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					                 Exercices - Système linéaires : corrigé

Exercice 1 - Paramètre dans le second membre - L1/Math Sup -
   Notons (S) ce système, et appliquons la méthode du pivot de Gauss :
                                  
                                   x+y−z
                                            = 1               (L3)
                     (S)   ⇐⇒       −3y + 3z = m − 1           (L1)-3(L3)
                                   −2y + 2z = −2
                                  
                                                               (L2)-(L3)
                                  
                                   x+y−z
                                              = 1
                           ⇐⇒           −y + z = (m − 1)/3
                                        −y + z = −1
                                  
                                  

Le système admet donc des solutions si et seulement si (m − 1)/3 = −1, soit m = −2. Dans ce
cas, il est équivalent à
                                                    
                                                     x = 0
                           x = 1−y+z                
                                              ⇐⇒       y = y
                           z = −1 + y
                                                         = −1 + y
                                                    
                                                     z

Dans le cas où m = −2, l’ensemble des solutions est donc

                                    {(0, y, −1 + y); y ∈ R}.



Exercice 2 - A paramètre - L1/Math Sup -
   Notons (S) ce système, et appliquons la méthode du pivot de Gauss :
                                  
                                  
                                               x+y+z = 1−a
                     (S)   ⇐⇒                       y+z = 0
                                   (1 − 2a)y + (1 − 2a)z = 2a2 − a
                                  
                                  
                                   x+y+z
                                             = 1−a
                           ⇐⇒           y+z = 0
                                   a(2a − 1) = 0
                                  


On distingue alors plusieurs cas. Si a ∈ {0, 1/2}, le système n’est pas compatible et n’admet
                                        /
donc pas de solutions. Si a = 0, le système est équivalent à

                                        x+y+z = 1
                                          y+z = 0

et donc l’ensemble des solutions est {(1, y, −y); y ∈ R}. Si a = 1/2, le système devient

                                       x + y + z = 1/2
                                           y+z = 0

et donc l’ensemble des solutions est {(1/2, y, −y); y ∈ R}.
Exercice 3 - Système non linéaire - L1/Math Sup -
   On pose a = ln x, b = ln y et c = ln z et notons (S) le système. La fonction logarithme étant


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                    Exercices - Système linéaires : corrigé

injective, on a :
                                  
                                  
                                    3a + 2b + 6c = 0
                       (S)   ⇐⇒     4a + 5b + 12c = ln 2
                                  
                                   2a + 2b + 5c = ln 3
                                  
                                   3a + 2b + 6c = 0
                                  
                             ⇐⇒          7b + 12c = 3 ln 2
                                  
                                        2b + 3c = 3 ln 3
                                  
                                   3a + 2b + 6c = 0
                                  
                             ⇐⇒          7b + 12c = 3 ln 2
                                             −3c = 21 ln 3 − 6 ln 2
                                  
                                  
                                  
                                   a =
                                       −2 ln 2 + 6 ln 3
                             ⇐⇒     b = −3 ln 2 + 12 ln 3
                                   c = 2 ln 2 − 7 ln 3.
                                  


Ceci donne finalement comme unique solution
                                      
                                       x = 2−2 36
                                      
                                        y = 2−3 312
                                          = 22 3−7 .
                                      
                                       z




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