Stochastische Prozesse I

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					Stochastische Prozesse I
  Seminarvortrag von Elias Kellner 14.06.2007



      1.   Zeitreihen
      2.   Modellierung
      3.   Analyse
      4.   Beispiel: Kalmanfilter
1. Zeitreihen
  Zeitreihe: zeitabhängige Folge von Datenpunkten
           i.d.R. nicht stochastisch unabhängig
Handschriftanalyse, Zeitreihe der vertikalen Geschwindigkeit
                        Zeitreihe (Daten)




Trendkomponenten
Saisonale Komponenten
                                              Modellbildung




                    Vorhersage (Simulation)           Tiefere Einsichten
Wir brauchen:   Geeignete Werkzeuge zur Datenenanalyse

                   Fitfunktionen zur Trendbereinigung
                   Spektralanalyse
                   Korrelationsanalyse

                mathematische Beschreibung zur Modellbildung
Stochastischer Prozess  „Rauschen“
  Betrachte zeitdiskrete Prozesse, um Rauschen zu simulieren


                                                2 Klassen dynamischer Systeme
                                                -nichtvergeßliche
                                                 (klassische)

                                                -vergeßliche
                                                 (stochastische)
                                                 (chaotische)
(Xt )     Prozess ( Verteilungen bekannt)

( xt )    Realisation


                     Cov( X , Y )  ( X   X )(Y  Y )



Stationarität

 Eine Zeitreihe ( X t ) heißt stark stationär, wenn die Verteilung von   ( X ts )
 nicht vom Index abhängt.

 Eine Zeitreihe ( X t ) heißt schwach stationär, wenn

 1.  X t       (t )  const
 2. Cov( X t , X t  )  Cov( X t  r , X t  r  )  Cov X ( )   Autokovarianz
Ergodizität


 Ergodisch in klass. Mechanik: System kommt erlaubten Systemzuständen beliebig nahe



 Jeder Prozess   x  f ( x,  )
                                 induziert eine Dichte    (x) im Phasenraum.
 Mittelwerte müssen bezüglich dieser Dichte gebildet werden


                            G   dx ( x)G( x)



      Für ergodische Systeme gilt: „Scharmittel = Zeitmittel“



           G   dx ( x)G( x)   dtG( x(t ))   G( x(ti ))
Simulation des Rauschens:

Summe von vielen stochastischen Einflüssen Zentraler GWS  Rauschen gaußverteilt

 Weißes Rauschen (WN):
 Folge von unabhängigen Realisationen einer gaußverteilten Zufallsvariablen



                            t  N (0,  2 )
Modellierung durch AR-Prozesse




Betrachte „vergesslichen“ Prozess




Nehme an, xt sei linear durch die N vorherigen Datenpunkte bestimmt (Autoregession)

             N
       xt   a j  xt  j
             j 1


Addiere zu jeden xt eine kleine Störung (Zufallsvariable, z.B. weisses Rauschen)

                      N
      xt   t   a j  xt  j           AR(N) – Prozess:
                     j 1
             N
 xt   t   a j  xt  j             Differenzengleichungen.
             y 1

Differenzengleichung = „diskretisierte“ Differentialgleichung
Ansatz macht Sinn, da Natur i.a. durch Differentialgleichungen beschrieben wird.


 lineare DGL n‘ter Ordnung


                    d          d2                 dn
          x(t )  a1 x(t )  a2 2 x(t )  ...  an n x(t )  0
                    dt         dt                 dt

Rückführung von DGL n‘ter Ordnung auf System von DGL 1‘ter Ordnung
                                    d            
                                       x (t )  A x (t )  0
                                    dt
 z.B harmonischer Oszillator:
                                             d  x  0 1  x
                          
             k  x (t )  m(t )                  k   
                                                v 
                                             dt    m 0   v 
                           x
                                                            
Analog läßt sich jeder univariate AR(N)-Prozess auf
einen n-variaten AR(1) Prozess reduzieren.




                 N
                                                     
     xt   t   a j  xt  j           xt  Axt 1   t
                 j 1
Eigenschaften eines AR(1) Prozesses

 zentriert               xt  axt 1   t
 stationär
                         a<1
 ergodisch


 Varianz:

 xt    (axt 1  t )2 
    2



              2
 xt  
    2

             1 a2



                   xt  xt  
        ACF( )                              ACF( )  a
                     xt2 
a=1  Random Walk (Brownian Motion)
                                      xt  xt 1   t
                                          N
AR(N) – Prozess:            xt   t   a j  xt  j
                                          j 1


                                   N 1
MA(N) – Prozess:            xt   m j   t  j
(gleitendes Mittel)
                                   j 0



                                   p              q
ARMA(p,q)             xt   t   a j xt  j   m j   t  j
                                  j 1           j 1
Spektralanaylse
        Gegeben sei eine Zeitreihe. Welche Frequenzen sind enthalten?




                                                      
        Fouriertrafo (ohne Normierung)   f ( )     e  i t X t
                                                    t  

        Unterscheide wie immer FT einer Realisation und eines Prozesses
        FT ist komplexe Größe
Aliasing   Zeitreihe = gesampelter, kontinuierlicher Prozess!
           Sample z.B. einen Sinus mit Samplingfrequenz f




                                                                       1
                                                  f max  f Nyquist    f Sampling
                                                                       2




                                   Vor dem sampeln muss gefiltert werden!!
Spektrum
                                         
  Definiere Spektrum        S ( )      e i ACF ( )
                                         




                                Cov( xt , xt  )  X t  X t  
                 ACF( )                        
                                  Var( xt )          X t2 


    ACF einer Zeitreihe entspricht einer Faltung der Reihe mit sich selbst


        Faltung im Ortsraum enspricht Multiplikation im Frequenzraum.
        Multiplikation mit sich selbst ist | |2
                                                                 
         S ( )  | f ( ) | 
                            2
                                                    f ( )     e  i t X t
                                                               t  


 Definition über ACF mathematisch korrekt, aber über FT leichter zu schätzen!
Schätzung des Spektrums: 2 Probleme                  S ( )  | f ( ) |2 

1. Spektrum als Erwartungswert definiert. Meist aber nur eine Zeitreihe vorhanden!

  Suche Schätzer für Spektrum z.B Periodogramm:            Per ( )  | f ( ) |2




          Per ( )  | f ( ) |2  (Re[ f ( )]) 2  (Im[ f ( )]) 2
        Problem: Periodogramm „zappelt“ mit Chi2 - Verteilung

                                  1
                         Per( )  S ( )   
                                              
                                                               Var (   )  4
                                                                       

                                  2
                Var(Per) ist unabhängig von N  nicht konsistent
  2. Problem: Endliche Zeitreihe = unendliche Reihe mit Fenster multipliziert

  Im Frequenzraum zusätzlich Faltung mit dem Sinc des Fensters!  leaking
    Power von Peaks in Täler Periodogramm ist sogar verzerrter Schätzer




Lösung: „Tapering“: kein eckiges Rechteckfenster, sondern Dreick- oder Gaussfenster
          optimalstes Fenster : Hamming
Schätzung des Spektrums durch Zerschneiden der Zeitreihe, Tapern
Und Mittelwertbildung der einzelnen Periodogramme
 Methode nach Welch



                                                      Zeitreihe



                                                   Zerschneiden



                                                      Tapern



                                                      |FFT|2



                                              Frequenzweise mitteln
Filter allgemein:

                           X(t)              Filter                       y(t)


     Wichtige Filterklasse: linear und zeitinvariant (LTI-Filter)

    Filtersystem ist durch seine Impulsantwort bestimmt (FIR, IIR )


                                                                   N

MA – Prozess ohne Rauschen = FIR Filter                   yt   m j  xt  j
                                                                   j 0



                                                             p                    q
ARMA – Prozess ohne Rauschen = IIR Filter             yt   a j yt  j   m j  xt  j
                                                            j 1                 j 0


X-Pass-Filter, Bildbearbeitung…
Das Kálmán-Filter

   Gegeben Sei dynamisches System, z.B. ein multivariater AR(1) Prozess


                                        
                    x (t )  Ax (t  1)   (t )     Systemgleichung

                                        
                        y(t )  Bx (t )   (t )   Beobachtungsgleichung



                Wir haben nur Zugriff auf yt !

     Gesucht: Filter, das uns die wahren Werte xt schätzt


                 y(t)                Filter              x(t)
            x(t )  ax(t  1)   (t )      Systemgleichung

             y(t )  bx(t )   (t )     Beobachtungsgleichung


            Einfache Schätzung: Rückrechnen auf xt durch B-1
             Große Fehler wegen Beobachtungsrauschen


Man kann ausnutzen, dass man die Dynamik A des Systems kennt



   1. Prädiktionsschritt:      x(t | t  1)  ax(t  1 | t  1)
                               y(t | t  1)  bx(t  1 | t  1)
       Beobachte y(t), berechne daraus Fehler y(t|t-1) - y(t)


   2. Korrektur        x(t | t )  x(t | t  1)  K (t )( y(t )  y(t | t  1)
Bsp: Kalman Filter, AR-1 Prozess a=0.89, Beobachtug stark verrauscht
Zusammenfassung


                                
 AR-Prozesse        xt  Axt 1   t
                               
  Spektrum        S ( )     e i ACF ( )
                               
                                                 S ( )  | f ( ) |2 

                                                 Per ( )  | f ( ) |2




  Spektrum schätzen: Schneiden - Tapern – Periodogramme mitteln

				
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posted:5/2/2012
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