Matriks terbaru by Lwjp86

VIEWS: 289 PAGES: 15

									MAKALAH KAPITA SELEKTA SMA
        TENTANG MATRIKS




                     Oleh :

            Suci Pusporini (09320014)

           Risky Noorwiyadi (09320020)

               Kelas : 2A Matkom




Jurusan Pendidikan Matematika dan Komputasi
   Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
     Universitas Muhammadiyah Malang
                     2009
                             PEMBAHASAN

A. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks
      `Menurut Nasoetion (1980:24),      suatu matriks merupakan himpunan
   unsur-unsur yang disusun berdasarkan penggolongan terhadap dua sifat yang
   sering disebut dengan istilah baris dan kolam. Susunan bilangan - bilangan
   yang diatur pada baris dan kolom dan letaknya diantara dua buah kurung
   (http://www.Belajar-Matematika.com ). Sederetan bilangan yang berbentuk
   segi    empat      yang     diapit    oleh     sepasang     kurung      siku
   (http://www.p4tkmatematika.org/downloads/smk/Matriks).
      Berdasarkan pemaparan tersebut maka dapat disimpulkan, Matriks
   merupakan susunan bilangan-bilangan yang berbentuk siku-empat terdiri dari
   baris dan kolom dengan diapit oleh sepasang kurung siku. Sebagai contoh :

      a.                     dan    b.


      Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar
   dalam matriks. Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang
   tegak dalam matriks.
      Bentuk umum :

      Secara umum matriks Amxn =

      Perhatikan bahwa elemen matriks A tersebut berindeks rangkap misalnya
   a11, yang artinya matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1. Untuk lebih
   jelasnya bentuk umum seperti :



      Amxn =       mxn


      m= baris
      n= kolom
      i = 1,2…m
      j= 1,2…n
      Matriks dinotasikan dengan huruf capital misalnya A, B, C dan lain-lain.
   Banyanya baris dan banyaknya kolom menentukan ukuran dari matriks
   tersebut yang disebut ordo matriks. Perhatikan bahwa elemen dari matriks A
   di atas, misal a21 menyatakan elemen pada matriks A tersebut terletak pada
   baris ke 2 dan kolom ke 1. Sedangkan matriks A berordo mxn dan ditulis
   Amxn.
B. Macam-macam matriks
      Menurut ordonya terdapat berbagai jenis matriks, antara lain.
   a. Matriks Persegi
      Yaitu matriks yang berordo nxn atau banyaknya baris sama dengan
      banyaknya kolom.

      Contoh: B2x2 =

      Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama
      dan diagonal sekunder. Komponen-komponen yang terletak pada diagonal
      utama pada matriks tersebut adalah 2 dan 7 yang berasal dari kiri atas ke
      kanan bawah. Sebaliknya, komponen-komponen yang terletak pada
      diagonal sekunder berasal dari kiri bawah ke kanan atas.
   b. Matriks Baris
      Yaitu matriks yang berordo 1xn atau hanya memiliki satu baris.
      Contoh: A1x2 =
   c. Matriks Kolom
      Yaitu matriks yang hanya memiliki satu kolom.

      Contoh C2x1=

   d. Matriks Tegak
      Yaitu matriks yang berordo mxn dengan m>n

      Contoh: Q =         , Q berordo 3x2 sehingga matriks Q tampak tegak.

   e. Matriks Datar
      Yaitu matriks yang berordo mxn dengan m<n

      Contoh: H=              , H berordo 2x3 sehingga matriks F tampak datar.
         Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya terdapat jenis matriks, antara
lain :

    a. Matriks Nol
         Yaitu matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan
         dinotasikan sebagai O.

         Contoh: O2x3 =

    b. Matriks Diagonal
         Yaitu matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonal
         utamanya adalah nol.

         Contoh: F2x2 =

    c. Matriks Skalar
         Yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama dan
         elemen-elemen selain diagonal utama adalah 0.

         Contoh: F2x2 =

    d. Matriks Simetri
         Yaitu matriks persegi yang setiap elemennya selain elemen diagonal
         adalah simetri terhadap diagonal utama, atau matriks dimana susunan
         elemen-elemen antara matriks dengan transposenya sama. C=CT; maka C
         adalah matriks simetris

         Contoh: C3x3 =

    e. Matriks Simetri Miring
         Yaitu Matriks simetri yang elemen-elemennya selain elemen diagonal
         saling berlawanan.

         Contoh: W3x3 =

    f. Matriks Identitas (satuan)
         Yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya
         adalah satu dan elemen yang lain adalah nol dan dinotasikan sebagai I.
       Contoh: I3x3 =

   g. Matriks Segitiga Atas
       Yaitu dikatakan segitiga atas jika aij = 0 untuk i>j dengan kata lain matriks
       persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.

       Contoh: K3x3 =

   h. Matriks Segitiga Bawah
       Yaitu dikatakan segitiga bawah jika aij = 0 untuk i<j dengan kata lain
       matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.

       Contoh: V3x3 =

   i. Matriks Transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan
       elemen-elemen baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya.
       Transpose suatu matriks dilambangkan dengan …T, misal transpose
       matriks B dilambangkan dengan BT

       Contoh: B2x3 =              , maka BT =

       Perhatikan bahwa ordo dari BT adalah 3x2. Sehingga pada matriks
       transpose baris menjadi kolom dan sebaliknya, kolom menjadi baris.
C. Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya
   a. Operasi kesamaan
       Dua buah matriks atau lebih dikatakan sama jika dan hanya jika
       mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama.
                                          
       Contoh:
                 A  1 2 ,B  1 2 ,C  1 2
                                          
                     3 
                         
                         1     3 
                                    
                                    1        
                                           3 1
                                          




                        A = B, A ≠ C, B ≠ C

   b. Penjumlahan dan Pengurangan dua Matriks
       Penjumlahan Matriks, Jika A + B = C, maka elemen-elemen C diperoleh
       dari penjumlahan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij +bij
   untuk C pada baris ke-i dan kolom ke-j. sehingga, matriks A dan B dapat
   dijumlahkan apabila kedua matriks memiliki ordo yang sama.

   Contoh A=         , B=            maka A + B =

                                                =        =C

   Sifat-sifat penjumlahan matriks
   1. A+B = B+A (Komutatif)
   2. A+(B+C) = (A+B)+C (Assosiatif)
   3. A+O = O+A = A
   4. (A+B)T = AT+BT
   5. Ada B sedemikian hingga A + B = B + A = 0 yaitu B = -A
   Pengurangan matriks, jika A – B = C, maka elemen-elemen C diperoleh
   dari pengurangan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij-bij
   atau pengurangan dua matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan
   matriks yaitu A + (-B)

   Contoh: A=         , B=           , maka A-B =



c. Perkalian matriks dengan skalar.
   Perkalian sebuah matriks dengan skalar, maka setiap unsur matriks
   tersebut terkalikan dengan skalar. Msalkan matriks A dikalikan dengan
   suatu bilangan real k maka kA diperoleh dari hasil kali setiap elemen A
   dengan k.

   Contoh: A =               maka 3A = 3

   Jika a dan b bilangan real (skalar) dan matriks A dan matriks B merupakan
   dua matriks dengan ordo sama sehingga dapat dilakukan operasi hitung.
   Maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar:

   1. a(A+B) = aA+aB
   2. a(A-B) = aA-aB
   3. (a+b)B = aB+bB
   4. (a-b)B = aB-bB
   5. (ab)B = a(bB)
   6. (aB)T = aBT
d. Perkalian Dua Matriks
   Dua buah matriks atau lebih (misal matriks AB) dapat dikalikan jika dan
   hanya jika jumlah kolom pada matriks A sama dengan jumlah baris pada
   matriks B. jadi AmxnBnxr bias didefinisikan, tapi BnxrAmxn tidak dapat
   didefinisikan.
   A                                     B                             AB
   mxn                                   nxr            =              mxr



   sehingga hasil kali matriks AB berordo mxr.
   Catatan:
          Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya
           kolom matriks A = banyaknya baris matriks B.
          Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya
           baris    = banyaknya baris matriks A dan banyaknya kolom =
           banyaknya kolom matriks B.
          Pada umumnya AB ≠ BA
          Apabila A suatu matriks persegi maka A2 = A.A ; A3 = A2.A ;
           A4 = A3.A dan seterusnya.
          Apabila AB=BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A = C.
          Apabila AB=0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0
       Contoh perkalian matriks:
       1. Perkalian matriks berordo 1xa dengan ax1

           A=              dan B =     , A1x3B3x1 = [(1x3) + (2x2) + (3x1)]

           = [10]
           Hasil kalinya merupakan matriks berordo 1x1.
       2. Perkalian matriks berordo ax1 dengan 1xa
             A=         dan B =          , A3x1B1x3 =


             =

             Hasil kalinya merupakan matriks berordo 3x3.
          3. Perkalian matriks berordo mxn dengan matriks nxr

             A=           ,B=

             A2x2B2x3 =

             AB =

             =

      Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks antara lain :
      1. A(BC) = (AB)C
      2. A(B+C) = AB + AC
      3. (B+C)A = BA + CA
      4. A(B-C) = AB – AC
      5. (B-C)A = BA – CA
      6. a(BC) = (aB)C = B(aC)
      7. AI = IA = A
D. Determinan, Adjoin dan Invers Matriks
   a. Determinan.
      Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut
   determinan. Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian
   elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A) atau |A|
   (Howard Anton, 1991 : hal 67).
      Yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari
   suatu matriks A adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom
   dengan +1 atau -1.
      Untuk mengetahui tanda +1 atau -1dalam menentukan determinan suatu
   matriks yaitu dengan menggunakan permutasi sesuai besar peringkat matriks
tersebut dan ada atau tidaknya invers pada hasil permutasi peringkat matriks
tersebut.
   Invers terjadi pada suatu permutasi jika terdapat bilangan yang lebih besar
mendahului bilangan yang lebih kecil pada kolom. Jika banyak invers genap
dan nol maka tanda +1 dan jika banyak invers ganjil maka tanda -1.
   Misal :
   1. Determinan untuk ordo 2x2 maka bentuk matriks seperti ini :

                    permutasi dari bilangan bulat 1 dan 2 diambil bersama

   adalah 2! = 2 yaitu 1 2 dan 2 1 (untuk kolom) sedangkan baris menjadi
   patokan dan selalu berurut. Sehingga determinan dari matriks berordo 2x2
   adalah +1(a11.a22)-1(a12.a21) = a11.a22 – a12.a21. jika matriks dalam bentuk

               maka untuk mencari determinannya lebih dikenal dengan bentuk

   ad – bc.
   Contoh:

   Jika matriks A =               maka det (A) = |A| = (2x3) – (1x4) = 6 – 4 = 2

   2. Determinan untuk ordo 3x3

       Maka bentuk matriks seperti                                , permutasi dari

       bilangan bulat 1, 2 dan 3 diambil bersama adalah 3! = 6 yaitu 123,
       132, 213, 231, 312, dan 321 (untuk kolom) sedangkan baris menjadi
       patokan dan selalu berurut. Sehingga determinan dari matriks berordo
       3x3                      adalah                +1(a11.a22.a33)-1(a11.a23.a32)-
       1(a12.a21.a31)+1(a12.a23.a31)+1(a13.a21.a32)-1(a13.a22.a31).
       Untuk mempermudah dalam mencari determinan maka berlaku :
             a) Metode Sarrus

             Misal matriks A =

                            -      - -       +   +   +
             Maka |A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi.
             Cara ini hanya berlaku pada matriks berordo 3x3.
Contoh: D =


Maka det (D) = |D| adalah



|D| = (1x1x3) + (2x2x1) + (2x3x2) – (2x1x1) – (1x2x2) – (2x3x3)
          = 3 + 4 + 12 – 2 – 4 – 12 = 0
b) Metode Minor dan Kofaktor
Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks
bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-
elemennya pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j.
Contoh:

A=                maka :


M11 =               =


M12 =               =


M13 =               =

M11, M12 dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1
dari matriks A. Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j
dari matriks A dilambangkan dengan α ij = (-1)i+j   , dari matriks
A tersebut kofaktor a11 dilambangkan dengan α11 yaitu
(-1)i+j
Untuk mencari det(A) dengan metode minor dan kofaktor cukup
mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1atau kolom
ke-1.
Sehingga
Contoh :
            H =               , untuk mencari |H| dengan metode minor dan

   kofaktor adalah harus mencari determinan minornya terlebih dahulu yang
   diperoleh dari ekspansi baris ke-1, yaitu det(M11), det(M12), det(M13),
   maka,
   |M11| = (2x2)-(1x0) = 4
   |M12| = (0x2)-(1x2) = -2
   |M13| = (0x0)-(2x2) = -4
   |H| = h11α11 + h12α12 + h13α13
            = h11.(-1)1+1|M11| + h12.(-1)1+2|M12| + h13.(-1)1+3|M13|
            = (1.4) + (2.(-1.-2)) + (1.-4)
            =4+4–4=4
b. Adjoin matriks
   Adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan
   dengan adj A = (αij)T
   Contoh

   H=                 kita telah mengetahui sebelumnya α11= 4, α12= 2,

   α13= -4,

   α21= (-1)2+1            -4, α22= (-1)2+2              0

   α23= (-1)2+3               α31= (-1)3+1          =0

   α32= (-1)3+2            -1, α33= (-1)3+3         =2


   maka adj H =                          =

c. Invers Matriks
   Jika A dan B matriks persegi nxn sedemikian hingga AB=BA=I, B disebut
   invers A (B=A-1) dan A disebut invers B (A=B-1) sehingga berlaku
   A A-1= A-1A=I, I adalah identitas.
   Invers matriks A dirumuskan A-1 =          . Adj(A)

   Pembuktian :
Misal matriks 2x2, matriks A=              dan misalkan invers matriks A

adalah A-1=           . Berdasarkan pengertian invers matriks, maka berlaku

AA-1=I, dengan I matriks identitas.




Berdasarkan kesamaan matriks maka diperoleh:
ax + bu = 1    (1)
cx + du = 0    (2)
ay + bv = 0    (3)
cy + dv = 1    (4)
dari persamaan-persamaan dilakukan eleminasi untuk menentukan nilai x,
y, u, dan v.
ax + bu = 1 xd       adx + bdu = d
cx + du = 0 xb       bcx + bdu = 0
                     adx – bcx = d
                       x(ad-bc) = d

                              x=

substitusikan x pada persamaan (2), sehingga diperoleh u =        , dengan

cara yang sama seperti diatas, akan diperoleh juga y =            , dan v=


      . Dengan demikian A-1=


=                    , dengan ad-bc≠0

Maka invers matriks A=           adalah A-1=

Sehingga rumus invers matriks adalah A-1 =      . Adj(A)
                            SOAL MATRIKS



1. Diketahui matriks A dan B berordo 3x3
       6 2 3             
                      x x y y z
                             
                    z a     c
    A 1 0  dan B   b b 2
        1
       0 1          y e e f
       1            d  
                      x

   Jika A = B, tentukan nilai a,b,c,d,e,f,x,y dan z.

2. Diketahui matriks P dan Q yang berordo 2x2
      2
      x y 3 
            x        7 
                         4
    P
             
       y x y dan Q  2 Jika P  Q , tentukan x  y
                    y 1
                                     t            3    3

       2 
       x                
   .

                               1
                               2    4
                                     3
                                dan 
                                B
3. Ditentukan matriks-matriks A 4  
                                     
                                     1carilah matriks
                                       ,
                                
                               3     
                                     2

       a.
                                               2
            2A            b. -2B          c.     (A+B)   d. (5A-2B)t
                                               5
4. Jika H adalah matriks berordo 3x3, tentukan matriks H dari persamaan
   berikut:
    5
    2 3    15
          3 8 
             
    0  H 4 20 
        
   1 4 5    11
    6 7
    8     
             
           1 2 12

5. Tentukan hasil perkalian matriks berikut:
                   2 3
               4
                     1 
              3 
                      
                   4 2 
       a.
                    5
          4 8     
                9 2 3
                    
       b. 1  4 9 7
              6       
                 
          364  4 3
                      
                    

          6 3
               2 3
                 4 5
       c.  3 6    
          2 1    
              
                                                2 
                                                 1               4  
                                                                     1
6. Ditentukan     matriks-matriks               3  ,
                                             P 
                                                             Q 
                                                                    
                                                                                dan
                                                   5           5 6 
       0
        3
       5  . Carilah matriks P), ) ( ) P
    R 
                             QR PQ t
                               ( ( R tdan
                                 PQ ,    t
                                         Q
          3
7. Selesaikan setiap persamaan berikut:
                                                        y
                                                        x
              x 9
            2 5                                20 
                                                  1       1
                                                            5 
             y 5
        a.     
                                           b.    2 1   
                                                    4   26
                                                          
           6 7   
                
                                                 3   
                                                   1 z 4 
                                                       
                                                              
                                                           1 
                                                         
                        1 2
                        0  . Carilah matriks A , A,dan.
8. Ditentukan matriks A
                                                 2   3   4
                                                       A
                           1

9. Jika A =         dan I, matriks satuan ordo dua, maka A2 - 2A + I adalah

10. Diketahui matriks A =                   dan matriks Identitas. Tentukan nilai x

   supaya matriks A - xI merupakan matriks singular!

11. Diket A =                    B                       , jika At =B. tentukan nilai

   x?

12. Tentukan determinan dari :

   A=




   B=




   C=     -6       1     -3          -12
           4      -2      2             3
          -2      -1     -1           -1
           2       1      1            9
                       DAFTAR PUSTAKA


Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi matematika. Jakarta:
Yudhistira.
JR, Frank Ayres. 1985. Teori dan soal-soal matriks (versi S1/matriks).
Jakarta: Erlangga.
Tim penyusun soal. 2008. Detik-detik ujian nasional. Klaten: Intan
Pariwara.
Matriks(online). (www.belajar-matematika.com, diakses 24 september
2010).

								
To top