Docstoc

Bilangan Rasional

Document Sample
Bilangan Rasional Powered By Docstoc
					                                                              Smart Mathematics 2012
1. Didefinisikan suatu relasi sebagai berikut:




   Tunjukkan bahwa         merupakan relasi ekuivalen!
   Jawab:
   Misal       relasi ekuivalen, maka;
          reflektif
       Ambil             , maka;


                                                 (sifat komutatif pada )
       Jadi,     bersifat reflektif
          simetris
       Ambil                  , akan ditunjukkan:
       Jika                 , maka


                                                (sifat komutatif pada     )
                                                (sifat komutatif pada )
       Karena              , berdasarkan definisi       berarti
       Jadi,     bersifat simetris
          transitif
       Ambil                          , akan ditunjukkan:
       Jika                 , dan                  maka




       Persamaan          berdasarkan sifat komutatif pada          dapat ditulis:
                                                                                       anchasinyo@yahoo.co.id




       Dari persamaan         dan          diperoleh:




       Diperoleh:


                                                                                       1
                                                          Smart Mathematics 2012


       Jika tiap ruas dijumlahkan dengan            diperoleh:


       Dengan hokum pencoretan dpieroleh:
                  . Berdasarkan definisi , berarti:
       Jadi     bersifat transitif
       Dari ketiga sifat di atas, dapat disimpulkan bahwa         merupakan relasi ekuifalen




2. Didefinisikan operasi pada        sebagai berikut:
   Misal             dengan                dan                , maka;
   
   
   Tunjukkan bahwa kedua operasi di atas well defined
   Jawab:
      Operasi penjumlahan bilangan Rasional “Well Defined” jika:
       Untuk setiap                    dengan           dan         berlaku


       Bukti:
       Misal                                            dan              sehingga       dan
              dengan     relasi ekuifalen di .




       Dari persamaan          dan     diperoleh:

                                                 Sifat unsur balikan penjumlahan di I
                                                                                                    anchasinyo@yahoo.co.id




       Selanjutnya pada bilangan bulat diketahui bahwa:



                                                              Sifat perkalian dengan unsur 0 di I



                                                                                                    2
                                                      Smart Mathematics 2012
    Dari persamaan         dan    , diperoleh:

                                                                         Persamaan di

                                                                         Dari          dan
                                                                         Distributif di
    Jika Tiap ruas dijumlahkan dengan                          , maka diperoleh:


                                                                            Assosiatif di
                                                                            Distributif di
                                                                            Definisi          di
                                                                         Relasi ekuifalen di
                                                                         Operasi jumlah di
                                                                            Dari pemisalan
    Jadi, Operasi     di    Well Defined


   Operasi perkalian bilangan Rasional “Well Defined” jika:
    Untuk setiap                  dengan            dan        berlaku


    Bukti:
    Misal                                          dan              sehingga            dan
         dengan      relasi ekuifalen di .




    Jika persamaan         dan persamaan         kita kalikan, maka akan diperoleh:
                                                                                                   anchasinyo@yahoo.co.id




                                                                  Sifat assosiatif di

                                                                 Definisi         di

                                                                 Relasi ekuifalen di


                                                                                                   3
                                                              Smart Mathematics 2012
                                                                         Operasi     di
                                                                         Dari Pemisalan
       Jadi, Operasi    di      Well Defined
3. Tunjukkan bahwa unsur negatif bilangan rasional “Well Defined”
   Unsur negatif bilangan rasional “Well Defined” jika
   Untuk setiap              dengan            berlaku:

   Bukti:
   Misal               dan                 sehingga           dengan     relasi ekuifalen di .


   Jika tiap ruas pada persamaan          kita kalikan         , maka akan diperoleh:


                                                                      Sifat unsur           di
                                                                      Sifat assosiatif di
                                                                      Definisi        di
                                                                      Relasi ekuifalen di
                                                                      Dari pemisalan
   Jadi, unsur negatif di       Well Defined
4. Buktikan proposisi – proposisi berikut:
      Jika         dekat untuk semua             , maka          .
       Bukti
                dekat berarti                untuk setiap
       Dengan kontradiksi.
       Andaikan         , maka

       Pilih            , maka:
                                                                                                 anchasinyo@yahoo.co.id




       Karena                      maka                   . Berarti terdapat     sehingga

       Hal ini kontradiksi                 untuk setiap
       Jadi haruslah
               dekat jika dan hanya jika             dekat
       Bukti:


                                                                                                 4
                                                     Smart Mathematics 2012
    Dari kiri ke kanan
             dekat
                 berdasarkan sifat nilai mutlak, maka                             .
    Jadi               . Berarti        dekat
    (Dari kanan ke kiri caranya sama)
   Jika         dekat dan            dekat maka                 dekat
    Bukti:
             dekat
             dekat
    Dari kedua persamaan berdasarkan Ketaksamaan segitiga diperoleh:




    Sehingga dapat disimpulkan bahwa
                         . Berarti               dekat
   Jika         dekat dan           maka                dekat
    Bukti:
             dekat


    Jika tiap ruas dikalikan dengan      , maka diperoleh:


                                                          Sifat nilai Mutlak
                                                         Sifat distributif pada
    Sehingga dapat disimpulkan bahwa
                 dekat
   Jika         dekat maka untuk semua             berlaku          dekat
    Bukti:
                                                                                      anchasinyo@yahoo.co.id




             dekat
    Karena           , maka dapat ditulis:
                       . Berarti             .
    Jadi,            dekat


                                                                                      5
                                                                 Smart Mathematics 2012
      Misal             . Jika             dekat dan            dekat maka


       Bukti:
       Misalkan                   , maka                dimana
       Misalkan                   , maka                dimana




       Berdasarkan ketaksamaan segitiga diperoleh:




                                               . Berarti
5. Misal        dan     adalah barisan-barisan bilangan rasional. Didefinisikan sebuah relasi
   sebagai berikut:
                Untuk setiap          maka                       .
   Tunjukkan bahwa relasi           merupakan relasi ekuifalen!
   Bukti:
   Misal       relasi ekuifalen, maka:
          reflektif
       Ambil barisan bilangan rasional            , Misal            ;


       Jadi,     bersifat reflektif
          simetris
       Ambil barisan bilangan rasional             dan      Misal        , akan ditunjukkan:
                                                                                                anchasinyo@yahoo.co.id



       Jika            , maka


       Berdasarkan sifat nilai mutlak:
                                           , maka diperoleh:
                         .


                                                                                                6
                                                                   Smart Mathematics 2012
       Ini berarti             . Jadi ,    bersifat simetris
          transitif
       Ambil barisan bilangan rasional                    dan      Misal       , akan ditunjukkan:
       Jika            , dan              maka
       Misal           , pilih             dan           sehingga                    untuk           dan

                            untuk           . Maka;


                                                                                   Ketaksamaan segitiga



       Jadi                      . Berdasarkan definisi relasi, maka
6. Misal diberikan                  dan           . Didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian sebagai
   berikut:
   
   
   Bukti:
   Misal          , pilih             sehingga                      untuk setiap             dan
              sehingga                           untuk setiap         maka;

   




       Jadi,                                          untuk untuk
   Misal          , pilih             sehingga                         untuk setiap            dan

              sehingga                              untuk setiap           maka;
                                                                                                              anchasinyo@yahoo.co.id




   




                                                                                                              7
                                                                      Smart Mathematics 2012




           Jadi,                                  untuk
Soal-soal latihan
Jika                   barisan-barisan Cauchy, tunjukkan hal-hal berikut:
1. Barisan Cauchy                    terbatas
       Misalkan           barisan Cauchy. Pilih               dan          sehingga           untuk
                   .
       Misal untuk indeks                , maka:


       Maka berdasarkan ketaksamaan segitiga berlaku:


                         untuk
       Misal                                           untuk            maka;


       Jadi            adalah batas dari barisan Cauchy
2.                      adalah barisan Cauchy
       Misalkan                  adalah barisan Cauchy.
       Misalkan                                 adalah barisan Cauchy
       Misalkan            , pilih              sehingga                  , untuk     dan

                sehingga                                  , untuk               .

       Maka,                                                                                                 anchasinyo@yahoo.co.id




       Jadi,                   untuk                                . Berarti               adalah barisan
       Cauchy




                                                                                                             8
                                                              Smart Mathematics 2012
3.           adalah barisan Cauchy untuk setiap kelipatan
     Misalkan          adalah barisan Cauchy. Pilih               sehingga                untuk suatu

                 . Maka:




     Jadi,                       . Berarti       adalah barisan Cauchy
4.                 adalah barisan Cauchy
     Misalkan                adalah barisan Cauchy.
     Misalkan                          adalah barisan Cauchy
     Misalkan          , pilih          sehingga                      , untuk           dan

                sehingga                     , untuk              .

     Maka,




     Jadi,                               untuk                           . Berarti
     adalah barisan Cauchy
5. Jika barisan Cauchy             tidak ekuifalen dengan barisan , maka terdapat subbarisan
     yang jauh dari nol.
                                                                                                        anchasinyo@yahoo.co.id




     Misal         tidak ekuifalen dengan nol, maka                                       sehingga
                        . Subbarisan                    jauh dari nol.
     Bukti:
     Pilih           sehingga untuk setiap             terdapat              sehingga



                                                                                                        9
                                                                 Smart Mathematics 2012
   Pilih subbarisan              , maka subbarisan               adalah subabrisan yang diminta. Karena

   untuk setiap                  .
   Jadi, Subbarisan              jauh dari nol.

6. Jika       barisan Cauchy yang jauh dari nol , maka barisan                     juga Cauchy.

   Misal       barisan Cauchy yang jauh dari nol.

   Misal                    akan ditunjukkan bahwa               adalah barisan Cauchy.

   Misal          . Karena           barisan Cauchy yang jauh dari nol, maka terdapat                  sehingga
            untuk setiap                .
   Pilih          sehingga                           untuk             . Maka:




                                                                         untuk

   Jadi,                    . Berarti                  adalah barisan Cauchy.

7. Jika       barisan Cauchy dan              ekuivalen dengan            , maka         juga Cauchy
   Misalkan          adalah barisan Cauchy.
   Misal          . Pilih            sehingga                     untuk suatu              .

   Misal       ekuivalen dengan               ,
   Misal          . Pilih berarti            sehingga                    , untuk

   Karena          ekuivalen dengan               , berarti terdapat             untuk




                                                                             Ketaksamaan segitiga
                                                                                                                  anchasinyo@yahoo.co.id




   Jadi                     . Berarti       juga Cauchy
8. Jika       barisan terbatas dan              ekuivalen dengan          , maka         juga terbatas
   Misal       ekuivalen dengan              , maka                     . Untuk setiap         .


                                                                                                                  1
                                                                                                                  0
                                                           Smart Mathematics 2012
   Misal                          , karena             barisan-barisan Cauchy, maka            juga
   barisan Cauchy. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa                terbatas.
   Pilih       dan              sehingga                untuk              .
   Misal untuk indeks             , maka:


   Maka berdasarkan ketaksamaan segitiga berlaku:


                    untuk
   Misal                                       untuk        maka;


   Jadi        adalah batas dari barisan Cauchy

9. Tunjukkan bahwa barisan            adalah Cauchy yang ekuivalen denagn nol.

   Misal      ekuivalen dengan nol maka untuk setiap            terdapat           sehingga              .

   Misal           dan              . Pilih        sehingga                    .




   Jadi, barisan         adalah Cauchy yang ekuivalen denagn nol

10. Tunjukkan bahwa barisan            dan        adalah ekuivalen

   Misal                  dan                 adalah ekuivalen, maka untuk setiap             terdapat

           sehingga                    untuk
                                                                                                             anchasinyo@yahoo.co.id


   Misal       . Pilih                 sehingga                  untuk




                                                                                                             1
                                                                                                             1

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:190
posted:5/14/2012
language:Malay
pages:11