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Document Sample
Límites y continuidad
Cálculo 1
Razones de cambio y límites
La rapidez promedio de un móvil es la distancia recorrida
durante un intervalo de tiempo dividida entre la longitud del
intervalo.
Ejemplo 1
Una piedra cae desde una altura de 50 metros. ¿Cuál es la rapidez
promedio durante a) los 2 primeros segundos de la caída y durante b) 1
segundo del segundo 1 al segundo 2?
La caída esta gobernada por la siguiente ecuación
y = 5.1 t2 m
y 5.12 5.10
2 2
a) los primeros 2 segundos: 10 .2 m/s
t 20
y 5.12 5.11
2 2
b) del segundo 1 al 2: 20 .4 m/s
t 2 1
Ejemplo 2
Hallar la rapidez de la piedra en t = 1 y en t =2.
y 5.1t0 h 5.1t0
2 2
La rapidez promedio en el intervalo [t0 , t0 + h] es
t h
Como no se puede dividir entre 0, hacemos h = 1, 0.1, 0.01, 0.001 y 0.0001 y
obtenemos la siguiente tabla
Rapidez promedio en Rapidez promedio en
Longitud del un intervalo de tiempo un intervalo de
intervalo de de longitud h, tiempo de longitud h,
tiempo h empezando en t0 = 1 empezando en t0 = 2
1 15.3 25.5
0.1 10.71 20.91
0.01 10.251 20.451
0.001 10.2051 20.4051
0.0001 10.20051 20.40051
Los valores tienden a 10.2 en t = 1 y 20.4 en t =2.
Rectas secantes
La razón de cambio promedio de y = f(x) con respecto a x en el intervalo [x1, x2]
es
y y = f(x)
y f x2 f x1 f x1 h f x1
t x2 x1 h
Q(x2,f(x2))
secante y
P(x1,f(x1))
x
x
x1 x2
Límites de funciones
x2 1
Analicemos la función: f x
x 1
La función está definida para toda x diferente de 1.
Podemos simplificar la función de la siguiente manera:
x 2 1 x 1 x 1
f x x 1 x1
x 1 x 1
y y
2 2
x2 1
1 y f x 1 y=x+1
x 1
–1 –1
0 0 1 x
1 x
Valores de x menores y
x2 1
mayores 1ue 1 f x x 1 x 1
x 1
0.9 1.9
1.1 2.1
0.99 1.99
1.01 2.01
0.999 1.999
1.001 2.001
0.999999 1.999999
1.000001 2.000001
Decimos que f8x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.
x2 1
lim f x 2 o lim 2
x 1 x 1 x 1
Definición informal de límite
Sea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si
f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se
dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe
lim f x L
x0 1
y y y
2 2 2
1 1 1
–1 –1 –1
0 1 x 0 1 x 0 1 x
x2 1 x2 1
a) f x c ) h x x 1
x 1 b) g x x 1 , x 1
1, x 1
Funciones sin límite en un punto
1
Crece demasiado 0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
, x0
-0.2
b) y x -0.4
0, x 0
-0.6
-0.8
-1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
y
0, x 0
10
0, x 0 c) y
8
1
b) y 6
sen , x 0
1, x 0 4
x
2
0
La función salta -2
-4
Oscila demasiado
-6 x
-8
-10
-3 -2 -1 0 1 2 3
Ejercicio
Encontrar y
y = g(x)
lim g x
x 1 1
lim g x
x 2 1 2 3
x
lim g x
x 3
Tarea #9
Haga una tabla con los valores de g(x) en los puntos –5.9, –5.99, –5.999, ... y para –6.1,
–6.01, –6.001, ... ¿Cual es el limx–6 g(x)?
x6
g x
x 2 4 x 12
Haga tablas con los valores de G en valores de t que se aproximan a t0 = 0 por arriba
y por abajo. Luego estime limt0 G(t).
Gt
1 cost
t2
Reglas para calcular límites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son
números reales)
1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL
por una constante
5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M 0
6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n
Límites de Polinomios
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del
denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces
limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
Eliminación de denominador cero
Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos
casos simplificar la fracción y calcular el límite.
x2 x 2
lim
x 1 x2 x
2h 2
lim
h 0 h
Teorema del emparedado
supóngase que g(x) f(x) h(x) para toda x en algín intervalo abierto que contenga a c,
excepto posiblemente en x = c. Supóngase tambien que
lim g x lim hx L
x c x c
Entonces lim f x L y
x c
h
f
L
g
c x
ejemplos
y2
lim
y 5 5 y
5
lim
h 0 5h 4 2
x 2 3 x 10
lim
x 5 x5
x 1
lim
x 1 x3 2
Uso del teorema del emparedado
Demostración del límite de sen(q)/q cuando q tiende a 0
De la figura se ve que:
sen q q tan q
T
Dividiendo entre sen q :
1 q /sen q tan q / sen q = 1/cos q 1
P
Invirtiendo cada término
1 sen q / q cos q tan q
1
Tomando el límite
limq0 1 limq0 sen q / q limq0 cos q sen q arco de longitud q
pero q
cos q
limq0 cos q = 1 O Q A(1, 0)
Por el teorema del emparedado limq0 sen q/q = 1
Límites de razones de cambio
En cálculo aparecen límites de la forma:
f x h f x
lim
h 0 h
Ejemplo:
Sea f(x) = x2 encuentre el límite de la razón de cambio en x = –2
f x h f x x h x 2 lim 2hx h 2 lim 2 x h 2 x
2
lim lim
h 0 h h 0 h h 0 h h 0
Sustituyendo valores
f x h f x
lim 2 2 4
h0 h
Tarea #10
y2 f x h f x
lim 2 lim
y 2 y 5 y 6 h 0 h
Evalúe el límite de la razón de cambio para:
4x x 2
lim f(x) = 3x – 4, x = 2
x 4 2 x
2x 4
lim
x 2 x 3 2 x 2
f(x) = 1/x , x = –2
x2 8 3
lim
x 1 x 1
Valores objetivo
Control de una función lineal
¿Qué tan cerca de x0 = 4 debemos mantener el valor de entrada x para estar
seguros de que el resultado de y = 2x – 1 a menos de 2 unidades de y = 7?
Para que valores de x es | y – 7 | < 2
y y = 2x – 1
| y – 7 | = | (2x – 1) – 7 | = | 2x – 8 |
o | 2x – 8 | < 2
Cota superior
Para controlar
9
Resolviendo
7
3<x<5 o –1 < x – 4 < 1
esto
5
Cota inferior
3 4 5 x
Restringe esto
ejemplo
¿Por qué las marcas de una taza de medir de un litro miden alrededor de un milímetro de ancho?
Si la taza es un cilindro circular recto de 6 cm de radio, el volumen es
V = p62h = 36ph
¿Con qué precisión se debe medir h para
medir 1 L(1000 cm3) con un error no r = 6 cm
mayor de 1% (10 cm3)?
Para que valores de h se satisface
| V – 1000 | = | 36ph – 1000 | 10
| 36ph – 1000 | 10 h
–10 36ph – 1000 10
990 36ph 1010
990 /36p h 1010 /36p
8.8 h 8.9
8.9 – 8.8 = 0.1 cm = 1 mm
Proceso del cálculo de un límite
y = f(x) y = f(x)
L +1/10 L +1/10
L L
L–1/10 L–1/10
O x0 O x0+d1/10 x0 x0+d1/10
hacer que | f (x) – L| < e = 1/10 Respuesta: | x – x0 | < d1/10 (un número)
y = f(x) y = f(x)
L +1/100 L +1/100
L L
L–1/100 L–1/100
O x0 O x0+d1/100 x0 x0+d1/100
hacer que | f (x) – L| < e = 1/100 Respuesta: | x – x0 | < d1/100
y = f(x) y = f(x)
L +1/1000 L +1/1000
L L
L–1/1000 L–1/1000
O x0 O x0+d1/1000 x0 x0+d1/1000
hacer que | f (x) – L| < e = 1/1000 Respuesta: | x – x0 | < d1/1000
y = f(x) y = f(x)
L +1/1000000 L +1/1000000
L L
L–1/1000000 L–1/1000000
O x0 O
x0+d1/1000000 x0 x0+d1/1000000
hacer que | f (x) – L| < e = 1/1000 Respuesta: | x – x0 | < d1/1000000
Definición de límite
Sea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente en x0.
Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x0 y escribimos
lim f x L
x x0
si, para cada número e > 0, existe un número correspondiente d > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < d | f(x) – L | < e
Como encontrar una d
Cómo encontrar algebraicamente una d para f, L, x0, y e > 0 dados
Para hallar una d > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < d | f(x) –L | < e
Deben seguirse dos pasos
Paso1. Resolver la desigualdad | f(x) –L | < e para encontrar un intervalo abierto (a,
b) alrededor de x0, en el cual se cumpla la desigualdad para toda x ≠ x0.
Paso 2. Hallar un valor d > 0 que haga que el intervalo abierto (x0 – d, x0 + d) con
centro en x0 esté contenido en (a, b). La desigualdad | f(x) –L | < e se cumplirá para
toda x ≠ x0 en este intervalo determinado por d.
Tarea #11
Hallar una d > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < d | f(x) – L | < e
Dados
f(x) = 2x – 2, L = – 6, x0 = – 2, e = 0.02
f(x) = 19 – x , L = 3, x0 = 10, e = 1
Paso1. Resolver la desigualdad | f(x) –L | < e para encontrar un intervalo abierto (a,
b) alrededor de x0, en el cual se cumpla la desigualdad para toda x ≠ x0.
Paso 2. Hallar un valor d > 0 que haga que el intervalo abierto (x0 – d, x0 + d) con
centro en x0 esté contenido en (a, b). La desigualdad | f(x) –L | < e se cumplirá para
toda x ≠ x0 en este intervalo determinado por d.
Demostración de teoremas
Regla para el límite de una suma
Dado que lim xc f(x) = L y limxc g(x) = M, demostrar que
lim xc (f(x) + g(x)) = L + M
Sea e > 0, se quiere hallar un número positivo d tal que para toda x
0 < | x – x0 | < d | f(x) + g(x) – (L + M)| < e
Reagrupando
| f(x) + g(x) – (L + M)| = | (f(x) – L) + (g(x) – M)|
≤ | f(x) – L | + |g(x) – M |
Ya que limxc f(x) = L, Existe d1 > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < d1 | f(x) – L | < e/2
Análogamente
0 < | x – x0 | < d2 | g(x) – M| < e/2
Sea d= min(d1, d2) por lo tanto
| f(x) + g(x) – (L + M)| < e/2 + e/2 = e
Esto muestra que
lim xc (f(x) + g(x)) = L + M
Límites por un lado
Definición informal de límite por la izquierda y límite por la derecha
Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está
arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos
que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos
lim f x L
xa
Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está
arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos
que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos
lim f x M
x a
Límites por un lado y bilaterales
Una función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo si tiene límites por la
derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales:
Limx c f (x) = L Limx c– f (x) = L y Limx c+ f (x) = L
y Ejemplo
lim f x 1
y = f (x)
2 x 2
1 lim f x 1
x 2
x
0 1 2 3 4
lim f x lim f x lim f x f 3 2
lim f x 1 x3 x 3 x 3
x 0
lim f x y lim f x no existen lim f x 1
x 0 x 0
x 4
lim f x 0 lim f x y lim f x no existen
x 1
x 4 x 4
lim f x 1
x 1
lim f x no existe
x 1
lim f x 1
x 2
Tarea #12
¿cuáles límites son verdaderos y cuales son
falsos?
lim f x 1 g) lim f x 0
a) x 1
x 0
lim f x lim f x
b) lim f x 1 h) x 0 x 0
x 0
c) lim f x existe i) lim f x 0
x 0
x 0
d) lim f x 1 j) lim f x 1
x 1
x 0
e) lim f x 0
k) lim f x 2
x 1 x 2
f) lim f x no existe l) lim f x 2
x 1 x 2
Límites infinitos
Si el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo,
se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.
lim f x
x c
Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de
cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito
negativo.
lim f x
x c
Ejemplos
y
10
1
8
6 lim
4
y = 1/x x 0 x
2
0
-2 x
1
-4
-6 lim
-8 x 0 x
-10
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
6
1
lim
x 1
4
y = 1/(x – 1) x 1
2
0
x 1
-2 lim
x 1 x 1
-4
-6
-2 -1 0 1 2 3
y
25
1
lim 2
20
x 0 x
15
1
y
x2
10
1
lim 2
5
x 0 x
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
25
1
lim
20 x 3 x 32
1
y
15
x 32
10
1
lim
5
x 3 x 32
0
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
Límites de funciones racionales
x 22 lim
x 22 lim x 2 0 lim
x 3
lim
x 3
x 2 4 x2 x 2x 2
lim
x2 x2 4 x 2 x 2 x 2 x2 x 2 x 2
x2 x2 x 3 x 3
lim lim
1
1 lim lim no existe
lim 2
x2 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 4
x 2 x 2 4 x2 x 2x 2
x 3 x 3 2 x x 2 1
lim lim lim lim
lim 2
x 2 x 4 x 2 x 2 x 2
x2 x 23 x2 x 23 x2 x 22
Definición formal de límite
Límite por la derecha
lateral
Decimos que f(x) tiene un límite por la derecha L en x0, y escribimos
lim f x L
x x0
Si para cada número e > 0 existe un número d > 0 tal que para toda x
x 0 < x < x0 + d | f(x) – L | < e
Límite por la izquierda
Decimos que f(x) tiene un límite por la izquierda L en x0, y escribimos
lim f x L
x x0
Si para cada número e > 0 existe un número d > 0 tal que para toda x
x 0 – d < x < x0 | f(x) – L | < e
Definición formal de límites
Límites infinitos
infinitos
Decimos que f(x) se aproxima a infinito cuando x tiende a x0, y escribimos
lim f x
x x0
Si para cualquier número real positivo B existe un número d > 0 tal que para
toda x
0 < | x – x0 |< d f(x) > B
Decimos que f(x) se aproxima a menos infinito cuando x tiende a x0, y
escribimos
lim f x
x x0
Si para cualquier número real negativo –B existe un número d > 0 tal que
para toda x
0 < | x – x0 |< d f(x) < –B
Continuidad
Continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si
lim f x f c
x c
Ejemplos
y
y = f(x) y = f(x)
1 1
0 x x
0
y
y
2 y = f(x)
1
y = f(x)
1
x
0 x
25
20
y f x
1
x2
15
10
5
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
Tipos de discontinuidades
y x Discontinuidad escalonada
1
y sen Discontinuidad oscilante
x
1
y Discontinuidad infinita
x2
x2 2
y Discontinuidad removible
x 2
Continuidad en los extremos
Una función f es continua en el extremo izquierdo x = a de su dominio, si
lim f x f a
xa
Una función f es continua en el extremo derecho x = b de su dominio, si
lim f x f b
x b
y = f(x)
a c b
Criterio de continuidad
Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres
condiciones siguientes:
1. f(c) existe (c está en el dominio de f)
2. Limx c f(x) existe (f tiene un límite cuando xc)
3. Limx c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)
Ejemplo
y
y = f (x)
2
Continua
1
x
0 1 2 3 4
Discontinua
Reglas de continuidad
Teorema 6
Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones son
continuas en:
1. f + g y f – g
2. f g
3. kf, donde k es cualquier número
4. f/g (si g(c) ≠ 0)
5. (f(c))m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n son
enteros)
Continuidad de polinomios
Teorema 7
Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional
es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero.
Ejemplo:
f x x 4 20
r x
g x 5 x x 2
Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2.
La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si x>0 y
f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y además limx0| x | = 0.
Continuidad de la composición
Teorema 8
Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f es continua en c.
g°f
Continua en c
f g
Continua en c f (c) Continua en f(c) g(f (c))
Ejemplos
x3
y
x 2 3x 10
1 x2
y
x 1 2
x2
y
cos x
x4 1
y
1 sen 2 x
Tarea #14
Diga si la función es continua y porque en x = –1 , 0, 1 y 2.
1
-1 0 1 2
¿En qué puntos son continuas las siguientes
funciones?
x 1 x tan x
y
a) y 2 b) y x 1 sen x c) x2 1
x 4x 3
Extensión continua en un punto
Para una función racional f(x), si f(c ) no está definida, pero limxc f(c ) = L, se
puede definir una función F(x) usando la regla
f(x) si x está en el dominio de f
F(x) =
L si x = c
Ejemplo:
x2 x 6
f x
x2 4
Se puede simplificar en:
x 2 x 6 x 2 x 3 x 3
f x
x2 4 x 2x 2 x 2
Que es continua en x = 2
Teorema del valor intermedio
Teorema 9
Suponga que f(x) es continua en un intervalo I, y que a y b son dos puntos en I.
Entonces, si y0 es un número entre f(a) y f(b), existe un número c entre a y b tal que
f(c) = y0. y
f(b)
f(c)
f(a)
0 a b c x
Consecuencias del teorema del
valor intermedio
Conexidad
La gráfica de una función continua no debe tener salto, debe ser conexa, una curva
ininterrumpida.
Búsqueda de raíces
Una raíz es una solución a la ecuación f(x) = 0. Si el valor de la función f(x) cambia
de signo en algún intervalo, entonces debe tener una raíz dentro del intervalo.
Ejemplos
Definir g(3) de modo que extienda a g(x) = (x2 – 9)/(x – 3) y sea continua en x = 3.
Definir g(4) de modo que extienda a g(x) = (x2 – 16)/(x2 – 3x – 4) y sea continua en
x = 4.
Explicar por qué la ecuación cos x =x tiene al menos una solución
Demuestra que la ecuación x3 – 15x + 1 = 0 tiene 3 soluciones en el intervalo [-4,
4].
Dar un ejemplo de funciones f y g, ambas continuas en x = 0, para las cuales la
composición f ° g sea discontinua en x = 0. ¿Contradice el teorema 8?
Tarea #15
¿Para que valor de a, f(x) es continua para toda x?
x2 – 1 x<3
f(x) =
2ax x≥3
Definir f(4) de modo que extienda a f(x) = (x3 – 1)/(x2 – 1) y sea continua en x = 1.
Demuestra que la función f(x) = (x – a)2 (x – b)2 + x toma el valor (a + b)/2.
Rectas tangentes
La recta L es tangente al círculo en el punto P.
La tangente es perpendicular al radio OP.
P
L
O
Definición de tangente(?)
1. L pasa por P y es perpendicular a la recta que pasa por P y por el centro de C.
2. L pasa por un solo punto de C, a saber, P.
3. L pasa por P y queda de un solo lado de C.
L C L L
C
C
P
P P
L toca un solo punto de C L es tangente a C en P, pero L es tangente a C en P, pero
toca a C en varios puntos está en ambos lados de C
