第四章振动

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					第 4 章 振动

一、选择题
1(C),2(B),3(C),4(E),5(C),6(D),
7(B),8(D),9(B),10(C)

二、填空题
(1). 、- /2 分、.
(2). 2 2m / k 、 2 m / 2k
(3). x  0.04 cos(t  1 )
                       2
                            
(4).    0.04 cos(4t  1 )
                       2


(5).    x  2 102 cos(5t / 2  1 )
                                 2


(6). 0.05 m,-0.205(或-36.9°)
(7). 3/4, 2                l / g




(8). 291 Hz 或 309 Hz
                       -2
(9). 4×10 m, 1 
             2


(10).                  1
           A cos(2 t  )
                       2

                                        1
三、计算题
1. 一质点在 x 轴上作简谐 A B
                      
振动,   选取该质点向右运动       v
                        x



通过 A 点时作为计时起点( t
= 0 ),经过 2 秒后质点第一次经过 B
点,再经过 2 秒后质点第二次经过 B
点,若已知该质点在 A、B 两点具有
相同的速率,且 AB = 10 cm 求:
  (1) 质点的振动方程;
  (2) 质点在 A 点处的速率.
                                               t = 4s
                                      
                                 A             B        x
解:   由旋转矢量图和 |vA| =                  vA O vB       vB
                                        
|vB| 可知 T/2 = 4 秒,         t=0      t = 2s

∴              T = 8 s, 
= (1/8) s-1,
                s-1


  (1) 以 AB 的中点为坐标原点,x 轴指
     向右方.
                                                   2
t = 0 时,       x  5 cm  A cos

t = 2 s 时,      x  5 cm  A cos(2   )   A sin 

由上二式解得                        tg = 1
   因为在 A 点质点的速度大于零,
所以 = -3/4 或 5/4(如图)
                                                              A  x / cos   5 2

cm
∴ 振动方程
x  5 2  10 c o t  3 ) (SI)
             2
                  s (
                 4     4

       (2) 速率                                                        2
                                                v  d x   5 2  10 sin( t  3 )
                                                    dt         4           4     4

(SI)
当 t = 0 时,质点在 A 点

v  d x   5 2  10 2 sin( 3 )  3.93  10 2   m/s
    dt       4                  4




2.如图 1 所示,一定滑轮的半
径为 R,转动惯量为 J,其上挂                                                                    m


一轻绳, 绳的一端系一质量为 m
                                                                              图1

                                                                                        3
的物体,另一端与一固定的轻弹簧相
连,如图所示.设弹簧的劲度系数为
k,绳与滑轮间无滑动,且忽略轴的摩
擦力及空气阻力. 现将物体 m 从平衡
位置拉下一微小距离后放手,证明物
体作简谐振动,并求出其角频率.

解:取如图 x 坐标,平衡位置为原点
O,向下为正,m 在平衡位置时弹簧
已伸长 x0
             mg  kx ①         0



设 m 在 x 位置,分析受力, N T                          1



这时弹簧伸长 x  x              0
                                                           m x0
                                   T2 Mg T1       mg                  O
           T2  k ( x  x0 )
                                                                  x
②
由牛顿第二定律和转动定律列方程:
      mg  T  ma     ③
                      1



      T R  T R  J
               1     ④2



      a  R                  ⑤
联立解得                 a
                              kx
                        (J / R )  m                   2




                                                            4
    由于 x 系数为一负常数,故物体
              做简谐振动,
              其角频率为
                              k              kR2
                                     
                        (J / R 2 )  m     J  mR 2




3.质量 m = 10g 的小球与轻弹簧组成
的振动系统,按 x  0.5 cos(8t  1 ) 的规律作自
                          3

由振动,   式中 t 以秒作单位, 以厘米          x
为单位,求
   (1) 振动的角频率、周期、振幅
和初相;
   (2) 振动的速度、加速度的数值
表达式;
   (3) 振动的能量 E;
    (4)   平均动能和平均势能.

解:  (1)                    
               A = 0.5 cm; = 8 s-1;
T = 2/ = (1/4) s; = /3
                                                      5
             (2)                                                       1
                                          v  x  4  10 2 sin(8t  )
                                              
                                                                       3

(SI)
                                                                     (SI)
                                       a    32 2 102 cos(8t  1 )
                                           x
                                                                       3

     (3)                             E  EK  EP      kA  m A =7.90×
                                                      1
                                                      2
                                                          21
                                                           2
                                                                       2   2




10-5 J
                         平均动能
                                                                               T
     (4)                                                                       1
                                                              E K  (1 / T )  mv 2 d t
                                                                               2
                                                                             0




        T
             1                             1
 (1 / T )  m(4  10 2 ) 2 sin 2 (8t  ) d t
           0
             2                             3

                                                                           = 3.95×
10-5 J = 1 E
         2

同理                                                                         EP 
                                                                                   1
                                                                                   2
                                                                                     E   =
3.95×10-5 J

4.一质量 m = 0.25 kg 的物体,在弹簧
的力作用下沿 x 轴运动,平衡位置在
原点. 弹簧的劲度系数 k = 25 N· -1.
                     m
            (1) 求振动的周期 T 和角频率.
            (2) 如果振幅 A =15 cm,t = 0 时
                                                                                             6
物体位于 x = 7.5 cm 处,且物体沿 x
轴反向运动,求初速 v0 及初相.
    (3) 写出振动的数值表达式.

解:(1)                                   k / m  10 s 1

                                        T  2 /   0.63

s
     (2) A = 15 cm,在 t = 0 时,x0 =
7.5 cm,v 0 < 0
由                           A  x  (v /  )    2
                                                0       0
                                                                2




得                      v   A  x  1.3
                                 0
                                            2       2
                                                    0



m/s
                                                    1
                            tg 1 (v 0 / x0 )  
                                                    3

或 4/3
∵ x0 > 0 ,∴                                              
                                                            1
                                                            3

     (3)                                             1
                              x  15  10 2 cos( t  )
                                                10
                                                     3

(SI)



                                                                    7
5.如图 5 所示,有一水平弹                  m
                                      F

                                 O            x
簧振子,弹簧的劲度系数 k                    图5



        重物的质量 m = 6
= 24 N/m,
kg,重物静止在平衡位置上.设以一
水平恒力 F = 10 N 向左作用于物体
(不计摩擦),使之由平衡位置向左
运动了 0.05 m 时撤去力 F.当重物运
动到左方最远位置时开始计时,求物
体的运动方程.

解:设物体的运动方程为
x  A c o t   ) .
           s (

恒外力所做的功即为弹簧振子的能
量: F×0.05 = 0.5 J.
当物体运动到左方最远位置时,弹簧
的最大弹性势能为 0.5 J,即:
                       kA  0.5 J, ∴ A
                     1 2

                     2

                                          8
= 0.204 m.
A 即振幅.
                 2  k /m  4

(rad/s)2
                          =2
rad/s.
按题目所述时刻计时,初相为 = .
∴物体运动方程为
x  0.204 cos(2t  ) (SI).


四 研讨题

1. 简谐振动的初相是不是一定指它
开始振动时刻的位相?


参考解答:
对于一个振幅和周期已定的简谐振
动,用数学公式表示时,由于选作原

                                 9
点的时刻不同, 值就不同。例如,选
物体到达正向极大位移的时刻为时
    则
间原点,  值等于零;如果选物体到
达负向极大位移的时刻为时间原点,
则  等于  。由于 是由对时间原点的选
择所决定的,所以把它叫做振动的初
相。简谐振动的初相不是一定指它开
始振动时刻的位相。
思考题:任何一个实际的弹簧都是有
质量的,如果考虑弹簧的质量,弹簧
振子的振动周期将变大还是变小?

2. 任何一个实际的弹簧都是有质量
的,如果考虑弹簧的质量,弹簧振子
的振动周期将变大还是变小?
                      10
参考解答:
    因为弹簧振子的周期决定于系统
的惯性和弹性,惯性越大则周期越
大。因此可以定性地说,在考虑了弹
簧的质量之后,弹簧振子的周期肯定
会变大。
    若振子的质量为 M,弹簧的质量
为 m,弹簧的劲度系数为 k,可以计
算出,在考虑了弹
簧的质量之后,弹簧振子的振动周期
为
                         M  m/3
                T  2
                            k




例:劲度系数为 k、质量为 m 的均匀
                         11
弹簧,一端固定,另一端系一质量为
M 的物体,在光滑水平面内作直线运
动 。 求 解弹 簧振子的振动周期 ( m
<M )。
解:平衡时 0 点为坐标
  物体运动到 x 处时,
原点。
速度为 v .设此时弹簧的长度为 L,取
弹簧元 dl 分析:
质量 d m  m d l ,位移为 L x (前提: 弹簧各
              L
                                l


等长小段变形相同,位移是线性规
律)   ,速度为: L ddxt  L v. l    l


弹簧、物体的动能分别为:
E   ( d l ) v   mv , E  Mv .
         2
     1 m
     L       l 
             2      1     2  1
k1               k2
     0
     2 L     L    6        2

系统弹性势能为: E  kx2 .    P
                              2




系统机械能守恒,有: 1 Mv    2
                                  2    1      1
                                       mv 2  k x2 
                                       6      2
                                                        常
数

                                                        12
                           即   1
                               2
                                      m
                                      3
                                             1
                                 ( M  )v 2  k x2 
                                             2
                                                       常
数
将上式对时间求导,整理后可得:
       m dv
(M     )    kx  0
       3 dt

                       即   d2 x
                           dt 2
                                
                                    k
                                  M m 3
                                         x0           令
         k
2 
       M m 3

比较简谐振动微分方程,知
   2      M  m/3
T
   
       2
              k
                   .

3. 弹簧振子的无阻尼自由振动是简
谐运动,同一弹簧振子在简谐驱动力
持续作用下的稳态受迫振动也是简
谐运动,这两种简谐运动有什么不
同?


参考解答:
           这两种振动虽都是简谐振动,其

                                                       13
振动的表达式 x  Acos(t   ) 形式也相同,但
两种运动有很多的不同,这可从振动
的运动学特点和动力学特点两个方
面来说明。
    从运动学来说,两种振动的频率、
振幅、初相、速度、加速度的情况都各
不相同;从动力学来说,两种振动的受
力情况、振动方程(动力学方程)以及
振动的能量特点都各有不同。
无阻尼自由振动:谐振过程中 E  1 k A 为
                  2
                            2




定值,不受外界影响,周期为振子的
固有周期,
 稳态受迫振动:谐振过程中需不停地
受外力作用,补 充能量才能保证获

                                14
得稳态受迫振动,周期为策动力的周
期.




               15

				
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