TRAIAN LALESCU by HC120524105623

VIEWS: 396 PAGES: 48

									 INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI CARAŞ SEVERIN
    CONSILIUL LOCAL AL MUNICIPIULUI CARANSEBEŞ


LICEUL PEDAGOGIC „C. D. LOGA” CARANSEBEŞ

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ

           „TRAIAN LALESCU”
                Ediţia a XXI–a
                           TRAIAN LALESCU
                                            Cine a fost Traian Lalescu?
       Istoria ştiinţei româneşti înregistrează în strălucitele ei pagini numele unui mare matematician:Traian Lalescu.
Matematicianul Traian Lalescu este o figură remarcabilă în istoria matematicii din România.
       Dar cine a fost matematicianul Traian Lalescu? Istoria matematicii din ţara românească îl plasează pe profesorul
Traian Lalescu alături de Gheorghe Ţiţeica şi Dimitrie Pompei, în grupul întemeietorilor şcolii matematice române.
Desigur, matematica fusese cultivată atât în Muntenia, cât şi în Moldova şi Transilvania cu mult înainte si rezultate
interesante fuseseră obţinute de matematicieni ca Spiru Haret, a cărui teză de doctorat, privind stabilirea miscării
planetelor, mai este si astăzi citită. Dar înspre sfârşitul secolului XIX şi începutul secolului XX se operează o schimbare
importantă, esenţiala:în Ţările Române, si mai apoi in România apar şcoli matematice originale. Pe aceasta linie se înscrie
şi activitatea profesorului Traian Lalescu.
       Familia Lalescu este originară din Banat, din comuna Cornea, judeţul Caraş-Severin. Tatăl profesorului se numea tot
Traian, ca şi fiul său de altfel, după cum cerea tradiţia locului de origine al familiei. Fiu al unui funcţionar la Banca
Naţionala a României ,matematicianul Lalescu s-a născut la Bucureşti în 24 iulie 1882.Nici tatăl său nu era însă un simplu
funcţionar, de la el s-a păstrat o broşură tipărită la Bucureşti în anul 1876, lucrare în care analiza unele probleme
economice ale agriculturii noastre; ca şi o altă lucrare, “Agenda băncilor populare si metodul de coeficient Lalescu”.Aceste
titluri ne vădesc un om cu preocupări variate – trăsătură ce caracterizează şi pe matematician.
       Tânărul Traian Lalescu şi-a făcut studiile primare la Bucureşti, după care a fost nevoit sa schimbe des oraşul şi
şcoala, părinţii stabilindu-se în interes de serviciu, pe rând, la Craiova, Roman şi Iaşi, unde a urmat cursurile celebrului
Liceu Internat. Cel care mai târziu a devenit vestitul matematician Lalescu a fost întotdeauna Premiantul I al clasei şi
premiant de onoare al şcolii – ceea ce explică de ce este menţionat pe tabelul de onoare al Liceului cu atâta faimă de la Iaşi.
       Încă din timpul şcolii, Traian Lalescu îşi descoperă adevărata vocaţie:matematica. El devine un asiduu colaborator la
Gazeta Matematica. În 1900 se prezintă la concursul de admitere de Şcoala de poduri şi şosele din Bucureşti – actualul
Institut Politehnic – reuşind primul. Dar la fel cum avea să facă ceva mai târziu cunoscutul matematician, Grigore C.
Moisil, in 1903 se retrage definitive la Facultatea de Ştiinţe a Universităţii din Bucureşti, secţia de matematici. În acelaşi
timp, funcţionează ca profesor suplinitor de matematici la un liceu particular. În scurtă vreme îşi ia licenţa în matematici
cu calificativul “foarte bine” şi obţine o bursă cu care pleacă la Paris, unde îşi ia din nou licenţa şi apoi doctoratul în
matematici. Tot la Paris îşi ia diploma de inginer electrician.
                                  TRAIAN LALESCU
      Teza de doctorat a lui Traian Lalescu trata un subiect foarte actual in acest moment, anume aşa-numitele ecuaţii integrale de tip
Volterra. Aşa după cum arată istoria matematicii, teza de doctorat a lui Lalescu constituie prima contribuţie românească importantă
in domeniul ecuaţiilor integrale. Rezultatele lui Lalescu pot fi considerate clasice, fiind incluse în tratatele de renume mondial, dintre
care unele se datorează chiar lui Volterra – creatorul teoriei tipului de ecuaţii care-i poarta numele.
      În ianuarie 1909, Traian Lalescu e numit profesor suplinitor la Facultatea de Ştiinţe a Universităţii din Bucureşti, lucrând şi în
învăţământul liceal până în 1912.De asemenea, el lucrează la Şcoala de poduri şi şosele, ca succesor al lui Spiru Haret.
      În timpul primului război mondial, Lalescu are o contribuţie însemnată în ceea ce priveşte apariţia, în timpul refugiului, la Iaşi ,
a Gazetei Matematice.
      În 1918, Lalescu pleacă cu alţi profesori la Paris, spre a sprijini cauza unităţii României. Acolo publică o teorema importantă
privind funcţiile periodice polinomiale, teoremă ce a format punctul de plecare a numeroase cercetări.
      În 1920, are un rol important în crearea unei şcoli politehnice la Timişoara, Lalescu fiind primul director(rector) al acestei
şcoli. Moartea îl surprinde în plină putere de creaţie, la vârsta de 47 de ani(1929).
      Traian Lalescu a fost un matematician de o originalitate rar întâlnita şi cu o putere de muncă prodigioasă. De la el au rămas
numeroase cursuri care deschideau drumuri noi în literatura noastră de specialitate:ecuaţii integrale, teoria maxwelliană a
electromagnetismului, calculul vectorial şi tensorial, teoria relativităţii. Iată numai câteva din domeniile abordate cu succes de
marele savant. Desigur, denumirile mai sus citate sunt pentru voi, copiii, necunoscute, dar mai târziu le veţi întâlni adeseori.
      Traian Lalescu era interesat de idee, de eleganţa demonstraţiei, de sensurile profunde ale teoremelor întâlnite. El abordează cu
succes toate domeniile noi ale matematicii contemporane, printre altele aducând contribuţii importante la studiul seriilor
trigonometrice şi al ecuaţiei integrale. În acelaşi timp, Lalescu a format, atât la Bucureşti cât şi la Timişoara, numeroşi matematicieni
care s-au afirmat apoi la succes.
      Ca omagiu aduc memoriei lui Traian Lalescu, începând cu anul 1985 a fost organizat anual (mai puţin în anii 1989 si 1990)
Concursul Interjudeţean „Traian Lalescu”.
      La acest concurs participă cei mai buni cinci elevi din clasele V-XII, din judeţele Arad, Caraş-Severin, Hunedoara, şi Timiş,
selectaţi în urma desfăşurării olimpiadei de matematică – etapa judeţeană. Concursul se organizează prin rotaţie în unul din judeţele
participante.
      Ediţia a XXI-a, din acest an, se organizează în judeţul Caraş-Severin la Liceul Pedagogic „C. D. Loga” din Caransebeş în
perioada 23-25 martie 2006.
      Concursul are loc sub patronajul Facultăţii de Matematică din cadrul Universităţii de Vest – Timişoara, în organizarea
Inspectoratului Şcolar Judeţean Caraş-Severin, al Consiliului Judeţean Caraş-Severin, al Consiliului Local al Municipiului
Caransebeş şi al Liceului Pedagogic „C. D. Loga”.
      Participă la acest concurs cei mai buni 5 elevi de nivel de clasă din fiecare judeţ şi un număr de invitaţi (elevi, cadre didactice,
personalităţi), numărul total de participanţi fiind de 256.
Organizatorii acestui deosebit concurs vă urează mult succes!
MEMORIALUL “TRAIAN LALESCU”
            Ediţia XXI
DELEGAŢII            ORGANIZATORI


SUBIECTE             COMISIE DE CONCURS


REZULTATE            SPONSORI
     CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
               „TRAIAN LALESCU”
                  Ediţia a XXI–a
Comitetul de organizare:
Preşedinte:
   Prof. Magas Gheorghe, Inspector Şcolar General - I.S.J. Caraş Severin


Vicepreşedinţi:
    Prof. Drd. Şuşoi Paul Mihai - Inspector şcolar de specialitate - I.S.J. Caraş Severin
    Prof. Dr. Grindeanu Nicolae - Director Liceul Pedagogic “C. D. Loga” Caransebeş


Membri:
Prof. Hogea Gheroghe                  Prof. Isac Simion                       Inst. Pfeifer Gabriela
Prof. Iatan Rodica                    Prof. Jurj Nuţu                         Prof. Buzescu Antoanela
Prof. Moatăr Lavinia                  Prof. Dragota Anişoara                  Prof. Ţicu Maria
Prof. Chiş Vasile                     Prof. Franţ Samfiu                      Prof. Norozescu Gheorghe
Prof. Ivaşcu Nicoleta                 Prof. Mandreşi Ana                      Prof. Humiţa Dorina
Prof. Mirulescu Mariţa                Prof. Negoiţă Codrin                    Prof. Curescu Simona
Prof. Bistrian Ana                    Prof. Hurduzeu Diana                    Prof. Şvaia Ildiko
Prof. Bogdea Florin                   Prof. Semenescu Adrian                  Prof. Bălăşoiu Sever
Prof. Ciobotea Petronela              Prof. Bocicariu Monica                  Inst. Minea Elena
Inst. Todor Lidia                     Inst. Subota Mihaela                    Inst. Ion Ritta
Secretar şef Radu Mariana             Secretar Adam Mariana                   Contabil şef Panczel Elena
Administrator Ţâru Luminiţa           Laborant Murariu Eugenia                Bibliotecar Lădaru Stan Margareta
     CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
               „TRAIAN LALESCU”
                  Ediţia a XXI–a
Comisia de concurs:
 Preşedinte:
  Prof. Univ. Dr. Mihail Megan, prorector al Universităţii de Vest Timişoara

 Vicepreşedinte:
  Prof. Univ. Dr. Buşe Constantin, Facultea de Matematică şi Informatică Timişoara
 Invitat de onoare:
  Prof. Univ. Dr. Săvulescu Doru Dumitru, S.N.E.E., Bucureşti
 Membri:
 Universitatea de Vest Timişoara
      Conf Dr. Ceauşu Traian
      Conf Dr. Silberberg Gheorghe
      Conf. Dr. Birăuaş Silviu
      Lect. Dr. Comănescu Dan
      Asist. Drd. Caşu Ion
      Asist. Dr. Tudoran Răzvan
      Asist. Dr. Blaga Adara
 Inspectori şcolari de specialitate:
      Prof. Drd. Paul Mihai Şuşoi – I.S.J. Caraş-Severin
      Prof. Zeno Blajovan – I.S.J. Timiş
      Prof. Petria Elena Boldea – I.S.J. Timiş
      Prof. Viorel Tudoran – I.S.J. Arad
      Prof. Maranda Linţ – I.S.J. Hunedoara
      Prof. Portal Wilhelm – director C.N. “Moise Nicoară”, Arad
      Prof. Badescu Ovidiu – Liceul Teoretic “Traian Lalescu”, Reşiţa
  CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
            „TRAIAN LALESCU”
               Ediţia a XXI–a
Delegaţii:




                  Caransebeş
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Arad
Elevi:
NR.                                           PROFESOR
            NUMELE ŞI PRENUMELE   CLS                                             ŞCOALA
CRT.                                          ANTRENOR

 1     CIOBA CĂTĂLIN               V     COCOŞ ADRIANA          LICEUL PEDAGOGIC"D.TICHINDEAL",ARAD

 2     ROZA ANDREI                 V     PELLEGRINI LILLA       ŞCOALA GENERALĂ NR 4 "IOAN SLAVICI",ARAD

 3     DASCĂL CRINA                V     PREDA DANA             LIC TEORETIC "MV",CHIŞINEU-CRIŞ

 4     ŞIMAN NOEMI                 V     COCOŞ ADRIANA          LICEUL PEDAGOGIC"D.TICHINDEAL",ARAD

 5     TRENDLER ALEXANDRU          V     COCOŞ ADRIANA          LICEUL PEDAGOGIC"D.TICHINDEAL",ARAD

 6     POP AELIUS                  VI    BLAGA ALEXANDRU        COLEGIUL NAŢIONAL ELENA GHIBA-BIRTA ARAD

 7     JIVAN ANDRA                 VI    PELLEGRINI ALEXANDRU   ŞCOALA GENERALĂ NR 4 "IOAN SLAVICI",ARAD

 8     NEAMŢU ADRIANA              VI    POTOCEAN OCTAVIA       COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD

 9     SIMA SERGIU                 VI    IOV GHEORGHE           ŞCOALA GENERALĂ NR 5 ARAD

 10    NEGRILĂ ALINA               VI    POTOCEAN OCTAVIA       COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD

 11    FRENŢ SIMON                VII    TOADER MARIA           COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD

 12    BRAN DIANA                 VII    POTOCEAN MIRCEA        COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD

 13    SAVULOV TULIA              VII    TOADER MARIA           COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD

 14    VIŞĂOAN LAURA              VII    POTOCEAN MIRCEA        COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD

 15    GĂVRUŢĂ ALEXANDRU          VII    COCOŞ ADRIANA          LICEUL PEDAGOGIC"D.TICHINDEAL",ARAD

 16    ŢOCIU LAURA                VIII   IOV GHEORGHE           ŞCOALA GENERALĂ NR 5 ARAD

 17    VĂRŞĂNDAN LAURA            VIII   MUREŞAN ANIKO          ŞCOALA GENERALĂ NR 4 "IOAN SLAVICI",ARAD

 18    GHIŢĂ VLAD                 VIII   NEGRILĂ LILIANA        COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD

 19    FAZEKAS LEVENTE            VIII   BOCANICIU EUGEN        LICEUL TEORETIC VASILE GOLDIŞ ARAD

 20    MAGDA ANDRADA              VIII   BOLOJAN VIORICA        ŞCOALA GENERALA NR.2 ARAD
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Arad
Elevi:
21   FILIP LAURIAN             IX    POTOCEAN MIRCEA    COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

22   MICULA ADINA              IX    POTOCEAN MIRCEA    COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

23   VLAD ADINA                IX    IOJA IOAN          COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

24   BONCEA ADELINE            IX    CAMENITA MARCEL    COLEGIUL NATIONAL ELENA GHIBA-BIRTA ARAD

25   LASCU ANDREI              IX    POTOCEAN MIRCEA    COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

26   BĂLTEAN-LUGOJAN RADU      X     POTOCEAN OCTAVIA   COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

27   DUMULESC SEBASTIAN        X     POTOCEAN OCTAVIA   COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

28   FRENŢ LIGIA MARIA         X     POTOCEAN OCTAVIA   COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

29   BUREŢEA VALENTN GEORGE    X     POTOCEAN OCTAVIA   COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

30   HORIN ALEXANDRU SEVER     X     POTOCEAN OCTAVIA   COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

31   PAPIU ALEXANDRU           XI    TOADER MARIA       COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

32   LASC ANCA                 XI    PORTAL WILHELM     COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

33   PANDA CRISTIAN            XI    DOBA FRANCISC      COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

34   BÎRZA ROMINA              XI    CAMENITA MARCEL    COLEGIUL NATIONAL ELENA GHIBA-BIRTA ARAD

35   CRAINIC ANDA              XI    TOADER MARIA       COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

36   BOGOSEL BENIAMIN          XII   DUMITRICA SORIN    COLEGIUL NATIONAL ELENA GHIBA-BIRTA ARAD

37   BUCUR GABRIEL             XII   POTOCEAN OCTAVIA   COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

38   PANDA CORINA              XII   POTOCEAN OCTAVIA   COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD

39   AMBRUS ADRIAN             XII   DUMITRICA SORIN    COLEGIUL NATIONA ELENA GHIBA-BIRTA ARAD

40   LAZEA-POSTELNICU RAZVAN   XII   DOBA FRANCISC      COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Arad

Profesori corectori:
 NR.        NUMELE SI
                                                UNITATEA ŞCOLARĂ
 CRT.      RENUMELE
  1     COCOŞ ADRIANA        PROFESOR MATEMATICA,LIC PEDAGOGIC D.TICHINDEAL ARAD
  2     DOBA FRANCISC        PROFESOR MATEMATICA,COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD
  3     DUMITRICĂ SORIN      PROFESOR MATEMATICA,COLEGIUL NAŢIONAL E.GHIBA-BIRTA ARAD
  4     HALMAGEAN EUGEN      PROFESOR MATEMATICA,LICEUL DE ARTĂ ARAD
  5     MORARU AUGUSTINI     PROFESOR MATEMATICA,COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD
  6     POTOCEAN OCTAVIA     PROFESOR MATEMATICA,COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD
  7     POTOCEAN MIRCEA      PROFESOR MATEMATICA,COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD
  8     TOADER MARIA         PROFESOR MATEMATICA,COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD


 Profesori însoţitori:
 1   BORLEA MARIA DIRECTOR ADJUNCT,LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUN ARAD
 2   BUZGĂU DORIN PROFESOR MATEMATICA,COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD




 Inspector Şcolar de Specialitate
 Prof. Viorel Tudoran
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Caraş-Severin
Elevi:
NR.                                      PROFESOR
       NUMELE ŞI PRENUMELE   CLS                                          ŞCOALA
CRT.                                     ANTRENOR
 1     ŢEUDAN ADINA           V     DRĂGHICI MARIA        ŞC. CU CLS. I-VIII NR 2 RESIŢA
 2     AGHESCU MONICA         V     DRĂGHICI MARIA        ŞC. CU CLS. I-VIII NR 2 RESIŢA
 3     ŢUNEA MARIUS           V     APOSTOL DANIELA       ŞC. CU CLS. I-VIII NR 6 RESIŢA
 4     LAZĂR SILVIU           V     AVRAMESCU IRINA       ŞC. CU CLS. I-VIII NR 9 RESIŢA
 5     DRĂGHICI LIVIA         V     DRĂGHICI MARIA        ŞC. CU CLS. I-VIII NR 2 RESIŢA
 6     STOICĂNESCU GELU      VI     DRAGOMIR ADRIAN       LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ
 7     MOŢ IOANA MIHAELA     VI     SIMULESCU SUSANA      ŞC. CU CLS. I-VIII NR 6 RESIŢA
 8     POPA ANDREEA          VI     DRAGOMIR ADRIAN       LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ
 9     NASTA LAURA           VI     DRAGOMIR ADRIANA      G. S. OTELU ROSU
 10    FLOREA IULIANA        VI     CURESCU SIMONA        ŞC. CU CLS. I-VIII NR 8 RESIŢA
 11    MEŞTER AMALIA         VI     DRĂGHICI MARIA        ŞC. CU CLS. I-VIII NR 2 RESIŢA
 12    SZABO CRISTIAN        VII    DRAGOMIR DELIA        LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ
 13    MOCANU IOANA          VII    DRAGOMIR DELIA        LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ
 14    ENCIU ŞANDRA          VII    VLĂDUCEANU CRISTINA   LIC TEORETIC „DIACONOVICI-TIETZ” REŞIŢA
 15    SEMENESCU ANCA        VII    HUMIŢA DORINA         LIC. PED CARANSEBEŞ
 16    UŢĂ ROBERT            VII    GÎDEA VASILICA        G. S. IND. MOLDOVA NOUA
 17    MEŞTER SERGIU         VIII   ŞANDRU MARIUS         ŞC. CU CLS. I-VIII NR 2 RESIŢA
 18    DIMCEA CRISTIAN       VIII   BOLBOTINA CONSTANTIN LIC „HERCULES” B. HERCULANE
 19    GALESCU DAN           VIII   DRAGOMIR DELIA        LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ
 20    COCOCEANU OANA        VIII   FEIL HEIDI            SC CU CLS. I-VIII NR 1 OTELU ROSU
 21    ZAMFIR CRISTIAN       VIII   DRAGOMIR DELIA        LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Caraş-Severin
Elevi:
NR.                                      PROFESOR
       NUMELE ŞI PRENUMELE     CLS                                    ŞCOALA
CRT.                                     ANTRENOR
 22    STĂNILOIU OVIDIU         IX   TODOR IOAN        LT BOCŞA
 23    MILCU ROXANA             IX   MOATĂR LAVINIA    LIC. PED CARANSEBEŞ
 24    INAŞCU MARIAN EMANUEL    IX   BUZILĂ MIRCEA     LIC TEORETIC „TRAIAN VUIA” REŞIŢA
 25    LUPU VLAD                IX   DRAGOMIR LUCIAN   G. S. OTELU ROSU
 26    COTORAN FLORIN           IX   BUZILĂ MIRCEA     LIC TEORETIC „TRAIAN VUIA” REŞIŢA
 27    PÎRVU CĂTĂLIN            X    MIHART NICOLAE    G. S. IND. MOLDOVA NOUA
 28    UNGURAS DRAGOS           X    DRAGOMIR LUCIAN   G. S. OTELU ROSU
 29    GURGU ANTON CAIUS        X    MOATĂR LAVINIA    LIC. PED CARANSEBEŞ
 30    GAVRILIUC ELENA          X                      LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ
 31    BIRAU GEORGIANA          X    BĂDESCU OVIDIU    LIC TEORETIC „TRAIAN LALESCU” REŞIŢA
 32    GURGU IOANA              X    HOGEA GHEORGHE    LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ
 33    POPOVICI DORU            XI   BĂDESCU OVIDIU    LIC TEORETIC „TRAIAN LALESCU” REŞIŢA
 34    BADERCA SILVIU           XI   BUZILĂ MIRCEA     LIC TEORETIC „TRAIAN VUIA” REŞIŢA
 35    IACOB ALEXANDRA          XI   DRAGOMIR DELIA    LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ
 36    ISTODOR COSMIN           XI   DRAGOMIR LUCIAN   G. S. OTELU ROSU
 37    ZSERAI FLAVIA            XI   MURG STANA        G. S. IND. MOLDOVA NOUA
 38    CUCU SILVIU             XII   BĂDESCU OVIDIU    LIC TEORETIC „TRAIAN VUIA” REŞIŢA
 39    PARASCHIVU ANDREEA      XII   BUZILĂ MIRCEA     LIC TEORETIC „TRAIAN VUIA” REŞIŢA
 40    MÂRAN ANDRADA           XII   MIHART NICOLAE    G. S. IND. MOLDOVA NOUA
 41    CEAUŞUL IOANA           XII   DIDRAGA IACOB     LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ
 42    GRAMA MĂDĂLINA          XII   IATAN RODICA      LT BOCŞA
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Caraş-Severin

Profesori corectori:
 NR.
           NUMELE SI RENUMELE                       UNITATEA ŞCOLARĂ
 CRT.
  1      SANDRU MARIUS                    SCOALA CU CLASELE I-VIII NR.2 RESITA
  2      DRAGOMIR DELIA                   LICEUL TEOR. "TRAIAN DODA" CARANSEBES
  3      AVRAMESCU IRINA                  SCOALA CU CLASELE I-VIII NR.9 RESITA
  4      DRAGHICI MARIANA                 SCOALA CU CLASELE I-VIII NR.2 RESITA
  5      DRAGOMIR LUCIAN                  GRUP SCOLAR INDUSTRIAL OTELU ROSU
  6      STANILOIU NICOLAE                GRUP SCOLAR INDUSTRIAL BOCSA
  7      DIDRAGA IACOB                    LICEUL TEOR. "TRAIAN DODA" CARANSEBES
  8      BUZILA MIRCEA                    LICEUL TEOR. "TRAIAN VUIA" RESITA



Profesori însoţitori:
 1 CHIS VASILE    SCOALA CU CLASELE I-VIII NR. 9 RESITA
 2 CURESCU SIMONA SCOALA CU CLASELE I-VIII NR. 8 RESITA


 Inspector Şcolar de Specialitate
 Prof. Drd. Paul Mihai Şuşoi
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Hunedoara
Elevi:
NR.
            NUMELE ŞI PRENUMELE           CLS      PROFESOR ANTRENOR                    ŞCOALA
CRT.
 1     ARDELEAN ANDREI                     V     PASCOTESCU CAMELIA    COLEGIUL NAŢIONAL "I.C.BRĂTIANU" HAŢEG
 2     MILEA NICOLAE                       V     MARTA RAFILA          ŞC. GEN. "DR. A. VLAD" ORĂŞTIE
 3     PIPIŞ RAUL                          V     GIURCĂ ILEANA.        COLEGIUL ECONOMIC"E.GOJDU"HUNEDOARA
 4     BUBATU LUIZA                        V     TODORAN DANIEL        COLEGIUL NAŢIONAL "A VLAICU" ORĂŞTIE
 5     NEGHIU ANCA                         V     HORGA MARCELA         ŞC. GEN. "DOMINIC STANCA" ORĂŞTIE
 6     TATULEA CODREAN MARIA               VI    STOICA ALINA          COLEGIUL NAŢIONAL "I.C.BRĂTIANU" HAŢEG
 7     NICULESCU VLAD                      VI    CHIFOR STELUŢA        ŞC.GEN."I. G. DUCA" PETROŞANI
 8     GUGA ROSIAN CALIN                   VI    CRETU DANIELA         SC.GEN."OVID DENSUSIANU" HATEG
 9     IGELSKY MANUELA                     VI    SZELL MARGARETA       COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA
 10    CRISAN AMALIA                       VI    RAFILIU LETITIA       ŞC. GEN. "DR. A. VLAD" ORĂŞTIE
 11    VARGA ANDREI                        VI    CHIFOR STELUŢA        ŞC.GEN."I. G. DUCA" PETROŞANI
 12    GURALIUC STEFAN                    VII    PIŢU LUCIAN           COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA
 13    STOICA ANDREEA                     VII    MARTA RAFILA          ŞC. GEN. "DR. A. VLAD" ORĂŞTIE
 14    IDITA SEBASTIAN                    VII    LUCACI RAMONA         "AVRAM STANCA" PETROSANI
 15    MOLDOVAN IOANA                     VII    FARCAS VIOLETA        SC. GEN "H.C.C." BAIA DE CRIS
 16    SMEU TUDOR                         VII    GHERMAN JENICA        SC. GEN. "ANDREI SAGUNA" DEVA
 17    BESLEAGA ANAMARIA                  VII    PIŢU LUCIAN           COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA
 18    STERN VLAD                         VIII   TRUŢĂ GH.             ŞCOALA GENERALĂ NR. 3 LUPENI
 19    MARIAN MIHAIL                      VIII   LINŢ DORIN            COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA
 20    PLOSCARIU-CISMAŞ LAVINIA DANIELA   VIII   LINŢ DORIN            COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Hunedoara
Elevi:
NR.
            NUMELE ŞI PRENUMELE   CLS      PROFESOR ANTRENOR                   ŞCOALA
CRT.
 21    NENU ANDA                  VIII   LĂUTARU ALEXANDRU     ŞC.GEN."I. G. DUCA" PETROŞANI
 22    STANESCU ANA MARIA         VIII   OANCEA TUDOR          SC.GEN, M.SANTINBREANU BRAD
 23    ŞTEFAN DIANA               VIII   LINŢ DORIN            COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA
 24    COTOCEA ANCA                IX    NOVĂCESCU IOAN        COLEGIUL NAŢIONAL "AVRAM IANCU" BRAD
 25    GLINŢĂ ANDA                 IX    IANOŞI DANIEL         LICEUL TEORETIC LUPENI
 26    COSMA TEODORA               IX    GOLGOŢIU FLAVIA       COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA
 27    BACI SONIA                  X     NOVĂCESCU IOAN        COLEGIUL NAŢIONAL "AVRAM IANCU" BRAD
 28    BELEIU LIA ANDREEA          X     IANOŞI DANIEL         LICEUL TEORETIC LUPENI
 29    DANCIU NICOLAE              X     LEPĂDATU IOAN         LICEUL TEORETIC "MIHAI EMINESCU" PETROŞANI
 30    SAVA DANIEL FLORIN          X     MARINESCU DAN         COLEGIUL NAŢIONAL "IANCU DE HUNEDOARA"
 31    DRAGA ANDREI                X     MARINESCU DAN         COLEGIUL NAŢIONAL "IANCU DE HUNEDOARA"
 32    PALIŢĂ FLORIAN              XI    TOROAPĂ CONSTANTIN    LICEUL DE INFORMATICĂ PETROŞANI
 33    POPU ALEXANDRA              XI    LEPĂDATU IOAN         LICEUL TEORETIC "MIHAI EMINESCU" PETROŞANI
 34    HEGER VLAD                  XI    TOMA GHEORGHE         COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA
 35    DEAC IRINA                  XI    LEPĂDATU IOAN         LICEUL TEORETIC "MIHAI EMINESCU" PETROŞANI
 36    BABA MIHAI                 XII    BADE SIMION           COLEGIUL NAŢIONAL DE INFORMATICĂ "TRAIAN LALESCU"
 37    OPRIŞA CIPRIAN             XII    IGELSKY EUGEN         COLEGIUL NAŢIONAL "AVRAM IANCU" BRAD
 38    DĂNESCU IULIA              XII    DUMITRU ANGELA        COLEGIUL NAŢIONAL "A VLAICU" ORĂŞTIE
 39    ENACHE VERONICA            XII    TELECHE FLORICA       LICEUL TEORETIC "MIHAI EMINESCU" PETROŞANI
 40    IONIŢĂ MARCELA             XII    TELECHE FLORICA       LICEUL TEORETIC "MIHAI EMINESCU" PETROŞANI
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Hunedoara

Profesori corectori:
 NR.
             NUMELE SI RENUMELE                           UNITATEA ŞCOLARĂ
 CRT.
  1     LINŢ DORIN                              COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA
  2     MONEA MIHAI                             COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA
  3     TOMA GHEORGHE                           COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA
  4     GIURCA ILEANA                           COLEGIUL ECONOMIC "E. GOJDU" HUNEDOARA
  5     PIŢU LUCIAN                             COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA
  6     MARINESCU DAN ŞTEFAN                    COLEGIUL NAŢIONAL "IANCU DE HUNEDOARA"
  7     TOROAPĂ CONSTANTIN                      LICEUL DE INFORMATICĂ PETROŞANI
  8     STROE MARIAN                            COLEGIUL ECONOMIC "E. GOJDU" HUNEDOARA


 Profesori însoţitori:

 1 FARCAS VIOLETA     SCOALA GENERALA "H.C.C." BAIA DE CRIS
 2 IANOSI DANIEL      LICEUL TEORETIC LUPENI

 Inspector Şcolar de Specialitate
 Prof. Maranda Linţ
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Timiş
Elevi:
NR.
            NUMELE ŞI PRENUMELE   CLS      PROFESOR ANTRENOR                       ŞCOALA
CRT.
 1     BOSUN ADELA                 V     TĂNASIE ALEX.          COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN
 2     IACOB IVONA                 V     BUŞE GABRIELA          ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 22
 3     IOCŞA VALERIU               V     NEMES ADRIAN           COLEGIUL NAŢIONAL C D. LOGA
 4     VLAZAN SABINA               V     BEHAWETZ AFRODITA      LIC.PEDAGOGIC"C.SYLVA"
 5     SANDRU ALEXANDRA            V     NEMES ADRIAN           COL.NAT.C.D.LOGA
 6     NEAGOE SORIN                V     LOLEA ANGELA           ŞC. CU CLS. I-VIII NR.16
 7     NESIU RADU                  VI    ENACHE DOINA           SC.CU CLS.I-VIII NR.19
 8     RIVIS MARIO                 VI    POPOVICIU DIANA        LIC.T."N.LENAU"
 9     ILCA ŞERBAN                 VI    POPA ADRIANA           ŞCOALA NR. 7 TM.
 10    COMAN BEATRICE              VI    ARIMIA ECATERINA       ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 6
 11    SILBERBERG ALFRED          VII    BUŞE GABRIELA          ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 22
 12    ŞTEF GIULIA                VII    ROMAN VASILE           ŞCOALA NR. 7 TM.
 13    COMAN ADRIAN               VII    CONSTANTIN LILIANA     ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 22
 14    NEAGU FRUJINA              VII    BUŞE GABRIELA          ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 22
 15    MIU PAUL                   VII    BEHAWETZ AFRODITA      LIC.PEDAGOGIC"C.SYLVA"
 16    DE SABATA CARLA            VIII   CONSTANTIN LILIANA     ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 22
 17    DRĂGĂNESCU ALINA           VIII   BUŞE GABRIELA          ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 22
 18    PAULIS BOGDAN              VIII   GHEORGHITA SEBASTIAN   SC. CU CLS.I-VIII NR.4, LUGOJ
 19    LEONTIUC IOANA             VIII   BERARIU DOINA          SC.CU CLS.I-VIII NR.26
 20    DOBRIŞAN ANDREI            VIII   DON LUCREŢIA           ŞCOALA CU CLASELE I-VIII NR.16
 21    LASCU DIANA                 IX    GEORGESCU GEORGE       LICEUL GRIGORE MOISIL
 22    DE SABATA GIULIANO          IX    GEORGESCU GEORGE       LICEUL GRIGORE MOISIL
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Timiş
Elevi:
 NR.
             NUMELE ŞI PRENUMELE   CLS     PROFESOR ANTRENOR                   ŞCOALA
 CRT.
  23    BOCIU ALEXANDRU             IX   NEAMŢU MIHAI          COLEGIUL NAŢIONAL C D. LOGA
  24    ULARU DANA                  IX   SEIMEANU NICOLAE      COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN
  25    AVRAMESCU ANDREI            IX   GEORGESCU GEORGE      LICEUL GRIGORE MOISIL
  26    GRUICIN IASMINA             IX   SEIMEANU NICOLAE      COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN
  27    KOVACS LAVINIA              X    NEMEŞ ADRIAN          COLEGIUL NAŢIONAL C D. LOGA
  28    COSTIN RADU FLORIN          X    BARTA MIANA           COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN
  29    GHIŢĂ OANA                  X    GEORGESCU GEORGE      LICEUL GRIGORE MOISIL
  30    LARION OCTAVIAN             X    DINU IOAN             COLEGIUL NATIONAL”C.BREDICEANU”,LUGOJ
  31    ZĂHOI ADRIAN                X    BOBAN GHEORGHE        COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN
  32    BABAITA ANDREEA             X    NEGRU VALERICA        LICEUL PEDAGOGIC "CARMEN SYLVA"
  33    PAŞCA LUCIAN                XI   NEAMŢU MIHAI          COLEGIUL NAŢIONAL C D. LOGA
  34    IOVESCU DANA                XI   ORBULESCU             COLEGIUL NATIONAL “C.BREDICEANU”,LUGOJ
  35    OTEŞTEANU CORIN             XI   GEORGESCU RUXANDRA    LICEUL GRIGORE MOISIL
  36    MOLDOVEAN BOGDAN            XI   GEORGESCU RUXANDRA    LICEUL GRIGORE MOISIL
  37    BLAJ BOGDAN ANDREI          XI   ORBULESCU             COLEGIUL NATIONAL “C.BREDICEANU”,LUGOJ
  38    DURA ALEXANDRU             XII   GEORGESCU GEORGE      LICEUL GRIGORE MOISIL
  39    POROBIC ISMET              XII   CRISTESCU VIOLETA     COLEGIUL NAŢIONAL C D. LOGA
  40    MICLEA MARIUS              XII   DINU IOAN             COLEGIUL NATIONAL”C.BREDICEANU”,LUGOJ
  41    ZĂVADĂ BOGDAN              XII   IANCULESCU DORU       LICEUL GRIGORE MOISIL
  42    TODEA ROBERT               XII   IANCULESCU DORU       LICEUL GRIGORE MOISIL
  43    BUTOIANU DANIEL            XII                         COLEGIUL ECONOMIC "F. SENITI", TIMISOARA
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Timiş
Profesori corectori:
 NR.
         NUMELE SI RENUMELE                            UNITATEA ŞCOLARĂ
 CRT.
  1     MICLEA IOAN           SCOALA F.BARBU LUGOJ
  2     BOCIU CERASELA        SC.CU CLS.I-VIII NR.13
  3     JIROVEANU CRISTINA    LICEUL PEDAGOGIC "C. SYLVA"
  4     NEMEŞ ADRIAN          COLEGIUL NAŢIONAL C D. LOGA
  5     IANCULESCU DORU       LICEUL GRIGORE MOISIL
  6     GEORGESCU GEORGE      LICEUL GRIGORE MOISIL
  7     SEIMEANU NICOLAE      COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN
  8     DINU IOAN             COL. N. ”C.BREDICEANU” LUGOJ


Profesori însoţitori:
 1 ANDREEA PLETEA LICEUL PEDAGOGIC "CARMEN SYLVA"
 2 DUMESCU DAN    GRUP ŞCOLAR "TRAIAN GROZĂVESCU" NĂDRAG



 Inspector Şcolar de Specialitate
 Fiz. Dr. Sandu Golcea
   CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
             „TRAIAN LALESCU”
                Ediţia a XXI–a
Au fost lângă noi şi le mulţumim:
Consiliul Judeţean Caraş-Severin
Consiliul Local al Municipiului Caransebeş
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Caraş-Severin
Muzeul Judeţean de Etnografie şi al Regimentului de Graniţă, Caransebeş

Hotel “Imperial”                            S.C. Emiliano Vest S.R.L.
Hotel “Armando” – S.C. Cerna S.R.L.         S.C. Serdra S.R.L. – X-Treame Club
Hotel “Mura” – S.C.M.I. Sian S.R.L.         S.C. Gerroconstruct S.R.L.
S.C. Radoia Izolirung S.R.L.                S.C. Taicons – Băile –Herculane
Tehnodinamic S.R.L.                         S.C. La Blondu - Băile –Herculane
S.C. Benning Power Electronic Rom. S.C.S.   S.C. Marasolca – Băile-Herculane
SUBIECTE CLASA A V - A

  1. Scrieţi în ordine crescătoare şirul multiplilor lui 3: 0, 3, 6, 9,12, 15, 18 …. şi apoi şirul
     corespunzător sumelor cifrelor din primul şir: 0, 3, 6, 9, 3, 6, 9, …

        a. De câte ori apare numărul 2008 în cel de-al doilea şir ?
        b. Care sunt primele două numere din primul şir cărora le corespunde în al doilea şir
           numărul 2007 ?
        c. Cineva afirmă că numărul 2007 apare în cel de-al doilea şir de cel mult 1001 ori. Are
           el dreptate ? (Argumentaţi răspunsul)

                                                                                             D. Miheţ



  2. Să se scrie    352007 ca sumă de trei pătrate.
                                                                          Prelucrare Adara Blaga




   3. Fie x, y, z, v, w numere naturale. Ştiind că

                         2x+y+z + 2y+z+v + 2z+v+w + 2v+w+x = 1089,
   arătaţi că x + y + z + v + w este pătrat perfect.

                                                                        Prelucrare Adara Blaga
SUBIECTE CLASA A VI - A



  1. Măsurile unghiurilor unui triunghi sunt direct proporţionale cu trei numere naturale
     consecutive nenule. Arătaţi că unul dintre unghiuri are măsura de 600.
                                                                            ***


  2. Arătaţi că numărul N=42007+1 nu poate fi scris ca suma a două numere prime.

                                                                                             Răzvan Tudoran
 3. Din punctul O se duc în sens invers acelor de ceasornic semidreptele [Ox, [Oy, [Oz şi [Ot astfel încât
    <xOy <zOt şi <yOz <xOt. Fie A (Ox, B (Oy, C (Oz, D (Ot, astfel încâtOA   OC  ,OB   OD  .
                                                          
    Considerăm un punct P CD  şi Q  PO  AD .
                            
    Arătaţi că OP   OQ  .

                                                                                                   Maria Miheţ



 4. Spunem că un număr natural n are proprietatea P dacă suma tuturor divizorilor săi naturali este 2n.
        Daţi exemplu de un număr natural care are proprietatea P.
        Arătaţi că niciun pătrat perfect nu are proprietatea P.

                                                                                               Răzvan Tudoran
 SUBIECTE CLASA A VII - A

 1. Se dă triunghiul ascuţitunghic ABC. Să se arate că picioarele perpendicularelor
    din A pe bisectoarele interioare şi exterioare ale unghiurilor B şi C sunt patru
    puncte coliniare.

                                                                                                   ***

                                                                          AB. CalculaţimAOB  , unde
                                                                        2
2. În patrulaterul convex ABCD se ştie că AC  CB, BD  DA si DC 
                                                                       2
   O este punctul de intersecţie a diagonalelor patrulaterului.

                                                                                              D. Miheţ


 3. Determinaţi cel mai mare număr de numere naturale pe care le putem alege din mulţimea
    M   , 2, 3, ..., 2007  astfel ca suma oricăror două numere alese să se dividă cu 10.
         1
                                                                                    Maria Pop, Cluj Napoca




                                                                    
 4. Fie x şi y două numere reale. Să se arate că x  x 2  1  y  y 2  1  1 dacă şi numai dacă x+y=0.

                                                                                                 S. Birăuaş
SUBIECTE CLASA A VIII - A



                                                 2 n
 1. Să se determine n  N astfel încât                      Q.
                                                2  2007

                                                                            D. Comănescu
 2. Fie numerele reale x şi y cu proprietatea că             x, y  1 . Notăm :
                                                    x           y
                                 E ( x, y )                          .
                                                2x  y  1 x  2 y  1
                             1                2
    i)      Să se arate că : 2  E ( x, y )  3 .

                                    1 2 
    ii)     Să se arate că dacă a   ,  , atunci există           x, y  1 astfel încât E(x,y)=a.
                                    2 3 
                                                                                      D. Comănescu
 3. Fie ABCD un tetraedru cu următoarele proprietăţi:
    i)      dreptele AD, BD şi CD sunt perpendiculare două câte două;
    ii)     unghiurile făcute de dreptele AD, BD şi CD cu planul ABC au măsurile de 45º, 30º respectiv 30º.
    Să se determine suma măsurilor tuturor unghiurilor diedre dintre feţele tetraedrului.
                                                                           Prelucrare D. Comănescu
 4. Fie α şi β două plane paralele. În planul α este situat un patrulater convex. Să se determine punctul P din planul β cu
 proprietatea că suma distanţelor de la P la cele patru vârfuri ale patrulaterului este minimă.
                                                                           Prelucrare D. Comănescu
SUBIECTE CLASA A IX - A



Problema 1: Fie E o mulţime nevidă, A, B  E şi funcţia f : PE   PE   PE  definită prin
                                         f  X    X  A, X  B , X  PE  .
Să se arate că f este injectivă dacă şi numai dacă A  B.
                                                                        Prelucrare I. Caşu

Problema 2: Fie ABCDEF un hexagon regulat şi M, N două puncte pe segmentele CF şi respectiv EC astfel
încât:
                                                  CM EN
                                                          r.
                                                  CF   EC
Să se determine valoarea lui r pentru care punctele B, M, N sunt coliniare.
                                                                                     I Caşu

Problema 3: Fie ABC un triunghi, M un punct în interiorul acestuia şi l1 , l 2 , l3 lungimile segmentelor
determinate de laturile triunghiului ABC pe dreptele paralele duse prin M la BC, CA respectiv AB. Să se
arate că:
                                               l1   l   l
                                                   2  3  2.
                                               BC CA AB
                                                                               ***
Problema 4: Să se rezolve în mulţimea numerelor reale sistemul:
                                                   x3  y3  z 3  0
                                             
                                                   x5  y5  z 5  0
                                              x 2007  y 2007  z 2007  0.
                                             
                                                                                     I. Caşu
SUBIECTE CLASA A X - A
 Problema 1: Determinaţi toate funcţiile monotone şi surjective f : R  Z care satisfac simultan următoarele
 proprietăţi:
              a) f  f x   f ( x), x  R
             b) f 2 x   f x   f  x  , x  R .
                                           1
                                            
                                         2
                                                                               Gh. Silberberg
 Problema 2: Fie z  C cu z  1 . Demonstraţi că:
                                                                2 
                                                            Re        1
                                                               1  z 
                                                            Prelucrare Gh. Silberberg
 Problema 3: Fie A o mulţime de cardinal a şi B o submulţime a sa de cardinal b, unde a şi b sunt numere
 naturale cu a  b. Exprimaţi în funcţie de a şi de b numărul soluţiilor din P A  P A pentru fiecare din
 următoarele sisteme de ecuaţii:
                                                                    X Y  A
                                                          S1 
                                                               
                                                               X  Y  B

                                                               X Y  A
                                                          S 2 
                                                                X Y  b
                                                                                    ***
 Problema 4: Determinaţi unghiurile triunghiului ABC dacă:
                                                                               1
                                                      sin A sin B cos C  
                                                                               8
                                                                                    ***
SUBIECTE CLASA A XI - A




             1. Se consideră şirul xn n definit prin :         x0  a  1   ,   x1  b  1   şi   xn2 
                                                                                                             2
                                                                                                               x n 1  min , x n 
                                                                                                                       1
                                                                                                                            1
                                                                                                             3         3

 pentru orice       n   N. Să se arate că dacă   x2  1 ,   atunci şirulxn n este convergent şi determinaţi
 lim x n .
 n



                                                                                                      Selecţie T. Ceauşu




   2.       (a). Daţi exemplu de matrice A, B  M2 (R) astfel încât AB=BA, A2=B2 şidet(A - B)  0 .
            (b). Demonstraţi că dacă A, B  M3 (R) au proprietăţile AB=BA, A3=B3, atunci
    det(A - B)  0 .
                                                                              D. Miheţ
SUBIECTE CLASA A XI - A




                  a    b                                                    a xb                a    b 
 3. Fie A   1 1   M2 (Q) o matrice nesingulară şi f: R-Q? R, f ( x)  1                       c d  şi
                                                                                   . Notăm A n  
                                                                                 1                  n n
              c d                                                      c1 x  d1                      
               1       1                                                                        n  n

  f n  f  f  ...  f , n  N*.
            
        
                n ori

          (a). Demonstraţi că dacă x0  R-Q, atunci şi f n ( x0 )       este definit pentru oricen        N* şi
                a n x 0  bn
 f n ( x0 )                 pentru orice n  N*.
                c n x0  d n
                                                                                                     
             (b). Arătaţi că dacă b1c1  0 şi există m  N* astfel încâtbm cm  0 , atunci A  I 2 cu Q*.
                                                                                       m


             (c). În ipotezele de la (b), notăm y n  f ( x0 ) . Aflaţi numărul elementelor mulţumiiM  {x0  R-Q
                                                       n


 |  y n n este convergent } .


                                                                                    D. Miheţ, Vasile Pop


 4. Funcţia g: R? R are proprietatea lui Darboux şi lim g x    . Să se arate că dacă f: R? R
                                                               x

 este o funcţie periodică şi există lim f g x  , atunci f este constantă pe R.
                                    x 




                                                                                           D. Miheţ
SUBIECTE CLASA A XII - A




                        a
                                   1
   1) Calculaţi lim lim 
                n  a    
                       a 1  x
                                2
                                          
                                1  e nx 1  x 2 n
                                                   dx.
                                                      
                                                               M. Chiş




       2. Considerăm funcţiile f , g : 0,    R date de:
                                                     t                              t
                                         f (t )  eta  e as cos(bs)ds, g (t )  eta  e as sin(bs)ds
                                                     0                              0

       unde a şi b sunt numere reale date.
       a) Arătaţi că dacă a<0 atunci
                                         max f (t ) , g (t )        pentru orice t  0 .
                                                                      1
                                                                      a
       b) Dacă pentru fiecare b  R , funcţiile f şi g sunt mărginite atuncia  0 .
                                                               C. Buşe
SUBIECTE CLASA A XII - A




    3. Fie G, un grup abelian finit şi p un număr prim, cup | G .
    a) Dacă H este un subgrup al lui G cu p  H , iar x  G \ H are proprietatea că  H
                                                 |                                xp        arătaţi
       că există y  xH cu ord  y   p .
    b) Arătaţi că există x  G cu ord x   p .
                                                           ***




    4. Fie  ,  două numere complexe diferite şi A o matrice pătratică de ordinul 5 cu elemente
       numere complexe.
    Rezolvaţi sistemul cu necunoscuta X  M 5,1 C  :
                                              A   I 2 X  O
                                                                ,
                                              A   I  X  O
                                                         3


    I fiind matricea unitate de ordinul 5.
                                                                     C. Buşe
SOLUŢII
                                   Clasa a V-a

     1. a) Fiecare numar din al doilea şir este multiplu de 3……………………..1p
            2008 nu este multiplu de 3  2008 nu apare in al doilea şir ………...1p
        b) Cel mai mic numar cu suma cifrelor 2007 este 99...9 ………………….2p
                                                           
                                                         223cifre

          c) Nu de ex. 99...9 0,99…900,…99…9  10 k  N 
                       
                        
                                                 k

                      223cifre

            au suma cirelor 2007…………………………………………………..2p

     2. 35=1 2 +3 2 +5 2 …………………………………………………………….4p
        35 2007 =35(35 1003 ) 2 …………………………………………………………1p
        35 2007 =(35 1003 ) 2 +(3.35 1003 ) 2 +(5.35 1003 ) 2 ………………………………….2p

     3. 2 x y  z + 2 y  z v + 2 z v w +2 v w x -par
        1089-impar
          cel putin unul dintre exponenti este 0………………………………..4p
       De ex.x+z+y=0  x=y=z=0………………………………………………1p
        2 v (1+2 v 1 )=2 10 +2 6 =2 6 (1+2 4 )………………………………………….1p
        v=6,w=3  x+y+z+v+w=9=3 2 …………………………………………1p
SOLUŢII
                                           Clasa a VI-a
     SUBIECTUL 1
     Fie n-1, n, n+1 n  N\ 0,1
         ˆ        ˆ      ˆ       ˆ      ˆ ˆ
     m( A) m( B) m(C ) m( A)  m( B)  m(C ) 180 0 60 0
                                                   …………...(2p)
     n 1       n     n 1            3n      3n    n
         ˆ
     m( B )    60 0
                          ˆ
                     m (B ) = 60 0 ………………………………………………..(1p)
       n        n
     SUBIECTUL 2
     Presupunem că există p,q prime astfel încât 42007+1=p+q………………………...(1p)
     Din 42007+1 impar  p=2 sau q=2 ……………………………………………….(2p)
     Presupunem p=2
     Obţine 42007+1=2+q, de unde q=42007-1…………………………………………...(2p)
     Arată că 42007-1=q nu poate fi număr prim……………………………………….(2p)
     SUBIECTUL 3
                    ˆ
     Notăm α=m(x O y), β= m(y O z).ˆ
     Astfel 2(α+ β)=360  α+ β=180 0  A-O-C coliniare, B-O-D coliniare…... (3p)
                         0

     Arată că AB   CD  …………………………………………………………….(2p)
     Arată că  PCO  QAO ……………………………………………………….(1p)
     Finalizare………………………………………………………………………… (1p)
     SUBIECTUL 4
     Dă un exemplu (1+2+3+6=2*6)………………………………………………….(2p)
     Observă că numărul de divizori ai unui pătrat perfect este impar………………...(2p)
     Dacă n este impar atunci toţi divizorii săi sunt impari şi astfel sumă impară de numere impare este numărul impar 
     2n. ……………………………..(1p)
     Dacă n este par atunci n=2 2 k *N 2 cu n impar  divizorii impari ai lui n sunt divizorii lui N 2 a căror sumă este
     impară  suma tuturor divizorilor ai lui n esteun număr impar  2n…………..(1p)
SOLUŢII                                               Clasa a VII-a
         1.       Figura corecta …………………………………………………………………1p
              AB 1 B B 2 - dreptunghi (analog AC 1 CC 2 )…………………………………….2p
              B 1 B 2 || BC ……………………………………………………………………1p
              B 1 B 2 aparţine dreptei suport a liniei mijlocii a  ABC (analog C 1 C 2 )…….2p
              Finalizare………………………………………………………………………1p
      Obs. B 1 ,B 2 ,C 1 ,C 2 , sunt respectiv picioarele perpendicularelor din A pe bisectoarele <B, respectiv <C.

      2.       COB ~ DOA ………………………………………………………………2p
               DOC ~ AOB ……………………………………………………………...2p
              OC     2
                      …………………………………………………………………….1p
              OB    2
                             0
              m(<COB)=45 ………………………………………………………………..1p
                                 0
              m(<AOB)=135 ………………………………………………………….…...1p

      3.Elementele selectate au aceiaşi cifră : 0 sau 5 …………………………………..2p
        200 numere din M au ultima cifră 0……………………………………………..2p
        201 numere din M au ultima cifră 5……………………………………………..2p
        Finalizare…………………………………………………………………………1p


      4.         x+    x2 1        y 2  1  y  x+y=           y 2  1 - x 2  1 ..(1)…………………2p
                  y+   y 2  1  x 2  1  x  x+y= x 2  1 - y 2  1 …(2)..……………...2p
   Din (1) şi (2)       (x+y)= - (x+y)  x+y=0…………………………………………1p
                 x= -y, prin înlocuire calculează valoarea expresiei

   (x+     x  1)( y  y 2  1) …………………………………………………………….2p
              2

   Finalizare……………………………………………………………………………..1p
SOLUŢII                                                         Clasa a VIII-a

     1.
     Observă că 2007 este soluţie ................................................................................................. 1 p.
                                    2 n
     Presupunând că                      Q , arată că 2007 n  Q .............................................. 2 p.
                              2  2007
     Arată că         2  2007  2  n  Q ........................................................................................ 2 p.
     Se ajunge la contradicţie ....................................................................................................... 2 p.
     2.
                          1
     Arată că E ( x, y )   ........................................................................................................... 2 p.
                          2
                          3
     Arată că E ( x, y )  ........................................................................................................... 2 p.
                          2
                1 3 
     Pentru a   ,  gaseste x, y  1 astfel încât E(x,y)=a................................................... 3 p.
                2 2 
     3.
     Demonstrează că
     m   ABD ,  ACD   m   ABD , BDC   m   ACD , BCD  =90º.................... 1 p.
     Arată că m  BCD ,  ABC =45º..................................................................................... 2 p.
     Arată că m   ABC ,  ABD   m   ABC ,  ACD  =60º ............................................. 3 p.
     Calculează suma unghiurilor................................................................................................. 1 p.
     4.
     Construcţia simetricelor vârfurilor patrulaterului ABCD faţă de β ....................................... 3 p.
     Utilizează inegalitatea triunghiului ....................................................................................... 2 p.
     Finalizare............................................................................................................................... 2 p.
SOLUŢII                                                        Clasa a IX-a

     Probl. 1.
     (pentru implicaţia directă) Face reducere la absurd. ............................................................. 1 pct.
     Găseşte mulţimi distincte X 1 , X 2 , pentru care f  X 1   f  X 2  ..................................... 2 pct.
     (pentru implicaţia inversă) Scrie definiţia injectivităţii şi detaliază...................................... 1 pct
     Demonstrează prin dublă incluziune (sau cu funcţiile caracteristice) că X=Y ...................... 3 pct.
     Probl. 2.
     Obţine BM  BC  2r BA ......................................................... ........................................ 1 pct.
     Obţine BN  2  r BC  21  r BA ....................................... ........................................ 2 pct
     Scrie condiţia vectorială pentru coliniaritate................................ ........................................ 1 pct.
     Obţine ecuaţia r 2  3r  1  0 .................................................... ........................................ 1 pct.
     Elimină rădăcina neconvenabilă .................................................. ........................................ 1 pct.
     Scrie rezultatul final ..................................................................... ........................................ 1 pct.
     Probl. 3.
     Construieşte cevienele AD, BE, CF prin M şi scrie teorema lui CEVA............................... 1 pct.
               l1   AM
     Arată că         şi analoagele............................................. ........................................ 2 pct
              BC AD
              AM BM CM
     Arată că                 2 ............................................... ........................................ 4 pct.
              AD BE CF
     Probl. 4.
                                                                    
     Obţine egalitatea y 3 x 2  y 2  z 3 x 2  z 2  0 (1)................. ........................................ 1 pct
     Obţine egalitatea         y x
                                 3    2004
                                             y     2004
                                                             z x
                                                               3      2004
                                                                                    
                                                                              z 2004  0 (2).. 1 pct
     Tratează separat cazurile x  0, y  0, z  0, x  y 2 , y 2  z 2 , z 2  x 2 ....................... 1 pct.
                                                                               2


     Deduce din (1) şi (2) că x  y  z  0 ....................................... ........................................ 3 pct
     Scrie soluţia sistemului ................................................................ ........................................ 1 pct.
SOLUŢII
                                                     Clasa a X-a
          1. Fie y  Z . Cum f este surjectivă, există x  R cu f ( x)  y .
             Atunci f ( y)  f  f ( x)   f ( x)  y ,
             deci acţionează identic pe Z şi este în mod necesar crescătoare....................2 puncte.
                                     1
             Fie k  Z şi x  k  . Din b) rezultă f ( x)  k  1. ....................................1 punct.
                                     2
                                                                      1 
             Demonstrăm, prin inducţie după n  N* , că f  k  n   k  1 k  Z n  N *
                                                                      2 
                                                                                                                1
             Presupunem adevărată afirmaţia pentru n şi aplicăm proprietatea b) pentru x  k  n1 Obţinem
                                                                                                              2
                                 1               1         1    1 
             succesiv: f  2k  n   f  k  n1   f  k   n1 
                                2               2          2 2 
                                             1                   1     1 
                                    f  k  n1   2k  1  f  k  1  n  
                                                               
                                            2                    2  2    
                         1                                   1     1       1
             Dar 0  1  n  1 , de unde rezultă k  k  1  n   k 
                         2                                   2 2           2
                                                        1         1 
             Monotonia funcţiei f implică f  k  1  n    k
                                                 
                                                        2  2         
             ceea ce încheie inducţia..................................................................................3 puncte
             Fie acum x un număr real arbitrar şi fie k=[x]+1, deci k 1  x  k .
                                          1                                                       1
             Există n  N* astfel încât n  k  x , de unde k  1  x  k  n .
                                          2                                                      2
             Monotonia funcţiei f conduce la concluzia f(x)=k-1=[x] ..............................1 punct
SOLUŢII                                                       Clasa a X-a

   2. Avem succesiv:
                     2 
                  Re
                                     
                               Re 
                                      2 1 z 
                    1 z            
                                      1  z  1  z 
                                                      
                                                        ............................................................ 2 puncte

                                     
                      2 1  z  Re 2  2 z                       2  Re 2 z                
                                                          
                  Re 
                                      
                      1  z  1  z  1  z  1  z 1  z  z  z z
                                                                                        ............................ 3 puncte


                  ................................................................................................................
                                                                                                                                              
                                                                                                                                       2  Re 2 z
                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                        2  2 Rez 
                                                                                                                                                                        1
                                                                                                                                     1  z  z  z z 1  2 Rez   z
                                                                                                                                                                      2


                2 puncte
   3. Perechea de mulţimi (X, Y)  P( A)  P( A) satisface sistemul S1 dacă şi numai dacă X  B, Y  B şi perechea de

      mulţimi (X, Y)  P( A)  P( A) satisface sistemul de ecuaţii S1'                             X   Y    unde am notat
                                                                                                           X Y 
                                                                                                                         A
                                                                                                                                                      X’ = X \ B, Y’ = Y \
                                                                               
      B, A = A \ B. Mai mult, aplicaţia definită prin   X , Y    X \ B, Y \ B  este o bijecţie de la mulţimea soluţiilor lui S 1' ,
           ’


      inversa sa fiind   X , Y    X  B, Y  B  rezultă că sistemele S1 şi S 1' au acelaşi număr de soluţii. 3 puncte.

      Orice soluţie a lui S 1' se obţine alegând arbitrar submulţimea X’ a lui A’ şi punând Y   C A  X  . Această alegere se
                         A
      poate face în 2          2 a b moduri, deci sistemul S1 are 2 ab soluţii....................... 2 puncte

      Fiecare soluţie a lui S1 satisface şi S 2 . Reciproc, orice soluţie a lui S 2 satisface un sistem S1 unde drept B poate fi
      aleasă oricare dintre cele C a submulţimi de cardinal b ale lui A. Rezultă că sistemul S 2 are C a  2 a b soluţii. 2
                                   b                                                                   b


      puncte
SOLUŢII                                              Clasa a X-a

          4. Putem scrie
             0  8 sin Asin B sin C  1  4cos A  B   cos A  B cosC  1 
                                                                                                 ....................3 puncte
               4 cos A  B cosC  4 cos2 C  1
              4 cos A  B cos C  4 cos 2 C  1  2 cos C  cos A  B   sin 2  A  B  .........2 puncte
                                                                                      2


                                                       1
              Deci sin( A  B)  0 şi cosC   , de unde rezultă că măsurile unghiurilor A, B, C,
                                                       2
                                       2
              sunt respectiv , şi              .........................................................................2 puncte
                               6 6         3
SOLUŢII                                                             Clasa a XII-a

Probl. 1.
Face schimbarea x→-x. .............................................................................................1 pct.
         a       1
2 I  2
        0   x   x 2 n 
               2
                            dx ........................................................................................1 pct.
           1     1
              1
                           1              a         1
a>1, I   a                        dx  1
              0                  
                   1  x 2 1  x 2n       a               
                                            1  x 2 1  x 2n        
                                                             dx ................................................1 pct
                                 1
                                 1
Arată că lim lim  a                       dx  0 .................................................................1 pct.
                                      
            n a  0 1  x 2 1  x 2 n                 
  a          1                1        1                      a            1
a 1  x 2 1  x 2n 
 1                      dx  1
                              a   x   x
                                1    2
                                        1       2n
                                                    dx  
                                                    1 1  x 1  x 2n dx
                                                                        2


        a 1
I 2   2 n dx  0 .....................................................................................................1 pct.
       1 x

       1      1           
I1                 dx  (cu justificare) .......................................................................2 pct.
       0   x
         1       2n
                     4
Probl. 2.
                                             e as   t

a) f (t )  e  0
                  ta
                       t
                           e    as        e ta   1 e at  1    1  1 e ta   1 1  e ta   1 şi completări
                                      ds  e 
                                         
                                            ta
                                              a
                                                                                                                             4 pct.
                                        0         a          a      a a            a              a
                                                  e ta   1       1 e ta
      ia b  0  f t   e ta  e as ds  e ta 
                                t
b)                                                a a              e necesar ca a  0 + completări.                    3 pct.
                                0
                                                                  a a
SOLUŢII                                          Clasa a XII-a

  Probl. 3.
  a) Fie m  N , p  m   p, m  1  k , e  Z a.i. kp  lm  1 ................................1 pct.



                                       x
  Fie y  x lm  y  x1kr  x x p  xN , y  N …………………………………. 2 pct.
  Arată că yp = 1 rezultă ord y = p               ……………………………… 1 pct
                                                                             n

        Daca G ciclic, G  g si p G  n  ord  g   x  g
                                               not
  b)                                                                         p
                                                                                 are ordinul p ……….1 pct
  Daca G  ciclic, pre sup unem ca afirmatia din enunt este ade var ata G cu p G1  G . Fie g  G \  
                                                                                                        1
  arbitrar si H  g , folo sin d ip. de ind.  x  G cu ord x   1
                                                                        ……………… 1 pct

  Dacă p X | H | atunci în grupul factor G / H al cărui ordin se divide cu p şi verifică | G / H| < |G| există xH cu ord(x
  H) = p. Deci xp aparţine H şi p X | H | conform punctului a) există atunci y aparţine lui G cu ord(y) = p
         ……………………………………………………… 1 p

  Problema 4.
  Observă că x=0 e soluţie    ……………………………………………………………… 1 p
  Observă că     si     polinoame prime int re ele ………………………….. 1 p
                     2           3


  Scrie                  1
                 2                   3
                                                      ………………………………………………. 2 p
  Scrie  A   I    A   A   I    A  I 5
                     2                   3
                                                        ………………………………………. 1 p
  Justifică că x = 0        ……………………………………………………………………… 2 p
LISTA REZULTATE                Clasa a V-a
  Nr.                                                                             Sub.   Sub.    Sub.
  Crt.   Numele si prenumele   Scoala                                   Judetul   1      2       3      Total
   1     IACOB IVONA           ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 22                  TM         7       7      7      21
   2     IOCŞA VALERIU         COLEGIUL NAŢIONAL C D. LOGA                TM         7       7      7      21
   3     LAZĂR SILVIU          ŞC. CU CLS. I-VIII NR 9 RESIŢA             CS         7       7      7      21
   4     VLAZAN SABINA         LIC.PEDAGOGIC"C.SYLVA"                     TM         6       7      7      20
   5     BOSUN ADELA           COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN                 TM         7     4,5      7    18,5
   6     ŢUNEA MARIUS          ŞC. CU CLS. I-VIII NR 6 RESIŢA             CS         7       4      7      18
   7     AGHESCU MONICA        ŞC. CU CLS. I-VIII NR 2 RESIŢA             CS         6       4      5      15
   8     ŢEUDAN ADINA          ŞC. CU CLS. I-VIII NR 2 RESIŢA             CS         7       1      5      13
   9     CIOBA CĂTĂLIN         LICEUL PEDAGOGIC"D.TICHINDEAL",ARAD        AR         5       0      7      12
                               ŞCOALA GENERALĂ NR 4 "IOAN
         ROZA ANDREI                                                     AR
   10                          SLAVICI",ARAD                                         0      4       7     11
                               COLEGIUL
         PIPIŞ RAUL                                                      HD
   11                          ECONOMIC"E.GOJDU"HUNEDOARA                            6      0       4      10
   12    ARDELEAN ANDREI       COLEGIUL NAŢIONAL "I.C.BRĂTIANU" HAŢEG    HD          4      1     4,5     9,5
   13    BUBATU LUIZA          COLEGIUL NAŢIONAL "A VLAICU" ORĂŞTIE      HD          4      0       3       7
   14    DASCĂL CRINA          LIC TEORETIC "MV",CHIŞINEU-CRIŞ           AR          0      0       7       7
   15    SANDRU ALEXANDRA      COL.NAT.C.D.LOGA                          TM          2      0       5       7
   16    MILEA NICOLAE         ŞC. GEN. "DR. A. VLAD" ORĂŞTIE            HD          5      1       0       6
   17    DRĂGHICI LIVIA        ŞC. CU CLS. I-VIII NR 2 RESIŢA            CS          0      0     3,5     3,5
   18    ŞIMAN NOEMI           LICEUL PEDAGOGIC"D.TICHINDEAL",ARAD       AR          2      0       0       2
   19    TRENDLER ALEXANDRU    LICEUL PEDAGOGIC"D.TICHINDEAL",ARAD       AR          2      0       0       2
   20    NEGHIU ANCA           ŞC. GEN. "DOMINIC STANCA" ORĂŞTIE         HD          0      0       1       1
LISTA REZULTATE                Clasa a VI-a
  Nr.                                                                    Judetu   Sub.   Sub.   Sub    Sub
  Crt.   Numele si prenumele    Scoala                                   l        1      2      .3     .4     Total
   1     NEAGOE SORIN           ŞC. CU CLS. I-VIII NR.16                   TM        7      7      7      6     27
         TATULEA CODREAN
                                COLEGIUL NAŢIONAL "I.C.BRĂTIANU" HAŢEG    HD
    2    MARIA                                                                      7       5     7      6      25
    3    NEAMŢU ADRIANA         COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD      AR        7       7     7      3      24
    4    NESIU RADU             SC.CU CLS.I-VIII NR.19                    TM        7       6     4      4      21
    5    VARGA ANDREI           ŞC.GEN."I. G. DUCA" PETROŞANI             HD        7       5     7      2      21
    6    NICULESCU VLAD         ŞC.GEN."I. G. DUCA" PETROŞANI             HD        7     6,5     4      3    20,5
                                COLEGIUL NAŢIONAL ELENA GHIBA-BIRTA
         POP AELIUS                                                       AR
    7                           ARAD                                                7       5     4      4      20
    8    ILCA ŞERBAN            ŞCOALA NR. 7 TM.                          TM        7       5     4      3      19
    9    RIVIS MARIO            LIC.T."N.LENAU"                           TM        7       5     3      4      19
   10    SIMA SERGIU            ŞCOALA GENERALĂ NR 5 ARAD                 AR        7       5     4      3      19
   11    STOICĂNESCU GELU       LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ               CS        7       5     4      2      18
   12    POPA ANDREEA           LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ               CS        7       0     6      4      17
   13    IGELSKY MANUELA        COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA          HD        7       2     4      3      16
   14    CRISAN AMALIA          ŞC. GEN. "DR. A. VLAD" ORĂŞTIE            HD        6       2     4      3      15
   15    GUGA ROSIAN CALIN      SC.GEN."OVID DENSUSIANU" HATEG            HD        3       5     4      3      15
   16    NEGRILĂ ALINA          COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ ARAD      AR        7       2     4      2      15
                                ŞCOALA GENERALĂ NR 4 "IOAN
         JIVAN ANDRA                                                      AR
   17                           SLAVICI",ARAD                                       7       2     2      3      14
   18    MOŢ IOANA MIHAELA      ŞC. CU CLS. I-VIII NR 6 RESIŢA            CS        7       0     4      3      14
   19    COMAN BEATRICE         ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 6                  TM        7       1     4      0      12
   20    NASTA LAURA            G. S. OTELU ROSU                          CS        7       0     2      2      11
   21    FLOREA IULIANA         ŞC. CU CLS. I-VIII NR 8 RESIŢA            CS        4       1     2      3      10
   22    MEŞTER AMALIA          ŞC. CU CLS. I-VIII NR 2 RESIŢA            CS        7       1     2      0      10
LISTA REZULTATE                Clasa a VII-a
  Nr.                                                                          Sub.   Sub.   Sub.   Sub.
  Crt.   Numele si prenumele   Scoala                                Judetul   1      2      3      4       Total
    1    SEMENESCU ANCA        LIC. PED CARANSEBEŞ                     CS         7      5      7     3,5    22,5
                               COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ
         FRENŢ SIMON                                                  AR
    2                          ARAD                                               7    6,5    4,5      3       21
         BESLEAGA
                               COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA       HD
    3    ANAMARIA                                                                 7      7      2      3       19
    4    GURALIUC STEFAN       COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA       HD          7      4    3,5      3     17,5
    5    NEAGU FRUJINA         ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 22              TM          3      6    6,5      1     16,5
                               COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ
         BRAN DIANA                                                   AR
    6                          ARAD                                             4,5    1,5      7      3       16
    7    STOICA ANDREEA        ŞC. GEN. "DR. A. VLAD" ORĂŞTIE         HD          4    0,5      7      4     15,5
         SILBERBERG
                               ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 22              TM
    8    ALFRED                                                                   4    3,5      7     0,5      15
                               COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ
         SAVULOV TULIA                                                AR
     9                         ARAD                                               1      2    3,5       7    13,5
    10   ŞTEF GIULIA           ŞCOALA NR. 7 TM.                       TM        1,5      7      0       3    11,5
    11   MIU PAUL              LIC.PEDAGOGIC"C.SYLVA"                 TM          1    2,5    6,5     0,5    10,5
         GĂVRUŢĂ
                               LICEUL PEDAGOGIC"D.TICHINDEAL",ARAD    AR
    12   ALEXANDRU                                                                7      0      3      0       10
    13   COMAN ADRIAN          ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 22              TM          3      2    3,5      0      8,5
                               COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ
         VIŞĂOAN LAURA                                                AR
    14                         ARAD                                             2,5      0      5       0     7,5
    15   SMEU TUDOR            SC. GEN. "ANDREI SAGUNA" DEVA          HD          3    1,5      1       1     6,5
    16   UŢĂ ROBERT            G. S. IND. MOLDOVA NOUA                CS          1      2      2     1,5     6,5
    17   IDITA SEBASTIAN       "AVRAM STANCA" PETROSANI               HD          0    0,5    4,5     0,5     5,5
    18   MOCANU IOANA          LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ            CS          1      2      2     0,5     5,5
    19   SZABO CRISTIAN        LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ            CS          3      0      0     1,5     4,5
                               LIC TEORETIC „DIACONOVICI-TIETZ”
         ENCIU ŞANDRA                                                 CS
    20                         REŞIŢA                                             3      0      0     0,5     3,5
    21   MOLDOVAN IOANA        SC. GEN "H.C.C." BAIA DE CRIS          HD          1    0,5      0     0,5       2
 LISTA REZULTATE                  Clasa a VIII-a
Nr.                                                                                  Sub.    Sub.    Sub.   Sub.
                                                    Scoala
Crt.   Numele si prenumele                                                 Judetul   1       2       3      4      Total
   1   DRĂGĂNESCU ALINA              ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 22               TM          6       4      7      3     20
   2   ŢOCIU LAURA                   ŞCOALA GENERALĂ NR 5 ARAD               AR          2       4      5      5     16
   3   DE SABATA CARLA               ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 22               TM          1       5      6      2     14
   4   DOBRIŞAN ANDREI               ŞCOALA CU CLASELE I-VIII NR.16          TM          3       3      6      2     14
   5   PAULIS BOGDAN                 SC. CU CLS.I-VIII NR.4, LUGOJ           TM          3       4      5      1     13
   6   NENU ANDA                     ŞC.GEN."I. G. DUCA" PETROŞANI           HD        1,5       2      7      1   11,5
   7   VĂRŞĂNDAN LAURA               ŞCOALA GENERALĂ NR 4 "IOAN SLAVICI"     AR          1       3      6      1     11
   8   COCOCEANU OANA                SC CU CLS. I-VIII NR 1 OTELU ROSU       CS          1       6      2      1     10
   9   LEONTIUC IOANA                SC.CU CLS.I-VIII NR.26                  TM          0       4      5      1     10
  10   STANESCU ANA MARIA            SC.GEN, M.SANTINBREANU BRAD             HD        4,5     1,5      2      2     10
                                     COLEGIUL NAŢIONAL MOISE NICOARĂ
       GHIŢĂ VLAD                                                           AR
 11                                  ARAD                                               1        4     2      2       9
 12    MARIAN MIHAIL                 COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA       HD          0        4     4      1       9
 13    MEŞTER SERGIU                 ŞC. CU CLS. I-VIII NR 2 RESIŢA         CS          1      3,5     2      2     8,5
 14    GALESCU DAN                   LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ            CS          3        3     1      1       8
 15    MAGDA ANDRADA                 ŞCOALA GENERALA NR.2 ARAD              AR          1        2     4      1       8
 16    STERN VLAD                    ŞCOALA GENERALĂ NR. 3 LUPENI           HD          1        1     4      2       8
 17    ZAMFIR CRISTIAN               LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ            CS          1        4     1      2       8
 18    DIMCEA CRISTIAN               LIC „HERCULES” B. HERCULANE            CS          1        4     0      2       7
       PLOSCARIU-CISMAŞ LAVINIA
                                     COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA       HD
 19    DANIELA                                                                          1        3     1      1       6
 20    ŞTEFAN DIANA                  COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA       HD        2,5        1     0      2     5,5
 21    FAZEKAS LEVENTE               LICEUL TEORETIC VASILE GOLDIŞ ARAD     AR          1      2,5     0      1     4,5
LISTA REZULTATE              Clasa a IX-a
Nr.                                                                           Sub.    Sub.    Sub.    Sub.
Crt.   Numele si prenumele   Scoala                                 Judetul   1       2       3       4       Total
  1    LASCU DIANA           LICEUL GRIGORE MOISIL                    TM          3       7       7       3      20
  2    STĂNILOIU OVIDIU      LT BOCŞA                                 CS          0     6,5     5,5       7      19
  3    AVRAMESCU ANDREI      LICEUL GRIGORE MOISIL                    TM          2     5,5       7       2    16,5
  4    GRUICIN IASMINA       COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN               TM        1,5       4       7    3,25   15,75
  5    LUPU VLAD             G. S. OTELU ROSU                         CS          0       7       7    0,75   14,75
  6    MILCU ROXANA          LIC. PED CARANSEBEŞ                      CS          2       7       3       2      14
                             COLEGIUL NATIONAL ELENA GHIBA-BIRTA
       BONCA ADELINE                                                 AR
  7                          ARAD                                               3,5       2       7      0     12,5
  8    BOCIU ALEXANDRU       COLEGIUL NAŢIONAL C D. LOGA             TM           2     5,5       3    1,5       12
  9    LASCU ANDREI          COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD    AR           0       3       7      1       11
 10    COSMA TEODORA         COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA        HD           0     3,5       7      0     10,5
 11    DE SABATA GIULIANO    LICEUL GRIGORE MOISIL                   TM           2     4,5     2,5      1       10
 12    MICULA ADINA          COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD    AR           0     6,5       2      1      9,5
 13    VLAD ADINA            COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD    AR         1,5       4     2,5    1,5      9,5
 14    GLINŢĂ ANDA           LICEUL TEORETIC LUPENI                  HD           0     5,5       2    1,5        9
 15    FILIP LAURIAN         COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD    AR         0,5       6       1      1      8,5
 16    COTORAN FLORIN        LIC TEORETIC „TRAIAN VUIA” REŞIŢA       CS           0       7     0,5   0,75     8,25
       IONAŞCU MARIAN
                             LIC TEORETIC „TRAIAN VUIA” REŞIŢA       CS
 17    EMANUEL                                                                    1     2,5     1,5   0,75     5,75
 18    COTOCEA ANCA          COLEGIUL NAŢIONAL "AVRAM IANCU" BRAD    HD           1       2     1,5      1      5,5
 19    ULARU DANA            COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN              TM        0,25       2       0      1     3,25
LISTA REZULTATE               Clasa a X-a
Nr.                                                                   Judetu   Sub    Sub.   Sub.   Sub    Tota
Crt.   Numele si prenumele    Scoala                                  l        .1     2      3      .4     l
 1     BĂLTEAN-LUGOJAN RADU   COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD      AR        4      7      6      3     20
 2     FRENŢ LIGIA MARIA      COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD      AR        2      7      7      2     18
 3     BACI SONIA             COLEGIUL NAŢIONAL "AVRAM IANCU" BRAD      HD        1      6      7      3     17
 4     ZĂHOI ADRIAN           COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN                TM        2      6      6      2     16
 5     PÎRVU CĂTĂLIN          G. S. IND. MOLDOVA NOUA                   CS        2      6      5      1     14
 6     BELEIU LIA ANDREEA     LICEUL TEORETIC LUPENI                    HD        2      7      3      0     12
 7     GHIŢĂ OANA             LICEUL GRIGORE MOISIL                     TM        2      7      2      1     12
 8     UNGURAS DRAGOS         G. S. OTELU ROSU                          CS        2      7      1      2     12
 9     COSTIN RADU FLORIN     COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN                TM        0      6      4      1     11
       HORIN ALEXANDRU
                              COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD     AR
 10    SEVER                                                                     2      1      6      2     11
 11    BABAITA ANDREEA        LICEUL PEDAGOGIC "CARMEN SYLVA"          TM        2      7      0      1     10
 12    GURGU ANTON CAIUS      LIC. PED CARANSEBEŞ                      CS        2      7      0      1     10
 13    KOVACS LAVINIA         COLEGIUL NAŢIONAL C D. LOGA              TM        3      1      5      1     10
 14    LARION OCTAVIAN        COLEGIUL NATIONAL”C.BREDICEANU”,LUGOJ    TM        1      6      2      1     10
       BUREŢEA VALENTN
                              COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD     AR
 15    GEORGE                                                                    0      6      0      2      8
                              COLEGIUL NAŢIONAL "IANCU DE
       DRAGA ANDREI                                                    HD
 16                           HUNEDOARA"                                         1      6      0      1      8
                              LICEUL TEORETIC "MIHAI EMINESCU"
       DANCIU NICOLAE                                                  HD
 17                           PETROŞANI                                          0      6      0      1      7
 18    DUMULESC SEBASTIAN     COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD     AR        3      1      2      1      7
                              COLEGIUL NAŢIONAL "IANCU DE
       SAVA DANIEL FLORIN                                              HD
 19                           HUNEDOARA"                                         0      3      0      1      4
 20    GURGU IOANA            LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ              CS        1      1      0      0      2
 21    BIRAU GEORGIANA        LIC TEORETIC „TRAIAN LALESCU” REŞIŢA     CS        0      0      0      1      1
 22    GAVRILIU ELENA         LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ              CS        0      0      0      1      1
LISTA REZULTATE                   Clasa a XI-a
                                                                                    Sub.   Sub.   Sub.   Sub.
Nr. Crt.   Numele si prenumele   Scoala                                   Judetul   1      2      3      4      Total
    1      PAŞCA LUCIAN          COLEGIUL NAŢIONAL C D. LOGA                TM         7      3      5      6     21
           MOLDOVEAN
                                 LICEUL GRIGORE MOISIL                     TM
    2      BOGDAN                                                                     7     4,5    2,5     0      14
    3      PALIŢĂ FLORIAN        LICEUL DE INFORMATICĂ PETROŞANI           HD         7       2      3     0      12
    4      IOVESCU DANA          COLEGIUL NATIONAL “C.BREDICEANU”,LUGOJ    TM         7       2      2     0      11
                                 LICEUL TEORETIC "MIHAI EMINESCU"
           DEAC IRINA                                                      HD
    5                            PETROŞANI                                            7      2     1,5     0    10,5
                                 COLEGIUL NATIONAL ELENA GHIBA-BIRTA
           BÎRZA ROMINA                                                    AR
    6                            ARAD                                                2,5    5,5      2     0      10
    7      CRAINIC ANDA          COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD      AR          7      2      1     0      10
    8      POPOVICI DORU         LIC TEORETIC „TRAIAN LALESCU” REŞIŢA      CS          6    0,5    2,5     1      10
    9      IACOB ALEXANDRA       LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ               CS          7    0,5      2     0     9,5
   10      LASC ANCA             COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD      AR        2,5      2      5     0     9,5
   11      BADERCA SILVIU        LIC TEORETIC „TRAIAN VUIA” REŞIŢA         CS          7      0      2     0       9
           BLAJ BOGDAN
                                 COLEGIUL NATIONAL “C.BREDICEANU”,LUGOJ    TM
   12      ANDREI                                                                      7      2      0     0       9
   13      PAPIU ALEXANDRU       COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD      AR          7      0      2     0       9
   14      OTEŞTEANU CORIN       LICEUL GRIGORE MOISIL                     TM        6,5      2      0     0     8,5
   15      ZSERAI FLAVIA         G. S. IND. MOLDOVA NOUA                   CS        5,5    0,5      2     0       8
   16      PANDA CRISTIAN        COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD      AR          3      2    2,5     0     7,5
                                 LICEUL TEORETIC "MIHAI EMINESCU"
           POPU ALEXANDRA                                                  HD
   17                            PETROŞANI                                             2    2,5      2     0     6,5
   18      HEGER VLAD            COLEGIUL NAŢIONAL "DECEBAL" DEVA          HD        0,5    2,5      2     0       5
   19      ISTODOR COSMIN        G. S. OTELU ROSU                          CS          1    0,5    2,5     0       4
  LISTA REZULTATE             Clasa a XII-a
Nr.                                                                               Sub.   Sub.   Sub.   Sub.
Crt.   Numele si prenumele   Scoala                                     Judetul   1      2      3      4      Total
 1     DURA ALEXANDRU        LICEUL GRIGORE MOISIL                        TM         6      7      4      0     17

       AMBRUS ADRIAN         COLEGIUL NATIONA ELENA GHIBA-BIRTA ARAD     AR
  2                                                                                3,5      7      4     2    16,5
  3    BUCUR GABRIEL         COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD        AR        1,5      7    5,5     1      15
  4    OPRIŞA CIPRIAN        COLEGIUL NAŢIONAL "AVRAM IANCU" BRAD        HD          5    5,5    3,5     0      14
                             COLEGIUL NAŢIONAL DE INFORMATICĂ
       BABA MIHAI                                                        HD
  5                          "TRAIAN LALESCU" HUNEDOARA                             3      6     2,5    1,5     13
                             COLEGIUL NATIONAL ELENA GHIBA-BIRTA
       BOGOSEL BENIAMIN                                                  AR
 6                           ARAD                                                  3,5      4      4    1,5     13
 7     MÂRAN ANDRADA         G. S. IND. MOLDOVA NOUA                     CS          2      6      2      1     11
 8     MICLEA MARIUS         COLEGIUL NATIONAL”C.BREDICEANU”,LUGOJ       TM          4      4      2      0     10
 9     BUTOIANU DANIEL       COLEGIUL ECONOMIC "F. SENITI", TIMISOARA    TM          0    5,5      2    1,5      9
 10    POROBIC ISMET         COLEGIUL NAŢIONAL C D. LOGA                 TM        1,5      7    0,5      0      9
 11    DĂNESCU IULIA         COLEGIUL NAŢIONAL "A VLAICU" ORĂŞTIE        HD        0,5    5,5    0,5      1    7,5
 12    PANDA CORINA          COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD        AR          2      1    3,5      0    6,5
 13    ZĂVADĂ BOGDAN         LICEUL GRIGORE MOISIL                       TM          0    3,5      1      1    5,5
 14    CUCU SILVIU           LIC TEORETIC „TRAIAN VUIA” REŞIŢA           CS        1,5      2      0      1    4,5
                             LICEUL TEORETIC "MIHAI EMINESCU"
       ENACHE VERONICA                                                   HD
 15                          PETROŞANI                                             0,5    2,5    0,5    0,5      4
 16    TODEA ROBERT          LICEUL GRIGORE MOISIL                       TM          2    0,5    1,5      0      4
 17    GRAMA MĂDĂLINA        LT BOCŞA                                    CS        0,5      2    0,5    0,5    3,5
                             LICEUL TEORETIC "MIHAI EMINESCU"
       IONIŢĂ MARCELA                                                    HD
 18                          PETROŞANI                                             0,5    2,5    0,5      0    3,5
 19    PARASCHIVU ANDREEA    LIC TEORETIC „TRAIAN VUIA” REŞIŢA           CS          1      1    0,5      1    3,5
 20    CEAUŞU IOANA          LIC. TRAIAN DODA CARANSEBEŞ                 CS          0      2    0,5    0,5      3
       LAZEA-POSTELNICU
                             COLEGIUL NATIONAL MOISE NICOARA ARAD        AR
 21    RAZVAN                                                                       0     0,5    0,5     1       2

								
To top