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					Universität Kassel
Wintersemester 2004/05




Veranstaltung:       Fachwissenschaftliches Seminar
Dozentin:            Frau Prof. Dr. Maria Specovius-Neugebauer
Referentinnen:       Vera Leis
                     Katharina Claus




        Tausendundeine Koinzidenz




                       Skript zum Referat am
                         08. Dezember 2004
Tausendundeine Koinzidenz                                       Vera Leis und Katharina Claus



                                     Inhaltsverzeichnis


    1. Einleitung                                                                        3


    2. Zaubertrick
           2.1 Durchführung                                                              3
           2.1 Erklärung                                                                 3
           2.2 Eigenes Alter rechnen                                                     4


3   Pascal’sches Dreieck
           3.1 Blaise Pascal                                                             5
           3.2 Geschichte und Entstehung                                                 6
           3.3 Binomialkoeffizient                                                       7
           3.4 Erklärung des Aufbau des Pascal’schen Dreiecks                            8
           3.5 Muster im Pascal’schen Dreieck
                       3.5.1 Teilbarkeitsbeziehungen                                     10
                       3.5.2 Fibonacci-Zahlen                                            12
                       3.5.3 figurierte Zahlen
                               3.5.3.1 Dreieckszahlen                                    14
                               3.5.3.2 Tetraederzahlen                                   15
           3.6 Berechnung einer bestimmten Position im Pascal’schen Dreieck              16
           3.7 Welche Zahl kommt wie oft und welche kommt am häufigsten im
               Pascal’schen Dreieck vor?                                                 17


4   Stirling’sches Dreieck                                                               21


5   Bernoullisches Dreieck                                                               21


6   Literaturverzeichnis                                                                 22


7   Anhang                                                                               23




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Tausendundeine Koinzidenz                                         Vera Leis und Katharina Claus



   1. Einleitung
   Wir haben uns mit dem Thema „Tausendundeine Koinzidenz“ beschäftigt. Das Wort
   Koinzidenz stammt aus dem Lateinischen und bedeutet das Zusammentreffen zweier
   Ereignisse. Nun geben wir einen kurzen Überblick über unser Referat. Zuerst
   beschäftigen wir uns mit einem Zaubertrick, danach mit dem Pascalschen Dreieck und
   weiteren „Dreiecken“.




   2. Zaubertrick


   2.1 Durchführung
   Es handelt sich hierbei um einen Zaubertrick des Mathemagiers Matthew Morrison
   Maddox. Zunächst sucht sich der Magier eine/n „Freiwillige/n“ aus, der sein Alter
   verdeckt auf ein Kärtchen schreibt. Um das Rechnen zu erleichtern und Rechenfehler
   zu vermeiden, bekommt der Assistent einen Taschenrechner. Dann wird ein
   Zauberkästchen gezeigt, in dem sich Karten mit den Zahlen von 1 bis 16 befinden. Es
   wird sichergestellt, ob klar ist was eine Primzahl ist und noch einmal gesagt, dass
   Primzahlen all die Zahlen sind, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Alle
   anderen Zahlen werden als „zusammengesetzt“ definiert.
   Nun wird der Assistent gebeten sein Alter in den Taschenrechner einzugeben und
   dann in beliebiger Reihenfolge eine Karte nach der anderen aus dem Kästchen zu
   nehmen. Wenn die Zahl „zusammengesetzt“ ist, soll er sie einfach beiseite legen. Ist
   die Zahl hingegen eine Primzahl, dann soll er die Zahl im Taschenrechner mit der Zahl
   auf der Karte multiplizieren und so fortfahren, bis alle Karten aufgebraucht sind.
   Der Magier lässt sich nun die zweite Stelle des 6-stelligen Ergebnis nennen und kann
   daraufhin sofort sagen, wie alt die Person ist. Zum Überprüfen, lässt er noch einmal
   die Karte zeigen, auf die der Assistent zu Begin sein Alter geschrieben hatte.




   2.2 Erklärung
   Was hat der Zaubertrick mir der Zahl 1.001 zu tun? Er beruht, wie auch viele andere
   Zaubertricks, auf der Faktorisierung mit der Zahl 1.001 und nutzt aus, dass die
   Primfaktorzerlegung von 1.001 gleich 7 * 11 * 13 ist.


   Multipliziert man nun eine Zahl mit 1001 so besteht das Produkt aus der Ausgangzahl,
   deren Ziffern nun zweimal hintereinander stehen, so dass die „Zahl zweimal im
   Produkt auftaucht“ (wenn man das Stellensystem außer Acht lässt).


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Tausendundeine Koinzidenz                                              Vera Leis und Katharina Claus



   Beispiel: 369 * 1.001= 369.369


   Jedoch wurde in unserem Fall mit allen Primzahlen zwischen 1 und 16 multipliziert,
   d.h. zusätzlich zu den Zahlen wurde 7, 11 und 13 wurde mit 2, 3 und 5 multipliziert.
   So wird also nicht nur mit 1001 multipliziert, sondern mit 1001*2*3*5= 1001*30= 30030
   Dabei spielt die Reihenfolge der Faktoren aufgrund folgender Rechengesetze keine
   Rolle:


       Kommutativgesetz d. Multiplikation: a * b = b * a
       Assoziativgesetz d. Multiplikation: (a * b) * c = a * (b * c)



   Sei xy das Alter.
   Setze xy * 30 = ab0
   Also ist ab0 * 1001 = ab0ab0
   Nun lässt man sich die zweite Ziffer sagen, also die Ziffer, für die b steht.


       Teilbarkeitsregel für die Zahl 3 im Dezimalsystem:
       Eine Zahl ist durch drei teilbar, wenn ihre Quersumme durch drei teilbar ist, d.h.
       die Summe der Ziffern ein Vielfaches von drei ist.


   Betrachte nun ab = 3xy  3 ab

   also gilt aufgrund der Quersummenregel im Dezimalsystem 3 a  b

   Suche nun a mit 3 a  b .

   Teile nun die verschiedenen Möglichkeiten, die sich für a und das b ergeben durch 3
   und so erhält man das Alter.


   Jedoch gibt es bei größeren Zahlen Probleme. So ist die letzte Zahl für die der Trick in
   dieser Art durchführbar ist die Zahl 33, da 33 * 30 *1001  990990 . Beim Alter von 34
   Jahren ist die Zahl siebenstellig und die zweite Ziffer sagt über das Alter nichts mehr
   aus. 34 * 30 *1001  1021020 . Man kann jedoch noch eine Struktur erkennen. So
   lassen sich die Produkte für Zahlen über 34 als abcabc0 darstellen.


 2.3     Eigenes Alter rechnen
   Wir haben dieses auch für unser eigenes Alter durchgerechnet. Da wir beide 20 Jahre
   alt sind, rechnen wir das Ganze nur einmal durch.


   Also: 20*30*1001 = 600*1001 = 600600


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   Die zweite Ziffer des Ergebnisses ist die 0.
   Suche nun a mit 3 a  0

   Aufgrund der Quersummenregel erhält man für a folgende Möglichkeiten: a1=0, a2=3,
   a3=6, a4=9; da a0 das Dreifache des Alters ist. So erhält man folgende Möglichkeiten
   für das Dreifache des Alters: a1b = 00, a2b = 30, a3b = 60 und a4b = 90. Jedoch sind
   die Ziffern 0, 3 und 9 recht unwahrscheinlich, da als Alter xy=0, xy=10 und xy=30
   herauskommen würde. Somit ist a=6 am wahrscheinlichsten. Teilt man nun 60 durch 3
   erhält man unser Alter, nämlich 20 Jahre.


   Einfacher als alle Varianten durchzuprobieren oder durchzurechen ist es mit einer
   Tabelle. Hier ist eine für die Altersspanne von 19 bis 28 Jahren.


    Endziffer               0            1             2              3              4             5           6       7          8         9
    Alter                   20       27               24              21             28            25         22       19        26         23




   3. Pascal’sches Dreieck
                                                                      1
                                                                 1         1
                                                            1         2         1
                                                       1         3         3         1
                                                  1         4         6         4         1
                                             1         5         10        10        5         1
                                         1        6         15        20        15        6        1
                                     1       7         21        35        35        21        7        1
                                 1       8        28        56        70     1  56        28       8
                             1       9       36        84
                                                       126 126 84   36    9     1
                           1      10      45    120 210 252 210 120    45    10    1
                        1     11      55     165 330 462 462 330 165      55    11    1
                    1      12     66     220 495 792 924 792 495 220         66    12    1
                1       13    78     286 715 1287 1716 1716 1287 715 286        78    13    1
             1      14     91    364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364        91    14    1
           1    15     105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105              15    1
         1   16    120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120             16   1




   3.1 Blaise Pascal
   Blaise Pascal wurde am 19. Juni 1623 in Clermont-Ferrand
    in Frankreich geboren. Er wirkte in den Bereichen
   Philosophie, Mathematik und Physik.


   Mit 16 Jahren verfasste er den heute als „Satz von Pascal“
    bekannten Satz, der in der Geometrie Verwendung
                                                                                                                            Blaise Pascal




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Tausendundeine Koinzidenz                                                  Vera Leis und Katharina Claus



      findet. Dies ist umso erstaunlicher, da er sich alles was mit Mathematik und
      Naturwissenschaften zu tun hat selbst beibringen musste, da sein Vater im Literatur in
      diesen Bereichen vorenthielt.
      Weitere Entdeckungen im mathematischen Bereich waren eine mechanische
      Rechenmaschine, die zunächst nur für die Addition und später auch für die
      Subtraktion      Verwendung     fand.     Außerdem       beschäftigte     er    sich   mit     der
      Wahrscheinlichkeitsrechnung und stand mit Pierre de Fermat in Kontakt.


      Die letzten drei Jahre vor seinem Tod am 19. August 1662 lebte er im Kloster Port
      Royal und wurde dann in Paris auf dem Friedhof von St. Etienne-du-Mont begraben.




Nach Pascal sind benannt:


         die Programmiersprache Pascal, wegen seiner Erfindung einer Rechenmaschine;
         die physikalische Einheit des Drucks, wegen seiner Versuche zum Luftdruck;
         das    Pascalsche     Dreieck,      bei     dem     sich   ein
          Binomialkoeffizient         als           Summe        zweier
          darüberstehenden ergibt;
         die           Pascal-Verteilung                in          der
          Wahrscheinlichkeitstheorie,         die     aber    meistens
          negative Binomialverteilung genannt wird;                         Pascals Rechenmaschine
                                                                            (für Addition und
         die            Pascalsche                 Wette,           ein    Subtraktion)
          wahrscheinlichkeitstheoretischer Gottesbeweis;
         die Pascalsche Schnecke, eine spezielle ebene Kurve1.



      Alles in allem kann man sagen, dass er als einer der großen Denker der westlichen
      Geistesgeschichte betrachtet wird.




      3.2 Geschichte und Entstehung
      Das Pascal’sche Dreieck war schon vor Pascal bekannt und wurde somit nicht von
      ihm entdeckt.
      Um etwa 1100 n. Chr. wird das Pascal’sche Dreieck in Verbindung mit dem persischer
      Universalgelehrten Omar Khayyám gebracht. Jedoch hat auch er das Pascal’sche

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   Dreieck nicht entdeckt, sondern aus älteren Arabischen oder Chinesischen Quellen
   entnommen, so dass man sagen kann, das das Pascal’sche Dreieck über 1000 Jahre
   alt ist. Bereits im 10. Jahrhundert kannte der indische Gelehrte Halâyudha die
   Anordnung der Zahlen im Pascal’schen Dreieck.


   Im Jahr 1303 taucht es in China in einem Mathematikbuch auf.
   Der protestantische Pfarrer und deutsche Mathematiker Michael Stiftel führte um 1500
   den Begriff Binomialkoeffizient ein. Mehr zum Binomialkoeffizienten in weiteren
   Verlauf des Referates.


   Jedoch war der Ausdruck in einer anderen Schreibweise bereits seit dem 12.
   Jahrhundert bekannt, da der indischen Gelehrte Bhãskara bereits Kenntnis davon
   hatte.
   Im frühen 16. Jahrhundert benutzte Petrus Apianus das Pascal’sche Dreieck zur
   Gestaltung der Titelseite seines Arithmetik-Buches mit dem Titel „Rechnung“.
   Pascal     beschäftigte    sich    mit       dem   Zusammenhang       zwischen       dem
   Binomialkoeffizienten und der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
   Wir werden uns nachher noch mit einer von David Singmaster 1971 gestellten Frage
   beschäftigen und zwar: Wie oft kommt eine Zahl im Pascal’schen Dreieck vor bzw.
   welche Zahl kommt am häufigsten vor?
   Abschließend kann man sagen, dass zwar schon vieles im Pascal’schen Dreieck
   entdeckt wurde, jedoch noch nicht alles. Falls also jemand Lust hat, kann er sich auch
   mit dem Pascal’schen Dreieck noch beschäftigen und etwas Neues herausfinden.




   3.3 Binomialkoeffizient
   Ist N eine Menge mit genau n Elementen und k eine k-elementige Teilmenge von n.

   So bezeichnet man mit             (lies: n über k) die Anzahl der Möglichkeiten, k
   unterscheidbare Elemente aus der Menge N ohne Wiederholung auszuwählen, wobei
   für k und n gilt: k, n   und 0  k  n .
   Für den Wert der Binomialkoeffizienten, also für die Anzahl der Möglichkeiten gilt
   folgende Formel:




   wobei die Abkürzung n! = n·(n-1)·(n-2)·…·2·1 die Fakultät von n bezeichnet.




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   Mit dieser Formel kann man beispielsweise auch die Anzahl der Möglichkeiten für
   sechs Richtige im Lotto (6 aus 49) errechnen. Hierbei besteht die Menge N aus 49
   Elementen ( N   ,2,... 49) und k ist die Anzahl der ausgewählten Elemente, also in
                    1
   diesem Fall 6. Setzt man nun n=49 und k=6 in die Formel ein erhält man:




   die Anzahl der Möglichkeiten, 6 (verschiedene) Lottozahlen aus 49 möglichen zu
   ziehen.

   Mittels der Definition 0!=1 erhält man noch die Binomialkoeffizienten




   mit Hilfe derer sich der binomische Satz formulieren lässt:




   Diese Binomialkoeffizienten sind gerade die Zeilen des Pascal’schen Dreiecks.
   Dessen Eigenschaft, dass die Summe zweier nebeneinander stehender
   Binomialkoeffizienten gerade den unterhalb beiden befindlichen ergibt, wird in der
   folgenden Identität wiedergegeben:




   3.4 Erklärung des Aufbaus des Pascal’schen Dreiecks
   Das Pascal’sche Dreieck hat eine dreieckige Grundstruktur. Die oben liegende Spitze
   des Dreiecks wird durch ein Kästchen gebildet, das die 1 enthält. Von Zeile zu Zeile
   kommt nun stets ein Kästchen hinzu. Links und rechts außen steht in jeder Zeile die 1.
   Alle anderen Zahlen bilden die Summe der beiden schräg darüber stehenden Zahlen.
   Zur Beschreibung ist wichtig, dass die Spitze nicht als erste sondern als nullte Zeile
   bezeichnet wird. Ebenfalls fängt auch die Bezeichnung der Position in einer Zeile stets
   bei 0 an, so dass jede Zeile die Positionen 0 bis n enthält.
   Am Pascal’schen Dreieck kann man viele Dinge entdecken.



                                             8
Tausendundeine Koinzidenz                                            Vera Leis und Katharina Claus



   Die Zeilensummen ergeben stets eine Potenz von 2 (siehe Abbildung). Das hängt mit
   der additiven Struktur des Pascal’schen Dreiecks zusammen.



                                                      Zeilensummen
                                         0
                              1    2 =1
                        1 1          21=2
                      1 2 1            22=4
                    1 3 3 1              23=8
                  1 4 6 4 1                24=16
                1 5 10 10 5 1                25=32
              1 6 15 20 15 6 1                 26=64
             1 7 21 35 35 21 7 1                 27=128
           1 8 28 56 70 56 28 8 1                  28=256
          1 9 36 84 126 126 84 36 9 1                29=512
         1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1           210=1024


   Das Pascal’sche Dreieck ist auch als die Tabelle der Binomialkoeffizienten bekannt.
   Es gibt eine Handhabe, schnell beliebige Potenzen von Binomen auszumultiplizieren.
   Die n-te Zeile beinhaltet genau die Koeffizienten, die beim Ausmultiplizieren von
   (a + b)n auftreten, wobei mit n = 0 begonnen wird: So finden sich in der 2. Zeile die
   Koeffizienten der ersten (und zweiten) binomischen Formel (a+b)2. In der nächsten
   Zeile befinden sich die Koeffizienten für (a+b)3 und so weiter.

                                   Binomiale Koeffizienten

                               (a+b)0=1   1
                        (a+b)1=1a+1b     1 1
                (a+b)2=1a2+2ab+1b2      1 2 1
             3   3    2     2   3
        (a+b) =1a +3a b+3ab +1b        1 3 3 1
  (a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4     1 4 6 4 1
                                   1 5 10 10 5 1
                                 1 6 15 20 15 6 1

   Auch kann man Elemente der Kombinatorik im Pascal’schen Dreieck wieder finden.
   So kann man in Zeile x die Anzahl von Möglichkeiten ablesen um y Elemente aus
   einer Menge von x Elementen zu selektieren.
   Beispiel: Zeile 4




                                             9
Tausendundeine Koinzidenz                                                                                                                   Vera Leis und Katharina Claus



   Die 4. Zeile enthält die Zahlen 1,4,6,4,1. Diese fünf Zahlen zeigen die Anzahl der
   Möglichkeiten um aus einer Menge von 4 Elementen y Elemente zu selektieren.
   Definieren wir die Menge mit M={a,b,c,d}
   1: ist die Anzahl von Möglichkeiten aus 4 Elementen 0 auszuwählen. Hier gibt es nur
   eine einzige Möglichkeit, nämlich gar keins auszuwählen, also die leere Menge { }
   4: ist die Anzahl von Möglichkeiten aus 4 Elementen 1 auszuwählen. Hier gibt es
   folgende Möglichkeiten: (a), (b), (c) oder (d)
   6: ist die Anzahl von Möglichkeiten aus 4 Elementen 2 auszuwählen. Hier gibt es
   folgende Möglichkeiten: (a,b) (a,c) (a,d) (b,c) (b,d) (c,d)
   4: ist die Anzahl von Möglichkeiten aus 4 Elementen 3 auszuwählen. Hier gibt es
   folgende Möglichkeiten: (a,b,c) (b,c,d) (a,c,d) (a,b,d)
   1: ist die Anzahl von Möglichkeiten aus 4 Elementen 4 auszuwählen. Hier gibt es nur
   die eine Möglichkeit, nämlich alle zu wählen, also (a,b,c,d)




   3.5 Muster im Pascal’schen Dreieck


   3.5.1 Teibarkeitsbeziehungen im Pascal’schen Dreieck
   Das Pascal’sche Dreieck beinhaltet viele verschiedene Muster und Besonderheiten.
   Auf einige werde ich nun näher eingehen.
   Als erstes habe ich mich mit den Teilbarkeitsbeziehungen im Pascal’schen Dreieck
   beschäftigt. So ergeben sich, zumindest für die Zahlen 2 bis 7 immer Dreiecke wenn
   man die, durch die jeweilige Zahl teilbaren Felder markiert. Zwar sind manchmal auch
   nur einzelne Felder markiert, jedoch bildet jedes dieser Felder mit zwei anderen
   markierten ein Dreieck. Das besondere an diesen Dreiecken ist, dass diese nicht wie
   das Pascal’sche Dreieck mit der „Spitze“ nach oben entstehen, sondern die Spitze
   jeweils unten haben.


                                                                                     1
                                                                               1           1
                                                                         1           2           1
                                                                   1           3           3           1
                                                             1           4           6           4           1
                                                       1           5           10          10          5           1
                                                 1           6           15          20          15          6           1
                                            1          7           21          35          35          21          7          1
                                       1         8           28          56          70          56          28          8         1
                                  1         9          36          84          126         126         84          36         9         1
                             1         10        45          120         210         252         210         120         45        10        1
                         1        11        55         165         330         462         462         330      1  165        55        11
                     1       12        66        220       792
                                                             495   924     792     495     220      66      12      1
                1       13      78     286     715     1287    1716    1716    1287    715     286      78      13     1
             1      14      91     364     1001    2002    3003    3432    3003    2002    1001    364      91      14    1
         1      15     105     455     1365    3003    5005    6435    6435    5005    3003    1365    455     105     15                                  1
     1       16    120     560     1820    4368    8008 11440 12870 11440 8008             4368    1820    560     120    16                                   1


   Markiert sind alle Zahlen                           x ≡ 0 mod 2



                                                                                         10
Tausendundeine Koinzidenz                                                                                                           Vera Leis und Katharina Claus


                                                                                      1
                                                                                1           1
                                                                          1           2           1
                                                                    1           3           3           1
                                                              1           4           6           4           1
                                                        1           5           10          10          5               1
                                                  1           6           15          20          15          6                 1
                                            1           7           21          35          35          21              7               1
                                       1          8           28          56          70          56          28                8               1
                                  1         9           36          84         126         126          84          36                  9               1
                             1         10         45         120         210         252         210         120             45              10                 1
                         1        11        55         165         330         462         462
                                                                                             1         330          165              55              11
                     1       12        66       495
                                                 220   792  924  792  495  220     66    12      1
              1       13      78     286    715    1287 1716 1716 1287 715     286    78     13     1
           1      14      91     364    1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364           91      14    1
         1    15     105     455    1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455             105     15    1
     1     16    120     560     1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560            120    16                                                               1

   Markiert sind alle Zahlen                     x ≡ 0 mod 3


                                                                                     1
                                                                               1           1
                                                                         1           2           1
                                                                   1           3           3           1
                                                             1           4           6           4           1
                                                       1           5           10          10          5           1
                                                 1           6           15          20          15          6              1
                                            1          7           21          35          35          21          7                1
                                       1         8           28          56          70          56          28             8               1
                                  1         9          36          84          126         126         84          36               9               1
                             1         10        45          120         210         252         210         120            45              10              1
                         1        11        55         165         330         462         462
                                                                                             1         330         165              55              11
                    1        12        66       495
                                                 220   792  924  792  495  220     66    12      1
              1       13      78     286    715    1287 1716 1716 1287 715     286    78     13     1
           1      14      91     364    1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364           91      14    1
         1    15     105     455    1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455             105     15    1
     1     16    120     560     1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560            120    16                                                           1

   Markiert sind alle Zahlen                     x ≡ 0 mod 4


                                                                                      1
                                                                                1           1
                                                                          1           2           1
                                                                    1           3           3           1
                                                              1           4           6           4           1
                                                        1           5          10          10           5           1
                                                  1           6          15          20          15           6             1
                                            1           7          21          35          35          21           7               1
                                       1          8          28          56          70          56          28             8               1
                                  1         9          36          84          126         126         84          36               9               1
                             1         10        45          120         210         252         210         120            45              10              1
                         1        11        55         165         330         462         462         330 1       165              55              11
                    1        12        66         495
                                                 220     792    924    792    495     220      66      12      1
                1       13      78     286    715    1287   1716   1716   1287    715     286      78      13     1
             1      14      91     364    1001   2002   3003   3432   3003   2002    1001     364      91      14    1
         1      15     105     455    1365   3003    5005   6435   6435   5005   3003    1365     455     105     15    1
     1       16    120     560     1820   4368   8008 11440 12870 11440 8008         4368    1820     560     120    16                                             1


   Markiert sind alle Zahlen                     x ≡ 0 mod 5




                                                                               11
Tausendundeine Koinzidenz                                                                                                                                                                 Vera Leis und Katharina Claus


                                                                                                                  1
                                                                                                          1                1
                                                                                                 1                2                    1
                                                                                        1                 3                3                       1
                                                                               1                 4                6                    4                       1
                                                                       1                5                10               10                       5                   1
                                                               1               6                15                20               15                          6                 1
                                                       1               7                21               35               35                   21                      7                 1
                                               1               8               28               56                70               56                      28                    8                1
                                       1               9            36                  84            126              126                     84                   36                   9                1
                               1            10              45             120               210              252              210                         120               45                10                  1
                         1          11              55             165              330      1        462              462                     330                  165               55                  11
                     1        12            66  495    792 220
                                                            924  792  495  220     66    12      1
              1       13      78     286    715    1287 1716 1716 1287 715     286    78     13     1
           1      14      91     364    1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364           91      14    1
         1    15     105     455    1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455             105     15    1
     1     16    120     560     1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560            120    16                                                                                                                          1

   Markiert sind alle Zahlen                                x ≡ 0 mod 6


                                                                                                              1
                                                                                                      1                1
                                                                                             1                2                    1
                                                                                    1                 3                3                       1
                                                                            1                4                6                    4                       1
                                                                    1               5                10                10                      5                   1
                                                            1               6                15               20               15                          6                 1
                                                    1               7               21               35                35                  21                      7                 1
                                            1               8              28                56               70               56                      28                    8                1
                                    1               9              36               84               126              126                  84                      36                9                1
                               1           10              45              120              210               252              210                     120                 45                10                1
                         1         11              55              165              330              462              462                  330                     165               55               11               1
                     1        12           66              220             495              792               924      1       792                     495                 220               66               12
                 1       13        78              286 1287    1716715 1716    1287     715      286       78      13     1
             1      14      91     364     1001    2002    3003    3432    3003    2002     1001     364       91      14    1
         1      15     105     455     1365    3003    5005    6435    6435    5005    3003     1365      455     105     15                                                                                               1
     1       16    120     560     1820    4368    8008   11440 12870 11440        8008     4368     1820     560     120    16                                                                                                1


   Markiert sind alle Zahlen                                x ≡ 0 mod 7


                                                                                                              1
                                                                                                     1                1
                                                                                            1                 2                1
                                                                                    1                3                3                    1
                                                                           1                4                 6                4                       1
                                                                   1                5                10             10                     5                   1
                                                           1               6                15             20               15                         6                 1
                                                   1               7               21                35             35                 21                      7                 1
                                           1               8               28               56             70               56                     28                    8                1
                                   1               9               36              84            126              126                  84                      36                9                1
                              1            10              45           120              210              252              210                     120                  45                10               1
                         1         11              55           165             330              462       1      462                  330                     165               55               11
                     1        12           66     495    792
                                                        220     924    792    495     220      66      12      1
                1       13      78     286    715    1287   1716   1716   1287    715     286      78      13     1
             1      14      91     364    1001   2002   3003   3432   3003   2002    1001     364      91      14    1
         1      15     105     455    1365   3003    5005   6435   6435   5005   3003    1365     455     105     15    1
     1       16    120     560     1820   4368   8008 11440 12870 11440 8008         4368    1820     560     120    16                                                                                                        1


   Markiert sind alle Zahlen                                x ≡ 0 mod 1001




   3.5.2 Fibonacci-Zahlen


   Die Fibonacci-Zahlen können wie folgt gebildet werden:




                                                                                                          12
Tausendundeine Koinzidenz                                                      Vera Leis und Katharina Claus



                                                                                   1.       1
          1=1                                                                      2.       1
          1+1=2                                                                    3.       2
             1+2=3                                                                 4.       3
              2+3=5                                                                5.       5
               3+5=8                                                               6.       8
                  5+8=13                                                           7.       13
                   …                                                               8.       21
                                                                                   9.       34
                                                                                10.         55

   Man beginnt also mit 1=1. Dann nimmt man die beiden letzten Zahlen und addiert sie.
   Die Summe ist dann die nächste Fibonacci-Zahl. Dann nimmt man wieder die beiden
   letzten Zahlen und addiert sie und so weiter.
   Im Pascal’schen Dreieck kann man Diese Zahlen finden, wenn man das Dreieck wie
   in der Abbildung coloriert.


                                                 1         1
                                          1          1         1
                                     2        1            2        1
                                3        1           3         3         1
                          5         1         4            6        4          1
                    8          1         5           10        10        5              1
              13          1         6         15          20        15         6             1
         21        1           7         21          35        35        21             7        1
    34        1           8         28        56          70        56         28            8       1

   Nun errechnet man die Summe der Treppchen mit der gleichen Farbe von rechts oben
   nach links unten.
   Das heißt man beginnt mit der roten 1. Weiter nach links unten gibt es kein rotes
   Kästchen mehr. Die erste Zahl ist also 1. Bei der zweiten (gelb) erhalten wir auch 1.
   Dann rechnen wir die blaue Treppe (1+1=2). Dann die grüne Treppe (2+1=3). Rot:
   1+3+1=5,        gelb       3+4+1=8,    blau       1+6+5+1=13,        grün   4+10+6+1=21           und   rot
   1+10+15+7+1=34. Das kann man bis ins unendliche so weiter betreiben.




                                                      13
Tausendundeine Koinzidenz                                                                                                          Vera Leis und Katharina Claus



   3.5.3 Figurierte Zahlen



               Natürliche Zahlen                                                     1
                                                                               1           1
                Dreieckszahlen                                           1           2           1
                                                                   1           3           3           1
                Tetraederzahlen                              1           4           6           4           1
                                                       1           5           10          10          5           1
                                                 1           6           15          20          15          6           1
                                            1          7           21          35          35          21          7          1
                                       1         8           28          56          70          56          28          8          1
                                   1        9          36          84          126         126         84          36         9         1
                             1         10        45          120         210         252         210         120         45        10        1
                         1        11        55         165         330         462         462 1       330         165        55        11
                     1       12        66         495
                                                 220     792  924  792  495  220     66    12      1
                1       13      78     286    715    1287 1716 1716 1287 715     286    78     13     1
             1      14      91     364    1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364           91      14    1
           1    15     105     455    1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455             105     15    1
      1      16    120     560     1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560            120    16                                                1




   3.5.3.1 Dreieckszahlen


   Dreieckszahlen bezeichnen die Anzahl der Punkte, die notwendig sind um ein
   gleichseitiges Dreieck in gleichmäßigen Abständen auszufüllen. Die Form für die
   Berechnung der Dreieckszahlen lautet:



                                                                                                                 n(n  1)
                                                Form der Dreieckszahlen:
                                                                                                                    2
          Und jede Dreieckszahl ist die Summe aufeinander folgender natürlicher Zahlen,
                                          d.h. 1+2+ …+n



Beweis der Formel für die Dreieckszahlen mittels Vollständiger Induktion


                                            n(n  1)
Behauptung: 1  2  ...  n                         für alle n  
                                               2
Beweis:
                                                        1(1  1) 2
          Induktionsanfang: n=1 1                               1                              ist wahr
                                                           2     2
          Induktionsschritt:
                                                                                                                                        n(n  1)
            Induktionsvorraussetzung: Für n   gelte 1  2  ...  n 
                                                                                                                                           2
                                                                                (n  1)(n  2)
            Zu zeigen: 1  2  ...  n  n  1 
                                                                                      2


                                                                                14
Tausendundeine Koinzidenz                                            Vera Leis und Katharina Claus




   1  2  ...  n  (n  1) 

Unter Benutzung der IV

    n(n  1)             n(n  1)  2(n  1) n ²  n  2n  2
              (n  1)                                      
       2                          2                  2
Verwendung des Kommutativgesetzes


    n²  2n  n  2 (n  1)(n  2)
                   
           2               2                                                          qed.




   Weitere interessante Dinge über Dreieckszahlen:
   Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von maximal drei Dreieckszahlen
   darstellen, so ist z.B.       51=15+36
                                 83=10+28+48
                                 12=1+1+10



                                     Die ersten 15 Dreieckszahlen

                       1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120



    Aufgabe: Zerlegt die Zahlen 35 und 63 in maximal drei Dreieckszahlen.
               Lösung            35 = 28 + 6 + 1
                                 64 = 55 + 6 + 3


   Folglich sind auch die Quadratzahlen als Summe von Dreieckszahlen darstellbar.
   Hierbei ist jedoch auffällig, dass die Summe jeweils aus zwei benachbarten
   Dreieckszahlen besteht, wie z. B.           1 + 3 = 4 = 2²
                                               3 + 6 = 9 = 3²
                                               6 + 10 = 16 = 4² usw.




   3.5.3 2. Tetraederzahlen
   Die Tetraederzahlen sind (geometrisch gesehen) die räumliche Erweiterung der
   Dreieckszahlen. Sie besitzen die Form:




                                               15
Tausendundeine Koinzidenz                                            Vera Leis und Katharina Claus




       Tetraederzahlen sind die Summe der ersten n Dreieckszahlen




   Die ersten Tetraederzahlen sind somit: 1, 4, 10, 20, 35,…
   Benutzt werden die Tetraederzahlen bei der Aufschichtung von kugelförmigem Obst
   zu einer Pyramide. Jedoch geschieht dies eher unbewusst, als das sich der Verkäufer
   vorher hinsetzt und genau berechnet, wie viel Orangen oder ähnliches er für den
   Tetraeder benötigt.




   3.6 Berechnen einer bestimmten Position im Pascal’schen Dreieck


   Die allgemeine Formel für die r-te Zahl in der n-ten Reihe lautet


          n                        n!                  n(n-1)*(n-2)*…*(n-r+1)
          r                  r! (n-r)!                 r(r-1)*(r-2)*…*3*2*1
   Dabei steht „r“ für die Zahlen der n-ten Zeile von 0 bis n.
    „n“ bezeichnet die 0-te bis n-te Zeile.
                                                                                        6
   Zur Verdeutlichung: In der 6.Zeile steht an Stelle r=1 die 6 (nicht die 1) also:    6
                                                                                    1 
                                                                                        
   Das Pascal’sche Dreieck ist zwar über die Addition definiert, aber in der Formel
   kommen nur Multiplikation und Division vor, was doch etwas merkwürdig ist. Es
   können daher unerwartete Eigenschaften auftreten, die mit Addition nichts zu tun
   haben.


   Sei n eine Primzahl, dann sind alle Einträge in der n-ten Zeile außer dem nullten und
   dem letzten durch n teilbar
   Beispiel: Zeile 5: 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1
   Alle Einträge außer dem ersten (nullten) und dem letzten (beidesmal 1) sind durch 5
   teilbar.
   Der Zähler des Bruches ist n*(n-1)*(n-2)*…*(n-r+1) und enthält offensichtlich den
   Primfaktor n. Das gilt nicht, wenn r=0, dann ist der Ausdruck als leeres Produkt zu
                                                3     3!    3 * 2 *1
   interpretieren und hat den Wert 1. Bsp:   
                                                                      1
                                                 0   0!*3! 1* 3 * 2 *1




                                                 16
Tausendundeine Koinzidenz                                             Vera Leis und Katharina Claus



   Der Nenner ist r*(r-1)*(r-2)*…*3*2*1. Aus r<n folgt dann, dass keine Zahl im Nenner
   einen gemeinsamen Teiler mit n hat, denn n ist eine Primzahl. Also kann der Faktor n
                                                        n
   sich im Zähler nicht herauskürzen und somit ist   selbst durch n teilbar.
                                                   r 
                                                         
                 5   5* 4*3            5* 2
   Beispiel:   
              3  3 * 2 *1  ( gekürzt) 1       10 Die 5 also das n lässt sich nicht
              
   herauskürzen.




   3.6 Welche Zahl kommt wie oft und welche kommt am häufigsten im
   Pascal’schen Dreieck vor?
   Eine immer noch ungeklärte Frage ist „Wie oft kann eine Zahl im Pascal’schen
   Dreieck vorkommen?“
   Beispiel: Die 6 kommt 3mal vor 2mal in Zeile 6 und 1mal in der Mitte von Zeile 4
    6  6  4
      6
   1   5   2 
        
   Die 1 ist die einzige Zahl, die unendlich oft im Pascal’schen Dreieck vorkommt,
   nämlich einmal an der Spitze und dann in jeder Zeile zweimal.
   Die einzige Zahl, die nur ein einziges Mal auftaucht ist die 2, denn jede andere Zahl
   steht mindestens zweimal schon in der eigenen Zeile.
   Viele Zahlen kommen im Pascal’schen Dreieck doppelt vor. Das liegt daran, dass die
   Zeilen palindromisch aufgebaut sind, was bedeutet, dass man sie vorwärts und
   rückwärts lesen kann.
   Die erste und die vorletzte Zahl in Zeile n ist n.
   Jede Zahl, die nicht genau in der Mitte einer Zeile steht, kommt daher 2mal in dieser
   Zeile vor.
   Jede Zahl, die weder an erster oder vorletzter Stelle, noch in der Mitte steht, kommt
   mindesten 4mal vor.
                                   6     6                15     15 
   Beispiel: 15 steht an Position  und   aber auch  und  
                                   2    4          1    14 
                                                                    


   Wir wissen also, dass unendlich viele Zahlen mindestens 4mal vorkommen. Keine
   Zahl scheint erheblich häufiger aufzutreten.
   Singmaster fand heraus, dass unter den Zahlen bis 248 nur eine einzige Zahl 8mal
   vorkommt und jede andere weniger oft. Seine Vermutung war daraufhin, dass 8 als
   Höchstzahl für das Vorkommen im Pascal’schen Dreieck gelten könnte. Er folgerte,


                                                17
Tausendundeine Koinzidenz                                              Vera Leis und Katharina Claus



   dass die Anzahl der Male, die eine Zahl auftreten kann generell durch eine Konstante
   k beschränkt ist (global beschränkte Häufigkeit). Die Daten legen k=8 nahe.


   Die 8mal vorkommende Zahl ist 3003 und der Grund für das 8fache Auftreten hängt
   mit der Faktorisierung von 1001 zusammen. (3003=3*1001)
   Wir entdecken in den Zeilen 14 bis 16 folgendes Muster:



         Zeile 14:                 1001              2002          3003
         Zeile 15:                          3003             5005
         Zeile 16 :                                  8008

   Zeile 14 ist die einzige Zeile im Pascal’schen Dreieck, in der drei aufeinander folgende
   Einträge im Verhältnis 1:2:3 stehen.
   Der gemeinsame Faktor der sechs Einträge ist 1001. Wenn man die 1001 aus den
   Zahlen herausdividiert, erhält man die Fibonacci-Zahlen 1,2,3,5,8, was mit der
   additiven Struktur des Pascal’schen Dreiecks zusammenhängt.


                                                     14      15 
   3003 kommt in diesen Zeilen 4mal vor: bei  und   und weil die Anordnung
                                             6    5 
                                                   
                                                                                   14     15 
   palindromisch ist auch in den gleichen Zeilen auf der anderen Seite bei 
                                                                                      und  
                                                                                           10 
                                                                                   8       
                                                              3003     3003
   Außerdem steht die 3003 noch 2mal in Zeile 3003           
                                                             1          3002
                                                                   und 
                                                                             
                                                                           
   Also haben wir die 3003 bereits 6mal entdeckt.
                              78      78 
   Die restlichen 2mal sind 
                                 und  
                                       76 
                             2        
   Das ist eine Koinzidenz, die darauf beruht, das die Primfaktor von 1001=7*11*13.


   Wenn in irgendeiner Zeile im Pascal’schen Dreieck Zahlen im Verhältnis 1:2:3
   auftreten, tritt die dritte Zahl auch eine Zeile tiefer nocheinmal auf.
   a 2a 3a            a+2a=3a     also steht die 3a noch mal im Kästchen, das sich aus a
   und 2a zusammensetzt. Also:        a 2a 3a
                                       3a
   Da die Zeilen palindromisch sind, kommt 3a 2mal vor (in beiden Zeilen) also 4mal und
   noch 2mal in Zeile 3a also zusammen 6mal.
                                                18
Tausendundeine Koinzidenz                                             Vera Leis und Katharina Claus




   Nehmen wir an, 3a sei zusätzlich eine Dreieckszahl (Summe aufeinander folgender
   natürlicher Zahlen) 1+2+…+m. Diese Zahlen sind genau die Binomialkoeffizienten
    m  1
   
   2      Dann kommt 3a in Zeile m+1 noch 2mal vor. Also insgesamt 8mal.
          
         
                    14    14    14 
   Die Positionen 
                       
                            
                            5      
                                    6 
                    4            
                   14  14 *13 *12 *11          7 *13 *11
   In der Formel: 
                      
                                       gekürzt:            7 *11*13
                   4     4 * 3 * 2 *1              1

                  14                                   14 
   Die Position   erhält man wenn man bei   den Zähler noch mal10 und den
                5                         4 
                                           
                                                         14  14 *13 *12 *11*10
   Nenner       mal5        nehmen.         Also:         
                                                         5                              gekürzt:
                                                                5 * 4 * 3 * 2 *1

    7 *13 *11* 2                  14 
                  2 * 7 *11*13    * 2
                                  4 
         1                         
   14                         14 
     erhält man, wenn man bei   den Zähler noch mal9 und den Nenner mal6
   6                          5 
                               
                                              14  14 *13 *12 *11*10 * 9
   nimmt.                 Also:                
                                              6                                         gekürzt:
                                                     6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1

    7 *13 *11* 3                  14      14  3
                  3 * 7 *11*13    * 3    *
                                  4       5  2
         1                                 


   Singmasters Vermutung über die global Beschränkte Häufigkeit zu beweisen oder zu
   widerlegen ist schwierig und bisher hat noch keiner auch nur einen Ansatz gefunden.


   Die einzigen nichttrivialen Wiederholungen bis 248
   Hierbei handelt sich um das wiederholte Auftreten einer Zahl im Pascal’schen Dreieck,
   dass nicht daraus resultiert, dass der Aufbau palindromisch ist oder dass jede Zahl n
   in Zeile n vorkommt.




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Tausendundeine Koinzidenz                                            Vera Leis und Katharina Claus



         16  10 
   120      
          2  3 
            
          21 10 
   210      
         2  4 
            
            56   22 
   1540      
            2  3 
              
           120   36 
   7140   2   3 
                   
                  
             153 19 
   11628    2   5 
                    
                   
              221 17 
   24310    2   8 
                    
                   
            78  15  14 
   3003         
            2  5  6 
                
   Singmaster hat bewiesen, dass es unendlich viele Zahlen gibt, die mindestens 6mal
   im Pascal’schen Dreieck stehen.


             104 103
   Beispiel: 
                 
                         61.218.182.743.304.701.891.431.482.520
                         
              39   40 
   Dies ist noch eine der kleinsten Zahlen, die man mit Singmasters Methode findet. Sie
   taucht genau 6mal auf. Vielleicht kommt manch größere Zahl noch öfter vor.




   Versuchen wir nun die Zahl 3003 als Dreieckszahl darzustellen. Zunächst einmal
   wissen wir aufgrund der Primfaktorzerlegung, dass
                                    3003  3 *1001  3 * 7 *11*13
   Multiplizieren   wir     jetzt   jeweils   zwei   Faktoren   miteinander,     aufgrund     des
   Kommutativgesetzes dürfen wir auch die Reihenfolge der Faktoren vertauschen,
   erhalten wir:
                                    3003  7 *11* 3 *13  77 * 39
   Multiplizieren wir nun die 39 mit 2 erhalten wir 78 als Ergebnis.
                                              78 77 * 78 77(77  1)
                                3003  77 *            
                                              2     2        2
                                                         n(n  1)
    3003 ist eine Dreieckszahl, da sie in der Form               darstellbar ist.
                                                            2




                                                20
             Tausendundeine Koinzidenz                                      Vera Leis und Katharina Claus



                4. Stirling’sches Dreieck


                Im Stirling’schen Dreieck steht wie im Pascal’schen an der Spitze und immer links und
                rechts außen die 1. Jede andere Zahl bildet die Summe der Zahl links darüber und
                dem Doppelten der Zahl rechts darüber. Die Zeilen sind nicht palindromisch.




                                                              1
                                                         1          1
                                                   1          3            1
                                              1          7          5             1
                                         1         15         17           7              1
                                1             31         49         31            9              1
                            1            63        129        111         49            11                  1
                    1           7             21         35         35           21              7               1
            1               8
                5. Bernoullisches Dreieck28        56         70          56            28                  8        1
       1            9           36            84
                                        126 126              84      36        9
                Das Bernoullische Dreieck berechnet man wie das Pascal’sche Dreieck. Rechts

   1                steht  statt der
                                     210 252 Die Zeilen 120
         10 außen 45 aber 120 1 stets eine Potenz von 2. 210 sind daher nicht
            palindromisch.
                                                                            45    10
      11    55 165 330 462 462 330 165                                         55
   12    66 220 495 792 924 792 495 220        1                                  66
3     78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286
                                         1            2
   91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 36
                                      1        3           4
5 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365
                                  1      4            7       8
  560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 182
                           1          5        11         15      16
                                1             6          16         26             31               32
                        1            7             22         42           57              63                   64
                1               7             21         35
                                                         21
                                                                    35             21                7               1
Tausendundeine Koinzidenz                                       Vera Leis und Katharina Claus




   6. Literaturverzeichnis


   “Blaise Pascal” auf www.wikipedia.de


   www.walter-fendt.de/m11d/pascaldreieck.htm


   http://webverzeichnis.tutorials.de/cat/Science/Math/Recreations/


   http://www.madeasy.de/2/pascal.htm




                                           22

				
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