BEKERJA DENGAN BILANGAN by wQ80A9

VIEWS: 150 PAGES: 152

									BEKERJA DENGAN BILANGAN
Kita semua bekerja dengan bilangan setiap hari,
  seringkali tanpa tahu tentang hal itu. Professor
  Brian Butterworth, dalam bukunya Mathematical
  Brain, memperkirakan bahwa dia memproses
  kira-kira 1000 angka perjam – berarti dalam
  setahun dia telah memproses kira-kira 6 juta
  angka – tanpa melakukan sesuatu yang spesial.
  Butterworth tidak spesial, tetapi dia adalah
  seorang ahli matematika.
Angka-angka yang diprosesnya ditemukan
 dalam kehidupan kita sehari-hari – 51
 angka pada halaman pertama dari sebuah
 surat kabar (Harga, tanggal, dan jumlah);
 angka pada radio (stasiun radio, frekuensi,
 berita, parade lagu); hasil olahraga; waktu;
 label pada makanan; petunjuk memasak;
 uang; alamat; kode bar; halaman buku;
 dan masih banyak lagi contoh yang lain.
Bilangan-bilangan ini berbeda : ada bilangan
  bulat, ada pecahan, desimal, urutan,
  secara acak. Bagian ini sederhana – kita
  bergantung pada bilangan setiap hari, dan
  kita harus mengetahui Sistem bilangan
  dan bagaimana untuk menggunkakannya.
SISTEM BILANGAN

Macam-macam bilangan dapat dilihat pada
 tabel di bawah ini :
Bilangan Asli                                           1, 2, 3, 4, 5, …

Bilangan Bulat                                          0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Bilangan Bulat                                          …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
• Bilangan Bulat positif                                1, 2, 3, 4, ...(Tdk menggunakan tanda +)
                                                        -1, -2, -3, -4 …
• Bilangan Bulat negatif
                                                        2, 4, 6, … (dapat dibagi 2)
Bilangan genap
                                                        1, 3, 5, … (Tdk dpt dibagi 2)
Bilangan Ganjil

Bilangan Prima-Bilangan asli yang dapat dibagi dengan   2, 3, 5, 7, 11, 13, …
angka satu dan dirinya sendiri. Bilangan ini hanya      1 Bukan bilangan prima karena hanya memiliki satu
memiliki 2 faktor.                                      faktor.
                                                        2 merupakan satu-satunya bilangan prima genap.
                                                        Bilangan prima terbesar yang diketahui memiliki
                                                        ribuan digit.


Bilangan berpangkat - bilangan asli yang dikalikan      1, 4, 9, 16, 25, 36, …
dengan dirinya sendiri.

Pecahan – merupakan bagian dari bilangan bulat, juga    ½, ¼, 2 ½ (Vulgar atau pecahan biasa; bilangan
disebut sebagai bilangan Rasional.                      yang berada di atas garis disebut pembilang dan
                                                        yang di bawah garis disebut penyebut)
                                                        0.5, 0.4, 0.335 (pecahan desimal)
                                                        Persen (%) adalah pecahan dari 100
Bilangan tersebut masuk ke dalam golongan
  bilangan Real terbesar (R). Diagram di
  bawah ini memperlihatkan penggolongan
  dari bilangan tersebut
            REAL NUMBER


RATIONAL                         IRRATIONAL


                                 FRACTIONS
INTEGERS


                           NATURAL NUMBERS
 NEGATIVE
 NUMBERS     ZERO

                          EVEN           ODD
SIMBOL MATEMATIKA

+ Plus atau    = Sama        < Kurang        Maka
positif        dengan        dari
- Kurang        Tidak       > Lebih dari   x Tak
atau negatif   sama                         terhingga
               dengan
X Perkalian     Mendekati    Kurang           Sejajar
               sama          dari atau
               dengan        sama
                             dengan
Pembagian : adalah           Lebih dari     Akar
                             atau sama      kuadrat
                             dengan
LATIHAN
1.Manakah yang merupakan Bilangan asli?
       3, -2, 0, 1, 15, 4, 5
2.Manakah yang merupakan Bilangan bulat?
       -7, 10, 32, -32, 0
3.Manakah yang merupakan Bilangan prima?
       21, 23, 25, 27, 29, 31
4.Tuliskan 2 Bilangan prima selanjutnya dari:
       a)30           b)80
5.Apakah semua bilangan prima ganjil?
6.Apakah semua Bilangan ganjil adalah Bilangan prima?
7.Jika kalian menambahkan 2 bil.ganjil, Bilangan apakah
yang akan kalian dapatkan?
8.Bilangan apakah yang akan kalian dapatkan jika
menambahkan satu bil.ganjil dan satu bil.genap?
9.Tuliskan :
  a) 4 Bilangan berpangkat yang lebih besar
      dari 25.
  b) 4 Bilangan rasional yang lebih kecil dari
      ½.
  c) yang termasuk Bilangan bulat negatif
      antara -7 dan 0.
  d) Bilangan desimal yang sama dari ½,
      75%, dan 1 ½.
 MENGGUNAKAN KALKULATOR
Tabel di bawah ini menunjukkan beberapa
fungsi daari beberapa kalkulator. Walaupun
demikian, semua kalkulator berbeda dan
kalian harus membaca petunjuk manualnya
dan mengetahui bagaimana menggunakan
kalkulator yang kalian miliki.
KEY           FUNCTION                 KEY          FUNCTION
              Untuk mengakses                       Merupakan bentuk
INV or 2ndF   beberapa fungsi
                                       EXP or EE    tombol standar
              Membatalkan angka                     Tombol pecahan, utk
      C       terakhir yg dimasukkan     a b/c      memasukkan 2/3,
                                                    tekan a b/c 3
              Membatalkan semua                     Menyimpan angka yng
      AC      data yg dimasukkan       Min or STO   ditampilkan ke dalam
                                                    memori
              Menghitung kuadrat                    Menampilkan ulang
      X2      dari sebuah bilangan     MR or RCL    data dari memori
              Menghitung kubik dari                 Menambah nilai
      x3      sebuah bilangan                M+     tampilan ke dalam
                                                    memori
KEY         FUNCTION KEY                  FUNCTION
            Menghitung akar               Mengurangi nilai
            kuadrat dari sebuah     M-    tampilan dari
            bilangan                      memori

 3
            Menghitung akar               Memberi Mode
            kubik dari sebuah      Mode   untuk menghitung
            bilangan                      (Pengganti manual)
            Membalikkan                   Ubahlah satuan
 +/-        tanda(mengubah                menjadi derajat,
            positif ke negatif     DRG    radian, pastikan
            atau sebaliknya               kalkulator diset
                                          normal dalam
                                          derajat.
                                          Menghitung nilai
       Xy                         Sin     Sin, Kosinus,
                                  Cos     Tangen
                                          (Trigonometri)
                                  tan
LATIHAN
Gunakan kalkulator untuk menghitung :
1. 52

2. 2.6

 3       1
3.
 4   -
         5
     ATURAN MENGHITUNG
Matematika memiliki aturan-aturan yang
telah dikembangkan yang membantu kita
saat kita bingung mengerjakan matematika
dengan operasi penggabungan. Aturan ini
memberitahukan tentang pengerjaan
operasi secara berurutan – dengan kata
lain, apa yang pertama harus kita kerjakan
ketika menemui soal seperti ini :3 x 4 + 14.
Ada satu cara untuk mengerjakan susunan
secara berurutan yang dikenal dengan
istilah BODMAS. Ini adalah sistem
penghitungan yang berarti :
B – Brackets (pengurungan). Mengerjakan terlebih dahulu yang
terdapat di dalam kurung. Apabila terdapat lebih dari satu kurung,
kerjakan dari bagian luar ke bagian dalam.

O – Of. Mengubah “of” menjadi “x” dan mengerjakannya.
D – Divide (pembagian)
M – Multiply (perkalian). Saat terdapat tanda “x” dan  dalam sebuah
perhitungan, kerjakan yang mana saja.
A – Add
S – Substract. Saat terdapat tanda “+” dan “-” dalam sebuah
perhitungan, kerjakan yang mana saja.


Banyak kalkulator modern diprogram untuk
menggunakan aturan BODMAS
CONTOH
B 1. 3x4+142   ()   2.18-14(3+4)+2x3   (Brackets)
O      =3x4+7   (x)     =18-147+2x3      ( dan x)
D      =12+7    (+)     =18-2+6           (- dan +)
M      =19              =22
A
S
LATIHAN
Tentukan nilai dari :
1.(16 – 10)  2         2. 16 – 10  2
3. (4 + 3) X 2          4. 4 + 3 X 2
5. (14 – 5)  (20 – 2)  6. 30 + 132  11
7. 5 X 5 + 6  2        8. 2 + 5  3 X 6
Berikan tanda agar pernyataan di bawah ini
benar :
9. 5 3                  10. -5      -3
             5                1
11. 5.7      7          12. 2 2      2.5
                            1
13. 4 = 16            14.       0.333
                            3


             22
15. 3.14              16. -7      1
                                  2
             7

                  1
17. 3.333         3   18. -2          -4
                  FAKTOR
Faktor adalah bilangan yang apabila dibagi
akan habis terbagi dari bilangan itu sendiri.
Pikirkan angka 12. faktor prima dari 12 adalah :
1, 2, 3, 4, 6, dan 12. itu berarti 12 akan habis
terbagi oleh 1, 2, 3, 4, 6,dan 12.
Dari faktor di atas, 2 dan 3 disebut faktor prima,
karena kedua angka tersebut juga adalah
bilangan prima.
           FAKTOR PRIMA
Faktor prima dari sebuah bilangan adalah faktor
yang terdiri dari bilangan prima. Kalian dapat
menuliskan setiap bilangan sebagai hasil dari 2
atau lebih bilangan. Sebagai contoh, 12 = 4 X 3.
perhatikan 4 bukan bilangan prima. Kalian dapat
menghilangkan angka 4. jadi sekarang kalian
mempunyai 12 = 2 X 2 X 3. selama 2 dan 3 adalah
bilangan prima, kalian dapat menulis 12 sebagai
hasil dari bilangan prima.
Menulis hasil dari faktor prima

Untuk menuliskan hasil dari faktor primanya,
pertama cobalah membagi sebuah bilangan
dengan bilangan prima pertama, 2. lanjutkan
sampai 2 tidak bisa lagi digunakan sbg
pembagi. Lalu coba bilangan prima
selanjutnya, yaitu 3, kemudian 5, dan
seterusnya, sampai jawaban terakhirnya
adalah 1.
CONTOH
1. Tuliskan faktor prima dari 60
    bagi 60 dengan 2 seperti yang terlihat    2 60
    Sekali lagi bagi dengan 2                 2 30
    sekarang, kalian dapat membagi 15 dgn 3   3 15
    Terakhir, bagi dengan 5                   5 5
                                                1


Jadi, 60 =2 X 2 X 3 X 5
2. Tuliskan faktor prima dari 1617
  1617 tidak bisa dibagi habis dengan 2,tetapi dapat dibagi
  habis dengan bilangan prima berikutnya, misalnya 3.

  539 tidak bisa dibagi habis dengan 3             3 1617
  atau 5 tetapi dapat dibagi habis dengan 7        7 539
                                                   7 77
  Bagi sekali lagi dengan 7
  Terakhir bagi dengan 11                         11 11
                                                     1


Jadi, 1617 = 3 X 7 X 7 X 11
              PERKALIAN
Perkalian dari sebuah bilangan adalah hasil
  bilangan tersebut dan bilangan bulat.
  Perkalian dari 3 adalah 3, 6, 9, 12, …
  bagaimana cara menemukannya ?
3 X 1 = 3, 3 X 2 = 6, 3 X 3 = 9, …
Jadi 6 adalah perkalian dari 3 karena 6 = 3
  X 2. juga, 3 adalah faktor dari 6 karena 6 
  3 = 2.
   KELIPATAN PERSEKUTUAN
          TERKECIL
KPK dari dua atau lebih bilangan adalah
 bilangan terkecil yang dikalikan dari setiap
 bilangan tersebut. 12 adalah hasil kali dari
 3 dan 4. itu juga bilangan terkecil yang
 keduanya 3 dan 4 akan membagi 12. jadi
 12 adalah KPK dari 3 dan 4.
Ada dua cara dalam menentukan KPK dari
 sebuah bilangan. Cara pertama adalah
 mencatat perkalian dari setiap bilangan
 dan mengambil bilangan terkecil yang
 ditunjukkan pada setiap daftar. Berarti
 bilangan persekutuan terkecil didapatkan
 dari daftar tersebut.
Cara kedua ialah menunjukkan faktor prima
 dari setiap bilangan, kemudian mencari
 bilangan terkecil yang termasuk dari setiap
 hasil tersebut.
Beberapa contoh akan membuat kalian
 mengerti.
Cari KPK dari 12 dan 15
Cara I: Perkalian dari 12 adalah 12, 24, 36, 48, 60, 72, …
         Perkalian dari 15 adalah 15, 30, 45, 60, 75, 90, …
  Bilangan terkecil yang ditunjukkan dari kedua daftar di atas
  adalah 60.
Jadi, KPK dari 12 dan 15 adalah 60.

Cara II: Tunjukkan bilangan prima dari setiap bilangan :
  12 = 2 X 2 X 3
  15 = 3 X 5

Bilangan terkecil dari 12 dan 15 adalah 2 X 2 X 3 X 5.
Jadi KPK dari 1 dan 15 adalah 60
Beberapa bilangan yang merupakan
  perkalian dari 12 harus memiliki sedikitnya
  dua angka 2 dan satu angka 3 pada
  bentuk faktor primanya.
Beberapa bilangan yang merupakan
  perkalian dari 15 harus memiliki sedikitnya
  satu angka 3 dan satu angka 5 pada
  bentuk faktor primanya.
Jadi secara umum perkalian dari 12 dan 15
  harus memiliki sedikitnya dua angka 2,
  satu angka 3 dan satu angka 5 pada
  bentuk faktor primanya.
LATIHAN
1.   Tuliskan faktor prima dari bilangan berikut:
     a)18      b)16     c) 64       d) 81         e)100
     f) 36     g) 21    h)11        i) 45         j)108
2. Tentukan KPK dari bilangan berikut :
     a) 9 dan 12     b) 12 dan 18         c)15 dan 24
     d) 24 dan 36 e) 3 dan 5
3. a) 4, 14 dan 21 b)4, 9 dan 18          c)12, 16 dan 24
     d) 6, 10 dan 15
      POLA DAN DERET
Lihat pola bilangan di bawah ini
1, 2, 3, 4, 5, …
5, 10, 15, 20, 25, …
Berapa tiga bilangan berikutnya dari setiap
pola ?
6, 7, 8, adalah tiga bilangan berikutnya
pada pola pertama dan 30, 35, 40, adalah
tiga bilangan berikutnya pada pola kedua.
Ada istilah khusus untuk setiap pola dari
sebuah bilangan. Pola itu disebut sebagai
Deret. Setiap bilangan dari setiap deret
disebut pola deret. Setiap deret pada
kelompok bilangan memiliki dua bagian
penting. Bilangan disusun secara
berurutan dan ada aturan yang
memampukan kita untuk melanjutkan
deret tersebut. Pola pertama dari sebuah
deret diberikan dan kalian bisa
menyelesaikan deret dengan
menggunakan aturan tersebut.
CONTOH
   Tuliskan dua pola berikutnya dari setiap
   bilangan di bawah ini :
1. 2, 6, 10, 14, 18, …
2. 2, 6, 18, 54, 162, …
3. 27, 22, 17, 12, 7, …
4. 2, 3, 5, 8, 12, 17, …

1. Pada deret, setiap pola adalah ditambah
   4 dari pola sebelumnya.
2. Pada deret, setiap pola dikali 3 dari pola
   sebelumnya.
3. Pada deret, setiap pola dikurangi 5 dari
  pola sebelumnya.
4. Ditingkatkan dari satu pola ke yang
  berikutnya adalah 1, 2, 3, 4, 5. dua
  tingkatan berikutnya adalah 6 dan 7, jadi
  dua pola berikutnya adalah 23 (17 + 6)
  dan 30 (23 + 7).
Latihan

1.   Tuliskan 2 bilangan selanjutnya dari kumpulan bilangan
     dibawah ini.
       a)   2, 4, 6, 8, …
       b)   3, 6, 9, 12, …
       c)   2, 3, 5, 7, 11, 13, …
       d)   9, 6, 3, 0, -3, …
       e)   3, 4, 6, 9, 13, …
2.   Temukan 2 bilangan kuadrat, masing-masing lebih
     kecil dari 100, yang juga bilangan pangkat tiga (kubik).
                       Himpunan


        Himpunan adalah kumpulan objek yang dapat
didefinisikan yang biasanya memiliki hubungan satu
dengan yang lainnya.
        Himpunan dapat dideskripsikan dalam kata-kata.
Contoh :
• Himpunan A adalah sebuah himpunan samudra-
samudra di dunia
• Himpunan B mengandung bilangan asli lebih kecil dari /
sama dengan 10.
        Himpunan juga dapat ditulis diantara 2 kurung
kurawal / tanda kurung besar. Contoh :
• A = { Hindia, Atlantik, Pasifik, Artik, Antartik }
• B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
  Objek-objek yang merupakan bagian dari
     sebuah himpunan disebut elemen dan
diindikasikan oleh simbol .  berarti “adalah
                 elemen dari“.
Contoh di atas dapat ditulis Atlantik  A atau
2  B.  berarti “ bukan sebuah elemen dari
    “. Sesuai contoh di atas dapat ditulis Mt.
                  Everest  A.
          Himpunan diatas disebut himpunan
   terbatas – mempunya angka pasti, dapat
         diurutkan, dan dideskripsikan.
      Himpunan yang tidak memiliki angka
pasti, tidak dapat dideskripsikan, dan
diurutkan disebut himpunan tak terbatas.

Contoh:
Himpunan angka asli lebih besar dari 10.
Dapat tulis { 11, 12, 13, 14, …}
Untuk setiap himpunan yang tak memiliki elemen
disebut himpunan kosong dan memiliki simbol {}
atau .

Contoh :
  – Himpunan dari perempuan yang tingginya
    lebih dari 6 meter.
  – Himpunan dari lingkaran-lingkaran kotak.
Catatan :

Bilangan elemen dalam sebuah himpunan
kosong adalah 0 tetapi {0} bukan merupkan
himpunan kosong – himpunan tersebut
merupakan himpunan yang mengandung 1
elemen yaitu 0.
               Notasi Himpunan
Merupakan metode untuk mendefinisikan suatu
kumpulan bilangan ( sebuah himpunan)

Contoh :
Himpunan tak terbatas dari bilangan asli genap
dapat ditulis { 2; 4; 6; 8; 10; …}. Himpunan ini juga
dapat ditulis dengan notasi yaitu :
       {  =   IN,  adalah bilangan genap}.
Dibaca : Himpunan dari seluruh elemen x dimana x adalah elemen dari
himpunan bilangan asli genap.
                     Latihan
1. Tuliskan himpunan dibawah ini.
  a) Himpunan dari orang-orang yang tinggal
     dalam rumahmu
  b) Himpunan yang terdiri dari 5 bilangan ganjil
     pertama.
2. Deskripsikan himpunan dibawah ini.
  a) A = {2, 3, 5, 7}
  b) P = {s, t, u, v, w, x, y, z}
Hubungan antara himpunan-
       himpunan
       Himpunan sederajat
Himpunan-himpunan yang memiliki elemen
yang sama disebut sederajat.

Tentukan himpunan dibawah ini.
A = himpunan huruf dari kata END = {E,N,D}
B = himpunan huruf dari kata DEN = {D,E,N}
Himpunan dapat ditulis A = B
         Himpunan bagian
Jika tiap elemen dari himpunan A juga
merupakan elemen dari himpunan B, A juga
merupakan himpunan bagian dari B.
Dapat ditulis :
    A  B, dimana  adalah “ bagian dari
 himpunan dan  adalah “ bukan himpunan
                bagian dari”
Himpunan bagian dari {D,E,N} adalah:
{D} {E} {N} {D,E} {D,N} {E,N}
Trivial dari {D,E,N} adalah {} (himpunan
kosong dan {D,E,N}

Jika sebuah himpunan memiliki elemen n,
berarti himpunan bagiannya adalah 2n.
Contoh:
Himpunan dengan 3 elemen akan memiliki 3
himpunan bagian 23, yaitu: 2 X 2 X 2 = 8
himpunan bagian.
Himpunan dari elemen-elemen
  tertentu yang membentuk
  himpunan bagian disebut
   himpunan universal dan
       simbolnya adalah
                 Latihan
1. Temukan himpunan universal dari setiap
   himpunan dibawah ini.
  a) Himpunan dari orang berambut panjang
     dikelasmu
  b) Himpunan huruf hidup
2. Jika adalah himpunan dari murid di
   sekolahmu, tentukan himpunan bagian
   dari
         Irisan dan gabungan
Irisan dari 2 himpunan menunjuk pada elemen
yang ditemukan pada kedua himpunan tersebut
(ada pada himpunan pertama dan himpunan
kedua).

Contoh:
A = {a,b,c,d}
B = {c,d,e,f}
Irisan dari kedua himpunan di atas adalah {c,d} –
ditulis A  B, dimana A  B = B  A
Ketika 2 himpunan tak memiliki elemen
bersama, dapat dikatakan himpunan
irisannya kosong atau .
Elemen dari 2 atau lebih himpunan dapat
dikombinasikan untuk membentuk himpunan baru
atau disebut himpunan gabungan ( union )
Contoh:
A = {1,2,3,4}
B = {4,5,6}
C = {1,2,3,4,5,6}

Himpunan C adalah himpunan gabungan dari
himpunan A dan B – A  B = C
                   Latihan
1. Untuk setiap himpunan di bawah ini,
   tentukan irisannya.
  a) {1,2,3,4,5,6} dan {4,5,8,9,10}
  b) {a,b,c,d} dan {w,x,y,z}
2. Tuliskan himpunan gabungan dari
   himpunan dibawah ini.
  a) A = {a,b,c} dan B = {d,e,f}
  b) A = {x} dan B = {y}
    Komplemen dari himpunan
Komplemen dari himpuna A adalah himpunan dari
elemen-elemen itu yang adalah himpunan universal
tapi bukan A.
Komplemen dari himpunan A ditulis A’
Contoh:
Jika c’ = {1,2,3,4,5} dan A = {2,4,5}, kemudian semua
anggota dari c’ yang bukan dalam A membentuk
himpunan bagian {1,3}. Himpunan bagian adalah
komplemen dari A, jadi A’ = {1,3}
Himpunan A dan komplemen A tidak berhubungan – A
 A’ =  dan A  A’ = c’
Diagram Venn
                                          A


      Menunjukkan c’      Lingkaran menunjukkan himpunan A



                 B                         A
                                           B

Himpunan A dan B tidak berhubungan       A B


        A C B                          A C B


       C adalah A  B         A  B adalah daerah A, B, dan C
               A                                 A C B


 A’ adalah daerah di luar lingkaran A Di luar daerah A, B, dan C = (A  B)’

Contoh :                             Venn dapat pula digunakan
                                     untuk
                                     menunjukkan angka/jumlah
    M                     S          dari
           13 4 6                    elemen n(A) dalam sebuah
                                     himpunan.
                              7      Contoh kasus:
                                     M = murid yang mengerjakan
                                     tugas matematika
                                     S = murid yang mengerjakan
                                     tugas ilmu alam
 Latihan

1. Gunakan diagram Venn untuk               A                B
   menjawab pertanyaan di bawah ini.                         4   8
                                       6            12
    a) Tuliskan elemen dari A dan B
    b) Tuliskan elemen dalam A  B                  24 16 20
                                           18
    c) Tuliskan elemen dalam A  B
2. Gunakan diagram Venn untuk
   menjawab pertanyaan di bawah ini.
    a) Urutkan elemen dari:
        i. P
        ii. Q
    b) Urutkan elemen dari P yang               A                B
       juga elemen Q                                     e
    c) Urutkan elemen dari:                a c                       h
        i. Bukan P maupun Q                b d           f       g
        ii. P tapi bukan elemen Q
PANGKAT DAN
   AKAR
 Ketika angka dikalikan
 dengan angka itu sendiri
sekali atau beberapa kali,
   jawabannya adalah
  pangkat dari angka itu
sendiri. Angka yang kamu
  mulai tadi disebut akar
       dari pangkat.
   Contoh:
5 X 5 =   52   = 25
BILANGAN
KUADRAT
DAN AKAR
    Jika suatu bilangan
dikalikan dengan bilangan
itu sendiri, maka akan kita
     dapatkan bilangan
    kuadrat/disebut juga
      bilangan kuadrat
          sempurna.
          Contoh:
3 x 3 =                  3 2   = 9
 9 adalah bilangan
kuadrat
 3 disebut akar dari 9
 2 disebut kuadrat
  5 bilangan pertama
dari susunan bilangan
        kuadrat

1 , 4 , 9 , 16 dan 25
      Contoh:
1. 8 x 8 = 64
   Jadi 64 adalah bilangan kuadrat dan
   akar kuadratnya adalah 8.
 Singkatnya dapat ditulis:


82 = 64 dan     64 = 8
2. 12 x 12 = 144

 Jadi 144 adalah bilangan kuadrat
 dan akar kuadratnya adalah 12.

Singkatnya dapat ditulis:

122 = 144 dan     144 = 12
BILANGAN
KUBIK DAN
  AKAR
Jika bilangan kuadrat itu
     dikalikan kembali
  dengan bilangan yang
  semula maka hasilnya
  disebut bilangan kubik
           Contoh:
   6 x 6 = 36 dan 36 x 6 = 216
jadi 216 adalah bilangan kubik
    biasanya di tulis dengan
  6 x 6 x 6 = 216 atau 6 3 = 216
 5 bilangan pertama
 dari urutan bilangan
    kubik adalah:
1, 8, 27, 64 dan
       125
             Contoh:
1. 9 x 9 x 9 = 729
   729 adalah bilangan kubik dan
   akar kubiknya adalah 9.

2. 203 = 8.000 jadi
    3
      8000 = 20
   Latihan....
 Tulis 4 bilangan lagi yang memenuhi
rangkaian di bawah ini:

a. 1, 4, 9, 16, 25,.......
    Jawab: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81


    b. 1, 8, 27, 64, 125, 216,......
         Jawab: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000
  Gunakan kalkulator untuk
mengisinya...

             3
                 125000  .....
             3
                 1728  .....
             3
                 729  ......
  Gunakan kalkulator untuk
mengisinya...

             3
                 125000  50
             3
                 1728  12
             3
                 729  9
MENGHITUNG


  a.   132     =   ......
  b.   93      =   ......
  c.   (-4)2   =   ......
  d.   (-3)3   =   ......
  e.   1002    =   ......
  f.   1003    =   ......
                   Jawab....


a.   132     =   13 x 13        = 169
b.   93      =   9x9x9          = 729
c.   (-4)2   =   -4 x -4        = 16
d.   (-3)3   =   -3 x -3 x -3   = -27
e.   1002    =   100 x 100      = 10.000
f.   1003    =   100 x100 x 100 = 1.000.000
BILANGAN POSITIF
  DAN NEGATIF
Garis bilangan mempunyai
  sisi positif dan negatif
ada horizontal dan vertikal
          Garis bilangan
Kekiri               6
dan                  5
kebawah              4
adalah               3
negatif              2
                     1
 ....-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ....
                     -1
                     -2          Kekanan
                     -3          dan
                     -4          keatas
                     -5          adalah
                     -6          positif
Bilangan positif ke
kanan atau ke atas
Bilangan negatif ke
kiri atau ke bawah
Contoh menghitung dengan
      garis bilangan

 1+2=3


       -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
                        mulai hasil


 Mulai dari angka 1 karena di jumlah, maka
 bergeser kekanan dua langkah dan berhenti
 di angka 3
2 – 5 = -3

      -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
         hasil           mulai


Mulai dari angka 2 karena di jumlah, maka
bergeser kekiri lima langkah dan berhenti
di angka -3
INGAT!!!
 +   .   +   =   +
 +   .   -   =   -
 -   .   +   =   -
 -   .   -   =   +
              Contoh:
     (-3) + ( -2 ) = -3 – 2 = -5
karena + ketemu – menjadi –
       3 - ( -2 ) = 3 + 2 = 5
karena – ketemu – menjadi +
                     Latihan....
taruh simbol > / <. jika lebih besar dari, gunakan
       >. Jika lebih kecil dari, gunakan <.

       a. 150 m ................. 75 m
       b. - 65 m ................ 30 m
       c. -10 m .................. -20 m
       d. 50 ...................... -75 m
       e. 0 m ...................... -20 m
       f. -25 m ................... 25 m
        Jawab...


a. 150 m    >   75 m
b. - 65 m   <    30 m
c. -10 m    >   -20 m
d. 50 m     >   -75 m
e. 0 m      >   -20 m
f. -25 m    <   25 m
Tentukan nilai dari :
a. (+5) + (+3)            = ..................
b. (-4) + (+7)            = ..................
c. (+6) + (-2)            = ..................
d. (-1) + (-2)            = ..................
e. (+3) - (+8)            = ..................
f. (+2) - (-3)            = ..................
g. (-5) - (+1)            = ..................
h. (-5) - (-6)            = ..................
i. (-4) + ( -3 ) - (+7)   = ...................
                     Jawaban:

a. (+5) + (+3)            =   5+3          =8
b. (-4) + (+7)            =   -4 + 7       =3
c. (+6) + (-2)            =   6–2          =4
d. (-1) + (-2)            =   -1 – 2       = -3
e. (+3) - (+8)            =   3–8          = -5
f. (+2) - (-3)            =   2+3          = 5
g. (-5) - (+1)            =   -5 – 1       = -6
h. (-5) - (-6)            =   -5 + 6       =1
i. (-4) + ( -3 ) - (+7)   =   -4 – 3 – 7   = -14
PECAHAN
Pecahan terdiri dari penyebut
      dan pembilang
   Pecahan yang sejenis
 (angkanya berbeda tetapi
      hasilnya sama)

1 2 3 4 5
 , , , ,  sama
2 4 6 8 10
Suatu bilangan dibagi dengan
 bilangan itu sendiri adalah 1

  a             10
    1             1
  a             10

         c
           1
         c
Suatu pecahan yang penyebut
  dan pembilangnya berbeda
  dikalikan dengan pecahan
      yang penyebut dan
  pembilangnya sama maka
   hasilnya adalah pecahan
      yang penyebut dan
    pembilangnya berbeda.
     Contoh:
1 4 1
  
2 4 2
         4
Karena     1
         4
 Bila perkalian, pembilang
 dapat langsung dikalikan
  dengan pembilang yang
    lainnya. Sedangkan
 penyebut dapat langsung
dikalikan dengan penyebut
        yang lainnya.
  Penyederhanaan Pecahan

   90   90 : 3   30 3
                 
  120 120 : 3 40 4
Penyebut dan pembilang dibagi dengan angka
 yang sama dan keduanya harus dapat habis
    dibagi dengan angka yang sama tadi.
 Lakukan terus hingga menjadi pecahan yang
           sesederhana mungkin.
Menempati Angka yang Hilang

 1            4
                    
                      12
   
 2 16
                   15
Catatan..     Catatan..
16 : 2 = 8    12 : 4 = 3
1 8 8        12 3  4
             : 
2 8 16       15 3  5
LATIHAN!
1. Tulis pecahan yang berhubungan/
   sejenis dengan pecahan di bawah ini.

  a.   1 2 3 4 5
        , , , , ........
       3 6 9 12 15
       2 4 6 8 10
  b.    , , , , ........
       5 10 15 20 25
 2. Sederhanakan pecahan dibawah ini


16 2        16 16 : 8 2 
   caranya          
24 3        24 24 : 8 3 

 5  1         5   5:5   1
    caranya           
20 4          20 20 : 5 4 
3. Lengkapi bilangan yang hilang


 3                     3 3 9
      caranya15 : 5  3.   
 5 15                    5 3 15 

                         3 9
Jadi jawabannya adalah    
                         5 15
OPERASI PECAHAN
Menjumlahkan/mengurangi pecahan...



   Menyamakan penyebut
   kemudian menjumlahkan
   atau mengurangi
   pembilang
           Contoh:
        3 2  5
  a.      
        7 7  7
[ karena penyebutnya sama maka langsung
saja pembilangnya di jumlahkan ]


        1 2 5 4    9
   b.         
        2 5 10 10 10
[ Penyebutnya disamakan dahulu kemudian
pembilangnya dijumlahkan ]
    Perkalian Pecahan
Ketika mengalikan pecahan,
langsung saja mengalikan
pembilang dengan pembilang
dan penyebut dengan
penyebut.
                 Contoh:
  1     1 3 3
    3   
  4     4 1 4
     3
  3  sebab3 : 1  3
     1
Penyebut dikalikan dengan penyebut= 1 x 3 = 3

Pembilang dikalikan dengan pembilang= 4 x 1 = 4
        Membagi Pecahan

  Supaya dapat membagi pecahan , kalian butuh
untuk mengerti konsep dari perbandingan terbalik.
Perbandingan Terbalik atau mengalikan kebalikan
                                             3 1
              dari 3 adalah 1 karena 3  1  x  1
                           3          3   1 3
             1   1   1   4   4
                            2
             2   4   2   1   2
 Hasil dari perbandingan terbalik selalu 1 untuk
 membagi pecahan dengan pecahan lain. Kamu
  harus mengalikan pecahan pertama dengan
          kebalikan dan pecahan kedua
Contoh..
  1 1 1 4
     
  2 4 2 1
             4
           
             2
           2
                      Latihan
• Hitunglah nilai di bawah ini !
    1 1
                                      4
• 1.2 3              2.   3
                            3     3. 2  7
                                       5
                          4
                                        1     3
• 4.   7 1
              3      5. 7 14       6. 4 8  2 4
              4           
                        12 15
                                       1 4
• 7. 18  3          8. 1 2        9. 9 
       28     4         2             3 7
                         7 14
 Pembagian Pecahan
Berita dari surat kabar bahwa 1dari 45 juta orang menderita
  buta huruf.                 3
Berapakah Jumlah penderita buta huruf ?
         1 45.000.000
                      15.000.000
         3     1
Surat Kabar juga melaporkan bahwa 200 orang, dari
 1 pengunjung kebun binatang protes mengenai kandang yang
 3
   kecil.
Berapa banyak pengunjung kebun binatang tersebut ?
                   1
                   adalah 200
                     3
Ini artinya bahwa   3
                    (total) dari bilangan 3 X 200 adalah 600
                    3
       Pembagian Pecahan
                                       2
• Laporan lain menunjukkan bahwa , rata-rata
                                       25

  Konsumen menghabiskan $60 atau dari
  penghasilan mereka untuk biaya transportasi
  setiap bulan.
• Apa rata-rata penghasilan setiap bulan menurut
  hal diatas ?
  2
• 25 dari penghasilan adalah $60
• Jadi 25dari penghasilan adalah $30
        1


• Ini berarti 25
               dari penghasilan adalah $30 X 25
            25



• Jadi rata-rata penghasilan sebulan dalam
  contoh ini adalah $750
                     Latihan
1. Jika 1dari suatu bilangan adalah 150. Berapa bilangan tersebut?
        5
2. 300 adalah 1 dari suatu bilangan , berapa bilangan tersebut ?
                4
3. Seseorang menghabiskan $300 untuk makan. Itu adalah 3 dari
  Gajinya. Hitunglah berapa gajinya ?                          5
4. Tangki air telah terisi penuh ,5ketika terisi 275 l air. Berapa
                                  8
   banyak liter air untuk memenuhi tangki tersebut?
5. Hitunglah 2 1  1 3
                    2         8

                   1   4
6. Hitunglah         
                   5 15
                          1
7. Hitunglah     27  4
                          2
     1 1 1                                  1
8.           Carilah nilai f ketika u =   dan v = .2 Berkan
     f u f                                  4       3

 jawabanmu dalambentuk pecahan.
                              Latihan
     9. 3 orang teman, Alfred, Bianca dan Carlos, memutuskan untuk membeli
        mobil. Alfred membayar harga, Bianca membayar harga, dan carlos
                                            1               1
        membayar sisanya.                   4               3

     a. Berapa pecahan yang harus dibayar oleh Carlos ?
     b. Bianca membayar $500 lebih banyak dari pada Alfred. Hitunglah
        harga mobil
        tersebut ?
                             2                            1
•   10. Geoff menghabiskan 5uangnya untuk makan dan 3 untuk CD.
     – A. Berapa pecahan yang dihabiskan untuk yang lainnya?
     – B. Berapa pecahan yang menjadi sisanya ?
     – C. jika ia mempuyai $500. berapa sisanya ?
     11. Berapa banyak pakian yang dapat dinuat dari 22 meter kain jika
        setiap pakaian
        memerlukan 2 ¼ m?
     12. Sebuah ember terisi 14 ½ liter air. Berapa banyak kaleng dengan
        kapaitas ¾ l dapat kamu isi dari ember tersebut ?
                                                       1
     13. Sekelompok atlet perg ke Olympics Games. 20perjalan dengan
                  1                      2
        pesawat 12 dengan kereta, dan 5 dengan kereta penumpang. Sisa
        perjalanan dengan mobil. Berapa pecahan
        perjalanan yang menggunakan mobil ?
                     Desimal
• Angka Desimal berdasarkan puluhan . Bilangan 5268 (
  Lima ribu dua ratus enam puluh delapan ) artinya :

• 5000 + 200 + 60 + 8

• Posisi bilangan sangat penting. Contoh di dalam contoh.
  Kita mempunyai ribuan , ratusan, puluhan dan satuan.
                  Desimal
• Bagaimana dengan bilangan 5.268 ?
• Point desimal pada bilangan diatas menunjukkan
  dimana satuan berakhir dan memulai pecahan.
• Pecahan juga menunjukkan puluhan.
     2 6     8
      ,   ,
    10 100 1000
    Mengubah Pecahan menjadi
            desimal
• Secara umum pecahan dapat berubah menjadi
  desimal dengan membagi penyebut dengan
  pembilang.
           2
• Contoh : 5 = 2 : 5 = 0.4
    Menambah dan Mengurangi
           Desimal
• Ketika kalian menambah atau mengurangi desimal,
  kalian dapat :
• # Mengubah mereka ke dalam pecahan umum dan
       menambah mereka.
   # Menempatkan mereka di atas yang lain dengan
     point desimal di dalam suatu garis dan tambahkan
     secara normal.
   # Menggunakan Kalkulator
          Contoh
                   5 3
                    
• 0.5 + 0.3   =   10 10
                    8
              =    10
              =    0.8
  Mengalikan dan Membagi
          Desimal
• Ketika kalian mengalikan atau membagi desimal, kalian
  dapat :
• # Mengubah menjadi pecahan umum dan
     memasukkannya pada rumus.
   # Menghitung angka pada tempat
     desimal;menambahkan mereka untuk
     dikalikan,mengurangi mereka untuk membagi
     mereka;
     kerjakan seperti biasanya dan masukkan desimal
     ketika kamu mengerjakannya.
   # Gunakan Kalkulator
Contoh

0.4 x 0.3
 4 3
  x
10 10

  12
  10

 0.12
                     Latihan
• 1. Kerjakan soal dibawah ini !
• a. 5.87 + 1.03 + 0.1           b. 9.99 + 0.03
   c. 7.92 – 0.97                d. 10 – 0.918
   e. 3.87 x 4                   f. 3.88 : 4
   g. 0.208 : 5                   h. 0.8 x0.09
   i. 2.391 : 0.03
   2. Tulislah dalam bentuk Desimal !
                       2
    a. ¾            d. 5
         5
    b. 8
        27
    c. 100
   Desimal berulang-ulang

Kalian akan mencatat bahwa ketika kalian
membagi dengan bilangan pasti, kalian sering    8
mendapatkan nilai desimal yang tidak berakhir. 15
Contohnya ketika kamu membagi 8 dengan 15
kamu akan mendapatkan hasil 0.5333333…..
Tanpa akhir. Cobalah menulis sebagai desimalmu.
Angka 3 dapat kita sebut bilangan
tidak terhingga. Kita dapat menunjukkannya
dengan memberi titik pada bilangan yang berulang
tersebut
               Bilangan Bulat
Lihatlah pernyataan dibawah ini !
 “ Populasi Durban sekitar 750 000”
“ Memerlukan cahaya sekitar 8.65 tahun untuk perjalanan
   dari bintang Sirius ke Bumi”
“ Ketebalan satu rambut kira=kira 0.0075 cm “

  Setiap pernyataan memuat angka yang tidak pasti.
  Populasi Durban tidaklah pasti 750 000, meskipun hal
  tersebut masuk akal.
                Bilangan Bulat
• Pernyataan kedua dan ketiga adalah ukuran mengenai
  waktu dan panjang adalah perkiraan. Disetiap
  pernyataan , Bilangan itu benar untuk tingkat ketelitian.
  Kita dapat sebut bilangan tersebut hanya Berkisar dalam
  ketelitiannnya
Pembulatan mendekati puluhan
Mengingat angka 273. Angka ini terletak diantara 270 dan
  280. Ini mendekati 270 lalu ke 280. Kita menulisnya 273
  = 270 untuk mendekati sepuluh.
Bagaimana kalian membulatkan 845 mendekati sepuluh?
  845 tepatnya adalah setengah jalan antara 840 dan 850.
  dalam kondisi ini kita dapat mebulatkan ke atas untuk
  pembulatan mendekati sepuluh. Jadi 845 = 850 untuk
  mendekati sepuluh.
Dengan cara yang sama, kalian dapat membulatkan angka
  mendekati 100, atau ribuan, atau mendekati jutaan dan
  seterusnya.
 Pembulatan mendekati satuan
• Bagaimana pembulatan angka seperti 7.63 untuk
  mendekati satuan?
• 7.63 adalah diantara 7 dan 8.
• Apakah dibulatkan ke atas atau ke bawah ?
• 7.63 adalah penutup untuk ke 8 , jadi 7.63 = 8 pembutan
  mendekati satuan.
 Pembulatan mendekati tempat
       angka desimal
Dengan cara yang sama kamu dapat bertanya untuk
memberikan jawaban pembulatan mendekati satuan
atau mendekati puluhan. Jika kalian bertanya untuk
memberikan jawaban mendekati bilangan pasti atau
desimal. Jawabannya memperkirakan angka ke dalam
desimal.
Pembulatan mendekati tempat
      angka desimal
 Ini adalah contoh metode yang dapat kalian gunakan;

 Kerjakanlah jawaban ke dalam satu tempat desimal
 yang kamu butuhkan. Jika angka ekstra adalah 5 atau
 lebih, masukkan 1 angka sebelumnya. Jika angka
 ekstra kurang dari 5 , tinggalkan angka sebelumnya.
                         Contoh

1.   Benarkanlah penulisan 43.2976 ke dalam satu
     tempat desimal.
     Kalian perlu untuk membetulkan ke dalam satu tempat
     desimal. Jadi lihatlah bahwa tempat kedua desimal diduduki
     oleh angka 9. Jika ankgaka lebih besar dari 5 maka kalian
     tinggal menambahkan 1 ke 2 di tempat pertama desimal.
      Jadi 43.2976 = 43.3
                         Contoh
2. Dalam Bilangan yang sama 43.2976. saat ini
  benarkanlah penulisannya kedalam 2 tempat desimal.
  Dalam tempat kedua desimal ditempati oleh 9. lalu berikutnya
  adalah 7, ini artinya lebih dari 5. Jadi kamu harus menambahkan 1
  ke 9
 Jadi 43.276 = 43.30 untuk membenarkan kedalam 2 tempat desimal.
                         Contoh
3. Tulislah 9.9999 yang benar ke dalam 3 tempat desimal.
   Cat : untuk menambahkan 1 dalam hal ini , ubahlah
   seluruh angka yang terdahulu ke 10.

  Jawaban dalam hal ini 10.000 adalah penulisan yang benar ke
  dalam 3 tempat desimal.
Pembulatan ke angka penting
   Jika kamu membaca angka dari kiri ke kanan,
   tanpa poin desimal.

   Angka penting pertama adalah angka yang
   pertama dan bukan 0 .

   Semua angka setelah itu adalah angka penting.

   5.143 mempunyai 4 angka penting.
   0.0003056 juga mempunyai 4 angka penting.
Pembulatan ke angka penting

  Kalian mungkin akan bertanya pembulatan
  angka ke angka pasti dan angka penting.
  Lihatlah contoh dibawah ini dengan hati-hati
  untuk melihat bagaimana perbedaan dari
  pembulatan kebawah ke tempat desimal.
                      Contoh
Tulislah angka dibawah ini ke dalam 3
angka penting!
1. 4 768 000
2. 7 471
3. 367.82
4. 6.781
5. 0.002178
               Contoh
1.   Untuk membenarkan ke dalam 3 angka penting,
     lihatlah angka penting keempat yaitu 8. ini lebih dari
     5, jadi tambahkan 1 ke angka ketiga , 4 768 000 = 4
     770 000 ke 3 angka penting.
     Jangan lupa menulis angka 0
     Jangan menulis 4 768 000 = 477!
2.   Angka penting keempatadalah 1, ini kurang dari 5,
     jadi tinggalkan angka ketiga.
     7471 = 7470 adalah 3 angka penting.
3.   367.82 = 368 adalah 3 angka penting
4.   6.781 = 6.78 adalah 3 angka penting
5.   Angka penting oertama adalah 2. keempat angka
     penting adalah 8. jadi 0.002178 = 0.00218 adalah 3
     angka penting.
                      Latihan
1.Tulislah angka dibawah ini ke dalam 3 tempat desimal.
  a. 29.712         f. 1000.5645
  b. 1.62815        g. 0.6254
  c. 202.9157
  d. 4.6798
  e. 0.003527
                     Latihan

2. Ulangi pertanyaan yang tadi sekali lagi tetapi ubalah
   ke dalam 3 angka penting.
3. Tulislah pecahan ini ke dalam desimal, dan ke 3
                             1
   tempat desimal.
      2                      8

   a. 3
                        4
                    e. 9
   b. 7 5
                    f. 1
                        8
        1
   c. 6
        8
   d. 11
 Rasio dan Proporsi

                              Rasio
Berita Weston                 Artikel di samping berbicara mengenai rasio. Rasio adalah suatu
Pria terkaya di Weston        perbandingan antara dua hal atau lebih. Rasio tidak memiliki unit-
meninggal dunia kemarin,
                              unit. Bila anda ingin membandingkan kuantitas dari unit-unit yang
mewariskan 9 juta dollar
                              berbeda, anda harus menyesuaikannya menjadi unit yang sama
untuk dibagikan kepada tiga
orang anaknya, Willem,
                              sebelum membuatnya ke dalam rasio.
Jane dan Zoe dengan rasio     Sebuah rasio dari $3 ke $12 ditulis menjadi 3 : 12. Tandanya
2:3:4
                              adalah dibaca menjadi ‘ke’.
                              Rasio juga dapat ditulis sebagai pecahan.                3 1
                              Ini berarti rasio 3 : 12 sama dengan 1 : 4
                                                                             3: 2      
                                                                                      12 4
      Contoh


1.    $24 dibagi untuk Tony dan Joan dengan rasio 3 : 5.
                                                           3
      Ini berarti untuk setiap 8 unit, Tony mendapatkan        dan joan mendapatkan 5
                                                           8                        8
        3 24
           $9
        8 1
        5 24
           $15
        8 1
       Kerjakan bagian yang didapat masing-masing anak pada artikel dengan menggunakan
       metode ini.
 2. Contoh mudah rasio $50 : $75.
                 50 2
     50 : 15        2:3
                 75 3              (ingat untuk memindahkan unit-unit)

 3.    Tunjukkan 2m : 75cm dalam bentuk yang sederhana.
       Ubah ukurannya sehingga kedua unit menjadi cm.
                                     200 8
        200cm : 75cm  200 : 75          8:3
                                     75 3
     Latihan


1.   Tunjukkan rasio di bawah ini dengan cara paling sederhana yang mungkin dilakukan.
     a. $60 : $20                                                    b. 2m : 40cm
2.   Luas dua lapangan rasionya 2 : 3. Bila lapangan yang lebih besar luasnya 78 hektar,
     berapa luas lapangan yang lebih kecil?
3.   Tiga orang lelaki menginvestasikan masing-masing $2000, $3500, $ 4500dalam
     bisnis dan setuju untuk membagikan keuntungan dalam rasio dari investasi mereka.
     Keuntungan pada tahun pertama adalah $8000. Berapa yang diterima oleh masing-
     masing mereka?
4.   Saat perang Trafalgar, angkatan perang Inggris sebanyak 27 kapal, angkatan perang
     Perancis sebanyak 18 kapal dan angkatan perang Spanyol sebanyak 15 kapal. Cari
     ukuran rasio dari ketiga angkatan perang tersebut dengan rasio yang paling
     sederhana.
5.   Rene dan Pierre membagikan $255 dalam rasio 5 : 4. Berapa banyak yang diterima
     masing-masing?
6.   Saat perang Waterloo 72.500 tentara Perancis dilawan oleh 25000 tentara Inggris,
     17500 tentara Dutch dan 27500 tentara Jerman. Cari ukuran rasio dari keempat
     pasukan tentara. Berikan jawaban yang paling sederhana.
Skala Peta

Skala pada peta umumnya menggunakan rasio 1 : n. Sebagai contoh, 1 : 25 000,
artinya 1 bagian dari ukuran peta harus dikalikan 25 000 untuk mendapatkan jarak
sebenarnya.
Contoh :
1. Tunjukkan skala peta di bawah ini dalam bentuk 1 : n
    a. 5 cm ke 2 km               b. 4 mm : 5 m
      2 km = 200 000 cm              5 m = 5 000 mm
      5 : 200 000                    4 : 5 000
      = 1 : 40 000                   = 1 : 1250

 2. Bila 2 daerah berjarak 8,4 cm pada peta dengan skala 1 : 50 000, berapa jarak
    antara 2 daerah itu sebenarnya ?
 (8,4 cm x 50 000 : 100 000)km
 = 4,2 km. Jadi jarak sebenarnya adalah 4,2 km
Proporsi

Proporsi adalah cara untuk membandingkan rasio kuantitas. Contoh, bila ada 4
buah roti harganya $212, berapa harga 8 buah roti ? Jawabnya adalah $ 24. Pada
contoh ini yang dibandingkan adalah harga dari 4 dan 8 roti. Saat jumlah roti
bertambah dua kali lipat maka harganya pun naik dua kali lipat.

Latihan
 1. 5 botol parfum harganya $200. Berapa harga 11 botol parfum ?
 2. 4 minuman ringan harganya $9. Berapa harga 3 minuman ringan ?
 3. Sebuah mobil berjalan dengan kecepatan 30 km dalam 40 menit. Berapa lama
    waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak 45 km dengan kecepatan yang
    sama?
 4. Untuk membuat kue dibutuhkan : 240 tepung terigu, 60 g margarin, 24 g gula,
    48 g, 75 ml susu, 12 g garam.
     a. Berapa banyak masing-masing bahan yang anda butukan untuk membuat
     kue?
     b. Tunjukkan jumlah tepung dan margarin dalam resep ini dalam bentuk rasio !
Invers Proporsi

Dibutuhkan 6 orang 8 hari untuk melakukan suatu pekerjaan. Berapa lama waktu yang
   diperlukan bila ada 12 orang yang melakukan pekerjaan yang sama ? Pada soal
   ini pekerjanya bertambah banyak sehingga waktu yang diperlukan berkurang.
   Pada tipe ini proporsi disebut invers proporsi, pada saat satu kuantitas bertambah,
   kuantitas yang lain akan berkurang.
Contoh :
1. Seorang pria menempuh perjalanan dengan kecepatan 30 km/jam pulang ke
   rumah dalam waktu 24 menit. Berapa lama waktu yang dia butuhkan jika dia
   menempuh perjalanan dengan kecepatan 36 km/jam?
   Pada 36 km/jam memerlukan : (30 x 24) : 36 = 20 menit.
2. Seorang wanita bekerja 6 jam per hari dapat bekerja selama 4 hari. Berapa jam
   yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaannya selama 3 hari ?
   Untuk menyelesaikan pekerjaan sehari memerlukan = 4 x 6 = 24 jam/hari
   Untuk menyelesaikan pekarjaan selama 3 hari memerlukan
   = 24 : 3 = 8 jam/hari
Latihan

1. 4 orang membangun tembok dalam 15 hari. Berapa lama yang dibutuhkan 6 orang
   untuk membangun tembok pada ukuran yang sama ?
2. Sebuah keranjang makanan ayam cukup untuk 4 ekor ayam selama 5 hari. Berapa
   hari makanan itu bertahan untuk 8 ekor ayam ?
3. 20 mm hujan turun pada 7 hari awal bulan april. Berapa banyak hujan yang turun
   dalam bulan itu ?

Ukuran
Terkadang kita perlu membandingkan 2 kuantitas berbeda yang diukur pada unit yang
berbeda. Apabila sebuah kuantitas pada suatu hal cocok dengan unit lainnya kita
menyebutnya ukuran.

Persentase
Kata per sen berasal dari bahasa latin “percenturi” yang berarti “per seratus”.
Persentase adalah rasio dalam kuantitas kedua selalu seratus, dengan kata lain
persentase adalah pecahan dengan penyebut 100. 25/100 adalah duapuluh lima
persen atau 25%.
Contoh :
   1 1 50 50
 1.         50%
   2 2 50 100
   2 2 20 40
 2.         40%
   5 5 20 100

Menuliskan persentase sebagai pecahan
Untuk mengubah persentase sebagai pecahan ubah simbol % menjadi x1/100 dan
sederhanakanlah pecahan.

Contoh :
            1    1
1.5%  5     
           100 20
                1   5   1
2.250%  250       2
               100 2    2
Latihan
1. Tunjukkan pecahan-pecahan di bawah ini dalam bentuk persentase!
                                  5
        1             1         9.
   1.
        5
                5.
                      50
                                  6
                                    2
        4            1          10.
   2.           6.                  3
        5            25
      1              8              5
   3.           7.              11.
     10              25             9
      7               1             5
   4.            8.             12.
     10               8             2

2. Ubahlah persentase-persentase di bawah ini menjadi pecahan!
   1.4%                                                    1
                3.50%          5.60%    7.250%       9.2     %
                                                           2
                                               1             2
    2.25%          4.75%       6.125%   8.23
                                               3
                                                 %   10.66
                                                             3
                                                               %


Persentase dari suatu kuantitas
Anda mungkin perlu menghitung persentase dari suatu kuantitas sebagai contoh, 14% dari $35. untuk
mengerjakan ini, pertama ubah persentase menjadi pecahan kalikan pecahan dengan suatu angka
dan sederhanakanlah.


 Contoh :
                            1  1                   1            5 1    1
 1.5% dari 600  5            .              2.2 % dari $200     
                           100 20                  2            2 100 40
                     1                            1 200
  5% dari 600          600  30                      $5
                     20                          40 1
Latihan
       Carilah nilai dari :
                                            1
       1.10 % dari150.                   6. % dari 16000
                                            2
       2. 5% dari 25                         1
                                         7.3 % dari $400
                                             2
       3.15% dari $300                       1
                                         8.7 % dari $800
       4. 4% dari 200 kg                     2
                                         9. 26% dari $50
       5. 20% dari150 m                  10. 5,5% dari $ 2000



Menuliskan sebuah angka sebagai persentase dari yang lainnya
Untuk menuliskan sebuah angka sebagai persentase dari angka lainnya pertama tulis
suatu angka dalam bentuk pecahan dari angka lainnya. Kalikan dengan 100/1 dan
sederhanakanlah.

Contoh :
 1. Tunjukkan 15 sebagai persentase dari 45 !
    Tulis 15 sebagai pecahan dari 45 = 15/45 kalikan dengan 100/1
    15/45 x 100/1 = 33.3 %
 2 Sebuah pabrik menggunakan 20 pekerja. Satu hari 2 orang pekerja absen bekerja.
    Berapa persentase pekerja yang absen ?
    Tunjukkan ini sebagai pecahan = 2/20 kalikan dengan 100/1
    2/20 x 100/1 = 10%
Latihan

1. Tunjukkan 25 sebagai persentase dari 50.
2. Tunjukkan 12 sebagai persentase dari 36.
3. Tunjukkan 2 ½ sebagai persentase dari 50
4. Diantara 200 keranjang jeruk, 18 diantaranya rotan. Berapa persentase dari
   keranjang rotan ?
5. Suatu hari 5 orang dari 50 staf absen. Berapa persentase dari pekerja-pekerja yang
   masuk ?
Pertanyaan di bawah ini diambil dari dokumen IGCSE.
7. Tunjukkan 35% sebagai pecahan paling sederhana.
8. Tunjukkan $3.60 sebagai persentase dari $9.
9. Sekaleng buah memiliki massa 530 g. Berat dari buah tersebut 500 g. Cari massa
   dari buah sebagai persentase dari massa total.
10. Selama minggu pertama di bulan oktober, sebuah toko buku menjual 880 buku.
    Pada minggu kedua, mereka menjual buku 15% lebih sedikit. Berapa banyak buku
    yang dijual pada minggu kedua ?
Laba dan Rugi
Laba = SP - CP
Rugi = CP - SP
(Laba = Harga jual – Harga beli)
(Rugi = Harga beli – Harga jual)


Bila jumlah uang yang berasal dari penjualan lebih besar dari pada yang dikeluarkan
untuk membeli disebut rugi, tapi sebaliknya bila jumlah barang yang terjual lebih sedikit
dari pada yang dibayar pedagang maka ia beroleh rugi.
Harga yang dikeluarkan pedagang disebut harga beli (cost price). Harga yang dijual pada
masyarakat disebut harga jual (selling price). Bila harga jual lebih besar daripada harga
beli berarti dia memperoleh laba, tapi bila harga beli lebih besar dari harga jual pedagang
beroleh rugi.

Persentase Laba dan Rugi
Laba dan rugi biasanya dihitung dalam persentase dari harga beli. Rumus dibawah ini
digunakan untuk menghitung persentase laba dan rugi.
                   Laba sebenarnya
  Presentaselaba                   100%
                     Harga beli
                   Rugi sebenarnya
  Presentaserugi                   100%
                     Harga beli
Contoh :
1. Penjaga toko membeli sebuah artikel seharga $500 dan menjualnya seharga $600.
   Berapa persentase labanya ?
   Laba = SP – CP = $600 - $500 = $100
   Persentase laba = laba/harga beli x 100%
                  = $100/$500 x 100% = 20%
2. Seseorang membeli mobil seharga $16 000 dan menjualnya seharga $12 000.
   Hitung persentase ruginya !
   Rugi = CP – SP = $16 000 - $12 000 = $4 000
   Persentase rugi = rugi/harga beli x 100%
                  = $4 000/$16 000 x 100% = 25%
Latihan

1. Temukan laba sebenarnya dan prsentase laba pada soal-soal di bawah ini :
   a. HB $20, HJ $25
   b. HB $500, HJ $550
   c. HB $1.50, HJ $1.80
   d. HB 30 sen, HJ 35 sen
2. Hitung persentase rugi pada soal-soal di bawah ini :
   a. HB $400, HJ $300
   b. HB 75 sen, HJ 65 sen
   c. HB $5.00, HJ $4.75
   d. HB $6.50, HJ $5.85
3. Seorang wanita membeli 100 jeruk seharga $30 . Dia menjualnya 50 sen setiap
   buahnya. Hitung persentase laba dan rugi yang diperolehnya.

								
To top