Transformada de Haar

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Transformada de Haar Powered By Docstoc
					Analizador de la transformada
 de Haar desde un punto de
       vista topológico
  Procesamiento de Imágenes digitales
          Curso 2002/2003

                           J. Roberto Moreno Guerra
                           Fco. Javier Rojas Guerrero
                           José Luis Salas Espina
                           Ricardo Toro Llano
                   Índice
1. Introducción.
2. Nuestro trabajo.
3. La transformada de Haar.
4. Propiedades de la transformada de Haar.
5. Conclusiones e investigación.

6. Bibliografía y documentación.
1. Introducción.

• Usaremos para nuestro estudio imágenes:
  – Binarias.
  – De dimensión 8x8.

• El analizador no admite imágenes en escala
de grises.
• Nuestra investigación se centra en el análisis
  de transformadas de líneas rectas.
1. Introducción.

• Gracias a las propiedades de las transformadas, y
  en particular de las transformadas bidimensionales
  se pueden conseguir mejoras, restauraciones,
  compresiones, codificaciones y descripción de
  imágenes.
• Usos de la transformada de Haar:
   – Compresión de datos de señales no estacionarias.
   – Extracción de aristas.
   – Compresión de imágenes.
2. Nuestro trabajo.

  Diseño de un analizador de imágenes
   usando la transformada de Haar en Matlab.

  Usar dicho analizador en:
    Compresión de imágenes.
    Comportamiento topológico de las imágenes
     frente al ruído.
3. La transformada de Haar.

 • Propiedades:
   – Lineal.
   – Real.
   – Muy rápida (de orden O(N) ).
 • Se basa en una clase de matrices que
   cumplen:
   – Son ortogonales (traspuesta = inversa).
   – Sus valores son 0 ó potencias de dos.
    3.- La transformada de Haar.

      Distribución de píxeles:
Píxeles más                        Píxeles menos
significativos                     significativos (los
(los de mayor                      de valor más
valor)                             pequeño)


                 T=
3. La transformada de Haar.

Linealidad:
      Se basa en sumas, restas y divisiones.
      Supongamos dos números a y b vecinos.
      Transformada que sustituye a y b por su
media (m) y su diferencia (d):



       Idea: Si a y b están cercanos almacenar
su diferencia es más eficiente.
3. La transformada de Haar.

Linealidad:
  Con este método no perdemos información,
podemos recuperar a y b así:



   Podemos realizar este procedimiento
invirtiendo una matriz 2x2 (en este caso).
   Esta es la idea que utiliza la transformada de
Haar.
3. La transformada de Haar.
 Algoritmo.
  Paso 1:



    Calcular las medias para cada pareja:



      4       6   10       4     ....
3. La transformada de Haar.
  Algoritmo.
   Paso 1:

   Vector original:
   Vector que llevamos calculado:

   Calcular las diferencias:


       4   6 10 4  1  2 3 1 ]
3. La transformada de Haar.

  Algoritmo.
   Paso 2:


                      Media +
                      Diferencias

    [5 7  1 3

                    Permanece igual!!
3. La transformada de Haar.

  Algoritmo.
   Paso 3:



                     Media +
                     Diferencia

    [6  1

                        Permanece igual!!
3. La transformada de Haar.
 Todas estas transformaciones sucesivas aplicadas a
 un vector se pueden ver de forma matricial:
3. La transformada de Haar.
 Todas estas transformaciones sucesivas aplicadas a
 un vector se pueden ver de forma matricial:
3. La transformada de Haar.
 Todas estas transformaciones sucesivas aplicadas a
 un vector se pueden ver de forma matricial:
3. La transformada de Haar.




Matriz de
 Haar
3. La transformada de Haar.

 Luego, las transformaciones se pueden realizar
 aplicando las fórmulas:




 Esta es la llamada transformada rápida de Haar.
Es de orden O(N log N).
3. La transformada de Haar.

  Ejemplo:
3. La transformada de Haar.

   Ejemplo:
        Aplicar el algoritmo anterior por filas
   a la matriz M:




        M                            H1
3. La transformada de Haar.
 Ejemplo:
     Aplicar el algoritmo anterior por
 columnas a la matriz H1:




     H1                              N
3. La transformada de Haar.
Ejemplo:
      De esta forma obtenemos la nueva matriz N
 que representa a la imagen:
4. Propiedades de la transformada de
Haar.
 • Aplicaciones:
    – Compresión de imágenes.
    – Extracción de aristas.
  • Con un algoritmo rápido esta transformada puede
  ser más eficiente en cuanto a la compresión de
  datos.
 • Esta transformada no ha recibido últimamente
    demasiada atención, debido a las mejoras que se
    consiguen con otras transformadas, aunque éstas
    sean más complejas.
5. Conclusiones e investigación.


  Número de iteraciones del algoritmo.

  Compresión de imágenes.

  Comportamiento topológico frente al ruído.
5. Conclusiones e investigación.
 Número de iteraciones:
    Para una imagen de 8x8 el número máximo de
   iteraciones es 3.
                            n=1                   n=2




                            n=3                   n=4
5. Conclusiones e investigación.
 Número de iteraciones:
   Ejemplo para n=4 iteraciones.
Imagen original         Imagen codificada    Imagen obtenida




                  No se recupera la imagen
                          original!!
5. Conclusiones e investigación.

 Compresión:
   Obtenemos la nueva imagen N mediante
  el algoritmo de medias y diferencias visto a
  partir de la matriz original M.
   Eliminamos información innecesaria de
  la matriz N.
   Se reconstruye la imagen original M.
5. Conclusiones e investigación.
Compresión:
    Elegir una d tal que los valores de la
    matriz N que sean menores que dicha d
    toman automáticamente el valor 0.
 Ejemplo:
5. Conclusiones e investigación.

  Compresión - ejemplo:




             Elegimos d = 0
5. Conclusiones e investigación.
  Compresión - ejemplo:
  Se obtiene la imagen original a partir de la
  matriz N’


                  Comprimida al 6%




            ¡¡Se mantiene la topología!!
5. Conclusiones e investigación.
 Compresión - ejemplo:
  Si aumentamos el número de iteraciones:

Imagen original
                       n=2                   11 %



                              n=4
                                             13 %

             No conserva la
              topología!!!
5. Conclusiones e investigación.
 Comportamiento topológico frente al ruído.
   Si no hay pérdida de información, la imagen
  se recupera en su totatidad junto con el ruido
  que ya tuviese.
   Ejemplo con pérdida de información:


                                     Ruido
5. Conclusiones e investigación.
 Comportamiento topológico frente al ruído.
      22 %        Con 1 iteración




Imagen original   Imagen transformada   Imagen obtenida
5. Conclusiones e investigación.
  Comportamiento topológico frente al ruído.
       33 %       Con 3 iteraciones




Imagen original    Imagen transformada       Imagen obtenida

  A más iteraciones, menos se conserva la topología
5. Conclusiones e investigación. (Resumen)

 • Para imágenes 8x8 sólo es posible aplicar 3
   iteraciones.
 • Comprimiendo una imagen, la topología se
   mantiene hasta la iteración 2.
 • Para imágenes con ruido y sin pérdida de
   información, la topología se mantiene hasta
   la iteración 3.
 • Para imágenes con ruido y con pérdida de
   información, la topología se conserva sólo
   con 1 iteración.
6. Bibliografía y documentación.

Gonzalez, R.C. y Woods, R.E. Procesamiento de Imágenes Digitales. Addison-
   Wesley, 1992.

 http://www.iro.umontreal.ca/~pigeon/science/ondelettes/Haar/Haar.html

 http://amath.colorado.edu/courses/4720/2000Spr/Labs/Haar/haar.html

 http://ikpe1101.ikp.kfa-juelich.de/briefbook_data_analysis/node113.html

 http://www.owlnet.rice.edu/~elec539/Projects99/NSJS/project1/

 http://perso.wanadoo.fr/polyvalens/clemens/transforms/

				
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