Geometri & Pengukuran

Document Sample
Geometri & Pengukuran Powered By Docstoc
					                                                                  GEOMETRI DAN PENGUKURAN


STANDAR KOMPETENSI
   2. Menggunakan Teorema Pythagoras dalam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR
Mengunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku.

D. Kajian Konteks Materi.

   1. Menghitung panjang sisi-sisi segitiga siku-siku

       .a Perhatikan Gambar 3.1; Setiap segitiga siku-siku mempunyai sisi-sisi yang terdiri atas 2 buah
          sisi siku-siku dan 1 buah sisi miring (hipotenusa).
                       C                                                        Sisi siku-siku adalah sisi yang membentuk sudut siku-
                                sis
                                   im                                           siku. Pada ∆ ABC di samping, sisi siku-sikunya adalah
                                     iri                                        AB dan AC. Sedangkan sisi miring (hipotenusa) adalah
           sisi siku-siku




                                        ng
                                           (   hip
                                                  ote                           sisi di hadapan sudut siku-siku. Pada ∆ ABC tersebut sisi
                                                     nu                         miringnya adalah BC.
                                                        sa)
                                                                                             .b
                            A     sisi siku-siku                  B




       b. Perhatikan Gambar 3.2 di samping.
       L                                                                    uas persegi pada salah satu sisi siku-siku 9, luas persegi pada
                                                                            sisi-siku-siku yang lainnya 16, dan luas persegi pada sisi
                                                                            miringnya 25.
       H                                                                    ubungan luas ketiga persegi pada segitiga siku-siku tersebut
                                                                            adalah :
                                                                            9 + 16 = 25 ⇔ 32 + 42 = 52
                                                                            Secara umum hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai
                                                                            berikut.
                                                                            Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku:
                                                                            Luas persegi pada sisi miring (hipotenusa) sama dengan
                                                                            jumlah luas persegi-persegi pada sisi yang lainnya (sisi siku-
                                                                            sikunya).

                                                                            Pernyataan di atas dikenal dengan nama teorema
       P                                                                    ythagoras.

       c. Pada gambar 3.3, ∆ ABC siku-siku di A, berlaku teorema Pythagoras:
                                                          B           BC2 = AC2 + AB2
                                                                      a2 = b2 + c2
                                         a
                                                              c       Dari rumus itu dapat diturunkan rumus-rumus lain yaitu :
                                                                      b2 = a2 – c2 dan c2 = a2 – b2
                            C                b                A




       e. Pada gambar 3.4, x merupakan sisi miring, maka:
                                                                              x2 = 42 + 32
                                         x                                       x2 = 16 + 9
             3                                                                   x2 = 25
                                                                               x = √ 25
                                     4
                                    Gambar 3.5
    x =5


   f. Pada gambar 3.5, x merupakan sisi siku-siku, maka:

                                           8           x2 = 172 – 82
                    x
                                                       x2 = 289 – 64
                            17                         x2 = √ 225
                            Gambar 3.6
                                                       x = 15



2. Kebalikan dari teorema Pythagoras.
        C
                                             Apabila dalam ∆ ABC siku-siku di A berlaku hubungan a2 = b2 +
                                             c2, maka sudut A adalah sudut siku-siku atau besar A = 90o.
                        a           a)Jika dalam ∆ ABC berlaku hubungan a2 = b2 + c2, maka ∆ ABC adalah
       b
                                    segitiga siku-siku (di A).
                                    b)Jika dalam ∆ ABC berlaku hubungan a2 > b2 + c2, maka ∆ ABC
                    c               merupakan segitiga tumpul.
        A                         B
       Gambar 3.4                   c)Jika dalam ∆ ABC berlaku hubungan a2 < b2 + c2, maka ∆ ABC
                                    merupakan segitiga lancip.


3. Menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku sudut istimewa.

                                               Perhatikan gambar 3.9. ∆ ABC adalah segitiga sama sisi sehingga ∠
                            C
                                               A = ∠ B = ∠ C = 60°, AB = BC = AC = 2.
                                               CD adalah garis tinggi sedemikian sehingga ∆ ABC terdiri dari dua
                2       30° 30° 2              segitiga siku-siku kongruen yaitu ∆ ADC dan ∆ BDC.
             60°                     60°
            A 1             D    1         B
                    Gambar 3.9

                    C
                                               Perhatikan gambar 3.10, karena CD membagi sisi AB pada ∆ ABC
                                               maka DB = 1 satuan dan ∠ DCB = 30° sehingga ∆ BDC adalah
                        30°      2             segitiga siku-siku dimana dua sudut yang lain 30° dan 60°.
                                               Maka CD = BC 2 − BD 2
                              60°
                    D         1   B                  CD =    2 2 − 12
                         Gambar 3.10
                                                     CD =    3
                                               Pada segitiga yang bersudut 30°, 60°, dan 90° akan berlaku
                                               BD :CD : BC = 1 : √3 : 2


                S                      R       Perhatikan gambar 3.11, PQRS adalah persegi, sehingga
                                               PQ = QR =RS = PS = 1 satuan. Dan ∠ P = ∠ Q = ∠ R = ∠ S = 90°.
                45°
                                               QS adalah diagonal PQRS sedemikian sehingga membagi PQRS
            1                                  menjadi dua segitiga kongruen yaitu ∆ QPS dan ∆ QRS dan
                                45°            ∠ PQR = ∠ PSQ = 45°.
                P           1          Q
                Gambar 3.11
             S                             Pada segitiga yang sudut-sudutnya 45o, 45o, dan 90o , panjang sisi siku-
                                           sikunya sama panjang, segitiga tersebut dinamakan segitiga siku-siku
                 45°                       sama kaki.
         1
                                           Pada gambar 3.11, PQ = PS = 1 satuan sehingga
                           45°                           QS2        = PQ2 + PS2
             P             1       Q                                     = 12 + 12
              Gambar 3.11                                QS2        =2
                                                   QS      = √2
                                           Jadi QS : PS : PQ = √2 : 1 : 1

D. Uji Pemahaman Konsep.

      1. Tentukan jenis segitiga berikut, jika diketahui ukuran sisi-sisinya 3 cm, 4 cm, dan 5 cm.
          Misalkan sisi terpanjang adalah a, dan sisi yang lainnya b dan c, maka:
                                                a = … cm, b = … cm, dan c = … cm
                                                a2          = ...2 = ...
                                                b2 + c2 = ....2 + ...2
                                                                         = ... + ...
                                                       = ...
                               Karena a2 ... b2 + c2, maka segitiga itu merupakan segitiga ... .

      1. Tentukan jenis segitiga berikut, jika diketahui ukuran sisi-sisinya 4 cm, 6 cm, dan 5 cm.
                                     a = … cm, b = … cm, dan c = … cm
                               a 2
                                           = ...2 = ...
                               b2 + c2 = ....2 + ...2
                                                         = ... + ...
                                                 = ...
                               Karena a ... b2 + c2, maka segitiga itu merupakan segitiga ... .
                                            2




      1. Tentukan jenis segitiga berikut, jika diketahui ukuran sisi-sisinya 7 cm, 13 cm, dan 9 cm
                                     a = … cm, b = … cm, dan c = … cm
                                                a2          = ...2 = ...
                                                b2 + c2 = ....2 + ...2
                                                                         = ... + ...
                                                                 = ...
                               Karena a ... b + c , maka segitiga itu merupakan segitiga ... .
                                            2        2     2




      1. Pada gambar 3.6, x merupakan sisi miring, maka:
                                                                 x2 = ... 2 + ... 2
         24
                               40                                x2 = ... + ...
                                                     x2 = ...
                       x
        Gambar 3.7
                                                     x = √ ...
                                                                  x = ...


      1. Pada gambar 3.7, x merupakan sisi siku-siku, maka:
                                                           x2 = ... 2 – ... 2
                  x                    5
                                                                = ... – ...

                           13
         Gambar 3.8
             = √ ...
               x = ...




       1.
                                                         y = ...
                                                         x2 = ... 2 – ... 2

                         y                                     = ... – ...
            x                                                  = √ ...
                                                     x = ...
                         60°
                    2
            Gambar 3.12


       1.
                    y                                    y = ...
                        60°                              x2 = ... 2 – ... 2
                                                               = ... – ...
            x                                                  = √ ...
                        10
                                                     x = ...

            Gambar 3.13


       1.
                                                         x = ...

                         y                               y2 = ... 2 – ... 2
            x
                                                               = ... – ...
                         45°                                   = √ ...
                    4                                y = ...
            Gambar 3.14




C. Uji Pemahaman dan Penerapan Konsep.

   1. Tentukan nilai x agar ketiga bilangan 3x, 4x, dan 10 merupakan tripel Pythagoras( 3x< 4x< 10) !.
       Jawab :
                   ... 2 + ... 2 = ... 2
                ... x2 = ...
                     x = ...
   2. Nilai x = ....
                             Jawab :
                             (3x)2 + (4x)2 = ...2
                             ... 2 + ... 2 = ... 2
                             ... 2 = ... 2
                             ... = ...
                             x = ...
   4. Diketahui ABC merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi 20 cm. Panjang garis tinggi CD
      adalah ....
               C           Jawab :
                           CD2= ... 2 - ... 2
        20        20       CD2= ... ...
                           CD2= ...
                           CD = ... cm
      A 10 D 10 B
   5. Diketahui KLM merupakan sebuah segitiga siku-siku sama kaki dengan panjang hipotenusa 40
      cm. Panjang kaki-kaki KLM adalah ....
       M                     Jawab :
                             Misalkan KL = KM = p
                             p2+ ... 2 = ... 2
               40
                                  ... p 2= ...
                                      p 2= ...
       K           L                   p = ...
                             Jadi panjang kaki-kaki KLM; KL = KM = ... cm, ML = ... cm

   6. Diketahui AB⊥CD dan AC = BC. Jika panjang AC = 26 cm dan AB = 20 cm, maka panjang CD
           C             adalah ....
                          Jawab :
                        2
                     CD = ... - ...
                     CD2 = ...
                     CD = ... cm
       A      D       B




KOMPETENSI DASAR
  a. Memecahkan masalah pada bangun datar yang berkaitan dengan teorema Pythagoras.

A. Kajian Konteks Materi.

   1. Menerapkan teorema Pythagoras dalam memecahkan masalah bangun datar, bangun
       ruang dan masalah dalam kehidupan sehari-hari.

       a. Misalkan panjang diagonal persegi panjang pada gambar 3.15 adalah p, maka :

                                       p2 = 242 + 182
                              18 cm                p2 = 576 + 324
                                           2
                                          p = 900
                                       p = √900
                  24 cm                p = 30
           Gambar 3.15
                                       Jadi panjang diagonal persegi panjang pada gambar 3.16
                                       adalah 30 cm.


       1. Panjang diagonal persegi pada gambar 3.17 adalah GE, maka :
       G                  F            GE2 = AE2 + EF2
                                           =62 + 62
                          6 cm             = 36 + 36
                                           = 72
                                       GE = √72
       A       6 cm       E                = 8,49
       Gambar 3.16
            Jadi panjang diagonal persegi panjang pada gambar 3.16 adalah 8,49 cm.
            c. Hitunglah volum balok ABCD.EFGH pada gambar 3.18, jika panjang AB = 12 cm, , AC =
                13 cm dan AE= 4cm;
               H                        G                        Jawab : AB2= AB2 + BC2
        E                                                             132= 122 + BC2
                                    F
              D
                                        C                             169= 144 + BC2
         A                          B       Gambar 3.17
                                                                      BC2= 169 – 144
                                                                         = 36
                                                                        BC =√36
                                                          BC = 6 cm
                   Volum balok ABCD.EFGH = AB x BC x AE
                                                 = 12 x 6 x 13
                                                 = 936 cm3

            d. Sebuah tangga yang panjangnya 5 m bersender pada tembok; Tinggi tembok yang dicapai
               tangga adalah 3 m; Hitung jarak ujung bawah tangga ke tembok!
               Jawab:
                                                   x2 = 52 - 32
                                                      = 25 - 9
                                5m                    = 16
                 3m                                x =√16
                                                   x =4
                                                   Jadi jarak ujung bawah tangga ke tembok adalah 4 m.
                              x
                                Gambar 3.18



B. Uji Pemahaman Konsep.

      b. Diketahui sebuah persegi ABCD dengan panjang diagonal AC = 20 cm. Hitunglah luas persegi
            itu!
                         Jawab:
D                  C   Misalkan panjang AB = BC = s
                       AC2=s2+ s2
                       … s2= … 2
                             ...2
                       s2=
A                  B          ...
                s2= …
                s=√…
                s=…
                Luas ABCD = … x …
                               = … cm2
      2. Pada jajar genjang ABCD, AB = 17cm, AC =16 cm; Hitunglah luas ABCD!
          D              C          1
                               AO= X ...
             16 cm                  2
           O                   AO= …
    A 17 cm B                  OB2= …2 - …2
                               OB2 = …
                               OB = …
                               Luas ∆ OAB = …
                               Luas ABCD = 4 x luas …
                               Luas ABCD= … cm2
   3. Diketahui balok PQRS.TUVW dengan PQ = 4 cm, PR = 5 cm, dan PV = 13 cm seperti terlihat
      pada gambar berikut.
                Hitunglah volum PQRS.TUVW
                Jawab:
                QR2= …- …
                QR2=…
                QR = …

                    RV2 = … - …
                    RV2 = …
                    RV = …

                         Luas PQRS = ...
                         Volum PQRS.TUVW = …


   4. Perhatikan gambar. Tinggi tiang listri sama dengan jarak tiang listrik ke ujung tali kawat baja
       pada tanah. Jika panjang tali kawat baja 6√2, hitunglah tinggi tiang listrik tersebut!.
                               Jawab:
                               Misalkan tinggi tiang listrik = jarak tiang listrik ke ujung tali kawat baja
                    ja
                  ba




                               pada tanah = t.
               at




                        5m
              w




                               t2+ t2= ... 2
            ka
         li




                               ... t2= ... 2
       ta




              5m                   t2= ...
                                    t = ...
                               Jadi tinggi tiang listrik = ... meter


C. Uji Pemahaman dan Penerapan Konsep.

   1. Panjang diagonal sebuah belah ketupat 10 cm dan 24 cm. Panjang sisi belah ketupat itu adalah ....
                             Jawab :
            C                OB = ... cm
                             OA = ... cm
                             AB2= ... 2 + ... 2
                             AB2= ...
      D            B         AB= ... cm
           O
                             AB = ... = ... = ... = ... cm


               A
   2. Panjang diagonal ruang sebuah kubus yang luas alasnya 81 cm2 adalah ....
                             Jawab :
                             Misalkan AB = ... = ... = ... = s
                             Luas ABCD = s2 = ...
                                      s =... cm
                                     BD = ...
                                     DF2= ... + ...
                          DF= ...
                         Jadi panjang diagonal ruang kubus tersebut adalah ... cm.

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah luas daerah ACE.
        H           G
                      Jawab :
   E                  AC2 = ... 2 + ... 2
                F     AC2 =...
                      AC =...
                      Luas segitiga ACE=... x ...
                    C
    A          B          Luas segitiga ACE=... cm2
         4. Sebuah tangga yang panjangnya 5 m bersandar pada tembok. Jarak ujung bawah tangga terhadap
            tembok adalah 3 m. Tinggi tembok yang dapat dicapai oleh tangga adalah ....
                                           Jawab :
                                           x2= ... - ...
                           5m              x2= ...
            x                              x= ... cm
                                           Jadi tinggi tembok yang dapat dicapai oleh tangga = ... cm.
                          3m



    D. Uji Kompetensi.

    1. Pada suatu segitiga siku-siku, panjang kedua sisi siku-sikunya adalah 6 cm dan 8 cm.
       Panjang sisi miringnya adalah . . . .
              A.          10 cm                           C. 48 cm
              B.          36 cm                           D. 64 cm
    2. Pada suatu segitiga siku-siku, panjang sisi miringnya sama dengan 2,5 cm, dan panjang salah
       satu sisi tegaknya 2 cm. Panjang sisi tegak yang lainnya adalah . . . .
                            A. 1,5 cm                         C. 4,5 cm
                            B. 2,25 cm                        D. 5 cm
    3. Nilai x dari gambar berikut adalah . . . .
                                   C                 A.    8 cm
                       13cm
                                                     B.    9 cm
                                       l5cm          C.    10 cm
                                                     D.    12 cm
A                 p           x    B

    4. Perhatikan gambar berikut, maka nilai x adalah . . . .
                                  C
                                                     A.    8 cm
                      x
                                       l
                                       27cm          B.    16 cm
                                                     C.    32 cm
                                                     D.    45 cm
A                 p        36 cm B

    5. Jika dalam segitiga ABC berlaku AC2 = BC2 + AB2, maka segitiga ABC adalah . . . .
                        A.    segitiga siku-siku di titik A
                        B.    segitiga siku-siku di titik B
                        C.    segitiga siku-siku di titik C
                        D.    segitiga samasisi
    6.    Panjang diagonal sebuah persegi panjang dengan luas daerah 60 cm2 dan lebarnya 5 cm
         adalah . . . .
                           A. 12 cm                        C. 15 cm
                           B. 13 cm                        D. 16 cm
    7. Luas daerah suatu persegi adalah 144 cm2, maka panjang diagonalnya adalah . . . .
                          A. 72 cm                          C.    cm
                          B. 62 cm                          D.    cm
    8. Di antara rangkaian bilangan berikut ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah . . . .
                          A. 6, 8, dan 12                    C. 25, 124, dan 23
                          B. 26, 24, dan 5                   D. 34, 30, dan 16
9. Di antara rangkaian tiga bilangan berikut ini adalah tigaan Pythagoras, kecuali . . . .
                      A. 13, 12, dan 5                      C. 5, 15, dan 17
                      B. 6, 8, dan 10                       D. 15, 17, dan 18

10. Pada gambar di samping, segitiga KLM siku-siku di L, sudut MKL = 60° dan panjang KM =
    12 cm, maka panjang KL adalah . . . .
                     A.     6 cm
                     B.     6 cm
                     C.     12 cm
                     D.     24 cm
11. Pada gambar di samping, segitiga PQR siku-siku di P, sudut PQR = 45°, dan panjang QR = 8
    cm, maka panjang PQ adalah . . . .
                          A.      4 cm
                          B.      4 cm
                          C.      8 cm
                          D.      8 cm
12. Sebuah balok berukuran 12 cm x 4 cm x 3 cm, maka panjang diagonal ruang dari balok
    tersebut adalah . . . .
                           A. 4 cm                 C. 12 cm
                           B. 5 cm                 D. 13 cm
13. Keliling alas sebuah kubus diketahui 48 cm, maka panjang diagonal ruang kubus tersebut
    adalah . . . .
                       A. 12 cm                       C. 14 cm
                       B. 12 cm                       D. 14 cm
14. Pada gambar di samping, segitiga ABC siku-siku di A, panjang AB = 15 cm dan panjang AC = 20
    cm. Jika AD merupakan garis tinggi, maka panjang CD adalah . . . .
                              A.       9 cm
                              B.       12 cm
                              C.       15 cm
                              D.       16 cm

15. Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki volum 343 cm3. Panjang diagonal sisinya adalah ....
   A. 7cm
   B. 7cm
   C. 7 cm
   D. 9 cm

16. Pada gambar berikut kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 10 cm. Panjang DF adalah ....

                 A.    cm
                 B.    cm
                 C.    cm
                 D.    cm

17. Diketahui balok PQRS.TUVW dengan panjang PT = 10 cm, PQ = 8 cm, dan PS = 6 cm. Panjang
    diagonal sisi QT adalah ....
    A. cm
   B. cm
   C. cm
   D. cm
18. Sebuah balok ABCD.EFGH memiliki panjang AB = 8 cm, AD = 6 cm, AC = 10 cm, dan AE = 24 cm.
    Panjang diagonal ruangnya adalah ....
    A. 24cm
    B. 8cm
    C. 25 cm
   D. 26 cm
19. Sebuah kapal berlayar sejauh 80 km ke arah barat kemudian 60 km ke arah selatan. Jarak kapal
    sekarang dari tempat semula adalah ....
    A. 140 km
    B. 130 km
    C. 120 km
    D. 100 km
20. Sebuah tangga yang panjangnya 5 m bersandar pada tembok. Jarak ujung bawah tangga terhadap
    tembok adalah 3 m. Tinggi tembok yang dapat dicapai oleh tangga adalah ....
    A. 3 m
    B. 4 m
    C. 5 m
    D. 4m


   B. Kerjakan soal-soal berikut secara singkat dan jelas!

       1.   Diketahui limas T.KLMN dengan alas berbentuk persegi. Jika panjang KL = 40 cm dan TO =
                                21 cm, tentukanlah:
                                             a. Panjang TP
                                             b. Panjang MT




       2. Dari segitiga siku-siku ABC, diketahui AC : CB = 3 : 4 dan panjang sisi miring AB adalah 45
          cm. Tentukan panjang AC dan CB!

       3. Dari sebuah balok yang rusuk alasnya 3 cm x 4 cm dan rusuk tegaknya 12 cm.
          a.      Sketsalah balok yang dimaksud!
          b.      Hitung panjang diagonal ruang balok tersebut!

       4. Anto bermain layang-layang, panjang benang yang dipakainya sudah 130 meter. Ternyata
          layang-layang Anto tepat berada di atas Suci yang berjarak 50 meter dari Anto. Hitunglah
          tinggi layang-layang tersebut!

       5. Sebuah pesawat sedang berada di atas sebuah rumah. Stasiun radar yang berjarak 8 km dari
          rumah tersebut, menangkap posisi pesawat itu pada jarak 10 km. Hitunglah tinggi pesawat
          dari atas tanah!

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags: geometri
Stats:
views:215
posted:5/7/2012
language:
pages:10