde por el nombre de Cuerpos
Platónicos al ser tomados por Platón de los pitagóricos. Representa los cinco planetas entonces
conocidos, así como las cinco zonas geográficas en que Pitágoras había dividido la tierra. Cinco
son los números primos y cinco los números compuestos de la Década.
El número 5 es, además, el centro aritmético de los nueve primeros números 1 4 7
de la década 1,2,3,4,5,6,7,8,9, siendo, asimismo, la media aritmética de sus
equidistantes (1 y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6) según manifiesta el Esquema de 2 5 8
Teón de Esmirna. 3 6 9
El número 5 se corresponde con el pentagrama místico
pitagórico, pentalfa, o estrella de cinco puntas (obtenida al trazar
las diagonales de un pentágono regular o prolongando sus
lados), emblema de la salud y símbolo de identificación de los
pitagóricos como miembros de una comunidad.
Al contener por doquier la divina proporción y el número áureo
–en el pentagrama pitagórico cualquier segmento es sección
áurea del inmediatamente mayor–, y por sus bellísimas
propiedades geométricas de las que nace su simbolismo
místico, esta figura fue uno de los tópicos geométricos más
importantes de la Escuela Pitagórica. Además, es el fundamento del más importante hallazgo
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científico de los pitagóricos –el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables–, una de las
causas de la profunda crisis que arruinó a la cofradía.
De momento digamos que una de las curiosas propiedades del pentagrama, que imponía respeto
a los pitagóricos era su «unicursalidad»:
«la estrella pentagonal puede ser trazada por el movimiento de un punto sin pasar dos
veces por el mismo lado».
Los pitagóricos relacionaban el pentagrama místico con la palabra salud (higieia, de
donde deriva higiene). Aunquela palabra tiene seis letras, a veces se producía una
contracción que hacía desaparecer la primera (como atestiguan algunas inscripciones)
quedando entonces con cinco letras , que se situaban sobre cada uno de los vértices del
pentagrama, que de esta forma se convertía en el anagrama supremo de la salud. Al ser el
pentagrama, a su vez, el símbolo de reconocimiento de los pitagóricos, de aquí podría provenir el
término ¡Salud! como saludo ante el encuentro de dos personas.
Número 10.– Es el más sagrado de todos los números. La alusión a él es un tópico de toda la
literatura pitagórica. Puesto que los cuatro primeros números contienen el secreto de la escala
musical, su suma, el número diez, la década, puede «parecer que abarca», como dice Aristóteles,
«la naturaleza toda del número», sería en sí «algo perfecto», y representa el número del universo,
la suma de todas las posibles dimensiones geométricas. Para Filolao la Década era «grande,
todopoderosa y generadora de todo, comienzo y guía tanto de la vida divina como de la terrestre»
y para Sexto Empírico «la razón de la composición de todas las cosas».
Uno de los párrafos más notables sobre el número diez es de Jámblico, hablando sobre el
opúsculo Los Números Pitagóricos de Speusipo, donde se hace un panegírico del número diez en
funciones meta-aritméticas, simbólicas y teológicas:
«... EL número 10 el más físico y perfecto de los seres, […] artífice, principio, fundamento y
paradigma de todo, presente ante Dios, el hacedor de todo. […] Contiene tanto pares como
impares y es el primero que contiene tantos números primos (1,2,3,5,7) como compuestos
(4,6,8,9,10)».
Quizá en este fragmento tan significativo podríamos encontrar la razón de la similitud fonética, en
algunos idiomas, entre los términos diez y Dios, que en catalán, por ejemplo, se pronuncian
idénticamente, diferenciándoles en la grafía un simple acento (diez: deu, dios: déu).
El número diez, cuya veneración, paradójicamente, no es tributaria de
la anatomía de la mano del hombre, es la quintaesencia del misticismo
pitagórico. Los pitagóricos lo representaban mediante 10 puntos,
piedrecillas o alfas dispuestos bajo la forma de un triángulo equilátero
(es decir, un número poligonal triangular). A este anagrama,
representación visual y geométrica del hecho de que 10=1+2+3+4, le
llamaron la Tetractys de la Década. Tenía, para ellos tanta significación
esotérica como el Pentagrama místico, y su importancia simbólica
deriva de que por él juraban en sus ceremonias más solemnes, sobre
todo en el rito iniciático de incorporación a la comunidad:
«¡Lo juro por Aquel que ha dado a nuestro alma la Tetractys, fuente y raíz de la Naturaleza
eterna!» (Versos Dorados, 47),
juramento referente al secreto sobre el contenido de la enseñanza pitagórica (Porfirio, Vida de
Pitágoras,20, Jámblico, Vida Pitágórica, 38.150, 39.162).
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Clasificaciones y denominaciones pitagóricas de los números
A Pitágoras se debe la primera depuración filosófica o teórica de la Aritmética, es decir la
liberación de la Ciencia del Número de la práctica de artesanos y mercaderes que constituían la
llamada Logística. Los pitagóricos realizaron diversas clasificaciones y acuñaron numerosos
nombres para los diversos tipos de números: pares e impares; múltiplos y divisores; primos y
compuestos; lineales, planos, oblongos, cuadrados, sólidos y cúbicos; poligonales; perfectos,
deficientes y abundantes; amigos, etc.
Pero de acuerdo con su proceder místico, muchas de sus definiciones pitagóricas son bastante
abstrusas (a pesar de nuevas interpretaciones de los matemáticos neopitagóricos y neoplatónicos
e incluso de Aristóteles), de forma que conviene recurrir a los preliminares del Libro VII de Los
Elementos de Euclides, donde se recogen gran parte de ellas, en el lenguaje inteligible y riguroso
característico del gran compilador de la Matemática griega elemental. Aún así, muchas
definiciones euclídeas siguen siendo de una gran complejidad lingüística y bastante farragosa,
debido a las dificultades conceptuales que presenta una aritmética carente de un sistema de
numeración cómodo y claro como el indo-arábigo.
Boecio desarrolla en el siglo V una labor matemática que tiene un valor meramente didáctico,
instaurando el Quadrivium pitagórico (Aritmética, Geometría, Música y Astronomía) como base de
la educación medieval. Boecio sigue fielmente las enseñanzas pitagóricas. Por eso escribe
además una especie de libros de texto sobre cada una de las cuatro ramas del Quadrivium,
empezando por una Aritmética que es un resumen de la Introducción a la Aritmética de Nicómaco,
con alguna aportación sobre los números poligonales y números perfectos y amigos. Estos
manuales fueron muy utilizados en muchas escuelas monásticas medievales y aunque son
muestra de la decadencia de la Matemática de la época tienen el mérito de ser el vehículo de
difusión de una matemática muy precaria y elemental durante parte del Medioevo, con influencia,
a su vez, sobre algunas obras importantes para la época medieval como Las Etimologías de San
Isidoro de Sevilla, cuyo libro III está dedicado a la Matemática.
Con una magnífica carga de
simbolismo, la Aritmética está
representada como una elegante
señora en cuyo vestido exhibe los
primeros términos de dos
progresiones geométricas (1,2,4,8) y
(1,3,9,27). Los griegos llamaron a estas
dos series la Tabla de Lambda y las
disponían en la forma de la letra griega
del mismo nombre , tal como está en
el vestido de la Aritmética en la
ilustración. Platón utiliza estas dos
series para describir en el Timeo (35b–
35c) el alma del mundo. La sucesión
creciente de los siete números enteros
1, 2, 3, 4, 8, 9, 27, contiene la monada,
origen de todos los números, el primer
par y el primer impar (números
lineales), sus cuadrados (números
planos) y sus cubos (números
sólidos), tejiendo un vínculo de
recíproca necesidad entre Aritmética y
Geometría.
Con sendos libros en las manos, la
Aritmética está instruyendo a Boecio –
que calcula con numerales arábigos– y
Representación alegórica de la Aritmética (Margarita a Pitágoras –que se representa
impropiamente con un ábaco–,
Philosophica, G.Reisch. Freiburg, 1503). Pág.352.
queriendo simbolizar la polémica entre
los algoristas y los abacistas de las
escuelas medievales.
7
Los números perfectos y los números amigos
Los pitagóricos definen estos tipos de números en relación con los divisores o partes alícuotas
(término de Nicómaco), incluyendo el uno:
Deficiente: es un número que es menor que la suma de sus partes alícuotas.
Abundante: es un número que es mayor que la suma de sus partes alícuotas.
Perfecto: es un número que es igual que la suma de sus partes alícuotas.
Números amigos: son números en los que cada uno es igual a la suma de los divisores del otro.
Los números perfectos y los números amigos han causado siempre una gran fascinación, por eso
la búsqueda de números perfectos ha desplegado un derroche de tinta matemática desde los
primeros tiempos pitagóricos hasta nuestros días, en los que a pesar de la aplicación de potentes
instrumentos de computación, todavía quedan algunos problemas abiertos en relación con estos
números. Los primeros pitagóricos sólo conocían los números perfectos 6 y 8. Euclides define el
número perfecto en la Definición VII.22 de Los Elementos e idea un método bastante simple para
computar algunos de ellos, que plasma en la Proposición IX.36. Nicómaco relaciona (Introducción
a la Aritmética I.14,15) los cuatro primeros números perfectos 6, 28, 496 y 8128.
Errores y dificultades en el estudio de los números perfectos se mantuvieron durante toda la Edad
Media, debido las deficiencias del precario sistema de numeración utilizado que no facilitaba el
manejo de números muy grandes, más aún sabiendo que los números perfectos crecen muy
rápidamente. Matemáticos de la talla de Fibonacci, Chuquet, Luca Pacioli, Stifel, Recorde, Cataldi,
Mersenne, Fermat y Euler dedicaron a ellos importantes trabajos.
En muchas culturas la relación de un número con la suma de sus divisores propios ha recibido
diversas interpretaciones místicas. Realmente los números perfectos han sido uno de los tópicos
más comunes, y no sólo de la literatura matemática sino también de la religiosa, sobre todo
cristiana y hebrea. Para San Agustín (La ciudad de Dios) el número perfecto 6 (6=1+2+3) tiene un
valor divino porque Dios creó el mundo en seis días. Encontramos numerosas referencia a estos
números tanto en Rabbi ben Ezra como en Boecio y San Isidoro de Sevilla y en otras muchas
obras medievales y renacentistas.
Los números amigos, que han causado tanta o más fascinación que los números perfectos,
literalmente habría que llamarlos números enamorados. Los griegos sólo conocieron el par 220,
284. Jámblico atribuye el descubrimiento de los números amigos al propio Pitágoras,
embelleciendo el relato del mismo con la siguiente anécdota: «Siendo preguntado Pitágoras –
¿qué es un amigo?, contestó –Alter ego. Por analogía aplicó el término amigos a dos números
cuya suma de partes alícuotas es igual al otro».
Los números poligonales
Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un pergamino o piedrecillas en
la arena y los clasificaban según las formas poligonales de estas distribuciones de puntos, es
decir, asociaban los números a figuras geométricas obtenidas por la disposición regular de puntos,
cuya suma determina el número representado. Los números poligonales se van formando como
suma de los términos de ciertas series aritméticas:
Los número triangulares se forman a partir de los números de la serie natural:
1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, ... 1, 3, 6, 10, 15, ...
Los número cuadrados se forman a partir de los números de la serie impar:
1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, 1+3+5+7+9, ... 1, 4, 9, 16, 25, ...
Los números pentagonales se forman a partir de la serie: 1, 4, 7, 10, 13, ...
1, 1+4, 1+4+7, 1+4+7+10, 1+4+7+10+13, ... 1, 5, 12, 22, 35
Los números hexagonales se forman a partir de la serie : 1, 5, 9, 13, 17, ...
1, 1+5, 1+5+9, 1+5+9+13, 1+5+9+13+17, ... 1, 6, 15, 28, 451, ...
Así consecutivamente se van formando los sucesivos números poligonales, los primeros de los
cuales situamos en la tabla siguiente:
8
Los números poligonales aparecieron en
los albores de la escuela pitagórica como
elemento esencial de su misticismo
numérico: «no sólo las cosas son en
esencia números sino que los números
son concebidos como cosas», de modo
que las expresiones «números
triangulares» o «números cuadrados» no
son meras metáforas sino que esos
números son, efectivamente, ante el
espíritu y ante los ojos, triángulos y
cuadrados.
La asociación del número con la imagen
geométrica permitió a los pitagóricos la
representación visual de los números
combinando las dos esencias con que
tiene que ver la Matemática: el número y
la forma, confiriendo a los números
propiedades y relaciones entre ellos que
son completamente independientes de
todo simbolismo introducido para
representarlos, otorgándoles de este
modo un carácter universal e inmutable.
Los números poligonales se van formando continuamente como suma de los términos de
progresiones aritméticas cuyo primer término es 1 y las razones sucesivas 1, 2, 3, 4, ..., de
manera que fácilmente se pueden hallar las leyes de formación. Llamando Pr(n) al n–ésimo
número r–gonal (r3), el n–ésimo número de la serie que lo engendra será:
1 1 (n 1)·(r 2) 2 (n 1)·(r 2) · n
1+(n–1) · (r–2), de modo que Pr (n) = · n
2 2
La expresión de los seis primeros números poligonales queda resumida en la tabla adjunta:
Triangulares Cuadrados Pentagonales Hexagonales
2
[n(n+1)]/2 1,3,6,10 n 1,4,9,16 [n(3n–1)]/2 1,5,12,22 n(2n–1) 1,6,15,28
La polifiguración numérica llevaba a extender conceptos de la Aritmética como generalización de
la experiencia práctica, desarrollando un atomismo numérico bellamente ilustrado en una
geometría de números figurados, que estando en el corazón de la Aritmética, constituyen la matriz
de la ulterior Teoría de Números, ya que la representación geométrico-visual de los números
poligonales permitía el descubrimiento de forma geométrico-empírica, casi corpórea, de
importantes propiedades de los números y la obtención de interesantes relaciones entre ellos, que
para nosotros resultan, de simples comprobaciones aritméticas o demostraciones por inducción.
Así por ejemplo, podemos exhibir la formación recurrente de los números triangulares T(n):
n·(n 1)
T(n) ,
2
T(n) =T(n–1)+n, T(1)=1,
n·(n 1) (n 1)·n
n.
2 2
9
También la formación de los números cuadrados C(n) y su relación con los números impares:
1+3=22, 1+3+5=22+5=32, 1+3+5+7=32+7=42, 1+3+5+7+9=42+9=52,
C(n) = C(n–1) + (2n–1), C(1)=1, es decir: n2 = (n–1)2 + (2n–1).
Veamos ahora la relación entre los números triangulares y los poligonales de tipo superior. En
concreto veremos que los número cuadrados, pentagonales y hexagonales, que escribimos en la
forma C(n), P(n) y H(n), están compuestos de números triangulares T(n), pudiéndose obtener, de
esta forma, sus leyes recurrentes de formación, como manifiestan los gráficos siguientes:
C(n) = T(n) + T(n–1) (Teorema de Teón de Esmirna),
n·(n 1) (n 1)·n
C(n) n2 .
2 2
P(n) = P(n–1) + (3n–2), P(1)=1,
P(n) = T(n) + 2 T(n–1),
n·(n 1) (n 1)·n n·(3n 1)
P(n) 2 .
2 2 2
H(n) = H(n–1) + (4n–3), H(1)=1,
H(n) = T(n) + 3 T(n–1),
n·(n 1) (n 1)·n
H(n) 3 n·(2n 1).
2 2
Poligonal Gnomon Recurrencia Descomp. triangular
T(n) n T(n) = T(n–1) + n
C(n) 2n–1 C(n) = C(n–1) + (2n–1) C(n) = T(n) + T(n–1)
P(n) 3n–2 P(n) = P(n–1) + (3n–2) P(n) = T(n) + 2T(n–1)
H(n) 4n–3 H(n) = H(n–1) + (4n–3) H(n) =T(n) + 3T(n–1)
········ ········ ········ ········
Pr(n) (r–2)(n–1)+1 Pr(n) = Pr(n–1) + (r–2)(n–1)+1 Pr(n) = T(n) + (r–3) T(n–1)
La descomposición triangular es el Teorema de Bachet de Meziriac:
Todo número poligonal de tipo r es la suma de un número triangular del mismo orden y
r–3 números triangulares de orden previo.
10
Los números poligonales han sido uno de los tópicos pitagóricos más habituales tratado a lo largo de
los siglos. Nicómaco hizo un estudio sistemático de los primeros números poligonales en el Libro II de
su Introducción a la Aritmética, pero el texto más acabado se debe a Diofanto de Alejandría en su
tratado sobre los números poligonales, que aparece como apéndice de su famosa obra La Aritmética, y
en el que el tema adquiere carácter verdaderamente científico de modo que la simple generalización
empírica pitagórica de la verificación aritmético–visual es reemplazada por proposiciones
rigurosamente demostradas casi al estilo euclídeo.
Los números poligonales forman parte de las raíces históricas
de la Teoría de Números, apareciendo en numerosos ámbitos.
Por ejemplo, los números triangulares aparecen en el
Triángulo de Pascal (y por tanto también los hexagonales que
se obtienen alternadamente de la lista de triangulares), como
observamos en la figura.
Los números poligonales juegan un papel importante en el
Análisis combinatorio, intervienen en el Binomio de Newton
(Fermat) y en el Cálculo de Probabilidades (Pascal) y fueron
ampliamente utilizados por Fermat, Pascal, Wallis y Roberval
1
para la obtención de sus resultados sobre cuadraturas .
Fermat utiliza resultados sobre números poligonales para establecer en una carta que envía al
Padre Mersenne en septiembre de 1636 la fórmula siguiente:
i n
i(i 1) ··· (i k-1) n(n 1)(n 2)···(n k)
i1 k!
(k 1)!
,
de donde obtiene una fórmula recurrente para el cálculo de la suma de potencias de enteros en
función de la suma de potencias inferiores que la permiten establecer resultados equivalentes al
límite:
1k 2k ··· nk 1
Lím k 1
,
n n k 1
a a k 1
a partir del cual se derivan los valores de la cuadratura básica: 0
x k dx
k 1
.
La fascinación por los números poligonales ha llegado hasta el paroxismo en la consideración de
los que tienen los dígitos repetidos, por ejemplo:P5(4)=22, P12(3)=33, P3(10)=55, P6(6)=66.
Entre ellos ha gozado de especial admiración en la llamada Aritmética
Sagrada el misterioso número P3(36)=666, llamado «Bestia de la
Revelación», dotado de curiosas propiedades aritméticas y místicas
que se han utilizado en la exégesis de las Sagradas Escrituras.
Algunos lo han identificado con el Anticristo e incluso con los nombres
de Nerón y Lutero. A él se hace referencia en El Apocalipsis de San
Juan (XIII.18):
«El que tenga inteligencia calcule el número de la Bestia, un número
de hombre. Su número es 666».
En la actualidad el estudio de los números poligonales ha alcanzado un valor práctico en una
incipiente aplicación criptográfica a la seguridad en las comunicaciones.
Como en otros muchos temas los números poligonales que nacieron en el ámbito del primigenio
misticismo pitagórico han proseguido un desarrollo histórico en el que han intervenido lo mágico,
lo místico y lo científico como rasgos de fidelidad a las esencias del sumo maestro Pitágoras que
en este terreno también se sitúa en el umbral del pensamiento aritmético.
1
Para una visión exhaustiva de estas cuestiones consúltese la obra del autor de este estudio: Las raíces del Cálculo
Infinitesimal en el siglo XVII, Alianza Universidad, Madrid, 1992. Caps. 2.5, 2.8.
11
FÍSICA Y METAFÍSICA DEL NÚMERO
La Cosmología pitagórica
La veneración hacia el número diez tiene para los pitagóricos una implicación cosmológica
transcendental en su doctrina acerca de la configuración del universo, al ser la inspiradora del
primer sistema astronómico no geocéntrico. Según Aristóteles (Metafísica, 986,a):
«... Como creen [los pitagóricos] que la década es perfecta y que abarca la naturaleza
entera de los números, afirman que también los cuerpos que se mueven en torno de los
cielos son diez, pero al ser nueve solamente los visibles, se inventan, por esta razón, el
décimo, la anti-tierra,... ».
Aristóteles desarrolla estas ideas más ampliamente en su obra De Caelo (293a):
«La mayoría de los pueblos dicen que la tierra está situada en el centro del universo,..., pero
los filósofos pitagóricos sostienen lo contrario. Dicen que en el centro está el fuego y que la
tierra es uno de los astros que, al moverse circularmente en torno al centro, da lugar al día y
a la noche,...».
He aquí el rasgo más importante de la cosmología pitagórica, el haber desplazado a la tierra del
centro del universo, ya que supone un heroico salto de imaginación científica ponderado
sobremanera por Platón. No es exactamente una anticipación de la teoría heliocéntrica, pero
algunos estudiosos de la Historia de la Cosmología lo consideran de rango superior en
importancia a la identificación del fuego central con el sol.
Así pues, en el sistema cosmológico pitagórico, el carácter sagrado de la Década establece que la
perfección del Cosmos obliga a que el número de cuerpos en órbita debe llegar a la perfección
numérica de la Década y como los cinco planetas conocidos, la luna, el sol, la esfera de las
estrellas fijas y la propia tierra (que se movía circularmente también alrededor de una especie de
corazón inmóvil de fuego, el fuego central, situado en el centro del universo) suman nueve,
añadieron en su doctrina («de modo que toda su teoría fuera coherente», como dice Aristóteles) lo
que llamaron la anti-tierra, que supusieron que estaba hacia el interior, alineada con la tierra y con
el fuego central y con el mismo período de revolución diaria que la tierra.
El sistema postulaba, ante todo, la existencia de una anti-tierra, en equilibrio con la tierra y de un
fuego central, núcleo ígneo de un universo circular y finito, considerado con temor religioso,
dotado de atributos divinos y honrado poéticamente con el título de «Corazón del Universo» y
«Trono de Zeus».
Representación de la Cosmología
pitagórica resultado de la veneración hacia
la Década. Nueve cuerpos celestes (la
tierra, la antitierra, la luna, el sol y los
cinco planetas conocidos giran) en órbitas
circulares concéntricas en torno al fuego
central, «Trono de Zeus», situado en el
centro del universo. Con la Esfera de las
estrellas fijas se alcanza el valor diez de la
Tetractys, emblema sagrado de los
pitagóricos.
El sol no era el centro del cosmos, ni era el creador de su propio calor y fuego, sino que era una
especie de cristal reflector que recogía la luz y el calor del fuego central, en torno al cual giraba
12
con un período de un año. Las estrellas fijas permanecían estacionarias, mientras que la tierra
mantenía, durante su movimiento, el mismo hemisferio deshabitado hacia el fuego central de
modo que sus habitantes no podían ver jamás ni el fuego central ni la anti-tierra.
No se ha de ver la doctrina cosmológica pitagórica como una mera fantasía llena de arbitrariedad.
De hecho el sistema proporcionaba una explicación plausible de los eclipses. La raíz de la
cosmología de Pitágoras, como de casi todas las especulaciones de los pitagóricos, estriba en
que en sus mentes ocupa siempre el primer lugar la necesidad inalienable de la conservación de
la armonía matemática que debe presidir, con finalidad religiosa, toda elucubración hacia el
descubrimiento del perfecto Cosmos como mundo ordenado por el número, a fin de reproducir
este orden y armonía en la propia alma. Pero el hecho de que la motivación última fuera de
carácter religioso, no resta valor científico a la mayor parte de su pensamiento.
Es muy digno de resaltar, en este campo, la originalidad de la teoría pitagórica. Para Tales y otros
filósofos presocráticos como Anaxímenes, Heráclito, Parménides y Empédocles la tierra estaba
ciertamente en reposo en el centro del universo esférico y más tarde Eudoxo y por supuesto
Aristóteles volvieron a situar con firmeza la tierra en el centro, del que no se movería hasta los
primeros balbuceos heliocéntricos de Aristarco. Para pensadores de la talla de Giordano Bruno el
giro copernicano no sería una novedad sino la restauración de la antigua Cosmología pitagórica.
El fundamento aritmético de armonía musical
Profundo entendido en el arte musical, Pitágoras conocía la acción benéfica de la música y aplicó los
tonos musicales al tratamiento de enfermedades físicas y psíquicas, componiendo melodías capaces
de neutralizar depresiones, arrebatos de cólera y todo tipo de alteraciones emocionales, de ahí su
fama de milagrero.
Pitágoras estudió, quizá por primera vez en la historia, las primeras leyes cuantitativas de la Acústica,
que le conducirían a ser el primero que encontró una correlación entre los sonidos consonantes o
armónicos (es decir, aquellos cuya manifestación simultánea origina una sensación agradable en
nuestro oído: el tono, la octava, la quinta y la cuarta) y los números, inaugurando una teoría
matemática de la música.
Básicamente Pitágoras puso de manifiesto de forma experimental dos hechos:
El sonido producido por la pulsación de una cuerda depende de la longitud de la cuerda.
Los sonidos armónicos están dados por cuerdas igualmente tensas cuyas longitudes están según
ciertas razones entre números enteros.
Sobre las circunstancias en que debió tener lugar el descubrimiento han corrido leyendas o historias
más o menos apócrifas relatadas por Nicómaco, Gaudencio, Porfirio, Diógenes Laercio, Teón de
Esmirna, Jámblico, Boecio y otros pitagóricos, que en este tema priorizan la actuación empírica sobre
el idealismo místico. Sinteticemos las experiencias pitagóricas sobre el fundamento matemático de la
música en dos de ellas a través de un fragmento del texto de Teón:
«... unos obtienen las relaciones numéricas de los sonidos consonantes mediante pesos, otros
mediante longitudes ...».
Se cuenta que el azar hizo que pasara Pitágoras por delante de un taller donde unos herreros
golpeaban en el yunque. Pitágoras se detuvo ante el sonido cadencioso de los martillos,
observando que el tono melodioso de tres de ellos era alterado por la disonancia de un cuarto.
Sorprendido por el fenómeno, pidió prestados los martillos para realizar una experiencia científica,
la primera de la que la Historia haya dado cuenta. Pesó cuidadosamente los martillos y los colgó
de cuatro cuerdas de modo que al quedar tirantes tuviesen la misma longitud. Haciendo vibrar las
cuerdas apreció que los sonidos que emitían correspondían a los que daban los martillos al
golpear en el yunque. Aplicando un trozo de arcilla al martillo que producía la disonancia puso la
nota emitida por la cuerda correspondiente en armonía con las otras. Como conocía los pesos de
los martillos (que eran proporcionales a 12, 9, 8 y 6) dedujo la ley aritmética que rige los intervalos
musicales: el martillo cuyo peso era como 12 producía el tono, el de peso como 9 la cuarta, el de
peso como 8 la quinta, y el de peso como 6 la octava, estableciendo la proporción: 12/9=8/6, que,
según Jámblico,
13
«se llama musical porque contiene las relaciones musicales de los sonidos armónicos».
Como buen científico experimental, Pitágoras repitió la experiencia empleando en vez de cuerdas de
igual longitud y pesos distintos, pesos iguales para tensar cuerdas de distinta longitud, observando que
las que daban el tono, la cuarta, la quinta y la octava tenían longitudes proporcionales a 12, 9, 8 y 6, es
decir, el mismo resultado que el anterior.
La experiencia del relato apócrifo de los herreros querría indicar que Pitágoras no era un simple
místico religioso al estilo oriental, sino también uno de los artífices de la revolución científica de los
filósofos físicos jónicos.
A Pitágoras se la atribuye la invención del monocordio (Diógenes Laercio, VIII.12), que más que un
instrumento musical es un aparato científico, con el que mediante una experiencia mucho más
verosímil que la de los martillos es plausible que Pitágoras encontrara la correlación entre ciertos
intervalos musicales y los primeros números enteros. El artilugio consistía en una simple cuerda
musical de longitud proporcional a 12 tendida sobre una tabla, con una clavija o puente móvil
deslizable entre cuerda y tabla, para obtener cuerdas de diversa longitud, en particular las
proporcionales a 9, 8 y 6, manteniendo en tensión los dos trozos en que el puente móvil dividía a la
cuerda, permitiendo, además, que uno de ellos pudiera vibrar independientemente del otro. Al pulsar la
cuerda completa se producía un sonido que Pitágoras tomo como primario, el tono. Moviendo el
puente y pulsando las cuerdas resultantes proporcionales a 9, 8 y 6, se producían, respectivamente la
cuarta, la quinta y la octava (que los griegos llamaban diatesseron, diapente y diapason). Los sonidos
producidos mediante otras posiciones del puente móvil resultaban discordes, o al menos no tan
acordes como los anteriores.
1/2 Octava (Diapason)
2/3 Quinta (Diapente)
3/4 Cuarta (Diatessaron)
Recreación del monocordio diseñado por Pitágoras para
investigar la relación entre los sonidos musicales y
ciertas razones entre números enteros 1/1 Tono
Y puesto que las razones entre los números 12, 9, 8 y 6 son iguales a las que hay entre 1, 3/4, 2/3 y
1/2, que son las más sencillas que se pueden formar con los números de la sagrada Tetractys, 1, 2, 3 y
4, Pitágoras dedujo que ésta es «la fuente y raíz de la Naturaleza eterna» como dicen los Versos
Dorados. Como en tanto aspectos pitagóricos los números de la Tetractys eran la piedra angular de la
armonía musical. Mediante una mística extrapolación la Tetractys sería la fuente del conocimiento de
las raíces de la armonía del Cosmos divino, alcanzable a través del número.
El descubrimiento pitagórico revelaría que el Cosmos (orden y belleza) se imponía sobre la disposición
caótica del sonido mediante los cuatro primeros números de la Tetractys. Y ello mediante la feliz idea
pitagórica de interrogar a la naturaleza, inaugurando algo nuevo en la Historia del Pensamiento: el
método experimental. Por primera vez en los anales de la Historia se registra la idea de construir un
aparato con el propósito de obligar a la naturaleza a responder a una cuestión concreta: ¿cuál es la
relación precisa, si es que existe, entre la armonía musical y los números? No es extraño que
Pitágoras quedara entusiasmado con un hallazgo sin precedentes: «el número gobierna el tono
musical», pionero en las ideas de reducir la cualidad (sonido) a la cantidad (longitud y razón) y de
expresar en fórmulas matemáticas las leyes de la naturaleza. ¿Quién podría imaginar que el espacio,
el número y el sonido se combinaban en una correlación armoniosa? La Aritmética y la Geometría
entraban en una comunión divina con la armonía musical que es patrimonio de la Estética y en ultima
instancia aparecía la matriz de la filosofía pitagórica: «el número es la esencia de todas las cosas». Si
en el número está la clave del tono musical en él residirá también la clave de toda la naturaleza.
14
Las proporciones musicales en la Escuela de Atenas de Rafael
Las proporciones musicales
pitagóricas. Fragmento de la
Escuela de Atenas de Rafael.
El fundamento matemático de
la armonía musical se
representa en la tablilla
sostenida por un joven
discípulo de Pitágoras.
En la parte superior de las
cuerdas de la lira aparecen con
tipografía romana los números
6, 8, 9, 12, de las proporciones
musicales. Las consonancias
musicales se denominan de
forma literal y numérica:
diatéssaron (6/8, 9/12); diapente
(6/9 y 8/12); diapasón (6/12).
Además, en la parte inferior del
diagrama de Rafael aparece el
número 10 bajo la forma de la
sagrada Tetractys como
emblema pitagórico que
resume las razones musicales.
15
Las investigaciones de Pitágoras sobre la música constituyen las primeras leyes matemáticas
completamente generales aplicadas a desvelar los misterios de la naturaleza, el primer intento en
la tradición occidental de reducir las leyes de la física a relaciones matemáticas, el primer paso
hacia la matematización de la experiencia humana. En este aspecto, como artífice del gran salto
cualitativo que supone en la Historia de la Ciencia la aplicación de la dualidad experiencia y razón
debemos situar a Pitágoras en el umbral del Pensamiento de Occidente.
Medias pitagóricas y proporciones musicales
La teoría musical de Pitágoras tiene que ver también con la Teoría de las medias de raíz
pitagórica. Así lo señala el pitagórico Arquitas: «En música hay tres medias: la media aritmética, la
media geométrica y la subcontraria, llamada también armónica».
Los pitagóricos establecieron a partir de la consideración de dos números a y b, toda una serie de
medias y proporciones que se vinculan con el descubrimiento musical de Pitágoras, y que en el
curso de los siglos tendrán una incidencia decisiva en la conformación de ciertas proporciones en
la Pintura y en la Arquitectura, las llamadas consonancias musicales en el Arte.
Dados dos números a y b, se definen las medias aritmética, m, armónica, h, y geométrica, g, de la
forma siguiente:
a b 1 11 1 g b a h g h
m , , , verificándose que : , .
2 h 2a b a g m b m g
Estas relaciones son verificadas por las proporciones musicales que se derivan de la cuaterna de
números 12, 9, 8, 6 del experimento pitagórico sobre el monocordio:
12 6 1 1 1 1 12 8
9 , , .
2 8 2 12 6 9 6
F. Gafurio: Ilustraciones de Theorica
Musicae (1492) alusivas a las
experiencias de Pitágoras sobre el
fundamento matemático de la armonía
musical.
En la primera Tubalcain, el patriarca
bíblico de la música, contempla el
efecto musical de los martillos sobre el
yunque de los herreros.
En las siguientes Pitágoras
experimenta con campanas, vasos de
agua, cuerdas tensadas por pesas y
flautas.
En todos los casos los objetos
utilizados para producir los sonidos
llevan impresos las cifras 4, 8, 9, 12 y
16, ilustrando el tamaño de estos
objetos (martillos, campanas, líquidos,
pesas y flautas) dichas proporciones.
Tras estas experiencias, para Pitágoras
y sus epígonos, la Música que es
patrimonio de la Estética y del Arte se
convertía en una rama de las
Matemáticas.
16
La armonía de las esferas
Aristóteles describe de forma crítica en De Caelo (290 b y sigs) la concepción pitagórica sobre la
Música de las Esferas. Según los pitagóricos, la concordancia de las proporciones aritméticas y
musicales determinan que los cuerpos celestes, que giran sin tregua en órbitas circulares, emiten
en sus movimientos unos tonos musicales armoniosos cuya combinación produce una maravillosa
melodía permanente: «La Música de las Esferas». El sonido emitido por cada esfera corresponde
a un tono diferente de la escala musical, dependiendo de los radios de sus órbitas como los tonos
musicales emitidos por las cuerdas dependen de su longitud
La Música de las Esferas gobierna los ciclos temporales de las estaciones, los ciclos biológicos y
todos los ritmos de la naturaleza e incide sobre la necesaria armonía interna del hombre consigo
mismo y su entorno de acuerdo con el orden natural de las cosas, que emana de Dios,
conscientemente melómano y supremo ordenador cósmico a través del maravilloso poder de la
armonía matemática y musical, metáfora del orden universal.
Según cuentan Porfirio (Vida de Pitágoras, 30-31) y Jámblico (Vida de Pitágoras 64-66) en un
pasaje que toman de Nicómaco:
«Pitágoras dirigía su oído y su espíritu hacia las sublimes consonancias del cosmos gracias
a una inefable capacidad divina difícil de imaginar. Con ello oía y entendía él solo, según
explicaba, toda la armonía y el concierto de las esferas y los astros que en él se mueven».
La doctrina de la armonía de las esferas prendió en la imaginación de escritores y artistas. Platón,
Plinio, Ptolomeo, Cicerón, Plotino, Boecio y San Isidoro (Etimologías,III.15) y otros muchos,
aluden frecuentemente a la música de las esferas. De acuerdo con Filón de Alejandría, la música
cósmica habría presidido la entrega a Moisés de las tablas de la ley en el monte Sinaí; San
Agustín cree que en el momento de la muerte es a través de la música cósmica que se revela al
hombre el misterio del cosmos
Trasmitida a la Europa medieval, la doctrina donde encuentra su más gloriosa expresión en la
arquitectura de la grandes abadías cistercienses y catedrales góticas diseñadas según las
proporciones de la armonía aritmética, geométrica y musical, lo que según explicaban los artistas
del Renacimiento (L.B.Alberti, Palladio, Durero, ...) producía la sensación de que aunque Dios está
en todas partes «en estos lugares la plegaria es más efectiva». La paz y la armonía interior que se
siente son el reflejo de la armonía cósmica pitagórica que rige el universo construido y sostenido
por las armonías matemáticas que el Arquitecto Supremo suministra en forma de proporciones
aritméticas y geométricas. Y la música que reverbera en el interior de las catedrales es el eco de
la música de las esferas que inspira a los científicos, artistas y poetas.
La idea pitagórica de la Música de las Esferas no deja de ser una especulación fantástica que hoy
«nos suena a música celestial», pero tanto Kepler como Newton le escribieron pentagrama y
Einstein fugas y límites. Kepler fue de tal modo seducido por la armonía de las esferas, que estuvo
durante años dándole vueltas al estudio de la aritmética y la música pitagóricas, como artífices del
esplendor cósmico, antes de alcanzar el descubrimiento de las leyes que son el fundamento de la
astronomía moderna. Según Kepler, el movimiento de los planetas debe estar regido por
relaciones numéricas sencillas, intuiciones que tras una laboriosa investigación plasmará en su
famosa obra Harmonices Mundi, de 1619, una especie de Cantar de los Cantares matemático
dedicado al «gran armonista de la creación».
En la Literatura, la doctrina de la armonía de las esferas inspira a Shakespeare (El Rey Lear), Fray
Luis de León (Oda a Salinas), Antonio Machado (poema VII de Soledades) y otros muchos poetas.
Y como es natural su influencia ha sido habitual sobre la música sinfónica, de modo que la crítica
musical ha querido ver reminiscencias pitagóricas en algunas composiciones como La Creación
de Haydn, Así habló Zaratustra de R.Strauss, La Consagración de la Primavera de Stravinski, y
desde luego en Heaven and Hell y Spiral de Vangelis y algunas piezas de Mike Oldfield.
En su famosa serie de televisión Cosmos, el profesor C.Sagan desarrolló de forma didáctica y
apasionante una divulgación de la Historia de la Ciencia. En el Capítulo III «La armonía de los
mundos» describe la influencia mística de la doctrina pitagórica de la armonía de las esferas
sobre los primeros balbuceos de la Astrofísica con Kepler.
17
La aparición de las magnitudes Inconmensurables
La idea de que dos magnitudes, y más concretamente dos segmentos, tienen siempre una parte
alícuota común, es decir que son conmensurables, es sin duda una etapa primigenia inevitable en
el desarrollo del pensamiento matemático tanto en el horizonte histórico como en el escolar y por
supuesto en el ámbito artesanal por necesidades de la medida siempre aproximada de longitudes.
La grandeza sublime del Teorema de Pitágoras –aplicado a la diagonal y el lado de un cuadrado–
y la mágica belleza del Pentagrama místico pitagórico –generador de la sección áurea como razón
entre la diagonal y el lado del pentágono regular– fueron dos de los tópicos más relevantes de la
escuela pitagórica, pero se convirtieron en dos caballos de Troya para la Geometría griega,
porque llevaban en su interior el germen de la profunda crisis de la comunidad pitagórica donde
aparecieron.
Los Diálogos de Platón informan que la comunidad matemática griega se vio gravemente
sofocada por un descubrimiento que prácticamente demolía la base de la fe pitagórica en los
números enteros. Los Pitagóricos, que, como filósofos presocráticos, habían considerado como
núcleo dogmático de su Filosofía que «los números son la esencia del universo», encuentran que
las consecuencias de su principal teorema –llamado de Pitágoras– atentan contra los
fundamentos de su doctrina, que les había llevado a establecer un paralelismo entre el concepto
numérico y la representación geométrica. En efecto, el cuadrado que es una de las figuras
geométricas más simples, proporciona un terrible ente geométrico, en el que hay un segmento, la
diagonal, que no es conmensurable con otro segmento, el lado –no hay un submúltiplo de ambos,
la diagonal y el lado, que pueda tomarse como unidad, para medir a ambos segmentos–.
Igualmente sucede en el pentágono regular tan emblemático para los pitagóricos –la diagonal y el
lado del pentágono son segmentos que no pueden ser medidos por una unidad común–. La
creencia de que los números podían medirlo todo era una simple ilusión. Así quedaba eliminada
de la Geometría la posibilidad de medir siempre con exactitud. Se había descubierto la magnitud
inconmensurable que se le llama irracional porque no se puede expresar como razón de dos
enteros, pero sobre todo porque como algo ininteligible, está fuera del Logos, es –alogon–, es
decir, representa la sinrazón.
El gran historiador de la Matemática Howard Eves, en su obra en dos volúmenes Great Moments
in Mathematics (The math. Assoc. of America, Maine,1977) dedica al tema de los
inconmensurables dos capítulos que titula Lecture Five. Precipitation of the first crisis y Lecture
six. Resolution of the first crisis. H.Eves escribe (vol.1, p.53):
El descubrimiento de números irracionales y magnitudes inconmensurables provocó una
considerable consternación en las filas pitagóricas al dar un golpe mortal a su Filosofía que
dependía de los números enteros. [...] ¿Cómo puede ser que el número 2 dependa de
números enteros y no pueda expresarse como razón de dos de ellos? El sentido común y la
intuición resultan contrariados por la contrapartida geométrica del hallazgo: –existen
segmentos que no pueden ser medidos por una unidad común–. Pero toda la teoría de la
proporción pitagórica y de figuras semejantes se basaba en esta presunta obvia asunción,
de modo que una extensa parte de la geometría pitagórica quedaba invalidada de repente.
Se precipitó una seria crisis de fundamentos en la Matemática. Tan grave fue el escándalo
lógico que se desplegaron enormes esfuerzos por mantener el asunto en secreto y una
terrible leyenda emergió sobre el que lo reveló a los extraños, el pitagórico Hipasos de
Metaponto, que, según unos, pereció en el mar por impiedad, y, según otros, fue desterrado
de la comunidad pitagórica y se le erigió una tumba como si hubiera muerto.».
Efectivamente, la sacudida que la aparición del nuevo ente provocó en la Matemática griega
puede calibrarse por la leyenda que relata un viejo escolio (atribuido al filósofo neo-platonico
Proclo) del Libro X de Los Elementos de Euclides:
«Es fama que el primero en dar al dominio público la teoría de los irracionales, perecería en
un naufragio, y ello porque lo inexpresable e inimaginable debería siempre haber
permanecido oculto. En consecuencia, el culpable, que fortuitamente tocó y reveló este
aspecto de las cosas vivientes, fue trasladado a su lugar de origen, donde es flagelado a
perpetuidad por las olas.»
18
La lectura de estos textos, por muy legendarios que sean –como casi todo lo concerniente a lo
pitagórico–, producen un escalofrío místico: la divulgación del fenómeno de la
inconmensurabilidad se consideraba un pecado contra lo más sagrado –un grave sacrilegio–, un
delito de lesa geometría, acreedor al más terrible castigo divino –ser conducido al lugar de origen,
es decir, a la nada, ser desposeído del ser–.
O.Spengler escribe en su obra La decadencia de Occidente (Cap.I.1. El sentido de los números.
Austral, Madrid, 1998, p.152):
«Para el alma antigua el principio de lo irracional, esto es, la destrucción de la serie
estatuaria de los números enteros, representantes de un orden perfecto del mundo, fue
como un criminal atentado a la divinidad misma. [...]. La transformación de la serie
discontinua de los números en una serie continua, pone en cuestión no sólo el concepto
«antiguo» del número, sino hasta el concepto del mundo antiguo.»
Las circunstancias concretas que rodearon el primer reconocimiento de la existencia de los
inconmensurables son tan desconocidas como la fecha en que tuvo lugar el descubrimiento. Los
análisis de las escasas fuentes históricas de la Geometría griega dieron lugar en la antigüedad a
leyendas como las relatadas por Proclo, y en el pasado siglo los historiadores P.Tannery,
H.G.Zeuthen, T.Heath, B.L.van der Waerden, S.Maracchia, W.Knorr, C.Eggers, R.Mondolfo, K.
von Fritz, C.Boyer, y otros, han establecido diversas teorías polémicas y cronologías al respecto.
Aunque Proclo –en sus Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides–, atribuye al propio
Pitágoras la cuestión inconmensurable cuando escribe que este filósofo «descubrió la dificultad de
los números irracionales», suele admitirse que el hallazgo apareció hacia el año 480 a.C. por el
pitagórico Hipasos de Metaponto. El descubrimiento pudo tener lugar al intentar reiteradamente de
forma empírica encontrar una unidad que permitiera medir, de manera exacta, simultáneamente la
diagonal y el lado del cuadrado –equivalentemente la hipotenusa y un cateto de un triángulo
rectángulo isósceles– o bien la diagonal y el lado de un pentágono regular. Tras la publicación del
artículo de Kurt von FRITZ, The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum
(Annals of Mathematics, 46, 242-64, 1945), parece imponerse la hipótesis del pentágono.
1
2
1
1
= (1+ 5 )/2
Según Teorema de Pitágoras (Euclides, I.47) en un cuadrado de lado 1 la diagonal es 2 .
Según Euclides, XIII.8: «las diagonales de un pentágono se cortan en proporción áurea
siendo el segmento mayor igual al lado de pentágono.»
Si el descubrimiento de la inconmensurabilidad hubiera sido a través de la diagonal del
cuadrado, sería 2 la primigenia magnitud inconmensurable, mientras que, si hubiera sido a
través de la sección áurea entre diagonal y lado del pentágono regular habría sido 5 .
La consideración del cuadrado y el pentágono de lado la unidad y sus diagonales, conduce a que haya
que concebir los entes 2 y 5 geométricamente inteligibles, de lo contrario habría que poner en
entredicho el Teorema de Pitágoras y las propiedades de la Divina Proporción, que son dos tópicos
geométricos fundamentales del Pitagorismo, base de multitud de teoremas geométricos. Pero los
pitagóricos no conocían más números que los enteros y racionales, que tan bien explicaban su
cosmología y el fundamento aritmético de la Música, lo que les impedía concebir otro tipo de número.
Por tanto el carácter irracional de 2 y 5 es un desafío lanzado por la naturaleza a la Aritmética que
refuta la creencia pitagórica en la omnipotencia de los números, poniendo entredicho las sagradas
concepciones pitagóricas.
19
El descubrimiento de la inconmensurabilidad marca un hito en la Historia de la Geometría, porque
no es algo empírico, sino puramente teórico y acarrea un trastorno lógico que estremece los
cimientos de la Geometría griega ya que al invalidar todas las pruebas pitagóricas de los teoremas
que utilizaban proporciones, provoca la primera crisis de fundamentos en la Historia de la
Matemática. El fenómeno marcó una inflexión radical en la evolución histórica de la Matemática
griega, ya que puso fin al sueño filosófico pitagórico acerca del número como esencia del
universo, instaló el «horror al infinito» en la mente helénica, abrió el abismo entre lo discreto y lo
continuo, entre lo finito y lo infinito, eliminó de la Geometría la posibilidad de medir siempre con
exactitud, privilegió la Geometría sobre la Aritmética y fue lo que imprimió a la Matemática griega
un cambio de rumbo que la convertiría en la obra de ingeniería geométrico-deductiva plasmada en
compilación enciclopédica Los Elementos de Euclides.
La mayor contribución de la Academia platónica en el tema de los inconmensurables, y una de las
más importantes en la Matemática en general, fue la brillante solución que le dio Eudoxo –el más
importante de sus matemáticos– a la correspondiente crisis de fundamentos, con la Teoría de la
Proporción que pasó al Libro V de Los Elementos de Euclides, uno de los más importantes, sin
duda, de toda la obra euclídea. A partir del descubrimiento de los inconmensurables las
magnitudes geométricas ya no podían ser medidas mediante números debido a su carácter
continuo. Al introducir la idea de «tan pequeño como se quiera», antecedente de nuestro proceso
de «paso al límite», Eudoxo encuentra una escapatoria a los problemas planteados por el infinito y
lo inconmensurable, mediante un recurso que desarrolla en tres estadios: una definición –igualdad
de razones, Euclides, Definición V.5–, un axioma –de Eudoxo-Arquímedes o axioma de
continuidad, Euclides Definición V.4– y un método –el Método de Exhaución, Euclides,
Proposición X.1–. El trabajo de Eudoxo ha sido uno de los más influyentes en la Historia de la
Matemática. Por una parte, su definición de igualdad de razones –que guarda una gran similitud
con las cortaduras que utilizó Dedekind en el siglo XIX para la fundamentación del conjunto de los
números reales–, permitió salvaguardar el legado pitagórico mediante la reconstrucción de las
pruebas de los teorema pitagóricos que involucraban proporciones, y por otra, su método de
exhaución se convirtió en un instrumento fundamental en la Geometría griega para la resolución
de los problemas infinitesimales de cuadraturas y cubaturas, que al emplear un sistema indirecto
de prueba, no requiere un proceso explícito de de paso al límite.
Resumimos, a continuación muy brevemente la incidencia histórica del descubrimiento pitagórico
de los inconmensurables y de la solución de Eudoxo, de la Academia platónica, a la consiguiente
crisis de fundamentos de la Matemática griega que se resuelve en Los Elementos de Euclides:
Énfasis en el rigor como supremo valor de la Matemática.
Consolidación de la demostración como uno de los componentes del milagro griego en
Matemáticas.
Geometría al margen de la Aritmética y del Álgebra.
Conversión de toda la Matemática griega en Geometría.
Limitación operacional que impide asignar a las figuras geométricas números que midan sus
longitudes, áreas y volúmenes.
Álgebra Geométrica. Aplicación de las áreas (Libro II de Los Elementos de Euclides).
Compilación de la Geometría griega elemental en Los Elementos de Euclides.
Teoría de la Proporción de Eudoxo (Libros V, VI de Los Elementos de Euclides).
Inauguración en el mundo griego de los problemas infinitesimales.
Aparición de la idea de «tan pequeño como se quiera» del método de exhaución que produce
resultados infinitesimales análogos al ulterior cálculo de límites
Horror al infinito en la cultura griega.
Teoría de la Potencia y el Acto. Hilemorfismo de Aristóteles.
Estilo sintético-apodíctico de exposición (ars disserendi) que oculta la vía heurística del
descubrimiento (ars inveniendi) alcanzado por vía analítica o mecánica.
El estilo axiomático deductivo de Los Elementos de Euclides se convierte en paradigma
canónico de exposición y demostración (Obras de Arquímedes, Cónicas de Apolonio, ...)
20
Los saberes aritméticos en las artes
La Matemática ha sido uno de los argumentos más importantes en las especulaciones teóricas de los
artistas. En todos los tiempos las ciencias matemáticas han estado al servicio de la expresividad en
el arte por su capacidad de evocar simbólicamente a través de un ideal de belleza, lo esencial, lo
original, lo inmutable y lo verdadero, en el afán de conocimiento de lo universal, de modo que
subyace en la obra de Arte una matemática ostensible o secreta, que conforma proporciones, da
significado a las intenciones del artista y contribuye a la emoción y al misterio que emana de la
belleza.
La armonía de las proporciones es la esencia de la belleza en la filosofía de la estética. Para los
artistas y los teóricos del arte, sobre todo en el Renacimiento, la armonía, esencia y fuente de la
belleza, se concibe como la perfecta relación entre el todo y las partes y de éstas entre sí, en
términos de proporciones y razones matemáticas. Genio, ingenio y técnica, presiden cálculos,
proporciones y simetrías, fundamento de la belleza que trasmite la obra de arte, que en modo
alguno es casual, sino consecuencia de la primigenia armonía pitagórica de las proporciones que
los matemáticos descubrieron y los artistas aplicaron.
Al respecto de estas ideas, Aristóteles hará un pronunciamiento pitagórico, en su Metafísica
(Libro XII, cap.III, 1078b):
«Las formas que mejor expresan la belleza son el orden, la simetría y la proporción. Y las
ciencias matemáticas son las que se ocupan de ellas especialmente».
La fuente primigenia de la armonía y la proporción en el Arte se remonta, pues, a las
concepciones matemáticas del pensamiento pitagórico, que al descubrir las sorprendentes
relaciones proporcionales de la consonancia musical creyó haber alcanzado la verdad absoluta de
la estructura armónica del universo, tomándolas como principio generador en el macrocosmos y
en el microcosmos del orden y la armonía, basados en los números. Estas ideas, reveladas por
Pitágoras y plasmadas en El Timeo por Platón, han sido de trascendental importancia en la
historia de la cultura, en general, pero sobre todo en el arte, que al intentar dar expresión a ese
orden se apoya en la verdad irrebatible de los números y las relaciones espaciales, que parecen
revelar esa armonía preestablecida ya que para muchos artistas la armonía espacial de la obra de
arte será el eco visible, trasunto o espejo de la armonía cósmica pitagórica. De esta forma, las
proporciones pitagóricas han conformado la arquitectura, de modo que por ejemplo, en la
contemplación de una cúpula renacentista el espectador podía percibir metafóricamente el eco
lejano de la inaudible música pitagórica de las esferas.
Los pitagóricos creyeron en la existencia de un orden basado en los números, estableciendo una
armonía entre los conceptos universales y cósmicos y la vida del hombre, con una influencia
decisiva sobre el Arte que dará expresión a ese orden y armonía. En particular las sencillas
proporciones de la consonancia musical actuarían como indicador esencial de las proporciones en
el arte. Guiado por estas ideas escribe el eximio artista y teórico renacentista L.B. Alberti (De re
aedificatoria. IX.5):
«La belleza es el valor absoluto de un organismo estético que irradia en el alma humana un
alegría interior suscitando un acuerdo irremplazable entre el hombre y el universo mediante
el cálculo matemático, el juego de las proporciones, o en términos tomados del Timeo de
Platón, de las medias pitagóricas».
«Tengo que afirmar de una vez por todas la opinión de Pitágoras de que los números que
hacen que las concordancias sonoras produzcan placer en nuestros oídos son exactamente
los mismos que deleitan nuestra vista y nuestra mente».
«La clave de las proporciones correctas es el sistema pitagórico de la armonía musical».
La concreción práctica de las concepciones pitagóricas sobre la armonía en la configuración de
las proporciones artísticas en el Renacimiento se resume en la aplicación de dos tipos de
proporciones: las inconmensurables vinculadas a la sección áurea o divina proporción y las
conmensurables relativas a las consonancias musicales. Ambas derivan de la tradición pitagórica.
21
El legado de Pitágoras
B.Russell escribe (Historia de la Filosofía Occidental, Espasa-Calpe, Vol.I, pp.67-75):
«Pitágoras es intelectualmente uno de los hombres más importantes que han existido y que
mayor influencia ha ejercido en la Historia del Pensamiento. […] No conozco ningún otro hombre
que haya tenido mayor influencia en el campo del pensamiento, porque lo que aparece como
platonismo resulta después de analizarlo, esencialmente pitagorismo».
Pitágoras es el primigenio inductor de una parte considerable de los elementos culturales que
perviviendo a lo largo del tiempo han ido conformando la tradición del pensamiento occidental
desde los primeros balbuceos de los pueblos helénicos hasta nuestros días.
La extensa e intensa actividad intelectual de Pitágoras y su escuela ha dejado un legado que está
en la raíz de la Filosofía, la Ciencia, la Matemática, la Cosmología, la Música, ..., y ha tenido
influencia decisiva en el Arte, la Educación, la Literatura, la Religión, la Mística, la Ecología, e
incluso en la Magia y el Esoterismo.
Pitágoras y los pitagóricos desarrollaron un sistema filosófico que aunaba de forma mística la
actividad religiosa y matemática, impulsando un potente movimiento cultural que llegó a ser
mucho más que una escuela de pensamiento, un auténtico género de vida: el modo de vida
pitagórico. El principal objeto de la doctrina pitagórica era la purificación del alma o catarsis
mediante la permanente prosecución de estudios filosóficos y matemáticos como base moral para
dirección de la vida con la finalidad de alcanzar la salvación a través de la sabiduría. Las palabras
mismas Filosofía («amor a la sabiduría») y Matemáticas («lo que se aprende», «lo que se
comprende»), fueron acuñadas por Pitágoras para describir sus actividades intelectuales, como
factores de elevación moral. La adquisición del conocimiento participaba más del carácter de una
iniciación religiosa que de una mera instrucción o investigación, es decir, su actividad científica era
una consecuencia de la doctrina, no el móvil inicial como sería en La Academia platónica, en El
Liceo de Aristóteles o en El Museo de Alejandría.
El Pitagorismo, tamizado por la Filosofía platónica, está en la base de la fundamentación filosófica
e ideológica del Cristianismo. En Pitágoras encontramos el primer antecedente histórico del
sincretismo cultural Oriente-Occidente, del pacifismo, del feminismo, del socialismo, del
vegetarianismo, del ecologismo y de otros muchos «ismos» y tendencias que hoy son lugares
corriente en nuestra cultura.
Pitágoras es «el filósofo del número» artífice máximo del «milagro griego». Su figura histórica crea
«las raíces de la Filosofía y de la Matemática», por eso su entidad intelectual es tan
inconmensurable, que debemos situarla en «el umbral del pensamiento occidental», como «cuna
del saber y del conocimiento».
Pitágoras marca un hito en la Historia de la Matemática, porque transformó el saber matemático
en disciplina puramente teórica, investigando los teoremas de manera inmaterial y abstracta, es
decir, sin instrumentos ni mediciones materiales, sin referencia a materiales concretos y sólo por
medio de la intuición de ideas y del discurso mental, dando el gran salto cualitativo, que supone el
verdadero nacimiento en Grecia de las Matemáticas como ciencia especulativa y deductiva, más
allá de la práctica empírica e inductiva de las civilizaciones del próximo, medio y lejano oriente. Es
así que podemos hablar del "Milagro griego en Matemáticas" como parte del milagro que supuso
la inflexión radical que realizaron los griegos en el ámbito general de la Cultura y el Pensamiento.
Pitágoras y los pitagóricos aportaron un ingente caudal de conocimientos matemáticos que fluían
en el ambiente místico y filosófico de la Escuela Pitagórica. Además de la doctrina aritmética que
hemos llamado el misticismo aritmético, los pitagóricos aportaron una ingente cantidad de
teoremas elementales sobre triángulos, polígonos, rectas paralelas, círculos, esferas, etc.,
resultados que conforman gran parte de los trece libros de Los Elementos de Euclides. Los
pitagóricos aplicaban una teoría restringida de figuras semejantes (válida únicamente para el caso
conmensurable) y según testimonio de Proclo conocían los poliedros regulares. Además, se
consideran tópicos pitagóricos el famoso teorema sobre el triángulo rectángulo y la Divina
Proporción, ambos depositarios históricos del descubrimiento de las magnitudes
inconmensurables. Pero por encima de la considerable contribución pitagórica a la magnificación
22
del acervo matemático, fue la propia instauración de la Matemática como ciencia racional a través
de la idea y la necesidad de la demostración la contribución fundamental de Pitágoras a la
Matemática. Más allá de la Matemática, la demostración es considerada además, como elemento
esencial en el tránsito del mito al logos que tiene lugar en la cultura griega. La demostración
trasciende la mera persuasión de la Dialéctica en la que los griegos eran grandes maestros, pues
es posible con persuasión argüir lo falso contra lo verdadero (de ahí los reproches de Sócrates
hacia los sofistas y políticos). La demostración convence por la ilación argumental incontrovertible,
la lógica aplastante que alcanza algo absolutamente legítimo mientras no se pongan en entredicho
las leyes del pensamiento. Por eso a partir de Pitágoras la Matemática es universalmente
considerada como un manantial primario de verdad objetiva.
Con Pitágoras nace por primera vez en la historia la confianza ilimitada en nuestra capacidad para
explorar este universo, entendiendo por tal todo lo que el ser humano, que es razón y sentidos,
puede percibir, incluyendo el universo interior. Por tanto podríamos calificar de pitagórica la fe que
ha presidido la tarea humana de ir haciendo comprensible para el hombre el Cosmos global
(macrocosmos y microcosmos) y que ha inspirado toda la actividad científica durante los últimos
2500 años.
Es realmente muy difícil separar la historia y la leyenda en todo lo que se refiere a Pitágoras, ya
que este personaje significó cosas bien distintas para el pueblo llano y para los gobernantes: el
filósofo, el astrónomo, el matemático, el santo, el profeta, el milagrero, el mago, el charlatán, el
peligro político, etc. Lo que es innegable es que Pitágoras contribuyó decisivamente a establecer
una íntima y duradera relación entre Matemática, Ciencia y Filosofía, siendo una de las figuras
más influyentes en la Historia de su época, ya que sus seguidores como discípulos o epígonos
extendieron sus doctrinas a lo largo y ancho de todo el mundo griego. Además debido a su
decisiva incidencia sobre la Filosofía de Platón, más allá de éste, Pitágoras influiría sobre la
ciencia alejandrina y sobre el primer Cristianismo, ambos empañados de platonismo.
Cicerón decía (en Tusculanas, I.1, XVI): «En Roma nadie era considerado instruido si no era
pitagórico»; la célebre frase de Kronecker «Dios creo los números naturales y todo lo demás en
Matemáticas es obra del hombre» no deja de ser un mayestático pronunciamiento pitagórico; y
B.Russell escribe (en La Nation 27-X-1924): «Quizá lo más extraño de la ciencia moderna sea su
regreso al Pitagorismo», como adelantándose algunas décadas a la consumación del sueño
numérico pitagórico que a través de la digitalización informática ha puesto plenamente vigente la
máxima sentencia pitagórica: «El número es la esencia de todas las cosas», ya que, más que
nunca, hoy “Todo es número”. Así que el alto grado de matematización del mundo actual ha hecho
de Pitágoras un personaje muy moderno.
Con Pitágoras la Matemática y la Filosofía tienen un origen común, quedando eterna y
estrechamente vinculadas, lo que exige que la Matemática debe estudiarse por el amor al saber
en sí mismo, es decir por Filosofía y para la Filosofía, porque es el instrumento esencial para
conocer y comprender - que es lo que significa en griego el término mathema-, raíz de la palabra
Matemática en todos los idiomas.
Aunque envuelto en una nebulosa de mito y leyenda, Pitágoras es el personaje matemático más
conocido, de modo que podemos decir que pertenece al imaginario cultural de todos los pueblos.
Terminamos, como empezamos, con una frase del profesor Miguel de Guzmán (El pitagorismo,
vanguardia de la cultura. Revista “Saber Leer”, nº153, 03/2002, p.8):
«El papel que Pitágoras ha desempeñado en el desarrollo del pensamiento es de tal
importancia que vale la pena escudriñar con veneración los muchos rastros que sus
seguidores a lo largo de los siglos nos han transmitido a fin de entender mejor nuestra propia
cultura»
23
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