Sviluppi del rischio di mercato by wA7VNT61

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									Sviluppi del rischio di mercato

        Giampaolo Gabbi
             Value at Risk (VaR)
• Data la distribuzione delle
  variazioni future di valore del
  portafoglio (DV) associate ad
  un dato orizzonte temporale, il
  VaR risponde alla domanda:
  qual è la perdita minima che
  posso attendermi, con una
  probabilità p?                    5%
   – Ad esempio, il VaR può
      dirmi che, su un orizzonte
      di un giorno, con                  -2.000                        DV
      probabilità p=5% (una volta
      su venti) posso attendermi
                                          Nota: il VaR è di solito definito
      una perdita almeno di               “al livello di confidenza 1-p%”
      2.000 euro                           (qui: al 95%), per sottolineare
                                             che “copre” il 1-p% dei casi
           Value at Risk (VaR)
• In termini matematici il
  VaR dipende dal p-esimo                   noi
  percentile (DVp) della
  distribuzione delle DV                JPM

   – J.P. Morgan lo definisce
     semplicemente come
     tale percentile
   – Più spesso, si definisce
     VaR la distanza tra tale
     percentile e la media
     della distribuzione
   – Nel metodo parametrico,
     poiché le variazioni dei        D Vp         m             DV
     fattori di rischio hanno
     media nulla e DV è una     VaR  DV p  mDV    DV p  mDV 
     loro combinazione
     lineare, mDV è per         DV p  x prob (DV  x)  p
     definizione 0, e le due
     definizioni coincidono.    DV p  max  x prob (DV  x)  p
         Digressione: la scelta di p
         e del livello di confidenza
• Qual è il valore “giusto” di p: 1%, 5%, 0,0001%?
   – Dipende
• Possiamo pensare al VaR come alla quantità di capitale che la
  banca deve detenere per “resistere” al 1-p% delle possibili perdite
  senza fallire
   – VaR come “economic capital”
• Banche più avverse al rischio, o desiderose di avere un migliore
  rating, vogliono detenere più capitale
   – scelgono livelli di confidenza maggiori
• Se voglio un rating “R”, p dovrebbe essere in linea con la frequenza
  di default registrata su società con rating “R”
   – Es. la frequenza di default per le società “BAA3” è storicamente
      circa lo 0,70%
   – La banca che vuole rating “BAA3” adotterà un livello confidenza
      circa del 99,3%
    Esempio: rating, frequenze di
     default, livelli di confidenza

Classe di rating Moody’s   Probabilità di insolvenza a 1 anno   Livello di confidenza
Aaa                                     0,001%                        99,999%
Aa1                                     0,01%                         99,99%
Aa2                                     0,02%                         99,98%
Aa3                                     0,03%                         99,97%
A1                                      0,05%                         99,95%
A2                                      0,06%                         99,94%
A3                                      0,09%                         99,91%
Baa1                                    0,13%                         99,87%
Baa2                                    0,16%                         99,84%
Baa3                                    0,70%                         99,30%
Ba1                                     1,25%                         98,75%
                                                                                                   Value at Risk (VaR)
                            16%
                                                                                                                                                                          • Il metodo seguito per stimare
                                                                                                                                                                            la distribuzione di DV non
                            14%
Montecarlo




                            12%

                            10%
              % di casi




                            8%

                            6%

                            4%
                                                                                                                                                                            impatta sul concetto di VaR
                            2%

                            0%                                                                                                                                              – Naturalmente, il valore del VaR
                                                                                                   -96

                                                                                                          -32

                                                                                                                32

                                                                                                                     96

                                                                                                                          160

                                                                                                                                224

                                                                                                                                      288

                                                                                                                                            351

                                                                                                                                                  415

                                                                                                                                                        479

                                                                                                                                                              543

                                                                                                                                                                    607
                                  -607

                                          -543

                                                   -479

                                                           -415

                                                                   -351

                                                                           -288

                                                                                   -224

                                                                                           -160




                                                                                                                                                                              sarà diverso, perché le stime di
                                                 Variazioni di valore del portafoglio (euro, valore centrale)


                            14%


                            12%
                                                                                                                                                                              DVp e m saranno diverse
Parametrica




                            10%



                                                                                                                                                                               • Cfr. ad esempio la distribuzione
                % di casi




                             8%


                             6%


                             4%                                                                                                                                                  storica: per isolare il 5% peggiore
                                                                                                                                                                                 serve un valore di DV più basso
                             2%


                             0%
                                                                                                    -96

                                                                                                          -32

                                                                                                                32

                                                                                                                     96

                                                                                                                          160

                                                                                                                                224

                                                                                                                                      288

                                                                                                                                            351

                                                                                                                                                  415

                                                                                                                                                        479

                                                                                                                                                              543

                                                                                                                                                                    607
                                   -607

                                           -543

                                                    -479

                                                            -415

                                                                    -351

                                                                            -288

                                                                                    -224

                                                                                            -160




                                                                                                                                                                            – Inoltre, nel caso del metodo
                                                  Variazioni di valore del portafoglio (euro, valore centrale)


                                                                                                  % casi

                            14%

                            12%
                                                                                                                                                                              parametrico con fattori normali,
Storica




                                                                                                                                                                              è possibile calcolare il VaR con
                            10%
                % di casi




                             8%

                             6%

                             4%

                             2%
                                                                                                                                                                              una scorciatoia…
                             0%
                                                                                                    -96

                                                                                                          -32

                                                                                                                32

                                                                                                                     96

                                                                                                                          160

                                                                                                                                224

                                                                                                                                      288

                                                                                                                                            351

                                                                                                                                                  415

                                                                                                                                                        479

                                                                                                                                                              543

                                                                                                                                                                    607
                                   -607

                                           -543

                                                    -479

                                                            -415

                                                                    -351

                                                                            -288

                                                                                    -224

                                                                                            -160




                                                  Variazioni di valore del portafoglio (euro, valore centrale)
              Calcolo del VaR
          con metodo parametrico
    “Il percentile xp di qualunque distribuzione normale a media nulla
        si ottiene moltiplicando la sua deviazione standard x per il
    corrispondente percentile zp della distribuzione normale standard”

          VaR   DV p  mDV    DV p   z p   DV
• Se adottiamo l’approccio parametrico, dunque
   – il VaR può essere calcolato rapidamente, nota la deviazione
     standard delle variazioni di valore
      • i valori di zp si trovano sui libri di statistica
        e sono calcolabili con moltissimi software
   – il VaR può essere scomposto facilmente, perché tutte le
     scomposizioni della deviazione standard si applicano al VaR, a
     meno di una costante zp
    VaR con metodo parametrico:
             esempi
Se ci interessa il VaR al 99% (p=1%) cerchiamo su un libro di
statistica z1% (o, in Excel, INV.NORM.ST(0,01)), che vale -2,33

Portafoglio con 1000 azioni Intesa e 500 azioni Fiat al 28.12.03
     DV  192       VaR   z p   DV  ( 2,33)  192  446
“Nel 99% dei casi, la perdita (tra una settimana) non supererà i 446 euro”

Portafoglio con un’azione Vodafone (in sterline) al 28.12.03
      DV  4            VaR   z p   DV  2,33  4  10
“Nel 99% dei casi, la perdita (tra una settimana) non supererà i 10 cents”

Due bond a 2 anni, nominale 100, con cedola 6% e 0%
      DV  49             VaR   z p   DV  2,33  49  114
“Nel 99% dei casi, la perdita (tra una settimana) non supererà i 114 cents”
      Scomposizione del VaR:
    VaR marginale e incrementale
• Il VaR dell’intera banca, o di un intero grande portafoglio,
  è un numero sintetico, ma opaco
• Nasce l’esigenza di capire il contributo di singoli titoli o
  sottoportafogli al VaR totale
• A tal fine, si introducono le misure di
   – VaR marginale della posizione i:
       • incremento che il VaR conosce quando la posizione i viene
         aggiunta al resto del portafoglio della banca
   – VaR incrementale della posizione i:
       • incremento che il VaR conosce quando una quantità infinitesima
         della posizione i (un cent) viene aggiunta al portafoglio della banca.
• Il calcolo di VaR marginale e incrementale è
  sensibilmente più rapido se si adotta l’approccio
  parametrico.
           L’Expected Shortfall
• E’ definito come la media delle perdite inattese
  (cioè in più oltre il valore atteso m) superiori al
  VaR
• In simboli:
            ES  E DV  mV   DV  mV   VaR
 • Se m=0, si semplifica in:
                    ES  E DV  DV  VaR
 • Dal punto di vista economico, posso vederlo come
    – Il VaR, più il costo che le autorità di vigilanza dovrebbero
      sostenere per salvare la banca (ripianando le sue perdite)
      se il suo capitale (fissato pari al VaR) non fosse sufficiente
    – Il VaR, più il costo (risk neutral) che la banca dovrebbe
      sostenere se volesse assicurarsi contro perdite superiori al
      VaR
      L’Expected Shortfall / 2
• E’ una misura di rischio alternativa al VaR
• Risponde ad alcuni limiti del VaR
  – Il VaR trascura la dimensione delle perdite
    oltre il livello di confidenza fissato
     • Ad esempio mi dice che solo nel 1%
       di casi rischio di perdere più di 446 euro
     • Già, ma quanto devo
       aspettarmi di perdere in questo 1% di casi?
  – Il VaR è una misura di rischio non coerente
     • In particolare, non rispetta
       il principio di subadditività
        – “Il rischio di una somma di più sottoportafogli è minore o
          uguale della somma dei rischi dei singoli sottoportafogli”
  Dimensione delle perdite oltre
 il livello di confidenza: esempio
Il VaR rende identico il rischo di questi due portafogli,
che invece hanno rischi estremi assai diversi:
                                          Variazioni di valore
        Percentile                    Portafoglio A      Portafoglio B
        0,0%                             -150.000              -60.000
        0,2%                             -120.000              -56.000
        0,4%                             -100.000              -55.000
        0,6%                               -70.000             -53.000
        0,8%                               -60.000             -51.000
        1,0%                               -50.000             -50.000
        1,2%                               -48.000             -45.000
        1,4%                               -45.000             -40.000
        1,6%                               -42.000             -35.000
        1,8%                               -40.000             -30.000
        2,0%                                     …                  …
        VaR al 99%                          .50000              .50000
        Expected Shortfall al 99%        -100.000              -55.000

                                                            Nota: per semplicità, mDV=0
    “Coerenza” delle misure di rischio
    (Artzner, Delbaen, Eber e Heath)
• Invarianza alle traslazioni
   – l’aggiunta al portafoglio di una quantità di contante riduce il
     rischio del medesimo ammontare
• Omogeneità positiva di grado uno
   – Se raddoppiamo la dimensione di ogni posizione, raddoppia
     anche il rischio del portafoglio.
• Monotonicità
   – Se le perdite sul portafoglio A sono maggiori di quelle sul
     portafoglio B in ogni possibile scenario futuro, allora il rischio del
     portafoglio A dev’essere maggiore di quello del portafoglio B
• Subadditività
   – Il rischio di una somma di più sottoportafogli è minore o uguale
     della somma dei rischi dei singoli sottoportafogli



                   Risk( X  Y )  Risk( X )  Risk(Y )
Mancata coerenza (subadditività)
      del VaR: esempio
Due titoli simili, ma indipendenti:

                    Variazioni di valore future ( D V)
              Probabilità           Titolo A         Titolo B
              1%                       -29,3            -29,3
              4%                         -9,3             -9,3
              95%                         0,7              0,7
              m                            0,0               0,0
              VaR al 99%                   9,3               9,3
              ES al 99%                   29,3              29,3


  Chi detenesse i due titoli disgiuntamente, riterrebbe di avere un rischio
                       di 9,3 euro (VaR al 99%) o di 29,3 euro (ES al 99%).
          Poiché i due titoli sono indipendenti (fattori di rischio diversi e
   incorrelati), detenerli congiuntamente deve condurre a un rischio non
                 maggiore rispetto a 2xVaR (18,6) o a 2xES (58,6). E’ vero?
Mancata coerenza (subadditività)
      del VaR: esempio
Portafoglio con due titoli indipendenti:

                                                             Probabilità
                                               Probabilità    cumulata     Valore
                           Titolo B             0,01%   0,01%              -58,6
                     -29,3    -9,3     0,7      0,08%   0,09%              -38,6
                      1%      4%       95%
                                                1,90%   1,99%              -28,6
             -29,3   -58,6   -38,6    -28,6
             1%      0,01%   0,04%    0,95%
                                                0,16%   2,15%              -18,6
  Titolo A




             -9,3    -38,6   -18,6     -8,6     7,60%   9,75%               -8,6
             4%      0,04%   0,16%    3,80%    90,25% 100,00%                1,4
             0,7     -28,6   -8,6      1,4
             95%     0,95%   3,80%    90,25%   VaR al 99%                  -28,6
                                               ES al 99%                   -40,8

                                                  Il VaR non è subadditivo!!!
                Mancata coerenza
              (subadditività) del VaR
• Nella pratica, le situazioni in cui il VaR
  non è subadditivo si verificano abbastanza raramente
• In particolare, ogni volta che ha senso utilizzare l’approccio
  parametrico, e cioè data la:
    – normalità dei fattori di rischio
    – linearità del legame tra fattori e valore del portafoglio
• …allora il VaR è semplicemente un multiplo della deviazione
  standard, e poiché quest’ultima è subadditiva, anche il VaR è
  sempre subadditivo.
• Inoltre il VaR ha numerosi vantaggi (v. oltre)
• Per questo il VaR rimane la misura di rischio più utilizzata
    – i modelli à la RiskMetrics sono comunemente chiamati “modelli VaR per
      i rischi di mercato”.
Applicazioni e vantaggi del VaR
• Introduzione di un linguaggio comune tra i
  diversi “desk” che seguono mercati diversi
• Introduzione di un sistema di limiti di
  rischio omogeneo e sensibile alle
  condizioni di mercato
• Misurazione delle risk-adjusted
  performance (RAPM):
  – ex ante: per finalità di budget e pianificazione
  – ex post: per finalità di controllo di gestione
              Un linguaggio comune
                           lunga Il profilo di di due di due posizioni
                 PosizioneIl profilo di rischio rischio posizioni    Posizione corta
                     BTP    BTP                          Opzione Call su USDsu USD
                                                                  Opzione Call
 Prezzo                        100            EUR/USD spot                      1
         Prezzo                      100               EUR/USD spot                    1
 Nominale                  EUR 100.000           Notional                  USD 100.000
 Scadenza
         Nominale                                         Notional
                                  EUR 100.000Valore di mercato
                             10 anni
                                                                                  USD 100.000
                                                                            EUR 5.407
 Cedola Scadenza               6% 10 anni             Valore
                                                Scadenza di mercato          1 annoEUR 5.407
         Cedola
 Modified Duration             7,36   6%           StrikeScadenza               1   1 anno
         Modified Duration
 Modified Convexity           69,74 7,36                    Strike
                                             Volatilità implicita             10%      1
          Maturity
 Yield toModified Convexity    6% 69,74             Delta
                                                      Volatilità implicita     0,5    10%
        Yield to Maturity                6%                      Delta                   0,5


                 VaR: 4.150                                              VaR: 640

Esempi di calcolo:
Per il Btp uso il metodo delta-gamma e la deviazione standard dello yield to maturity:
                                                                    2
                                                    2,33  0,25 %    4.150
                                            69 ,74
VaRBTP  100 .000  2,33  7,36  0,25 % 
                                             2                       
Per la call uso le simulazioni Montecarlo e la full valuation:
VaROPZ .  C St 1; t 1   C ( St ; t )  C 1,035 ;10,47 %   C 1;10 %   8.360  7.720  640
                 Limiti di rischio
                 Limiti di posizione della Tesoreria Titoli
             Portafoglio Limite di VaR Limite di esposizione
             BTP                 100.000            17.194.333
             Bot                      …                      …
             Futures                  …                      …
             …                        …                      …
• Immaginiamo di calcolare il VaR sui Btp con:
   – approssimazione delta normal
   – un solo fattore di rischio (yield to maturity).
• Allora;
               VaR   z p DV   z p DM  V   Dy 

• …da cui
                                    VaR
                       V
                              z p  DM   Dy
              Limiti di rischio / 2
               Limiti di posizione della Tesoreria Titoli
           Portafoglio Limite di VaR Limite di esposizione
           BTP                 100.000            17.194.333
           Bot                      …                      …
           Futures                  …                      …
           …                        …                      …

• Se il limite di VaR (al 99%) è 100.000 euro, il portafoglio
  ha duration modificata 6,25 anni e la volatilità del fattore
  di mercato (Dy) è 4 basis points, il massimo ammontare
  di Btp detenibile in portafoglio è:
                           100 .000
                  V                       17 .194 .333
                     2,33  6,25  0,0004

• Se il mercato diventa più volatile, o il tesoriere allunga la
  duration, il limite di esposizione si riduce
  “automaticamente”
Misura delle risk-adjusted performance
• Il VaR rappresenta il rischio che
  vogliamo/dobbiamo coprire con capitale
   – E’ detto anche CaR, capitale a rischio
• Possiamo usarlo per ottenere misure di
  redditività del capitale investito, ovvero corretta
  per il rischio
• Può trattarsi di
   – previsioni
      • utili attesi, CaR (VaR) stimato in base alla composizione di
        portafoglio iniziale
   – rendicontazioni
      • utili effettivi, CaR (VaR) calcolato in base alla composizione
        di portafoglio tenuta nel corso dell’esercizio passato

                      E (U )                                 U
   RAROC exante                       RAROC ex post   
                     CaRexante                            CaRex post
  Esempio di misura delle
 performance “risk-adjusted”
                                Portafoglio     Portafoglio
                              obbligazionario    azionario
Valore di mercato                   100             100
Utile mensile                        2               5
Redditività                       2,00%           5,00%
Sensibilità (duration               5,5              1
modificata media e beta)
Volatilità mensile (tassi e       0,4%            6,5%
indice azionario)
Fattore scalare                    2,3             2,3
VaR(99%)                          5,06            14,95
RAROC                            39,53%          33,44%

								
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