Cours de Logique modale by NK2p5Y

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                                               Cours de Logique modale




    1ère partie du module LMAI


    Olivier Gasquet

      Bibliographie :
       A companion to modal logic (Hughes et Cresswell)
       Modal logic (Chellas)
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                                    Plan du cours

Introduction : Histoire et motivation en IA

Partie 1: Systèmes monomodaux

    Chap1. Généralités sur la sémantique

    Chap. 2 : Système K :
      o Langage et Axiomatique
      o Sémantique (de Kripke)
           Satisfaction, validité, vérité
      o Caractérisation (énoncé)
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                           Plan du cours (suite)

    Chap. 3 : Les axiomes D, T, B, 4, 5 :
      o Lecture des axiomes
      o Axiomatique
      o Sémantique du 2ème ordre
      o Correspondance
      o Sémantique du 1er ordre

    Chap. 4 : Systèmes basés sur les axiomes G(k,l,m,n)
      o Correspondance
      o Théorème de Lemmon-Scott / Sahlqvist
      o Modèles canoniques et complétude
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                            Plan du cours (suite)

    Chap. 5 : Décidabilité par la méthode des filtrations
      o Définitions
      o Théorèmes
      o Exemples, décidabilité et contre-exemple

    Chap. 6 : Déduction automatique : la méthode des tableaux
      o Présentation informelle
      o Présentation formelle
          Définitions
          Règles classiques
          Règles pour K
          Règles pour D, T, 4
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           Adéquation et complétude (énoncé)
           Terminaison et test de boucle
           Stratégies complètes et terminantes, complexité
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                                Plan du cours


    Partie 2: Systèmes multimodaux
      o Chap. 7 : Système multi-K
      o Chap. 8 : Les axiomes d’interaction
      o Chap. 9 : PDL

    Partie 3: Autres systèmes
      o Chap. 10 : Logiques Temporelles
      o Chap. 11 : Logiques Terminologiques
      o Chap. 12 : Systèmes non-normaux
      o Chap. 13 : Systèmes précicatifs
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                              Introduction : histoire

    Aristote et les futurs contingents :
      o « Il est possible qu’on ait PILE » est vraie
       Lié au fait que PILE fait partie des résultats possibles

      o « Il est impossible qu’on ait PILE » est fausse
       Lié au fait que PILE fait partie des résultats possibles

      o « Il est possible qu’on ait PILE ou non Pile» est logiquement vraie
       Non lié au fait que PILE fasse partie des résultats possibles

      o « Il est impossible qu’on n’ait ni PILE, ni non PILE» est logiquement
        fausse
      Non lié au fait que PILE fasse partie des résultats possibles
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                             Introduction : histoire

    Modalités du nécessaire et du possible :
      o Nécessaire, Possible, Impossible et Contingent
      o Se ramènent à la seule modalité du nécessaire :


      Nécessaire A
      Impossible A = Nécessaire non-A
      Non Nécessaire A = Contingent A
      Possible A = Non nécessaire non-A

      Pile ou non-Pile est nécessairement vrai
      Pile et non-Pile est impossible = Pile et non-Pile est néc. faux
      Pile est contingent = Pile n’est pas nécessairement vrai
      Pile est possible = non-Pile n’est pas nécessairement vrai
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                         Introduction : histoire

    Raisonnement :
      o (Nécessaire A  Possible B)  Possible (A  B)       ?
      o (Nécessaire A  Possible A)  faux                  ?
      o Nécessaire A  A                                     ?
      o A  Possible A                                       ?
      o Nécessaire A  Possible A                            ?
      o Nécessaire (A  B)  (Nécessaire A  Nécessaire B)   ?
      o Si |-- A alors |-- Nécessaire A                      ?
      o Si non |-- A alors |-- Possible A                   ?
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                              Introduction : histoire moderne

    Deux solutions pour intégrer la nécessité à la LC :
      o Renoncer à l’extensionnalité :
         p               p          p          p             p   p
         0               1           0            1              0    ?
         1               1           0            0              1    ?

      o Renoncer à la bivalence :
          {vrai, faux, indéterminé},
          {vrai,plutôt vrai, plutôt faux, faux},
          …
          [0,1],
          Autres structures (ordres totaux, partiels, …)
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                         Introduction : histoire moderne

    Autres modalités (linguistique):
      o Le verbe d’une proposition est « modifié » (adverbe, mode,…)


      « Le résultat est probablement pile »                 Incertaine
      « Le résultat serait pile (si …) »                    Conditionnelle
      « Je sais que le résultat est pile »                  Epistémique
      « Je crois que le résultat est pile »                 Doxastique
      « Il est obligatoire d’avoir pile ou d’avoir face »   Déontique
      « Après le lancer, on aura soit pile, soit face »     Dynamique
      « Je veux que le résultat soit pile »                 Intentionnelle
      « Partout ailleurs le résultat est pile »             Spatiale
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                         Introduction : histoire moderne

    Autres modalités (linguistique):
      o Modifications multiples (multimodales)


      « Tu crois que je sais quel est le résultat»
      « Il est obligatoire qu’après le lancer, le résultat soit pile ou face »
      « Je veux qu’elle croit que le résultat est pile »
      « Après que tu me l’as dit, je crois que tu crois que le résultat est pile »
      « Partout ailleurs quelqu’un croit qu’ici le résultat est pile »
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                         Introduction : histoire moderne

    Autres modalités
  =                   =             =               = 
Nécessaire       Possible                  Impossible         Contingent
  Certain        Plausible                   Exclus          Contestable
Obligatoire       Permis                     Interdit          Facultatif
  Voulu         Acceptable                   Refusé                 ?
   Cru         Envisageable                   Rejeté                ?
Dorénavant    Un de ces jours                Jamais        Pas éternellement
 Partout    Quelque part ailleurs           Nulle part        Pas partout
 ailleurs                                    ailleurs           ailleurs
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                         Introduction : motivation en IA

    Représentation :
     o des connaissances, de l’incertain, des croyances, des normes, des
       actions, des désirs, du conditionnel, du temps, de l’espace…
    Raisonnement :
      o Je sais que p  Je sais que je sais que p          ?
      o Je crois que p  Je sais que je crois que p        ?
      o Après que tu m’as dit que tu es à Toulouse,
               je crois que tu y es                        ?
      o Je sais que demain c’est jeudi
                Demain, je saurai qu’on est jeudi         ?
      o Je ne suis pas sûr que p
                Je sais que je ne suis pas sûr que p      ?
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                     Chap. 1 - Généralités sur la sémantique

    Kripke et les mondes possibles
      o Nécessaire A = A est vrai dans tous les mondes possibles
      o Possible A = A est vrai dans au - un monde possible
      o Impossible A = A n’est vrai dans aucun monde possible
      o Contingent A = A est faux dans au - un monde possible

    Axiome K et règle de Nécessitation :
      oK :     (A  B)  ( A   B)
      o Nec : Si |-- A alors |--  A

                            Automatiquement vrai !
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                     Chap. 1 - Généralités sur la sémantique

    Raisonnement
      o (A  B)  (A  B)            ?
      o (A  A)                    ?
      o (A  B)   (A  B)           ?
      o (A  B)   (A  B)           ?
      o  (A  B)  (A  B)           ?
      o  (A  B)  (A  B)           ?
      o A  A                          ?
      o A  A                          ?
      o A  A                         ?
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                                   Chap. 2, 3, 4, 5

    Chap. 2 : Système K :
      o Langage et Axiomatique
      o Sémantique (de Kripke)
           Satisfaction, validité, vérité
      o Caractérisation (énoncé)

    Chap. 3 : Systèmes basés sur les axiomes D, T, B, 4, 5 :
      o Lecture des axiomes
      o Axiomatique
      o Sémantique du 2nd et du 1er ordre
      o Caractérisation (énoncé)
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    Chap. 4 : Systèmes basés sur les axiomes G(k,l,m,n)
      o Théorème de Lemmon-Scott / Sahlqvist
      o Modèles canoniques et complétude

    Chap. 5 : Décidabilité par la méthode des filtrations
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                             Chap. 2 : Système K

    Langage et Axiomatique

      o Langage : LP +  (+  : optionnel, car = )
       (p  q)  (p q)

      o Axiomatique :
      Toutes les tautologies de LP et MP (|-- AB et |-- A      |-- B)

      (Schéma d’)Axiome K :  (A  B)  (A  B)

      Règle de Nécessitation : |-- A  |-- A
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                           Chap. 1 : Système K

    Langage et Axiomatique

      o Un théorème de K est une formule qu’on peut obtenir par les
        axiomes et RI ci-dessus. Notation : |--K A si A est un théorème.
      o L’ensemble des théorèmes du système K est noté Th(K).
      o Une règle d’inférence dérivée est une règle de la forme :
        |--K A1, …, |--K An  |--K A t.q. si A1,…,AnTh(K) alors ATh(K)

       Ex : Règle d’inférence dérivée (RM) : |-- AB  |-- AB
1. |-- AB                       Hypothèse
2. |--  (AB) (AB)          Ax. K
3. |-- AB  |--  (AB)         Nec. 1
4. |-- AB                     MP sur 2 et 3
       Ex : Règle d’inférence dérivée (RM’) : |-- AB  |-- AB
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                          Chap. 1 : Système K

    Langage et Axiomatique

      Ex : Théorème : |-- (AB)  (AB)

1. |-- (AB)A                  LP
2. |--  (AB) A              RM sur 1
3. |-- (AB)B                  LP
4. |--  (AB) B              RM sur 3
5. |-- (AB)  (AB)         LP sur 2 et 4
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                          Chap. 1 : Système K

    Langage et Axiomatique

      Ex : Théorème : |-- (AB)  (AB)

1. |-- (AB) (AB)                             LP
2. |-- A(B (AB))                             LP sur 1
3. |--  (A(B (AB)))                         Nec sur 2
4. |--  (A(B (AB)))  (A (B (AB)))     Ax. K
5. |-- A (B (AB))                          MP sur 3 et 4
6. |-- (B (AB))  (B  (AB))              Ax. K
7. |-- A (B  (AB))                        LP sur 5 et 6
8. |-- (AB)  (AB)                         LP sur 7
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                          Chap. 1 : Système K :

    Sémantique (de Kripke)

      o A partir d’une situation donnée (un monde possible, un état de
        fait), d’autres situations sont envisageables.
      o A partir de ces dernières, d’autres sont envisageables, …
      o D’où le fait qu’un modèle soit un graphe
      o Mais ce modèle n’est qu’un modèle possible…
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                            Chap. 1 : Système K

    Sémantique (de Kripke)

      o Cadre : C = (W, R) où
      W est un ensemble non vide (de mondes possibles)
      R est une relation binaire (dite d’accessibilité)
      C est un graphe (éventuellement infini)

      o Modèle : M = (C,m) où
      C est un cadre
      m est une fonction (m: PROP --> 2W)
      M = (W,R,m) repose sur C
      M est un système de transition (graphe + labels)
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                             Chap. 1 : Système K

    Sémantique (de Kripke)
      o Soit A une formule, A est satisfaite par le monde possible x du
        modèle M=(W,R,m) (noté M,x |== A) ssi :
      M,x |== p     ssi x appartient à m(p)
      M,x |== B  C     ssi M,x |== B et M,x |== C
      M,x |== B        ssi non (M,x |== B)
      M,x |== B        ssi yW: R(x,y)  M,y |== B
      NB : M,x |==  B      ssi y : R(x,v) & M,y |== B

NB : Soient x et y éléments de W
  * L’ensemble des R-successeurs de x, noté R(x), est {yW : R(x,y)}
  * On notera indifféremment : xRy / R(x,y) / yR(x)
  * R(x) =  ssi M,x |==  et R(x)   ssi M,x |== T
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                              Chap. 1 : Système K

    Sémantique (de Kripke)
      o C = (W,R)


                                        w2          w8
                         w1

                                   w6                    w4

                         w3
                                               w7
                                   w5
M2 IA – Logique modale                                    27
                               Chap. 1 : Système K

    Sémantique (de Kripke)
      o M = (W,R,m)
                                      w2
                         w1           p,q           w8
                         p
                                                     w4
                                 w6                  q
                         w3
                         p,q                   w7
                                 w5


                           m(p) = {w1,w2,w3}
                           m(q) = {w2,w3,w4}
M2 IA – Logique modale                                          28
                         Chap. 1 : Système K

    Sémantique (de Kripke)
      o M = (W,R,m)

        M,w1 |== q                            w2
        M,w1 |== p              w1            p,q        w8
        M,w1 |== p             p
        M,w1 |== (pq)                                    w4
        M,w1 |== p                    w6                 q
        M,w1 |== q              w3
        M,w8 |== p              p,q                 w7
        M,w8 |== p
                                        w5
        M,w1 |== (q p)
M2 IA – Logique modale                                                   29
                           Chap. 1 : Système K

    Sémantique (de Kripke)
      o Soit A une formule, C=(W,R) un cadre et M=(C,m) un modèle :
      o A est satisfaite par M (noté M sat A) ssi xW : M,x |== A
      o A est satisfaite par C (noté C sat A) ssi m : xW : M,x |== A
      o A est vraie dans M (noté M |== A) ssi A est satisfaite dans tout
        monde du modèle M, i.e. xW : M,x |== A
      o A est vraie dans C (noté C |== A) ssi A est vraie dans tout modèle
        M basé sur C i.e. m : xW : M,x |== A

      o A est K-valide (noté |==K A) ssi A est satisfaite en tout monde de
        tout K-modèle
      o L’ensemble des formules K-valides est noté Valid(K)
M2 IA – Logique modale                                             30
                          Chap. 1 : Système K

    Caractérisation sémantique

      o Théorème d’adéquation :     Th(K)  Valid(K).
      o Théorème de complétude :    Valid(K)  Th(K)

      o On dit que K est caractérisé par la classe des K-modèles

      Fin Cours 1
M2 IA – Logique modale                                               31
                         Chap. 3 : Les axiomes D, T, B, 4, 5

    Lecture des axiomes

      o Schémas d’axiome :
          D : AA
             S’il est obligatoire que A, c’est que A est permis
             Si dorénavant A, alors un de ces jours A
             Si partout A, alors quelque part A
             Si partout ailleurs A, alors quelque part ailleurs A
M2 IA – Logique modale                                            32
                         Chap. 3 : Les axiomes D, T, B, 4, 5

    Lecture des axiomes


           T : AA
              Si je sais que A, c’est que A est vrai
              Si je crois que A, c’est que A est vrai
              S’il est obligatoire que A, c’est que A est vrai
              Si dorénavant A, alors A maintenant
              Si partout A, alors ici A
              Si partout ailleurs A, alors ici A
              Si après  on a A, c’est qu’on a A maintenant
M2 IA – Logique modale                                                        33
                         Chap. 3 : Les axiomes D, T, B, 4, 5

    Lecture des axiomes


           4 : AA
               Si je sais que A, je sais que je le sais
               Si je crois que A, je crois que je le crois
               L’obligation de A est elle-même obligatoire
               Si dorénavant A, alors dorénavant : dorénavant A
               Si A est vraie partout, alors partout il est vrai que partout A
               Si partout ailleurs A, alors partout ailleurs il est vrai que
                partout ailleurs A
               Si après  on a A, c’est qu’après  suivie de  on a A
M2 IA – Logique modale                                                      34
                         Chap. 3 : Les axiomes D, T, B, 4, 5

    Lecture des axiomes

           B : AA
           5 : AA (contraposée : A  A ou AA)
               Si je ne suis pas sûr de A, je suis sûr de ne pas être sûr
               Si je ne crois pas que A, je pense que je ne le crois pas
               La permission A est elle-même obligatoire
               Si un de ces jours A, alors dorénavant : un de ces jours A
               Si quelque part A est vraie partout, alors A est vraie partout
               Si quelque part ailleurs A, alors partout ailleurs il est vrai
                que quelque part ailleurs A
M2 IA – Logique modale                                                 35
                         Chap. 3 : Les axiomes D, T, B, 4, 5

    Axiomatique
      o On note KD, KDT, KD4, KD45, … les systèmes basés sur K plus
        les axiomes D, D et T, D et 4, D, 4 et 5,… Certains ont des noms
        plus connus (KT4 = S4, KT5 = S5, KT = T)
      o NB :
           Th(KDT) = Th(KT), en effet DTh(KT) :
             1. |--KT AA        Ax. T
             2. |--KT AA        Contrap. d'Ax. T (en fait de AA)
             3. |--KT AA       LP sur 1 et 2
M2 IA – Logique modale                                                 36
                         Chap. 3 : Les axiomes D, T, B, 4, 5

    Axiomatique
           Th(KT45) = Th(KT5), en effet 4Th(KT5) :
               1. |--KT5 AA                   Ax. 5
               2. |--KT5 AA                     Ax. 5
               3. |--KT5 AA                   RM’ sur 2
               4. |--KT5 AA                 RM sur 3
               5. |--KT5 A A                  Ax. 5
               6. |--KT5 A A                RM sur 5
               7. |--KT5 A A                  Ax. T
               8. |--KT5 A A                    Ax. T
               9. |--KT5 A A                    LP sur 1,4,6,7,8
               10. |--KT5 A A                   Contrap. 9
M2 IA – Logique modale                                                     37
                         Chap. 3 : Les axiomes D, T, B, 4, 5

    Sémantique du 2ème ordre

      o Cadre : C = (W, R) et Modèle : M = (C,m) comme pour K

      o La classe M2KT des modèles M tels que
           (i) A : xW : M,x |== A  M,x |== A
        caractérise KT.
           On parle de sémantique du second ordre

      o Remarque : (i) est vraie dès lors que xRx ; qu’en est-il de la classe
        M1KT des modèles M tels que
          xW : xRx       ( modèles basés sur un cadre réflexif)
M2 IA – Logique modale                                                      38
                         Chap. 3 : Les axiomes D, T, B, 4, 5

    Correspondance
      o En effet, toute formule de la forme A A est vraie dans tout
        modèle réflexif. Il est facile de vérifier que tout théorème de KT est
        valide dans un modèle réflexif. Mais la réciproque ?
      o La classe M1KT caractérise KT : sémantique du premier ordre
            et M1KT M2KT
      o P. ex. tout modèle basé sur le cadre C ci-dessous et tel que
        w1m(p)  w2m(p) est un modèle de M2KT.
        Néanmoins, T n’est pas vraie dans C.


                                   w1                 w2
M2 IA – Logique modale                                                    39
                         Chap. 3 : Les axiomes D, T, B, 4, 5

    Correspondance
      o De fait, pour chacun des axiomes X parmi D, T, B, 4, 5, il existe
         une propriété P(X) du premier ordre telle que X est vraie dans tout
         cadre vérifiant P(X) :
           D : sérialité (xy : xRy)
           T : réflexivité (x : xRx)
           4 : transitivité (x,y,z :(xRy & yRz)  xRz))
           B : symétrie (x,y : xRy  yRx)
           5 : euclidéanité : (x,y,z : (xRy & xRz)  yRz))
      Il est assez facile de vérifier que correspondance  adéquation
      MAIS il n’existe aucun résultat général assurant que
         correspondance  complétude (aucun contre-exemple pourtant)
M2 IA – Logique modale                                             40
             Chap. 4 : Systèmes basés sur les axiomes G(k,l,m,n)

    Correspondance
o On dénote une suite de n connecteurs  (resp. ) par n (resp. n)
o Le schéma G(k,l,m,n) est le schéma :
        k l A  m n A dont D, T, B, 4 et 5 sont des cas
         particuliers.
o Ce schéma correspond à la propriété :
        (R-1)k o Rm  Rl o (R-1)n notée R(k,l,m,n)
         où o et -1 sont la composition et l’inverse des relations :
            y R-1(x) ssi x R(y) ; R0 =  et  o S = S o  = S
            yRoS(x) ssi z : zR(x) & yS(z)
o Exemple : 5 = G(1,0,1,1) correspond à la propriété R-1 o R  R
o Exemple T = G(0,1,0,0) correspond à   R
M2 IA – Logique modale                                             41
             Chap. 4 : Systèmes basés sur les axiomes G(k,l,m,n)

    Correspondance
o (R-1)k o Rm  Rl o (R-1)n graphiquement :


                            k                  l




                             m                 n


o Exemple : 5 = G(1,0,1,1) correspond à la propriété R-1 o R  R
o Exemple : T = G(0,1,0,0) correspond à   Rl
M2 IA – Logique modale                                                  42
             Chap. 4 : Systèmes basés sur les axiomes G(k,l,m,n)

    Théorème (Lemmon-Scott / Sahlqvist) :
Soit S un système modal basé sur K plus des axiomes de la famille
G(k,l,m,n), la classe C1S des cadres vérifiant R(k,l,m,n) pour chaque
axiome G(k,l,m,n) du système caractérise S.
         Th(S) = Valid(C1S).
o NB : le théorème de Sahlqvist est beaucoup plus général.

 Th(KT45) = Th(KT5) ssi Valid(C1KT45) = Valid(C1KT5),
  or C1KT45 = classe des cadres réflexifs, transitifs et euclidiens
  et C1KT5 = classe des cadres réflexifs et euclidiens ;
  or un cadre réflexif et euclidien est transitif. QED.
M2 IA – Logique modale                                                     43
             Chap. 4 : Systèmes basés sur les axiomes G(k,l,m,n)

    Modèle canonique et complétude
Soit S un système basé sur K plus des axiomes G(k,l,m,n).
Dans ce qui suit, E dénote un ensemble de formules.
On assimilera un ensemble fini avec la conjonction de ses formules.
On note E |-- S A ssi il existe une partie finie EF de E telle que |--S EF  E
E est S-consistant ssi pour tout A, on n’a pas E |--S A et E |--S A
E est S-maximal ssi pour tout A du langage de S, on a AE ou AE
E est S-MaxC (S-maximal-consistant) ssi il est S-maximal et S-consistant

Propriétés des ensembles S-MaxC :
   E|-- S A ssi AE
   Si AB et AE, alors BE
   (AB)E ssi AE ou BE
   …
M2 IA – Logique modale                                                       44


             Chap. 4 : Systèmes basés sur les axiomes G(k,l,m,n)

    Modèle canonique et complétude
Lemme de Lindenbaum : Tout ensemble S-consistant peut être étendu
à un ensemble S-MaxC , i.e. E est S-consistant  il existe F ensemble S-
MaxC t.q. EF. Preuve par énumération des formules n’appartenant pas
à E.

Le modèle canonique M=(W,R,m) pour le système S est défini comme
suit :
  W = {x / x est un ensemble S-MaxC}
  R = {(x,y) / -1(x)y} ; où -j(x) dénote l’ensemble {A / j A  x }
       = {(x,y) / +1(y)x } ; où +j(y) dénote l’ensemble {+jA / A  y }
  m : m(p) = {x / px}
M2 IA – Logique modale                                                   45


             Chap. 4 : Systèmes basés sur les axiomes G(k,l,m,n)

    Modèle canonique et complétude

Lemme de composition : x R n y ssi -n(x)y ssi +n(y)x

Lemme fondamental : pour toute formule A et tout x S-MaxC : Ax 
M,x|==A. Preuve par induction sur la structure de A.

Lemme structurel : le cadre du modèle canonique est dans C1S
Preuve : soient x,y,z tels que xRky et xRmz, il faut vérifier que l’ensemble
u0 = -l(y)-n(z) est S-consistant, donc il existe un S-MaxC u  u0 tel
que yRlu et zRnu
M2 IA – Logique modale                                                      46



             Chap. 4 : Systèmes basés sur les axiomes G(k,l,m,n)

    Modèle canonique et complétude
Théorème de complétude : si A est S-consistante alors A est C1S-
satisfiable (elle est satisfaite par M d’ailleurs).
Preuve : A S-consistante  il existe x S-MaxC t.q. Ax  M,x|==A

Corollaire : si A est C1S-insatisfiable, elle est S-contradictoire, ou ce qui
revient au même, A Valid(C1S)  ATh(S)

Théorème d’adéquation : Il suffit de vérifier que les axiomes de S sont
C1S-valides et que les règles d’inférence (MP et Nec) préservent la C1S-
validité.
M2 IA – Logique modale                                                    47
               Chap. 5 : Décidabilité par la méthode de filtration

    Définitions :
      o Filtration : Idée, le fait que M,x |== A n’est lié qu’à la valeur de
        vérité des sous-formules de A (=SF(A)) dans les mondes de M.
      o Etant donné M=(W,R,m) et une formule A, on définit pour x,yW :
           xAy  pour toute sous-formule B de A : M,x|== B ssi M,y|== B
           c’est une relation d’équivalence sur W.
           Soit W/A le quotient (fini) et |x| la classe d’équivalence de x
      o Une filtration de M par A est un modèle M*=(W*,R*,m*) tel que :
            (i) W* = W/A
            (ii) m*(p) = (m(p)) /A
            (iii) x,yW : x R y  |x| R* |y|
            (iv) |x| R* |y| et BSF(A) : M,x|==B  M,y|==B
M2 IA – Logique modale                                                 48
               Chap. 5 : Décidabilité par la méthode de filtration

    Théorèmes :
      o Théorème fondamental des filtrations : Soit M un modèle et A une
        formule, soit M* une filtration de M par A, alors :
       Si BSF(A) alors M,x |== B  M,|x| |== B
      o Preuve par induction sur B

      o Problème : Soit S un système, A une formule et M un modèle basé
        sur un cadre de C1S : M* est-il membre de C1S ? Si oui, on en
        conclura que S est caractérisé par la classe CfS des cadres finis
        de C1S.
      o Pas de résultat général, il faut traiter les systèmes un par un.
M2 IA – Logique modale                                                          49
               Chap. 5 : Décidabilité par la méthode de filtration

    Exemples, décidabilité et contre-exemple :
      o Exemple 1 : système K. C1K = cadres qqx, Valid(C1K)=Valid(CfK)
      o Exemple 2 : système KT. On a C1KT = classe des cadres réflexifs,
        il suffit de vérifier que la filtration d’un modèle réflexif est réflexive.
      o Exemple 3 : système KT4 (S4). C1S4 = transitifs, il suffit de
        trouver une filtration d’un modèle transitif qui soit transitive
        (Prendre |x|R*|y| ssi M,|x| |==B  M,|y| |==B et montrer iii et iv)
      o Décidabilité :
            Modèle filtré fini + axiomatisation finie : décidabilité
            Modèle filtré borné : décidabilité (|W|2|SF(A)| et |x||SF(A)|)
      o KD4.De (Densité = AA) pourtant décidable et avec p.m.f.
            Echec de la méthode de filtration
M2 IA – Logique modale                                               50


         Chap. 6 : Déduction automatique : la méthode des tableaux

    Présentation informelle : S4-contre-modèle pour pp

                                    p                  p
      (pp)
                                   p                 p
            p
                                  p                p
         p                      p                    p
          p                                          


             p                   p
           p                 p
             p                      p
M2 IA – Logique modale                                               51
         Chap. 6 : Déduction automatique : la méthode des tableaux

    Présentation informelle : K-contre-modèle pour (pp)(pq)

         ((pq)(pq))            ((pq)(pq))
              pq                        pq
              (pq)                      (pq)



                     p                         q
                   (pq)                    (pq)
                     p                        p
                     q                        q

                 Tableau 1                  Tableau 2
M2 IA – Logique modale                                               52
         Chap. 6 : Déduction automatique : la méthode des tableaux

    Présentation formelle : Définitions
      o Soit X un système, un (RX-)modèle-graphe est une structure G =
        (N,S,) telle que :
           N est un ensemble de nœuds
           S est une relation binaire sur N
            est une fonction : N  2FORM
      o Un modèle-graphe est dit fermé si l’un de ses nœuds contient 
M2 IA – Logique modale                                                  53
         Chap. 6 : Déduction automatique : la méthode des tableaux

    Présentation formelle : Définitions
      o Soit E un ensemble de formules, un RX-tableau pour E est une
        suite G1, …, Gn,… de modèles-graphes telle que :
           n1 : Gn est fermé ou Gn=Gn+1
           G1 est constitué d’un seul nœud associé à l’ensemble E
           Gn+1 s’obtient depuis Gn en appliquant l’une des règles de RX
      o Un tableau est fermé si n1 : Gn est fermé, il est ouvert sinon.
      o Une formule est fermée par tableau si tous ses tableaux sont
        fermés (voir plus bas), elle est ouverte sinon.
      o Les règles en question permettent la réécriture monotone d’une
        partie de modèle-graphe (uniquement ajout de formules dans un
        ou plusieurs nœuds et/ou ajout de nœuds et arcs)
M2 IA – Logique modale                                                    54
          Chap. 6 : Déduction automatique : la méthode des tableaux

    Présentation formelle : Règles Classiques


    ()                  S, A,A               S, A,A,


    ()                 S, A                S, A,A


    ()                  S, (AB)             S, (AB),A,B


    ()                  S, (AB)              S, (AB),C     C = choix
                                                               entre A et B

    NB : A cause de la règle , il y a plusieurs tableaux possibles
M2 IA – Logique modale                                                55
          Chap. 6 : Déduction automatique : la méthode des tableaux

    Présentation formelle : Règles pour K



    ()                  S, A                 S, A          A
    Une seule
    application par formule


    (K)      S, A          S’                 S, A         S’,A
M2 IA – Logique modale                                               56
         Chap. 6 : Déduction automatique : la méthode des tableaux

      Présentation formelle : Règles pour D, T, 4


(D)                        S                       S       
Sauf si le nœud
a déjà un successeur


(T)                      S, A                S, A,A

(4)        S, A          S’                  S, A     S’, A
M2 IA – Logique modale                                                   57
         Chap. 6 : Déduction automatique : la méthode des tableaux

    Présentation formelle : Adéquation et complétude

    Théorème d’adéquation : Si une formule est K(D,T,4)-fermée par
    tableau alors elle est K(D,T,4)-insatisfiable.

    Théorème de complétude : Si une formule est K(D,T,4)-ouverte par
    tableau (=un de ses K(D,T,4)-tableaux est ouvert) alors elle est
    K(D,T,4)-satisfiable. Le tableau ouvert peut être transformé en un
    K(D,T,4)-modèle.

    Exemples :
      (pq)  (pq)            K-valide
      pq                      K-satisfiable
      (p(qr))((pp) q) KT-satisfiable
M2 IA – Logique modale                                               58
         Chap. 6 : Déduction automatique : la méthode des tableaux

    Présentation formelle : Terminaison

    Théorème de terminaison pour K(D,T) : Le calcul des K(D,T)-tableaux
    pour une formule termine.

    Le calcul des KD4-tableaux pour ((pq)p) est infini… mais
    conduit à une répétition.

    Solution : le test de boucle

    (Loop)          S         S’S              S           S’

    où          dénote la relation « ancêtre »
M2 IA – Logique modale                                                     59
         Chap. 6 : Déduction automatique : la méthode des tableaux

    Présentation formelle : Stratégies complètes et terminantes

    Les règles classiques (,,,), et les règles T, D et  ne sont
    applicables que sur un nœud non rayé.

    Une stratégie est une expression régulière décrivant l’ordre dans
    lequel il faut appliquer les règles pour assurer la terminaison du calcul,
    ou pour améliorer ses performances.
           * : autant que possible + : union      ; : séquence

    Stratégie pour K(D,T) : ((Cl + T)* ; (+D)* ; K*)*
    Stratégie pour K(D,T)4 : ((Cl + T)* ; (+D)* ; (K+4)* ;Loop)*

    Avec une stratégie en profondeur, la complexité de ces systèmes est
    établie comme étant PSPACE-complète (Ladner 77).
M2 IA – Logique modale                                                 60
                          Chap. 7 : Système multi-K (Kn)

    Langage et Axiomatique

      o Langage : LP + [i] (+ <i> : optionnel, car <i>= [i])
      [i] (p  <i> q)  ([i] p  [i] q)

      o Axiomatique :
      Toutes les tautologies de LP et MP (|-- AB et |-- A  |-- B)

      (Schéma d’)Axiome K : [i] (A  B)  ([i]A  [i]B)

      Règle de Nécessitation : |-- A  |-- [i]A
M2 IA – Logique modale                                                61
                         Chap. 7 : Système multi-K

    Langage et Axiomatique

      o Un théorème de Kn est une formule qu’on peut obtenir par les
        axiomes et RI ci-dessus. Notation : |--K A si A est un théorème.
      o L’ensemble des théorèmes du système K est noté Th(K).
      o Une règle d’inférence dérivée est une règle de la forme :
        |--K A1, …, |--K An  |--K A t.q. si A1,…,AnTh(K) alors ATh(K)
M2 IA – Logique modale                                                            62
                           Chap. 7 : Système multi-K

    Sémantique (de Kripke)

      o Cadre : C = (W, ) où  est une famille {R1,…,Rn} de relations
      W est un ensemble non vide (de mondes possibles)
       est une famille {R1,…,Rn} de relations binaires (dite d’accessibilité)
      C est un graphe (éventuellement infini)

      o Modèle : M = (C,m) où
      C est un cadre
      m est une fonction (m: PROP --> 2W)
      M = (W,,m) repose sur C
      M est un système de transition (graphe + labels)
M2 IA – Logique modale                                                    63
                         Chap. 7 : Système multi-K

    Sémantique (de Kripke)
      o Soit A une formule, A est satisfaite par le monde possible x du
        modèle M=(W,,m) (noté M,x |== A) ssi :
      M,x |== p     ssi p appartient à m(x)
      M,x |== B  C     ssi M,x |== B et M,x |== C
      M,x |== B        ssi non (M,x |== B)
      M,x |== [i]B      ssi yW: Ri(x,y)  M,y |== B
      NB : M,x |== <i> B ssi y : Ri (x,v) & M,y |== B


      o L’ensemble des formules Kn-valides est noté Valid(Kn)
      o Kn est caractérisé par la classe des Kn-modèles
M2 IA – Logique modale                                                         64
                         Chap. 8 : Les axiomes d’interaction

      o Schémas d’axiome :
          Inclusion(a,b) : [a]A[b]A
          Si a sait A, alors b le sait aussi
          Si en tous points de a on a A, alors en tous points de b aussi

           Permutation(a,), : [a][]A[][a]A
           Si au-dessus puis à droite A, alors à droite puis au-dessus A
           Si a croit qu’après  A est vraie, alors après , a croira que A
           No forgetting     [Knows_a] []A[] [Knows_a]A
           No learning       [] [Knows_a]A [Knows_a] []A

           Confluence(a,b) : <a>[b]A[b]<a>A
M2 IA – Logique modale                                                     65
                         Chap. 8 : Les axiomes d’interaction

    Correspondance
      o De fait, pour chacun des axiomes X parmi Inclusion, Permutation,
         Confluence, il existe une propriété P(X) du premier ordre telle que
         X est vraie dans tout cadre vérifiant P(X) :
          Inclusion(a,b) : x: x Rb y  x Ra y,
              ou RbRa
          Permutation(a,b) : x,y,z: u:(x Rb y & y Ra z)(x Ra u & u Rb z)
                ou Rb o Ra  Ra o Rb
          Confluence (a,b) : x,y,z: u: (x Ra y & x Rb z)(y Rb u & z Ra u)
                ou (Rb)-1 o Ra  Rb o (Ra)-1
      Il est assez facile de vérifier que correspondance  adéquation
M2 IA – Logique modale                                                  66
             Chap. 8 : Systèmes basés sur les axiomes G(a,b,c,d)

o On définit [a;b]A par [a][b]A et [ab]A par [a]A[b]A, et dualement
      <a;b>A par <a><b>A et <ab> par <a>A<b>A
o On définit []A par A et dualement <>A par A
o Le schéma G(a,b,c,d) est le schéma : <a>[b] p  [c]<d> p
o Ce schéma correspond à la propriété :
         Ra-1 o Rc  Rb o Rd-1 notée R(a,b,c,d) – voir p. 40 pour o et -1
          avec Ra;b = Ra o Rb , Rab = Ra  Rb et R = 
o Exemple : Inclusion(a,b) = G(,a,b,) correspond à la propriété
   R(,a,b,)= R-1 o Rb  Ra o R-1 =  o Rb  Ra o = Rb  Ra
o Exemple Permutation(a,), : [a][]A[][a]A ?
   Permutation(a,) = [a;]A[;a]A = G(,(a;),(;a),) correspond à la
   propriété R(,(a;),(;a),) = R;a  Ra; = R o R a  Ra o R 
M2 IA – Logique modale                                                  67
               Chap. 8 : Les axiomes d’interaction : Complétude

    Théorème (Lemmon-Scott / Sahlqvist / Catach) :
Soit S un système modal basé sur K plus des axiomes de la famille
G(a,b,c,d), la classe C1S des cadres vérifiant R(a,b,c,d) pour chaque
axiome G(a,b,c,d) du système caractérise S.
         Th(S) = Valid(C1S).
o NB : le théorème de Sahlqvist est beaucoup plus général.
M2 IA – Logique modale                                                   68
        Chap. 8 : Les axiomes d’interaction : Décidabilité, complexité

    De manière générale, la méthode de filtration est inapplicable dans le
    cas multimodal où l’indécidabilité n’est d’ailleurs pas rare.

    La complexité est souvent très élevée quand ils sont décidables.

    Conjecture (Marx, 2001) : le problème de la satisfiabilité pour le
    système K(1)xK(2) = K(1)+ K(2)+Permutation(1,2) +
    Permutation(2,1)+Confluence(1,2) est non-élémentaire (?)

    Il a en tout cas été montré NEXPTIME-dur.
M2 IA – Logique modale                                                69
                    Chap. 9 : Traduction en logique classique

    Si A est une formule :
    Tr(A) = tr(A,x)
    tr(p,x) = p(x)
    tr((A*B),x) = tr(A,x)*tr(B,x)
    tr(¬A,x) = ¬tr(A,x)
    tr([i]A,x) = y (Ri(x,y)  tr(A,y))

    Si A est un schéma d’axiome écrit avec les variables p1…pn
    Tr(A) = p1…pn x tr(A,x) – où p1…pn sont les propositions de A

    Théorème : Si S est un système basé sur K+axiome1+…+axiomen
    alors A est S-valide (dans M2S) ssi
       Tr(axiome1),Tr(axiomen) |== x tr(A,x)

    Ainsi, Tr([a]AA) = px (y (Ra(x,y)  p(y)))  p(x)

								
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