Docstoc

Rangkuman-Integral

Document Sample
Rangkuman-Integral Powered By Docstoc
					                                                Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
                                                http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.




           RANGKUMAN INTEGRAL



                                       Di Susun Oleh :
           Syaiful Hamzah Nasution, S.Si., S.Pd.




                                      Di dukung oleh :
                   Portal edukasi Indonesia
                Open Knowledge and Education
                                       http://oke.or.id




                                          Copyright © oke.or.id
 Artikel ini boleh dicopy ,diubah , dikutip, di cetak dalam media kertas atau yang lain, dipublikasikan
kembali dalam berbagai bentuk dengan tetap mencantumkan nama penulis dan copyright yang tertera
                           pada setiap document tanpa ada tujuan komersial.
                                                          Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
                                                          http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
                                                                                                              2 dari 5

 By : S                         .Si, .Pd
       yaiful Hamzah Nasution, S S



BENTUK UMUM INTEGRAL TAK TENTU


   ∫ f (x)dx = F(x) + c         ∫ dx   : Lambang integral yang menyatakan operasi anti turunan
                                f(x)   : fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya
                                c      : konstanta




TEOREMA-TEOREMA DALAM INTEGRAL TAK TENTU


 TEOREMA 1                                                           TEOREMA 2

   Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka                           Jika f fungsi yang terintegralkan dan k
            1                                                         suatu konstanta, maka ∫ k f(x)dx=k∫ f(x) dx
   ∫ x dx=n+1 x
      n         n +1
                       +c , dengan c adalah

   konstanta
                                                                     TEOREMA 4


 TEOREMA 3                                                            ATURAN INTEGRAL TRIGONOMETRI
                                                                                                1
   KELINIEARAN
                                                                      1.   ∫ cos (ax + b) dx = a sin x + c
   Jika f dan g fungsi-fungsi yang                                                            1
                                                                      2. ∫ sin (ax + b) dx = - cos x + c
   terintegralkan,maka                                                                        a

   ∫ f(x) ± g(x) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx                           3.
                                                                                  1             1
                                                                           ∫ cos2 (ax+b) dx = a tan x + c



                                       BENTUK       a2 − x2 ,     a2 + x2 , DAN       x2 − a2

                                       Integral bentuk          a2 − x2 diubah menjadi x = a sin t

                                       Integral bentuk          a2 + x2 diubah menjadi x = a tan t

                                       Integral bentuk          x2 − a2 diubah menjadi x = a sec t
INTEGRAL TENTU



 DEFINISI

 Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup [a, b], dan jika
       b
  lim ∑ f (x)∆x ada, maka
 ∆x→0 x=a

                                                    b          b
                                               lim ∑ f (x)∆x = ∫ f(x) dx
                                              ∆x→0 x=a         a

 (dibaca integral tentu (integral Reiman) f dari a ke b
                                                                         Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
                                                                         http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
                                                                                                                                 3 dari 5
TEOREMA DASAR KALKULUS

 Jika F adalah suatu anti turunan diferensial dari fungsi f dengan daerah asal
     Df = { x | a ≤ x ≤ b}, maka
                                                          b
                                                                              b
                                                          ∫   f(x) dx = [F(x)]a = F(b) - F(a)
                                                          a

 Dengan :             F(x)                                                   = anti turunan dari f(x)             f(x)   = integran
              a       = batas bawah pengitegralan                            b    = batas atas pengitegralan


TEOREMA-TEOREMA DALAM INTEGRAL TENTU


 TEOREMA KELINIEARAN                                                                TEOREMA PERUBAHAN
                                                                                             BATAS
 Jika f dan g terintegralkan pada intervak                                        Jika f terintegralkan pada interval [a, b]
 [a, b] dan k suatu konstanta, maka :                                             maka :
 b                b                                                               a
 ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx                                                        ∫ k f(x) dx = 0
 a                a                                                               a
                                                                                  b                 a
 b                      b
          ± g(x) dx = ∫ f(x) dx ±
                                       b
                                                                                  ∫ f(x) dx = - ∫ f(x) dx
 ∫ f(x)                                   ∫ g(x) dx
 a                      a                 a
                                                                                       TEOREMA INTERVAL

                                                                                  Jika f terintegralkan pada interval yang
  TEOREMA KESIMETRIAN                                                             memuat tiga titik a, b, dan c, maka
                                      a               a                           c             b           c
 a. f fungsi genap maka               ∫ f(x) dx = 2 ∫ f(x) dx                     ∫   f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx
                                   -a                 0                           a             a           b

                                  a
 b. f fungsi ganjil, maka         ∫ f(x) dx = 0
                                  -a




METODE SUBTITUSI



 Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan andaikan F adalah suatu anti-turunan dari
 f. sehingga, jika u = g(x), maka
                                              ∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c

Langkah untuk mengintegralkan dengan metode subtitusi adalah sebagai berikut


          1. Memilih fungsi u = g(x) sehingga
               ∫ f ( g(x) ) g'(x) dx = f(u) du
          2. Tentukan ∫ f(u) du
                                                          Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
                                                          http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
                                                                                                                4 dari 5

METODE PARSIAL

Apabila pengintegralan dengan metode subtitusi tidak berhasil, kita dapat menggunakan teknik
pengintegralan lain yang disebut Metode Parsial.
                                                                    Misalkan u dan v adalah fungsi yang
 Misalkan u dan v adalah fungsi yang dapat
                                                                    dapat dideferensialkan.
 dideferensialkan.
                                                                                    b                  b
                   ∫ u dv = u. v - ∫ v du                                           ∫ u dv =   [uv]b - ∫ v du
                                                                                                   a
                                                                                    a                  a




Ada dua hal yang perlu diperhatikan dalam menggunakan metode parsial, yaitu :
   1. Pemilihan dv harus dapat diintegralkan untuk memperoleh v, yaitu v = ∫ dv

   2.     ∫ u du harus lebih mudah diselesaikan daripada ∫ u dv

METODE SUBSITUSI DALAM INTEGRAL BENTUK TRIGONOMETRI

 Bentuk ∫ sinn xdx dan ∫ cosn xdx

   Apabila n bilangan bulat ganjil dan positif, setelah mengeluarkan factor sin x
   atau cos x, gunakan persamaan
                                            Sin 2 x + cos 2 x = 1


   Apabila n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah sudut
   berikut :
                                     1 − cos2x                          1 + cos2x
                         Sin 2 x =                 dan      cos 2 x =
                                          2                                  2


 Bentuk ∫ sinm x cosn xdx

   Apabila m dan n ganjil dan positif, keluarkan factor sin x atau cos x,kemudian
   gunakan :
                                            Sin 2 x + cos 2 x = 1
   Apabila m dan n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah
   sudut berikut :
                                     1 − cos2x                          1 + cos2x
                         Sin 2 x =                 dan      cos 2 x =
                                          2                                  2


 Bentuk ∫ sinax cosbx dx , ∫ cosax sinbx dx , ∫ sinax sinbx dx , ∫ cosax cosbx dx

   Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk tersebut, gunakan kesamaan
   berikut ini :
                                 1
   (1).      sin ax cos bx =       [sin (a + b)x + sin (a – b)x]
                                 2
                            1
   (2). cos ax sin bx =       [sin (a + b)x – sin (a – b)x]
                            2
                                  1
   (3).      cos ax cos bx =        [cos (a + b)x + cos (a – b)x]
                                  2
                            1
   (4). sin ax sin bx = -     [cos (a + b)x – cos (a – b)x]
                            2
                                              Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
                                              http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
                                                                                                          5 dari 5

MENGHITUNG LUAS DAERAH

Untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva atau garis dalam suatu selang
tertentu dapat digunakan Konsep Integral Reiman (Metode potong, hampiri dan integralkan /
metode polygon).




                             b                      y = f(x)                     c              b
                        L=   ∫   f(x) dx                                    L=   ∫ f(x) dx - ∫ f(x) dx
                             a                a       c         b                a              c




                             b
                        L = - ∫ f(x) dx                                              b
                             a                                               L=      ∫   f(x) - g(x) dx
                                                                                     a




MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR

                                                                                                V(T) =
                                                                                            b

                                 b
                                                                                         π ∫ f(x)2 - g(x)2 dx
                        V = π ∫ f(x)2 dx                                                    a

                                 a




                             b
                      V = π ∫ f(y)2 dy                                                     b
                             a
                                                                            V(U) = π ∫ f(y)2 - g(y)2 dy
                                                                                           a




Referensi :
   1. Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta : PT. Gelora Aksara Pratama
   2. E.S, Pesta dan Cecep Anwar.2008. Matematika Aplikasi : Untuk SMA dan MA kelas XII
       Program Studi IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan Depdiknas.
   3. Zaelani, Ahmad, Dkk. 2008. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika. Bandung :
       Yrama Widya

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:173
posted:4/23/2012
language:English
pages:5