campo magnetico22 by a0y0dq

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									UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
            (UNI-Norte)




 TEORIA DE CAMPO MAGNETICO
           FISICA II
                           CAMPO MAGNETICO
Muchos historiadores de la ciencia creen que la brújula, la cual usa una aguja
magnética, se utilizó en china por primera vez en el siglo XIII a.C., y que su
invención es de origen árabe o hindú. Los antiguos griegos tenían conocimiento del
magnetismo desde el año 800 a.C. Descubrieron que la magnetita (Fe3O4) atrae
pedazos de hierro. La leyenda atribuye el nombre de magnetita al pastor Magnes,
quién atraía trozos de magnetita con los clavos de sus zapatos y la punta de su báculo
mientras apacentaba su rebaño.
En 1269 un francés llamado Pierre de Maricourt trazó las direcciones que seguía una
aguja colocada en diversos
puntos sobre la superficie de un
imán natural esférico. Encontró
que las direcciones formaban
líneas que encerraban en un
círculo a la esfera y que pasaban
por dos puntos diametralmente
opuestos el uno del otro, a los
cuales llamó polos del imán.
Experimentos          subsecuentes
mostraron que todo imán, sin
importar su forma, tiene dos
polos, llamados polo norte y sur,
los cuales ejercen fuerzas sobre
otros polos magnéticos de
manera análoga a las fuerzas que
ejercen entre sí las cargas
eléctricas. Es decir, polos iguales
se repelen entre sí y polos
diferentes se atraen uno al otro.
Los polos recibieron sus nombres
debido al comportamiento de un
imán en la presencia del campo
magnético de la Tierra. Si un
imán de barra se suspende de su
punto medio y puede balancearse
libremente en n plano horizontal,
girará hasta que su polo norte
apunte al Polo Norte geográfico
de la tierra y su polo sur apunte
hacia el Polo Sur geográfico
terrestre. (La misma idea se utiliza para construir una brújula simple.)
En 1600 William Gilbert (1540-1608) amplió los experimentos de Maricourt a una
diversidad de materiales. A partir de que
la aguja de una brújula se orienta en
direcciones preferidas, sugirió que la
propia Tierra es un imán permanente. En
1750 los investigadores emplearon una
balanza de torsión para demostrar que
los polos magnéticos ejercen fuerzas
atractivas o repulsivas entre sí y que
estas fuerzas varían con el cuadrado
inverso de la distancia entre los polos
que interactúan. Aunque loa fuerza entre
dos polos es similar ala fuerza entre dos
cargas eléctricas, existe una importante
diferencia. Las cargas eléctricas pueden
aislarse (lo que corroboran el electrón y
el protón), en tanto que un polo
magnético individual nunca se ha
aislado. Es decir, los polos magnéticos
siempre se encuentran en pares. Todos
los intentos realizados hasta ahora para
detectar un polo magnético han sido
infructuosos. No importa cuantas veces
se corte en dos un imán permanente, cada pedazo siempre tendrá un polo norte y un
polo sur. (Hay algunos fundamentos teóricos para especular que los monopolos
magnético-polos norte o sur aislados - talvez existan en la naturaleza, y los intentos
para detectarlos en la actualidad conforman un activo campo de investigación
experimental.)
La relación entre magnetismo y electricidad fue descubierta en 1819 cuando, durante
una conferencia demostrativa, el científico danés Hans Christian Oersted encontró
que una corriente eléctrica en un alambre desviaba la aguja de una brújula cercana.
Poco tiempo después, André Ampére (1775-1836) formuló leyes cuantitativas para
calcular las leyes de la fuerza magnética ejercida sobre un conductor por otro
conductor eléctrico que porta corriente. También sugirió que, a nivel atómico, las
espiras de corriente eléctrica son responsables de todos los fenómenos magnéticos.

En la década de 1820 Faraday demostró conexiones adicionales entre la electricidad
y el magnetismo, y lo mismo hizo Joseph Henry (1797-1878) por su lado. Los Dos
demostraron que una corriente eléctrica puede producirse en un circuito, ya sea
moviendo una imagen cerca del circuito o cambiando la corriente en otro circuito
cercano. Estas observaciones demostraron que un campo que cambia produce un
campo eléctrico. Años después un trabajo teórico de Maxwell mostró que lo inverso
también es cierto: un campo eléctrico variable origina un campo magnético.
Una similitud entre los efectos eléctricos y magnéticos ha proporcionado métodos
para elaborar imágenes permanentes. En el capítulo 23 se aprendió que cuando
caucho y lana se frotan entre sí, ambos quedan cargados – uno positiva y el otro
negativamente -. De modo análogo, un pedazo de hierro desmagnetizado puede
desmagnetizarse golpeándolo con un imán. El magnetismo también se puede inducir
en el hierro (y otros materiales) por otros medios. Por ejemplo si un pedazo de hierro
desmagnetizado se coloca cerca de un imán intenso (sin tocarlo), conforme pase e
tiempo el pedazo de hierro se magnetizará.
Este capítulo examina las fuerzas que continúan en cargas móviles y en alambre que
conducen corrientes en presencia de un campo magnético.


                             El campo magnético.

En el estudio de la electricidad la interacción entre objetos cargados se ha descrito en
                                                     términos de campos eléctricos.
                                                     Recuerde que un campo eléctrico
                                                     rodea a cualquier carga eléctrica,
                                                     estacionaria o en movimiento.
                                                     Además de un campo eléctrico, la
                                                     región del espacio que rodea una
                                                     carga eléctrica móvil también
                                                     contiene un campo magnético,
                                                     como se verá en el capítulo 30. Un
                                                     campo      magnético     rodea    a
                                                     cualquier sustancia magnética.

                                                Históricamente el símbolo B se ha
                                                usado para representar un campo
                                                magnético, y esta es la noticia que
                                                se usa en este texto. La dirección
                                                del campo magnético B en
                                                cualquier ubicación está en la
                                                dirección hacia la cual apunta la
                                                aguja de una brújula en dicha
                                                ubicación. LA figura 29.1 muestra
                                                como trazar el campo magnético
                                                de un imán de barra con ayuda de
                                                una brújula. Advierta que las
                                                líneas de campo magnético afuera
del imán apuntan alejándose de los polos nortes y acercándose a los polos sur. Los
patrones de campo magnético pueden visualizarse mediante pequeñas limaduras de
hierro, como se muestra en la figura 29.2.

Se puede definir un campo magnético B en algún punto en el espacio en término de
la fuerza magnética FB que el campo ejerce sobre un objeto de prueba, que en este
caso una partícula cargada que se mueve a una velocidad v. Por ahora, supongo que
no hay campo eléctrico o gravitacional en la región del objeto de prueba. Los
experimentos acerca de movimiento de diversas partículas cargadas en un campo
magnético dan los siguientes resultados:
La magnitud FB de la fuerza magnética ejercida sobre la partícula es proporcional a
la carga q y a la rapidez v de la partícula
FIGURA 29.1Campas que puede ser usado para trazar líneas de campo magnético de
                          una barra magnética.




Figura 29.2 a) patrón de campo magnético que rodea a un imán de barra como se ve
con limaduras de hierro. b) patrón de casco magnético entre pueblos distintos de los
imanes de barra. c) patrón de campo magnético entre pueblos iguales de los imanes
de barra. (Henry Leap y Jim Lehman)

      la magnitud y dirección de     depende la velocidad de la partícula y de la
       magnitud y dirección del campo magnético B.

      cuando una partícula cargada se mueve paralela al vector del campo
       magnético, la fuerza magnética que actúa sobre la partícula es cero.
      Cuando el vector velocidad de la partícula forma un ángulo 0 con el campo
       magnético, la fuerza magnética actúa en dirección perpendicular tanto a v
       como a B; es decir,   es perpendicular al plano formado por v y B (figura 29.
       3a).

                                                         Figura 29.3 la dirección de la
                                                         fuerza que actúa sobre una
                                                         partícula cargada que se
                                                         mueve a velocidad v ante la
                                                         presencia de un cuerpo
                                                         magnético B. A) la fuerza
                                                         magnética es perpendicular
                                                         tanto a v como a B. B) la
                                                         fuerza magnética      ejercida
                                                         sobre dos partículas cargadas
                                                         opuestamente y que se mueve
                                                         a la misma velocidad en un
                                                         cuerpo     magnético     están
                                                         dirigidas de manera opuesta.

El arco blanquiazul en esta fotografía indica la
trayectoria circular seguida por un haz de luz de
electrones que se mueve en un campo magnético. El
matraz contiene gas a muy baja presión, y el haz se
hace visible conforme los electrones chocan con los
átomos del gas, el cual emite la luz visible. El campo
magnético es producido por las dos bobinas (no
mostradas). El aparato se puede usar para medir la
relación       para el electrón. (Cortesía de central
Cientific Company)

      la fuerza magnética ejercida sobre una carga
       positiva está en la dirección opuesta a la
       dirección de la fuerza magnética ejercida
       sobre una carga negativa que se mueve en la
       misma dirección (figura 29. 3b)
      la magnitud de la fuerza magnética ejercida sobre la partícula en movimiento
       es proporcional a sen donde  es el ángulo que el vector velocidad de la
       partícula la forma con la dirección de B.


Estas observaciones pueden resumirse escribiendo la fuerza magnética en la forma
                                                      (29.1)

Donde la dirección de      esta era dirección de V x B si q es positiva, la cual, por
definición del producto plus (véase la sección 11. 2), es perpendicular tanto a v como
a B. Se puede considerar esta ecuación como una definición operacional del campo
magnético en algún punto en el espacio. Esto vez, el campo magnético se define en
términos de la fuerza que actúa sobre una partícula cargada móvil.
La figura 29. Cuatro repasa la regla de la mano derecha para determinar la dirección
del producto cruz V x B. Usted dirige los cuatro dedos de su mano derecha a lo largo
de la dirección de v con la palma vuelta hacia B y luego la gira hacia B. El pulgar
extendido, que está en el ángulo recto con los dedos, apunta entonces en la dirección
de v x B. Puesto que             está en la dirección de v x B si q es positiva.

                                          Figura 29. 4 la regla de la mano derecha
                                          para determinar la dirección de la fuerza
                                          magnética     = qv B que actúa sobre una
                                          partícula con carga q moviéndose a
                                          velocidad v en un campo magnético b. La
                                          dirección de V x B es la dirección en la cual
                                          apunta el pulgar. A) si q es positiva, está
                                          hacia arriba.b) si q es negativa está hacia
                                          abajo, anti paralela a la dirección en la cual
                                          apunta el pulgar.



 Figura 29.4a), y opuesta a la dirección de v x s si q es negativa (figura 29.4b). (Si
 necesita más ayuda para entender el producto cruz, debería revisar las páginas
 333 a 334, incluyendo la figura 11.8.)
    La magnitud de la fuerza magnética es
                                                                 (29.2)

 Donde es el ángulo más pequeño entre v y B. A partir de esta expresión se ve
 que F es cero cuando v es paralela o anti paralela a B ( = 0 o 180°) y (
      ) cuando v es perpendicular a B ( = 90°).



 ¿Cuál es el máximo trabajo que puede realizar un campo magnético constante B
 sobre una carga q que se mueve a través del campo a velocidad v?



     Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eléctrica y magnética:

  La fuerza eléctrica actúa en la dirección del campo eléctrico, en tanto que la fuer-
   za magnética es perpendicular al campo magnético.

  La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada independientemente de si la
   partícula está en movimiento, mientras que la fuerza magnética actúa sobre una
   partícula cargada sólo cuando la partícula está en movimiento.

  La fuerza eléctrica efectúa trabajo al desplazar una partícula cargada, en tanto
   que la fuerza magnética asociada con un campo magnético estable no trabaja
   cuando se desplaza tina partícula.
    A partir de esta última propiedad, y sobre la base del teorema del trabajo y la
 energía cinética, se concluye que la energía cinética de una partícula cargada que
 se mueve a través de un campo magnético no puede ser alterada por un campo
 magnético aislado. En otras palabras,

  Cuando una partícula cargada se mueve a una velocidad v a través de un campo
  magnético, el campo puede alterar la dirección del vector velocidad pero no
  puede cambiar la rapidez o la energía cinética de la partícula.
    A partir de la ecuación 29.2 se ve que la unidad del SI del campo magnético es

 El newton por coulomb-metro por segundo, el cual se llama tesla (T):




 Puesto que un coulomb por segundo se define como un ampere, se ve que




    Una unidad del campo magnético que no es del SI pero se usa con frecuencia
 es el gauss (G), el cual se relaciona con el tesla por medio de la conversión 1 T=
 104G. La tabla 29.1 muestra algunos valores típicos de campos magnéticos.


 El extremo polo norte de un imán de barra se sostiene cerca de una pieza de
 plástico cargada positivamente. ¿El plástico es atraído, repelido o no es afectado
 por el imán?


                              Campas magnético
Algunas magnitudes aproximadas de campo magnético

Fuente del campo                                             Magnitud del campo (T)

Imán de laboratorio de superconducción intensa                       30
imán de laboratorio intenso                                          2
Unidad médica de IRM                                               1.5
imán de barra                                                       10 -2
 Superficie del Sol                                                10-2
Superficie de la Tierra                                             0.5 x 10-4
Interior del cerebro humano     (debido a impulsos nerviosos)        10-13
EJEMPLO 29.1         Un electrón que se muere en un campo magnética.

Un electrón en un cinescopio de televisión se mueve hacia el
Frente del tubo con una rapidez de 8.0 x 10-6 m/s a lo largo del eje x (Fig. 29.5).
Rodeando el cuello del tubo existen bobinas de alambre que crean un campo
magnético de 0.025 T de magnitud, dirigido a un ángulo de 60° con el eje x y que se
encuentra en el plano xy), Calcule, la fuerza magnética sobre el electrón y la
aceleración del mismo.

Solución Usando la ecuación 29.2 se puede encontrar la magnitud de la fuerza
magnética:

= (1.6 x 10-19 C) (8.0 x 106 m/s) (0.025 T) (sen 60°)
= 2.8 x 10-14 N

Ya que v x B está en la dirección z positiva (regla de la mano derecha) y la carga es
negativa,    está en la dirección z negativa.

La masa del electrón es 9.11 x 10-31 kg, por lo que su aceleración es en la dirección z
negativa.




Figura 29.5 La fuerza magnética      que actúa sobre el electrón esta en la dirección z
negativa cuando v y B están en el plano xy.
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR QUE LLEVA
CORRIENTE
Si se ejerce una fuerza magnética sobre una partícula cargada aislada cuando ésta se
mueve a través de un campo magnético, no debería sorprenderle que un alambre que
conduce una corriente experimente también una fuerza cuando se pone en un campo
magnético. Esto es resultado de que la corriente representa una colección de muchas
partículas cargadas en movimiento; por tanto, la fuerza resultante ejercida, por el
campo sobre el alambre es el vector suma de las fuerzas individuales ejercidas sobre
todas las partículas cargadas que forman la corriente.. La fuerza ejercida sobre las
partículas se transmite al alambre, las partículas chocan con los átomos que forman
el alambre.

Antes de continuar con el análisis vale la pena explicar la notación empleada en este
texto. Para indicar la dirección de B en las ilustraciones, en ocasiones se presentarán
vistas en perspectiva, como las que se muestran en las figuras 29.5, 29.6a y 29.7. En
las ilustraciones planas, como las mostradas en la figura 29.6b a d, se describe un.




Figura 29.6 a) Un alambre suspendido verticalmente entre los polos de un imán. b)
La configuración mostrada en la parte a) como se ve mirando hacia el polo sur del
imán, de modo que el campo magnético (cruces azules) esta dirigido hacia la
pagina. Cuando no hay corriente en el alambre, permanece vertical c) Cuando la
corriente es hacia arriba, el alambre se desvía hacia la izquierda d) Cuando la
corriente es hacia abajo, el alambre se desvía hacia la derecha.
Campo magnético dirigido hacia la página con cruces azules, las cuales
representan las colas de las flechas disparadas perpendicularmente y alejándose de
usted. En este caso el campo se llama, donde el sud índice “in” indica “interior de de
la página”. Si B es perpendicular y dirigido hacia afuera de la página, se usa una
serie de puntos azules, los cuales representan los puntos de las flechas que vienen
hacia usted (Véase en la fig. P29.56) En este caso el campo magnético se llama
     . Si B está en el plano de la página, se usa une serie de líneas azules con puntas
de flecha, como se muestra en la figura 29.7.




Fig. 92.7 segmento de un alambre que conduce corriente, ubicado en un campo
magnético B. La fuerza magnética ejercida sobre cada caga que conforma la
corriente          , y la fuerza neta sobre el segmento de longitud L es IL B.
La fuerza sobre un conductor que lleva corriente pueden demostrarse sosteniendo
entre los polos de un imán, como se muestra en la figura 29.6a. Para facilitar la
visualización se ha removido parte del imán de la herradura en la parta a) de
modo que se vea la cara extrema del polo sur en las pates b), c) y d) de la figura
29.6 El campo magnético esta dirigido hacia adentro de la página y cubre la región
interna de los círculos sombreados, cuando la corriente en el alambre es cero, el
alambre permanece vertical, como se muestra en la fig.29.6b. Sin embargo, cuándo
muna corriente dirigida hacia arriba fluye en el alambre, come se muestra en la
figura 29.6c, el alambre se desvía hacia la izquierda. Si se invierte la corriente,
como se ve en la figura 29.6d, el alambre se desviad hacia la derecha.
Cuantifique este análisis considerando un segmento de alambre recto de longitud L
y área de sección trasversal A, que conduce una corriente I, en un campo
magnético B, como se muestra en la figura 29.7. L a fuerza magnética ejercida
sobre una carga q que se mueve a una velocidad de arrastre                     . Para
determinar la fuerza total que actúa sobre el alambre multiplique la fuerza que se
ejerce sobre una carga             . Por el número de cargas en el segmento. Puesto
que el volumen del segmento AL, el numero de cargas en el segmento nAL, donde n
es el numero de cargas por unidad de volumen. Por tanto, la fuerza magnética total
sobre el alambre de longitud L es


Esta expresión puede escribirse en una forma más conveniente observando que, de
acuerdo con la ecuación 27.4, la corriente en el alambre es        por tanto,

Donde L es un vector que apunta en la dirección de la corriente I y tiene una
magnitud igual a la longitud L del segmento. Observe que esta expresión se aplica
solo a un segmento de alambre recto de un campo magnético uniforme.
Considere ahora un segmento de alambre de forma arbitraria y de sección
transversal uniforme en un campo magnético, como se muestra en la figura 29.8.
Donde la ecuación 29.3 se deduce que la fuerza magnética sobre un pequeño
segmento de vector de longitud ds en presencia de un campo magnético B es




Fig. 29.8 Un segmento de alambre de forma arbitraria que conduce una corriente I
en un campo magnético B experimenta una fuerza magnética. La fuerza sobre
cualquier segmento ds es I B y esta dirigida hacia afuera de la pagina. Usted debe
emplear la regla de la mano derecha para confirmar la dirección de esta fuerza.



Donde      esta dirigida hacia afuera de la pagina para las direcciones supuestas en
la Fig. 29.8. Se puede considerar la ecuación 29.4 como una definición alternativa
de B. Esto es, el campo magnético B puede definirse en términos de una fuerza
mensurable ejercida sobre un elemento de corriente, donde la fuerza es un máximo
cuando B es perpendicular al elemento y cero cuando B es paralela al elemento.
Para calcular la fuerza total que actúa sobre el alambre mostrado en la figura
29.8 integre la ecuación 29.4 sobre la longitud del alambre:




Donde a y b representan los puntos extremos del alambre, cuando se realiza una
integración, la longitud del campo magnético y la dirección que el campo forma
con el vector ds (en palabras con, con la orientación del elemento) puede deferir en
diferentes puntos.
Considere a continuación dos casos que involucran la ecuación 29.5 en ambos
casos el campo magnético se considera constante en magnitud y dirección.
Caso 1 Un alambre curvo conduce una corriente I y esta ubicado en un campo
magnético uniforme B, como se muestra en la fig.29.9ª. Puesto que el campo es
uniforme, B puede sacarse de la integral en la ecuación 29.5 y se obtiene
Fig. 29.9 a) Un alambre curvo que conduce una corriente I en un campo magnético
uniforme. La fuerza magnético total que actual sobre el alambre es equivalente a
la fuerza sobre el alambre recto de longitud L teniendo entre los extremos del
alambre curvo. b) Una espirad de forma arbitraria que conduce corriente en un
campo magnético uniforme. La fuerza magnética neta sobre la espira es cero.


Pero la cantidad       representa el vector suma de todos los elementos de longitud
de a a b. Partir de la ley de la duma es igual al vector , dirigido de a a b. Por tanto,
la ecuación 29.6 se reduce a

Caso 2 Una espira cerrada de forma arbitraria que se reduce una corriente I se
coloca en un campo magnético uniforme, como se ve en la figura 29.9b. También en
este caso se puede expresar la fuerza que actúa sobre sobre la espiral en la forma de
la ecuación 29.6 pero en esta ocasión se debe tomar la suma vectorial de los
elementos ds sobre toda la espira:


Puesto que el conjunto de elementos de longitud forma un polígono cerrado, la suma
vectorial debe ser cero. Esto se desprende de el procedimiento grafico de la suma de
vectores por medio del método del polígono. Puesto que            , se concluye que


La fuerza magnética neta que actúa sobre cualquier espiral de corriente serrada en
un campo magnético.
EJEMPLO 29.2 Fuerza sobre un conductor semicircular

Un alambre doblado en forma de un semicírculo de radio R forma un circuito
cerrado y conduce una corriente . El alambre se encuentra en el plano XY, y un
campo magnético uniforme esta presente a lo largo del eje Y positivo, como se
muestra en la figura 29.10encuentre la magnitud y dirección de la fuerza magnética
que actúa sobre la porción recta del alambre y sobre la porción curva.



Solución: La fuerza que actúa sobre la porción recta del alambre tiene una
magnitud                     , puesto que           y el alambre es perpendicularmente
a B. La dirección de es hacia afuera de la pagina, pues          esta a lo largo del eje Z
positivo (esto es, L esta hacia la derecha en la dirección de la corriente; por lo que, de
acuerdo con la regla de los producto cruz,        es hacia fuera de la pagina figura
29.10).

Para encontrar la fuerza que actúa sobre la curva debe escribir primero una
expresión para la fuerza    sobre el elemento de longitud dS mostrado en la figura
29.10. Si es el ángulo entre B y dS, entonces la magnitud de    es



Con el fin de integrar esta expresión debe expresar dS en términos de . Puesto que
         se tiene            y se puede realizar esta situación para :



Para obtener la fuerza total que actúa sobre la porción curva, se puede integrar
esta expresión para tomar en cuenta las contribuciones de todos los elementos dS.
Advierta que la dirección de la fuerza sobre todo elemento de la misma: hacia el
interior de la pagina (puesto que dS x B es hacia adentro). Por tanto, la fuerza
resultante sobre el alambre curvo debe apuntar también hacia la página. La
integración de la expresión para      sobre los limites               (esto es el
semicírculo completo) produce




En vista que , con una magnitud de 2IRB, esta dirigida hacia la página y puesto
que con una magnitud de 2IRB, es hacia afuera del papel la fuerza neta sobre la
espira serrada es 0. Este resultado es consistente con el caso 2 recién descrito.
Figura 29.10. La fuerza neta que actúa sobre una espira de corriente serrada en un
campo magnético uniforme es cero. En la configuración mostrada aquí la fuerza de la
porción recta de la espira es 2IRB y esta dirigida hacia afuera de la página, y la fuerza
sobre la porción curva es 2IRB dirigida al interior de la página.

PRECUNTA SOBRE 29.3
Los 4 alambres mostrado en la figura 29.11 conduce la misma corriente del punto A
al punto B atraves del mismo campo magnético. Clasifique los alambres de acuerdo
con la magnitud de la fuerza magnética que se ejerce sobre ellos, del mayor al menor.




FIGURA 29.11 ¿cual alambre experimenta la fuerza magnética mas grande?
    1) Cual es la corriente en el circuito en la figura4 la fuerza electromotrices y los
       resistores poseen los siguientes valores є1=2.1V є2=4.4V r1=1.8Ω, r2=2.3Ω R=5.5Ω




R
   2) Cual es la diferencia de potencial entre los puntos A y B de la figura 4, cual ∆V entre
       los punto AC en la figura 4 VAB=3.8V VAC=2.5V.
Punto b-a




                        4.4)
3(En la figura 5 esta representa un circuito de dos mayas ¿encuentre la corriente del
circuito los elementos poseen los siguientes valores?
ε1=2.1 V, ε2=6.3 V, R1=1.7Ω R2=3.5 Ω, ε3=6.3V




2i1 R1  i 2 R2   1   2        (4)
    i 2 R2  2i 3 R1  0      (5)
2i 3 R1  2i1 R1   1   2      (6)

Sust (1) en (4)
 2( i1  i 2 ) R1  2i1 R1   2   1
 4i1 R1  2i 2 R1   1   2         (7 )
 desp( i 2 )en( 4)
         1   2  2i1 R1
 i2                            '     (8)
                R2
 sut (8)en(7 )
                2  2i1 R1 
 4i1 R1  2  1                 R1   1   2
                   R2         

 4i1 R1 R2 2( 1   2 ) R1  4i1 R12
                                       1   2
                 R2


 4i1 R1 ( R2  R1 )  ( 1   2 )(2 R1  R2 )
        ( 1   2 )(2 R1  R2 )
 i1 
            4 R1 ( R2  R1 )


        ( 6.3V  2.1V )(2(1.7 )  3.5 )
 i1                                       0.82
              4(1.7 )(1.7  3.5


  2(0.82 A)(1.7 )  i 2 ( 3.5 )  2.1V  6.3V


       4.2V  2.79V
 i2                   0.42 A
           3. 5 
 i 3  0.82 A  ( 0.040 A)  0.42 A
    3) Cual es la diferencia de ∆V entre los puntos Ay B en el circuito de la figura
Calcule la resistencia equivalente de la figura 6 utilizando para ellos los siguientes valores
R1=4.6 Ω R2=3.5 Ω R=2.8Ω
B) cual es le valor de la corriente que pasa por R1 cuando una batería de 12 V esta
conectada en los puntos A y B.




R1   1     1
       
R12 R1 R 2
 1    1      1
              05
R12 4.5 3.5




R123  R12  R 3
R123  2  2.8  4.8
       V       12V
I3                   2.5
     R123 2.8
V12  I 3 R12  ( 2.5 A)(2 )  5V
      V1      5V
I1             1.8 A
      R1 4.5
I 1  I 2  7.5
(1.08)  I 2  7.5
I 2  7.5  1.08
I 2  6.42 A
5) Calcule la resistencia equivalente del circuito que se muestra en la figura 1




                                                 5
                                        6
                     4




                         3                   2




R12=1+2=3Ω




6) Calcule la resistencia equivalente del circuito que se muestra en la figura 1
7) Aplique la ley de Kirchhoff y resuelve las expresiones para calcular el valor de la
corriente en todo el circuito que muestra la figura 2




                                     4Ω
                                                                  5V
                           2Ω
                                     4Ω
                                             6Ω




                                                             1Ω
                           3Ω




                                3Ω




       i 1 +i 2=i3 (1)
       2Ωi1+4Ωi1-5v+6Ωi3+4v=0(2)
       3Ωi2-3v+1Ωi2+6Ωi3+4v=0(3)

       Resolvemos el sistema aplicando matrices y por el método de Gauss Jordán.

                    = (0-0-24)-(0+24+36)=


       Calculamos la determinante principal en la matriz.
       A11=         =-24

       A12=         =36

       A13=         =24
       A21=          =10

       A22=          =6
A23=            =4

A31=             =6

A32=             =12

A33=            =6
Calculamos la adjunta:

   =                   =

A-1=       * adjunta


A-1=       *



A-1=


 Representamos el cálculo de cada variable….



       =




       =


Si resolvemos la suma obtendríamos para cada una de las variables el valor de:



       =


Luego realizamos una verificación rápida sobre los valores obtenidos en el sistema.
i 1 +i 2=i3
(1/3)+(-1/2)=(-1/6)
(-1/6)=(-1/6)
8) Aplique las leyes de Kirchoff para calcular los valores de la corriente en los
circuitos

								
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