Kul 1 VEKTOR by zTwoaV

VIEWS: 87 PAGES: 25

									                  Vektor
Vektor memiliki besaran dan arah.
Beberapa besaran fisika yang
dinyatakan dengan vektor seperti :
perpindahan, kecepatan
dan percepatan.

Skalar hanya memiliki besaran saja,
contoh : temperatur, tekanan, energi,
massa dan waktu.
Penjumlahan Vektor


 s  a b
Mengikuti hukum :
• Komutatif   :


    a b  b a
Assosiatif :


   (a  b )  c  a  (b  c )
Vektor b adalah vektor yang memiliki
besaran yang sama dengan vektorb
tetapi berlawanan arah, bila
dijumlahkan akan menghasilkan :
        (b )  (b )  0
Komponen vektor
• merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem
  koordinat
  Komponen vektor : a ax  a cos  dan a y  a sin 
                          disebut komponen skalar atau komponen
Penjumlahan vektor dengan komponen

s  a  b , setiap komponen s sama dengan

komponen a  b

            s x  ax  bx
            s y  a y  by
            s z  az  bz
                                                             ax
Besar vektor a: a  a  a       2
                                x
                                        2
                                        y      dan   tan  
                                                             ay
Khusus untuk penjumlahan 2 vektor (a dan b ),
besar vektor s dapat dicari dengan rumus :

                s  a2  b2  2ab cos
Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus
trigonometri :
Dalil cosinus : a 2  b 2  c 2  2 bc cos 

                b 2  a 2  c 2  2 ac cos 
                c 2  a 2  b 2  2 ab cos 
                    a     b     c
Dalil sinus :               
                  sin  sin  sin 
Vektor satuan:
Koordinat Kartesius
Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z
diberi tanda : i , ˆ dan k
                ˆ j         ˆ
Kita dapat tulis vektor a dan b sebagai berikut :

                   ˆ
             a  axi  ay ˆ
                          j
                                   disebut komponen vektor
                   ˆ
             b  bxi  by ˆ
                          j
              Perkalian vektor :
• Perkalian vektor dengan skalar :
  Jika vektor a dikalikan dengan skalar s akan
  menghasilkan vektor baru dengan besar nilai
  absolute s dengan arah a jika s positif, dan
  berlawanan arah jika s negatif. Vektor a dibagi
  dengan s berarti kita mengkalikan a dengan 1/s.
• Perkalian vektor dengan vektor :
  Menghasilkan skalar : Scalar Product
   Dikenal sebagai : Dot product
Perkalian titik dan perkalian silang antar vektor
satuan dalam koordinat kartesius :

i.i=j.j=k.k=1

i.j=j.k=I.k=0

ixi=jxj=kxk=0

ixj=k; jxi=-k

ixk=-j;kxi=j

kxj=-i;jxk=i
a.b  ab cos 
Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :


          a.b  (a cos  )(b)  (a)(b cos  )
Scalar product berlaku hukum komutatif

                      a.b  b .a
Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :

          ˆ             ˆ      ˆ             ˆ
 a.b  (axi  ay ˆ  az k ).(bxi  by ˆ  bz k )
                 j                    j
Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :

                 a.b  axbx  ayby  azbz
Menghasilkan vector : Vector Product
 Dikenal sebagai : Cross Product


                  a xb c
 Dengan besar c adalah :

                      c  ab sin 
 Besaran a   xb   ditulis a x b  0 jika   a // b

  dan maksimum jika a  b
Arah dari vektor ctegak lurus bidang yang berisi vektor
a dan b dikenal sebagai hukum tangan kanan.




             b x a  ( a x b )
Penulisan dalam vektor satuan :

           ˆ             ˆ        ˆ             ˆ
a x b  (axi  ay ˆ  az k ) x (bxi  by ˆ  bz k )
                  j                      j

         ˆ     ˆ         ˆ   ˆ
       axi x bxi  axbx (i x i )  0
         ˆ                ˆ j           ˆ
       axi x by ˆ  axby (i x ˆ)  axby k
                j
Hasil akhir :

                                                               ˆ
 a x b  (aybz  by az )iˆ  (azbx  bz ax ) ˆ  (axby  bxay )k
                                             j
Cara mudah untuk perkalian silang dengan
mengunakan metode determinan

          i j k
  a x b = ax ay az
               bx by by
Cara lain : reduksi matrix 3x3   2x2
Latihan soal :
1 Dua buah vektor a dan b bertitik tangkap sama
  saling mengapit dengan sudut  . Jika besar vektor a
  dua kali vektor b dan a  b  3 a  b , hitung  !
  Jawab :  a  b  a 2  b 2  2 ab cos
           a  b  a 2  b 2  2 ab cos

    a2  b2  2 ab cos        3 a2  b2  2 ab cos 

       16 b2 cos   10 b2

                           51, 320
2 Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling
  mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan
  sudut antara resultan dengan vektor pertama.
  Jawab :
           r  v1  v2  2 v1v2 cos 450
                   2    2


                  r    458, 7
                  r  21, 4 satuan
  Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari
  dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus
  Dalil Cosinus : v2  v1  r 2  2v1r cos 
                   2    2


                    297, 7  342, 4 cos    =29,60
                      v2        r
  Dalil Sinus :           
                    sin  sin 1350
                            15(0, 707)
                    sin                =29,7 0
                               21, 4
3 Diketahui 3 buah vektor           ˆ          ˆ
                               a 1 i 3 ˆ  4 k
                                         j
                                       ˆ          ˆ
                               b  1 i  2 ˆ  2 k
                                             j
                                     ˆ          ˆ
                               c  3 i 1 ˆ  3 k
                                          j
  Hitung besar vektor r dan sudut antara vektor ini dengan sumbu z
  jika r  2a  b  c. Hitung juga sudut antara vektor a dan b !
  Jawab :
          ˆ                ˆ
  r  (2)i  (7) ˆ  (13)k  r  (2) 2  (7) 2  (13) 2  14,9 satuan
                   j
  Sudut antara r dengan sumbu z : men”dot” kan dengan vektor
                                   ˆ ˆ         j ˆ       ˆ ˆ
  satuan arah sumbu z. r . k  (2)i .k  (7) ˆ.k  (13)k.k
                                                         13
                         r k   cos   13  cos =             =29.30
                                                        14.9
  Sudut antara a dan b diperoleh dengan men”dot”kan keduanya.
  a. b  1.( 1)  ( 3).( 2)  4.(2)
                                        13
   a b   cos   13         cos =               =31,80
                                       26 9
4.Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan
  dan arahnya 2520 terhadap sumbu x positif. Vektor b
  mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y.
  Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor
  tersebut.
  Jawab :
  Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah:
  2520  900  1620
 Sehingga diperoleh :
  a . b  ab cos   (5)(4) cos1620  19 satuan

  a x b  ab sin   (5)(4) sin1620  6,18 satuan
Soal Tugas
1. Dua buah vektor yang besarnya 5 dan 3
   satuan membentuk sudut 60 sama lain.
   Hitung resultan vektor-vektor tersebut!
   Hitung pula selisih dua vektor tersebut!
2. Tiga buah vektor a, b dan c terletak pada
   satu bidang dan mempunyai titik tangkap
   yang sama. Besar vektor berturut-turut
   adalah 30, 20 dan 40 satuan. Berapakah
   besar sudut apit vektor a dan b agar resultan
   nya besarnya sama dengan vektor c ?
3. Jumlah dua vektor adalah tiga kali vektor yang
  lebih kecil. Jika vektor- vektor tersebut
  membentuk sudut 60, berapakah
  perbandingan kedua vektor tersebut ?
4. Hitung perkalian titik dan perkalian silang dari
  dua vektor berikut ini :
   a = 2i – 2j + 4k
   b = i – 3j + 2k
5. a = 5,1i – 2,3j ; b = i ; c = -3,1i + 6,3j
   Hitung resultan ketiga vektor tersebut dan
  kemana arahnya?

								
To top