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					CONCEPTO DE FÍSICA                                      Absolutas.- Su valor no cambia en cualquier parte
                                                        del universo.
                                                        Longitud (L); Masa (m); Tiempo (T); carga (Q);etc.
La física es una ciencia natural que estudia la
                                                        Gravitatorias o técnicas.- Alguna de ellas varía,
estructura de la materia y las leyes fundamentales
                                                        según el lugar donde se mida.
que rigen sus interacciones.
                                                        Longitud (L); Fuerza (F); Tiempo (T)
Se suele dividir en dos grandes campos:
1) Física clásica y 2) Física moderna                   2.- Derivadas.- Provienen de las fundamentales.
                                                        Velocidad (v); Aceleración (a); Presión (Ps);
La Física Clásica, comprende:                           Trabajo (W); Potencia (P); Densidad (D); etc.
-Mecánica
-Calor y Temperatura                                    II.- Por su naturaleza:
-Electricidad y Magnetismo
-Luz y Óptica                                           1.- Escalares.- Las que quedan bien definidas con
                                                        sólo determinar su valor numérico y su unidad de
La Física Moderna comprende:                            medida. Longitud, Temperatura, tiempo, masa, etc.
-Teoría de la Relatividad y Teoría Cuántica.
Las que a su vez comprenden:                            2.- Vectoriales.- Las que quedan bien definidas,
* Física de partículas elementales y campos             indicándoles, además de valor numérico y unidad
* Física Nuclear                                        de medida; su dirección y sentido.
* Física Atómica                                        Velocidad ( v ), Aceleración ( a ), Desplazamiento
* Física Molecular
                                                        ( d ); Fuerza ( F ); etc.
* Física del Estado Sólido (materia condensada)

       CANTIDADES FÍSICAS                               SISTEMAS DE UNIDADES
                                                            Sistema
Cantidad física es todo aquello que puede                    Unida M.K.S.           C.G.S. Técnico Técnico
medirse, de algún modo. Ejemplos: distancia,
                                                        Dimen                              Métrico Inglés
tiempo, energía, presión, velocidad, carga eléctrica,   siones
etc.
La Física estudia solamente las cantidades físicas        Longitud metro             centím metro      pie
                                                            (L)      (m)            (cm)      (m)     (pie)
Medición: Comparación de una cantidad física               Masa    kilogra           gramo
                                                                                           ______ ______
con otra de su misma cualidad llamada “unidad”.             (M)    (kg)                (g)
                                                          Tiempo segundo            segundo segundo segundo
El resultado de la medición es un número.
                                                            (T)       (s)              (s)     (s)     (s)
                                                                                            Kilogra. libra
                                                           Fuerza
                                                                      ______        ______ fuerza fuerza
                                                            (F)
                                                                                             (kg-f) (Lb.f)
Magnitud de la cantidad física: Resultado                  Carga      coulomb
numérico de una medición.                                                            u.e.s. ______ ______
                                                            (Q)         (C)
Ejemplo: Longitud o distancia de 2 metros = 2m.
                                                        SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Dimensión: Es la cualidad que posee una                                (SI)
cantidad física.
Por ejemplo: El tamaño de una persona tiene                          UNIDADES DE BASE
dimensión de longitud; la duración de la vida de        Cantidad      Dimensión     Unidad  Símbolo
una persona tiene dimensión de tiempo; el ancho de      Longitud          L          metro     m
un camino tiene dimensión de longitud, mientras         masa              M       Kilogramo    Kg
que el clima de un lugar tiene dimensión de             Tiempo            T        Segundo       s
temperatura. etc                                        Intensidad                 Amperio      A
La dimensión de una cantidad física “a”, la             De corriente      I
denotaremos así: [a]                                    Eléctrica
                                                        Intensidad        J        Candela     cd
CLASES DE CANTIDADES FÍSICAS                            Luminosa
                                                        Temperatura       H         Kelvin      K
I.- Por su origen:                                      Cantidad de       N           Mol     mol
                                                        Materia
1.- Fundamentales.- Aquellas que dan origen a las
                                                               UNIDADES SUPLEMENTARIAS
otras cantidades físicas.
                                                        Án. plano       1         Radián     rad
                                                        Än.sólido       1       estéreorad    sr
-2-

ANALISIS DIMENSIONAL (AD)
Estudia las relaciones existentes entre las            Solución
cantidades fundamentales y derivadas.
                                                       F  m.a
ECUACION DIMENSIONAL (ED)                              Sistema Absoluto (S.A)              F   m.a   MLT-2
 Igualdad en la que se expresa como una cantidad
derivada está relacionada con las fundamentales.
                                                       Sistema Gravitatorio (S.I)          F  F
FINALIDADES DEL AD
                                                       c).- Trabajo (W); Trabajo  Fuerza .Distancia
1.- El AD se utiliza para determinar la ED de
cualquier cantidad derivada.                           Solución

2.- El AD sirve para comprobar la veracidad de las     W  F.d
fórmulas físicas.                                      Sistema Absoluto (S.A)

3.- El AD sirve para determinar fórmulas empíricas     W   M .LT 2 .L  ML2T 2
a partir de datos experimentales.
                                                       Sistema Gravitatorio (S.G)
CONSIDERACIONES PRÁCTICAS

1.- Los números y la medida de los ángulos, en          W  F.e  FL
grados o radianes, cuando están como coeficientes
                                                                                          Fuerza
consideran iguales a 1. Como exponentes toman su       d).- Presión (Р     ); Presión 
propio valor.                                                                              Area
                                                       Solución
2.- Principio de homogeneidad: En una suma o
resta de varios términos, las dimensiones de cada              F           F  MLT
                                                                                    -2

término son iguales entre sí e iguales al resultado.   Р        ; [Р ]             ML-1T-2
                                                                          S
                                                                                  2
                                                               S                 L
3.- En el A:D se admiten todas las operaciones
algebraicas a excepción de la adición y sustracción.                                      volumen
                                                       e).- Caudal (  ); Caudal 
Es decir:                                                                                  tiempo
                                                       Solución
En el A:D:
x + x = x ; m–m = m ; t –2t = t
                                                                         
                                                               V             V  L2
                                                                                L2 T-1
En el álgebra:                                                 t            t T
x + x = 2x ; m–m = 0 ; t –2t = – t ; etc.
                                                       f).- Velocidad angular (  )
NOTACIÓN:
                                                                                    medida angular
A: se lee simplemente “A”                              Velocidad angular 
                                                                                        tiempo
 A  : se lee “Ecuación dimensional de A”             Solución

                                                           medida angular
                                                       
EJEMPLOS                                                           t
                                                         
                                                               medida angular  1
                                                                               T T
                                                                                      -1
PRIMERA FINALIDAD                                            
                                                                    t        
1.- Hallar la E:D de:
                                                       g).- Coeficiente de dilatación lineal (  )
                                  dis tan cia
a).- Velocidad (v); Velocidad 
                                   tiempo                          var iacion de
Solución
                                                                    la longitud
      d                                                
                   v  
                         d L
v                          LT
                                   -1
                                                           longitud  var iacion de 
      t                 t T                                                      
                                                           inicial  la temperatura 
b).- Fuerza (F)   Fuerza  masa. aceleración
                                                       PROFESOR MIGUEL AGIP MEGO
                                                                                                                       -3-

Solución                                               Solución
                                                               mx 3  M  LT 
          L                                                                   -1              3

   L .temperatura                                     R          
                                                               2 rA    L  L
                                                                                 2



               L                                        ML3 T -3
   
                             L                                      MT -3
                               θ -1                      L3
        L .temperatura  L.θ
                                                       SEGUNDA FINALIDAD
h).- Carga eléctrica (q)
                                                       1.- Verificar si la siguiente igualdad es
Carga eléctrica  intensidad .tiempo                   dimensionalmente homogénea.
                                                             FL2 T -2
Solución                                               Pe  2 3
                                                              VL
q  I.t             q    I.t   I.T               Dónde: F = fuerza L = longitud T = tiempo
                                                       V = velocidad Pe = peso específico
i).- Resistencia eléctrica ( R)                        Solución

           Potencial electrico                         Debemos comprobar que:
R
      int ensidad de la corriente                               FL2 T -2 
                                                        Pe   2 3 
Solución                                                        V L 
                                                                       

       V                                               ML T -2   -2
                                                                      
                                                                         MLT  L  T   ML T
                                                                             -2        2       -2
                                                                                                           -2   -2

R                                                                          LT   L 
                                                                                -1 2       3
       I
Sistema absoluto                                                 Si es dimensionalmente
                                                                 homogénea
Como V  ML2 T-3 I-1
                                                       2.- En la expresión mostrada, dimensionalmente
R   
        V  ML2 T-3 I-1
                       ML2 T-3 I-2                  homogénea, determinar el valor de x + y + z.
       
       I      I                                      F  k.Ax By Cz
                                                       Donde:
j).- Inducción magnética (B)                            F = fuerza       k = numero
                                                       A = densidad      B = velocidad C = área
                    Fuerza
 B
       c arg a electrica  velocidad                Solución

Solución                                                F   k.A x By Cz 
                                                                           
                                                       MLT-2   ML-3   LT-1   L2   Mx L2z-3x+y T-y
                                                                            x              y         z

    F
B
   q.v
Sistema absoluto

        F  MLT -2                                    M1  Mx
 B                  MT -2 I-1
                                                                              x=1
        q.v  I.T.LT
                      -1
                                                       T-2  T-y              y = -1
                                                       L  L2z-3x+y
                                                        1
                                                                           2z-3x+y = 1 2z-3+2 = 1 z = 1
2.- En la siguiente expresión:
                                                       Por lo tanto: x  y  z  4
Hallar las dimensiones (E:D) de R:
     mx 3                                              3.- (UNI) La velocidad “v” de una partícula, de
R                                                     masa “m”, en función del tiempo “t”, está dada por:
    2 rA
                                                                       K    
Dónde:      m = masa; x = velocidad lineal; A = área                   m t i j
                                                       v  2πHL .sen 
                                                                      
                                                                             
                                                                             
                                                                                                               m
                                                                                                                 s
           2  r = longitud de la circunferencia
                                                                                                   K
                                                       Indicar las dimensiones de                    , si L es longitud.
                                                                                                   H
-4-

Solución                                                         P  k.Pe x Q y H z        (1)

                K       
v  2πHL .sen 
                m t                                          ML2 T-3   ML2 T-2   L3T-1   L 
                                                                                       x         y       z
                                (1)
                        
          K                K 
Como:        t = ángulo      t 1                              M1L2T-3  Mx L3y-2x zT-2x-y
          m                m 
Elevando al cuadrado tenemos:

 Kt 2       K T2  1 →                                       Por tanto:    x=1         y=1       z=1
       1 →                                      K   MT-2
 m            M                                                Remplazando en (1):

En (1)                                                           P  k.Pex Qy Hz

                                            K
LT -1  1. H  L               H  T-1    H   MT
                                                       -1
                                                                 P 1         Pe.Q.H
                                                                      550
TERCERA FINALIDAD
                                                                 Sistemas de unidades
1.- Se sabe que el periodo de un péndulo siempre
depende de la longitud del hilo y de la aceleración              1) Sistema M. K. S.
de la gravedad. Encontrar una fórmula empírica                   2) Sistema C. G. S.
para el periodo del péndulo, sabiendo que la                     3) Sistema Técnico Inglés
constante experimental es igual a 2π.                            4) Sistema Internacional (SI)

Solución                                                                       PRACTICA Nº 01
 = periodo del péndulo; L = longitud del hilo                   1.- Las unidades de base del S:I son:
g = aceleración de la gravedad                                   a) 5     b) 7     c) 9    d) 11     e) 4
k = constante experimental = 2π
                                                                 2.- El símbolo de megasegundo es:
  f  L,g                    k.Lx g y       (1)             a) ms b) MS c) Mseg d) Ms e)mseg
Remplazando magnitudes:
                                                                 3.- 127 000 000 se puede expresar como:
T  1.Lx  LT-2 
                          y
                                       T  Lx LyT-2y             a)127 kF b) 127mF c) 127daF
                                                                 d) 127hF e) 127MF
L0T1  Lx  yT-2y
                                                                 4.- 0,25x10-18 Tm2, expresado en fm2 es:
                                                                 a) 0,25x1010     b) 0,25 x109
                                                                             12
De donde:           x=         1
                               2       y= -1
                                           2
                                                                 c) 0,25 x10      d) 0,25 x1011 e) N.A

Remplazando en (1):                                              5.- 5h 25min 48s; expresado sólo en horas es:
                                                                 a) 5,43h b)5,25h     c)5.2548h
                                    L1 2   
         
  2 L 2 g
             1   -1
                      2
                              2  1
                                   g 2
                                   
                                              2
                                            
                                            
                                                   L
                                                   g
                                                                 d) 5.48h e) N.A

                                                                 6.- Las dimensiones de la potencia mecánica, en el
                                                                 sistema absoluto, son:
2.- Se sabe que la potencia desarrollada por una                 a) ML2T3          b) ML2 T-3
bomba centrífuga depende del peso específico del                       2 2 -3
                                                                 c) M L T          d) MLT e) N.A
líquido que impulsa a la bomba, del caudal del
líquido y de la altura efectiva a la cual se eleva el            7.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente
líquido. Encontrar una fórmula empírica para la                  homogénea:
potencia desarrollada por la bomba, si la constante
                                                                       Ax 2  Bx  C
experimental es igual a 1       .                                M                           Tienen igual dimensión:
                           550                                          At 2  Bt  C
                                                                 a) A y B          b) “x” y “t”
Solución                                                         c) B Y C            d) M y A         e) T.A

P = potencia     Pe = peso específico
H = altura       Q = caudal                                      PROFESOR MIGUEL AGIP MEGO
K = constante experimental = 1      .
                               550
                                                                                                             -5-


8.- Calcular “a – b”, en la siguiente expresión          CLASES DE VECTORES
dimensionalmente homogénea.
K  Fa mb Pc                                                                    A                   π
                                                                      C              B
Donde:
K = energía cinética m = masa P = peso
a) 1    b) 2      c) 3   d) 4   e) Absurdo                        E                             D

9.- Un cuerpo cae libremente durante un tiempo “t”,
partiendo del reposo. Encontrar una ecuación para        1.- Vectores colineales: Están contenidos en una
la velocidad, utilizando el A.D.                         misma recta, o en rectas paralelas. En la
a) kgt2     b) kgt3 c) kg2t      d) kgt e) N.A           figura: B, C y D son colineales.

10.- Se sabe que la fuerza centrípeta que actúa          2.- Vectores concurrentes: Ellos mismos o sus
sobre un cuerpo que gira en una trayectoria circular,    líneas de acción, se intercedan en un punto.
depende de la masa del cuerpo, de la velocidad
tangencial con la que se desplaza y del radio de la      En la figura: A, B, C : A, D y E ; B y E; C y E.
trayectoria. Encontrar una fórmula empírica para la
fuerza centrípeta.                                       3.- Vectores coplanares: Están contenidos en un
            mv                     mv 2                  mismo plano.
  a) Fc  k              b) Fc  k
              r                     r                    4.- Vectores iguales:
            2                                            Tienen la misma dirección, intensidad o módulo y
          mv                    mv
c) Fc  k             d) Fc  k 2       e) N.A           sentido. En la figura: C y D.
            r                    r
                                                         5.- Vectores opuestos: Tienen la misma dirección,
                  VECTORES                               intensidad o módulo; pero sentido contrario. En la
                                                         figura, B y C son opuestos. También B y D .
Vector.- Es la representación grafica de una
cantidad vectorial.
                                                         6.- Vectores equivalentes: Dos o más vectores son
                                                         EQUIVALENTES, en algún aspecto; si producen
ELEMENTOS DE UN VECTOR                                   los mismos efectos, en ese caso. Pueden ser:
     y
                                                         Libres, deslizantes, fijos
            5u         A
                                                         OPERACIONES CON
             O                                          VECTORES
             θ                                           VECTOR RESULTANTE: Vector que produce los
                                                         mismos efectos que todos los componentes juntos,
                                                         y los puede remplazar a todos juntos.
                                x

1.- Magnitud, intensidad o módulo: Es el valor o         A) PRODUCTO DE UN VECTOR CON
medida de la cantidad vectorial representada. En la      UN NÚMERO
figura:
                                                          Al multiplicar un vector por un número, se obtiene
A ; se lee: “vector A”                                   un VECTOR RESULTANTE, en la misma
A ; se lee: “módulo del vector A” = 5u                   dirección y su módulo es igual a tantas veces como
                                                         indica el número
2.- Punto de aplicación u origen: Punto donde
actúa la cantidad vectorial. En la figura “O”.           EJEMPLOS:
                                                         1.- Sea el vector   A , mostrado; hallar y graficar:
3.- Dirección: Recta que contiene al vector; o todas
las rectas paralelas a ella.
                                                                                              1
                                                             A               a) 3A       b)     A   c) -2A
4.- Sentido: Indica hacia dónde, en la dirección                                              2
dada, actúa la cantidad. En la figura es hacia arriba.
-6-




Solución                                            Solución

                                                                                      R
           3A                                          B
                       1
                         A
                       2
                                     -2A
                                                                          O                       A
                                                                                          A
2.- Dados los vectores A. B, C ; determinar y              O
graficar:

           1             1
                                                                         B                       R
                                              1
a) 2A -      A   b) -3C  C          c) B -     B
           2             2                    3
                                                    Método del triángulo.- Consiste en graficar los
      A                                             vectores uno a continuación de otro.
                                 B
                 C
                                                    EJEMPLO:
                                                    Dados los vectores A y B determinar gráficamente;
Solución                                            por el método del triángulo:
                                                    AB yAB.
                     1
             2A -      A                                                                      A
                     2
                                 1                                                B
                            -3C  C
                                 2

                               1                    Solución
                       B-        B
                               3                                   A                                  B
B) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE                                                               R
VECTORES                                                       R                  B
                                                                                                      A
I.- METODOS GRAFICOS
                                                    1) PARA MÁS DE DOS VECTORES
1) PARA SÓLO DOS VECTORES
CONCURRENTES                                        Método del polígono.- Es la reiteración del
                                                    método del triángulo.
Método del paralelogramo.-
                                                    EJEMPLOS:
El vector RESULTANTE está dado por la diagonal
orientada, partiendo del origen común de los        1.- Dados los vectores siguientes, determinar
vectores componentes.                               gráficamente:

                                                    a) A  B  C  D
EJEMPLO:
Dados los vectores A y B ;
                                                                   
                                                    b) A  B  C  D          
                           A
                                                               A
                                                                          B
                 B
                                                                   C
                                                                                  D
Determinar y graficar: A  B y A  B .
                                                    PROFESOR MIGUEL AGIP MEGO
                                                                                                        -7-

Solución                                                                      CB
                                                     B  C  3L         L       …….(2)
                     A                                                         3
a)
                                           B         (2) en (1):

                                                              CB
                     R                               Z  B  2   
                                                D              3 
                             C                              2C  B 3B  2C  B B  2C
b)                                                    B                      
                                 R                                                3
                                           D
 A
                                                     II.-METODOS ANALITICOS
                 B                   C              Nota: Por comodidad el “módulo del vector A”, lo
                                                     notaremos simplemente A, en lugar de          A.

                                                     1) PARA 2 O MÁS VECTORES COLINEALES
3.- Hallar el vector resultante en términos de k .
                                                     La resultante se determina efectuando la suma
                                       E             algebraica de los módulos de los vectores. Según la
                                                     regla de los signos mostrada en la siguiente figura:
     k                           D
                                                                     y   +
         C
                                 A
         B                                                ─                       +
Solución                                                                          x

                                                                         ─
R  A  B  C  D  E  k (1)

Pero: A  B  k  E  0          (2)
                                                     EJEMPLOS:
D  C  k               (3)
                                                     Dados los siguientes vectores colineales:
Remplazando (2) y (3) en (1):                             A                       B

R  k                                                           C                             D
                                                     A = 2; C = 6;       B = 4;       D=1
4.- Hallar el vector Z , en función de B y C ; en:
             B                                       Calcular:
                     2L
                                                     1) A + B + C + D
                             L
                 Z                                   2) A─B + C─D
                         C                                  1   2
Solución                                             3) 2A  B  C  D
                                                            2   3
Agregamos a la gráfica los vectores L y 2L .         Solución

         B                                           1) A  B  C  D  2  4  6 1  1
                     2L
                                                     2) A  B  C  D  2  4   6   1  
             Z
                                                                1      2
                         L                           3) 2A  B  C  D
                 B                                              2      3
                                                                1        2
                                                      2  2    4    6   2 1  4
B  Z  2L                                                     2        3

Z  B  2L ……(1)
-8-

2) PARA DOS VECTORES COPLANARES                                   Solución
CONCURRENTES
                                                                     A          B         R
                                                                                    
Método del coseno.- Este método utiliza la                        sen 30º sen 80º sen 70º
generalización del Teorema de Pitágoras; así:                      60      B
                           B                                                     de donde:
                c                                                 0,5 0,9848
                                     a                                 60(0,9848)
    A                                                             B                118,18N
                                                                           0,5
                       b                  C                       Por el Método del coseno:
En el triángulo ABC:
                                                                  R 2  602  118,182  2(60)(118,18) cos 70º
a 2  b2  c2  2bc.cos A                                         R 2  3600  13966,512  14181,6(0,342)
b2  a 2  c2  2ac.cos B
                                                                  R  12716,405  112,77N
c2  a 2  b2  2bc.cos C
                                                                  3) PARA MÁS DE DOS VECTORES
EJEMPLO:                                                          CONCURRENTES COPLANARES

Calcular la resultante de dos vectores de 50 N y 80               COMPONENTES RECTANGULARES DE UN
N, si están aplicados a un punto, determinando un                 VECTOR
ángulo de 40º.
            A = 50 N                                              En la gráfica, A x y A y , son las componentes
                                           R                      rectangulares de A . A  A x  A y .
                                                                              y
      40º                        140º                                                                      Ax  A.cosθ
                                         B = 80 N                                         A                A y  A.senθ
                                                                             Ax
Solución                                                                          θ
                                                                                                     x
En el triángulo sombreado, utilizamos la                                               Ay
generalización del Teorema de Pitágoras, así:

R 2  A2  B2  2AB.cos140º
                                                                  Versor o vector unitario.- Se llama así al vector de
                                                                  módulo igual a la unidad, que indica la dirección y
R  15028  122,58 N                                              sentido de un determinado vector.
                                                                     En la figura:
Método de los senos.- Se aplica la “Ley de los                                                               A A i
                                                                               y
senos”, que se enuncia así:
                                                                                                           Es decir:
                A                                                                           A
                                                                                                            A
                                           a
                                             
                                                b
                                                  
                                                     c                            i                      i
            c                                                                                               A
                           b             SenA SenB SenC                            θ

    B           a               C                                                                x

                                                                  Versores rectangulares.- Son aquellos vectores
EJEMPLO                                                           unitarios que están sobre los ejes de un plano
                                                                  cartesiano, y su punto de aplicación coincide con el
Calcular la resultante de dos vectores concurrentes
                                                                  origen del plano cartesiano.
que forman entre si un ángulo de 110º. Si uno de                                                          y
ellos, cuyo valor es 60 N, forma con la resultante un
ángulo de 80º.                                                                                                      A
                                                                  j y  j en el eje y                    Ay
      A = 60 N
                                                                   i y  i en el eje x                          θ
                                                                                                                         x
                                          R         80º
                                                                                                                    Ax
                               80º
                                                      70º
                                         30º
                                                            B=?   A  Ax  Ay         ó       A  Ax i  Ay j
                                                                                                               -9-

EJEMPLO:                                                Solución

En el sistema mostrado expresar el vector F en
términos de sus versores rectangulares, si su                                Ay             A = 20 kp
módulo es 50 N
                                                                            Cx         58º
Solución
                                                                B= 35 kp                   Ax
                  y                                                              25º

                  Fy         F                                                         Cy
                                                                 C= 30 kp
                       53º
                                   x                    Ax = A.cos58º = 20 (0,5299) = 10,60 kp
                         Fx
F  Fx  Fy    F  Fx i  Fy j                          Ay = A.sen58º = 20 (0,8480) = 16,96 kp
                            3
Como:     Fx  Fcos53º  50    30 N                  Cy = C.cos25º = 30 (0,9063) = 27,19 kp
                            5
                  4                                   Cx = C.sen25º = 30 (0,4226) = 12,68 kp
Fy  Fsen53º  50    40 N
                  5
                                                        Bx = 35 kp      By = 0
Por consiguiente: F  30i  40 j                        Vx = Ax ─ Cx ─ Bx = ─37,08 kp
                                                        Vy = Ay ─ Cy ─ 0 = ─10,23 kp
MANEJO DEL METODO DE LAS
COMPONENTES RECTANGULARES, PARA
                                                               x 37,08
MAS DE DOS VECTORES COPLANARES
CONCURRENTES                                                                 θ

Se produce así:                                                                            10,23
                                                                    R
                                                                                           y
1.- Se descomponen, los vectores que no coinciden
                                                        R 2   37, 08   10, 23         R  38, 47kp
                                                                        2              2
con los ejes cartesianos.

2.- Se halla la sumatoria de de todas las
                                                        Orientación del vector resultante:
componentes en cada eje.
                                                              10, 23
                                                        tgθ          0, 2759
3.- Con las sumatorias anteriores, se construye un            37,08
paralelogramo rectángulo.                               * tg15º30  0, 2773                m  θ  15º 30
El ángulo que determina la resultante con el eje x,

queda determinado por: tgθ 
                                       V    y

                                       V    x
                                                                     PRACTICA Nº 02
                                                        1.- Si un vector A tiene un módulo de 5 unidades, y
                                                        está aplicado horizontalmente hacia la derecha,
EJEMPLOS:
                                                        2A  3 A es un vector horizontal de:
                                                                  5
1.- Calcular el vector resultante de los mostrados en   a) 5u, hacia la izquierda b) 6u, hacia la izquierda
la siguiente figura:                                    c) 7u, hacia la izquierda d) 4u, hacia arriba e) N.A

                                                        2.-Hallar el vector Z, en términos de A y B ,
                                        A = 20
                                                        sabiendo que m es punto medio.
                                        kp                                       A
                                       58º                                                             AB
              B= 35 kp                                                                     a) A  B b)
                                 25º                                 Z           M                        2
                                                                                              AB
                                                                                                      d) 
                                                                                                           AB   
                  C= 30 kp                                                   B             c)
                                                                                                 2           2
                                                                                                  2A  B
                                                                                              e)
                                                                                                    2
- 10 -

3.- Dados los vectores de la figura. Hallar el                                              MECÁNICA
módulo de A  B ; si A = 5 y B = 2.
                                                                       Concepto.- Estudia los estados de reposo y de
a) 3 5           b)     2     c)    5       d) 2 5 e)     3            movimiento de los cuerpos sólidos y fluidos
                                                                       (líquidos y gases).
4.- Determinar el ángulo que forman dos fuerzas P
y Q; así como el valor de la fuerza P.                                 PARTES DE LA MECÁNICA
Sabiendo que la fuerza Q vale 1200 N, y la
resultante de P y Q es igual a 900 N. Además la                        I.- Mecánica de los sólidos:
resultante es perpendicular a la fuerza Q.                              CINEMATICA  ESTATICA  DINAMICA

a) 145º ; 500 N              b) 143º ; 1500 N                          II.- Mecánica de los fluidos:
c) 143º ; 1200 N              d) 120º ; 1500 N         e) N.A          Líquidos:  HIDROSTATICA
                                                                                  HIDRODINAMICA
5.- Determinar el ángulo que forman dos fuerzas de                     Gases:  NEUMOSTATICA
igual magnitud, para que su resultante sea igual al                               NEUMODINAMICA
valor de una de ellas.
                                     a) 150º
                                     b) 120º                                         CINEMATICA
            A
                                B c) 130º                              Cine = movimiento; Mática = medida
           78º            41º        d) 140º
                                      e) 180º                          Concepto.- Estudia el movimiento, sin tener en
                                                                       cuenta las causas que lo originan.
6.- En el siguiente sistema de vectores, determinar
el valor del vector resultante en términos de                          Reposo y movimiento.- Un cuerpo está en reposo
versores rectangulares, si A = 20 ; B = 25 ;                           con respecto a otros, cuando la distancia que los
C = 50.                                                                separa permanece constante.
                                                                       Un cuerpo está en movimiento, respecto a otros,
a) i  4j b) i j c) i  j                                   cuando varía la distancia entre ellos.
d) 13i  j e) i   j
                                                                       Sistema de referencia.- Se llama así a cada uno de
             B                              A                          los cuerpos o entes, respecto a los cuales se dice
                  16º               53º                                que un cuerpo está en reposo o en movimiento.
                                                                       Un sistema de referencia puede ser un avión, las
                            16º                                        paredes de un automóvil, una terna de ejes
                  C                                                    cartesianos, la Tierra, el Sol, etc.
7.- Dos vectores concurrentes forman un ángulo de                      Movimiento es el cambio de posición de un cuerpo
80º. Hallar el vector resultante y el otro vector, si                  con respecto a un sistema de referencia
uno de ellos vale 550 kp y forma con la resultante
un ángulo de 25º.                                                      CONCEPTOS BASICOS DE MOVIMIENTO
a) 20,60 kp y 25,79 kp b) 10,60 kp y 20,79 kp                                 y
c) 10,60 kp y 25 kp d) 10,60 kp y 25,79 kp e) N.A
                                                                                       ti
                                                                                   A             P

8.- Determinar la magnitud y la dirección de la                                                         tf
                                                                                             d
resultante, de las fuerzas concurrentes de la figura.                                                   B
                                                                                                         x
F1 = 120 kp ;               F2 = 200 kp ;          F3 = 400 kp ;
F4 = 1002 kp
  F4         y                                                         MOVIL: Cualquier cuerpo en movimiento.
                                                a) 323,4 kp ; 81º42’
            45º                                 b) 342,4 kp ; 81º42’   TRAYECTORIA, en la figura: curva AB (Rojo).
                            F1                  c) 500 kp ; 81º45’
                                        x                              DESPLAZAMIENTO,       AB ( d ) (Azul).
       53º                  30º                 d) 323,4 kp ; 80º42’
                                                e) 323,4 kp ; 81º30’
       F3
                               F2                                      INTEVALO DE TIEMPO: t  t f  t i .

                                                                       VECTOR POSICION El vector desde el origen del
                                                                       sistema de referencia a cualquier punto donde se
                                                                       encuentre el móvil.
PROFESOR MIGUEL AGIP MEGO
                                                                                                                - 11 -

CLASE DE MOVIMIENTO                                     Velocidad instantánea(v)
I.- Según su trayectoria: rectilíneos y curvilíneos.    Se define como el límite de la velocidad media para
                                                        un intervalo de tiempo infinitamente pequeño
II.- Según su rapidez: uniformes y variados

III.- Según su orientación: De traslación pura,          t  0 
rotación pura; o de rotación y traslación simultánea.
                                                                     x
MEDIDAS DEL MOVIMIENTO EN UNA                           v  lím 0
                                                               t
TRAYECTORIA RECTA                                                    t
                                                        v , es la velocidad en un instante t
Un móvil recorre, una trayectoria recta. En la cual
hay sólo dos sentidos posibles; un positivo y un        Velocidad constante.- Una velocidad es
negativo.                                               constante, si su módulo y dirección no cambian a
                                                        través del tiempo.
Vector posición(x): Es la ABCISA u
ORDENADA en la que se halla el móvil. Puede ser         Aquí: v  vm
positiva o negativa.

  │                 │       │                           MOVIMIE<NTO RECTILINEO
                                            x(m)
 x1  5          x0      x2  2                       UNIFORME (MRU)
                                                        Movimiento de un móvil a lo largo de una
 = -5
             x1  5         x2  2                     trayectoria recta con velocidad constante en el
                                                        tiempo. Es decir el móvil con MRU recorre
                            x2 = 2                      distancias iguales en tiempos iguales.
Desplazamiento (∆ x): Es el cambio de
posición                                                Leyes del MRU.-
           x  x  x0                                  1era: En el MRU la velocidad es constante.
Donde x0 es la posición inicial y x es la posición      v = cte.
final. x puede ser positivo o negativo.
                                                        2da: En el MRU, los espacios recorridos son
                                                        directamente proporcionales a los intervalos de
Ejemplo 1:                                              tiempo o a los tiempos empleados en recorrerlos.
       │          │       │                              e              e d
                                                            cte. v             * t  t f  t i
                                           x(m)          t               t t
x1  3           x0    x2  2
= -5                                                    GRAFICAS DE LAS LEYES DEL MRU
  x  x2  x1 ,entonces Δx  2  (3)  5m
                                                        1era Ley              e
                                                                                                    e = f (t)
Ejemplo 2:

       │          │           │                                           e
                                           x(m)                                                 v = tg θ
x6  3        x  0 x5  3
                                                                                    θ
                                                                                                           t
= -5
  x  x6  x5 , entonces Δx  3  (3)  6m                                                 t


Velocidad media (v m ).-Cantidad vectorial
sobre la recta del movimiento, definida como el         2da Ley               v
cociente del desplazamiento x , sobre el intervalo
de tiempo t  t  t0 , donde t0 es el tiempo inicial                                            v = f (t)
y t es el tiempo final.
                                                                          v             Area = v.t = e
        x x  x0
 vm                                                                                               t
        t t  t0                                                                 1 2 3 4
                                                                                        t
Si el tiempo inicial es 0, tendremos:
 x  x0  vm .t
- 12 -

Unidades de velocidad.- (m/s); (km/h): (cm/s):              B)
(pie/s): (pulg/s); etc.                                                                200m
                                                                 v1 = 10 m/s                                   v2 = 15 m/s
                                         2      2                 A             A           B                   B
Unidades de aceleración.- (m/s ); (pie/s ); etc.
                                                                            e1                     e2
EJEMPLOS:
                                                            e1  e2  200  1200
1.- Calcular la velocidad en m/s, de un móvil que se
desplaza en línea recta y recorre 5 km en 4 min.            10t 15t  200  1200

Solución                                                    25t = 1400; de donde:

5 km = 5000 m ; 4 min = 240 s                               t = 56 s (máximo)

     e 5000 20,83 m/s                                       C)
v        
     t 240
                                                                   A                    E                             B
2.- Calcular el tiempo que utiliza un móvil con                             e1                           e2
MRU, en recorrer 7 km, si tiene una velocidad de
25 m/s.                                                     e1 + e2 = 1200

Solución                                                    10t + 15t = 1200
                  e       7000
7 km = 7000 m; v  ; 25 
                  t         t                               t = 48 s
t  280 s  4,67 min  0,08 h
                                                            4.- Dos móviles pasan por un punto O, al mismo
                                                            tiempo. El punto O se encuentra a 400 m de un
3.- Dos móviles se encuentran inicialmente                  punto P. Si los dos móviles se desplazan en el
separados por una distancia de 1200m. Si viajan             mismo sentido, hacia P, con velocidades constantes
uno al encuentro del otro, y parten al mismo                de 25 m/s y 55 m/s. ¿Al cabo de que tiempo los dos
tiempo, con velocidades constantes de 10 m/s y 15           móviles equidistan del punto P?.
m/s. Determinar: A) El tiempo mínimo que tardan
en estar separados por 200m. B) El tiempo máximo            Solución
que tardan en estar separados por 200m.
 C) el tiempo que tardan en cruzarse.                                             400 m
                                                                                                   x           x
Solución                                                            O                    A             P              B
                                                                        
                                                                                 e1
   v1 = 10 m/s            200m                v2 = 15 m/s                                     e2
    A             A                  B         B
                                                 
                                                                                      t OA  t OB  t
             e1                          e2
                                                            e1  400  x                       e2  400  x

A)                                                          e1  e2  800                      v1.t OA  v2 .t OB  800
t1 = t                t2 = t
                                                            15t + 55t = 800;
e1 = v1.t1            e2 = v2.t
                                                            De donde t = 10 s
e1  e 2 200  1200

v1.t1 + v2.t2 + 200 = 1200
                                                            Velocidad promedio ( v p ).-Se define como el
10t 15t  200  1200                                       cociente de la longitud de la trayectoria (e) entre el
                                                            tiempo empleado. Su dirección es tangente a la
25t = 1000            t = 40 s (mínimo)                                                                        e
                                                            trayectoria en cualquier punto.             vp 
                                                                                                               t

                                                            Para varios tramos con MRU y MRUV.
                                                                                                                       - 13 -

                                                      2da.- En todo MRUV, los espacios recorridos son
       e e1  e 2  e3  ...  e n e total            directamente proporcional a los cuadrados de los
vp                                                                                e
       t t1  t 2  t 3  ...  t n   t total         tiempos transcurridos.             cte (a)
                                                                                     t2
Para un solo tramo con MRUV.                          GRAFICA DE LAS LEYES DEL MRUV


         v  v e                                     1era Ley                   a
vp            
           2     t                                                                                      a = cte

Aceleración media ( am ): Cambio de                                                                           t
                                                                                      0 1 2 3
velocidad por unidad de tiempo.

                  t0                                     2da Ley
                                    t
     │            │                     │                                                      e
                                            x(m)
       0         x0     x            x                  t (s)      e (m)                        9
                                    v                        0          0
                 v0                                          1          1                          4
                                                                                                   1
                                                             2          4
                                                             3          9                              0 1 2 3             t
       v v  v0
am      
       t t  t0
                                                      Gráfica v” vs “t”
Haciendo t0  0 , tenemos:                                                                 y
                                                                                                                  C




                                                                                           7 9
v  v0  am .t                                           t (s)      v(m/s)
                                                           0          3


                                                                                           5
                                                           1          5                                                v
Aceleración instantánea (a): Es la                                                          A
                                                                                           3
                                                           2          7
aceleración media en un intervalo de tiempo                                           vo                          B
                                                           3          9
infinitamente pequeño ( t  0 ) en torno a un                                             O
                                                                                                 0      1    2                 t
instante t .                                                                                     3
           v                                                                                v  v        
a lím0                                              Área del trapecio AOBC =                             t
   t
           t                                                                                2             
                                                                        v  v 
                                                      Se tiene: e             t                          e = área
Aceleración constante ( ( am  a ) : La                                 2 
aceleración no varía en el transcurso del
desplazamiento y del tiempo.

MOVIMIENTO RECTILINEO                                 FORMULAS DEL MRUV
UNIFORMEMENTE VARIADO                                               v  v0                                   1
(MRUV)                                                   (1)   a                       (2)        e  v t  at 2
                                                                       t                                     2
Un móvil tiene MRUV, cuando recorre una
trayectoria recta, y su velocidad aumenta o                         v 2  v 2                            v  v     
disminuye en cantidades iguales, durante intervalos      (3) e                         (4) e                       t
de tiempo iguales.
                                                                        2a                                2          
La aceleración del móvil es constante.
                                                      * Si v  v            a (+):     Si v  v                 a ()
Leyes del MRUV
                                                      EJEMPLOS:
1era.- En todo MRUV, la aceleración ( a )
permanece constante.     a = cte.                     1.- Calcular la aceleración de un móvil con MRUV,
                                                      si en 5 s aumenta constantemente su velocidad
                                                      desde 10 m/s hasta 80 m/s.
- 14 -

Solución                                                         c) Entre O y A:

Datos                                                            vo = 0     a = 5 m/s2    v A  25 m/s        e=?

A=?        vo = 10 m/s        v = 80 m/s       t=
                                                                      v A 2  v 2           252  02
   v  v0              80  10                                   e                     e               e = 62,5 m
a                  a                                                     2a                 2  5
      t                   5
                 a = 14 m/s2
2.- ¿Qué espacio recorre un móvil con MRUV, en                   4.- Un móvil viaja de una ciudad A hasta otra B, a
10 s, si tiene inicialmente una velocidad de 24 m/s              una velocidad constante de 100 km/h. Luego
y empieza a acelerar a razón de 5 m/s2. Además                   regresa desde B hacia A a una velocidad constante
cuál es su velocidad al final de ese tiempo?                     de 60 km/h. Determinar la velocidad promedio de
                                                                 todo el trayecto.
Solución
                                                                 Solución
Datos
                                                                 v1 = 100 km/h ; v2 =60 km/h
            t = 10 s     vo = 24 m/s
                     2                                                e total   2e
            a = 5 m/s e = ¿? v = ¿?                              vp          
                                                                      t total t1  t 2
                                 1 2
Para el espacio: e  v t         at                                            e            e
                                 2                               Y como: t1           ; t2 
                    5
                                                                                 v1           v2
e   24 10       10   240  250  490m
                           2

                    2
                                       v  v0                               2e         2v1 .v 2 2.100.60
                                  a                             vp                          
Para la velocidad final (v):
                                          t
                                                                          e e
                                                                                      v1  v 2 100  60
     v  24                                                               v1 v 2
5          ; v  24  50 ; v  74 m/s
       10                                                        VP  75km / h

3.- Un móvil triplica su velocidad entre dos puntos              5.- Un avión recorre, antes de despegar, una
A y B, recorriendo una distancia de 500 m durante                distancia de 1800 m en 12 segundos. Con MRUV.
10 s. Determinar:                                                Calcular la distancia recorrida en el duodécimo
a) La velocidad en el punto A.                                   segundo.
b) La aceleración del trayecto.
c) El espacio recorrido entre el punto de partida y el           Solución
punto A.                                                         Datos

Solución                                                         vo = 0     e = 1800 m        t = 12 s     e12 =?
                                                                                          1
 vo = 0                  v A = ¿?                   v B  3v A   Cálculo de a:         e  at 2
                                                                                          2
          a = cte                    a = cte
                                                                                 a
                                                                 e12  v          2n  1 ;  n  12 
 O            e OA       A           t AB  10 s         B                       2
                                                                        1
                                                                 1800    a 12  a = 25 m/s2
                                                                                 2
Operaciones
                                                                        2
a) Entre A y B                  b) Entre A y B:                  Cálculo de e:
     e v  v
                               v A  25 m/s                              25
     t   2                                                       e12         23  287,5 m
                                                                          2
   e v A  3v A              v B  75 m/s
     
   t     2                            v  vA                     MOVIMIENTO DE CAIDA DE
                                   a B
                                          t                      LOS CUERPOS
     500 4vA                         75  25                     Movimiento realizado por los cuerpos que son
        =                       a
     10   2                            10                        dejados caer, o son lanzados, desde cierta altura
                                                                 sobre la superficie terrestre.

v A  25 m/s
                                               2
                                a = 5 m/s
                                                                                                      - 15 -

CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS                             El tiempo para el ascenso, es igual al tiempo que
Se realiza en el vacío, es decir en ausencia de aire   demora en descender a la misma altura.
(TUBO DE NEWTON).                                      * Si es dejado caer, la velocidad inicial del cuerpo
Leyes de la caída libre                                es 0. Si es disparado hacia abajo, su velocidad
                                                       inicial es  de 0.
1era.- “En el vacío todos los cuerpos caen con la
misma velocidad, cualquiera sea su naturaleza o        EJEMPLOS:
peso”
2da.- “Los espacios recorridos son proporcionales      1.- Un cuerpo es dejado caer desde una altura “h”.
a los cuadrados de los tiempos empleados en            Si se considera despreciable la resistencia del aire,
recorrerlos”                                           y el cuerpo demora eb llegar al suelo 5 segundos;
                                                       Calcular “h” y la velocidad con la que choca con el
CONSIDERACION PARA LA CIDA LIBRE                       suelo. (g = 9,8 m/s2)

─ Despreciando la resistencia del aire, todos los      Solución
cuerpos dejados caer desde una misma altura,           Datos
                                                                  vo = 0 v = ?           h=?
llegan al mismo tiempo a la Tierra.
                                                                  g = 9,8 m/s2           t=5s
─ La caída libre de los cuerpos se considera como      Fórmulas y ecuaciones
un MRUV, siendo la aceleración, la producida por
                                                                   1          1
                                                        h  v t  gt 2  0   9,8  5   122.5m
la atracción gravitacional de la Tierra.                                                  2

                                                                   2          2
─ El valor de esta aceleración:                              v  v0            v  v
a) Depende del lugar donde se mida.                     g              9,8          ; v = 49 m/s
                                                                 t                5
b) Su valor disminuye a medida que aumente la          2.- Un cuerpo es disparado verticalmente hacia
distancia al centro de la Tierra.                      abajo, con una velocidad de 10 m/s. Si se desprecia
                                                       la resistencia del aire, y demora en caer 5 segundos.
c) En los polos: g = 9,8 m/s2                          Calcular la altura desde donde fue disparado y la
                                                       velocidad al chocar con el suelo. ( g = 10 m/s2)
En el Ecuador: g = 9,79 m/s2
                                                       Solución
                             2
PROMEDIO: g = 9,80 m/s ó g = 32 pies/s         2       Datos
                                                       vo = 10 m/s       v=? h=?
FORMULAS DE LA CAIDA LIBRE                             g = 10 m/s2       t=5s
                                                       Fórmulas y ecuaciones
Son similares a las fórmulas 1) ; 2) ; 3) ; del
MRUV, de la página 22.                                      v  v0             v  10
                                                       g                10          ; v = 60 m/s
                                                               t                  5
Hacemos cambio de las letras, así:
                                                                 1              1
                                                       h  v t  gt 2  10.5  10  5   175m
                                                                                          2
a = g ; e = h , y tenemos:
                                                                 2              2
           v  v0                     1
(1)   g              (2)   h  v t  gt 2            3.- Un cuerpo es disparado verticalmente hacia
              t                       2                arriba, con una velocidad de 50 m/s. Si las
                                                       condiciones son las mismas de los ejemplos 1) y 2),
           v 2  v 2          v  v                y g = 10 m/s2. Calcular:
(3) h                (4) g             t           a) El tiempo que permanece en el aire.
               2g              2         
                                                       b) La altura máxima que alcanza.
MOVIMIENTO COMPLETO DE
CAÍDA LIBRE                                            c) Su velocidad y altura a los 3, 5, 10 y 12
Efectúan los cuerpos lanzados verticalmente hacia      segundos; después del disparo.
arriba desde la superficie terrestre, con una
velocidad inicial.                                     Solución
Cuando asciende g se le considera negativa y           Datos
cuando desciende, positiva.
A la misma altura, en el descenso o ascenso, el        Para el ascenso            Para el descenso
valor numérico (magnitud) de la velocidades el
mismo.                                                 vo = 50 m/s                vo = 0
                                                       v=0                        v = -50 m/s
- 16 -

g = -10 m/s2              g = 10 m/s2                  Solución
t=?                       t=?                                                   A                   B
h=?                       h=?

a) Movimiento de ascenso
                                                                  hA                    t
      v  v0          0  50
   g         ; 10         t=5s                                                               t
         t               t                                                                              hB
En el aire permanece 10 s                                                         78,4 m

b) En el movimiento de ascenso
                                                       v  0
                                                        A
                                                                            vB  16.6 m/s
          1             1
h  v t  gt 2  50.5  10  5   125m
                                   2

          2             2                              h B  h A  78, 4 m
c) Suponiendo que en todos estos tiempos, el
cuerpo va ascendiendo. El signo de los resultados
                                                             1      1
permitirá las correcciones.                            v t  gt 2  gt 2  78, 4
                                                        A

                                                             2      2
A LOS 3 SEGUNDOS
          v  v0                    1                  19,6t  78, 4         t= 4s
   g                     h  v t  gt 2
             t                      2
        v  50                         1               5.- desde que altura “h” en pies, se debe dejar caer
10                      h  50.3      10  3
                                                   2
                                                       un cuerpo para que tarde 5 segundos en recorrer 5/9
          3                            2
                                                       de “h”.
  v = 20 m/s              h = 105 m                    Solución
                                                                        A

                                                                4/9 h             t-5
LOS 5 SEGUNDOS
                                                                        B
                                                        h                                   t
   v  v0                           1
g                        h  v t  gt 2                       5/9 h            5
      t                             2
v= 0                      h = 125 m                                     C

A LO9S 10 SEGUNDOS                                     Entre A y C:         v  0
                                                                             A


     v  v0                         1                                   1
                                                       h AC  v .t AC  g  t AC 
                                                               A                    2
g                        h  v t  gt 2
        t                           2                                   2
v = −50 m/s               h=0                          h AC  16t 2
                                                                            (1)

A LOS 12 SEGUNDOS                                      Entre A y B:
                                                                        1
                                                       h AB  v .t AB  g  t AB 
                                                               A                    2
   v  v0                           1
g                        h  v t  gt 2                               2
      t                             2
v = 70 m/s               h = 120 m                   4                    1            4   1
                                                         h AC  0  t  5  g  t  5 ; h  32  t  5
                                                                                       2                  2

                                                       9                    2            9   2

* El cuerpo está cayendo por debajo del nivel de        4
                                                          h  16  t  5 …….. (2)
                                                                           2
disparo.
                                                        9
                                                                     4
                                                       (1) en (2): h  16  t  5
4.- Dos cuerpos A y B, inicialmente se encuentran a                                2

la misma altura. Si en el instante en que A se deja                  9
caer, B se lanza verticalmente hacia abajo con una
velocidad de 19,6 m/s. ¿Al cabo de que tiempo
                                                        4
                                                        9
                                                          16t 2   16  t  52 t = 15 s
ambos cuerpos estarán separados por una distancia
de 78,4 m? (g = 9,8 m/s2)
                                                       h  16t 2  16.152  3600 pies
PROFESOR MIGUEL AGIP MEGO

				
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posted:5/20/2012
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