Calculul numeric al transformatei Fourier discrete folosind Matlab De obicei by u6LiL0t

VIEWS: 22 PAGES: 17

									                                                                            Curs 13
5.6 Metode de calcul pentru transformata Z directă
    Se pot utiliza două metode:
     calculul direct, utilizând relaţia de definiţie (5.20);
     calculul indirect, pornind de la transformata Laplace.
    1. Calculul direct. Se foloseşte relaţia:
                                                                                               
                                                (5.49)                        X  z    x  k   z k
                                                                                             k 0

pentru determinarea transformatelor Z ale celor mai utilizate semnale.
    a – Treapta unitară (fig. 5.19)

                                                        U  z   Zu  k   1  1 z 1  1 z 2  1 z 3  ... 
                                                                                                                             1
                (5.50)
                                                                                                                         1  z 1
                                                          u k 
                                                1
                                                                                                              …

                                  Te                              Te         2Te           3Te               …                  t
                                 1                 0               1            2            3               …                  k
                                                                   Fig. 5.19 Treapta unitară

    b – Rampa unitară (fig. 5.20)
                                                                                                                                             Te  z 1
                       (5.51)                R  z   Zr  k   0  Te  z 1  2Te  z 2  ... 
                                                                                                                                         1  z 1 
                                                                                                                                                         2



                                                                                      ek ,et 
             r k ,r t 
                                            r t   t
   3Te                                                                                                     e at

   2Te

    Te
                                                                                        e  aTe         e  a2Te         e a3Te
         0               Te             2Te                3Te          t         0               Te               2Te               3Te          4Te        t
         0               1              2                  3            k         0               1                2                 3            4          k
                    Fig. 5.20 Rampa unitară                                                           Fig. 5.21 Funcţia exponenţială

    c – Exponenţiala (fig. 5.21)

                             E  z   Ze  k   1  e aTe z 1  e2aTe z 2 
                                                                                                                                         1
    (5.52)                                                                                                               
                                                                                                                             1  e aTe z 1
Obs er vaţ i e :
   Transformatele Z ale funcţiilor uzuale sunt date în tabelele de transformate.

    2.Calculul bazat pe transformata Laplace
    Fie xt  un semnal având transformata Laplace X  s  . Pentru a calcula transformata
Z a semnalului eşantionat x  k  , se caută o relaţie directă X  s   X  z  , folosind
schema dată în fig. 5.22. Se utilizează definiţiile introduse anterior:
                                                                                
                             (5.53)       x*  t   x  t   Te  t   x t     t  kTe  ,
                                                                               k 0

căci x t   0 pentru t  0 .
                                                   eşantionare
                            x t                                                 x k 

                        L
                                                         ?
                            X s                                                 X  z
                                 Fig. 5.22 Schema de calcul al transformatei Z

       Prin aplicarea transformatei Laplace ecuaţiei (5.53), rezultă:

                                                                                  
                         (5.54) L x*  t   X *  s   X  s  * L     t  kTe 
                                                                     k  0           
Dar:
                                                                                                    1
               (5.55)         L     t  kTe   1  1 e sTe  1 e s2Te  ...                         ,
                                k  0                                                            1  e sTe
atunci convoluţia imaginilor din (5.54) devine:
                                                    1            1 c  j               1
            (5.56)          X *  s  X  s*                         X u                     du
                                                                                         Te  s u 
                                               1  e sTe      2 j c  j        1 e
       Folosind relaţia (5.19), se calculează transformata Z:
                                                                    1 c  j                1
                (5.57)          X  z  X * s                           X u                 du
                                                   e sTe  z       2 j c  j        1  euTe z 1
    În ultima integrală se poate înlocui variabila u cu variabila s . Dacă X s  este o
funcţie raţională, rezultă:
                              1 c  j             1                                           1
(5.58)            X  z             X s               ds       Re z  X  s  .
                                                                                    
                             2 j c  j     1  esTe z 1      polii pi ai             1  e piTe z 1
                                                                         lui X  s 

E x e m p l ul 5 . 1:
       Fie semnalul x  t  reprezentat în fig. 5.23 şi definit prin:

                                                              1  e at pentru t  0
                                                              
                                     (5.59)          x t   
                                                               0
                                                                        pentru t  0
       Transformata Laplace a acestei funcţii este:

                                    X  s   L x  t   
                                                           1   1       a
                                                                  
                                                           s s  a s s  a
                                                  xt 
                                              1



                                                                                 t

                                       Fig. 5.23 Reprezentarea funcţiei (5.59)

     Să calculăm X  z  , când perioada de eşantionare este Te . Polii funcţiei X  s  sunt
s1  0 şi s2  a . Deci:
                                             a              1
X  z                           Rez                              
              si {s1  0; s2  a}      s  s  a   1  e siTe z 1


          1
                         1
                                     (1) 
                                                          1
                                                                    
                                                                                    
                                                                             z 1  1  e aTe 
                1  e0.Te  z 1              1  e aTe  z 1        1  z 1   1  eaT z 1 
                                                                                                    e


4.1.      Calculul transformatei Z inverse
       Se pot utiliza trei metode:
        calculul direct, folosind relaţia de definiţie (5.25);
        metoda seriei de puteri;
        descompunerea funcţiei X(z) în elemente simple.

       1. Calculul direct

                        x  k   Z1  X  z  
                                                      1                  k 1
       (5.60)                                                  X  z  z dz                       Rez  X  z  z 1  pik
                                                     2 j                            polii pi ai lui                   
                                                                                     X  z  z 1

E x e m p l ul 5 . 2:
       Fie:
                                                                         0.25z
                                      (5.61)           X  z 
                                                                   z  0.5  z  0.3
      Polii funcţiei X(z) sunt z1  0.5 şi z2  0.3 . Deci:

                                                                0.25 z                 
                                 x k             Rez                         z 1  pik
                                            p1  0,5       z  0.5  z  0.3        
                                            p2  0,4


sau       x k  
                       0.25
                     0.5  0.3
                                0.5k 
                                          0.25
                                        0.3  0.5
                                                                     
                                                   0.3k  1.25 0.5k  0.3k .              Se   obţine   şirul

x  k k 0,1,2,...   0; 0.25; 0.2; 0.1225;...

E x e m p l ul 5 . 3: aplicaţie în Matlab
      Fie:

                                                                  2z3  2.3z 2  0.5z
                             (5.62)                X  z 
                                                               z3  2.3z 2  1.7z  0.4
                                            ___
      Dacă se notează cu pi , i  1, n , polii funcţiei X  z   z 1 , atunci:
                                      x k             Rez  X  z   z 1  pik 
                                                  poli pi                     
   Fie B  s  A s  o funcţie raţională, unde gradul numărătorului nu depăşeşte gradul
numitorului. Această funcţie poate fi dezvoltată după cum urmează:
                                                           B  s  n ri
                                        (5.63)                               k ,
                                                           A  s  i 1 s  pi
                           ___                                                                            ___
unde pi şi ri , i  1, n , sunt polii şi, respectiv, reziduurile. Notăm ai şi bi , i  1, n ,
coeficienţii polinoamelor A  s  şi respectiv B  s  . Atunci un program Matlab de forma:
       num=[bn bn-1 … b1];
       den=[an an-1 … a1];
       [r, p, k]=residue(num, den)
permite determinarea vectorilor r şi p , ce conţin reziduurile şi polii, precum şi a
coeficientului k din expresia (5.63).
    Pentru exemplul considerat, funcţia B  s  A  s  este:
                                                              2z 2  2.3z  0.5
                                       X  z   z 1                                  ,
                                                           z3  2.3z 2  1.7z  0.4
deci comenzile Matlab sunt:
       num=[2   –2.3   0.5]
       den = [1   -2.3   1.7   -0.4]
       [r, p, k]=residue(num, den)
      Vectorii r şi p obţinuţi sunt:
                                                       2               1 
                                                     r1 ;
                                                                   p  0.8 ;
                                                                          
                                                        1
                                                                       0.5
                                                                          
prin urmare, rezultă:

                                 x  k   r p1  r2 p2  r3 p3  2  1  1  0.8   1   0.5 ,
                                              k       k       k                 k           k                k
               (5.64)                      1

de unde:  x  k                      2; 2.3; 2.39; 2.387; 2.3471;
                        k  0,1,2,

Metodele prezentate pe fond galben sunt material complementar

     2. Metoda seriei de puteri
     Fie X  z  o funcţie raţională, de forma:

                                                        b  b z 1  ...  bn z  n
                                                X  z  0 1
                                                         1  a1z 1  ...  an z n
   Se realizează dezvoltarea în serie de puteri a acestei funcţii, împărţind numărătorul la
numitor. Rezultă:

                                                X  z   0  1z 1   2 z 2  ...

şi, în consecinţă:  x  k                         0 ; 1;  2 ;...
                                     k 0,1,2,...

E x e m p l ul 5 . 4:
                                                                                                  0.25z
     Se consideră funcţia X(z) dată prin (5.61), adică X  z                                                   . Ea se
                                                                                            z  0.5  z  0.3
poate scrie sub forma:

                                                       0.25z                    0.25z 1
                                     X  z                         
                                                z 2  0.8z  0.15         1  0.8z 1  0.15z 2
     Împărţind numărătorul la numitor se obţine seria de puteri:

                                        X  z   0.25z 1  0.2z 2  0.1225z 3  ...

Deci  x  k                    0; 0.25; 0.2; 0.1225;...
                k  0,1,2,3...

E x e m p l ul 5 . 5: aplicaţie în Matlab
     Pentru funcţia X  z  de forma (5.62) se foloseşte programul Matlab următor, care
realizează operaţia iterativă de împărţire a polinoamelor.
       clear all;
       num=[2 -2.3 0.5 0];
       den=[1 -2.3 1.7 -0.4];
       for k=1:5,
          [q,r]=deconv(num,den);
          num=conv(r,[1 0]);
          v(k)=q(k);
       end;
    Programul calculează în vectorul v primele 5 valori ale variabilei x  k  şi generează
rezultatele următoare:  x  2 2.3 2.39 2.387 2.3471 .

3. Descompunerea funcţiei X(z) în elemente simple
                                                                                                      0.25z
E x e m p l ul 5 . 6: Se consideră funcţia X(z) dată prin (5.61), adică X  z                                      .
                                                                                                z  0.5  z  0.3
      Se pune această funcţie sub forma:
                                                                0.25z 1
                                          X  z 
                                                      1  0.5z1   1  0.3z1 
şi apoi se realizează descompunerea ei în elemente simple:

                                          0.25 z 1                     C1              C2
                                                                               
                                1  0.5z1   1  0.3z1        1  0.5 z 1 1  0.3z 1

Se calculează coeficienţii C1 şi C2 :
                               0.25z 1                                    0.25 z 1
                     C1                     1.25 ;       C2                        1.25
                         1  0.3z 1 z 0,5                      1  0.5 z 1 z 0.3
                     1.25           1.25
Deci X  z                                . Transformata Z inversă a funcţiei simple
                           1
                  1  0.5z       1  0.3z 1
                      este f  k   Z1 F  z   C  r k . Rezultă:
             C
F  z 
                  1
         1 r  z
                                           1.25
                            x  k   Z1 
                                          1  0.5z 1
                                                       
                                                            1.25 
                                                                 1 
                                                         1  0.3z 
                                                                                    
                                                                       1.25  0.5k  0.3k        
şi  x  k                0; 0.25; 0.2; 0.1225;...
            k  0,1,2...

E x e m p l ul 5 . 7: aplicaţie în Matlab
                                                                    2z3  2.3z 2  0.5z
      Fie X  z  de forma (5.62), adică X  z                                             . Dacă se foloseşte
                                                                 z3  2.3z 2  1.7z  0.4
variabila z 1 , atunci această funcţie devine:
                                                          2  2.3z 1  0.5z 2
                                      X z    1  2.3z1 1.7z2  0.4z3
                                            1


      Să considerăm z 1  u şi să dezvoltăm X  u  în elemente simple, cu ajutorul
funcţiei Matlab residue. Comenzile Matlab sunt:
       num=[0.5            –2.3    2 ];
        den=[-0.4 1.7 -2.3 1];
        [r, p, k]=residue(num, den)
     Vectorii r şi p obţinuţi sunt:
                                                    2                      2 
                                               r   1.25 ;
                                                                      p  1.25
                                                                                
                                                    2 
                                                                           1 
                                                                                

                  
şi funcţia X z 1  X  u  devine X z 1 
                                                  2
                                                      
                                                             1.25
                                                                      
                                                                           2
                                               z 1  2 z 1  1.25 1  z 1
                                                                              sau:

                          X z 1        
                                          1
                                     1  0.5z 1
                                                  
                                                         1
                                                    1  0.8z 1
                                                                
                                                                     2
                                                                  1  z 1
                                  x  k    1  0.5k  1  0.8  2  1 ,
                                                                                     k            k
Transformata Z inversă este:
care generează rezultatul (5.64).

                                 5.8 Transformata Fourier discretă
     Definirea ftransformatei Fourier discrete implică parcurgerea următorilor paşi:
     1. Fie x  t  un semnal de durată finită  (fig. 5.24, a)), al cărui model spectral X(ω)
este dat în fig. 5.24,c. S-a admis că x  t  are caracteristica spectrală limitată la frecvenţa
maximă  M (vezi fig. 5.24, c)
     2. Este posibilă construcţia unui semnal periodic, x  t  , repetând pe x  t  la fiecare
interval de timp  (fig. 5.24, b)). Deci:
                                                                         
                                          (5.65)      x  t    x  t  m 
                                                                    m 

Semnalul periodic x  t  se modelează cu seria Fourier complexă (v. fig. 5.24,d), astfel:
                                                                         
                                          (5.66)        x  t    Ai e ji0t ,
                                                                        i 
                                                                         2
unde:            (5.67)                                     0                     şi
                                                                          
                                 1               ji0t     1                      1 
           (5.68)         Ai      x  t   e         dt   x  t  e ji0t dt   x  t  e ji0t dt ,
                                    0                             0                            

căci x  t   0 pentru t  0 şi t   . Din (5.68) rezultă:
                                                                              1
                                  (5.69)                            Ai           X  i0 
                                                                              
iar expresia (5.66) devine:
                                                                1               ji t
        (5.70)                                     x  t        X  i0   e 0
                                                                 i 
            x t                                                                                                        X   ,  
                                                                                                                    1
                                                                 Transformata
                                                                    Fourier                                                            X  

                                                     t                                                                                                
       0                                                                                 -M                                              M

                                       a)                                                            c)
                                                                                                                                         
                                                                                                                                  1
                                                                                                   1                     Ai         X  i0 
                                                                                                                                  

             x  t 
                                                                                                                                                  
                                                              Seria Fourier complexă
                                                                                             M                        0 M   N 1 0
                                        …
                                                 t
                                                                                                                          i   arg X i0 
                                                                                                                                i0          
       0                       2      …
                                                                                          M
                                                                   x k                                                0
                                       b)                                               x k        d)                      M   N 1 0

       e)                                   …


                                                                                                              k

                                                                            Te kTe          NTe             t

                                                                             X *  
                  …                                                           1/Te
       f)

                                                                                                                              
                                                         -M                            M
                                                                                                   X * i 
           x  k 
                            x k                                                                                   X *  i   N Ai
                                                                       h)
g) …                                            …                      …                                                                        …


                                                          k                                                                                               i

                                                     2                                                                           N0 
                      Te kTe   NTe                                                                              0 i0
                                     Fig. 5.24 Caracterica spectrală a semnalului esantionat                                       e  2 Te
Se observă că spectrul SFC al semnalului x  t  este obţinut prin eşantionarea
caracteristicii spectrale X   a semnalului x  t  , cu perioada de eşantionare 0  2  ,
efectuând o modificare de scară cu 1  (fig. 5.24, c şi d)). Expresia analitică a semnalului
neperiodic x  t  este:

                                   1                ji t
                                      X  i0   e 0 , 0  t  
(5.71)                   x  t    i 
                                   
                                                       0, în rest

3. Fie x*  t   x(kTe )  x(k ) semnalul eşantionat, cu perioada de eşantionare Te  1 2f M ,
unde f M  M 2 (v. fig. 24.e). Alegerea perioadei de eşantionare la valoarea
Te  1 2f M (adică, la limita impusă de teorema lui Shannon: ω e = 2ω M ) implică
                                                                     2π      2π
valabilitatea relaţiei 2ωM = Nω0 (într-adevăr, 2ω M = Nω0 = N           =N       = ωe ).
                                                                      τ      NTe

    Caracteristica spectrală a semnalului eşantionat este dată în fig. 5.24,f (pentru
simplificarea desenului, s-a renunţat la reprezentarea caracteristicii de fază). In banda de
bază, această caracteristică este:
                                                 1                     1
                   (5.72)       X *             X   ie        X   ,
                                                Te i            i 0 T
                                                                         e
                                                                                     
unde:         (5.73)                 X    F  x  t    x  t   e jt dt   x  t   e jt dt
                                                                                    0
     În această integrală se discretizează timpul t cu pasul de eşantionare Te , rezultând:
                                       (5.74)               N   Te
intervale de discretizare. Se obţine:
                                                          N 1
                            (5.75)        X    Te   x  k   e jkTe
                                                          k 0
şi relaţia (5.72) devine:
                                                            N 1
                         (5.76)                 X *     x  k   e jkTe
                                                            k 0

4. Fie acum x  k  un semnal periodic, construit repetând pe x  k  la fiecare interval de
timp   NTe (v fig. 5.24,g). Vom discretiza axa frecvenţelor  din caracteristica
spectrală X *   , utilizând pasul 0 (vezi fig. 5.24, h). Folosind (5.67), (5.74) şi

                                  (5.77)                2M  N  0
relaţia (5.76) devine:
                                                                                                  2
                                   N 1                                 N 1                ji         kTe
                                                        ji0 kTe
     X   *
              i0   X  i  
                        *
                                    x k   e                       x k   e                           
                                   k 0                                 k 0
                                                              2                                        2
                                   N 1                 ji       kTe     N 1                   jik
                                 x k e                   NTe
                                                                          x k e                    N , i  0, N  1
                                   k 0                                   k 0
Deci:
                                                                                  2
                                                           N 1            jik
                        (5.78)            X   *
                                                  i      x k   e           N    ,       i  0,1, 2,... N  1
                                                           k 0

                                                                                           1      
                                                                X i  e ji0t ,
    Să înlocuim X   din X     X   , în x  t    i   0 
                                    1         *                                                                              0  t 
                                                                                                                                          .
                                   Te                       
                                                                                                                    0,    în rest
Cum X   este limitată la frecvenţa  M , se obţine:

                                   1              ji t Te N 1 *      ji t
                                      X  i0  e 0    X  i0  e 0 ,      0  t 
                  (5.79) x  t    i                 i 0
                                   
                                                                     0,       în rest

     În relaţia (5.79) se discretizează timpul t cu pasul Te , punând t  k  Te , unde valorile
lui k corespund intervalului  0,  : k=0,1,2,...,N-1. Rezultă:
                                                                                                              2
                             Te N 1 *         2
                                                     1 N 1 *        ji     kTe
(5.80) x  kTe   x  k        X  i0          X i   e
                                             ji kTe                     NTe
                                                                                , k  0,1,                                       N 1
                             NTe i 0                N i 0
sau
                                                                                   2
                                              1 N 1           jki
                      (5.80)         x  k     X * i   e N ,                               k  0,1,         N 1
                                              N i 0
    Făcând corespondenţa cu seria Fourier complexă, rezultă
                                                                                                                                 Im
                        (5.81)                      Ai = X i* / N                                                    ui
    Fie acum:
                                                                                                                                      2
                                                          2                                                                      i            u2
                                                        j                                                                             N
                                 (5.82)              ue N                                                    1                                u1 Re
                                               2                                                                                                u N 1
numărul complex de modul unitar şi de argument    ,
                                               N
reprezentat ca vector, şi u i , k  0,1, N -1 , steaua simetrică a
vectorilor de modul unitar (fig. 5.25). Relaţiile (5.78) şi (5.80)
devin respectiv:                                                                                                   Fig. 5.25 Steaua vectorilor
                                                                                                                    unitari u , i  0, N  1
                                                                                                                             i
                                  N 1
(5.83) X *  i   Fd  x(i)   x  k   u ik ,        i  0, N  1
                                  k 0

                  
                             
(5.84) x  k   Fd 1 X * (k ) 
                                   1 N 1 *
                                      X  i  uik ,
                                   N i 0
                                                               k  0, N 1

     Transformata Fourier discretă directă este definită de relaţia (5.78) sau prin relaţia
(5.83). Transformata Fourier discretă inversă este definită prin relaţia (5.80) sau prin
relaţia (5.84).

Ca l c ul ul tra ns forma te i Fouri e r di sc re te
     Dacă se dezvoltă relaţia (5.83), pentru i  0,1,2, ,N  1, se obţin N relaţii algebrice,
care pot fi scrise sub forma matricială (5.85).
                       X *  0   
                                   1       1                    1          ...        1         x  0    
                       X 1                                                                              
                                            u 1                  u 2              u ( N 1)   x 1
                          *
                                    
                                         1                                    ...                              
                      
                       X *  2     1                                             2 N 1    x 2      
        (5.85)
                                         u 2                  u 4        ...   u                      
                                   ...    ...                   ...        ...         ...     .......    
                       *                                                                                  
                       X  N  1   1 u ( N 1)                                 u   N 1   x  N  1 
                                                                                                 
                                                             u 2 N 1 ...
                                                                                               2

                                                                                                             
                                  
    Pornind de la particularităţile matricei din relaţia (5.85) (identitatea liniilor şi
coloanelor având acelaşi indice; u N  1 , etc.) a fost dezvoltat un algoritm de calcul rapid
al valorilor X *  k  , k  0,N  1 . Transformata Fourier discretă astfel calculată se
numeşte transformata Fourier rapidă (TFR), sau FFT (Fast Fourier Transform – în
limba engleză).



Le gă tura î ntre trans forma ta Fouri er di s c re tă şi tra ns forma ta Z
    Transformata Z a semnalului eşantionat x(k) este:
                                                                       N 1
                              (5.86)         X  z   Zx  k    x  k   z k
                                                                       k 0
    Se plasează variabila z pe cercul unitar şi se impune eşantionarea variabilei z pe acest
cerc, cu pasul egal cu 2 N . Se obţin eşantioanele variabilei z corespunzătoare seriei

u0  1; u1  u; u2; ... u N 1         (vezi fig. 5.25). În acest caz, transformata Z devine
transformata Fourier discretă:
                                                           N 1
                 (5.87)       X * i   X  z       i   x  k   u ik ,         i  0,1,     N -1
                                                   z u
                                                         k 0
                               Produsul de convoluţie ciclic
      Legătura dintre transformata Z şi transformata Fourier discretă permite transferarea
înspre transformata Fourier discretă a celor mai multe dintre proprietăţile transformatei Z.
Astfel, definind produsul de convoluţie ciclic al semnalelor discrete x1(k) şi x2(k),
 k  0, N  1 :
                                                      N 1
             (5.88)      x(k )  x1(k )  x2 (k )   x1(i)  x2 (k  1),          k  0, N  1 ,
                                                       i 0
se obţine:

                   (5.89)       Fd  x(k )  Fd  x1(k )  x2 (k )  X1 (k )  X 2 (k )
                                                                        *          *

                                                           *           *
    De asemenea, definind convoluţia ciclică a imaginilor X1 (k ) şi X 2 (k ) :

                                                     1 N 1 *
                            (5.90)      X * (k )                    *
                                                        X1 (i)  X 2 (k  i) ,
                                                     N i 0
rezultă:

                               (5.91)        
                                                             
                                            Fd 1 X * (k )  x1(k )  x2 (k )

Ca l c ul ul nume ri c a l tra ns forma te i Fouri e r di s c re te fol os i nd
Ma tl a b
    De obicei, calculul numeric este realizat folosind un algoritm de viteză de calcul
maximă, care este algoritmul transformatei Fourier rapide (algoritmul FFT). Numărul de
eşantioane ale semnalului trebuie să fie de forma 2m , cu m întreg (de exemplu: 32, 64,
128, 256, 512, 1024…).
    Comanda Matlab pentru calculul transformatei Fourier discrete este:

     spc=fft(x,N),
unde x este vectorul care conţine eşantioanele x  i  , i  0,N  1 , şi spc este vectorul ale
cărui componente sunt numerele complexe X * i  , i  0,N -1 , reprezentând transformata
Fourier discretă, definită de expresia (5.82). Dacă N nu este de forma 2m , funcţia fft
generează acelaşi rezultat, dar timpul de calcul creşte sensibil.
    Legătura dintre transformata Fourier discretă şi seria Fourier care descrie semnalul
periodic eşantionat, xT  nTe  , de perioadă T  NTe , este:
                                             N 2
             (5.92)      xT  nTe   C0   Ci cos  i0  nTe   Si sin  i0  nTe  ,
                                                                                        
                                              i 1
unde:
                        
                        C  X  0  ; C 
                                 *                         
                                               2 Re X *  i 
                                                              
                                                                  
                                                                2Re spc  i  1
                          0
                                  N
                                           i
                                                    N                   N
          (5.93)                                                                            i  1,N/2
                        
                         Si 
                                       
                               2Imag X *  i 
                                               
                                                2Imag spc  i  1
                                                                      ; i  1,N/2
                                   N                    N
Cum 0  2 / T  2 / NTe , rezultă:
                                                   N 2
               (5.94)        xT  nTe   C0   Ci cos  2 in / N   Sisin  2 in / N 
                                                                                           
                                                    i 1
Obs er vaţ i i :
     1) În fig. 5.26, b) componentele X * 1 , X *  2  ,                X *  N  1 , corespunzătoare,
respectiv, valorilor spc  2 , spc  3 ,            spc  N  , sunt simetrice – excepţie făcând
X *  0  spc 1 ,     care     este      valoarea           medie   a      semnalului        –      adică:
X * 1  X *  N  1 ; X *  2   X *  N  2  ;       Deci sunt necesare numai componentele
X *  i  , i  0, N / 2 , pentru a cunoaşte modelul spectral al semnalului.
    2) Conform relaţiei (5.81), avem Ai  X *  i  / N , de unde se obţine spectrul seriei
Fourier armonice:
                            A  X *  0 / N ; A  2  A  X * i           N / 2
                            0                   i       i
             (5.95)                                                                    i  1, N / 2
                                     
                           i  arg X *  i  
E x e m p l ul 5 . 8: Fie semnalul:
              (5.96)        x t   cost  0.5  sin2t  0.2; t 0, T  ,   2 / T0 ,
cu T0  3.2s şi T  2T0 . Pentru perioada de eşantionare Te  0.1s , N  32 , programul
Matlab utilizat pentru analiza spectrală a semnalului este:
      clear all;
      T0=3.2;T=2*T0;Te=0.1;N=T/Te;om=2*pi/T0;
      for i=1:N      %calculul eşantioanelor semnalului
         ind(i)=i;
         x(i)=-cos(om*(i-1)*Te)+1.5*sin(2*om*(i-1)*Te)+0.2;
      end;
      figure(1);stem(ind,x);grid;pause;
      spc=fft(x,N); %calculul transformatei Fourier directe
      N1=N/2;
      spc1=abs(spc)/N1; %calculul spectrului de amplitudini
      spc1(1)=spc(1)/N;
      figure(2);stem(ind(1:N1),spc1(1:N1));
      grid;axis([0 32 0 1.5]);pause;
      for i=1:N1,       %calculul spectrului de faze
         if abs(spc(i))<1e-7 spc2(i)=0;
          else spc2(i)=angle(spc(i));
          end;
       end;
       figure(3);stem(ind(1:N1),spc2(1:N1));
       grid;axis([0 32 -3.5 0]);pause;
       xi=ifft(spc,N);        %calculul transformatei Fourier inverse
       figure(4);stem(ind,xi);grid;
       C0=spc1(1);            %calculul seriei Fourier trigonometrice
       for i=1:N1,
          C(i)=2*real(spc(i+1))/N;
          S(i)=-2*imag(spc(i+1))/N;
       end;
       for n=1:N,%calculul semnalului pe baza seriei Fourier trigonometrice
          xc(n)=C0;
          for k=1:N1
              xc(n)=xc(n)+C(k)*cos(2*pi*k*...
       (n-1)/N)+S(k)*sin(2*pi*k*(n-1)/N);
          end;
       end;
       figure(5);stem(ind,xc);grid;pause;
          2.5

               1

          a 0
          )
              -1

           -2.5
                    0       10         20           30             40        50         60         70
              1.5                                            0
                                                          -0.5
                                                            -1
               1
                                                          -1.5
          b                                                                                            c
          )                                                  2                                         )
              0.5                                          2.5
                                                             3
                                                           3.5
               0        5   10    15    20     25    30          0      5   10    15   20    25   30
                                       Fig.5.26 Analiza spectrală a unui semnal (exemplul 5.8)

     Programul realizează operaţiile următoare:
      reprezentarea grafică a semnalului (fig. 5.26, a));
      calculul transformatei Fourier discrete, spc  i  , i  1, N , şi calculul spectrelor de
amplitudini şi de faze, spc1 i  şi spc2  i  , i  1, N / 2 .
    Eşantionarea caracteristicii spectrale este realizată cu un pas de eşantionare
0  2 T  2  2T0    2 . Expresia semnalului se scrie:
                                                      
     x  t   0.2  1 cos  t     0.5cos  2t    A0  A1cos  t  1   A2cos  2t  2 
                                                      2
unde A0  0.2 şi armonicile de frecvenţe   20 şi 2  40 au amplitudinile
 A1  1, A2  0.5 şi fazele 1   , 2    2 (fig. 5.26, b) şi c));
       calculul transformatei Fourier inverse, folosind funcţia ifft ; se obţine semnalul
xi, care este practic identic cu semnalul iniţial, x;
       calculul parametrilor Ci şi S i ai seriei Fourier trigonometrice. Pornind de la
expresia analitică a acestei serii, se calculează semnalul xc, care este practic identic cu
semnalul iniţial, x.


                                TEORIA SISTEMELOR

                        Capitolul 1
       NOŢIUNI GENERALE PRIVIND SISTEMELE DINAMICE

                                          1. Noţiunea de sistem

    Mărimile fizice care intervin într-un proces fizic pot fi clasificate în:
        - mărimi cu variaţie independentă, numite mărimi de intrare, şi
        - mărimi care sunt dependente de cele de intrare, numite mărimi de ieşire.
        Notaţia generică a marimilor de intrare este u(t), iar a mărimilor de ieşire, y(t).
        Fie un proces fizic, numit şi sistem fizic, având mărimile de intrare şi de ieşire
u(t), respectiv y(t). Reprezentarea acestuia se face ca în Fig. 1.a. Este posibil ca în
sistemul (procesul) fizic să intervină mai multe mărimi de intrare, u1(t), u2(t),...., um(t) şi
mai multe mărimi de ieşire, y1(t), y2(t),..., yr(t). Aceste mărimi se pot organiza sub forma

              u t                        yt             ut                        yt 
                           Sistem fizic                                  Sistem fizic


                               a                                               b
                                   Fig. 1. Reprezentarea unui sistem fizic
vectorilor de intrare şi de ieşire, u(t) şi y(t), definiţi prin relaţiile
                                      u1  t                  y1  t  
                                                                        
                            u t             ;     y t                                      (1)
                                     um  t  
                                                               yr  t  
                                                                          
iar sistemul se reprezintă ca în fig. 1.b.
         In teoria sistemelor interesează legătura între mărimile de intrare şi cele de ieşire
(transferul intrare-ieşire). Această legătură este dată de modelul matematic al
sistemului/procesului fizic respectiv. In accepţiunea teoriei sistemelor, acest model
matematic se numeşte sistem, sau sistem dinamic.
          Deci, prin noţiunea de „sistem” se poate face abstracţie de suportul fizic particular
care generează modelul matematic (sistemul), însă se postulează faptul că acest model
(sistem) provine de la un proces fizic, în legătură cu care se definesc mărimile de intrare
şi de ieşire.
          Mărimile de intrare sunt mărimi cauză, iar cele de ieşire sunt mărimi efect. O
condiţie care se impune unui model (deci,unui sistem dinamic), pentru ca el să poată
reflecta un proces fizic, este cauzalitatea. Cauzalitatea implică faptul că un efect nu
poate apare independent de cauză şi înaintea cauzei. Se spune că un sistem este strict
cauzal, dacă efectul apare strict după cauză. Dacă există efecte sau componente ale
efectelor care apar simultan cu cauza, sistemul se numeşte la limită cauzal.
          O mărime de intrare aplicată la intrarea unui sistem strict cauzal produce
modificarea mărimii de ieşire printr-un regim dinamic, astfel încât nu există un transfer
instantaneu intrare-ieşire. Transferul instantaneu poate caracteriza parţial relaţia intrare
ieşire, doar în cazul sistemelor la limită cauzale.
          Fie SF un sistem fizic (proces fizic) al cărui model matematic, numit sistem
dinamic, se cere a fi cunoscut. Aşa cum se prezintă în fig. 2, există două posibilităţi de a
obţine modelul matematic, sub forma sistemului dinamic S:
          1) prin tehnici de modelare matematică, numită uneori şi identificare analitică, şi
          2) prin identificare experimentala.
                                                           Prin modelare matematică se
                           Modelare                    determină modelul sistemului fizic
                    (identificare analitică)
                                                       pornind de la relaţiile şi legile
                                                       cunoscute în domeniul de care
                             u                       y aparţine procesul modelat.
   Sistem fizic                     Sistem dinamic S        In       cazul         identificării
         SF                                            experimentale se determină în
                                                       prealabil înregistrări ale mărimilor de
                                                       intrare şi de ieşire, iar apoi, prin
                         Identificare                  prelucrarea         acestor         date
                                                       experimentale, de obţine modelul
         Fig. 2 Căi de obţinere a sistemului dinamic   matematic al sistemului fizic.
                                                           Cele două abordări nu se exclud,
ci sunt complementare, în sensul că:
-       modelarea matematică este obligatorie când sistemul fizic nu este disponibil pentru
o investigare experimentală, ci doar sub formă de proiect;
-       identificarea experimentală este mai precisă decât modelarea analitică, însă
presupune existenţa sistemului fizic si realizarea unui experiment cu acesta.

             2 Clasificarea reprezentărilor matematice ale sistemelor

      Pentru clasificarea reprezentărilor matematice ale sistemelor liniare se pot utiliza
mai multe criterii de clasificare, după cum urmează:

   1. natura modelului. Reprezentările pot fi :
       -   parametrice, în care modelul are o formă tipizată, fiind individualizat
           printr-un număr finit de parametri, dependent de ordinul sistemului ;
       -   neparametrice, în care modelul este dat prin reprezentări grafice netipizate ;

   2. domeniul de reprezentare. Există :
       -   modele reprezentate în domeniul '' timp '' (în domeniul '' t ''),
       -   modele reprezentate în domeniul '' s '' (domeniul “z”, in cazul sistemelor cu
           timp discret),
       -   modele frecvenţiale (reprezentate în domeniul '' '').

   3. modul de transfer cauză-efect : Modelele pot fi :
      - de stare, cu transfer de tip intrare-stare- ieşire,
      - de tip intrare-ieşire.

      In raport cu natura timpului, sistemele pot fi :
        - cu timp continuu sau
        - cu timp discret. Sistemele cu timp discret pot fi, la rândul lor:
              - sisteme cu răspuns la impuls infinit (I.I.R – Infinite Impulse
                  Response), sau
              - sisteme cu răspuns la impuls finit (FIR - Finite Impulse Response).
      Deseori, modelele reprezentate în domeniul „s” sunt incluse în cadrul
reprezentărilor frecvenţiale. Această abordare este justificată, întrucât variabila s este
interpretată ca „frecvenţă complexă”. Totuşi, în cele ce urmează se vor nuanţa modelele
frecvenţiale, prin tratarea distinctă a reprezentării în domeniul '' ''.

								
To top