物理第一章 by lele198838

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									第 1 章 质点运动学
一、选择题
1(D),2(D),3(B),4(D),5(B),6(D),7(D),8(E),9(B),10(B),

二、填空题

(1).    A 2 sin t      ,
                             1
                               2n 1   (n = 0,1,… ),
                             2
(2).    8 m,10 m.
(3).    23 m/s.
                         2
        16Rt2 4 rad /s 
              ,
(4).
(5).    4t3-3t2 (rad/s),12t2-6t (m/s2).

        1 3
(6).      ct ,2ct,c2t4/R.
        3
(7).     17  4.12 m/s2,104o
                                  
(8).     50 ( s i n t i  c o s t j ) m/s,0,圆.
                   5           5

     1 kt 2 1
(9).      
     v   2 v0

(10).    h1v /(h1h2)
三、计算题
1. 有一质点沿 x 轴作直线运动,t 时刻的坐标为 x = 4.5 t2 – 2 t3                           (SI) .试求:
    (1) 第 2 秒内的平均速度;
    (2) 第 2 秒末的瞬时速度;
    (3) 第 2 秒内的路程.

解:(1)                 v  x / t  0.5 m/s
  (2)                 v = d x/d t = 9t - 6t2,      v(2) =-6 m/s.
  (3)                 S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m.
                                                                                       y
2. (1) 对于在 xy 平面内,以原点 O 为圆心作匀速圆周运动的质点,试
                                                                                                   
                                                                                 
用半径 r、角速度和单位矢量 i 、 j 表示其 t 时刻的位置矢量.已知在                                                             (x,y)
                                                                                   j       r
                                                                                                         x
t = 0 时,y = 0, x = r, 角速度如图所示;                                                               
                                                                                 O           i
        (2)由(1)导出速度 v 与加速度 a 的矢量表示
式;
  (3) 试证加速度指向圆心.
                                                               
解:(1)                      r  x i  y j  r cos  t i  r sin  t j
                                                         
                       dr
(2)                   v      r sin  t i  r cos t j
                         dt

                                                                                               1
                
            dv                                      
           a      r 2 cos t i  r 2 sin  t j
               dt
                                            
           a   2 r cos  t i  r sin  t j    2 r
                                                       
(3)
                      
这说明 a 与 r 方向相反,即 a 指向圆心 。


3. 一质点沿 x 轴运动,其加速度为 a  4t (SI),已知 t  0 时,质点位于 x 10 m 处,初速度
v 0.试求其位置和时间的关系式.

解:                  a  dv /dt  4 t ,                dv  4 t dt
                 v           t
                
                0
                     d v   4t d t
                             0
                                                          v = 2t2
                                                              x           t
               v  d x /d t  2 t2                           x0
                                                                   dx   2t 2 d t
                                                                         0

               x  2 t /3+x0
                         3
                                       (SI)

4. 一质点沿 x 轴运动,其加速度 a 与位置坐标 x 的关系为 a=2+6 x2                                           (SI),如果质点在
原点处的速度为零,试求其在任意位置处的速度.

解:设质点在 x 处的速度为 v,
                                    dv dv d x
                             a              2  6x 2
                                    dt d x dt
                             v

                             v dv   2  6 x  d x
                                              x
                                                                   2

                             0                0


                                      
                                 v  2 x  x3            1
                                                              2




5. 如图所示,质点 P 在水平面内沿一半径为 R=2 m 的圆轨道转动.转动的角
                                                                                          P
速度与时间 t 的函数关系为   kt (k 为常量).已知 t  2s 时,质点 P 的
                                                  2
                                                                                              O
速度值为 32 m/s.试求 t  1 s 时,质点 P 的速度与加速度的大小.                                                     R

解:根据已知条件确定常量 k
                 
k ω / t 2  v / Rt 2  4rad / s 2
                         4t 2 ,         v  R  4Rt 2
t  1s 时,                          v = 4Rt2 = 8 m/s
                       at  dv / dt  8 Rt  16 m / s 2
                                   a n  v 2 / R  32 m / s 2

                             
                       a  at2  an
                                  2
                                          
                                          1/ 2
                                                   35.8 m/s2


6. 一飞机驾驶员想往正北方向航行,而风以 60 km/h 的速度由东向西刮来,如果飞机的航
速(在静止空气中的速率)为 180 km/h,试问驾驶员应取什么航向?飞机相对于地面的速
率为多少?试用矢量图说明.

解:设下标 A 指飞机,F 指空气,E 指地面,由题可知:
  vFE =60 km/h 正西方向

                                                                                                  2
  vAF =180 km/h 方向未知
   vAE 大小未知, 正北方向
                                                               北
由相对速度关系有: v AE  v AF  v FE                                       
                                                               v FE
v AE 、 v AF 、 v EE 构成直角三角形,可得                              
                                                     西     v AE
          2  2
v AE  v AF   v FE   170 k m / h                            
                                                                  v FE 
                                                                      v AF
  tg 1 v FE / v AE   19 .4                          v FE 
(飞机应取向北偏东 19.4的航向).                                                            
                                                                                v FE




四 研讨题
                                                                                 
1. 在下列各图中质点 M 作曲线运动,指出哪些运动是不                                       a  0          v
                                                                                                 M
可能的?                                                                M                    
                                                                                   (1)   v                      (2)
                                                                                                        a
                                                                        a          
参考解答:                                                                              v
                                                                                                    M
(1)、(3)、(4)是不可能的.                                                                            a
                                                                                         
(1) 曲线运动有法向加速度,加速度不可能为零;
                                                                            M            v
                                                                                   (3)                           (4)
(3) 曲线运动法向加速度要指向曲率圆心;
(4) 曲线运动法向加速度不可能为零.


2. 设质点的运动方程为 x  x (t ) , y  y(t ) 在计算质点的速度和加速度时:
                       dr      d r                                          2
第一种方法是,先求出 r                        x 2  y 2 ,然后根据 v 
                          及 a  2 而求得结果;
                       dt      dt
第二种方法是,先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果,即
          dx 2 dy 2         d2 x     d2 y
             )  ( ) 和 a  ( 2 )2  ( 2 )2 .
                     v (
          dt      dt        dt       dt
你认为两种方法中哪种方法正确?

参考解答:

    第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是矢量,根据定义,
        
     dr    d              dx  dy 
    v        ( xi  yj )     i     j
       dt   dt               dt     dt
        
     dv    d dx  dy     d2 x  d2 y 
    a       ( i     j)  2 i  2 j
       dt   dt dt   dt     dt     dt
                                             2       2
                dx 2 dy 2         d x      d y
所以      v (       )  ( ) , a  ( 2 )2  ( 2 )2 .
                dt      dt        dt       dt
   第一种方法是错误的,问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性
      
   dr d               dr 0      ˆ
                               d r0
  v     (r  r 0 ) 
               ˆ          r r
                          ˆ              ˆ
                                      ( r 0 为 r 方向的单位矢量)
                                                       ,
     dt dt             dt       dt
      
   dv d 2 r 0              ˆ
                     d r d r0       ˆ
                                 d2 r0
  a     2 r 2 
            ˆ                 r       .
     dt dt           dt dt        dt2



                                                                                                             3
               ˆ
             d r0
问题的关键:            ?
              dt
                         
                        di                                 ˆ
                                                         d r0
   在第二种方法中,                   0, 如果在第一种方法的讨论中,                0, 那么
                        dt                                dt
     
  dr d                 dr 0        ˆ
                                  d r0    dr 0        dr
 v     (r  r 0 ) 
                ˆ           r r
                            ˆ          =    ˆ
                                             r , 则 v  也成立!
    dt dt               dt         dt     dt          dt
            drˆ 0
   注意:若            0, 则 r 0 必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。根据
                           ˆ
             dt
质点的运动方程为 x  x (t ) , y  y(t ) ,质点作平面曲线运动,如图所示, r 0 大               ˆ
小不变,但方向改变!
         ˆ
       d r0
   所以        0, 即第一种方法是错误的!
        dt
                                                                              
                                                                       ˆ
                                                                       d r0 d i
只有在直线运动中,r  i (显然 i 是大小与方向均不随时间改变的常矢量)
                    ˆ 0
                                                                                0,
                                                                        dt   dt
                  dr                           d 2r
速度的大小才等于              .对加速度的大小 a                   也可以用同样方法加以讨论.
                  dt                           dt 2




                                                                                   4

								
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