Docstoc

Barisan dan deret 2

Document Sample
Barisan dan deret  2 Powered By Docstoc
					Bab                  6
                                                                         Sumber: www.scatork.com



Barisan dan
Deret Bilangan

 Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami barisan dan deret
 bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan
 cara menentukan pola barisan bilangan sederhana, menentukan
 suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri, menentukan
 jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri, serta
 memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.


Barisan dan deret bilangan tentu merupakan pelajaran                A. Pola Bilangan
yang baru kamu kenal. Konsep barisan dan deret bilangan             B. Barisan dan Deret
sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan dan                   Bilangan
teknologi serta dalam kehidupan sehari-hari, seperti uraian
berikut ini.
     Sebuah stadion olahraga yang baru dibangun mempunyai
100 tempat duduk pada barisan paling depan di tribun barat
dan timur, serta 60 tempat duduk pada barisan paling depan
di tribun utara dan selatan. Setiap baris tempat duduk
tersebut 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya.
Berapa kapasitas penonton dalam stadion tersebut jika
terdapat 25 baris tempat duduk?
     Untuk menjawab permasalahan tersebut, kamu harus
mempelajari konsep barisan dan deret bilangan seperti materi
yang dibahas pada bab ini.



                                                                                            135
                   Diagram Alur


                                               Barisan dan Deret Bilangan




                             materi dasarnya                                               membahas tentang



                   Pola Bilangan

                             misalnya                         Barisan Bilangan                   Deret Bilangan

                                                                       terdiri atas                       terdiri atas
      •    Pola   bilangan   ganjil
      •    Pola   bilangan   genap
      •    Pola   bilangan   segitiga
      •    Pola   bilangan   persegi
      •    Pola   bilangan   persegipanjang                Barisan          Barisan           Deret             Deret
                                                          Aritmetika       Geometri         Aritmetika         Geometri




              Tes Apersepsi Awal

 Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku
 latihanmu.

 1.   Sebutkanlah bilangan genap positif                          4.   Sebutkanlah bilangan asli kelipatan 6
      yang kurang dari 20.                                             antara 1 dan 100.
 2.   Sebutkanlah bilangan ganjil positif                         5.   Sebutkanlah bilangan asli kelipatan 10
      antara 11 dan 30.                                                dari 10 sampai dengan 250.
 3.   Sebutkanlah bilangan kuadrat dari 1
      sampai dengan 15.


                                          A. Pola Bilangan
                                          Gambar 6.1 memperlihatkan gedung pertunjukan yang
                                          mempunyai 40 tempat duduk pada barisan paling depan.
                                          Setiap baris tempat duduk tersebut 4 kursi lebih banyak
                                          daripada baris di depannya.
                                               Apabila kamu tuliskan banyaknya tempat duduk pada
                                          setiap baris, diperoleh tabel sebagai berikut.
                  Sumber: CD Image                    Baris ke-        1      2       3     4     5      ...      20
                  Gambar 6.1
                                                    Banyak Kursi       40     44      48    52    56     ...     116




136       Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
     Amati bilangan-bilangan 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116.
Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu kumpulan
(himpunan) bilangan dengan pola tertentu, yang setiap
suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah
4. Contoh lain bilangan-bilangan yang memiliki pola adalah
nomor rumah di jalan raya atau di perumahan. Rumah-rumah
di sebelah kiri bernomor 1, 3, 5, 7, 9, ..., 87. Adapun rumah-
rumah di sebelah kanan bernomor 2, 4, 6, 8, 10, ..., 88.
     Amati barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, ..., 87 dan juga
barisan bilangan 2, 4, 6, 8, 10, ..., 88.                            Sumber: Dokumentasi Penerbit

     Kedua barisan bilangan tersebut memiliki pola, dengan          Gambar 6.2
                                                                 Penomoran rumah di suatu
setiap suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya            jalan merupakan contoh pola
ditambah 2.                                                      bilangan.



1. Pengertian Pola Bilangan
Jika kamu amati, anggota-anggota himpunan bilangan
yang telah dipelajari, diurutkan dengan suatu aturan ter-
tentu sehingga bilangan-bilangan pada himpunan tersebut
membentuk suatu barisan.
    Suatu barisan bilangan dapat ditunjukkan dengan pola-
pola. Untuk itu, pelajarilah barisan bilangan berikut ini.
a. Barisan 1, 3, 5, 7, 9 ... disebut barisan bilangan ganjil.
    Pola barisan ini dapat dilihat pada Gambar 6.3.
                                                                    Gambar 6.3


b. Barisan 2, 4, 6, 8, ....
   Barisan ini disebut barisan bilangan asli genap.
   Polanya dapat dilihat pada Gambar 6.4.
c. Amati Gambar 6.5 berikut.                                        Gambar 6.4



                                                                    Gambar 6.5



    Pola tersebut dapat disusun dengan barisan bilangan
berikut.
 1=1
 3=1+2
 6=1+2+3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
                                                                 Sumber: images.search.yahoo.com

                                                                    Gambar 6.6




                                                          Barisan dan Deret Bilangan         137
                                                             Pola bilangan tersebut adalah salah satu contoh barisan
                                                         bilangan segitiga.
                                                         d. Amati pola bilangan pada Gambar 6.7. Pola bilangan pada
                                                             Gambar 6.7 disebut pola bilangan persegi. Mengapa?
                                                             Diskusikan dengan temanmu.

                           Gambar 6.7




  Tugas
  untukmu
                                                            Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut.
                                                              1 = 1 atau 12 = 1
 Coba kamu selidiki                                           4 = 1 + 3 atau 22 = 1 + 3
 mengapa barisan 1,
 3, 6, 10, ... disebut                                        9 = 1 + 3 + 5 atau 32 = 1 + 3 + 5
 barisan bilangan                                           16 = 1 + 3 + 5 + 7 atau 42 = 1 + 3 + 5 + 7
 segitiga. Jelaskan hasil
 penyelidikanmu.                                         e. Pola bilangan persegipanjang di antaranya dapat kamu
                                                            lihat pada Gambar 6.8.


                           Gambar 6.8




                                                             Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut.
                                                                       2=1×2                 12 = 3 × 4
                                                                       6=2×3                 20 = 4 × 5
                                                             Mengapa barisan tersebut dinamakan barisan persegi-
                                                             panjang? Coba kamu jelaskan.

                                                         2. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal
                                                         Orang yang pertama kali menemukan susunan bilangan yang
                            1
                                                         berbentuk segitiga adalah Blaise Pascal. Untuk mengabadikan
                                                         namanya, hasil karyanya tersebut kemudian disebut segitiga
                       1        1                        Pascal. Adapun bentuk dari bilangan pada segitiga itu tampak
              a                          b

                  1         2        1
                                                         dalam Gambar 6.9.
                                                              Jika kamu amati dengan cermat, bilangan-bilangan
          1            3        3            1
                                                         yang terdapat pada segitiga Pascal memiliki pola tertentu,
      1           4         6        4           1
                                                         yaitu dua bilangan yang berdekatan dijumlahkan untuk
  1       5           10        10           5       1   mendapatkan bilangan pada baris selanjutnya.
                                                              Sekarang, amati bilangan-bilangan yang terdapat pada
                           Gambar 6.9                    sepanjang garis a dan b pada Gambar 6.9. Bilangan-bilangan
                                                         tersebut membentuk suatu barisan dengan aturan berikut.


138           Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
     1=1                                                       InfoMatika
          1+2=3
               1+2+3=6
                    1 + 2 + 3 + 4 = 10
     Dengan demikian, barisan 1, 3, 6, 10, ... merupakan
barisan bilangan pada segitiga Pascal.
     Segitiga Pascal dapat digunakan untuk menentukan
koefisien pada suku banyak (x + y)n dengan n bilangan asli.
Misalnya,
(x + y)1 = 1x + 1y = x + y
(x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2 = x2 + 2xy + y2                           Blaise Pascal
                                                                     (1623–1662)
(x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
                                                               Blaise Pascal, ilmuwan
(x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4                     berkebangsaan Prancis
         = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4                       yang merupakan
                                                               keajaiban dalam
                                                               dunia matematika.
3. Menemukan Pola dari Perhitungan                             Segitiga Pascal yang
   Bilangan                                                    ditunjukkan di sini
                                                               telah dikenal selama
Pada Bagian 1, kamu telah mengetahui bahwa jumlah              600 tahun. Kemudian,
                                                               ia menemukan bahwa
bilangan-bilangan ganjil berurutan (jumlah n bilangan ganjil   banyak dari sifat-sifat
yang pertama) memiliki pola tertentu, yaitu:                   segitiga dihubungkan
                                                               dengan barisan-barisan
1 + 3 = 22,                                                    dan deret-deret yang
1 + 3 + 5 = 32,                                                istimewa.
                                                               Sumber: Ensiklopedi Matematika
1 + 3 + 5 + 7 = 42, dan seterusnya.                                & Peradaban Manusia, 2002
Jika kamu amati, akan diperoleh:
a. Jumlah dua bilangan ganjil yang pertama sama dengan
     kuadrat dari bilangan 2,
b. Jumlah tiga bilangan ganjil yang pertama sama dengan
     kuadrat dari bilangan 3,
c. Jumlah empat bilangan ganjil yang pertama sama
     dengan kuadrat dari bilangan 4, dan seterusnya.
Sekarang, amatilah pola bilangan dari perhitungan berikut
ini.
22 – 12 = 4 – 1 = 3 = 2 + 1,
32 – 22 = 9 – 4 = 5 = 3 + 2,
42 – 32 = 16 – 9 = 7 = 4 + 3,
52 – 42 = 25 – 16 = 9 = 5 + 4, dan seterusnya.
     Pola bilangan ini menunjukkan bahwa selisih dari
kuadrat bilangan berurutan sama dengan jumlah dari bilangan
berurutan tersebut. Hal ini dapat ditunjukkan dengan cara
aljabar berikut ini.



                                                        Barisan dan Deret Bilangan         139
                                      Misalkan, bilangan yang berurutan itu adalah a dan a + 1
                                  maka
                                      (a + 1)2 – a2 = a2 + 2a + 1 – a2
                                                    = 2a + 1 = (a + 1) + a
                                      Pola bilangan tersebut selalu benar untuk setiap a
                                  bilangan asli.


      Tes Kompetensi 6.1

 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.
 1.    a.     Gambar berikut menunjukkan suatu            c.   lima belas bilangan ganjil yang
              pola yang disusun dari batang-batang             pertama, dan
              korek api.                                  d. dua puluh dua bilangan ganjil yang
                                                               pertama.
                                                     5.   Hitunglah bilangan-bilangan berikut
                                                          dengan cepat (tanpa menggunakan
                                                          kalkulator).
                1       4          9
                                                          a. 3982 – 3972
            Salingambar tersebut,kemudianlanjut-          b. 5762 – 5752
            kan dengan dua suku berikutnya.               c. 10732 – 10722
       b. Berdasarkan gambar tersebut, tulis-             d. 12562 – 12552
            lah barisan bilangannya.                 6.   Amatilah kesamaan-kesamaan berikut.
       c. Pola bilangan apakah yang memiliki              152 = 225 = 200 + 25
            barisan seperti itu?                               = (1 × 2) × 100 + 25
 2.    Gambarlah pola noktah (seperti pada                252 = 625 = 600 + 25
       Gambar 6.3) dengan menggunakan                          = (2 × 3) × 100 + 25
       barisan bilangan berikut.                          352 = (3 × 4) × 100 + 25
       a. (1 × 4), (2 × 5), (3 × 6), (4 × 7), ...         452 = (4 × 5) × 100 + 25
       b. (2 × 1), (2 × 2), (2 × 3), (2 × 4), ...         Dengan melihat pola tersebut, hitunglah
       c. (2 + 1), (3 + 2), (4 + 3), (5 + 4), ...         soal-soal berikut ini dengan cepat.
 3.    Gunakan segitiga Pascal untuk meng-                a. 552
       uraikan bentuk perpangkatan berikut.               b. 652
       a. (x + y)5                                        c. 952
       b. (x + y)6                                        d. 1052
       c. (x – y)3                                   7.   Amatilah kesamaan-kesamaan berikut.
       d. (x – y)4                                               3
                                                                   + 23 = 1 + 8 = 9 = 32 = (1 + 2)2
 4.    Berapa jumlah dari:                                       3
                                                                   + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 = 62
       a. sembilan bilangan ganjil yang                                      = (1 + 2 + 3)2
            pertama,                                             3
                                                                   + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2
       b. sebelas bilangan ganjil yang                    Dengan melihat pola tersebut, hitunglah
            pertama,                                      soal-soal berikut ini dengan cepat.




140         Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    a.   13 + 23 + 33 + 43 + 53                  8.   Tentukan urutan bilangan yang habis
    b.   13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63                  dibagi:
    c.   13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73             a. 10;             c. 2;
    d.   13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83        b. 5;              d. 3.


B. Barisan dan Deret Bilangan
1. Barisan Bilangan
Bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan)
                                                                    InfoMatika
tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Misalnya,
barisan bilangan
a. 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116                                     Terdapat dua macam
                                                                    deret bilangan
b. 1, 3, 5, 7, 9, ..., 51 dan                                       berdasarkan atas
c. 2, 4, 6, 8, 10, ...,98.                                          banyaknya suku pada
     Suatu barisan bilangan dapat pula dibentuk dari                deret tersebut, yaitu
                                                                    deret berhingga dan
bilangan-bilangan yang tidak mempunyai pola (aturan)                deret tak berhingga.
tertentu, misalnya barisan bilangan 1, 2, 5, 7, 3, 4... . Barisan   Deret berhingga adalah
                                                                    suatu deret yang banyak
bilangan seperti ini disebut barisan bilangan sebarang.             sukunya terbatas.
     Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan                 Contoh, 1 + 2 + 3 + ...
                                                                    + 100. Deret ini ditulis
bilangan disebut suku barisan tersebut. Misalnya, pada              dengan notasi U1 + U2 +
barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, ... suku ke-1 dari barisan      ... + Un. Adapun deret
                                                                    tak berhingga adalah
tersebut adalah 1, suku ke-2 adalah 3, suku ke-3 adalah 5,          deret yang banyak
dan seterusnya. Dapatkah kamu menentukan suku ke-1,                 sukunya tak terbatas.
                                                                    Contoh, 1 + 2 + 3 + ....
suku-2, dan suku-5 dari barisan 1, 2, 5, 7, 3, 9...,61.             Deret ini biasanya ditulis
     Jadi, suatu barisan bilangan dapat dikatakan sebagai           dengan notasi
                                                                    U1 + U2 + U3 + ....
suatu barisan yang dibentuk oleh suku-suku bilangan.                Dapatkah kamu
                                                                    membedakan kedua
2. Deret Bilangan                                                   macam deret tersebut?
                                                                    Coba beri contoh lain
Amati kembali barisan-barisan bilangan berikut.                     deret berhingga dan
a. 40, 44, 48, 52, 56,                                              deret tak berhingga.
b. 1, 3, 5, 7, 9,
c. 2, 4, 6, 8, 10.
    Berdasarkan pola ketiga barisan tersebut, dapat diperoleh
penjumlahan berikut.
a. 40 + 44 + 48 + 52 + 56,
b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9,
c. 2 + 4 + 6 + 8 + 10.
    Penjumlahan suku-suku dari barisan-barisan tersebut
dinamakan deret. Oleh karena itu, jika U1, U2, U3, ..., Un
adalah suatu barisan bilangan maka U1 + U2 + U3 + ... + Un
dinamakan deret.


                                                             Barisan dan Deret Bilangan     141
        Matematika              3. Barisan Aritmetika
        Ria                     Amati keempat barisan bilangan berikut.
 Berikut adalah                 a. 1, 3, 5, 7, 9, ..., Un,
 sekumpulan bilangan            b. 99, 96, 93, 90, ..., Un,
 yang di antaranya
 terdapat beberapa              c. 1, 2, 5, 7, 12, ..., Un,
 bilangan yang memenuhi         d. 2, 4, 8, 16, 32, ..., Un.
 rumus
        n(n   )                      Selisih dua suku berurutan pada barisan (a) selalu
 Un =
          2                     tetap, yaitu 2. Demikian pula selisih dua suku berurutan
 Jika U1 = 1,                   pada barisan (b) selalu tetap, yaitu 3. Barisan bilangan yang
 hubungkanlah bilangan-
 bilangan yang memenuhi         demikian dinamakan barisan aritmetika. Adapun selisih dua
 rumus tersebut dengan          suku berurutan pada barisan (c) tidak tetap. Barisan bilangan
 garis. Bentuk apakah
 yang kamu peroleh?             (c) bukan merupakan barisan aritmetika. Apakah barisan (d)
                            •   merupakan barisan aritmetika? Coba selidiki olehmu.
       •                 • 28
              •                      Pada barisan aritmetika, selisih dua suku berurutan
      11             • 36
              8
   •     •      •
                    45      •   dinamakan beda dan dilambangkan dengan b. Secara umum,
  55     7                 21
               66       •       barisan aritmetika didefinisikan sebagai berikut.
      •     •          10
      4    78        •      •
                                 Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un, Un + 1 dinamakan barisan
  •        •         6     17    aritmetika jika untuk setiap n bilangan asli memenuhi
 91        1            • •      Un + 1 – Un = Un – Un–1 = ... = U2 – U1 = b.
    •    •        •    20 15
   44 82          3                 Jika suku pertama barisan aritmetika adalah a dengan
                                beda b maka barisan aritmetika U1, U2, U3, ..., Un menjadi
                                a, a + b, a + 2b, ..., a + (n – 1)b


                                U1 U2       U3             Un
                                    Dengan demikian, suku ke-n barisan aritmetika
                                dirumuskan sebagai berikut.
                                                   Un = a + (n – 1) b
                                   Dapatkah kamu menemukan rumus Un + 1 dengan
                                menggunakan rumus suku ke-n yang telah kamu ketahui?
                                Contoh 6.1


                                1.   Selidikilah apakah barisan-barisan berikut merupakan
                                     barisan aritmetika atau bukan.
                                     a. 1, –1, –3, –5, –7, –9, –11, –13, –15
                                     b. 2, –2, 2, –2, –2
                                     Penyelesaian:
                                     a. Barisan aritmetika dengan b = –1 – 1 = –3 – (–1)
                                                                     = –5 – (–3) = –2


142     Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
     b. Bukan barisan aritmetika karena selisih dua suku yang         Siapa
          berurutan tidak sama atau tidak tetap.                      Berani?
2.   Tentukan suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 3
     kurang dari 100.                                                 1. Di antara barisan-
                                                                         barisan bilangan
     Penyelesaian:                                                       berikut, selidiki
     Barisan bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100              manakah yang
     adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99.                                        merupakan barisan
                                                                         aritmetika?
     a = 3 dan b = 3 sehingga Un = a + (n – 1)b                                   1       1
                                                                          a. 5, 4   , 4, 3 ,
     U20 = 3 + (20 – 1)3 = 3 + 57 = 60                                            2       2
     Jadi, suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 3 kurang               1
                                                                             3, 2
                                                                                  2
     dari 100 adalah 60.
                                                                          b. 2, 1, 1 , 1 , 1
3.   Tuliskan lima suku pertama barisan aritmetika jika diketahui                   2   4 8
                     2                                                    c. 5, 11 , 16,
     a = 5 dan b =     .                                                         2
                     5                                                          1
     Penyelesaian:                                                           21 , 27
                                                                                2
                           2                                          2. Tuliskan lima suku
     U1 = a = 5 dan b =                                                  pertama barisan
                           5
                        2    2                                           aritmetika jika
     U2 = a + b = 5 +     =5                                             diketahui
                        5    5                                           u6 = 9 dan u10 = 24.
                                        2       4
     U3 = a + (3 – 1) b = a + 2b = 5 + 2     =5
                                        5       5
                                         2      1
     U4 = a + (4 – 1)b = a + 3b = 5 + 3      =6
                                         5      5
     U5 = a + (5 – 1)b = a + 4b = 5 + 4
                                           2
                                              =6
                                                  3                         Catatan
                                           5      5
                                                                      Jika aturan suatu barisan
     Jadi, lima suku pertama barisan tersebut adalah 5, 5 2 , 5 4 ,   aritmatika ditambah b
                                                           5    5
      1       3                                                       maka suku ke-n akan
     6 , dan 6 .                                                      memuat
      5       5
                                                                      b × n, yaitu
                                                                      Un = b × n + ... atau
                                                                      Un = b × n – ...
4. Deret Aritmetika                                                   Contoh:
Berdasarkan pola kedua barisan aritmetika pada Bagian 3,              Tentukan rumus suku
                                                                      ke-n dari 7, 10, 13, 16,
dapat diperoleh penjumlahan sebagai berikut.                          ..., 64.
a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + Un.                                      Penyelesaian:
                                                                      Oleh karena aturannya
    Deret ini dinamakan deret aritmetika naik karena nilai            ditambah tiga maka suku
    Un semakin besar.                                                 ke-n memuat 3n, yaitu
                                                                      U1 = 7 = 3 × 1 + 4
b) 99 + 96 + 93 + 90 + ... + Un.                                      U2 = 10 = 3 × 2 + 4
    Deret ini dinamakan deret aritmetika turun karena nilai           U3 = 13 = 3 × 3 + 4
                                                                      (Nilai 4 ditentukan sendiri
    Un semakin kecil.                                                 agar hasilnya sama
    Kamu dapat menentukan suku-suku pada deret                        seperti suku barisan
                                                                      yang dimaksud). Uraian
aritmetika sebagai berikut.                                           tersebut menggambar-
    Misalkan, jumlah n suku pertama deret tersebut                    kan rumus suku ke-n dari
                                                                      barisan
dilambangkan dengan Sn maka                                           7, 10, 13, 16, ..., yaitu
                                                                      Un = 3 × n + 4 = 3n + 4.




                                                               Barisan dan Deret Bilangan       143
                               Sn = a + (a + b) + ... + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)
                               Sn = (a + (n – 1)b) + (a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a
                                                                                            +
                               2Sn = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b)

                                                             n faktor sama
                                                                        n
                               2Sn = n(2a + (n – 1)b) maka Sn =           (2a + (n – 1)b)
                                                                        2
     Tugas                          Jadi, jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
     untukmu
                                                             n
 Dapatkah kamu
                                                      Sn =     (2a + (n – 1)b)
                                                             2
 membuktikan bahwa
 pada deret aritmetika             Oleh karena Un = a + (n – 1)b, rumus Sn dapat dituliskan
 berlaku
 Un = Sn – Sn – 1?             sebagai berikut.
 Tuliskan hasil pembuktian
 tersebut pada buku
                                                    n                   n
                                             Sn =     (a + Un) atau Sn = (U1 + Un)
 tugasmu, kemudian                                  2                   2
 kumpulkan pada gurumu.
                                  Dapatkah kamu menemukan rumus Sn + 1 dengan
                               menggunakan rumus Sn yang telah kamu ketahui?
                               Contoh 6.2


                               1.   Tentukan jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang
                                    habis dibagi 7.
                                    Penyelesaian:
                                    Jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis
                                    dibagi 7 adalah 252 + 259 + 266 + ... + 994.
                                    Deret bilangan ini merupakan deret arimetika dengan
                                    a = 252, b = 7, dan Un = 994 sehingga
                                    Un = a + (n – 1)b 994 = 252 + (n – 1)7
                                                       994 = 252 + 7n – 7
                                                       994 = 245 + 7n
                                                       7n = 994 – 245
                                                       7n = 749
                                                       n = 107
      Hal Penting                   Sn = n (a + Un) maka S107 = 107 (252 + 994) = 66.661
                                         2                          2
 •    pola bilangan
                                    Jadi, jumlahnya adalah 66.661.
 •    barisan aritmetika       2.   Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dirumuskan
 •    barisan geometri              dengan Sn = 5n2 – 4n. Tentukanlah suku ke-n deret
 •    deret aritmetika
 •    deret geometri                tersebut.
 •    sukubeda                      Penyelesaian:
 •    segitiga Pascal
 •    jumlah n suku pertama
                                    Jumlah n suku pertama adalah Sn = 5n2 – 4n
                                    Jumlah (n – 1) suku pertama adalah



144      Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    Sn–1 = 5(n – 1)2 – 4(n – 1) = 5(n2 – 2n + 1) – 4(n – 1)         Siapa
         = 5n2 – 10n + 5 – 4n + 4 = 5n2 – 14n + 9                   Berani?
    Un = Sn – Sn–1 = (5n2 – 4n) – (5n2 – 14n + 9)
         = 5n2 – 4n – 5n2 + 14n – 9 = 10n – 9                        1. Jumlah n suku
                                                                        pertama suatu deret
    Jadi, suku ke-n deret tersebut adalah Un = 10n – 9.                 aritmetika ditentukan
                                                                        oleh rumus
                                                                        Sn = 2n2 + 3n.
Contoh 6.3                                                              Tentukan suku ke-n
                                                                        dan beda (b) deret
                                                                        tersebut.
Sebuah perusahaan mobil mainan memproduksi 3.000 buah                2. Sebuah perusahaan
mobil mainan di tahun pertama produksinya. Karena permintaan            kompor memproduksi
                                                                        4.000 buah kompor
konsumen setiap tahunnya meningkat, perusahaan tersebut
                                                                        di tahun pertama
memutuskan untuk meningkatkan jumlah produksinya dengan                 produksinya.
menambah produksi mobil mainan sebanyak 10% dari produksi               Setiap tahun
                                                                        jumlah produksinya
awal tiap tahunnya. Tentukanlah:                                        bertambah dengan
a. Jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun ke-                   jumlah yang sama.
    delapan;                                                            Total produksi
                                                                        sampai dengan tahun
b. Jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai dengan              kedelapan adalah
    tahun kedelapan.                                                    37.600 buah.
                                                                        a. Berapa
Penyelesaian:
                                                                            penambahan
Langkah 1                                                                   produksi setiap
Menentukan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.                 tahunnya?
                                                                        b. Berapa kompor
Diketahui: Suku pertama (a) = 3.000                                         yang diproduksi
           Beda (b) = 10% × 3.000 = 300                                     pada tahun
           n=8                                                              kesepuluh?
                                                                     3. Seorang pengusaha
Ditanyakan:                                                             kecil meminjam modal
a. Jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun kedelapan             m rupiah dari suatu
                                                                        bank dengan suku
    (U8).
                                                                        bunga tunggal 1,2%
b. Jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai tahun               per bulan. Setelah
    kedelapan (S8).                                                     setahun pengusaha
                                                                        itu mengembalikan
Langkah 2                                                               pinjaman dan
a. Menentukan U8 dengan menggunakan rumus                               bunga sebesar
    Un = a + (n – 1)b, sebagai berikut.                                 57.200.000,00. Berapa
                                                                        rupiah modal yang
    U8 = a + (8 – 1)b = a + 7b                                          dipinjam pengusaha
        = 3.000 + 7 (300) = 5.100                                       tersebut?
    Jadi, jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun
    kedelapan adalah 5.100 buah.
Langkah 3
                                                                      Tugas
b. Menentukan S8 dengan menggunakan rumus
                                                                      untukmu
    Sn = n (a + Un), sebagai berikut
        2                                                            Coba kamu gunakan
        8                                                            kalkulator untuk mencari
    S8 = (3.000 + U8) = 4 (3.000 + 5.100) = 32.400                   S107 dari Contoh 6.2
        2
                                                                     nomor 1 tersebut.
    Jadi, jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai           Apakah hasil yang kamu
    tahun kedelapan adalah 32.400 buah.                              peroleh adalah 275?




                                                              Barisan dan Deret Bilangan    145
                                  5. Barisan Geometri
  InfoMatika
                                  Amatilah ketiga barisan berikut ini.
                                  a. 5, 15, 45, 135,
                                  b. 160, 80, 40, 20,
                                  c. 2, 8, 24, 120.
                                  Pada barisan (a) tampak bahwa 15 = 45 = 135 = 3.
                                                                                     5      15   45
                                       Jadi, perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan
                                  tersebut sama, yaitu 3. Demikian pula barisan (b) memiliki
       Johan Gauss                perbandingan yang sama untuk dua suku yang berurutan,
       (1771–1885)                      1
                                  yaitu   . Barisan bilangan (a) dan (b) dinamakan barisan
 Banyak orang                           2
 mengatakan, Johan
 Gauss adalah seorang
                                  geometri. Adapun perbandingan dua suku yang berurutan
 jenius dalam aritmetika.         pada barisan (c) tidak sama. Barisan (c) bukan merupakan
 Ketika ia berusia 9
 tahun, seorang guru
                                  barisan geometri.
 menyuruh murid-murid                 Perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan
 di kelasnya untuk
 menjumlahkan deret
                                  geometri dinamakan pembanding atau rasio, dilambangkan
 bilangan                         dengan p.
 1 + 2 + 3 + ... + 40.
 Gauss hanya
                                  Secara umum, barisan geometri didefinisikan sebagai
 memerlukan waktu                 berikut.
 beberapa saat saja
 untuk memperoleh                  Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un, Un+1 dinamakan barisan
 jawaban (820), bahkan             geometri apabila untuk setiap n bilangan asli berlaku
 tanpa menulis sesuatu.
 Ia mendapat jawaban               Un       1
                                                    Un           Un   1
                                                                                    U2
 dalam otaknya dengan                           =            =            = ... =      =p
 menyadari jumlah itu
                                       Un           Un   1
                                                                 Un   2
                                                                                    U1
 dapat dipikirkan sebagai
 berikut:                             Jika suku pertama barisan geometri adalah a dengan
 (1 + 40) + (2 + 39) +            pembandingnya p maka barisan geometri U1, U2, U3, ..., Un
 ... + (20 + 21) = 41 +
 41 + ... + 41 = 20 × 41          dinyatakan dengan
 = 820.                            a, ap, ap2, ..., apn–1, ...
 Raja sangat kagum akan
 kemampuan Gauss muda
 sehingga raja bersedia
 membayar biaya                   U1, U2, U3,..., Un
 pendidikannya. Akhirnya,         sehingga rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai
 Gauss menjadi salah
 satu ahli matematika             berikut.
 terkemuka di dunia.                                     Un = apn–1
 Ia juga meninggalkan
 hasil karyanya dalam
 bidang astronomi,
                                     Dapatkah kamu menemukan rumus Un + 1 dengan meng-
 pengukuran tanah, dan            gunakan rumus suku ke-n yang telah kamu ketahui?
 elektromagnetisme.
                                  Contoh 6.4
  Sumber: Khazanah Pengetahuan
     Bagi Anak-Anak Matematika,
                          1979
                                  1.    Selidiki apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan
                                        geometri atau bukan.



146     Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
     a. 1, 4, 16, 64, 256
                                                                      InfoMatika
     b. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
     Penyelesaian:
     a. Barisan geometri karena perbandingan dua suku ber-
         urutan sama, yaitu 4 = 16 = 64 = 256 = 4.
                              1     4       16     64
     b. Bukan barisan geometri karena perbandingan dua suku
                                        3    5
         berurutan tidak sama, yaitu           .
                                        1    3
2.   Tentukan pembanding (rasio) dan suku ke-8 dari barisan                   Fibonacci
     2, 6, 18, 54, ..., 39.366                                              (1180–1250)
     Penyelesaian:                                                    Fibonacci mempunyai
                                                                      nama lengkap Leonardo
     a = 2 dan p = 6 = 18 = 3                                         of Pisa. Dalam
                     2   6                                            perjalanannya ke
     Un = apn–1 sehingga U8 = 2 × 38–1 = 2 × 37 = 4.374.              Eropa dan Afrika Utara,
     Jadi, pembanding (rasio) = 3 dan suku ke-8 = 4.374.              ia mengembangkan
                                                                      kegemarannya akan
                                                                      bilangan. Dalam karya
                                                                      terbesarnya, Liber
6. Deret Geometri                                                     Abaci, ia menjelaskan
                                                                      suatu teka-teki yang
Seperti yang telah kamu ketahui, jika U1, U2, U3, ..., Un adalah      membawanya kepada
                                                                      apa yang sekarang
barisan geometri maka suku-sukunya dapat ditulis a, ap, ap2,          dikenal sebagai Barisan
ap3, ..., apn–1. Dari barisan geometri tersebut, kamu dapat           Bilangan Fibonacci.
                                                                      Barisannya adalah
memperoleh barisan penjumlahan berikut.                               1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ....
     a + ap + ap2 + ap3 + ... + apn–1                                 Setiap bilangan dalam
                                                                      barisan ini merupakan
     Barisan penjumlahan ini disebut deret geometri. Misalkan,        jumlah dari dua bilangan
jumlah n suku pertama deret geometri dilambangkan dengan              sebelumnya (1 + 1 = 2,
                                                                      1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5,
Sn maka berlaku hubungan berikut.                                     ...). Barisan Fibonacci
     Sn = a + ap + ap2 + ... + apn–2+ apn–1                           bisa diteliti dalam
                                                                      susunan daun bunga
     pSn = ap + ap2 + ap3 + ... + apn–1 + apn                         atau segmen-segmen
                                                                      dalam buah nanas atau
   (1 – p)Sn = a – apn                                                biji cemara.
             = a(1 – pn)                                              Sumber: Ensiklopedi Matematika
                                                                          & Peradaban Manusia, 2002
   Dengan demikian, jumlah n suku pertama deret
geometri adalah sebagai berikut.                                       Tugas
                                                                       untukmu
              a 1 pn                        a pn
       Sn =            ; p < 1 atau Sn =                ;p>1          Apakah mungkin suatu
               1 p                               p 1                  barisan aritmetika juga
                                                                      merupakan barisan
Contoh 6.5                                                            geometri?
                                                                      Coba selidiki olehmu.
                                                                      Berikan beberapa
Tentukan jumlah delapan suku pertama dari barisan                     contoh lalu amati.
                                                                      Kemudian, tulislah hasil
2, 6, 18, 54, ....                                                    penyelidikanmu pada
                                                                      buku tugasmu dan
                                                                      kumpulkan pada gurumu.




                                                               Barisan dan Deret Bilangan         147
                                   Penyelesaian:
        Catatan
                                   a = 2 dan p = 6 = 18 = 3
                                                   2     16
 Apabila aturan suatu
 barisan geometri dikali                  a pn
 dengan p, maka suku
                                   Sn =            sehingga
                                            p 1
 ke-n akan memuat
 pemangkatan dari p.                      2 38 1       2(6.561 1)
 Contoh:                           S8 =            =              = 6.560
 Tentukan rumus suku                       3 1              2
 ke-n dari 9, 27, 81, ....         Jadi, jumlah delapan suku pertamanya adalah 6.560.
 Penyelesaian:
 Oleh karena aturannya
                              2.   Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan
 dikali tiga maka suku             dengan Sn = 23n – 1. Tentukan suku ke-n deret tersebut.
 ke-n memuat 3n, yaitu             Penyelesaian:
 U1 = 9 = 31 + 1 ditentukan
 sendiri agar hasilnya             Sn = 23n – 1 maka
 sama seperti suku                                                     23 n
 barisan yang dimaksud.            Sn–1 = 23(n–1) – 1 = 23n–3 – 1 =           –1
 U2 = 27= 32 + 1                                                       23
                                                                           3n           3n
 U3 = 81= 33 + 1                   Un = Sn – Sn – 1    = (23n – 1) – 2 3 1 = 23n – 2
 Uraian tersebut                                                         2             8
 menggambarkan rumus                                           3    3n           3n
                                                                                    7
 suku ke-n dari barisan                                = 8 2 2 = 7 2 =                × 23n
 9, 27, 81, ...,                                                8              8    8
 yaitu Un = 3n + 1.


                              Contoh 6.6


                              Di sebuah kabupaten, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008
  Tugas                       adalah 50.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk di
  untukmu                     kabupaten itu 10% per tahun, hitunglah jumlah penduduk di
                              kabupaten itu pada 1 Januari 2018.
 Dapatkah kamu                Penyelesaian:
 membuktikan bahwa
 pada deret geometri          Langkah 1
 berlaku                      Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.
 Un = Sn – Sn – 1? Tuliskan
 hasil pembuktian tersebut
                              Diketahui:
 pada buku tugasmu,
 kemudian kumpulkan
 pada gurumu.
                              Ditanyakan: Jumlah penduduk pada 1 Januari 2018.
                              Langkah 2
                              Membuat model matematika dari masalah tersebut.
                              Misalkan, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008 adalah
                              U1 = 50.000 maka diperoleh model berikut.
      Uji Kecerdikan
                                   U2 = 50.000 + 0,1(50.000)                  (gunakan sifat distributif)
 Dari suatu deret geometri            = 50.000 (1 + 0,1)
 diketahui Sn = 150,
 Sn + 1 = 155, dan
                                      = 1,1 × 50.000
 Sn + 2 = 157,5. Tentukan
 suku pertama deret                U3 = 1,1 × 50.000 + 0,1(1,1 × 50.000)                  (gunakan sifat
 tersebut.
                                      = 1,1 × 50.000 (1 + 0,1)                               distributif)



148     Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
        = 1,1 × 50.000 × 1,1                                             Siapa
        = (1,1)2 × 50.000                                                Berani?

      U4 = (1,1)2 × 50.000 + 0,1{(1,1)2 × 50.000}   (gunakan sifat       1. Awal bulan, Pak
                2                                                           Tobing menabung di
         = (1,1) × 50.000 (1 + 0,1)                    distributif)         suatu bank sebesar
         = (1,1)2 × 50.000 (1,1)                                            Rp100.000,00 dengan
         = (1,1)3 × 50.000                                                  suku bunga majemuk
                                                                            1% per bulan.
Dengan demikian, diperoleh barisan berikut.                                 Berapa rupiah jumlah
U1, U2, U3, U4, ...                                                         tabungan Pak Tobing
                                                                            setelah disimpan
50.000 (1,1) × 50.000 (1,1)2 × 50.000 (1,1)3 × 50.000 ....                  selama 1 tahun?
Langkah 3                                                                2. Seekor ikan
Menentukan jumlah penduduk pada 1 Januari 2018.                             berenang lurus
                                                                            dengan kecepatan
Amati bahwa barisan yang diperoleh pada Langkah 2 adalah                    tetap 32 km/jam
barisan geometri dengan suku pertama U1 = a = 50.000 dan                    selama jam pertama.
pembanding p = 1,1. Jumlah penduduk pada 1 Januari 2018                     Pada jam kedua
                                                                            kecepatannya menjadi
adalah suku ke-11 atau U11. Mengapa? Coba kamu jelaskan                     2
                                                                              -nya, demikian
alasannya.                                                                  3
Rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = apn – 1 maka                   seterusnya setiap jam
                                                                            kecepatannya menjadi
U11 = 50.000(1,1)11 – 1 = 50.000(1,1)10 = 129.687,123
                                                                            2
                                                                              kecepatan jam
Jadi, jumlah penduduk pada 1 Januari 2018 adalah 129.687 jiwa.              3
                                                                            sebelumnya. Berapa
                                                                            kilometer jarak
                                                                            yang ditempuh ikan
Contoh 6.7                                                                  tersebut pada 8 jam
                                                                            pertama?

Bu Aminah membeli mobil baru seharga Rp 200.000.000,00.
Mobil tersebut mengalami depresiasi (penurunan harga jual)
sebesar 20% pada setiap akhir 1 tahun. Berapa rupiah harga jual
mobil tersebut pada akhir tahun keenam?
Penyelesaian:
Langkah 1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.
Diketahui: Harga mobil baru Rp200.000.000,00
           Depresiasi 20% atau 0,2 setiap akhir 1 tahun
Ditanyakan: harga jual mobil pada akhir tahun keenam.                         Catatan
Langkah 2
Membuat model matematika dari masalah pada soal, sebagai                 Perhitungan suku
berikut. Misalnya harga mobil baru adalah a = 200.000.000,00             bunga majemuk adalah
                                                                         perhitungan bunga
dengan demikian diperoleh model berikut.                                 yang akan diperoleh
                                                                         pada bulan atau tahun
                                                                         berikutnya, dihitung
    U2 = 200.000.000 – 0,2 (200.000.000)               (gunakan sifat
                                                                         dari saldo pada bulan
       = 200.000.000 (1 – 0,2)                            distributif)   atau tahun sebelumnya.
       = 0,8 × 200.000.000                                               Penjelasan lebih dalam
                                                                         tentang materi ini akan
                                                                         kamu temui di tingkat
    U3 = 0,8 × 200.000.000 – 0,2 (0,8 × 200.000.000)                     SMA/SMK




                                                                 Barisan dan Deret Bilangan       149
                                             = 0,8 × 200.000.000 (1 – 0,2)        (gunakan sifat distributif)
      InfoNet                                = 0,8 × 200.000.000 (0,8)
                                             = (0,8)2 × 200.000.000
 Kamu dapat menambah
 wawasanmu tentang materi
 dalam bab ini dari internet              U4 = (0,8)2 × 200.000.000 – 0,2 (0,82 × 200.000.000)
 dengan mengunjungi                          = (0,8)2 × 200.000.000 (1 – 0,2) (gunakan sifat distributif)
 alamat:
 www.smu-net.com/main.                       = (0,8)2 × 200.000.000 (0,8)
 php?act=um&gptp=materi&                     = 0,83 × 200.000.000
 umtr=2
                                          Dengan demikian, diperoleh barisan berikut.
                                          a, U2, U3, U4, ....
                                          200.000.000, (0,8) × 200.000.000, (0,8)2 × 200.000.000,
                                          (0,8)3 × 200.000.000, ....
                                     Langkah 3
                                     Menentukan harga jual mobil pada akhir tahun keenam (U7),
                                     sebagai berikut. Amatilah bahwa barisan yang diperoleh pada
 Siapa                               langkah ke-2 adalah barisan geometri dengan suku pertama (U1)
 Berani?                             = 200.000.000 dan pembanding p = 0,8. Rumus suku ke-n barisan
                                     geometri adalah Un = apn – 1 maka
  Dari deret geometri                U7 = 200.000.000 (0,8)7 – 1
  diketahui U4 : U6 = k dan
                                        = 200.000.000 (0,8)6
  U2 × U8 = 1 .
                k                       = 52.428.800
  Nyatakan suku pertama              Jadi, harga jual mobil pada akhir tahun keenam adalah
  deret tersebut dalam k.
                                     Rp52.428.800,00.



      Tes Kompetensi 6.2

 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.

 1.    Tentukan beda dan suku ke-10 dari                3.   Tentukan masing-masing 5 contoh
       barisan berikut.                                      barisan aritmetika dan bukan barisan
       a. –17, –11, –5, ...                                  aritmetika selain contoh yang sudah ada.
             1 2 3                                      4.   Carilah suku ke-n deret aritmetika jika
       b.     , , , ...
             2 5 10                                          diketahui suku pertama (a) dan beda (b)
                1         1                                  berikut.
       c. –10 , –8, –5
                2         2                                  a. a = 9, b = –3, dan n = 24
       d.    1 2 3 , k, ...                                  b. a = 12, b = –7, dan n = 8
              k, k,
             5 5 5                                           c. a = –4, b = 4, dan n = 100
 2.    Tentukan rumus suku ke-n dari setiap baris-           d. a = 2, b = 9, dan n = 15
       an bilangan berikut.                             5.   Tulislah lima suku pertama dari barisan
       a.     2, 5, 8, 11, ...                               yang suku ke-n-nya dinyatakan dengan
       b.     16, 32, 64, 128, ...                           rumus berikut.
       c.     35, 31, 27, 23, ...                            a. 2n + 1             c. n2 + n
       d.     108, 36, 12, 4, ...                                  2
                                                             b. n + 1              d. 5 × 2n–1



150         Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
 6. Tentukan rasio (pembanding) dan suku       12. Tentukan nilai t agar barisan berikut
    ke-n (Un) dari setiap barisan geometri         menjadi barisan geometri.
    berikut.                                       a. t, t + 2, t + 6
    a. 1, –1, 1, ...                               b. t – 2, t + 1, 3t + 3
    b.   2, 8, 32, ...                         13. Carilah nilai dari
               1     1                             (2 + 4 + 6 + ... + 100) – (1 + 3 + 5 + ... + 99).
    c.   5, 2 , 1 .                            14. Hitunglah deret bilangan berikut.
               2     4
    d.  1, 7, 49, ...                               a.    1    1   1 1       1  1
                                                                        ...
 7. Berapakah jumlah dua belas suku per-                  2    4   8 16     52 104
    tama deret berikut.                            b. 11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 +
    a. –5 + (–2) + 1 + ...                              88 + 99
    b. 6 + 1 + (–4) + ...                          c. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 94 + 96 + 98 + 100
    c. 32 + 16 + 8 + ...                       15. Carilah x sehingga x + 3, 2x + 1, dan
    d. 1 1 1 ...                                   5x + 2 adalah bilangan berurutan yang
         3   9   27                                memenuhi barisan aritmetika.
Untuk soal nomor 8 sampai dengan nomor         16. Sebuah bank swasta memberikan bunga
10, tentukan jumlah barisan untuk soal-soal        majemuk 6% per tahun. Jika bunganya
berikut.                                           ditutup setiap akhir tahun, berapakah
 8. Tiga puluh bilangan cacah yang pertama.        uang nasabah sebesar Rp1.000.000,00
 9. Dua puluh lima bilangan asli genap yang        setelah disimpan selama 4 tahun?
     pertama.                                  17. Dalam suatu rapat, setiap peserta diminta
10. Dua puluh delapan bilangan ganjil yang         berjabatan tangan satu kali dengan pe-
     pertama.                                      serta lain. Berapa kalikah jabatan tangan
11. Jumlah n suku pertama suatu deret              yang terjadi jika peserta yang datang
     aritmetika adalah Sn = 3n2 – 5(n – 1).        sebanyak:
     Tentukan:                                     a. 5 orang;             c. 15 orang
     a. suku ke-10;                                b. 8 orang              d. 20 orang
     b. beda;
     c. sepuluh suku pertama deret tersebut.




                 Ringkasan
Berikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini.
1. Beberapa pola barisan bilangan, di antara-    d. barisan bilangan persegi adalah
    nya adalah sebagai berikut.                       1, 4, 9, 16, ..., dan
    a. barisan bilangan ganjil adalah         2. Barisan bilangan berpola diperoleh dengan
         1, 3, 5, 7, ...,                        mengurutkan bilangan-bilangan dengan
    b. barisan bilangan genap adalah             aturan tertentu, dan tiap-tiap bilangan
         2, 4, 6, 8, ...,                        yang terdapat pada barisan bilangan di-
    c. barisan bilangan segitiga adalah          sebut suku dari barisan itu.
         1, 3, 6, 10, ...,


                                                              Barisan dan Deret Bilangan        151
 3.   Rumus suku ke-n barisan aritmetika         6.   Jumlah n suku pertama deret geometri
      Un = a + (n – 1)b                                      a 1 pn
 4.   Jumlah n suku pertama deret aritmetika          Sn =            ;p<1
                                                              1 p
             n                   n                    atau
      Sn =     (a + Un) atau Sn = (U1 + Un)
             2                   2
 5.   Rumus suku ke-n barisan geometri                       a pn 1
                                                      Sn =            ;p>1
      Un = apn –1                                             p 1

 Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata-
 katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu.



        Refleksi
 1.   Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi
      kelasmu.
 2.   Setiap anggota kelompok menceritakan tentang faktor-faktor yang menghambatmu
      dalam memahami materi Barisan dan Deret Bilangan.
 3.   Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok
      lain.



               Tes Kompetensi Bab 6

 Kerjakanlah pada buku tugasmu.
 Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.

 1. Suku berikutnya dari barisan 1, 3, 6,        3. Hasil dari 3472 – 3462 sama dengan
    10 adalah ....                                  ....
    a. 14                                           a. 2(347 – 346)
    b. 15                                           b. 2(347) – 346
    c. 16                                           c. 2(347) + 346
    d. 17                                           d. 347 + 346
 2. Jumlah 17 bilangan ganjil yang               4. Suku berikutnya dari barisan 3, 6, 11,
    pertama sama dengan ....
                  a                                 18 adalah ....
    a. 361                                          a. 28
    b. 324                                          b. 27
    c. 289                                          c. 26
    d. 256                                          d. 25




152     Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
5. Suku ke-n dari suatu barisan di-            10. Jika suku ke-n dari suatu barisan adalah
   tentukan dengan rumus 2n – 1. Suku              5n2 – 3, suku ke-7 adalah ....
   ke-5 dari barisan tersebut adalah ....          a. 242             c. 122
   a. 31              c. 33                        b. 177             d. 67
   b. 32              d. 34                    11. Suku pertama dan kedua suatu deret
6. Rumus suku ke-n dari barisan 0, 2, 6,           geometri berturut-turut adalah 2–4
   12, 20 adalah ....                              dan 2x. Jika suku kedelapan adalah 252
   a. n(n + 1)                                     maka x sama dengan ....
   b. 2n2 + 1                                      a. –16
   c. 2n2 – n                                      b. 12
   d. n2 –n                                        c. 8
7. Amoeba yang terdiri atas satu sel berkem-       d. 4
   bang biak dengan cara membelah              12. Suku kelima dan kesepuluh dari
   diri. Setelah 20 menit, Amoeba itu              suatu barisan aritmatika berturut-
   membelah menjadi 2 ekor, setelah                turut adalah 30 dan 50. Suku ketujuh
   40 menit menjadi 4 ekor, setelah 60             barisan tersebut adalah ....
   menit menjadi 8 ekor, dan demikian              a. 25
   seterusnya. Banyaknya Amoeba setelah            b. 35
   3 jam adalah ....                               c. 38
   a. 512 ekor                                     d. 48
   b. 256 ekor                                                              11         21
   c. 128 ekor                                 13. Suku ke-31 barisan 3, , 8, , ...,
                                                                            2      2
   d. 64 ekor                                      98 adalah ....
                                                   a. 65
8. Ibu Ina pergi ke Jakarta selama 50
                                                   b. 78
   hari. Jika ia berangkat hari Sabtu, ia
                                                   c. 80
   kembali hari ....
                                                   d. 82
   a. Sabtu
   b. Minggu                                   14. Pada suatu barisan aritmetika, U1 = 10
   c. Senin                                        dan U28 = 91. Beda antara dua suku
   d. Selasa                                       yang berurutan adalah ....
                                                   a. 2
9. Jika suku ke-n dari suatu barisan
                                                   b. 3
                             n
    bilangan adalah             , tiga suku        c. 4
                           2n 1
    pertamanya adalah ....                         d. 5
         2 3               2 5                 15. Jumlah 50 suku pertama deret –98,
    a. 1, ,           c. 1, ,
         5 7               3 3                     –95, –92, –89, ... adalah ....
       1 2 5               2 3                     a. –1.552        c. –1.035
    b.   , ,          d. 1, ,
       3 3 3               3 5                     b. –1.225        d. 1.025




                                                          Barisan dan Deret Bilangan        153
             Tes Kompetensi Semester 2
 Kerjakanlah pada buku tugasmu.
 Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.

 1. Nilai n jika 3 125 = n + 2 adalah ....               6. Jika       2 = 1,414; maka nilai dari
    a. 5             c. –7                                       50 adalah ....
    b. 4             d. –3                                  a. 7,07
 2. Bilangan nol dipangkatkan dengan                        b. 7,14
    bilangan bulat positif akan meng-                       c. 14,14
    hasilkan ....                                           d. 6,414
    a. bilangan bulat positif                            7. Diketahui a – b = 4 maka nilai dari
    b. bilangan bulat negatif                                a b
                                                                       4

    c. bilangan nol (0)                                                3
                                                                           adalah ....
    d. bilangan real                                         b a
                                1        2                  a. 4
 3. Bentuk pangkat x                 y       dapat di-      b. 42
                                    2
                                x
      tuliskan tanpa pangkat bilangan bulat                 c. –4
      negatif menjadi ....                                  d. –42
                  2
                                    y2                   8. Bentuk yang paling sederhana dari
      a. xy                c.
                                    x2                      x5 x4 x
              y   2
                                    y2                              ; x ≠ 0 adalah ....
      b.                   d.                                 x x2
              x                     x3                      a. x5
 4. Sebuah bilangan bulat positif yang                      b. x6
    dipangkatkan dengan bilangan nol
                                                            c. x7
    hasilnya sama dengan ....
                                                            d. x8
    a. 0
    b. 1                                                 9. Bentuk sederhana dan rasional dari
    c. bilangan bulat positif                                     15       adalah ....
    d. bilangan bulat negatif                               5       10
                            p                                      15
 5.   Bentuk akar dari y r adalah ....                      a.        5          10
                                                                   35
              p
      a.          yr                                        b. 5 – 10
      b.      r
                  y   p                                             1
                                                            c.        5       10
              p                                                     3
      c.          x
              r
                                                            d. 5 +          10
      d.          x




154        Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
10. Diketahui barisan bilangan berikut.      16. Diketahui barisan bilangan 2, 4, 7,
    1, 4, 8, 13                                  11, ..., 56. Rumus suku ke-n barisan
    Suku berikutnya adalah ....                  tersebut adalah ....
    a. 19             c. 21                      a. Un = 1 (n + 3)
    b. 20             d. 22                              2
11. Diketahui barisan bilangan berikut.          b. Un = 1 (n2 + n + 2)
                                                         2
    1 × 2, 2 × 3, 3 × 4, ..., 51 × 52
                                                 c. Un = 1 (n + 2)
    Suku ke-n barisan tersebut adalah ....               2
    a. n2 + n                                    d. Un = 3 (n2 + 3)
    b. n2 – n                                            4
                                             17. Wawan pergi ke Bali selama 40 hari.
    c. (n – 1) × n
                                                 Jika ia berangkat pada hari Senin, ia
    d. n × (n – 2)
                                                 akan kembali hari ....
12. Diketahui barisan bilangan berikut.          a. Senin           c. Jumat
    600, 580, 560, 540, ..., 320.                b. Selasa          d. Sabtu
    Suku kedua belas dari barisan tersebut
                                             18. 2, 4, 6, 10, 16, ....
    adalah ....
                                                 Barisan bilangan tersebut adalah
    a. 380            c. 210
                                                 barisan bilangan ....
    b. 300            d. 200
                                                 a. segitiga
13. Jumlah 15 bilangan genap pertama             b. Fibonacci
    adalah ....                                  c. persegi
    a. 240            c. 220                     d. genap
    b. 230            d. 210
                                             19. Satu pasukan parade drum band yang
14. Suku ketiga dan suku kelima suatu            berjumlah 49 orang membentuk for-
    barisan geometri berturut-turut 27 dan       masi barisan. Paling depan 1 orang,
    243. Suku pertama barisan tersebut           kemudian di belakangnya bertambah
    adalah ....                                  2, dan berikutnya bertambah 2 lagi
    a. 2              c. 5                       dan seterusnya. Maka banyaknya
    b. 3              d. 6                       orang pada barisan terakhir adalah ....
15. Suatu jenis motor mengalami penu-            a. 11              c. 15
    runan harga sebesar 2% pada setiap           b. 13              d. 17
    akhir tahun. Pada Januari harga          20. Sebuah deret aritmetika terdiri dari
    motor baru Rp16.000.000,00. Harga            10 suku, jumlah suku pertama dan
    jual motor tersebut pada akhir tahun         ke-2 adalah 9. Adapun jumlah suku
    ke-4 adalah ....                             ke-5 dan ke-6 adalah 33. Jumlah deret
    a. Rp14.720.000,00                           tersebut adalah ....
    b. Rp14.740.000,00                           a. 30              c. 156
    c. Rp14.400.000,00                           b. 67              d. 165
    d. Rp14.080.000,00




                                                        Tes Kompetensi Semester 2    155
          Tes Kompetensi Akhir Tahun
 Kerjakanlah pada buku tugasmu.
 Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
 1. Rumus suku ke-n dari barisan 4, 7,              a. 225             c. 256
    10, 13 adalah ....                              b. 250             d. 265
    a. 3n + 1          c. 3n – 1                            3
                                                                   3    3

    b. 3n + 2          d. 3n – 2                 7. Jika      216     y , nilai y adalah ....
                                                                        2

                                                    a. 4              c. 12
 2. Panjang sebuah jalan pada peta yang
                                                    b. 6              d. 16
    mempunyai skala 1 : 500.000 adalah
    10 cm. Panjang jalan sesungguhnya            8. Frekuensi harapan munculnya mata
    adalah ....                                     dadu kelipatan dua yang dilempar
    a. 0,05 km         c. 5 km                      480 kali adalah ....
    b. 0,5 km          d. 50 km                     a. 80             c. 240 C
                                                    b. 160            d. 320
 3. Dari seperangkat kartu dilakukan
                                                 9. Pada gambar berikut dike-           D
    pengambilan secara acak sebanyak 260
                                                    tahui panjang BC = 20 cm. A            B
    kali dan setiap kali pengambilan kartu
    dikembalikan. Frekuensi harapan yang            Jika BD = 6 cm, panjang AD adalah ....
    terambil kartu As adalah sebanyak ....          a. 18 cm          c. 8 cm
    a. 5 kali          c. 40 kali                   b. 12 cm          d. 6 cm
    b. 20 kali         d. 60 kali               10. Jika luas permukaan tabung 858 cm2
 4. Diketahui data sebagai berikut.                 dan diameter tabung 21 cm maka
    28, 25, 26, 22, 24, 27, 22, 21, 29, 28,         volume kerucut dalam tabung tersebut
    27, 24, 22, 21, 24, 25, 25, 27, 23, 26.         adalah ....
    Median dari data tersebut adalah ....           a. 288,75 cm3
    a. 23              c. 25                        b. 866,25 cm3
    b. 24              d. 26                        c. 1.501,5 cm3
                                                    d. 1.732,5 cm3
 5. Jika diketahui luas permukaan sebuah
    tangki BBM yang berbentuk bola              11. Seorang pemain sepakbola telah men-
                                  22                cetak 68 gol dari 85 kali penampilan-
      adalah 2.464 m2 dan π =        maka           nya. Jika ia ingin mencapai rata-rata
                                  7
    jari-jari tangki tersebut adalah ....           gol 0,84 dalam 15 pertandingan se-
    a. 7 m              c. 21 m                     lanjutnya, banyak gol yang harus ia
    b. 14 m             d. 28 m                     cetak adalah ....
 6. Suku ke-15 dari barisan bilangan 1,             a. 13             c. 15
    4, 9, 16, ... adalah ....                       b. 14             d. 16




156    Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
                5        4
           52       73                                           x 2 y3
12. Jika                     = x maka nilai x   19. Bentuk                     dapat   dituliskan
                2        2                                        x 3
           75       54
                                                    tanpa pangkat bilangan bulat negatif
    adalah ....
                                                    menjadi ....
    a. 33            c. 35
                                                    a. x5y3            c. xy3
    b. 34            d. 36
                                                    b. x1y3            d. 2x3y
13. Segitiga KLM dengan besar K = 38°
                                                20. Suku ke-8 dari barisan bilangan 2, 7,
    dan L = 62° sebangun dengan segitiga
                                                    12, 17, ... adalah ....
    ABC dengan besar ....
                                                    a. 32              c. 42
    a. A = 38° dan B = 80°
                                                    b. 37              d. 47
    b. B = 62° dan C = 80°
    c. A = 80° dan C = 38°                      21. Dalam suatu kelas terdapat 25 siswa
    d. B = 38° dan C = 62°                          putri dan 15 siswa putra. Jika salah
                                                    seorang dipanggil oleh wali kelas
14. Peluang munculnya muka dadu ber-
                                                    secara acak, peluang terpanggilnya
    jumlah 5 pada pelemparan 2 buah
                                                    siswa putri adalah ....
    dadu adalah ....
                                                         5                       3
           1                      1                 a.                    c.
    a.                       c.                          8                       8
           9                      6                      3                       1
           1                       1                b.                    d.
    b.                       d.                          5                       4
           4                      36
15. Jumlah 7 suku pertama dalam 22. Volume kerucut yang garis pelukisnya
    barisan 2, 6, 18, ... adalah ....              20 cm dan jari-jarinya 12 cm dengan
    a. 486             c. 2.186                    π = 3,14 adalah ....
    b. 976             d. 4.372                    a. 752,6 cm3 c. 2.411,5 cm3
                                                   b. 5.024 cm3 d. 3.014,4 cm3
16. Simpangan kuartil dari data: 6, 4, 6,
    4, 2, 6, 5, 3, 6 adalah ....               23. Dua bola jari-jarinya masing-masing
    a. 1,75            c. 1,25                     adalah r1 dan R, sedangkan luas
    b. 1,50            d. 1,00                     kulitnya masing-masing L1 dan L2.
                                       R           Jika R = 4r maka L1 : L2 adalah ....
17. Amati gambar berikut. PQ//
                                                   a. 1 : 4         c. 1 : 16
    ST, PQ = 18 cm, ST = 12
                                                   b. 1: 8          d. 1 : 32
    cm, dan QR = 54 cm. S                  T
                                                             1           1
    Panjang TR adalah ....        P          Q 24. Jika a = 3 dan b = 5 2
                                                             4

    a. 18 cm           c. 36 cm                    maka 45 = ....
    b. 24 cm           d. 48 cm                    a. a2b           c. a2b2
18. Sebuah tabung dengan diameter 30               b. ab2           d. a4b
                               3
    cm diisi minyak sampai bagian. Jika 25. Mean dari data 25, 21, 28, 24, 25,
                               4                   27, x, 22, 23, 21 adalah 24. Nilai x
    volume minyak 8.478 cm3 maka tinggi
                                                   yang memenuhi adalah ....
    tabung tersebut adalah .... (π = 3,14)
                                                   a. 22            c. 24
    a. 4               c. 12
                                                   b. 23            d. 25
    b. 8               d. 16

                                                             Tes Kompetensi Akhir Tahun       157

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags: Matematika
Stats:
views:1335
posted:5/8/2012
language:Malay
pages:23