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									O USO DO COMPUTADOR NO ESTUDO DE FUNÇÕES NO ENSINO MÉDIO


                                   Fabio Vieira dos Santos, UEL, fabiovtd@gmail.com
             Karina Alessandra Pessôa da Silva, UEL, karina.silva@ensinolivre.com.br
                                Lourdes Maria Werle de Almeida, UEL, lourde@uel.br


1. INTRODUÇÃO
     Apesar de reconhecida a importância do ensino de funções no Ensino Médio, por
exemplo, nos PCNEM (Brasil, 1998), e de haver um incentivo para que seu estudo seja
realizado por meio de situações-problema diversificadas tanto na Matemática como em
outras áreas, de acordo com algumas pesquisas, isto ainda não é uma realidade. O
conhecimento dos alunos acerca desse conceito fica compartimentalizado e estes
mostram dificuldade em estabelecer relações entre as informações de diferentes formas
de representação.
     Além disso, é preciso considerar o acelerado desenvolvimento tecnológico dos
últimos anos nas mais diversas áreas. Muitas pessoas, de modo direto ou indireto, foram
atingidas por estes avanços e a utilização de computadores em rede, bem como o
advento da internet passaram a possibilitar a troca de informações de forma mais
simples e rápida.
     Deste modo, saber ler, escrever, contar e fazer cálculos elementares, ainda que
necessário, não é suficiente nos dias de hoje. Viver bem na sociedade ‘informatizada’,
depende muito da análise, da interpretação e da compreensão das informações cada vez
mais complexas.
     Assim, neste trabalho apresentamos a Modelagem Matemática como alternativa
pedagógica para o ensino de função, visto que é na perspectiva da articulação com a
realidade que pensamos o trabalho com a modelagem. Além disso, abordamos a
importância do uso das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC), mais
especificamente do computador, em situações de modelagem e propomos três atividades
utilizando os softwares Modellus e Excel, os quais permitem a experimentação, a
representação gráfica e a manipulação direta de dados no estudo das situações
envolvidas e na obtenção dos modelos matemáticos.


2. A APRENDIZAGEM E OS AMBIENTES INFORMATIZADOS
                                                                                        2

     Ao se propor o uso do computador ou de um software educacional em atividades
de ensino e aprendizagem, é preciso considerar que essa mídia, qualitativamente
diferente, “contribua para modificar as práticas do ensino tradicional vigentes” (Borba
e Penteado, 2003, p.51). Nesse sentido, há vários estudos já realizados que visam
aprofundar as compreensões acerca da utilização da informática na Educação
Matemática. Dentre eles, Borba e Penteado (2003), Benedetti (2003) e Menk (2005),
que se apóiam nas noções de Levy (2006).

     De acordo com Levy (2006), a história do desenvolvimento humano sempre
esteve intimamente relacionada com a história das mídias. Para o autor, o pensamento
consiste numa realização do coletivo pensante composto de seres humanos e tecnologias
da inteligência, sendo esta caracterizada pela oralidade, pela escrita e pela informática,
consideradas por ele as três grandes técnicas associadas à memória e ao conhecimento.

     A oralidade, nesse sentido, constitui uma forma de estender a memória. Em
sociedades sem a adoção da escrita (oralidade primária), a cultura está fundada nas
lembranças dos indivíduos. Nessas sociedades, a inteligência é, em geral, identificada
com a memória, principalmente a auditiva.

     A escrita por sua vez, provoca, com seu surgimento, uma nova forma de
comunicação. “A comunicação puramente escrita elimina a mediação humana [...] que
adaptava suas mensagens vindas de um outro tempo ou lugar” (Levy, 2006, p. 89). O
saber agora pode ser estocado, consultado e comparado, tornando-se objeto suscetível
de análise e exame. Além disso, assim como a oralidade, a escrita consiste em uma
forma de estender a memória, embora de maneira diferente. As representações na
escrita, diferentemente da narrativa, tendem a perdurar, mais ainda quando se passa dos
manuscritos para o impresso, possibilitando uma divulgação mais intensa dos signos na
sociedade.

     Em relação à informática, Levy argumenta: “Ao analisar tudo aquilo que, em
nossa forma de pensar, depende da oralidade, da escrita e da impressão,
descobriremos que apreendemos o conhecimento por simulação, típico da informática,
com critérios e reflexos mentais ligados às tecnologias intelectuais anteriores” (Levy,
2006, p. 19)

     Levy (2006) considera a simulação como uma “imaginação auxiliada por
computador”, e ao mesmo tempo uma potente ferramenta de ajuda ao raciocínio. Para o
                                                                                     3

autor, o conhecimento por simulação é menos absoluto que o conhecimento teórico, é
mais operatório e mais ligado às circunstâncias particulares de uso. Enquanto o
conhecimento produzido por teorias está associado à transmissão de informações e
processos empíricos, na simulação o conhecimento é produzido por reflexão, tentativa e
erro.

        Pesquisadores como Borba e Penteado (2003) também fundamentam seu trabalho
em Levy (2006). Ao destacarem a importância das diferentes mídias na geração de
novos conhecimentos eles adotam uma perspectiva teórica “que se apóia na noção de
que o conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-
mídias, ou seres-humanos-com-tecnologias” (Borba e Penteado, 2003, p. 48).

        Borba (1999) baseando-se em teorias de Tikomirov (apud Borba, 1999) defende
que o computador provoca uma reorganização da atividade humana e defende a idéia de
que a comunidade de Educação Matemática deve dar atenção também aos problemas
que podem ser resolvidos pelos sistemas ser humano-computador.


3. ESTUDO DE FUNÇÃO NO ENSINO MÉDIO
        Como “Função” é um conceito matemático muito utilizado em várias áreas do
conhecimento, pois tenta explicar e modelar fenômenos físicos e sociais, ele é
considerado um assunto muito importante na Matemática. Além disso, esse é um dos
conceitos que mais se destaca dentre os outros desenvolvidos na Matemática do Ensino
Médio. Acredita-se que essa importância está vinculada com a busca do ser humano em
explicar fenômenos relacionados à natureza e à sociedade, procurando suas
regularidades. E isso está explicitado nos PCNEM (Brasil, 1998), “é preciso que o
aluno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma
linguagem de comunicação de idéias e permite modelar a realidade e interpretá-la”.

        De acordo com Dominoni (2005), a função é caracterizada “como um
instrumento na busca destas regularidades, pois estabelece uma relação entre dois ou
mais conjuntos”. Perceber as regularidades que nos cerca auxilia-nos a perceber a
repetição de certo fenômeno tantas vezes quanto julgarmos necessário, tentando prever
resultados para podermos elaborar estratégias de ação. Dessa forma, segundo os
PCNEM, sobre o estudo de função é preciso que os alunos:

                        Além das conexões internas à própria Matemática, o conceito de
                                                                                        4

                       função desempenha também papel importante para descrever e
                       estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos,
                       o comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano, como
                       de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou
                       Economia. Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que
                       o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de
                       função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma
                       variedade de situações problema de Matemática e de outras
                       áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando
                       seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo
                       para interpretação e investigação em Matemática. (PCNEM,
                       Brasil, 1998, p. 43).



     Segundo Brito (2004) que realizou uma pesquisa sobre a atribuição de sentido e
construção de significado em situações de Modelagem Matemática envolvendo funções
diversas, a valorização da Matemática também pode acontecer quando os alunos
percebem que seus conceitos permitem compreender e explicar vários tipos de
situações, e as funções podem ser importantes porque tenta explicar diversas situações.
Conforme relato dos alunos pesquisados por Brito, as funções “...ajudam a entender
quando uma coisa aumenta ou diminui...”.

     Dessa forma, mais do que entender o conceito de função é preciso atribuir sentido
a ele, pois com isso os alunos poderão perceber as regularidades de diversos fenômenos
que os cercam.



   3.1. Funções e mídias informáticas

     Fazendo um levantamento acerca de alguns trabalhos que apresentam resultados
de pesquisas associando o estudo de funções à presença de tecnologias informáticas, nos
deparamos com a dissertação de Benedetti (2003). Nela o autor apresenta um
levantamento feito por ele, também nesse sentido, e discute algumas pesquisas com as
quais entrou em contato durante o período de desenvolvimento do trabalho.

     De acordo com Benedetti (2003), o assunto funções é muito amplo, sendo
encontrado em diversas pesquisas de forma bastante variada. Dessa forma, segue alguns
                                                                                       5

dos trabalhos apresentados em Benedetti (2003) e outros encontrados no levantamento
que fizemos. Lembrando que, nesse caso, o foco serão apenas aqueles envolvendo, não
apenas, mas algumas funções específicas e as mídias informáticas.

     Trabalhando com alunos de Ensino Médio, Costa (1997), contrasta seqüências
pedagógicas no estudo das funções seno e cosseno. As seqüências envolveram artefatos
experimentais, tais como pêndulos de areia e simulador de alarme ótico, e atividades
envolvendo o uso do computador, nesse caso, utilizando os softwares Cabri Geométre e
Graphmatica. Por meio de análises quantitativas e qualitativas Costa (1997) conclui que
a seqüência em que os alunos primeiro trabalharam com manipulações de objetos ditos
do “mundo real”, para, em seguida, utilizarem o software, apresentaram melhores
índices de aprendizagem.

     Em seu trabalho, também com alunos do Ensino Médio, Benedetti (2003) afirma
que por meio do software Graphmatica, os estudantes puderam explorar criticamente
certos conceitos e propriedades de funções, muitas vezes percorrendo caminhos
diversos, caracterizando uma plasticidade que a mídia escrita geralmente não incentiva.
Segundo o pesquisador, os estudantes participantes desta pesquisa transitaram por
noções mais amplas de função, incluindo-se as propriedades e as representações de tal
conceito. O software gráfico, entre outras mídias disponíveis, permitiu aos estudantes
complexificarem os conceitos acerca de função, trazidos da 8ª série, bem como aqueles
trabalhados em suas aulas regulares.

     Nesse sentido, Borba (1999) afirma que devido à capacidade dessas novas mídias
na geração de gráficos há um deslocamento da ênfase algébrica dada ao estudo de
funções para uma atenção maior à coordenação entre representações algébricas, gráficas
e tabulares. Allevato (2005) por sua vez, ao abordar em seu trabalho as múltiplas
representações, destaca as investigações realizadas por Pierce e Stace, as quais indicam
que, se os recursos tecnológicos permitem, os alunos “movem-se” livremente entre as
representações algébricas e gráficas de funções e que, familiarizados com o ambiente
(computacional), apresentam preferência pelas representações gráficas. Uma das
justificativas consiste do fato de alguns softwares permitirem uma rápida e fácil
passagem das representações algébricas para as representações gráficas.

     Gravina e Santarosa (1998), afirmam que o caráter estático das representações
matemáticas   muitas    vezes   dificulta   a   construção   do   significado,   afetando
                                                                                                     6

substancialmente a construção de conceitos e proposições. Segundo as autoras, os
recursos computacionais oferecem instâncias em que a representação passa a ter caráter
dinâmico e refletem nos processos cognitivos. Esse dinamismo é obtido com a
possibilidade de fazer manipulações diretas sobre diferentes representações que se
apresentam na tela do computador.

        Nesse sentido, cabe destacar uma importante característica de programas com
recursos simulação: a possibilidade das diversas representações de uma mesma situação.
Com esses softwares os alunos têm a possibilidade de avaliar qualitativamente as
relações matemáticas mediante o dinamismo das representações visuais oferecidas.
Analisar e compreender uma função, bem como o fenômeno a ela relacionado é
conseguir avaliar cada uma das representações apresentadas e trafegar entre elas.


4. MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
        A Modelagem Matemática1, no âmbito da Educação Matemática, tem sido
apontada em diversos estudos como uma estratégia de ensino e aprendizagem que pode
contribuir para a construção do conhecimento dos alunos, pois, entre outros aspectos,
constitui uma alternativa pedagógica cuja perspectiva é de articulação com a realidade.
        Segundo Dias (2005) “a Modelagem Matemática concebida como um processo
matemático que envolve a formulação de hipóteses e simplificações adequadas na
criação de modelos matemáticos para estudar fenômenos reais pode ser vista como
uma alternativa para inserir aplicações da matemática no currículo escolar sem, no
entanto, alterar as responsabilidades concedidas ao ensino” (Dias, 2005, p. 39).
        Nesse sentido, como podemos encontrar em Santos e Almeida (2006), com a
Modelagem Matemática, os alunos, por meio da abordagem de situações reais, têm a
oportunidade de verificar a aplicabilidade da Matemática em contextos diversos, bem
como ter uma compreensão melhor de sua realidade, podendo interagir com ela.
        Para Ponte (1992a, apud Dias, 2005, p. 37) a apresentação de novos conceitos a
partir de situações reais, pode ser uma base concreta para desenvolver conceitos, como
também ter um importante papel motivador. Geralmente quando o aluno trabalha com a
Modelagem Matemática se envolve com a situação real estudada, procurando em
primeiro lugar entendê-la, agindo como um investigador. Trabalhando situações reais, o


1
    Em alguns momentos deste trabalho utilizamos o termo Modelagem para nos referirmos à Modelagem
    Matemática
                                                                                     7

aluno pode compreender a importância da Matemática no seu dia-a-dia e sentir-se
motivado a conhecê-la.
     Malheiros (2004), além de destacar o caráter motivador, afirma que ao se trabalhar
com a Modelagem, o professor possibilita uma determinada autonomia para os
estudantes buscarem e compreender temas de seus interesses, e, com isso, conseguir,
muitas vezes, atribuir significados para determinados conteúdos que, talvez não
atribuíssem se os mesmos fossem estudados em outro ambiente. Nesse sentido,
destacamos o trabalho de Almeida e Brito (2005), os quais afirmam que a Modelagem
proporciona aos alunos a atribuição de sentido e a construção de significados para os
conceitos matemáticos com que se defrontam nas aulas de Matemática, contribuindo
com isso para sua aprendizagem.
     Outro benefício do trabalho com a Modelagem Matemática consiste na
possibilidade de o aluno, por meio de cálculos e observações, validar o modelo, fazer
previsões ou manipular a realidade em estudo. Dessa forma, o aluno pode trabalhar com
uma situação de diversas formas, não só buscando uma solução atual, mas podendo
controlar acontecimentos futuros, tendo a criatividade e a curiosidade instigadas o
tempo todo.
     Os aspectos apresentados acima podem tornar o estudo sobre funções mais
atraente para o aluno, visto que, por meio de situações reais o seu interesse pode ser
ampliado e assim se sentir motivado a buscar a solução do problema. Por isso,
propomos, nesse sentido, a Modelagem Matemática enquanto estratégia para o
desenvolvimento do assunto função, junto aos alunos do Ensino Médio.
     Contudo, destacamos que ao fazer uso da Modelagem Matemática em sala de aula
é de grande importância o uso de Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC),
atualmente muito valorizada e discutida em Educação Matemática. Assim, neste
trabalho, procuramos ilustrar como a relação entre TIC, mais especificamente o uso de
dois softwares, e Modelagem Matemática pode integrar o estudo de funções e algumas
situações reais a serem investigadas e analisadas pelos alunos.


   4.1. Sobre tecnologia na Modelagem Matemática

     Nos últimos anos, vários trabalhos têm sido produzidos no intuito de verificar as
possibilidades do uso do computador em situações de Modelagem Matemática. Nesses
trabalhos, encontramos argumentos que não apenas sugerem, mas reforçam a
                                                                                        8

importância de, no processo de modelagem, se utilizar as TIC, sobretudo o computador.

     Conforme podemos verificar em Borba e Penteado (2003, p. 41), “para tentar
expandir a investigação em sala de aula em direção a temas mais gerais, buscamos
integrar a experimentação-com-tecnologia ao trabalho de modelagem”. Além disso, o
trabalho com a TIC possibilita a exploração da atividade de investigação de forma mais
dinâmica.

     Gravina e Santarosa (1998), afirmam que o caráter estático das representações
matemáticas     muitas   vezes   dificulta   a   construção   do   significado,   afetando
substancialmente a construção de conceitos e proposições. Segundo as autoras, os
recursos computacionais oferecem instâncias em que a representação passa a ter caráter
dinâmico e refletem nos processos cognitivos. Esse dinamismo é obtido com a
possibilidade de fazer manipulações diretas sobre diferentes representações que se
apresentam na tela do computador.

     Nesse contexto, Borba e Penteado argumentam que “O trabalho com a
modelagem e com o enfoque experimental sugere que há pedagogias que se
harmonizam com as mídias informáticas de modo a aproveitar as vantagens de suas
possibilidades. Essas vantagens podem ser vistas como sendo possibilidades de
experimentar, de visualizar e de coordenar de forma dinâmica as representações
algébricas, tabulares, gráficas e movimentos do próprio corpo” (Borba e Penteado,
2003, p. 44).

     Além disso, conforme argumentam Santos e Almeida (2006), a utilização do
computador em atividades de modelagem parece ser uma solicitação quase natural tanto
na etapa de obtenção dos modelos quanto para proporcionar uma análise mais
aprofundada do problema em questão. Nesse sentido, conforme salientam Borba,
Meneghetti e Hermini acerca das novas tecnologias:

       “[...] como a Modelagem em Educação Matemática retira a ênfase das
demonstrações matemáticas voltando-a para modelos, o uso das novas tecnologias
permite que sejam retirados problemas com cálculos tediosos para o desenvolvimento e
análise de um dado modelo” (apud. Malheiros, 2004, p. 54).

     Allevato (2005), ao abordar em seu trabalho as múltiplas representações, destaca
as investigações realizadas por Pierce e Stace, as quais indicam que, se os recursos
tecnológicos permitem, os alunos “movem-se” livremente entre as representações
                                                                                        9

algébricas e gráficas de funções e que, familiarizados com o ambiente (computacional),
apresentam preferência pelas representações gráficas. Uma das justificativas consiste do
fato de alguns softwares permitirem uma rápida e fácil passagem das representações
algébricas para as representações gráficas.

     Outro fator importante no uso do computador em atividade de Modelagem
Matemática diz respeito ao fato de ao se desenvolver atividades de modelagem, pode-se
perceber que o uso do computador constitui algo quase natural tanto na etapa de
obtenção dos modelos quanto na análise mais detalhada do problema em questão. Para
Almeida e Brito (2005), por exemplo, o uso do computador auxilia os alunos em
trabalhos muito árduos, como o de determinar parâmetros de uma função a partir de um
conjunto de dados. Nesse caso, os alunos têm a oportunidade de concentrar seus
esforços na interpretação e análise das situações de modelagem, bem como simular
diferentes situações para enriquecer a sua análise.


5. SITUAÇÕES
      Neste trabalho são propostas três situações envolvendo o estudo de funções,
utilizando a modelagem como alternativa pedagógica e o uso dos softwares Modellus e
Excel para auxiliar no estudo de tais funções. As situações abordadas neste trabalho
recaem em funções afim, recíproca, exponencial e quadrática.

   5.1. Instalação de cerca elétrica
      Para o estudo das funções afim e recíproca foi proposta uma situação envolvendo
o custo de instalação de cerca elétrica em uma residência.

      Considerada uma forma de proteção bastante eficiente, a cerca elétrica consiste
numa cerca ligada a uma central elétrica de 8.000 Volts e 0,5 miliampéres, capaz de
produzir choque suficiente para impulsionar uma pessoa para longe. O choque afugenta
o intruso sem causar maiores danos e, se os fios forem cortados, o alarme é acionado.

      Para este trabalho, levamos em consideração dois tipos de cerca elétrica:
monitorada e não monitorada. A cerca monitorada é aquela que permite a integração
com uma central de alarme, a qual poderá estar ligada ou não externamente com uma
empresa de segurança eletrônica, podendo, também, acionar alarmes e luzes quando
tocada. Já a cerca não monitorada é aquela que possui as mesmas características da
anterior, porém não está ligada a uma central de alarme.
                                                                                         10

      Em ambos os casos há quatro recomendações importantes para sua instalação: a
cerca deve estar instalada em locais altos (muros com no mínimo 2 m de altura); a
cerca deve ficar voltada para o interior da área que se quer proteger; a cerca não pode
ficar em contato com vegetação, como árvore, folhagens etc.; no local em que existe
cerca elétrica devem haver placas de sinalização.

      Para o desenvolvimento do trabalho usamos informações obtidas junto a
empresas especializadas, as quais oferecem duas opções de serviços para instalação de
cercas elétricas residenciais, conforme quadro a seguir.

                                  Opção       1     (kit   Opção      2   (kit   a
             Conteúdo
                                  pronto)                  montar)

             Central                                       R$ 180,00

             Bateria                                       R$ 60,00

             Sirene                                        R$ 25,00
                                  R$ 370,00
             Haste           de
                                                           R$ 35,00
             Aterramento

             Cerca (20 metros)                             ____________

Quadro 1: Preços de Kits (pronto e a montar) para instalação de cercas elétricas
residenciais.
      Para a primeira opção, paga-se R$5,00 por metro de cerca que exceder os 20
metros constantes do kit pronto. Já para a segunda opção, cada metro de cerca custa
R$4,50.

      Usando a planilha eletrônica Excel, construímos uma tabela (Figura 1) com
valores de cada kit, de acordo com o comprimento da cerca elétrica. Nesse caso, pode-
se construir uma tabela de quatro colunas com valores para  de 1 a 40, visto que isso
constitui uma tarefa fácil nesse software: na 1a coluna, os valores de  ; na 2a coluna, os
valores de C1 até 20 metros; na 3a coluna, os valores de C1 entre 20 e 40 metros; na 4a
coluna, os valores de C2 de zero a 40 metros. Isto por que, até 20 metros, C1 é
constante.
                                                                                                         11




Figura 1: Parte da tabela com valor (em R$) da cerca elétrica diante do comprimento
da cerca.

         Com base nessa tabela e utilizando a ferramenta                        pode-se construir o gráfico
(Figura 2) que representa o custo da cerca em função do comprimento de acordo com
C1 C2 .

 R$ 600,00

 R$ 500,00

 R$ 400,00                                        C1(  )

                                                  C2(  )
 R$ 300,00

 R$ 200,00

 R$ 100,00

   R$ 0,00
             1   3   5   7   9   11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39




Figura 2: Gráfico que representa o custo C1 e C2 de acordo com o comprimento da
cerca.

         Ainda com base no gráfico e utilizando algumas das ferramentas apresentadas no
software, chega-se às seguintes funções:

          370 se 0   20
C1 ( )  
         270  5  se  20
                                                   C2 ( )  300  4,5


Em que:

 = comprimento da cerca (em metros); C1 = Custo (em R$) do kit que se pretende
                                                                                     12

montar com a opção 1; C2 = Custo (em R$) do kit que se pretende montar com a opção
2.

          Analisando essas expressões, podemos definir o domínio e a imagem de cada
função.
                           Dom(C1)= R+ e Im(C1) = { C1(  )  R+ / C1(  )  370}
                           Dom(C2)= R+ e Im(C2) = { C2(  )  R+ / C2(  ) > 300}
        Custos que permanecem constantes, independentemente do nível de atividade da
firma são chamados custos fixos (Cf). É o gasto da firma quer esteja produzindo ou não.
Exemplos de custos fixos são aluguéis e salários. Por outro lado, custos que variam com
a produção ou com as vendas são chamados de custos variáveis (Cv). É aquele que só
depende da quantidade produzida, como custos de matéria-prima. Assim, o custo total é
a soma dos custos fixos com os custos variáveis: Ct= Cf + Cv
        Nesta situação, o Custo Variável é aquele que varia conforme o comprimento da
cerca e os Custos Fixos são os demais.

        O Custo Médio (Cm) é o quanto custará, em média, o metro de cerca instalada, ou
seja, é a razão entre o Custo Total e a metragem instalada (  ).

           Ct ( )
Cm ( ) 

        É possível verificar se em cada função existe um custo médio máximo e/ou um
custo médio mínimo. Para isso, definimos a função Custo Médio de cada função e, em
seguida, fazemos  tender a infinito para verificar qual é o custo médio mínimo para
cada uma das opções. Segue que:

            370
            20  18,5 para 0   20
           
C1 m ( )  
            270  5    270
                            5 para  20
           

lim C1 m ()  5 , que é o custo médio mínimo. Esse resultado pode ser observado
 

utilizando-se o software Excel. Isto é, por meio de uma tabela e de um gráfico (Figura
3), os alunos poderão perceber que, à medida que  aumenta, C1 m se aproxima de R$

5,00.
                                                                                                                                                    13

                                                      Custo médio de C1
   Custo m édio (R$)
R$ 20,00


R$ 15,00


R$ 10,00


 R$ 5,00
                                                                                                                      Com prim ento
                                                                                                                        (m etros)
 R$ 0,00
           1    30   80     140   190   240   290   340   390   440   490   540   590   640   690   740   790   840




Figura 3: Gráfico que representa o custo médio de C1 de acordo com o comprimento
da cerca.

               No caso de C2 , o custo médio é dado por:

                       300  4,5                             300
C2 m ( )                                                              4,5

lim C2 m ()  4,5 , que é o custo médio mínimo.


               Assim como no caso C1m , o aluno pode observar esse resultado por meio de uma

tabela e de um gráfico construído no Excel. Isto é, à medida que  aumenta, C 2 m se

aproxima de R$ 4,50.
                                                                                        Custo médio de C2
                          Custo médio (R$)
                          R$ 20,00
                          R$ 18,00
                          R$ 16,00
                          R$ 14,00
                          R$ 12,00
                          R$ 10,00
                           R$ 8,00
                           R$ 6,00
                           R$ 4,00
                           R$ 2,00
                           R$ 0,00                                                                                                    Comprimento
                                                                                                                                        (metros)
                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0

                                            0
                                  20

                                           60




                                          30
                                         10

                                         15

                                         19

                                         23

                                         27

                                         31

                                         35

                                         39

                                         43

                                         47

                                         51

                                         55

                                         59

                                         63

                                         67

                                         71

                                         75

                                         79

                                         83

                                         87

                                         91

                                         95

                                         99
                                        10




Figura 4: Gráfico que representa o custo médio de C2 de acordo com o comprimento
da cerca.


      5.2. Decaimento radioativo do césio-137
               Para o estudo de função exponencial foi proposta uma situação envolvendo o
decaimento radioativo do césio-137. A situação apresentada refere-se a um acidente
ocorrido com césio-137 na cidade de Goiânia, capital de Goiás. Esse acidente ocorreu
no dia 13 de setembro de 1987, quando dois sucateiros encontraram um aparelho de
radioterapia em um prédio abandonado da Santa Casa de Misericórdia de Goiânia. Os
sucateiros, então, levaram o aparelho, por eles, desconhecido para a casa de um deles e
o desmontaram. Durante a desmontagem do aparelho de radioterapia, os sucateiros
expuseram no ambiente 19,26 g de cloreto de césio-137 (CsCl), pó branco semelhante
                                                                                     14

ao sal de cozinha, que brilha no escuro com uma coloração azulada. O acidente
somente foi diagnosticado no dia 29 de setembro de 1987.

     Nos trabalhos de descontaminação dos locais afetados foram produzidos 13,4 t de
lixo contaminado com césio-137: roupas, utensílios, plantas, restos de solo e materiais
de construção. O lixo do maior acidente radiológico do mundo está armazenado em
cerca de 1.200 caixas, 2.900 tambores e 14 contêineres em um depósito construído na
cidade de Abadia de Goiás, vizinha a Goiânia, onde deverá ficar pelo menos 180 anos.

     Segundo a Comissão Nacional de Energia Nuclear (CNEN), “cada elemento
radioativo se transmuta a uma velocidade que lhe é característica. Meia-vida é o tempo
necessário para que a sua atividade seja reduzida à metade da atividade inicial. Alguns
elementos possuem meia-vida de milionésimos de segundos. Outros, de bilhões de anos”.
(CNEM, 2006).

     A meia-vida do césio-137 é 30, 2 anos. Mas para facilitar nossos cálculos vamos
considerar a meia-vida do césio-137 sendo de 30 anos.

     A partir destas informações, a atividade se propõe a estudar como se comporta a
concentração do césio-137 na cidade de Goiânia no decorrer do tempo, procurando
estimar uma possível data para que esta contaminação do meio ambiente esteja
minimizada.

     Como a quantidade de césio-137 diminui pela metade a cada 30 anos,
construímos uma tabela no Excel, na qual tomamos o tempo inicial como sendo o ano
de 1987, somamos 30 a cada ano considerado e dividimos a quantidade anterior de
césio-137 por 2. Assim, obtemos os resultados apresentados na tabela (Figura 5);
lembrando que o software facilita o trabalho de encontrar esses valores.




Figura 5: Quantidade de césio-137 de acordo com o ano.

     Com base nesses valores e utilizando o mesmo software, construímos o gráfico
                                                                                          15

(Figura 6) que permite verificar a curva que se ajusta aos valores obtidos.

                 Decaimento radioativos do césio-137

   Quantidade
  (em gram as)
    25



   20



   15



   10



    5



    0                                                       n
        0           2        4          6         8    10




Figura 6: Quantidade de césio-137 de acordo com o ano.

            Utilizando a ferramenta que permite obter a linha de tendência obtemos a função:

f  n   19, 26  e0,6931n

            Considerando que o ano zero ( n  0 ) corresponde a 1987 e que, a meia-vida do
césio-137 é de 30 anos, ou seja, n  1 corresponde ao ano de 1987 +30 = 2017,
podemos escrever que a quantidade de césio-137 num ano t qualquer é dada por:

                                     t 1987 
                            0,6931         
f  n   19, 26  e                 30 




            Utilizando o Excel podemos ainda fazer a validação do modelo (Figura 7).




Figura 7: Dados da validação do modelo.

            Estudando essa situação é possível estabelecer uma integração entre Matemática
e Química, além da conscientização sobre a questão ambiental, pois os alunos
perceberão que uma pequena quantidade de um material muito radioativo pode
interferir eternamente na vida das pessoas, uma vez que esse material nunca será
erradicado de Goiânia.
                                                                                                                16

    5.3. Caminhadas – distância constante e tempo variável
     Para o estudo da função quadrática foi proposta uma situação envolvendo a
caminhada2. Nesse caso, utilizaremos o software Modellus (Teodoro, Vieira e Clérigo,
1997).

     De acordo com tabelas da Organização Mundial de Saúde (OMS) a energia que
uma pessoa normal gasta para caminhar ou correr 3000 m é dada abaixo (Quadro 2):


         Tempo (min)                 Tempo (h)           Velocidade                nº de TMB/h Energia (kcal)
                                                         (km/h)
         60                          1,000               3,0                       2,25        155,00
         50                          0,833               3,6                       3,20        183,92
         45                          0,750               4,0                       3,67        190,18
         40                          0,667               4,5                       4,15        190,99
         30                          0,500               6,0                       5,10        175,95
         20                          0,333               9,0                       6,05        139,01
         10                          0,167               18,0                      7,00        80,66
Quadro 2 - Caminhadas - Distância constante e tempo variável.


     Colocando estes dados em um gráfico Energia por Tempo (Figura 8), temos:
                         Gasto de energia de acordo com o tempo de caminhada
              Energia (kcal)
               250

               200

               150

               100

                50

                 0                                                             Tem po
                     0         0,2     0,4      0,6      0,8      1        1,2 (horas)




              Figura 8: Gasto de energia de acordo com o tempo de caminhada.

     Observando os dados e gráfico apresentado pode-se notar que existe um intervalo
de velocidades em que se obtém um gasto maior de energia, pois o gráfico cresce e, em



2
  BRITO, D; ALMEIDA, L. M. W. O conceito de função em situações de Modelagem Matemática.
Revista: Zetetikê ,v.12, n.23 jan/jun . p. 42-61, 2005.
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seguida decresce. Para achar o ponto de máximo dessa função, vamos aproximar os
pontos com uma função quadrática, utilizando o software Modellus.


       5.3.1. O software Modellus

     Desenvolvido na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de
Lisboa, o Modellus, que se encontra na versão 2.5, tem distribuição gratuita e vem
sendo muito utilizado em diversos países, tendo sido traduzido para vários idiomas
(inglês, espanhol, eslovaco, grego e português do Brasil).

     Uma das vantagens do Modellus está nas possibilidades de experimentação
utilizando modelos matemáticos definidos a partir de funções, derivadas, equação
diferenciais e equações de diferenças escritas sem a necessidade de uma sintaxe
complexa. Em geral, consiste em escrever de forma direta, assim como aprendemos.

     Com uma interface intuitiva, esse software permite a construção e exploração de
modelos matemáticos, bem como fazer simulações por meio de animações, gráficos,
tabelas, vídeos e fotografias. Os usuários do Modellus podem analisar e compreender
dados experimentais visualmente e interativamente por meio das múltiplas
representações oferecidas por ele.

     A possibilidade de múltiplas representações se dá por meio de várias janelas que o
usuário pode disponibilizar de acordo com a necessidade (Figura 9). Além disso, o
Modellus conta com o recurso da manipulação direta. Tais recursos o tornam bastante
dinâmico e interativo. Na versão 2.5 o usuário conta com as janelas: Modelo,
Animação, Gráfico, Tabela, Controle, Notas e Condições Iniciais.
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    Figura 9. Interface do Modellus.



       5.3.2. Obtendo o modelo (função quadrática)
     Por meio da janela Animação é apresentado ao aluno um gráfico (Figura 10) que
relaciona a variável y (gasto de energia) com a variável x (tempo de caminhada). Além
do gráfico, os alunos têm acesso à tabela impressa ou no computador (Excel, por
exemplo) com os respectivos valores x e y representados no gráfico.
     É proposto então que se construa, com as ferramentas disponíveis, uma função
cuja curva se ajuste aos pontos apresentados no gráfico; no entanto, cabe destacar que,
nesse caso, é preciso, inicialmente, ajustar as escalas dos eixos, visto que estes estão em
escalas diferentes. Utilizando as ferramentas da janela Animação e efetuando os
cálculos, os alunos podem fazer essa adequação.
     A partir de uma função básica do tipo y  at 2  bt  c , na qual a , b e c são
parâmetros, e levando em conta as características e propriedades dessa família de
funções, pode-se chegar ao modelo desejado. Para isso, o aluno, utilizando essa mesma
sintaxe, escreve a função na janela Modelo, e ao clicar no botão Interpretar, habilita a
janela Condições iniciais, na qual poderá alterar os parâmetros na medida em que vai
construindo o modelo (Figura 11).




        Figura 10. Janela Animação com gráfico                         Figura 11. Janelas
Modelo e Condições Iniciais

     O aluno pode fazer alterações nos parâmetros e avaliar na janela Animação o
resultado geométrico representado pelo gráfico da função (modelo) que está construindo
(Figura 12).
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Figura 12. Verificação gráfica das alterações dos parâmetros
     Com isso, o aluno poderá testar, interpretar, avaliar e reconstruir seu modelo
quantas vezes forem necessárias e assim estabelecer relações que lhe dará mais
segurança no trabalho com essa família de funções. O aluno chega, por fim, o mais
próximo possível do modelo y  394, 21t 2  549,37t  0,1404 cuja curva vai se ajustar
aos pontos indicados.
     A validação pode ser ainda por meio da janela Tabela, a qual apresenta os pontos x
e y correspondentes, que o aluno poderá comparar com aqueles apresentados na tabela
no início da atividade.


6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

     Neste trabalho procuramos destacar a importância das TIC na construção do
conhecimento matemático, em especial na abordagem dos conceitos de função. No
entanto, convém destacar que o uso das mesmas deve estar vinculado a práticas de
ensino adequadas, bem como a uma visão de conhecimento coerente, visto que, mesmo
com ambientes informatizados cada vez mais ricos, o simples uso dos mesmos não
garante a aprendizagem.

     Ao utilizarmos os computadores com fins educativos, precisamos compreender
seu papel nos ambientes em que se insere e qual a sua relação com o aluno e sua
aprendizagem. Assim, ao compartilhar com as idéias de Levy (2006), dentre outros
pesquisadores, entendemos o conhecimento como produzido por um coletivo pensante
formado por seres-humanos-com-mídias ou seres-humanos-com-tecnologias.

     Conforme foi apresentado no início deste trabalho, é importante que o estudo de
funções esteja associado a situações-problema de contextos variados tanto na
Matemática como em outras áreas. Nesse sentido, as situações descritas envolvem, entre
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outros aspectos, contextos reais e conteúdos abordados em outras disciplinas.
     E é nessa perspectiva que entendemos uma abordagem por meio da Modelagem
Matemática: de articulação com a realidade. O caráter aplicativo da Modelagem em
problemas não essencialmente matemáticos pode contribuir para o estudo dos conceitos
de funções no Ensino Médio. Além disso, a Modelagem destaca-se por proporcionar aos
alunos a atribuição de sentido e a construção de significados de conceitos matemáticos,
possibilitando com isso a sua aprendizagem.

     Além disso, as atividades apresentadas têm como objetivo, exemplificar as
possibilidades do uso do software Modellus, o qual permite a construção ou exploração
de um modelo matemático de forma dinâmica e interativa, e do software Excel, o qual
possibilita, entre outras atividades, a manipulação de dados em tabelas e a construção de
gráficos. Na abordagem dessas atividades o professor tem a oportunidade de explorar
com os alunos, conceitos matemáticos na medida em que o aluno vai passo a passo
construindo o modelo e estabelecendo relações entre os conceitos. Assim, consideramos
que esses exemplos ilustram as contribuições que as novas tecnologias podem trazer
para a compreensão dos conceitos de funções na abordagem de várias situações.


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