Approvisionnement et pr�vision de la demande by ooSaj2s

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GDS-ODS1   Optimisation des stocks   N°      VERSION
                                     1            01




   Optimisation des stocks




                     1
A. Approvisionnement et prévision de la demande ..................................................... 3
  1. Pourquoi élaborer des prévisions de ventes ? .................................................... 3
     1.1. La prévision conditionne l’optimisation ......................................................... 3
     1.2. L’obligation de prévoir est liée aux délais de réaction .................................. 3
  2. Qui prévoit ?........................................................................................................ 4
     2.1. Plusieurs fonctions sont concernés par les prévisions ................................. 4
     2.2. La prévision comme résultat d’un consensus ............................................... 5
  3. Comment identifier le problème de prévision ? ................................................... 5
B. Les méthodes d’élaboration des prévisions ........................................................... 6
  1. Comment analyser un historique ? ..................................................................... 6
     1.1. Les outils ...................................................................................................... 6
  2. La décomposition d’une série chronologique ...................................................... 9
     2.1. L’estimation de la tendance ........................................................................ 10
     2.2. L’analyse de la saisonnalité ........................................................................ 12
     3. 3. Le Modèle de Hot-Winters ( Tendance + Saisonnalité ) ............................ 22




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                  A. Approvisionnement et prévision de la demande

L’approvisionnement est étroitement lié à la connaissance de la demande. Le lien est
d’ailleurs si fort que parfois, il existe une confusion entre prévoir la demande et
déterminer la quantité économique à approvisionner. Or, c’est la prévision et la
qualité de le prévision qui est à la base de l’approvisionnement.

1. Pourquoi élaborer des prévisions de ventes ?

Cette question peut paraître triviale, cependant, elle mérite réflexion et s’avère
complexe dans sa réponse. Deux points méritent d’être abordés.


1.1. La prévision conditionne l’optimisation

Deux éléments sont essentiels pour déterminer le calcul d’un approvisionnement
optimal :
   - la prévision de la consommation
   - la fiabilité attendue de cette prévision

La prévision de consommation détermine de manière directe une partie du niveau
d’approvisionnement ; il s’agit de couvrir au minimum le besoin pour un certain délai.

La fiabilité attendue de cette prévision, ou la crédibilité de la prévision permet de
dimensionner le niveau de stock de sécurité.



1.2. L’obligation de prévoir est liée aux délais de réaction

Toutes les entreprises ne sont pas dans l’obligation de prévoir, du moins dans le
cadre de leur système de réapprovisionnement.

Le cas extrême est représenté par les entreprises qui travaillent « à la commande »,
c’est à dire celles dont le délai de livraison accepté par ses clients est supérieur au
délai d’approvisionnement des matières auprès des fournisseurs et au délai de
production. Quelques entreprises sont dans ce cas : notamment celles du secteur
aéronautique, des travaux publics, des chantiers navals. Pour elles, le problème de
réapprovisionnement est relativement aisé à résoudre.

A l’opposé, figure la grande majorité des entreprises du secteur de la grande
consommation. Le délai de livraison est de quelques jours, voire de quelques heures
(répartiteur pharmaceutique) ; le stockage des produits finis est alors impératif sous
peine d’être en rupture. Les conséquences sont le risque de la perte de la vente et la
dégradation de l’image de marque.

Pour optimiser le niveau de stock, l’obligation de prévoir s’impose.

Le tableau suivant illustre l’arbitrage que l’entreprise est en mesure d’effectuer :
flexibilité ou stockage. Souvent, on cherche à résoudre un problème de prévision qui


                                           3
peut trouver sa solution plus facilement par un accroissement de la réactivité et/ou
de la flexibilité. Cependant, ce choix souvent n’existe pas pour l’entreprise, il est
imposé par les délais de livraison que les fournisseurs exigent.

                                  A quel niveau prévoir ?
Approvisionnement         Fabrication           Emballage                      Stock
      matière                                personnalisation
A la commande          A la commande A la commande                      Aucun
Sur prévision          A la commande A la commande                      Matière
Sur prévision          Sur prévision      A la commande                 Semi-finis
Sur prévision          Sur prévision      Sur prévision                 Produits finis



2. Qui prévoit ?

Cette question se décline en deux autres questions :
   - qui est concerné par la prévision et à quel titre ?
   - qui est le mieux placé pour élaborer cette prévision ?


2.1. Plusieurs fonctions sont concernés par les prévisions

La prévision concerne la plupart des fonctions de l’entreprise. Le tableau suivant
présente ces fonctions ainsi que leurs domaines d’application.

                          Fonctions concernées par la prévision
                   Fonctions                                Applications

              Commerciale                       Prévision des ventes, fixation d’objectifs

                   Logistique                   Approvisionnements, mise en fabrication

                   Marketing                    Prévision des ventes, plan marketing

       Contrôle de gestion, finance             Prévision budgétaire


Il peut apparaître à la lecture de ce tableau que si la prévision concerne bien
plusieurs fonctions de l’entreprise, ce n’est pas au même titre : les objectifs ne sont
pas identiques, les préoccupations et les besoins ne sont pas les mêmes.
La prévision est donc transverse par rapport aux fonctions de l’entreprise : une
personne n’est pas seule concernée par ce problème.
D’ailleurs, il est fréquent de constater qu’à l’intérieur même d’une entreprise, il
coexiste des prévisions des ventes différentes pour les mêmes produits, selon la
fonction à laquelle on s’adresse.




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2.2. La prévision comme résultat d’un consensus

La responsabilité d’élaboration de la prévision est très variable d’une entreprise à
l ‘autre.
Le plus souvent, c’est la fonction logistique qui est en charge de la prévision ; et
pourtant, les logisticiens ne sont pas forcément les mieux placés du fait de leur
isolement vis à vis du marché. Mais l’obligation de fournir des prévisions
quantitatives et fines aux fournisseurs ou à la production fait qu’ils sont jugés
responsables en cas de problème.

De manière idéale, l’élaboration de la prévision doit se faire en commun au sein d’un
comité réunissant les fonctions commerciales, marketing et logistiques. Chacun doit
s’engager sur des chiffres et, à ce titre, en est responsable. Ainsi, le risque de
focaliser tous les problèmes (ruptures ou surstocks) auprès d’une unique personne,
« le prévisionniste », est très fortement diminué.

3. Comment identifier le problème de prévision ?

Lorsque se pose le problème de prévision dans une entreprise, il convient de
s’interroger sur un certain nombre d’éléments qui vont conditionner le choix de la
solution. Les données à prévoir : livraison ou commandes ?

Le choix des données historiques servant de base à la prévision est important à
traiter. Le plus souvent, il s’agit des livraisons, car l’information est facilement
disponible du fait qu’elle est liée à la facturation. Néanmoins, les livraisons
présentent l’inconvénient majeur d’être « polluées » par les ruptures de stock et donc
de n’être pas représentatives de la demande réelle.
Les commandes constituent donc la base historique la plus proche de la demande
finale.

Périodicité de la prévision et horizon

Le besoin de réactivité de l’entreprise détermine la périodicité des données
historiques et de la prévision :
    - Pour des produits industriels ou de consommation courante, la périodicité
        mensuelle s’avère suffisante et l’horizon de prévision peut être compris entre
        six et dix-huit mois. C’est le cas le plus classique.
    - Dans le domaine des produits frais, la prévision doit être calculée de manière
        hebdomadaire afin d’être plus réactive ; la maille mensuelle n’est alors plus
        suffisante. L’horizon de prévision peut aller jusqu’à quinze semaines.
    - Enfin, pour certains secteurs de service (ouverture de caisse dans les
        supermarchés, péages d’autoroute, etc.) ou pour des produits ultra frais, la
        prévision journalière (voire horaire) s’impose. Les produits sont stockables
        peu de temps et la demande journalière est variable. La détermination la plus
        exacte possible du rythme d’activité quotidienne est essentielle, l’horizon de
        prévision est limité à quelques jours (une trentaine en pratique).




                                          5
                      B. Les méthodes d’élaboration des prévisions

Nous allons maintenant aborder les différentes techniques de prévisions, fondées sur
l’analyse de l’historique des consommations.

1. Comment analyser un historique ?

Une série chronologique est une suite de valeurs ordonnées dans le temps et
représentant le même phénomène économique. Cette base historique permet par un
traitement approprié d’effectuer une prévision. Nous insistons encore une fois sur
l’importance que revêt cet historique en terme de qualité, de représentativité et de
nombre d’observations. Une méthode de prévision, aussi sophistiquée soit-elle,
restitue toujours l’information contenue dans la série chronologique.


1.1. Les outils

   1.1.1. Le calcul des statistiques de base

Nous présentons, dans ce paragraphe, les modes de calcul de statistiques simples :
caractéristiques de valeur centrale et caractéristique de dispersion.

    La moyenne

La formule générale de la moyenne d’une série chronologique de terme général xt
pour laquelle nous disposons de n observations est :


      n
    x    t
x t 1
      n
Exemple : la moyenne de la série chronologique suivante : 4 ; 8, 5, 10, 3
                         est : (4+8+5+10+3) / 5 = 6

Le seul calcul de la moyenne est insuffisant : deux séries peuvent avoir une
moyenne proche alors que leur dispersion, et donc leur difficulté intrinsèque à
prévoir, est très différente. C’est pourquoi, il est préférable de présenter la moyenne
avec un coefficient permettant de prendre en compte la dispersion.

Exemple de deux séries ayant une même moyenne mais une dispersion différente :

Série A : 4 ; 8, 5, 10, 3 ;   moyenne 6 ;       écart-type 2,60
Série B : 19, 1, 7, 2, 1 ;    moyenne 6 ;       écart-type 6,87

    La dispersion

La variance d’une série chronologique permet d’évaluer la dispersion autour de la
moyenne.


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La formule de la variance dans le cas d’un échantillon (l’historique ne représente
qu’un échantillon des réalisations et à ce titre nous devons appliquer les formules
concernant un échantillon et non celles relatives à une population) est donnée par :

            t n

            (x  x )
                          2
                     t
Var(x) t 1
                    n1

En général, on utilise davantage la racine carré de la variance appelée écart-type

( x) :


   x
         Var(x)

Cet écart-type est l’un des indicateurs fondamentaux de la difficulté à prévoir une
chronique, il présente l’avantage de s’exprimer dans la même unité que l’historique.
Pour pouvoir interpréter sa valeur, il convient de le rapporter à la moyenne.

         Le Coefficient de variation

Le coefficient de variation se définit comme étant le rapport de l’écart-type à la
moyenne calculés à partir de la série brute :


CV =           x
            x

Il rend compte de la difficulté prévisionnelle d’un historique. Plus il est élevé, plus la
variance de la série est importante rapportée à la moyenne et, donc, plus la tâche du
prévisionniste est, à priori ,délicate.

Nous pouvons classer les historiques des ventes en fonctions de ce coefficient :

        -   inférieur à 0,5 :        à priori facile à prévoir,
        -   compris entre 0,5 et 1 : de dispersion moyenne
        -   supérieur à 1 :          la variance de la série est importante rapportée à la
            moyenne et donc, cette série peut s’avérer difficile à prévoir.

Si l’écart-type de l’historique est significativement supérieur à l’écart-type de l’erreur
de prévision, le système de prévision est performant.

Néanmoins, le coefficient de dispersion de la série ne préjuge pas complètement des
difficultés ultérieures : une série fortement fluctuante peut-être largement
« expliquée » par des coefficients saisonniers très marqués et/ou un facteur explicatif
très influent.




                                               7
   1.1.2. La moyenne mobile

Le premier réflexe du prévisionniste lorsqu’il dispose d’un historique est d’en
effectuer une représentation graphique. Cependant, il s’avère que cette
représentation n’est pas toujours « parlante » car les mouvements de fonds sont
occultés par des mouvements erratiques et non significatifs. Le recours à une
technique de lissage par moyenne mobile permet de palier cet inconvénient en
lissant les « pics » et les « creux » et en ne laissant apparaître que les fluctuations
réellement significatives.


Par exemple, la moyenne mobile (notée MMt) d’ordre 3 calculée pour l’instant t est
donnée par :

Avec xt, la valeur de l’historique des ventes à l’instant t.

                                 MMt = (xt-1 + xt + Xt-1)/3

Il est à noter que cette moyenne mobile d’ordre 3 ne peut être calculée que pour t=2
à n-1 (n étant le nombre d’observations), car on ne dispose pas d’observation
précédant x1 et suivant xn.

La première valeur d’une moyenne mobile de longueur 4 ( = 2 x 2) ou 5 (= 2 x 2 + 1)
que l’on peut calculer, est à l’instant t = 3, puisque la première observation connue
est x1 :

              MM 4x 3 = (0.5 x1 + x2 + x3 + x4 + 0.5 x5) / 4

              MM 5x 3 = (x1 + x2 + x3 + x4 + x5) / 5



             x1         x2          x3           x4           x5   x6       …

                                  ~
                                 MM x3
                                  x3

Le choix de l’ordre de l’ordre de la moyenne mobile dépend de l’objectif recherché.
Plus l’ordre est élevé, plus la série est lissée et les phénomènes de courts terme sont
alors gommés, au risque de perdre en réactivité ; seul reste le mouvement de fonds
(la tendance). Une mention particulière concerne la moyenne mobile d’ordre douze
qui pour des séries historiques de périodicité mensuelle, représente l’évolution des
consommations ou des ventes hors phénomènes saisonniers.

Les formules générales de filtrage par moyenne mobile sont les suivantes :

   -   si l’ordre correspond à un nombre impair (2 m + 1),

       MMt = (xt-m + …+ xt-1 + xt + xt+1 + … + xt+m) / (2 m +1)


                                             8
                                   1 i  m
                            ~
                            x             xt i
                                 2m  1 i   m

   -   si l’ordre correspond à une paire (2 m), il nous faut recourir à un artifice de
       calcul afin de faire correspondre le terme central xt à la valeur de la moyenne
       mobile MMt.

       MMt = (0.5 xt-m + … + xt-1+ xt + xt+1 + … + 0.5 xt+m) / (2 m)

                                           im1          
                         MMt  1  1 xtm  xti  1 xtm 
                              2m 2
                                         i(m1)  2     

Le tableau suivant présente un exemple de calcul d’une moyenne mobile d’ordre 3 et
d’une moyenne mobile d’ordre 4 , ainsi que la moyenne, l’écart-type et le coefficient
de variation.

  Période        Série       Moyenne mobile 3              Moyenne mobile 4
     1             10
     2             12      10+12+14 / 3 = 12
     3             14      12+14+16 / 3 = 14       5+12+14+16+6 / 4 = 13,25
     4             16      14+16+12 / 3 = 14       6+14+16+12+5,5 /4 = 13,375
     5             12      16+12+11 / 3 = 13
     6             11
 Moyenne          12,5              13,25                       13,3125
 Ecart-type      1,979              0,829                         0,063
    CV          0,1583             0,0626                        0,0047

Nous observons que le coefficient de variation de la série brute est supérieur à celui
de la série lissée MM3 qui lui-même est supérieur à celui de la série MM4 ; nous
retrouvons bien la « mécanique » du lissage qui écrête les pics et les creux.

Faites l’exercice N° 1

2. La décomposition d’une série chronologique

Lors de l’analyse d’un historique, il est possible d’observer deux composantes
fondamentales :
   - la tendance (Tt) est un mouvement lent s’effectuant dans un sens déterminé
      durant plusieurs périodes,
   - la saisonnalité (St) correspond à des variations s’effectuant régulièrement au
      cours de la semaine, du mois, du trimestre…




                                            9
2.1. L’estimation de la tendance

Lorsque nous observons un graphe de série chronologique, mentalement nous
déduisons une tendance. Afin d’estimer la tendance, il est nécessaire de faire appel
à la statistique qui fournit un certain nombre d’outil de calcul.

    Tendance par moyenne mobile

Nous avons définit précédemment ce qu’est une moyenne mobile et son effet de
lissage sur les courbes. En retenant un ordre de moyenne mobile élevé, nous
réduisons les fluctuations de la chronique (plus l’ordre est élevé, plus les fluctuations
de la courbe lissée sont amorties), ce qui permet de mettre en évidence les
phénomènes de tendance.
Les moyennes mobile présentent deux défauts en tant que technique pour la
détermination de la tendance. En premier lieu, elles conduisent à une série plus
courte que la série traitée. En second lieu, aucun principe n’apparaît naturellement
pour l’extrapolation d’une tendance déterminée par moyenne mobile.

Exemple d’estimation de la tendance à partir de la moyenne mobile :

          Période                        Série                   MM 3 (Prévisions)
             1                           100
             2                           110
             3                           105
             4                           102                  105=(100+110+105)/3
             5                            98                 105,7=(110+105+102)/3
             6                                                101,6=(105+102+98)/3

    Tendance par moyenne mobile pondérée

La recherche de la tendance par calcul de la moyenne mobile pondérée conduit à
accorder un poids différent aux n valeurs passées retenues. La somme des n valeurs
doit être au moins égale à 1.

Exemple d’estimation de tendance avec une moyenne mobile pondérée sur trois
périodes avec les coefficients suivants : 0,2, 0,3 et 0,5

   Période              Série                      MM 3 (Prévisions)
      1                 100
      2                 110
      3                 105
      4                 102     105,5=[(100*0,2)+(110*0,3)+(105*0,5)]/(0,2+0,3+0,5)
      5                  98     104,5=[(110*0,2)+(105*0,3)+(102*0,5)]/( 0,2+0,3+0,5)
      6                          100,6=[(105*0,2)+(102*0,3)+(98*0,5)/( 0,2+0,3+0,5)

Faites l’exercice N°2




                                           10
      Tendance par régression

Le but, ici, est d’estimer la tendance à l’aide d’une droite estimée par un ajustement
des moindres carrés.

Droite de régression : y = ax + b

avec :

                          n xy  x y
                     a=
                          n x ( x)
                              2           2



et
                           y a x
                     b=      
                           n   n

Exemple d’estimation de tendance avec le calcul d’une droite de régression :

                                        Série observée
          X                        Y                      X2             XY
          1                        10                     1               10
          2                        12                     4               24
          3                        20                     9               60
          3                        28                     16             112
          5                        30                     25             150
          6                        28                     36             168
          7                        35                     49             245
          28                      163                    140             769


     (7*769)(28*163) 819
a=                 2 =     = 4,18
      (7*140)(28)     196


b = 163  a*28 =   6,57
     7     7

Equation de la droite : y = 4,18 x + 6,57

Le tableur Excel fournit en partie les estimations de cette droite (fonction
DROITEREG).

Faites l’exercice N°3

      Tendance par lissage exponentiel

La méthode du lissage exponentiel repose sur l’idée de départ que les informations
contenues dans une série chronologique ont d’autant plus d’importance qu’elles sont
plus récentes. Pour effectuer une prévision, il faut donc affecter aux informations un
poids d’autant plus faible qu’elles proviennent d’époques plus éloignées.



                                              11
On pose :

Dt = demande constatée pour la période t
Pt = prévision de la demande pour la période t
 = constante de lissage comprise entre 0 et 1

La prévision pour la période t+1 se calcule grâce à la formule suivante :

   Pt+1 =  Dt + (1 -  ) Pt

Lorsque la constante de lissage  est égale à 0, la prévision pour la période t+1 est
égale à la prévision pour la période t.
Lorsque la constante de lissage  est égale à 1, la prévision pour la période t+1 est
égale à la demande de la période t.

La difficulté réside ici dans la détermination de la valeur de la première prévision. En
effet, on ne possède pas de prévision antérieure pour calculer la première prévision.
En général, on utilise la première valeur de la demande constatée pour initialiser le
calcul.


Exemple d’estimation de la tendance par lissage exponentiel :


                                Prévision P avec
           Mois       Demande D      
          Janvier        100
          Février         90          100          soit (0,1 * 100) + [( 1 - 0,1) * 100 ]
           Mars          105           99          soit (0,1 * 90) + [( 1 - 0,1) * 100 ]
           Avril         110          100          soit (0,1 * 105) + [( 1 - 0,1) * 99 ]
            Mai           80          101          soit (0,1 * 110) + [( 1 - 0,1) * 100 ]



Faites l’exercice 4

Remarque : pour l’estimation de la tendance, les deux dernières méthodes sont les
plus appropriées.


2.2. L’analyse de la saisonnalité

Nous allons maintenant aborder le problème de l’interprétation d’un historique de
consommation éventuellement affecté d’un mouvement saisonnier. L’objectif est
d’apprécier l’évolution de la série en faisant abstraction de ce mouvement saisonnier.

   2.2.1. Principes généraux

   2.2.1.1. Le principe de la conservation des aires



                                             12
L’analyse de saisonnalité a pour but une nouvelle répartition du profil intra annuel de
l’historique, sans modifier le niveau atteint en cumul annuel : les moyennes annuelles
de la série brute et de la série Corrigée des Variations Saisonnières (CVS) doivent
être identiques.

Ce principe de base est appelé principe de conservation des aires.

   2.2.1.2. Coefficients additifs ou multiplicatifs

Nous pouvons concevoir deux types de schéma d’analyse de saisonnalité.

    La décomposition additive : xt = Tt + St

Les coefficients saisonniers ( St ) s’expriment dans la même unité que l’historique des
consommations (en unité, en francs, en tonnes,…) et afin de respecter le principe de
la conservation des aires, la moyenne des coefficients saisonniers doit être nulles.

La série CVS est donnée par : xt - St

Par exemple, pour une série de livraison d’acier en milliers de tonnes, si le coefficient
du mois d’août est de – 125, cela signifie qu’au mois d’août, on livre en moyenne 125
milliers de tonnes d’acier en moins que le mois moyen.

    La décomposition multiplicative : xt = Tt * St

Les coefficients saisonniers (St) s’expriment en pourcentage. Afin de respecter le
principe de la conservation des aires, la moyenne des coefficients saisonniers
calculés doit être égale à 1.

Dans le cas du schéma multiplicatif, la série désaisonnalisée est donnée par : xt/ St.

Par exemple, si le coefficient du mois d’août est de 0,82 en moyenne ; on livre 18%
en moins en août par rapport au mois moyen.

Le choix du schéma de décomposition dépend de l’historique. Si la tendance est peu
marquée, l’un ou l’autre des deux schémas de décomposition restitue des résultats
quasiment identiques. En revanche, si la tendance est marquée, il convient de retenir
un schéma multiplicatif dont les effets saisonniers s’adaptent automatiquement – ce
sont des pourcentage – au profil de l’histoire.

Le seul effet pervers à utiliser des coefficients saisonniers multiplicatifs est rencontré
lorsque la série des ventes est affectée par une saisonnalité très marquée ; dans
certaine industrie, les ventes peuvent être nulles certains mois de l’année. La division
ou la multiplication par des valeurs très faibles amplifie le mouvement saisonnier et
peut engendrer une série CVS comprenant des valeurs aberrantes.




                                            13
   2.2.1.3. Coefficients fixes ou glissants

Un mouvement saisonnier est répétitif d’une année sur l’autre, et doit se répéter à
l’identique. Il nous semble donc impropre de calculer des coefficients différents par
années.

Cependant, dans certaines circonstances où une réflexion économique laisse
suggérer une évolution des comportements, il peut être intéressant d’intégrer une
saisonnalité glissante.

En calculant un coefficient pour chaque mois, le risque d’incorporer une partie de
« bruit , d’informations non pertinentes dans la saisonnalité s’intensifie. En effet, la
distinction entre saisonnalité et résidu sera plus difficile à effectuer en l’absence
d’une contrainte de rigidité des coefficients saisonniers. Par exemple, si, pour des
raisons climatiques, une année a été particulièrement propice à la consommation,
une saisonnalité glissante répercutera cette saisonnalité l’année suivante sans
aucune raison.

Un autre élément mérite d’être souligné : la confusion qu’il peut exister entre la
saisonnalité réelle et une saisonnalité fictive créée par l’entreprise. Il s’agit des
entreprises effectuant à la même période de chaque année des promotions ou bien
des variation de tarif. Le calcul des coefficients saisonniers attribue à la saisonnalité
cette « survente » due à la politique volontariste de l’entreprise. Un problème surgit
alors lorsque l’entreprise modifie la date des promotions… Dans ce cas, l’utilisation
des coefficients saisonniers glissants permet d’intégrer plus rapidement cette
modification.

   2.2.2. Exemples de calcul

Il n’existe pas de méthode parfaitement satisfaisante d’estimation des coefficients
saisonniers. Quelle que soit la méthode retenue, le risque d’incorporer dans la
saisonnalité des fluctuations dues à des valeurs erratiques ou à des habitudes
promotionnelles est toujours présent.

Les coefficients saisonniers sont légèrement différents selon la méthodologie suivie.

A l’aide des deux exercices suivants, vous allez calculer selon les deux méthodes à
partir d’un même historique (il s’agit des ventes d’un produit festif, donc fortement
saisonnier) le coefficient de variation saisonnière. Pour vous faciliter la tâche, suivez
une à une les phases données avec l’exercice.

   2.2.2.1. Analyse de saisonnalité selon un schéma additif et des coefficients fixes

Phase 1 : Estimer la tendance par une moyenne mobile d’ordre 12 (MM12)

Dans l’exercice 5, on ne peut calculer les moyennes mobiles d’ordre 12 qu’à partir de
juillet 1999 et seulement jusqu’à mars 2001. Attention, la moyenne mobile d’ordre 12
se calcule sur la base de 13 mois.

Phase 2 : Calculer les écarts à la série observée : et = xt – MM12t


                                              14
Il s’agit de l’écart entre la demande et la moyenne mobile d’ordre 12 du même mois
de la même année.

Phase 3 : Rassembler les écarts relatifs aux mêmes mois pour les différentes
années (certains coefficients sont calculés à partir d’une seule observation) et
calculer la somme globale de ces écarts.

Phase 4 : Calculer les écarts ou coefficients définitifs.

Coefficient définitif de janvier = (moyenne des écarts pour janvier – somme des écarts) / 12

Phase 5 : Calcul de la série CVS

La série CVS est calculée par différence entre la série brute et le coefficient
saisonnier du mois considéré.

La demande Corrigée des Variations Saisonnière de janvier = demande de janvier – coefficient définitif de janvier

Faites l’exercice N°5




                                                       15
       2.2.2.3. Analyse de saisonnalité selon un schéma multiplicatif et des
coefficients glissants

Phase 1 : Estimer la tendance par une moyenne mobile d’ordre 12 (MM12)

Cette étape est identique à celle du schéma additif.
Attention ! Les valeurs de la moyenne mobile d’ordre 12 sont ici identiques à cause
des valeurs de la demande. Cela ne sera pratiquement jamais le cas.

Exemple :


             mois                    demande                      mm12


            janv-04                    300
            févr-04                    310
            mars-04                    320
            avr-04                     340
            mai-04                     350
            juin-04                    370
            juil-04                    370                       334,17
            août-04                    350                       334,17
            sept-04                    340                       334,17
            oct-04                     330                       334,17
            nov-04                     320                       334,17
            déc-04                     310                       334,17
            janv-05                    300                       334,17
            févr-05                    310                       334,17
            mars-05                    320                       334,17
            avr-05                     340                       334,17
            mai-05                     350                       334,17
            juin-05                    370                       334,17
            juil-05                    370                       334,17
            août-05                    350                       334,17
            sept-05                    340                       334,17
            oct-05                     330                       334,17
            nov-05                     320                       334,17
            déc-05                     310                       334,17
            janv-06                    300                       334,17
            févr-06                    310                       334,17
            mars-06                    320                       334,17
            avr-06                     340
            mai-06                     350
            juin-06                    370
            juil-06                    370
            août-06                    350
            sept-06                    340


         moyenne                      335,45
         écart type                   22,58
              CV                      0,067




                                             16
Phase 2 : Calculer le rapport entre la série observée et la moyenne mobile :
                           rt = xt / MM12t


Exemple :

                                                                       rapport entre
                                          Demande
                         mois                              mm12       série et mm12
                                            ( xt )
                                                                           ( rt )

                            janv-04                  300                        0,90
                            févr-04                  310                        0,93
                           mars-04                   320                        0,96
                                avr-04               340                        1,02
                            mai-04                   350                        1,05
                                juin-04              370                        1,11
                                juil-04              370     334,17             1,11
                            août-04                  350     334,17             1,05
                            sept-04                  340     334,17             1,02
                                oct-04               330     334,17             0,99
                            nov-04                   320     334,17             0,96
                            déc-04                   310     334,17             0,93
                            janv-05                  300     334,17             0,90
                            févr-05                  310     334,17             0,93
                           mars-05                   320     334,17             0,96
                                avr-05               340     334,17             1,02
                            mai-05                   350     334,17             1,05
                                juin-05              370     334,17             1,11
                                juil-05              370     334,17             1,11
                            août-05                  350     334,17             1,05
                            sept-05                  340     334,17             1,02
                                oct-05               330     334,17             0,99
                            nov-05                   320     334,17             0,96
                            déc-05                   310     334,17             0,93
                            janv-06                  300     334,17             0,90
                            févr-06                  310     334,17             0,93
                           mars-06                   320     334,17             0,96
                                avr-06               340                        1,02
                            mai-06                   350                        1,05
                                juin-06              370                        1,11
                                juil-06              370                        1,11
                            août-06                  350                        1,05
                            sept-06                  340                        1,02


                   moy                         335,45
                   ecart type                   22,58
                   CV                           0,067




                                                      17
Phase 3 : Calculer la somme des coefficients ( R ) sur 12 mois en partant de la
dernière observation. Répéter cette opération sur chaque année entière.

Exemple :

                                                               rapport entre
                                     Demande                  série et mm12
                    mois               ( xt )      mm12            ( rt )      (R)
                       janv-04              300                         0,90
                       févr-04              310                         0,93
                      mars-04               320                         0,96
                           avr-04           340                         1,02
                       mai-04               350                         1,05
                           juin-04          370                         1,11
                           juil-04          370      334,17             1,11
                       août-04              350      334,17             1,05
                       sept-04              340      334,17             1,02
                           oct-04           330      334,17             0,99
                       nov-04               320      334,17             0,96
                       déc-04               310      334,17             0,93
                       janv-05              300      334,17             0,90
                       févr-05              310      334,17             0,93
                      mars-05               320      334,17             0,96
                           avr-05           340      334,17             1,02
                       mai-05               350      334,17             1,05
                           juin-05          370      334,17             1,11
                           juil-05          370      334,17             1,11
                       août-05              350      334,17             1,05
                       sept-05              340      334,17             1,02         12,00
                           oct-05           330      334,17             0,99
                       nov-05               320      334,17             0,96
                       déc-05               310      334,17             0,93
                       janv-06              300      334,17             0,90
                       févr-06              310      334,17             0,93
                      mars-06               320      334,17             0,96
                           avr-06           340                         1,02
                       mai-06               350                         1,05
                           juin-06          370                         1,11
                           juil-06          370                         1,11
                       août-06              350                         1,05
                       sept-06              340                         1,02         12,00


              moy                         335,45
              ecart type                   22,58
              CV                           0,067




                                                   18
Phase 4 : Normer les coefficients : coefficient normé = rt * 12 / R

Exemple :


                                                                    rapport entre
                    mois             demande         mm12                           coef. Normés
                                                                   série et mm12


                       janv-04                 300                           0,90            0,90
                       févr-04                 310                           0,93            0,93
                      mars-04                  320                           0,96            0,96
                           avr-04              340                           1,02            1,02
                       mai-04                  350                           1,05            1,05
                           juin-04             370                           1,11            1,11
                           juil-04             370        334,17             1,11            1,11
                       août-04                 350        334,17             1,05            1,05
                       sept-04                 340        334,17             1,02            1,02
                           oct-04              330        334,17             0,99            0,99
                       nov-04                  320        334,17             0,96            0,96
                       déc-04                  310        334,17             0,93            0,93
                       janv-05                 300        334,17             0,90            0,90
                       févr-05                 310        334,17             0,93            0,93
                      mars-05                  320        334,17             0,96            0,96
                           avr-05              340        334,17             1,02            1,02
                       mai-05                  350        334,17             1,05            1,05
                           juin-05             370        334,17             1,11            1,11
                           juil-05             370        334,17             1,11            1,11
                       août-05                 350        334,17             1,05            1,05
                       sept-05                 340        334,17             1,02            1,02
                           oct-05              330        334,17             0,99            0,99
                       nov-05                  320        334,17             0,96            0,96
                       déc-05                  310        334,17             0,93            0,93
                       janv-06                 300        334,17             0,90            0,90
                       févr-06                 310        334,17             0,93            0,93
                      mars-06                  320        334,17             0,96            0,96
                           avr-06              340                           1,02            1,02
                       mai-06                  350                           1,05            1,05
                           juin-06             370                           1,11            1,11
                           juil-06             370                           1,11            1,11
                       août-06                 350                           1,05            1,05
                       sept-06                 340                           1,02            1,02


              moy                         335,45
              ecart type                   22,58
              CV                           0,067




                                                     19
Phase 5 : Calculer la série CVS ( xt / coefficient normé)

Exemple :

                                                                                 Demande
                                                                               corrigée des
                                                rapport entre
    mois            demande         mm12                        coef. Normés     variations
                                               série et mm12
                                                                               saisonnières
                                                                             (xt/Coef. Normé)
        janv-04               300                        0,90            0,90         334,17
        févr-04               310                        0,93            0,93         334,17
       mars-04                320                        0,96            0,96         334,17
          avr-04              340                        1,02            1,02         334,17
        mai-04                350                        1,05            1,05         334,17
          juin-04             370                        1,11            1,11         334,17
          juil-04             370     334,17             1,11            1,11         334,17
       août-04                350     334,17             1,05            1,05         334,17
       sept-04                340     334,17             1,02            1,02         334,17
          oct-04              330     334,17             0,99            0,99         334,17
        nov-04                320     334,17             0,96            0,96         334,17
        déc-04                310     334,17             0,93            0,93         334,17
        janv-05               300     334,17             0,90            0,90         334,17
        févr-05               310     334,17             0,93            0,93         334,17
       mars-05                320     334,17             0,96            0,96         334,17
          avr-05              340     334,17             1,02            1,02         334,17
        mai-05                350     334,17             1,05            1,05         334,17
          juin-05             370     334,17             1,11            1,11         334,17
          juil-05             370     334,17             1,11            1,11         334,17
       août-05                350     334,17             1,05            1,05         334,17
       sept-05                340     334,17             1,02            1,02         334,17    12,00
          oct-05              330     334,17             0,99            0,99         334,17
        nov-05                320     334,17             0,96            0,96         334,17
        déc-05                310     334,17             0,93            0,93         334,17
        janv-06               300     334,17             0,90            0,90         334,17
        févr-06               310     334,17             0,93            0,93         334,17
       mars-06                320     334,17             0,96            0,96         334,17
          avr-06              340                        1,02            1,02         334,17
        mai-06                350                        1,05            1,05         334,17
          juin-06             370                        1,11            1,11         334,17
          juil-06             370                        1,11            1,11         334,17
       août-06                350                        1,05            1,05         334,17
       sept-06                340                        1,02            1,02         334,17    12,00


  moyenne                335,45                                                       334,17
  écart type              22,58                                                          0,00
     CV                   0,067                                                          0,00




                                                       20
Faites l’exercice N° 6


A retenir :

La désaisonnalisation est une nouvelle répartition des valeurs au sein de l’année. La
saisonnalité est une constante cyclique qui se reproduit d’une année sur l’autre.

Les coefficients saisonniers peuvent s’exprimer dans la même unité que l’historique
(schéma additif) ou en pourcentage (schéma multiplicatif).

Le schéma de décomposition multiplicatif est toujours préférable au schéma additif
avec une réserve en cas de saisonnalité très marquée ( ventes très faibles à
certaines périodes).




                                         21
3. 3. Le Modèle de Hot-Winters ( Tendance + Saisonnalité )

Le modèle de Hot-Winters présente l’avantage d’intégrer une composante
saisonnière et donc de réaliser le calcul de la prévision en un seul traitement. C’est
ce modèle qui est employé le plus couramment dans les progiciels de prévisions de
ventes. Trois lissages distinctifs sont effectués :

    -      le lissage de la moyenne avec un coefficient de lissage   [ 0 ; 1 ] ;
    -      le lissage de la tendance avec un coefficient de lissage   [ 0 ; 1 ] ;
    -      le lissage de la saisonnalité avec un coefficient de lissage  [ 0 ; 1 ]


Formulation :

Lissage de la moyenne :
                                                       avec
Ft =  (xt / St-12) + ( 1-) ( F t -1+ T t-1)          Ft = moyenne lissée de la série en t
On utilise St-12 car St n’est pas encore
connue.                                                xt = valeur observée de la série en t
Lissage de la tendance :                               St = coefficient saisonnier en t
Tt =  ( Ft – Ft-1 ) + ( 1 -) Tt-1                    P = périodicité des données
                                                       ( p = 12 en mensuel, p = 4 en trimestriel)
Lissage de la saisonnalité :
                                                       Tt = tendance estimée en t.
St = ( xt / Ft) + ( 1 - ) S t –12
                                                       
                                                       x   t+h=   prévision pour l’horizon t+h périodes
Prévisions à un horizon de h périodes :

x   t+h   = (Ft + h * Tt) St-12



Initialisation ( pour la première année, t = 1, p)

    -      initialisation de la saisonnalité : les coefficients saisonniers pour la première
           année sont estimés par la valeur observée en t(xt) divisée par la moyenne
        x des 12 premières observations de la première année.
    Soit : St = xt / x , pour t= 1, 12
    - initialisation de la moyenne lissée : F12= x
    -      initialisation de la tendance : T12 = 0




                                                22
Le tableau suivant illustre un calcul de prévision à l’aide du modèle de Holt-Winters.

                                                 

 Dates        Ventes                   Ft                           Tt                   St                Xt+ h         h


                             Ft = ( xt/ St-12) +         Tt =  ( Ft - Ft-1) + St =  ( Xt / Ft) +   Xt+ h = ( Ft +
                Xt
                         [( 1 - Ft-1 + Tt-1)]      ( 1 -  ) * Tt-1   ( 1 -  ) * S t-12    (h*Tt)) * St-12


  janv-05       604                                                                   0,8354
   févr-05    625,63                                                                  0,8654
  mars-05     647,26                                                                  0,8953
    avr-05    668,89                                                                  0,9252
   mai-05     690,52                                                                  0,9551
   juin-05    712,15                                                                  0,9850
    juil-05   733,78                                                                  1,0150
  août-05     755,41                                                                  1,0449
  sept-05     777,04                                                                  1,0748
    oct-05    798,67                                                                  1,1047
   nov-05      820,3                                                                  1,1346
   déc-05     841,93               722,965                           0                1,1646
  janv-06     823,61               801,824                        -7,886              0,8738              625,630
   févr-06    805,29               834,930                       -10,408              0,8852              710,802
  mars-06     786,97               840,870                        -9,961              0,9034              762,851
    avr-06    768,65               830,873                        -7,965              0,9252              793,620
   mai-06     750,33               811,711                        -5,253              0,9490              810,598
   juin-06    732,01               787,459                        -2,302              0,9739              818,523
    juil-06   713,69               760,561                         0,618              0,9996              820,393
  août-06     695,37               732,476                         3,365              1,0258              818,112
  sept-06     677,05               704,069                         5,869              1,0522              812,894
    oct-06    658,73               675,843                         8,105              1,0787              805,519
   nov-06     640,41               648,090                        10,069              1,1053              796,492
   déc-06     622,09               620,968                        11,775              1,1320              575,095
  janv-07     603,77               650,213                         7,673              0,8847              560,100
   févr-07     619,2               670,372                         4,890              0,8929              594,339
  mars-07     634,63               683,428                         3,095              0,9084              624,742
    avr-07    650,06               691,354                         1,993              0,9282              651,493
   mai-07     665,49               695,725                         1,356              0,9505              675,285
   juin-07    680,92               697,697                         1,024              0,9744              696,832
    juil-07   696,35               698,084                         0,883              0,9992              716,727
  août-07     682,03               688,745                         1,728              1,0187              735,426
  sept-07     667,71               673,714                         3,059              1,0399              744,819
    oct-07    653,39               655,455                         4,579              1,0623              748,061
   nov-07     639,07               635,474                         6,119              1,0854              747,160
   déc-07     624,75               614,684                         7,586              1,1089              567,649
  janv-08                                                                                                 555,618        1
   févr-08                                                                                                562,391        2
  mars-08                                                                                                 579,082        3
    avr-08                                                                                                598,716        4
   mai-08                                                                                                 620,301        5
   juin-08                                                                                                643,266        6
    juil-08                                                                                               667,263        7
  août-08                                                                                                 687,978        8
  sept-08                                                                                                 710,240        9
    oct-08                                                                                                733,589        10
   nov-08                                                                                                 757,750        11
   déc-08                                                                                                 782,551        12




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Exemples de calcul :

Initialisation :

    X = 722,965 pour la première années
    La saisonnalité S avril 05 = 668,89 / 722,965 = 0,9252
    La moyenne F décembre 05 = 722,965
    La Tendance T décembre 05 = 0


Ici, en régime permanent, l’horizon h est choisi égal à 1, de janvier 2006 à janvier
2008.

F septembre 06 = [0,3 * ( 677,05 / 1,0748)] + [0,7 * (732,476 + 3,365) ] = 704,069

T septembre 06 = [0,1 *(732,476 – 704,069)] + ( 0,9 * 3,365) = 5,869

S septembre 06 = [0,2 * (677,05 / 704,069)] + ( 0,8 * 1,0748) = 1,0522

x  septembre 06 = (732,476 + 3,365) * 1,1047 = 812,894
(calculée en Août 06 avec h = 1)

La prévision pour septembre 2008 (horizon h = 9), calculée en décembre 2007 , est
égale à :

x   septembre 07   = [(614,684 + (9 * 7,586)] * 1,0399 = 710,240


Faites l’exercice 7




A retenir

Le lissage exponentiel est une moyenne qui pondère de manière décroissante
l’information passée.

La prévision calculée est sensible aux valeurs des coefficients de lissage.

Le lissage exponentiel simple et double ( modèle de Holt) ne peut être utilisé que
pour des séries CVS, en revanche, le modèle de Holt-Winters traite simultanément la
valeur moyenne, la tendance et la saisonnalité.




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