modul matematika kelas x sistem persamaan lienar by Go16d1EG

VIEWS: 234 PAGES: 17

									 Muhammad Zainal Abidin Personal Blog
SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel
  http://meetabied.wordpress.com
     SISTEM PERSAMAAN LINEAR
       DAN PERTIDAKSAMAAN
          SATU VARIABEL

Standar Kompetensi :

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan
pertidaksamaan satu variabel.


Kompetensi Dasar :


         Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan
          campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel.
         Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
          sisitem persamaan linear
         Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
          dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya.
         Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan
          bentuk pecahan aljabar.
         Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
          pertidaksamaan satu variabel.
         Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
          dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya.
                         BAB I. PENDAHULUAN

A. Deskripsi
Dalam modul ini Anda akan mempelajari Sistem persamaan linear-linear dua
variabel, tiga variabel, Sistem persamaan linear-kuadrat, Sistem persamaan
kuadrat-kuadrat, dan merancang model matematika yang berkaitan dengan
sistem persamaan linear, kuadrat..
B. Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasar-
dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah
sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang
   mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal
   latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan,
   kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan
   dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang
   terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah,
   kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau
   bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan
   membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan
   tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menentukan sistem persamaan linear-linear dua variabel,
2. Menentukan sistem persamaan linear-linear tiga variabel,
3. Menentukan sistem persamaan linear-kuadrat
4. Menentukan sistem persamaan kuadrat-kuadrat
5. Merancang model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan
   linear,kuadrat.
                                  BAB II PEMBELAJARAN


A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN LINEAR
  Bentuk Umum sistem persamaan liniear dan linear
  1. Sistem persamaan linear dengan 2 variabel / SPL 2 variabel
     a1 x  b1 y  c1
     a2 x  b2 y  c2

     x dan y adalah variabel
     a1 , a 2 , b1 , b2 , c1 , c2  R

     Cara menyelesaikannya dengan :
     a. Metode Eliminasi
     b. Metode Substitusi
     c. Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi
     d. Metode Grafik
     Contoh :
     Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut
     x y 2
     3x  7 y  2

     1. Eliminasi
          x y 2                 x3    3x  3 y  6
          3x  7 y  2           x1    3x  7 y  2
                                             4y = 8
                                              y =2


          x y 2                 x7    7 x  7 y  14
          3x  7 y  2           x1    3x  7 y  2


                                             4x = 16
                                               x= 4
2. Substitusi
   Dari persamaan (1) y = x – 2 disubstitusikan ke persamaan (2)
   diperoleh
   3x – 7(x – 2) = -2
   3x – 7x + 14 = -2
   -4x = -16
       x=4
   Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)
   4–y=2
   y =4–2
       =2
3. Campuran Eliminasi dan Substitusi
   x y 2             x3   3x  3 y  6
   3x  7 y  2       x1   3x  7 y  2


                                4y = 8
                                  y =2


   y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1)
   x–2=2
   x        = 4
4. Grafik

                                              3x – 7y = -2


                                      (4,2)



                            2
                             x–y=2
                  -2
        Dengan grafik dapat dilihat :
        a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan
              penyelesainnya tepat satu anggota)
        b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan
              penyelesaian
        c. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya
              mampunyai anggota tak terhingga)


2. Sistem persamaan linear dengan 3 variabel / SPL 3 variabel
   a1 x  b1 y  c1 z  d1
   a 2 x  b2 y  c 2 y  d 2
   a3 x  b3 y  c3 z  d 3

   x, y, z adalah variabel
   a1 , a 2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1 , c 2 , c3 , d1 , d 2 , d 3  R

   Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :
   x yz 3
   2x  y  z  5
   x  2y  z  7
   Dengan Metode campuran Eliminasi dan Substitusi :
        Misal dimulai dengan mengeliminasi z
              (1) dan (2)
               x yz 3
              2x  y  z  5


              3x + 2y = 8 ..............................(4)
              (1) dan (3)


              2x  y  z  5
              x  2y  z  7


              x -y             = -2............................(5)
          (4) dan (5)
          3x + 2y = 8          x1   3x + 2y = 8
          x -y          = -2   x 3 3x - 3y = -6


                                        5y = 14
                                         y = 14/5
          3x + 2y = 8          x1   3x + 2y = 8
          x -y          = -2   x 2 2x - 2y = -4
                                                    +
                                        5x = 4
                                         x = 4/5
          x = 4/5 dan y = 14/5 disubstitusi ke persamaan (1) :
          x+y–z=3
          4/5 + 14/5 – z = 3
          18/5 – z = 3
          z = 18/5 – 3
          z = 3/5
          Jadi HP : {4/5,14/5,3/5}


Tugas I
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut
      a. 2p + 3q = 1
          3p + 4q = 1
      b. -5m + 3n = 4
          6m – 5n = 5
         1 1
           5
         x y
      c.
         1 1
           1
         x y
  2. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :
        a. 7x = 21
            x + 2y = 11
            2x – y + z = 7
        b. a + b + 2c = 3
            4a + 2b + c = 13
            2a + b – 2c = 19
        c. x + 2y = -7
            3y – z = -11
            5x + 2z = -25


B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
  Bentuk Umum :
  y = px + q
  y = ax2 + bx + c
  p, q, a, b dan c  R
  Cara menyelesaikannya :
  1. Substitusi
     Substitusikan y = px + q   ke   y = ax2 + bx + c
     Diperoleh :
     px + q = ax2 + bx + c
     ax2 + (b-p)x + (c-q) = 0
     dengan D = (b-p)2 – 4.a.(c-q)
     ada 3 kemungkinan himpunan penyelesainnya :
     a. Jika D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik)
     b. Jika D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik)
     c. Jika D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan)
2. Grafik
   Ada 3 kemungkinan :


                                       D>0




                                    D=0


                                        D<0




Contoh :
Tentukan himpunan penyelesian dari :
y = 2 –x
y = x2
jawab :
Substitusika y = 2 – x ke y = x2 diperoleh :
x2 = 2 – x                          D = b2 – 4ac
x2 + x – 2 = 0                D = (1)2 – 4.(1).(2) = 1 + 8 = 9
(x – 1)(x + 2) = 0                   D > 0 (ada 2 penyelesaian)
x = 1 atau x = -2
x = 1 disubstitusikan ke y = 2 – x = 2 – 1 = 1
x = -2 disubstitusikan ke y = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
Jadi himpunan penyelesaian {(1,1),(-2,4)}
Dengan grafik dapat digambarkan sebagai berikut :
                                               y = x2
                  (-2,4)




                                   (1,1)   y=2-x




C. SISTEM PERSAMAAN KUADRAT - KUADRAT
  Bentuk Umum :
  y = ax2 + bx + c
  y = px2 + qx + r
  Cara menyelesaikannya :
  1. Substitusi
     Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh :
      (a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0 dengan
     D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)
     Kemungkinan penyelesaiannya :
     a. Jika D > 0 (parabola saling berpotongan di dua titik)
     b. Jika D = 0 ( parabola saling berpotongan di satu titik)
     c. Jika D < 0 (parabola tidak saling berpotongan)
  2. Grafik
     Dengan menggambar kedua parabola dalam satu sistem koordinat
  Contoh :
  Tentukan himpunan penyelesaian dari
  y = x2
  y = 8 – x2
   Jawab :
   Substitusikan (1) ke (2)
   x2 = 8 – x2
   2x2 – 8 = 0
   x2 – 4 = 0
   (x – 2)(x + 2) = 0
   x = 2 atau x = -2
   x = 2 diperoleh y = 22 = 4
   x = -2 diperoleh y = (-2)2 = 4
   Jadi HP : {(2,4) , (-2,4)}


                                    8


                                                     y = x2



                         (-2,4)            (2,4)



                                                   y = 8 - x2



                                    0




Tugas II
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
   a. y = x – 3
      y = x2 – 4x + 3
   b. y = x + 3
      2y = x2 – 2x + 1
   c. y – 2x – 3 = 0
      y – 2x2 + 4x – 7 = 0
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
     a. y = x2 – 3x – 1
        y = 3x2 + 5x + 7
     b y = x2 + 1
        y = 9 – x2
     c. y = 2x2 – 6x
        y = x2 – 2x + 6
D.      MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN
     DENGAN SPL
     Contoh :
     Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali umur adikku. Lima tahun
     yang akan datang jumlah umur kakek dan adikku sama dengan 93 tahun.
     Jika umur nenek lebih muda 6 tahun dari kakek. Berapa umur nenek
     sekarang.
     Jawab :
     Misal umur kakek sekarang adalah x
               Umur adikku sekarang adalah y
     Diperoleh persamaan :
     a. x – 10 = 6(y – 10)
        x – 6y = -50 .............. (1)
     b. (x + 5)+(y + 5) = 93
        x + y + 10 = 93
        x + y = 83...................(2)
        Eliminasi persamaan (1) dan (2)
        x – 6y = -50
        x + y = 83


        - 7y = -133
            y = 19
        x + y = 83
        x       = 83 – 19
                = 64
Contoh :
Diketahui y = px – 14 dan y = 2x2 + 5x – 12, tentukan batas-batas p
supaya
a. Berpotongan di 2 titik
b. Bersinggungan
c. Tidak berpotongan maupun bersinggungan
Jawab :
y = px – 14 substitusikan ke y = 2x2 + 5x – 12
diperoleh :
2x2 + 5x – 12 = px – 14
2x2 + (5 – p)x + 2 = 0
D = (5 – p)2 – 4.2.2
  = 25 – 10p + p2 – 16
  = p2 – 10p + 9
a. Berpotongan di dua titik (D > 0)
   p2 – 10p + 9 > 0
   (p – 1)(p – 9) > 0
   p < 1 atau p > 9
b. Bersinggungan di satu titik (D = 0)
   p2 – 10p + 9 = 0
   (p – 1)(p – 9) = 0
   p = 1 atau p = 9
c. Tidak berpotongan dan menyinggung (D < 0)
   p2 – 10p + 9 < 0
   (p - 1)(p – 9) < 0
   1<p<9
Tugas III
1. Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45. Tentukan
   bilangan-bilangan tersebut
2. Parabola y = ax2 + bc + c melalui titik-titik (1,1), (-1,-5), dan (3, 23)
   Tentukan nilai a, b, c
3. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan
   tersebut adalah 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah
   bilangan yang lainnya. Bilangan ketiga sam dengan jumlah bilangan
   yang lain dikurangi 4. Tentukan bilangan-bilangan itu.
                         BAB III PENUTUP


Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan
memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda
berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
                         DAFTAR PUSTAKA


Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta :
PT. Galaxy Puspa Mega.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta :
Penerbit Erlangga.
MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA,
Semarang : CV. Jabbaar Setia.

								
To top