FOLHAS DE MATEM�TICA - DOC by eEDv5N0

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                         FOLHAS DE MATEMÁTICA
Nome do Professor: Anne Heloíse Coltro Stelmastchuk
Escola: DEM
Disciplina: Matemática
Série: 2º ano
Faixa etária do aluno: a partir de 14 anos
Unidade Temática (Tópico de Conteúdo): Progressões Aritméticas (PA)
Título: Prepare-se para o fim do mundo!

Relacionado com conteúdos de:
Matemática ( ) Língua Portuguesa ( X )             Geografia ( )            História ( )
Arte ( )         Filosofia ( )                     Sociologia ( )           LEM ( )
Biologia ( )     Educação Física ( )               Química ( X )            Física ( )

Palavras-chave:
1- Progressão Aritmética, 2- Fórmula do termo geral da PA, 3- Seqüências,
4- Cianogênio, 5-Carlos Drummond de Andrade.

1. Problema
                        Prepare-se para o fim do mundo!
              Terremotos, inundações, fome, peste. Isto é só o começo...
Segundo Nostradamus, considerado o maior profeta do mundo, o grande rei do terror será
                                   um cometa.
                                             Figura 1




                        http://www.if.ufrj.br/teaching/astron/comets.html

Veja uma de suas quadras proféticas:
                             Quando o eclipse do Sol se der,
                       Em plena luz do dia o monstro será visto:
                               A Carestia não tem guarda:
                                Ninguém tal terá previsto.
                                                                                         2

        Segundo esta quadra de Nostradamus, um cometa devastará o mundo em plena luz
do dia. Tal cometa não será previsto por ninguém ou por coisa alguma. Ou seja, será uma
surpresa!!
       Alguns acreditam, outros não. O que se sabe é que os astrônomos têm previsto a
presença de eclipses, cometas, meteoros.
       O que você acha desta profecia? Será que ela tem fundamentos científicos? É
possível acreditar em tal escrito?

2. Desenvolvimento do Tema

        Na Matemática é possível fazer “previsões”. Em muitas situações é possível utilizar
o conceito de Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A.
        Vamos imaginar uma situação para entendermos melhor o que é progressão
aritmética:
        O cometa Halley tem período orbital de 76 anos em média, isto é, a cada 76 anos
ele faz sua aparição na Terra.
        Talvez você não fosse nascido ainda, mas a última aparição do Halley foi em 1986.
Usando o conceito de PA (Progressão Aritmética) é possível prever os próximos anos em
que ele aparecerá.

   1986         2062         2138          2214         2290     ...

          +76          +76          +76           +76

       Teríamos a seguinte seqüência de anos:

       1986, 2062, 2138, 2214, 2290, ...

       Poderíamos resolver estes problemas organizando dados e fazendo algumas somas
sucessivas. Mas também poderíamos utilizar a Fórmula do Termo Geral da PA para isso.

       Mas qual é o conceito de PA?

         Parte-se de um número fixo da seqüência e se acrescenta uma mesma quantidade
várias vezes. Chamamos de razão ( r ) o valor acrescentado e ao termo fixo, se for o
primeiro da seqüência chamamos de a1. Os demais termos são
a2, a3, a4, a5, ..., sucessivamente.
         A razão é a diferença entre dois termos consecutivos da seqüência.
Assim, se nos anos de 1910 e 1986 houve aparições do cometa, a diferença entre esses
anos é a razão:

   r = an – an-1
   r = 1986 – 1910
   r = 76 anos

       Se o primeiro termo e a razão forem conhecidos, será que é preciso fazer somas
sucessivas? Imagine se quiséssemos conhecer o 100º termo de uma PA. Que trabalho daria,
hein! Mas isso não é preciso, observe:
                                                                                          3



a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
a5 = a4 + r = a1 + 4r
...
a20 = a19 + r = a1 + 19r
...
e assim sucessivamente.

       Ou seja, para obtermos o segundo termo de uma PA, somamos o primeiro termo
(a1) com a razão ( r ). O terceiro termo, obtém-se somando o primeiro termo com duas
vezes a razão. E assim fazemos para obter todos os termos.

       A partir disto, chegamos a uma generalização:

                                   An = a1 + (n –1).r

        Assim, para calcular um termo qualquer ( an ) é preciso somar ao 1º termo, n-1
vezes a razão. Chamamos esta generalização de Fórmula do Termo Geral.
        Isto não quer dizer que você agora poderá fazer previsões celestes. Infelizmente
nem tudo no mundo é constante e exato. Saber quando um cometa passará pela Terra ou
quando haverá um eclipse é bem mais complicado. No caso do cometa Halley, somente os
astrônomos podem fazer estas previsões, pois a força gravitacional de atração dos planetas
maiores altera o período orbital de revolução para revolução. Efeitos não-gravitacionais
também são importantes, mas menores, em alterar a órbita. Talvez você esteja se
questionando quanto ao que foi feito logo acima. Expliquemos melhor...
        O período orbital do cometa Halley não é fixo, isto é, tem variado ao longo dos seus
aparecimentos entre 74,4 e 79,4 anos.
        Edmund Halley, em 1705, usando a teoria recém criada por Isaac Newton, previu
que um dos cometas estudados por ele, retornaria em 76 anos. Realmente o cometa
retornou, mas Edmund não estava vivo para vê-lo. O cometa recebeu seu nome como
homenagem e ficou conhecido, desde então, como Cometa Halley!!
        Talvez a manchete do início deste texto não cause tanto alvoroço nos tempos de
hoje. Mas quando o cometa Halley passou em 1910 e os astrônomos anunciaram que ele
atravessaria a Terra, houve uma tremenda onda de paranóia pois o cometa possui um gás
chamado cianogênio, um dos piores venenos que se conhece. Algumas pessoas cometeram
suicídio. Outras se preocuparam em fechar bem suas janelas. Realmente o cometa passou
pela Terra, mas o gás foi barrado pelo escudo da atmosfera.
        Os cometas são compostos por três estruturas: núcleo (ou cabeça), coma (ou
cabeleira) e cauda. O núcleo é formado por compostos moleculares (água-H2O, gás
amoníaco-NH3 , cianogênio-C2N2, monóxido de carbono-CO, dióxido de carbono-CO2 e
nitrogênio-N2) e pequenas partículas sólidas.
        Consultando um dicionário de Química encontramos que o gás cianogênio, cuja
fórmula química é C2N2 é incolor, extremamente venenoso, com cheiro de amêndoas
amargas. A composição em massa gás tóxico é 46,2% de Carbono e 53,8% de Nitrogênio.
                                                                                                                  4

       Você pode imaginar o fascínio que a passagem do cometa Halley causou em 1910?

       Veja o que escreveu um dos grandes escritores brasileiros:

                                              “No ar frio, o céu dourado baixou ao vale,
                   tornando irreais os contornos dos sobrados, da igreja, das montanhas.
                                                   Saímos para a rua banhados de ouro,
                                        magníficos e esquecidos da morte que não houve.
                      Nunca mais houve cometa igual, assim terrível, desdenhoso e belo.”
                                                                      http://jbonline.terra.com.br/jseculo/1910.html


                                                                            “Olho o cometa
                                                    Com deslumbrado horror de sua cauda (...)
                                                                  O sentimento crava unhas
                                                                    Em mim: não tive tempo
                                                       Nem mesmo de pecar, ou pequei bem?”
                                                                  http://www.estadao.com.br/drummond/vida1.htm


      Essas são as impressões de um garoto de 7 anos, chamado Carlos Drummond de
Andrade, que assistiu a tudo de sua cidade natal, Itabira, em Minas Gerais.

       Em uma entrevista para o Jornal o Estado de São Paulo, em 15 de agosto de
1987, o repórter Luiz Fernando Emediato pergunta a Drummond:

Qual sua recordação infantil mais marcante?
O cometa Halley. É a lembrança mais profunda, pois realmente foi deslumbrante. Eu tinha
sete anos. Eu não estava esperando aquilo, não estava, preparado, vivia na rotina,
brincando...

                                                Figura 2




                              http://www.estadao.com.br/drummond/vida7.htm




        Carlos Drummond de Andrade foi um dos poetas que pertenceu a Segunda Geração
Modernista. A poesia da segunda geração modernista foi, uma poesia de questionamento
em torno da existência humana, do sentimento de “estar-no-mundo”, das inquietações
social, filosófica, amorosa, etc. que a acompanham.
                                                                                                         5

      Você já leu algum poema de Carlos Drummond de Andrade?
      Se não lembra, veja se esta poesia clareia a sua memória:

                                                          No meio do caminho

                                           No meio do caminho tinha uma pedra
                                           Tinha uma pedra no meio do caminho
                                           Tinha uma pedra
                                           No meio do caminho tinha uma pedra.

                                           (...)
                                              (Em Reunião. 10ª ed. Rio de Janeiro: J. Olympio, 1980. P. 12)


      Se ainda não lembrou, veja esta:

                                                                       José

                                           E agora José?
                                           A festa acabou, a luz apagou,
                                           o povo sumiu,
                                           a noite esfriou,
                                           e agora, José?

                                           (...)
                                                                                       (Em reunião, p. 70.)


      Esses são alguns exemplos de poemas de Drummond.

      Mas voltando aos cometas, até hoje, eles ainda fascinam. Você conhece esta
música?

                                                           Quando o segundo sol chegar
                                                   Para realinhar as órbitas dos planetas
                                                    Derrubando com assombro exemplar
                                                    O que os astrônomos diriam se tratar
                                                                    De um outro cometa.
                                                              Composição: Nando Reis / Voz: Cássia Eller


       O segundo Sol, segundo Nostradamus será um astro (cometa) muito brilhante que
parecerá com um segundo sol durante um eclipse solar.
       E se os astrônomos mais renomados realmente previssem a chegada de um tal
cometa do horror, amanhã... O que você faria?


  Analise os seguintes problemas:

      Se tivéssemos dois cometas com períodos orbitais diferentes, um com 26 e outros
       com 76 anos. Supondo que no ano zero os dois tenham sido vistos juntos. Seria
       possível prever quando os mesmo cometas seriam vistos juntos novamente?
       Quantas vezes cada um teria aparecido até tal encontro?
                                                                                        6

       Pessoas que sofrem de certos tipos de doenças, muitas vezes tomam “coquetéis” de
        remédios para o tratamento da doença. Cada remédio, dependendo do seu princípio
        ativo, tem um período de ação no organismo que pode variar de 6 em 6 horas, de
        8 em 8 horas, de 12 em 12 horas. Por isso, as pessoas que os ingerem devem ser
        rigorosas quanto ao horário de ingestão para que o remédio faça o efeito esperado.
        Imagine um paciente que tem uma doença crônica de fígado e que precisa tomar 4
        remédios diferentes em períodos de horas diferentes? Como organizar os horários?
        Será que em algum horário a ingestão desses remédios pode coincidir?

       Poderíamos resolver estes problemas organizando dados e fazendo algumas somas
sucessivas. Mas também poderíamos utilizar a Fórmula do Termo Geral da PA para isso.

       Você poderia encontrar algumas aplicações do conceito de PA em alguma situação
do dia-a-dia?


                               Alguns exercícios resolvidos


1) Qual é o quadragésimo (40º) termo da progressão aritmética 1, 5, 9, 13, ...?

Solução: A razão da progressão é r = 5 –1 = 4 e o primeiro termo é a1 = 1. Desejamos
calcular o quadragésimo termo, ou seja, a40. A partir da fórmula do termo geral

                                     An = a1 + (n –1).r

Substituindo a letra n por 40, obtemos:

                                    A40 = a1 + (40 –1).r
Daí:

                                    A40 = a1 + (40 –1).4
                                      A40 = 1 + 39.4
                                       A40 = 1 + 156
                                         A40 = 157

Logo, o quadragésimo termo da progressão aritmética é 157.

2) Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.

Solução: Observamos que o primeiro termo da PA (Progressão Aritmética) é 25 e o último
é 620, daí:
                                  An = a1 + (n –1).r
                                620 = 25 + (n –1).5
                                 620 = 25 + 5n – 5
                                    620 –20 = 5n
                                      600 = 5n
                                       120 = n

Portanto o número de termos compreendidos entre 21 e 623 é de 120 termos.
                                                                                      7

3) Calcular três números que estão em PA, de tal forma que a soma entre eles é 18 e o
produto 66.

Solução:
Indiquemos (a1, a2, a3) = (x-r ,x ,x+r)
1º número = x – r
2º número = x
3º número = x + r

Resolvendo um sistema com duas variáveis (x e r):
    (x – r) + x + (x + r) = 18
    (x - r).x.(x + r) = 66
Daí, x = 6, r = ± 5
Fazendo r = 5 temos (1 , 6 , 11)
Fazendo r = -5 temos (11 , 6 , 1)

Logo os números pedidos são 1, 6 e 11.


                                          Exercícios

   1) Calcule o 24º termo da PA (6, 13, 20, ...).

   2) Ache a razão de uma PA de 7 termos sabendo que o primeiro termo é 2 e o último
      termo é 48.

   3) Encontre o primeiro termo de uma PA onde a20 = 50 e a razão é 5.


3. Proposta de Atividades

   1) Um aluno escreveu todos os números ímpares de 27 a 105. Quantos números ele
      escreveu?

   2) Uma caixa d’água com capacidade de 1000 litros está com vazamento. Esta caixa
      d’água vaza 1,5 litros por hora. Após ter sido completamente cheia, quantos litros
      terá a caixa d’água após 24 horas?

   3) Em uma estrada que liga duas cidades importantes, serão instalados 12 telefones
      públicos. Sabendo que à distância entre as duas cidades são de 754 Km e que serão
      instalados telefones nos Km 0 e no Km final da trajetória, calcule em que Kms os
      telefones deverão ficar. (Obs: A distância entre os telefones deve ser igual.)



                                             Desafio

   Será que o cometa Halley passou próximo da Terra durante a vida de Jesus?
                                                                            8

Referências:

CEREJA, Willian Roberto & MAGALHÃES, Thereza Cochar. Literatura Brasileira. 2ª
ed. São Paulo: Editora Atual, 1997.
SARDELLA, Antônio & MATEUS, Edegar. Dicionário Escolar de Química. São Paulo:
Editora Ática, 1992.
www.cienciaonline.org (Acessado em 20/09/2004)
www.if.ufrj.br/teaching/astron/halley.html (Acessado em 20/09/2004)
http://www.estadao.com.br/drummond/vida7.htm (Acessado em 20/09/2004)
http://jbonline.terra.com.br/jseculo/1910.html (Acessado em 20/09/2004)
www.terra.com.br/istoe/ciencia/143622.htm (Acessado em 16/09/2004)
http://www.brchacon.hpg.ig.com.br/cometa.html (Acessado em 23/09/2004)
http://www.coladaweb.com/astronomia/cometas.htm (Acessado em 23/09/2004)


Figuras:
Cometa:
http://www.if.ufrj.br/teaching/astron/comets.html
Carlos Drummond de Andrade:
http://www.estadao.com.br/drummond/vida7.htm

								
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