Paul Guldin 1577 1643 Die 1 by HC120426003320

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									Ingo Rechenberg


PowerPoint-Folien zur 2. Vorlesung „Bionik I“




Evolutionistische Bionik auf dem Prüfstand
                              Der Fundamentalbeleg der Bionik




Weiterverwendung nur unter
Angabe der Quelle gestattet
Am Anfang war die


         Bionik
      Evolution
Herrmann von Helmholtz


      „Einen Naturvorgang verstehen
      heißt, ihn in Mechanik zu übersetzen“
Windkanal

            Stahlhautprofil




                     Formgebungsproblem
                                Tragflügelprofil
Idee für ein mechanisches
               Evolutionsexperiment (1964)
      „Darwin“ im Windkanal
Schlüsselexperiment mit der Evolutionsstrategie




                                1964
Zahl der Einstellmöglichkeiten:



                        515 = 345 025 251
         xi        5
               4
         2 3
          1                         x1
                                               x3
                                          x2             x5
                                                    x4




5 4 3 2 1 0    +1 + 2 +3 + 4 + 5




                       Fiktive Mutationsmaschine
                                      GALTONsches Nagelbrett
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
                   6

W id e rs ta n d
                                                  E rg e b n is
                   4


                   2


                   0
                       0   40    80   120   160    200     240      280      320
                                                          M u ta tio n e n




                       Künstliche Evolution: Gelenkplatte im Windkanal
Ändern
         der
               Umwelt
                          6


       W id e rs ta n d
                          5
                                                            E rg e b n is
                          4

                          3

                          2

                          1
                              0   20   40   60   80   100    120    140 160 180         200
                                                                     M u ta tio n e n




Künstliche Evolution: Angewinkelte Gelenkplatte im Windkanal
 Der
 Spiegel
18. November 1964
                     Evolution eines
                     90°-Rohrkrümmers




Sechs verschiebliche Stangen bilden die
Variablen der flexiblen Rohrumlenkung
Start      Ergebnis




        Optimaler 90°- Strömungskrümmer
Heißwasserdampfdüse für das
Evolutionsexperiment mutierbar gemacht
0


    1    16        31
    2    17        32
    3    18        33
    4    19        34
    5    20        35
    6    21        36
    7    22        37
    8    23        38
    9    24        39
                        SCHWEFELs
    10   25        40   Evolutionsexperiment
    11   26        41   mit einer
    12   27        42   Heißwasserdampfdüse
    13   28        43
    14   29        44
    15   30



              45
   Evolution des Pferdefußes

Vom Eohippus zum Equus (60 Millionen Jahre)
                             Generation

       0

                    3

                                6

                                          9

       15                                      12

                   18

                                21

                                          24
Evolution eines
Spreizflügels im Windkanal                     27
Algorithmus der zweigliedrigen Evolutionsstrategie

   g
  xN  x g   z g
         E

                   g               g   g
      g 1
                xN für Q ( xN )  Q( xE )
  xE            g
                xE sonst

  x = Variablenvektor
   = Mutationsschrittweite
  z = Normalverteilter Zufallsvektor
  Q = Qualität (Tauglichkeit)
  N = Index Nachkomme
  E = Index Elter
  g = Generationenzähler
                                     Suchfeld
Experimentator
Tiefenlotung




                 Suche nach dem höchsten Gipfel
       Strategie 1



       Höhe hy
                   P1


            P0
             Höhe h 0      Höhe hx


See
      Gradientenklettern
        Strategie 2




                      PN
              PE            Höhe hN
               Höhe hE


See
      Evolutionsstrategie
                                       Suchfeld
  Experimentator




Schwache           Suche nach dem höchsten Gipfel
Kausalität
                                       Suchfeld
  Experimentator




Starke             Suche nach dem höchsten Gipfel
Kausalität
Geschwindigkeit der Höherentwicklung
                          Die Fortschrittsgeschwindigkeit j




                                 j


                                 j   Strecke der Bewegung bergauf
                                            Zahl der Versuche
Bedingung: Starke Kausalität !
                        Fortschritt 



                                                    Z
        y
                
                    x    Linearitätsradius                  Weggewinn
                                                    j=      Versuche
1. Lokale deterministische Suche
Mathematisches Folgen des steilsten Anstiegs



       j  (2)
                                      j( n)
                                                       
         grad
                    3                   grad
                                                    n 1
                                           2. Kind
                            Elter
   1. Kind


                                                        Z
            y
                    
                        x       Linearitätsradius


2. Lokale stochastische Suche
Zufälliges Folgen des steilsten Anstiegs



  j   (2)
                                  j   ( n)
                                                    1
                                                            n >> 1
      evo
                                       evo
                                                   2   n
 Plus-Kind
 Minus-Kind                      Schwerpunkt




                        Elter
  Linearitätsradius




                                Statistisches Mittel
Bestimmung des                  des Fortschritts
linearen Fortschritts
    Plus-Kind
    Minus-Kind                                   Schwerpunkt




                                        Elter
    Linearitätsradius


Fortschrittsgeschwindigkeit:

       js
            2                                   Statistisches Mittel
           Weil die Hälfte der Kinder           des Fortschritts
           Misserfolge sind !
             Schwerpunkt




r               r

    s               s                s


    2 Dim.     3 Dim.               n Dim.


                                         n
               1                1  ( 2 )
s  2r
            s r          s               r
               2                 ( n  1)
                                         2
                                Die 1. Guldinsche Regel
                            Eine Kurve erzeugt durch Rotation um 360
                            Grad eine Rotationsfläche. Dann ist die
                            Oberfläche der Rotationsfläche gleich der
                            Länge der erzeugenden Kurve mal dem
                            Weg des Schwerpunktes dieser Kurve.
Paul Guldin (1577 – 1643)
                                Die 1. Guldinsche Regel
                            Eine Kurve erzeugt durch Rotation um 360
                            Grad eine Rotationsfläche. Dann ist die
                            Oberfläche der Rotationsfläche gleich der
                            Länge der erzeugenden Kurve mal dem
                            Weg des Schwerpunktes dieser Kurve.
Paul Guldin (1577 – 1643)
                                        Beispiel:
                                        Ein Halbkreis erzeugt durch Rotation um 360°
                                        eine Kugel. Dann ist die Oberfläche der Kugel
                                        gleich der Länge des Halbkreises ( r ) mal dem
                                        Rotationsweg des Schwerpunkts des Halbkreises.

                                   Halbkreis mit dem Radius r
                    s
                                 Halbkreisschwerpunkt

                               Schwerpunktsweg

                                                        OKugel  2s  1 UKreis
                                                                       2
                                                             O Kugel
OKugel    2 s  1 UKreis                               s
                  2                                         UKreis
Formel für die                                 (n)
                                             OKugel       2 n/2 r n1
Oberfläche einer
n-dimensionalen                                            (n/ 2)
Hyperkugel                              (m) = (m – 1)! für ganzzahlige m
                                   (x +1) = x (x), (1) = (2) = 1, (1/2) = 


                    (2)
Beispiel n = 2:    OKugel  2 r  UKreis
                             gedeutet als


       3 ( )
     OKugel                         ( n)
                                              ( n 1 )
                                            OKugel             1
                                                            ( n)
                                                                        (n )
                                                                          2
s                 Allgemein      s                       s              r
          ( 2)
     OKugel                                  (n)
                                            OKugel                 n  1)
                                                                 ( 2
Was ist eine n-dimensionale Kugel ?

Die Fortentwicklung einer konstruktiven mathematischen Idee


                                                         Beispiel:
    a                               a
             a                                           Volumenelement


                     a          a


                                          a


                        2                     3                       n
   a                a                     a                       a
Genannt:

 Stecke           Fläche                Volumen               Hypervolumen
Analoge Extrapolationsidee für die                                                P2
Entfernung zweier Punkte
                                                             P1



  P1 { x1 }        P1 { x1 , y1 }      P1 { x1 , y1 , z1 }                  P1 { x1 , y1 , z1 ,,1 }

  P2 { x 2 }       P2 { x 2 , y2 }     P2 { x 2 , y2 , z2 }                 P2 { x 2 , y2 , z2 ,,2 }


 ( x2  x1 )2

               ( x2  x1 )2 ( y2  y1 )2

                                 ( x2  x1 )2 ( y2  y1 )2 ( z2  z1 )2

                                            ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 ( z2 z1)2  (21)2
 ( n)      1  2(n )                                           Wichtige asymptotische Formel:
s                     r
                n  1)
             ( 2                                                         n
                                                                         
                                                                          2         2
= mittlere Eltern-Kind-Pfeillänge Richtung
                                                                   lim
                                                                  n   n  1        n
bergan im n-dimensionalen Raum                                               
                                                                           2 

Fortschrittsgeschwindigkeit j

                                             ( n)          1    (n )
                                                                2
j ( n)    Weg bergauf
                                       s                      n  1)
                                                                       r
           Versuchsza hl                     2            2  ( 2


Asymptotische                     j   (n)
                                                   r      1
                                                                          1
                                                                                  für n >> 1
Näherung                                            2     n          2     n
                                       2. Kind
                            Elter
   1. Kind


                                                    Z
            y
                    
                        x       Linearitätsradius

4. Lokale stochastische Suche
Zufälliges Folgen des steilsten Anstiegs

                                                        (n)
                                    (n)
                                      n)            2
                                                    1
  j   (2)
                                   jevo          n  1 n >> 1
      evo
                                    evo
                                                
                                             2 2 (n     )
                                                        2
       (n)  
    jgrad  n
          1/
          1

Gradientenstrategie


                                   (n)      11 n
                                            1/       
                      kontra    jevo 
                                              2     n
                               Evolutionsstrategie




      Ausgeklügeltes Handeln kontra Evolution
  Bionik
 Evolution
Fundamentalbeleg
Ende

								
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