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          Exercices - Formes lineaires - Dualite : ´nonc´

Exercice 1 - Une forme lin´aire - L1/Math Sup -
                          e
   D´terminer la forme lin´aire f d´finie sur R3 telle que
    e                     e        e

                           f (1, 1, 1) = 0, f (2, 0, 1) = 1 et f (1, 2, 3) = 4.

Donner une base du noyau de ker(f ).
Exercice 2 - Une base en dimension 2 - L1/Math Sup -
   Soient f1 , f2 les deux ´l´ments de L(R2 , R) d´finis par
                           ee                     e

                                f1 (x, y) = x + y et f2 (x, y) = x − y.

   1. Montrer que (f1 , f2 ) forme une base de (R2 )∗ .
                             e
   2. Exprimer les formes lin´aires suivantes dans la base (f1 , f2 ) :

                                      g(x, y) = x, h(x, y) = 2x − 6y.

Exercice 3 - Base duale - L2/Math Sp´ -
                                    e
                                                                                        ∗    ∗     ∗
    Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3, (e1 , e2 , e3 ) une base de E. Soient f1 , f2 et f3
              e             e
les formes lin´aires sur E d´finies par
                        ∗
                       f1 = 2e∗ + e∗ + e∗ , f2 = −e∗ + 2e∗ , f3 = e∗ + 3e∗ .
                              1    2    3
                                             ∗
                                                   1     3
                                                              ∗
                                                                   1     2

               ∗ ∗ ∗
Montrer que (f1 , f2 , f3 ) est une base de E ∗ et d´terminer la base (f1 , f2 , f3 ) de E dont elle est
                                                    e
la base duale.
Exercice 4 - Formes lin´aires sur un espace de polynˆmes - L2/Math Sp´ -
                       e                            o                e
    Soit E = Rn [X], et x0 , . . . , xn des nombres r´els distincts. On pose, pour tout P ∈ E,
                                                          e
           1       P (t)
φ(P ) = −1 1+cos2 (t) dt. Montrer qu’il existe λ0 , . . . , λn ∈ R tels que, pour tout P ∈ E, φ(P ) =
λ0 P (x0 ) + · · · + λn P (xn ).
Exercice 5 - Formes lin´aires multiplicatives sur les matrices - L2/Math Sp´ -
                       e                                                   e
   Soit φ une forme lin´aire sur Mn (R) v´rifiant φ(AB) = φ(BA) pour toutes matrices A, B ∈
                       e                 e
Mn (R). Montrer qu’il existe λ ∈ R tel que φ(M ) = λTr(M ).
Exercice 6 - S´paration - L2/Math Sp´ -
              e                     e
   Soit E un espace vectoriel et x, y ∈ E. D´montrer que x = y si et seulement si, pour tout
                                            e
φ ∈ E ∗ , φ(x) = φ(y).
Exercice 7 - Intersection d’hyperplans - L2/Math Sp´ -
                                                   e
                                                                                      e
   Soit E un espace vectoriel de dimension q et (fi )1≤i≤p une famille de p formes lin´aires. On
rappelle que f ∈ L(E, K) si et seulement si
                                          p
                                               ker(fi ) ⊂ ker(f ).
                                         i=1

   1. On note F = p ker(fi ). Montrer que F est de dimension sup´rieure ou ´gale ` q − p,
                       i=1                                               e     e a
           e     e                                  e              e
      avec ´galit´ si et seulement si les formes lin´aires sont ind´pendantes.
          e                                                              e
   2. En d´duire la dimension de F , l’espace vectoriel des matrices carr´es de taille n dont la
      somme de chaque ligne est nulle.

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                               ´              ´ e      e
         Exercices - Formes lineaires - Dualite : ´nonc´

                          e                      e           a                       e
  3. En appliquant le r´sultat de la premi`re question ` F et aux formes lin´aires gj (M ) =
       n
       i=1                                     e
           mi,j , pour j = 1, . . . , n−1, en d´duire la dimension de l’espace vectoriel des matrices
         e
     carr´es de taille n dont la somme de chaque ligne et la somme de chaque colonne est nulle.
                          e
     Pourquoi ne consid`re-t-on pas (gj ) pour j = 1, . . . , n ?

Exercice 8 - Hyperplans de Mn (K) - L2/Math Sp´/Oral X/Agreg -
                                              e

  1. Soit ϕ une forme lin´aire sur Mn (K). Montrer qu’il existe une matrice A ∈ Mn (K) tel
                         e
     que, pour tout M de Mn (K). ϕ(M ) = Tr(AM ).
  2. En d´duire que tout hyperplan de Mn (K) contient une matrice inversible.
         e




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