LA TRANSFORMACI�N DE LAPLACE

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LA TRANSFORMACI�N DE LAPLACE Powered By Docstoc
					     LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE


1.0. Definición:
Supongamos una función f(t): de R en R en principio de cuadrado integrable
en el intervalo 0, oo.

Definimos la transformación de Laplace de f (t) y la denotamos como F(s)
como:




Notemos que la transformación en cuestión asocia a cada función del espacio
de funciones considerado otra función F(s) con parámetro s.

La utilidad de esta transformación se verá patente cuando se expongan sus
propiedades.

Nótese que no todas las funciones tienen una transformada de Laplace:
Podemos encontrar funciones que al intentar calcular su transformada de
Laplace nos de lugar a una integral no convergente para cualquier valor de s.
Las funciones que tienen transformada de Laplace bien definida en algún
intervalo de s las llamaremos funciones admisibles por dicha transformación
en dicho intervalo. Así mismo al margen de valores de s en el cual la
transformada de Laplace puede ser evaluada se le llamará dominio de la
función transformada.

Una condición necesaria para que una función sea admisible para algún
intervalo es que su ritmo de crecimiento sea inferior al de una exponencial en
t:




2.0. Transformación de Laplace de algunas funciones.
En este apartado ilustraré la transformación de Laplace aplicada a varias
funciones de uso corriente en el análisis de circuitos:




Las funciones arriba indicadas son las más frecuentes tanto en matemáticas
como en el mundo de la electrónica. En el siguiente apartado expondré una
serie de propiedades de la transformación. Dichas propiedades, además de la
importancia que tienen a la hora de aplicar la transformación de Laplace, nos
permitirán obtener transformaciones de Laplace de funciones más
complicadas.

3.0. Propiedades de la transformación de Laplace.


De la relación de propiedades que expondré a continuación se podrán ver con
facilidad la utilidad de la transformación en casos de resolución de problemas
de valor inicial:

Propiedad 1: Linealidad:




Propiedad 2: derivación en el tiempo:
Demostración:




Propiedad 3: derivación en s:




Demostración:




Propiedad 4: Desplazamiento en s:




Demostración:
Existen muchas otras propiedades que pueden encontrarse en textos sobre el
tema y que omitiré para sólo exponer lo más importante y no alargar este
documento.
La segunda propiedad es para mi la más importante de todas ya que gracias a
ella podemos utilizar la transformación de Laplace para resolver ecuaciones
diferenciales: La transformación de Laplace transforma derivadas en
productos.
La primera propiedad, la de la linealidad nos permitirá transformar una
ecuación entera quedando sumas y productos por constantes invariantes.




4.0. Ejemplo de aplicación.
Para poder entender de una forma clara estas ideas lo mejor es verlo con un
ejemplo.
El ejemplo que expongo a continuación trata de ilustrar la resolución de un
problema electrónico mediante la transformación de Laplace. Cuando tenemos
una ecuación diferencial lineal el método a utilizar es siempre el mismo: se
transforma la ecuación entera. Como la ecuación es lineal se tiene como
resultado una ecuación lineal. Hecho esto se despeja la incógnita y el
resultado que se obtiene es una función racional en s. Por último sólo tenemos
que hacer la transformación inversa de Laplace ( mirar que función tiene
como transformada de Laplace la función que tenemos).

En la práctica, cuando lo que queremos es resolver un circuito eléctrico, lo
que se hace es "transformar el circuito"; es decir: dado que por los
condensadores la corriente que pasa es la derivada de la tensión aplicada en
sus terminales multiplicada por su capacidad, lo que se hace es asignar al
condensador una "resistencia" de 1/Cs. Dado que el condensador no es un
componente resistivo al término 1/Cs se le pasa a llamar impedancia del
condensador. Así mismo no resulta difícil entender que la impedancia de una
bobina es Ls. Notemos además que para poder hacer esto es indispensable
contar con condiciones iniciales nulas en las cargas de los condensadores y en
las corrientes de las bobinas. En la mayoría de los problemas esto será siempre
así.




Seguidamente pasaré a resolver el problema para un caso particular:
supongamos de vin(t) es un escalón.




Para realizar la transformación inversa de Laplace el mejor paso a seguir
descomponer en suma de fracciones simples la función a descomponer, como
si fuéramos a integrarla, y luego relacionar cada fracción con su
correspondiente exponencial.
Existe una fórmula cerrada para obtener la transformada inversa de Laplace,
pero el cálculo, además de engorroso, es complicado y requiere conocimientos
de integración en el plano complejo. Los interesados en el tema podrán
encontrar informaci6oacute;n al respecto en cualquier libro de análisis con
variable compleja medianamente decente.
En el caso de no tener condiciones iniciales nulas, como en este ejemplo, no
podremos asociar al condensador una impedancia 1/Cs. En este caso derivar
es multiplicar por s y restar la condición inicial (mírense propiedades). De
todas formas en el análisis de circuitos normalmente sólo se estudia el
régimen permanente con condiciones iniciales nulas; es decir: condiciones
nulas ya que el circuito hace mucho que está funcionando.

5.0. El producto de convolución.


En el ejemplo anterior vimos el método general para resolver un problema
eléctrico utilizando la transformada de Laplace. Supongamos que ahora
tuviéramos que resolver el mismo circuito pero con una tensión de entrada
distinta. En principio cabe pensar que tendríamos que volver a realizar de
nuevo todos los cálculos para hacer la transformación inversa. Como
seguidamente veremos esto no será necesario.



Se define el producto de convolución de dos funciones f y g ( f*g ) como:




Nótese que f*g es otra función en el tiempo. Además se tiene que la
convolución de funciones es una operación conmutativa, asociativa, la Delta
de Dirac es su "elemento" neutro (lo escribo entre comillas porque hay gente
que considera lo anteriormente escrito como un sacrilegio matemático) y
además la transformación de Laplace de la convolución es el producto
ordinario (el de toda la vida) de las transformadas:
Con estas propiedades si queremos obtener la respuesta de un circuito a varias
entradas distintas, el proceso a seguir sería:
1. Obtener la respuesta del circuito a una delta de Dirac (V(s)=1).
2. Obtener Vo(s); normalmente denotada por H(s) y llamada función de red o
función de transferencia.
3. Hacer la transformada inversa de H(s): h(t) llamada respuesta impulsional
ya que la delta de Dirac también recibe el nombre de impulso.
4. Convolucionar la entrada vin(t) con h(t).

Si ahora quisiéramos conocer la respuesta del circuito a otra entrada, sólo
tendríamos que convolucionar h(t) con la nueva entrada.




6.0. Estabilidad.

La estabilidad es una cuestión importantísima en el diseño y análisis de
circuitos así como en otras ramas de la física en que aparezcan ecuaciones
diferenciales.
Se dice que un circuito es estable cuando todas las magnitudes (tensiones y
corrientes) del circuito permanecen acotadas cuando la entrada del circuito es
una función acotada.
Supongamos una función racional que resulta ser la función de transferencia
de nuestro circuito:




Llamaremos ceros de H(s) a los ceros del numerador: c1,c2,...cn. Así mismo
llamaremos polos de H(s) a los ceros del denominador: p1,p2,...,pm. Al hacer
la transformación inversa los valores p1,...,pm aparecerán en los exponentes
de las exponenciales.
Así pues una condición necesaria para que un circuito sea estable es que tenga
todos los polos de H(s) con parte real negativa. Si alguno tiene parte real nula
entones diremos que H(s) es marginalmente estable. Cuando tenemos algún
polo repetido con parte real nula tenemos una función acotada que no tiende a
cero multiplicada por un polinomio como transformada inversa de H(s). De
esto se desprende que cuando hay algún polo repetido con parte real nula H(s)
será inestable. Por último si todos los polos tienen parte real positiva entonces
H(s) será estable.

7.0. Estudio circuital en el dominio de la frecuencia.


Supongamos ahora que tenemos un circuito con una excitación y queremos
saber el valor de una tensión o una corriente en otro lugar del circuito.
Supongamos además que la excitación es una función sinusoidal:
Para resolver este tipo de problemas



Se define el producto de convolución de dos funciones f y g ( f*g ) como:




Nótese que f*g es otra función en el tiempo. Además se tiene que la
convolución de funciones es una operación conmutativa, asociativa, la Delta
de Dirac es su "elemento" neutro (lo escribo entre comillas porque hay gente
que considera lo anteriormente escrito como un sacrilegio matemático) y
además la transformación de Laplace de la convolución es el producto
ordinario (el de toda la vida) de las transformadas:




Con estas propiedades si queremos obtener la respuesta de un circuito a varias
entradas distintas, el proceso a seguir sería:
1. Obtener la respuesta del circuito a una delta de Dirac (V(s)=1).
2. Obtener Vo(s); normalmente denotada por H(s) y llamada función de red o
función de transferencia.
3. Hacer la transformada inversa de H(s): h(t) llamada respuesta impulsional
ya que la delta de Dirac también recibe el nombre de impulso.
4. Convolucionar la entrada vin(t) con h(t).

Si ahora quisieramos conocer la respuesta del circuito a otra entrada, sólo
tendríamos que convolucionar h(t) con la nueva entrada.

				
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