Docstoc

Bilangan Berpangkat 2

Document Sample
Bilangan Berpangkat 2 Powered By Docstoc
					Bab           5
                                                                    Sumber: www6.fheberswalde.de


Pangkat
Tak Sebenarnya

 Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami sifat-sifat
 bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam
 pemecahan masalah sederhana dengan cara mengidentifikasi sifat-
 sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasi
 aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk
 akar, serta memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan
 bilangan berpangkat dan bentuk akar.



Di Kelas VII kamu telah mempelajari sifat-sifat perkalian         A. Bilangan Rasional
dan pembagian bilangan bulat berpangkat bilangan bulat               Berpangkat
positif. Pada bab ini sifat-sifat tersebut akan dikembangkan         Bilangan Bulat
sampai bilangan rasional berpangkat bilangan bulat dan            B. Bentuk Akar dan
bentuk akar.                                                         Pangkat Pecahan
    Konsep-konsep bilangan berpangkat dan bentuk akar
banyak digunakan dalam bidang ilmu dan teknologi, seperti
pada contoh berikut.
    Jari-jari penampang melintang sebuah batang tumbuhan
                              5
dikotil pada musim dingin adalahx cm. Adapun pada
                              2
musim panas, ukurannya menyusut x cm. Setelah mem-
pelajari bab ini, kamu dapat menghitung penurunan luas
penampang tumbuhan dikotil tersebut pada musim panas.


                                                                                            111
                        Diagram Alur

                                            Bilangan Berpangkat

                                                      terdiri atas




       Pangkat Sebenarnya                                            Pangkat Tak Sebenarnya


                         adalah                                                     adalah


         Pangkat Bilangan
           Bulat Positif

                                                Pangkat Nol             Pangkat Bilangan                    Pangkat Pecahan
                         sifat                                            Bulat Negatif

                                                       definisi
                                                                                    definisi
 1.   am × an = am + n
      am                                     a0 = 1, a bilangan                                                                     dapat diubah
 2.      = am – n                                                                   1
      an                                     rasional dan a ≠ 0             a–n =                           sifat
                                                                                                                                    menjadi
            n                                                                       an
 3.    am       = am × n = an × m                                     a bilangan rasional,
 4.   pan + qam = an (p + qam – n)                                   a ≠ 0, dan n bilangan                                    Bentuk Akar
 5.   pan – qam = an (p – qam – n)                                        bulat positif
      pam – qan = an(pam – n – q)

                                                                                                  1
                                                                                              1   n          1
                                                                                     1.      pm       = pm       n

                                                                                              m           1
                                                                                     2.   p   n   = p   m n
                                                                                                                 =   n
                                                                                                                         pm
                                                                                                            m
                                                                                              m         1                     m

                                                                                     3.   p   n
                                                                                                  = p   n
                                                                                                                 =   n
                                                                                                                         p




                   Tes Apersepsi Awal

 Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku
 latihanmu.
 1.    Tentukan nilai dari bilangan berpangkat                               c. 32 × 3 × 33
       berikut.                                                              d. (–2)3 × (–2)2 × (–2)4
       a. 72        c. (–11)2                                          4.    Tentukan nilai dari bilangan berpangkat
       b. 13  3
                    d. (–15)3                                                berikut.
 2.    Tentukan nilai dari akar bilangan                                     a. (23)2
       berikut.                                                              b. (32)3
       a.          81            c.   3
                                          216                          5.    Selesaikan soal-soal berikut.
                                      3                                      a. (34)2 – (15)2
       b.    625    d.    512
                                                                             b. (23)2 + (23)4
 3.    Selesaikan soal-soal berikut.
       a. 53 – 22 + (–3)2
       b. 82 – 13 – (–2)3




112         Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
A. Bilangan Rasional Berpangkat
   Bilangan Bulat

1. Bilangan Rasional
Di Kelas VII, kamu telah mempelajari konsep bilangan
rasional. Agar tidak lupa, konsep tersebut akan dipelajari
kembali pada bab ini. Untuk itu, pahami kembali definisi             Tugas
bilangan rasional berikut.                                          untukmu

 Definisi 5.1                                                       Coba kamu selidiki
                                                                   apakah bilangan-bilangan
 Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat dinyatakan            berikut merupakan
                    a                                              bilangan rasional?
 dalam bentuk         , dengan a dan b adalah bilangan bulat       a. 0,5
                    b                                              b. 0,3333....
 serta b ≠ 0.                                                      c. 0,16666....
                                                                   d. 1,41421356237....
                                                                   e. 0,08080808080808....
    Bilangan 1 , 1 , 2 , – 2 , – 3 , dan – 5 merupakan bilangan
                   2 3 3   5    7       9                          f.    3
rasional karena memenuhi bentuk seperti pada Definisi 5.1.          Tuliskan hasil
                                                                   penyelidikanmu pada
                                                                   buku latihan, kemudian
2. Pengertian Bilangan Rasional                                    kumpulkan kepada
                                                                   gurumu.
   Berpangkat Bilangan Bulat Positif
Dalam kehidupan sehari-hari, kadang-kadang kamu harus
mengalikan bilangan-bilangan berikut:
3×3
5×5×5                                                               InfoMatika
(–2) × (–2) × (–2) × (–2)
(1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5)                               Pangkat dua dari suatu
    Perkalian berulang tersebut akan lebih sederhana jika           bilangan yang digit
ditulis dalam bentuk bilangan berpangkat, seperti berikut.          terakhirnya 5 dapat
                                                                    dihitung dengan rumus
3 × 3 ditulis 32 dan dibaca "tiga pangkat dua".                     n (n + 1) + 25
5 × 5 × 5 ditulis 53 dan dibaca "lima pangkat tiga".                Dalam hal ini +
                                                                    berarti angka-angkanya
(–2) × (–2) × (–2) × (–2) ditulis (–2)4 dan dibaca "negatif         didekatkan. Misalnya,
dua pangkat empat".                                                 berapa nilai dari 452?
                                                                    452 berarti n = 4
    Coba kamu tentukan bentuk bilangan berpangkat dari
perkalian berulang (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5).           4 (4 + 1)   +   25
    Penulisan perkalian berulang dalam bentuk bilangan              20 + 25 = 2025
berpangkat tersebut memperjelas definisi berikut.                    Jadi, 452 = 2025
                                                                    Dengan penalaran
 Definisi 5.2                                                        yang sama seperti
                                                                    perhitungan tersebut,
 Jika a bilangan rasional dan n bilangan bulat positif maka         hitunglah
 perkalian berulang n faktor dari a ialah                           a. 752
                                                                    b. 852
 a a a a ... a dituli a n
          .
         ..
 1   2 4 4 3
        n faktor
           a




                                                               Pangkat Tak Sebenarnya       113
                                          Pada Definisi 5.2, an disebut bilangan berpangkat dengan
      TechnoMath                     a sebagai bilangan pokok dan n sebagai pangkat (eksponen).
                                     Contoh 5.1
 Dengan menggunakan
 Calculator Scientific tipe
 FX-570W kamu dapat                  1.   Nyatakan bilangan berpangkat berikut dalam perkalian
 menentukan nilai (4,9)3
 dengan menekan tombol-                   berulang, kemudian hitunglah.
 tombol berikut secara                    a. 73               c. –(34)
 berurutan.                                                                                      3
  ( 4 • 9 ) x3
                                                                                             2
                                          b. (–3)4                                 d.
                                                                                             3
 Pada layar akan muncul
 tampilan                                 Penyelesaian:
                                          a. 73 = 7 × 7 × 7 = 49 × 7 = 343
                                          b. (–3)4 = (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = 9 × 9 = 81
 Selanjutnya, untuk                       c. –(34) = –(3 × 3 × 3 × 3) = –(9 × 9) = –81
 mengetahui hasilnya tekan                             3

 tombol =
                                                  2              2       2       2      8
                                          d.               =
 sehingga pada layar akan                         3              3       3       3      27
 muncul tampilan.                    2.   Sebuah bak mandi berbentuk kubus dan mempunyai panjang
                                          rusuk 9,2 dm. Berapa mililiter volume bak mandi tersebut?
                                          Penyelesaian:
                                          Diketahui: Panjang rusuk bak mandi (p) = 9,2 dm
                                          Ditanyakan: Volume bak mandi (V) dalam satuan mL.
   Tugas                                  V = p3 = (9,2)3 = 9,2 × 9,2 × 9,2 = 84,64 × 9,2 = 778,688
   untukmu                                Volume bak mandi itu adalah 778,688 dm3 atau 778,688 liter.
  Salin dan lengkapilah                   Diketahui 1 liter = 1000 ml sehingga
  perkalian berikut.                      778,688 liter = 778,688 × 1000 mL = 778.688 mL.
  1. 2,54 × 2,53                          Jadi, volume bak mandi tersebut adalah 778.688 mL.
      = ( 4 .. 3 ) ( 4 .. 3 )
        1 2
             ..
                   1 2
                        ..
          ... faktor    ... faktor

      = ( .. )
          ...
        142 3
           ... faktor
                                     3. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat
      = 2,5     ...

  2. Misalkan, a adalah
                                        Bilangan Bulat Positif
      bilangan rasional.
      a3 × a5                        a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat
      = ( 4 .. 3 ) ( 4 .. 3 )
             ..         ..
        1 2        1 2
          ... faktor    ... faktor
                                     Pelajari operasi hitung berikut.
      = ( 4 .. 3 )
        1 2
            ...                      33 × 32 = ( 4 2 3 ) (
                                               1           { )
           ... faktor
                                                      3 f ktor
                                                        fak                    fak
                                                                             2 f ktor
      = a ...
  Berdasarkan uraian                           = 3 3 2 4 343 3 = 33+2
                                                 1    3
  tersebut dapatkah kamu                                         a
                                                        ( 3 2 ) faktor
  menerka sifat umum
  perkalian bilangan
                                     Jadi, 33 × 32 = 33+2.
  berpangkat? Cobalah                Sekarang, lakukan Tugas untukmu di samping.
  nyatakan sifat tersebut
  dengan kata-katamu
                                          Perkalian bilangan berpangkat tersebut memperjelas
  sendiri.                           sifat berikut ini.
  Kemudian, ujilah
  dugaanmu untuk                      Sifat 5.1
  mengalikan 2 bilangan
  berpangkat sebarang.
                                      Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka
                                                              am × an = am+n


114      Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
Contoh 5.2                                                          Siapa
                                                                    Berani?
1.   a. 52 × 53 = 52+3 = 55
     b. (–2)4 × (–2)5 = (–2)4+5 = (–2)9                             Panjang rusuk sebuah
                                                                    kubus adalah 5 cm.
     c. 23 × 34 tidak dapat disederhanakan karena bilangan          Kemudian, panjang
         pokoknya tidak sama.                                       rusuk kubus tersebut
     d. 3y2 × y3 = 3y2+3 = 3y5, dengan y = bilangan rasional.       diperpanjang menjadi
                                                                    5 kali panjang rusuk
2.   Ketinggian suatu benda dapat ditentukan dengan meng-           semula. Berapa liter
                                                    1 2             volume kubus yang baru?
     gunakan rumus gerak jatuh bebas, yaitu h =       gt . Dalam
                                                    2
     hal ini h = ketinggian benda, g = percepatan gravitasi bumi,
     dan t = waktu benda sampai jatuh ke tanah. Sebuah benda
     dijatuhkan dari puncak sebuah gedung. Hasil pengukuran
     menunjukkan bahwa waktu benda sampai jatuh ke tanah
     adalah 4,9 detik. Jika percepatan gravitasi bumi di tempat      Tugas
     itu 9,8 m/det2, berapa meterkah tinggi gedung tersebut?         untukmu
     Penyelesaian:                                                  Salin dan lengkapilah
     Diketahui: t = 4,9 detik dan g = 9,8 m/det2                    pembagian bilangan
     Ditanyakan: h = ?                                              berikut.
                                                                                      4 faktor
                                                                                      ... fa or
                                                                                      .
                                                                                     6. 7 to 8
     h = 1 gt2 = 1 × 9,8 × (4,9)2 = 4,9 × (4,9)2                        6
                                                                    1. 24 = ( ... )
         2              2                                               4               ...
                                                                                     ( .. )
                                                                                      4
                                                                                     1 2 3
       = (4,9)1+2 = (4,9)3 = 117,649                                                     ... faktor

                                                                          4f 4
                                                                         6. 7 kt8r
                                                                          ... fa tor
                                                                          . faktor
                                                                                 to
                                                                                        4 fa 8
                                                                                        .. faktor
                                                                                       6.. 7 toor
     Jadi, tinggi gedung tersebut adalah 117,649 meter.
                                                                       = ( ... ) ( ... )
                                                                                     .
                                                                                 ( ... )
                                                                                   4
                                                                                  1 2 3
                                                                                         ... faktor

b. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat                                 = 1 ... = 2...
                                                                            ..
                                                                           23
                                                                            ... faktor
Pelajari operasi hitung berikut.                                    2. Misalnya, a adalah
       6   7 or 4 8
            fa
             a
          5 faktor
                4                                                      bilangan rasional.
 5                                                                             .
                                                                               ... faktor
                                                                               4 fa 8
                                                                              6. 7 to  or
3    = 3 3 3 3 3                                                        a5    ( ... )
                                                                           =
32        3 3
          {                                                             a3    ( .. )
                                                                              1 2 3
                                                                               4
                                                                                    ..
                  2 f ktor
                    fak                                                             ... faktor


                     ( 5 2 ) faktor
                             fakto
                               kt
                               kto
                                                                             . faktor
                                                                            6. 7 kt8r
                                                                             4f 4   to
                                                                             ... fa tor          .. faktor
                                                                                                6.. 7 to
                                                                                                 4 fa 8 or

       } fak 4
            6 7 8
       2 f ktor
                                                                            ( ... )             ( ... )
                                                                       =
     = 3 3 3 3 3 = 34 2 3 3 = 35–2
                   1 3                                                                 .
                                                                                    ( ... )
                                                                                     4
                                                                                    1 2 3
          3 3
          {                  a
                    ( 5 2 ) faktor                                                       ... faktor

                                                                       = 1 ... = a...
                                                                            ..
                                                                           23
                     akt
                  2 faktor                                                  ... faktor

      35                                                            Berdasarkan uraian
Jadi, 2 = 35–2
     3                                                              tersebut, coba kamu
                                                                    terka sifat umum
Selanjutnya, lakukan Tugas untukmu di samping.                      pembagian bilangan
     Pembagian bilangan berpangkat tersebut memenuhi                berpangkat. Nyatakan
                                                                    sifat tersebut dengan
sifat berikut.                                                      kata-katamu sendiri.
                                                                    Kemudian, ujilah
 Sifat 5.2                                                          dugaanmu untuk
 Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n bilangan bulat           menghitung pembagian
                m                                                   dua bilangan berpangkat
 positif maka a n = am–n dengan m > n.                              sebarang.
                        a


                                                                Pangkat Tak Sebenarnya                       115
                                                             Contoh 5.3


                                                                        37
                                                             1.   a.       = 37–4 = 33 = 27
                                                                        34
                                                                        (–5)6
                                                                  b.          = (–5)6–4 = (–5)2 = 25
                                                                        (–5)4
                                                                        2 p5
                                                                  c.         = 2p5–2 = 2p3
                                                                         p2
                                                             2.   Percepatan sentripetal dari sebuah benda yang bergerak
                                                                                                       v2
                                                                  melingkar dirumuskan as = r . Dalam hal ini as = percepatan
                                                                  sentripetal bersatuan m/det2, v = kecepatan benda bersatuan
                                                                  m/det, dan r = jarak benda ke pusat lingkaran bersatuan
                       Sumber: CD Image                           meter. Sebuah mobil bergerak di suatu tikungan yang ber-
                                                                  bentuk seperempat lingkaran dengan jari-jari 16 m. Mobil
                                                                  melaju dengan kecepatan tetap 57,6 km/jam. Berapa m/det2
                                                                  percepatan sentripetal mobil tersebut?
                                                                  Penyelesaian:
  Tugas                                                           Diketahui: r = 16 m
  untukmu                                                                              v = 57, 6 km =
                                                                                                      57.600 m
                                                                                                               = 16 m/det
                                                                                            jam
                                                                                             a          3.600 det
 Salin dan lengkapilah                                            Ditanyakan as?
 perpangkatan berikut.                                                  2    2
 1. (54)3 = 1 ...
               ..
              23                                                  as = v = 16 = 162–1 = 161 = 16
                       ... faktor                                       r              16
      = (4 .. 3 )
        1 2
            ..            ( .. )
                           4
                             ..
                          1 2 3
                                                ( .. )
                                                   ...
                                                 4
                                                1 2 3
                                                                  Jadi, percepatan sentripetalnya adalah 16 m/det2.
         ... faktor        ... faktor           ... faktor

      = 1 ...3 = 5
        42
          ...                   ... × ...


                                                             c. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat
         ... faktor

 2. Misalnya, a adalah
    bilangan rasional.
                                                             Pelajari operasi hitung berikut ini.
      (a2)4 = 1 ...
                 ..
                23
                         ... faktor                          (23)2 = 232 3 3
                                                                     1 2
           ...       ...
      = (4 .. 3 ) (4 .. 3 )
        1 2       1 2                                                    fak
                                                                       2 f ktor
          ... faktor         ... faktor
                                                                  = ( 4 2 3 ) ( 4 2 3 ) = 2 2 422 2 2 32
                                                                    1         1           1
         ( ... )          ( ... )                                                                                        a
                                                                                                                ( 2 3 ) faktor
          4 3
         1 24              4 3
                          1 24                                                fak
                                                                            3 f ktor           a
                                                                                            3 faktor
          ... faktor        ... faktor
                                                                       2×3
      = 1 ...3 = a
           ..                       ... × ...                      =2
        42
          ... faktor                                         Jadi, (23)2 = 22×3 = 23×2
 Kemudian, ujilah
 dugaanmu untuk
                                                             Sekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping.
 memangkatkan bilangan                                            Perpangkatan bilangan berpangkat yang telah kamu
 berpangkat sebarang.
 Berdasarkan uraian
                                                             pelajari tersebut memperjelas sifat berikut.
 tersebut, dapatkah kamu                                      Sifat 5.3
 menduga sifat umum
 perpangkatan bilangan                                        Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka
 berpangkat? Cobalah                                                                (am)n = am×n = an×m
 nyatakan sifat tersebut
 dengan kata-katamu
 sendiri.




116      Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
Contoh 5.4


1.   a.     (34)2 = 34×2 = 38
                                 5               3 5
                         3                                  15

     b.          1                   =   1     = 1
                 2                       2       2
                             3
                                           4×3
     c.      (       )               = (–2) = (–2)12
2.   Energi kinetik (Ek) sebuah benda bermassa m kg yang
                                                                 1
     bergerak dengan kecepatan v m/det dirumuskan Ek =             mv2.
                                                                 2
     Sebuah benda bermassa 6 kg bergerak dengan kecepatan 27
     m/det. Berapa joule energi kinetik benda tersebut?
     Penyelesaian:
     Diketahui: m = 6 kg
                v = 27 m/det = 33 m/det
     Ditanyakan: Ek = ?
            1      1
     Ek =     mv2 = × 6 × (33)2 = 3 × 33×2 = 3 × 36 = 37 = 2.187
            2      2
     Jadi, energi kinetiknya adalah 2.187 joule.
                                                                           Tugas
d. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Perkalian                                untukmu
Pelajarilah operasi hitung berikut.                                       Salin dan lengkapilah
(2 × 3)3 = (
           1   ) ( 2 4) 4 (4 4 )
                             3                                            operasi hitung berikut.
                                        f
                                      3 faktor                            1. (3 × 5)4 = 1 ......
                                                                                             23
                                                                                                   ... faktor
          =(                  = 23 × 33
           14 2 3 ) ( 4 2 3 )
                    1                                                          = (4 .. 3 ) (4 .. 3 )
                                                                                 1 2
                                                                                    ...
                                                                                           1 2
                                                                                              ...
                       fak
                     3 f ktor                       a
                                                 3 faktor                          ... faktor   ... faktor


Jadi, (2 × 3)3 = 23 × 33.                                                      = ... × ...
                                                                          2.   Misalkan, a dan b
Sekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping.                                   bilangan rasional.
     Perpangkatan dari bentuk perkalian yang telah kamu                        (a × b)5 = 1 ...
                                                                                             ..
                                                                                            23
                                                                                                 ... faktor
pelajari tersebut memperjelas sifat berikut.                                   = (4 .. 3 ) (4 .. 3 )
                                                                                    ...       ...
                                                                                 1 2       1 2
 Sifat 5.4                                                                         ... faktor   ... faktor

                                                                                = ... × ...
 Jika n bilangan bulat positif dan a, b bilangan rasional maka            Berdasarkan uraian
                       (a × b)n = an × bn                                 tersebut coba kamu terka
                                                                          sifat umum perpangkatan
                                                                          dari bentuk perkalian
Contoh 5.5                                                                tersebut. Nyatakan sifat
                                                                          itu dengan kata-katamu
                                                                          sendiri.
1.   a. (2 × 5)2 = 22 × 52 = 4 × 25 = 100
     b. {(–3) × 2)3 = (–3)3 × 23 = –27 × 8 = –216
     c. (–3pq)4 = (–3)4 × p4 × q4 = 81p4q4
2.   Suatu alat listrik mempunyai hambatan 2 × 102 ohm dialiri
     arus 3 × 102 ampere selama 2 menit. Berapa joule besarnya
     energi listrik yang digunakan?



                                                                      Pangkat Tak Sebenarnya                    117
  Tugas                                               Penyelesaian:
  untukmu                                             Diketahui: R = 2 × 102 ohm
                                                                   I = 3 × 102 ampere
 Bersama kelompok
 belajarmu, coba kamu                                              t = 2 menit = 120 detik
 selidiki mengapa pada                                Ditanyakan W?
 Sifat 5.5 nilai b tidak                              W = I 2 R t = (3 × 102)2 × 2 × 102 × 120
 boleh sama dengan
 nol. Presentasikan hasil                                = 32 × (102)2 × 2 × 102 × 1,2 × 102
 penyelidikanmu di depan                                 = 9 × 2,4 × 104 × 102 × 102 = 21,6 × 108 = 2,16 × 109
 kelas bergantian dengan
 kelompok yang lain.
                                                      Jadi, energi listrik yang digunakan sebesar 2,16 × 109 joule.


                                             e. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Pembagian
  Tugas
  untukmu                                    Untuk memahami sifat perpangkatan dari bentuk pembagian,
                                             pelajarilah operasi hitung berikut dengan saksama.
 Salin dan lengkapilah
 operasi hitung berikut.                              2
                                                                  }faktor
                                                                  2f k
                                                                            2
                                                  2
 1.    3
            4

                = 1 ...3
                     ..                                   = 2 2 = 2 2 = 22
       5
                  42
                          ... faktor
                                                  3         3
                                                            { 3   3 3
                                                                  {       3
                                                                     fak
                                                                   2 f ktor             fak
                                                                                      2 f ktor
       4 faktor
       ... fa or
       .
      6. 7 to  8
                  ...
      ( ... ) = 3                                                  2      2
      ( .. )
       4
      1 2 3
            ..   5...                        Jadi, 2                   = 22
      ... faktor                                          3                   3
 2. Misalkan, a dan b                        Sekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping.
     bilangan rasional
       a
            3                                    Perpangkatan dari bentuk pembagian yang telah kamu
                    ...
                = 1 ...3
       b
                  42
                         ... faktor
                                             pelajari itu memperjelas sifat berikut.
           6. 7 to
            4 faktor
            . aktor
            ... fa or
                   8                          Sifat 5.5
           ( ... )                    a...
      =                      =                Jika a, b bilangan rasional, b ≠ 0, dan n bilangan bulat
           ( .. )
              ..                      b...
            4
           1 2 3                                                                          n
            ... faktor                                                                           n

 Berdasarkan uraian                           positif maka a                                  = an .
 tersebut coba kamu terka                                                         b              b
 sifat umum perpangkatan
 dari bentuk pembagian                       Contoh 5.6
 itu. Nyatakan sifat
 tersebut dengan kata-
                                                               3                                                   2
 katamu sendiri.                                          3            3
                                                                           27                               2 pq           22 p 2 q 2   4 p2q 2
                                             1.                     = 33 =                             3.              =              =
                                                          7              7                343                r                r2          r2
                                                                   4                  4
                                             2.            2           = (      ) = 16
                                                          3                   34    81


                                             f.       Sifat Penjumlahan dan Pengurangan
                                                      Bilangan Berpangkat
          Catatan                            Sebelum mempelajari sifat penjumlahan dan pengurangan
                                             bilangan berpangkat, dapatkah kamu menyederhanakan
 Sifat distributif pada
 bentuk aljabar adalah
                                             penjumlahan bilangan berpangkat berikut?
 a (b + c) = ab + ac.                        a. 35 + 37              c. 2 × 53 + 55
                                             b. (–3)3 + (–3)5


118        Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    Cocokkan hasilnya dengan jawaban berikut.                      InfoMatika
a. 35 + 37= 35 (1 + 32)                    (sifat distributif )
              5               5
           = 3 × 10 = 10 × 3
b. (–3)3 + (–3)5 = (–3)3 (1 + (–3)2)       (sifat distributif )
                        3                3
                  = (–3) × 10 = 10 × (–3)
         3    5
c. 2 × 5 + 5 = 53 (2 + 52)                 (sifat distributif )
                = 53 × 27 = 27 × 53
    Uraian tersebut sesuai dengan konsep penjumlahan
bilangan berpangkat seperti berikut.
                                                                       Edward Waring
 Sifat 5.6                                                              (1743–1798)
 Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah            Setiap bilangan bulat
 bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka                        merupakan bilangan
                                                                  pangkat tiga dari
                 pan + qam = an(p + qam–n)                        bilangan itu sendiri
                                                                  atau merupakan jumlah
    Konsep penjumlahan dua bilangan berpangkat tersebut           dari beberapa bilangan
                                                                  pangkat tiga. Pernyataan
berlaku juga untuk pengurangan dua bilangan berpangkat            ini diungkapkan oleh
seperti berikut.                                                  seorang matematikawan
                                                                  Inggris, Edward Waring,
 Sifat 5.7                                                        pada tahun 1770.
                                                                  Pernyataan tersebut
 Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah            dapat dibuktikan
 bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka                        kebenarannya. Jika
                                                                  diambil sebarang
                 pan – qam = an(p – qam – n)                      bilangan bulat,
                 pam – qan = an(pam – n – q)                      bilangan tersebut
                                                                  dapat dinyatakan
                                                                  sebagai bilangan
Contoh 5.7                                                        bulat berpangkat tiga.
                                                                  Misalnya,
                                                                  3 = 43 + 43 + (–5)3 dan
1.   25 + 27 = 25 (1 + 22)                  (sifat 5.6)
                                                                  20 = 43 + 43 + (–3)3 +
             = 25 × 5 = 5 × 25                                    (–3)3 + (–3)3 + (–3)3.
2.   55 – 57 = 55 (1 – 52)                  (sifat 5.7)            Sumber: Ensiklopedi Matematika
                                                                       & Peradaban Manusia, 2002
             = 55 × (–24) = –24 × 55
3.        6
     3 × 7 – 2 × 75 = 75 (3 × 7 – 2)        (sifat 5.6)
                      = 75 × 19 = 19 × 75
                                                                   Tugas
                                                                   untukmu
4. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat                             1. Gunakan Sifat 5.2 untuk
   Bilangan Bulat Negatif dan Nol                                     menyederhanakan
                                                                                        a5
                                                                                           .
                                                                                        a8
a. Pengertian Pangkat Bilangan Bulat Negatif                      2. Dengan menuliskan ke
                                                                     dalam bentuk faktor-
Berdasarkan Sifat 5.2, telah dipelajari bahwa untuk a adalah         faktornya, sederhana-

bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n adalah bilangan bulat                       a5
                                                                      kanlah      .
                                                                               a8
                                   am                             Berdasarkan kedua
positif dengan m > n, berlaku         = am–n.                     langkah tersebut,
                                   an                             apa yang dapat kamu
                                                                  simpulkan?




                                                              Pangkat Tak Sebenarnya          119
 Siapa                                        Sifat tersebut dapat dikembangkan untuk m < n. Sebagai
 Berani?                                  contoh, amatilah bentuk berikut.
                                          a3
 Bilangan sempurna                            = a3–5 = a–2     ... (1)
 adalah bilangan yang                     a 5 Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktor-
 jumlah seluruh faktornya
 sama dengan dua kali                     faktornya, pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai
 bilangan tersebut.
 Sebagai contoh, 28
                                          berikut.
 merupakan bilangan                       a3     a a a
 sempurna karena jumlah                      =            = a a a                      1
 seluruh faktornya sama                   a5   a a a a a    a a a                     a a
 dengan 2 × 28, yaitu                        =1×  1 = 1      ... (2)
 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28                       a a   a2
 = 56                                                                                                      1
 = 2 × 28                                 Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a–2 =               .
 Untuk mengetahui                                                                                          a2
 bilangan sempurna,                            Dengan demikian, kamu dapat mengubah bilangan
 salah satunya dapat
 menggunakan rumus                        rasional berpangkat bilangan bulat negatif ke dalam bentuk
 2p (P p+1 – 1).                          bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif dan
 Dalam hal ini p
 merupakan bilangan                       sebaliknya.
 prima. Coba kamu                              Secara umum, untuk bilangan berpangkat n, dengan n
 tentukan paling sedikit
 dua buah bilangan                        adalah bilangan bulat positif dapat ditulis seperti berikut.
 sempurna lainnya (selain
 28) dengan menggunakan                                                 1 = a–n, a ≠ 0
 rumus tersebut.                                                        an
                                              Sekarang, amati bentuk perpangkatan berikut yang
                                          dihitung dengan menggunakan kalkulator.
  InfoMatika                                                    1                                            1
                                                –1
                                                     = 0,25 =                         –2
                                                                                           = 0,111 ... = 1 = 2
                                                                4                                      9    3
                                                –3
                                                     = 0,125 = 1 = 13
                                                               8   2
                                cokelat
                                              Uraian tersebut memenuhi definisi bilangan rasional
                        hitam             berpangkat bilangan bulat negatif seperti definisi berikut.
                     merah
             perak                         Definisi 5.3
 Nilai dari komponen                       Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat
 resistor ditandai oleh
 sebuah sistem warna                       positif maka a–n = 1n
 garis. Inilah cara untuk                                           a
 menuliskan bilangan yang
 besar dalam benda yang
 kecil. Dua garis yang
                                          Contoh 5.8
 pertama menunjukkan
 sebuah bagian dan yang
 ketiga mewakili operasi
                                          Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentuk pangkat
 perkalian dengan pangkat                     positif.
 10. Adapun garis yang                    a. 5–2             b. 2–3
 keempat menunjukkan
 toleransi nilai.
                                          Penyelesaian:
  Sumber: Ensiklopedi Matematika
      & Peradaban Manusia, 2002
                                          a.   5–2 = 12                 b. 2–3 = 13
                                                      5                          2



120     Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    Sifat pangkat bilangan bulat positif dari Sifat 5.1 sampai                Siapa
dengan Sifat 5.5 berlaku juga untuk bilangan berpangkat                       Berani?
bilangan bulat negatif, dengan a, b adalah bilangan rasional
                                                                               1. Ubahlah bentuk
dan m, n adalah bilangan bulat negatif. Coba kamu tuliskan                        pangkat berikut
kelima sifat tersebut di buku tugasmu.                                            menjadi bentuk
                                                                                  pangkat positif.
Contoh 5.9                                                                        a. 10–7
                                                                                  b. (–2)–3
                                                                                  c. (–8)–2
a.   5–4 × 56 = 5–4 + 6 = 52 = 5 × 5 = 25                                         d. 7–15
                                                           2                   2. Selesaikan soal
b.   (       )2 = (–3)2 – 4 = (–3)–2 = ((–3)–1)2 =   1                            berikut. Kemudian,
     (       )4                                      3                            ubahlah hasilnya
                     1 ×        1 = 1                                             ke bentuk pangkat
                =                                                                 negatif.
                     3          3      9                                                                                 2
                                                                                                     2               5
                                                                                    a.       5                   5

b. Pengertian Pangkat Nol
                                                                                                 4               1
                                                                                             2               2
                                                                                    b.
                                                                                                 2               2
Kamu telah mempelajari Sifat 5.2 bilangan rasional ber-                                      2               2
                                                                                                 2           3
                                                    m
                                                                                             7           7
pangkat bilangan bulat positif dan negatif, yaitu a n = am–n,                       c.
                                                                                                         3
                                                               a                                 7
dengan a bilangan rasional, m dan n adalah bilangan bulat,
m ≠ 0, n ≠ 0, serta m ≠ n. Sekarang, amati sifat tersebut
untuk m = n.                                                                    Tugas
                            5
Sebagai contoh, a 5 = a5–5 = a0                  ... (1)                        untukmu
                        a                                                      Pada Definisi 5.4, disebut-
   Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktor-faktornya,                    kan bahwa a0 = 1. Selidiki
                                                                               mengapa hal tersebut
pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.                           berlaku untuk a bilangan
a5 = a a a a a = 1                               ... (2)                       rasional dan a ≠ 0?
                                                                               Bagaimana jika a = 0?
a5   a a a a a                                                                 Tulis hasil penyelidikanmu
                                                                               pada buku tugasmu,
    Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a0 = 1.                    kemudian kumpulkan
    Uraian tersebut memenuhi konsep bilangan berpangkat                        pada gurumu.
nol seperti definisi berikut.
             Definisi 5.4
             a0 = 1, dengan a bilangan rasional dan a ≠ 0                     Siapa
                                                                              Berani?
    Sifat 5.1 sampai dengan Sifat 5.5 yang telah kamu pelajari
pada bagian 3 berlaku juga untuk bilangan berpangkat nol,                      Ubahlah bentuk pangkat
                                                                               berikut menjadi bentuk
dengan m = n = 0, a adalah bilangan rasional, dan a ≠ 0.                       pangkat positif.
Coba tuliskan kelima sifat tersebut.                                                     5
                                                                                             4

                                                                               a.
Contoh 5.10                                                                              7
                                                                                             5
                                                                                         2
                                                                               b.
                                                                                         9
Hitunglah bentuk perpangkatan bilangan rasional berikut.                       c.    (0,1)–2
                                                                       2
         2
              3
                                 2
                                     3
                                         2
                                             2                     2           d.    (0,15)–1
1.                          2.                        3.       2
         3                       5       5                     3


                                                                           Pangkat Tak Sebenarnya                            121
                                                    Penyelesaian:
                                                                        3
                                                                2                   2   2     2      8
                                                    1.                      =                    =
                                                                3                   3   3     3     27
                                                                        3               2          3 ( 2)               1

                                                    2.          2                   2       =   2         =         2           = 2
                                                                5                   5           5                   5             5
                                                                                2                2 2            4
                                                                            2                                               4
                                                    3.              2               = 2                 = 2         = 24 = 16
                                                                    3                       3               3           3         81



      Tes Kompetensi 5.1

 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.
 1.    Hitunglah:
       a. 3–5 × 33 : 3–4                                                                               Tentukan R jika R1 = 1              , R2 = 12   ,
                                                                                                                                       2          2
                   4
       b.      2        22                                                                             R3 = 23 , dan R4 = 22 .
                   1
               2        25                                                                  5.         Diketahui produksi semen (x) sebuah
       c.     (0,25)–2 × (0,25)4                                                                       pabrik memenuhi persamaan
                                                1                                                                 x = 5 × 2–4 × t2 × 106
       d.     (2 × 7)3 × 72 ×
                                               2 75                                                    dengan t bilangan bulat positif yang
                                       3
                                  2
                   30        52                                                                        menyatakan waktu berjalan dalam tahun.
       e.
                        52                                                                             Jika keuntungan perusahaan dinyatakan
                                                                                                                                   p
                   2                   2                                                               oleh p dari persamaan          = 2–5 × 105,
 2.    Hitunglah 5 1 7                 1
                                               dan nyatakan hasilnya                                                                       x
                            5      7                                                                   berapakah keuntungan perusahaan yang
       dalam bentuk yang paling sederhana.                                                             diperoleh selama 3 tahun?
 3.    Volume sebuah kerucut dinyatakan                                                     6.         Gunakanlah Sifat 5.6 dan 5.7 untuk
                                                       1                                               menyederhanakan bilangan berpangkat
       dengan rumus V =
                                                       3                                               berikut.
            r2t, dengan r = jari-jari                                   t                              a. 2 × 85 + 5 × 86
       alas kerucut dan t = tinggi                                                                     b. 2 × 75 + 3 × 74
                                                                            r
       kerucut.                                                                                        c. 3 × (–5)6 – 2 × (–5)5
                                                                                                       d. 5 × 113 – 7 × 114
       Jika r = 1 d, dalam hal ini d =                                                      7.         Hambatan sebuah alat listrik (R) bersatuan
                2
       diameter alas kerucut, nyatakan:                                                                                                V2
       a. V dalam , d, dan t;                                                                          ohm dirumuskan R =                 . Dalam hal ini
                                                                                                                                       P
       b. t dalam V, dan r;                                                                            V = tegangan listrik bersatuan volt, dan P =
       c. d dalam , V, dan t;                                                                          daya listrik bersatuan watt. Pada sebuah alat
       d. t dalam , V, dan d.                                                                          listrik tertulis 220 volt, 220 watt. Berapa
 4.    Hambatan total R dari sebuah rangkaian                                                          ohm hambatan alat listrik tersebut?
       seri paralel ditentukan oleh persamaan                                               8.         Besarnya energi listrik yang digunakan
                        1                  1                    1
               1                  1               1        1                                           pada sebuah alat listrik dirumuskan
       R=                                                                                              W = I 2Rt. Dalam hal ini W = energi listrik
               R1                 R2              R3       R4
                                                                                                       bersatuan joule, I = kuat arus listrik



122         Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
     bersatuan ampere, R = hambatan listrik      10. Panjang sebuah karet gelang () dirumuskan
     bersatuan ohm, dan t = waktu bersatuan          sebagai berikut.
                                                                                  2
     detik. Suatu alat listrik mempunyai                     –3 –3     25
                                                        = (4a )
     hambatan 3 × 102 ohm dialiri arus 102                           ( 9)4
     ampere selama 5 menit. Berapa joule             dengan a merupakan bilangan 1, 2, 3,
     besarnya energi listrik yang digunakan?         4, dan 5 yang menyatakan jenis karet
9.   Sebuah penampungan air berbentuk kubus          gelang. Jenis karet gelang manakah yang
     dengan panjang rusuk 1,5 × 103 cm. Berapa       memiliki ukuran terpanjang?
     liter volume penampungan air tersebut?



B. Bentuk Akar dan Pangkat
   Pecahan
1. Bilangan Real                                                      A

Di Subbab A kamu telah mempelajari konsep bilangan
rasional. Agar kamu lebih memahami konsep bilangan
rasional, coba kamu selidiki apakah bilangan-bilangan                1

berikut merupakan bilangan rasional?
a. –3                       c. 0, 13245814 ....                                            45°
                                                                     B                             C
b. 0,252525 ....            d.                                                        1
                                                                           Gambar 5.1
Sekarang, pelajarilah Gambar 5.1.
      Gambar tersebut memperlihatkan sebuah segitiga siku-
siku istimewa dengan besar sudut lancipnya 45° dan panjang                      Catatan
sisi siku-sikunya 1 satuan panjang.
      Panjang sisi AC dapat ditentukan dengan menggunakan                Hubungan antara
                                                                         macam-macam bilangan
Dalil Pythagoras seperti berikut.                                        dapat disajikan seperti
                                                                         diagram berikut.
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 × AC = 12 12 = 2 .
                                                                                  Bilangan Real
Jadi, panjang sisi AC adalah 2 satuan panjang.
      Amati bilangan 2 tersebut. Dengan menggunakan
                                                                           Bilangan          Bilangan
kalkulator, akan diperoleh nilai 2 = 1,414213562....                       Rasional          Irasional

Apakah 2 merupakan bilangan rasional? Coba kamu
                                                                           Bilangan
                                 2 = a , dalam hal ini a dan
                                                                                             Bilangan
cari nilai-nilai a dan b agar                                                Bulat
                                                                                             Pecahan
                                     b
b bilangan bulat dan b ≠ 0. Ternyata, tidak ada nilai a dan
                                                                           Bilangan
                                                                                          Bilangan Bulat
b yang memenuhi a =          2 , sehingga   2 bukan bilangan
                                                                            Cacah
                                                                                              Negatif
                     b
rasional. Jadi, 2 merupakan bilangan irasional. Gabungan                   Bilangan        Bilangan Nol
dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan                     Bulat Positif
                                                                           (Bilangan
irasional merupakan himpunan bilangan real.                                   Asli)




                                                               Pangkat Tak Sebenarnya                     123
                                 2. Pengertian Bentuk Akar
 Siapa                           Untuk memahami pengertian bentuk akar, pelajarilah
 Berani?                         perhitungan-perhitungan berikut ini.
                                      4 =     22 = 2         16 =      42 = 4
 Bentuk 4 x     2


 dengan x ≥ 0                           32 = 3
                                      9 =                    25 =       52 = 5
 dapat merupakan                 Berapakah 36 ,
 bentuk akar atau bukan
                                                  49 ,            64 , dan 81 ?
 bentuk akar. Tentukan              Perhitungan akar pangkat bilangan tersebut memenuhi
 paling sedikit dua nilai        definisi berikut.
 x agar bentuk tersebut
 merupakan                                        Definisi 5.5
 a. bentuk akar,
 b. bukan bentuk akar.
                                                                   a , bil a    0
                                                           a2 =
                                                                    a , bil a       0
                                     Amati contoh-contoh berikut.
     Tugas
                                 1. Misalkan, a = 2 (a > 0)
     untukmu
                                     Nilai a 2 = 22 = 2
 Bentuk akar hanyalah
 sebagian kecil dari             2. Misalkan, a = –2 (a < 0)
 anggota-anggota
 himpunan bilangan                   Nilai a 2 = ( )2 = –(–2) = 2
 irasional. Contoh bilangan      Sekarang, adakah akar pangkat yang tidak memenuhi?
 irasional yang bukan
 bentuk akar yaitu dan               Akar pangkat bilangan yang tidak memenuhi Definisi 5.5
 e. Carilah informasi            dinamakan bentuk akar, seperti 2 , 3 , 5 , 7 , dan 8 .
 mengenai bilangan dan
 e. Kemudian, buatlah            Bentuk akar tersebut merupakan bilangan irasional.
 laporan dari tugas
 tersebut dan kumpulkan.
                                 3. Menyederhanakan Bentuk Akar
                                 Sebuah bentuk akar dapat disederhanakan menjadi per-
                                 kalian dua buah akar pangkat bilangan, dengan salah satu
                                 akar pangkat bilangan memenuhi Definisi 5.5. Amati dan
 Siapa                           pelajari contoh berikut.
 Berani?
                                   8 = 4 2 = 4 × 2 =2× 2 =2 2
 Perhatikan balok berikut.         18 = 9 2 = 9 × 2 = 3 × 2 = 3 2
       H                   G          Berdasarkan perhitungan tersebut, dapatkah kamu
                      F
 E                               menemukan sifat berikut?
           D
                           C
                                            Sifat 5.8
 A                    B
                                                              ab      a        b,
 Diketahui AB = 8 cm,                       dengan a dan b adalah bilangan rasional positif.
 BC = 4 cm, dan
 CG = 6 cm. Hitunglah
 panjang diagonal sisi AC
                                 Contoh 5.11
 dan diagonal ruang AG
 dalam bentuk akar yang
 paling sederhana.               1.         12 =   4 3 =    4 ×    3= 2 3
                                 2.         24 =   4 6 =    4 ×    6 = 2 6


124        Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
4. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk
   Akar
Di buku Kelas VII Bab 3, kamu telah mempelajari penjum-
lahan dan pengurangan bentuk aljabar, misalnya
2x + 3x = (2 + 3)x = 5x               ... (1)
5y – 2y = (5 – 2)y = 3y               ... (2)
Konsep tersebut berlaku juga untuk bentuk akar, misalnya
2 2 + 3 2 = (2 + 3) 2 = 5 2           ... (3)
5 3 – 2 3 = (5 – 2) 3 = 3 3           ... (4)
    Berdasarkan kedua contoh tersebut dapatkah kamu                      Siapa
menerka sifat umum penjumlahan dan pengurangan bentuk                    Berani?
akar? Nyatakan sifat tersebut dengan kata-katamu sendiri.
    Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar tersebut                      Hitunglah operasi
                                                                          bentuk akar berikut
memperjelas sifat berikut.                                                dengan terlebih dahulu
                                                                          menyederhanakan bentuk
          Sifat 5.9                                                       akarnya.
                                                                          a.    2 + 32
                        a c    b c = (a + b) c
                                                                          b.    6 + 54 – 250
                       a c b c = (a – b) c                                c.    32 – 2 + 8
          dengan a, b, c adalah bilangan rasional dan c ≥ 0.              d.   4 3–       27       12


Contoh 5.12


1.       4 2 + 3 2 – 2 2 = (4 + 3 – 2) 2 = 5 2
2.       3 5 +3 2       (Tidak dapat dijumlahkan karena tidak meme-
                           nuhi aturan penjumlahan bentuk akar)


b. Perkalian Bentuk Akar
Dengan menggunakan Sifat 5.8, kamu dapat menghitung                      Siapa
perkalian bentuk akar berikut.                                           Berani?
     2       3 =      2 3 =    6                                          Sederhanakan bentuk
     3      3 =       3 3 =                                               akar berikut.
                              9 =3
                                                                          a.     2    5        2   5
5 3 6 2 = 5 × 6 × 3 2 = 30 6                                              b.     5    7        5   7
    Ketiga perkalian tersebut memenuhi sifat perkalian                    c.     7    12
                                                                                           2



bentuk akar, yang secara umum ditulis seperti berikut.                    d.    10     8
                                                                                           2


                                                                                               2
 Sifat 5.10                                                               e.

 a b        c d = ac bd
 dengan a, b, c, d adalah bilangan rasional, b ≥ 0, dan d ≥ 0.



                                                                      Pangkat Tak Sebenarnya            125
                            Contoh 5.13


                            Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.
                                                                                   2
                            a.     3     2    3    2         b.     5          3
                            Penyelesaian:
                            a. Ingat perkalian suku dua.
                                (a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2
                                                = a2 – b2
                                Oleh karena itu,
                                                                   2                       2
                                    3      2       3    2 = 3   2 3  2 3               2
                                                          = 3× 3– 2 × 2
                                                      =3–2=1
 Siapa                      b. Ingat, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
 Berani?                       Oleh karena itu,
                                               2         2                     2
                                    5      3       = 5 +2 5× 3 + 3
 Sederhanakan bentuk
 akar berikut.                                     = 5 × 5 + 2 15 + 3 × 3
 a.   20 50                                        = 5 + 2 15 + 3 = 8 + 2 15
       4 2

 b.    150     252
       12      14           c. Pembagian Bentuk Akar
 c.   2 27    3 2
       18      24
                            Untuk memahami pembagian bentuk akar, amati dan
                            pelajarilah uraian berikut.
                            1.    100 : 4 = 10 : 2 = 5 = 100 : 4 = 25 = 5
                            2.     36 : 9 = 6 : 3 = 2 = 36 : 9 = 4 = 2
                            Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh hubungan berikut.
                            1.    100 : 4 = 100 : 4 = 5
                            2.     36 : 9 = 36 : 9 = 2
  Tugas
                                Perhitungan tersebut menggambarkan sifat pembagian
  untukmu
                            dalam bentuk akar seperti berikut.
 Pada Sifat 5.11,
 dituliskan persamaan         Sifat 5.11
  a    a
                                                       a =   a atau      a =   a
  b    b
 dengan a dan b bilangan                               b     b           b     b
 rasional, a ≥ 0, dan b >     dengan a dan b adalah bilangan rasional, a ≥ 0, dan b > 0.
 0. Selidikilah bagaimana
 jika a dan b negatif?
 Berilah beberapa           Contoh 5.14
 contoh, lalu amati.
 Kemudian, tuliskan
 hasil penyelidikanmu              18 =        18 =                    6 15 = 6 15 = 2 5
 pada buku tugasmu dan      a.                          6     b.
 kumpulkan pada gurumu.             3           3                      3 3    3 3




126   Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
5. Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan
Kamu telah mempelajari bahwa bentuk akar merupakan bilangan
irasional, seperti 2 , 5 , 2 + 5 , 3 – 2 , dan 5 + 3 .
Pecahan bentuk akar merupakan bilangan irasional juga Misalnya
  1 ,     1 ,      3 ,     5     , dan      1     .
     2   5       2       6       3       2    3                       5           3
     Penyebut pecahan-pecahan tersebut dapat diubah
menjadi bilangan rasional. Cara merasionalkan setiap
penyebut berlainan. Akan tetapi, prinsip dasarnya sama, yaitu
mengalikan penyebut-penyebut tersebut dengan pasangan
bentuk akar sekawannya sehingga diperoleh penyebut
bilangan rasional.
     Berdasarkan contoh pecahan-pecahan bentuk akar
tersebut, secara umum bentuk akar yang dapat dirasionalkan,
       a       c      c         c              c
yaitu     ,       ,       ,          , dan          , dengan
             b   a       b       a       b    b           d                   b       d
a, b, c, dan d adalah bilangan rasional dan b > 0, d > 0.
     Penyebut dari pecahan-pecahan tersebut berturut-turut
  b ,a    b ,a   b, b      d , dan b      d . Apakah bentuk
sekawan dari setiap penyebut itu?
a. Bentuk sekawan dari b adalah b .
b. Bentuk sekawan dari a + b adalah a – b .
c. Bentuk sekawan dari b + d adalah b – d .
     Perkalian bentuk akar dengan sekawannya akan
menghasilkan bilangan rasional.
     Berikut ini perkalian bentuk akar dengan pasangan
sekawannya yang menghasilkan bilangan rasional.
                                     2
a.       b ×         b =         b       =b
                                                      2
b.       a       b a             b = a2 –         b       = a2 – b
                                                      2                   2                      InfoNet
c.           b       d      = b – d =b–d
                             b       d
                                                                                             Kamu dapat menambah
     dengan b, a2 – b, dan b – d adalah bilangan rasional.                                   wawasanmu tentang materi
     Sampai saat ini, kamu telah mempelajari perkalian penye-                                dalam bab ini dari internet
                                                                                             dengan mengunjungi alamat:
but pecahan bentuk akar dengan pasangan sekawannya sehingga                                  manajemen.klanis.or.id/
diperoleh penyebut bilangan rasional. Sekarang, kamu akan                                    warehouse/bab%2021%20
                                                                                             bilangan%20pangkat.doc
mempelajari bagaimana penerapannya dalam merasionalkan
penyebut dari pecahan bentuk akar. Secara umum, pecahan
bentuk akar yang dapat dirasionalkan penyebutnya adalah
 a    c     c     c   , dan                                       c           .
   ,     ,     ,
  b a   b a   b b   d                                         b           d


                                                                                          Pangkat Tak Sebenarnya     127
                                            Pecahan tersebut masing-masing dirasionalkan dengan
                                        mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar
                                        sekawan dari penyebutnya, yaitu sebagai berikut.
                                              a = a                              b                                                                       b
                                        a.                                                                                                    Ingat ,            1
                                               b   b                             b                                                                       b

                                                         = a b2 = a b = a b
                                                                                             b               b
      Uji Kecerdikan                                                 b
                                                     c                           c                   a       b                                       a   b
                                        b.
                                        b                            =                                                                     Ingat ,               1
 Kerjakan soal-soal                                                                                                                                  a   b
 berikut. Kemudian,                          a               b           a               b           a       b
 pasangkan hasilnya
 dengan jawaban yang                                                 = c a                       b       = c a2                b       =     c
                                                                                                                                                a            b
 bersesuaian dengan                                                          2
                                                                                                     2
                                                                                                                 a            b            a2 b
 cara menuliskan huruf-                                                  a                   b
 huruf soal pada kotak                               c                           c                   a       b     c
 yang tersedia. Jika kamu               c.                       =                                             = 2   a                          b
 menjawab dengan benar,                      a               b           a               b           a       b  a b
 kamu akan memperoleh
 kalimat pernyataan dari                d.               c               =               c                   b               d = c
 seorang matematikawan
                                                                                                                                                     b       d
                                                 b               d                   b           d           b               d  b d
 Jerman, Carl Friedrich
 Gauss.
                                        e.               c               =               c                   b               d = c
                                                                                                                                                     b       d
 A.    34 × 3–6                    3
                                                 b               d                   b           d           b               d  b d
                                16/81
                        6
 E.                             –125
                                  1/9   Contoh 5.15
 H.    (–5)         3
                                  1/6

                6

 I.     43
            2
                                  –3    Sederhanakan penyebut pecahan-pecahan berikut dengan me-
                                   4
                    4             –3
                                        rasionalkan penyebutnya.
            1
 K.     22                        1/9        10                                                                  6
                                  1/4
                                        a.                                                   b.
 M.    3
            27                    1/9            5                                                           5           2
                                 256
 N.    4 : 44                           Penyelesaian:
                            3
                                  1/9
                                        a.   10 = 10                             5 = 10 5 = 2 5
 R.     2
                3
                    5             40
                                                                                       5
                                 256          5    5                             5
                2
 T.         3
                                   3            6                                  6     5   2
                                  –3    b.                           =
                    4              4             5– 2                        5               2           5           2
            2
 U.                                3
            3
                                                                     = 6             5   2 = 6                           5         2
                                                                                                                                       = 2 5+2 2
                                                                                     5 2                                  3


                                        6. Pangkat Pecahan
                                        Kamu telah mempelajari bilangan rasional berpangkat bilangan
                                        bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif. Selanjutnya, kamu
                                        akan mempelajari bilangan berpangkat pecahan. Misalkan,



128        Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
pandanglah persamaan 9n = 3. Ini berarti 9 dipangkatkan n sama
dengan 3. Selain itu, 9n = 3 dapat juga ditulis dalam bentuk
(32)n = 3 × 32n = 31
                               1
     Artinya, 2n = 1 atau n = . Jadi, jika 9n = 3, sama artinya
                   1                              2
dengan 9 2 = 3.
                                   1
                           1
                             adalah eksponen pecahan.
          Pada bentuk 9 2 , bilangan
           1               2
Bilangan 9 2 dinamakan bilangan berpangkat pecahan.
Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa 9 = 3 dan
 1                             1
9 2 = 3. Jadi, 9 2 =      9 = 3.
          Secara umum, jika an = p dengan a, p adalah bilangan real
                                                                          1
dan n adalah bilangan bulat, dengan n > 0 maka a = p n .
                                                                                               Catatan
     Definisikan a = n p (dibaca: "a adalah akar pangkat n
dari p"). Pada definisi tersebut berlaku ketentuan berikut.                            •   Bilangan berpangkat
(i) p merupakan bilangan real positif dan nol untuk n bilangan                            tak sebenarnya
                                                                                          meliputi, bilangan
     genap.                                                                               berpangkat nol,
(ii) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil.                             bilangan berpangkat
          Contoh: Jika 125k = 5 maka                                                      bilangan bulat
                                                                                          negatif, dan bilangan
                                                               1                          berpangkat pecahan
          (53)k = 5 53k = 51             3k = 1 k =
                                                               3                          seperti
                           1                                                                                                2   1

    Jadi, 125 3 = 5, atau 3 125 = 5.                                                      2–3, 5–2, 30, 50, 33 , 32
                                                                                                2                   1
                                                                                           1        , dan               .
Dengan menggunakan pengembangan Sifat 5.3, kamu dapat                                      2
                                                                                                                    3



menentukan hubungan antara akar pangkat suatu bilangan                                •   Bilangan berpangkat
dan bilangan berpangkat pecahan seperti berikut.                                          bilangan bulat
           n                                                                              positif disebut juga
      1                1
                           n
                                   n
                                                                                          bilangan berpangkat
  pn           = pn            = p n = p1 = p                                             sebenarnya, seperti
                                                                                                                5
                                                                                                            1
                                                      n                                   23, (–3)2,                , (0,2)3,
                                              1                                                             2
                                          p   n           =p                               2
                                                                                               10

                                                                                                    , dan       1
                                                                                                                    3

                                                                                                                        .
                                                                                           5                    3
  1                                                                           1
p n adalah akar pangkat n dari p atau dituliskan                   n
                                                                       p = pn .
 1
p n disebut bilangan berpangkat pecahan.
               1
Pada p n berlaku ketentuan berikut.
(i) p merupakan bilangan real positif dan nol, untuk n bilangan
     genap.
(ii) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil.
    Secara umum, untuk bilangan berpangkat pecahan,
berlaku sifat berikut.



                                                                                  Pangkat Tak Sebenarnya                        129
                                        Sifat 5.12                                          Sifat 5.13
       Uji Kecerdikan                                   1                                        m                                              1
                                                1                         1                                           m 1
     Penjualan sepeda motor                 p   m
                                                        n
                                                                = p      m n                 pn = p                     n
                                                                                                                                = pm            n
                                                                                                                                                     =   n
                                                                                                                                                             pm
     pada suatu dealer
     mengikuti persamaan
                 3                                               Sifat 5.14
     p = 1.000 t 2 .                                                                                                   m                        m
                                                                             m             1 m                    1
             2                                                                                                                      n
                                                                     p n = pn                    = p              n
                                                                                                                            =           p
     Dalam hal ini, t adalah
     bilangan bulat positif
     yang menyatakan waktu
     dalam tahun.                 Berdasarkan Sifat 5.13 dan 5.14, terlihat bahwa
     a. Hitung banyaknya
         sepeda motor yang                                                         m                                                m
         terjual pada tahun                                                      pn =            n
                                                                                                         pm =           n
                                                                                                                                p
         ke-4.
     b. Apakah penjualan
         terus meningkat          Contoh 5.16
         dari tahun ke tahun?
         Jika ya, bagaimana
         pendapatmu
         mengenai dampaknya
                                  1.   Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut.
                                                                                                              5
         terhadap lingkungan?
                                       a. 3 8                                               b.               23
                                       Penyelesaian:
                                                                                       3
                                                                     3
                                       a.           3
                                                        8 =              23 = 2 3 = 21 = 2
                                                        5
                                                                 3                 3                 3                      3           3
                                       b.       23 =                  25 =             32 =              8 4=                   8           4
                                                                                       3
                                                     = 2 3 4 = 2 × 3 4 = 23 4          3

                                  2.   Ubahlah bentuk akar berikut menjadi pangkat pecahan.
                                       a. 3 52             b. 5 81
                                       Penyelesaian:
                                                                             2                                                                      4
                                                                                                                                5
         Hal Penting                   a. 3 52 = 53        b. 5 81 = 34 = 3 5
                                  3.   Ubahlah pangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar.
                                                                                                              1
 •     eksponen                                             3                                                                                                3

 •     polinem                         a. 12 4                                              b.               63                                 c.       22
 •     bilangan berpangkat             Penyelesaian:
 •     pangkat negatif                                      3                                                     3
 •     pangkat pecahan                 a.           12 4 =               4
                                                                             123            c.               22 =           2
                                                                                                                                23 =            23 =             8 = 2 2
 •     bentuk akar                                      1
                                                                  3
                                       b.           6 = 3
                                                                         6


                                  Contoh 5.17
                       x

                                  Jari-jari penampang melintang sebuah batang tumbuhan dikotil
                                                                                                         5
                                  pada musim dingin adalah        x cm. Adapun pada musim
             x                x
                                                               2
                                  panas, ukurannya tersebut menyusut sejauh x cm, seperti
                                  pada gambar di samping. Hitunglah penurunan luas penampang
                       x
                                  tumbuhan dikotil tersebut pada musim panas.



130         Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
Penyelesaian:
Langkah 1
Menuliskan apa yang diketahui dan yang ditanyakan soal tersebut.
                                                  5
Diketahui: Jari-jari batang mula-mula = r1 =        x cm
                                                  2
                                                    5
             Jari-jari batang setelah menyusut r2 =    x                         x        cm
                                                    2
Ditanyakan: Penurunan luas penampang ( L)
Langkah 2                                                                                        Siapa
Menentukan konsep yang akan digunakan untuk menjawab                                             Berani?
soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah luas daerah
                                                                                                  1. Sederhanakanlah
lingkaran dan operasi pada bentuk akar.                                                              soal-soal berikut.
Langkah 3                                                                                            a.   3
                                                                                                                  8
Menyelesaikan soal.                                                                                  b.   5
                                                                                                              81
 L = Luas mula-mula – Luas batang setelah menyusut                                                   c.   3
                                                                                                                  125

                            5
                                         2
                                                 5
                                                                   2
                                                                                                     d.   8
                                                                                                              256
     = πr12 – πr22 =          x                    x       x                                         e.   3
                                                                                                              8
                            2                    2                                                                     10
                                 2                                                                   f.   5
                                                                                                                  42
           25              3
     =        x              x       = 25 x            9
                                                         x=
                                                            16 πx = 4πx                                                1

           4               2           4               4     4                                       g.   3
                                                                                                                  52
                                                                                                                       2


Jadi, penurunan luas penampang tumbuhan tersebut = 4πx cm2.                                       2. Ubahlah bentuk akar
Langkah 4                                                                                            berikut menjadi
                                                                                                     pangkat pecahan.
Memeriksa kembali jawaban yang telah diperoleh.                                                                                      3
                                                                                                     a.       11               c.        13
Oleh karena L = πr12 – πr22 maka
                                     2
                                                                                                     b. 162
                                                                                                          3
                                                                                                               d. 3 322
                           3                             9                                        3. Ubahlah pangkat
L + πr22 = 4πx +             x               = 4πx +       x                                         pecahan berikut
                           2                             4
                                                               2                                     menjadi bentuk akar.
           = 16 9            x=
                                     25
                                        x=
                                                       5
                                                         x         = πr12                            a. 22
                                                                                                              1
                                                                                                                               c.   115
                                                                                                                                         2


                  4    4             4                 2                                                      2

Jadi, jawaban L = 4πx cm2 tersebut benar karena L + πr22 = πr12.                                     b. 7     3




     Tes Kompetensi 5.2

Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.
1.    Sederhanakan bentuk akar berikut.                                3.   Sederhanakan pecahan bentuk akar berikut
      a.   48           c.     72                                           dengan merasionalkan penyebutnya.
                                                                                      3                                        8
      b.   54           d.     80                                           a.                            c.
2.    Hitunglah operasi-operasi berikut.                                               6                                   3        21
                                                                                       3                                       4
      a. 2 6 3 3 6                                                          b.                            d.
                                                                                     2 5                                   7        11
      b. 2 3 3 7
                                                                       4.   Nyatakan soal-soal berikut dalam bentuk
      c.     48                                                             akar yang paling sederhana.
                                                                                          1
             6                                                              a.       3210
      d.   8 90                                                                           5
                                                                            b.       27 6
            6 5


                                                                                              Pangkat Tak Sebenarnya                          131
 5.   Sederhanakanlah soal-soal berikut dan                                                            1
      nyatakan hasilnya dalam bentuk bilangan                         9. Tunjukkan bahwa         x2              bilangan
                                                                                                       x2
      berpangkat rasional positif.
                2        1                                       2
                                                                          rasional untuk x =    5 1.
      a.       73       72               c.        (–5) × ( ) 3                                 5 1
                    1        3                       1       3
                                                                     10. Selidikilah apakah pernyataan berikut benar
     b. 4      42        d. 8                        4
                                                         2   2
                                                                         atau salah. Jelaskan hasil penyelidikanmu.
  6. Amati persamaan berikut.
                         1                                               a = a 2 = ( )( )
          1     1        3
                                                                                                                 1 2
          a3    b3                                                                   =     a    a = (        )         = –a
     Ubahlah persamaan tersebut dalam bentuk                         11. Sebuah kubus dengan
     yang paling sederhana, tanpa mengguna-                              panjang rusuk 6 cm                R
                                                                                                             R Z

     kan pangkat bilangan negatif.                                       disandarkan pada
  7. Hitunglah p + q, p – q, dan p × q, serta                            dinding sehingga            S

     sederhanakan hasilnya jika                                          posisinya miring                        Q


      a.       p=        3           dan q =        2                    seperti pada
                        2 3                        2 3                   gambar.                       P       Y

      b. p =             12 dan q =                 3                    Jika PY = 4 cm dan RZ = 31 cm, berapa
                        11 3                       11 3                  tinggi titik R dari lantai?
  8. Carilah nilai x untuk persamaan                                 12. Sederhanakan bentuk a2 – b2 untuk
      x        4x 2 =   1   .
                                                                          a=     1       , dan b =     1         .
          3     2     4 2 2
                                                                               3 2 2                 3 2 2




                             Ringkasan

 Berikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini.
 1.   Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat                    4.   Jika a adalah bilangan rasional dan m, n
                                               a                          adalah bilangan bulat positif maka
      dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan
                                               b                          (am)n = am × n = an × m.
      b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0.                           5.   Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan
 2.   Jika a adalah bilangan rasional dan m, n                            m, n adalah bilangan bulat positif dengan
      adalah bilangan bulat positif maka                                  m ≥ n maka pan + qam = an (p + qam – n).
      am × an = am + n.                                              6.   Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan
 3.   Jika a adalah bilangan rasional, dengan                             m, n adalah bilangan bulat positif dengan
      a ≠ 0, dan m, n adalah bilangan bulat                               m ≥ n maka
                     m
      positif maka a n = am – n dengan m > n.                             pan – qam = an (p – qam – n);
                                 a                                        pam – qan = an (pam – n – q).
 Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata-
 katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu.




132        Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
          Refleksi
 1.    Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi
       kelasmu.
 2.    Setiap anggota kelompok menceritakan tentang materi apa saja dari bab ini yang
       menurutmu paling mudah dan yang paling sulit dipahami berikut alasannya.
 3.    Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok
       lain.



              Tes Kompetensi Bab 5

Kerjakanlah pada buku tugasmu.
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.

1.    Nilai (–6)–2 sama dengan ....                    1
                                                 6.      = ....
      a. 36              c. – 1                       82
                               36                     a. 2–6                        c.   26
             1                                                                               1
      b.                 d. –36                       b. 82                         d.   82
            36
2.    35 = ....                                  7.        27           12 = ....
      a. 3 + 3 + 3 + 3 + 3                          a.    3        c. 2 3
      b. 3 × 3 × 3 × 3 × 3
                                                    b.    15       d. 2 5
      c. 5 + 5 + 5
      d. 5 × 5 × 5                               8. Dengan merasionalkan penyebutnya,
3.    Dengan merasionalkan penyebutnya,             bentuk 6 dapat disederhanakan men-
                    6                                                    3
      bentuk             dapat disederhanakan         jadi ....
                  3   3                                                                2
      menjadi ....                                    a.            3               c.    3
                                                                                       3
      a. 3 + 3           c. 3 – 3                     b. 2 3                        d. 3 3
                2
      b.                 d. 2 – 3                       1

            3     3                              9. 8 9 = ....
                                                         3                               2
      3                                             a.      2                       c.        3
4.        343 = ....                                            3                        8
      a. 7             c. –6                          b.            8               d.        3
                                                                5
      b. 6             d. –7
                                                10.       = ....
                                                            5
5.    23 + 25 = ....
                                                      a. 5 3                        c. 5 5
      a. 25            c. 5 × 23
      b. 28            d. 3 × 23                      b. 3 5                        d. 3 3




                                                                         Pangkat Tak Sebenarnya   133
 11.        125 = ....                                          32 32 32
                                                         15.             = ....
                   2
                                                                23 23 23
       a.      53                                                  9                                8
                   5                                           a.               c.
       b.      3   2                                               8                                9
                                                                                                    3
                   3                                           b. 1                          d.
       c.      52                                                       6
                                                                                                    4
                   2
                                                         16.        3       = ....
     d. 3 5
 12. Dengan cara merasionalkan penyebutnya,                    a.       9
                                                               b.       27
                            90                                 c.       36
       bentuk akar                dapat disederhanakan
                            72                                 d.       81
       menjadi ....
                                                               20
       a.   5                                            17.            = ....
                                                                    5
          1
       b.    5                                                 a.       2       5
          2
       c. 2 5                                                  b.       4       5
          1                                                    c.       5       5
       d.    3
          2                                                    d.       8       5
              3
            2 5
                                                         18.        2           10 = ....
 13.    3   3      = ....
                   1                                           a.       2       3
       a.      35                                              b.       2       5
                   2
       b.      33                                              c.       2       10
                   1
                                                               d.       5       2
       c.      33
                   2                                     19.        12              8   12        8 = ....
       d.      35                                              a.    2
                   2          3                                b.    4
 14. 125           3    100   2   = ....                       c.    6
                9                                              d.    8
       a.
               100                                              1           3
                  29                                     20. 3 4        3 4 = ....
       b.
               1.000                                         a.         1
                 19                                          b.         3
       c.
               1.000                                         c.         9
                 39                                          d.         81
       d.
               1.000




134         Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags: Matematika
Stats:
views:797
posted:5/8/2012
language:Malay
pages:24