Resolucion de Ejercicios Matematicos 2

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Resolucion de Ejercicios Matematicos 2 Powered By Docstoc
					http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/como2.htm
¿Qué implica resolver un problema?
La expresión "Resolución de Problemas" fue introducida por matemáticos pero actualmente no
se limita tan solo al ámbito de la matemática sino que constituye algo mucho más abarcativo.
Los problemas son situaciones nuevas que requieren que la gente responda con
comportamientos nuevos. Casi permanentemente enfrentamos "problemas" en nuestra vida
cotidiana.
Resolver un problema implica realizar tareas que demandan procesos de razonamientos más o
menos complejos y no simplemente una actividad asociativa y rutinaria.
¿Cómo resolver problemas?
La pregunta que nos planteamos no es de fácil respuesta como lo marca, en buena medida,
nuestra experiencia.
Creemos que no sólo afecta a la enseñanza de esta disciplina sino a otras pues, entre las
primeras dificultades con las que se enfrenta el alumno, están incluidas tanto la lectura y
comprensión de un texto como el planteo de una situación problemática sea cual fuere el tema
del que se trate.
La simbolización de un problema es un aprendizaje constructivo, por lo tanto individual y distinto,
en el cual cada uno utiliza sus propias estrategias.
La incorporación de nuevas formas de resolución de problemas crea un conflicto con los viejos
conocimientos, y por ello se tiende a rechazarlas.
Ayudar a desarrollar capacidades y aptitudes en los alumnos para que éstos puedan resolver
con éxito situaciones problemáticas de distinta índole es, quizá, uno de nuestros más
complicados desafíos.
Dada entonces una situación problemática en particular, el objetivo radica en establecer cómo
se la puede caracterizar, con el propósito de intentar modelizarla, cómo se la puede definir en
términos de problemas y cómo, encontrada la metodología de la resolución específica, se llega
al modelo.
Cuando los problemas que se resuelven son matemáticos o juegos, se tiene la posibilidad de
adquirir metodologías de razonamiento permanentes, explicitadas mediante estrategias
conducentes a modelizar tales situaciones.
Esto permite aprovechar los mecanismos de resolución y reutilizarlos en nuevas problemáticas.
Por lo tanto, resulta de valorable importancia disponer de un gran número de estrategias o saber
generarlas, tales que, conocidas y comprendidas las disciplinas implícitas, se intente
transferirlas a los efectos de poder hallar solución al problema.
En general tales estrategias corresponden más a procedimientos heurísticos (tentativas
asistemáticas para acercarse a una solución) que a procedimientos algorítmicos.
Las partes de un problema.
Según una buena parte de los autores que se han dedicado al tema, la resolución de problemas
consta de tres etapas o procesos.
Etapa inicial o inicio de presentación ( I ) :
Consiste en comprender el problema familiarizándose con él lo más posible. Supone la
identificación, el análisis y la interpretación de los datos disponibles inicialmente. Requiere de
una suficiente atención dedicada al problema para activar y estimular la memoria y prepararla
para recoger los puntos importantes en pos de una idea útil. Supone la determinación de esta
idea.
Momento de Producción ( O ) :
Se trata de la ejecución de un plan, aquel al que la "idea feliz" dio inicio y que, en principio,
permite la obtención de la solución al problema.
Comprende un conjunto de operaciones o transformaciones diversas a saber:
Recuperación de la información almacenada en la memoria a largo plazo.
Exploración de la información ambiental.
Transformaciones en la memoria a corto plazo.
Almacenamiento de información intermedia en la memoria a largo plazo.
Eventual alcance de una solución.
Etapa de Enjuiciamiento, Verificación o Contrastación ( C ) :
En esta etapa se evalúa la solución generada contrastándola con el criterio de solución
empleado, estableciendo el correcto enlace de todos los operadores, desde el I, pasando por el
O hasta llegar al C.
En consecuencia, un "problema" puede formalizarse como la terna ordenada de la forma P = (I,
O, C ).
Así, "resolver problemas" equivale a incorporar modos de búsqueda para la satisfacción de
situaciones particularmente comprendidas, las cuales pueden corresponder a la vida cotidiana o
a problemas que no tengan, directamente, que ver con ésta.
Al hablar de inteligencia se suele frasear que "quien más sabe más posibilidades de aprender
tiene". La explicación de esta frase permite conciliar el aprendizaje de metodologías
(estrategias) de resolución de problemas con situaciones prticulares, pues el concepto de "quien
más sabe"está ligado a métodos de razonamiento y no a particulares estados
Una posible clasificación de los problemas.
Supongamos que el objetivo consiste en resolver el problema p 1, y que el problema p2 ya ha
sido resuelto.
Varios autores establecen la siguiente taxonomía para relacionar entre sí dos problemas:
A. El problema p1 no está relacionado con el p2, o bien p1 y p2 no tienen elementos en común. La
estrategia de resolución de p2 no nos servirá.
B. El problema p1 es equivalente al p2, entonces p1 y p2 son isomorfos y la manera en que
resolvimos p2 nos servirá para resolver p1.
C. El problema p1 es similar al p2, entonces p1 tiene elementos en común con p2, por lo tanto son
análogos. En este caso puede darse que:

   1. p1 y p2 tengan la misma dificultad.
   2. p1 sea más simple que p2.
   3. p1 sea más complejo que p2.

      La estrategia de resolución para p2 podrá orientarnos en mayor o menor medida,
      según se dé el caso 1), 2) o 3).

D. El p1 es un caso especial del p2, entonces decimos que p1 está incluido en p2. El p1
constituye un caso particular del p2 y, por ende, ya está resuelto.

E. El p1 es una generalización del p2, entonces decimos que p1 incluye al p2. El p1 podrá,
posiblemente, ser resuelto usando el p2 como parte del conjunto de estrategias a utilizar.

http://www.xtec.es/~jcorder1/problema.htm

Hay una diferencia básica entre el concepto "problema" y "ejercicio". No es lo mismo hacer un
ejercicio que resolver un problema. Una cosa es aplicar un algoritmo de forma más o menos
mecánica, evitando las dificultades que introduce la aplicación de reglas cada vez más
complejas, y otra, resolver un problema, dar una explicación coherente a un conjunto de datos
relacionados dentro del contexto. La respuesta suele ser única, pero la estrategia resolutoria
está determinada por factores madurativos o de otro tipo.
  La estrategia de resolución de problemas es mucho más rica que la aplicación mecánica de un
algoritmo, pues implica crear un contexto donde los datos guarden una cierta coherencia. Desde
este análisis se han de establecer jerarquías: ver qué datos son prioritarios, rechazar los
elementos distorsionadores, escoger las operaciones que los relacionan, estimar el rango de la
respuesta, etc.

  Una parte importante de los errores en la resolución de problemas son las dificultades de
comprensión lectora. La tendencia de operar todos los datos presentados, venga o no a cuento,
certifica esta falta de comprensión global. Por otra parte, los alumnos resuelven mejor los
problemas si alguien se los lee que si los lee el mismo. Ello constituye un error pedagógico muy
frecuente, porque cuanto más facilitemos los adultos el aprendizaje, menor será el esfuerzo del
niño por aprender y por tanto menor será el aprendizaje.

  No todos los alumnos llegan a comprender los contenidos matemáticos fijados en los
curriculums oficiales de la enseñanza obligatoria: unos no pueden y a otros no les interesan lo
más mínimo..., pero a todos les será necesario un cierto dominio en la comprensión de órdenes
escritas y una cierta fluidez en la utilización de conceptos básicos tan necesarios para su futura
ocupación laboral como para su vida.

  El niño dedica muy poco tiempo a la resolución de un problema. La dificultad no conlleva
significativamente más tiempo de dedicación a resolverlo. En parte ello es consecuencia de la
falta de hábitos en esforzarse por conseguir las propias metas. Es una obviedad, no sólo que no
disfrutan ante los retos intelectuales sino, que no estan dispuestos a "malgastar" el tiempo
pensando. Sería conveniente intentar romper este círculo vicioso y hacerles disfrutar de los
resultados logrados a través del esfuerzo y dedicación.

  El aprovechamiento de la actividad mental como elemento dinamizador de la práctica docente
ha de tomar cuerpo a medida que el sistema educativo se generaliza a todos. Lo que servía en
la secundaria pre-LOGSE: el BUP, voluntario y selectivo, deja de ser válido cuando en las aulas
coexisten una disparidad de niveles académicos tal, que la mayoría de las veces imposibilitan la
magistralidad del profesor. Dicha práctica ha de ser utilizada con menos frecuencia y ha de dar
paso a otras formas de organización del aula, complementarias y alternativas a las existentes.

  Ya son unos cuantos años los que, en la medida de nuestras posibilidades, llevamos poniendo
en práctica estas reflexiones sobre la enseñanza de las matemáticas, tanto desde la faceta de
profesor como desde la faceta de padre. El material que se ha ido construyendo poco a poco,
por ensayo error, a lo largo de más de una década, con depuraciones sucesivas, puede ser
ojeado. Si tienes interés en estos temas, puedes ampliar esta información.

http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-003.htm
Resolución de situaciones problemáticas
    Es frecuente encontrar en nuestros alumnos dificultades para resolver situaciones
problemáticas. Por eso, a lo largo de los años he ido buscando la forma de guiarlos en esta
tarea, y quiero compartir con todos ustedes una parte del material que presento a mis alumnos
al comenzar el año. Este material puede ser empleado en los distintos niveles con la adaptación
que cada uno de ustedes considere necesaria.
    La resolución de problemas presenta 5 dificultades:
ANALIZAR EL ENUNCIADO
Lectura comprensiva: subrayar las palabras más significativas del enunciado pues lo primero
que debemos encontrar son las palabras que dan las ordenes. Es evidente que no todos los
enunciados necesitan del subrayado, pero sí de un cuidadoso desarrollo paso a paso como se
muestra en los ejemplos que entrego luego de la tabla.
EXPRESARLO EN LENGUAJE SIMBÓLICO
Las ecuaciones sirven a menudo para resolver problemas. Es así como de la misma forma en
que podemos traducir una expresión de un idioma a otro, debemos ser capaces de traducir los
enunciados en símbolos matemáticos para poder pasar al siguiente paso.
IMPORTANTE: La variable puede estar representada por cualquier letra, por costumbre,
solemos usar "x".
RESOLVER LA ECUACIÓN CORRESPONDIENTE
VERIFICAR SI EL RESULTADO OBTENIDO SATISFACE LAS CONDICIONES DEL
PROBLEMA
DAR LA RESPUESTA
Traducir el resultado obtenido al lenguaje coloquial, expresándolo por escrito.
    Muchos alumnos encuentran dificultad justamente al convertir los símbolos matemáticos al
lenguaje coloquial y viceversa, y ésto les complica la resolución de problemas. Siempre doy a
mis alumnos una tabla con algunas equivalencias, y los insto a que la consulten detenidamente
cada vez que sea necesario.
TABLA DE AYUDA PARA PLANTEAR ECUACIONES
        LENGUAJE COLOQUIAL                         LENGUAJE SIMBÓLICO

        Un número

        El duplo, el doble de un número

        La mitad de un número


        Un número disminuido en...

        El antecesor, el anterior de un número

        El sucesor, el consecuente, el siguiente
        de un número
        El opuesto de un número

        Números consecutivos

        Un número par

        Números pares consecutivos

        Un número impar

        Números impares consecutivos

        El triple de un número
        El cuádruplo de un número

        La tercera parte, el tercio de un número


        La cuarta parte de un número


        La quinta parte de un número


        El cuadrado de un número

        El cubo de un número

        El cuadrado del siguiente de un número

        El cubo del siguiente de un número

        La raíz cuadrada de un número

        La raíz cúbica de un número

        La raíz cuarta de un número

        La razón entre dos números: división


        El producto entre dos números:
        multiplicación
        La diferencia entre dos números:
        sustracción
Resolución modelo de diferentes problemas:
La suma de tres números naturales consecutivos es 42. ¿Cuáles son dichos números?
buscamos en la tabla como simbolizar números consecutivos, teniendo en cuenta que el
problema indica tres:              .
no necesitamos usar paréntesis porque la operación indicada es sum
planteamos la ecuación:
resolvemos la ecuación teniendo en cuenta que debemos sumar los términos semejantes entre
sí, (son semejantes entre sí los términos que tienen x y entre sí los numéricos)
el problema no ha sido aún resuelto porque no hemos contestado la pregunta.
el número hallado es natural
si el primer número es 13 debemos hallar los otros dos




Verificamos que los resultados hallados correspondan al problema




             Respuesta: Los números buscados son 13, 14 y 15

Pienso un número, le resto dos unidades, elevo la diferencia al cuadrado y le sumo el
cuádruplo del número pensado, obteniendo por resultado 20. ¿Cuál o cuáles son dichos
números?

         1. Buscamos con ayuda de la tabla como simbolizar el planteo:
               1. Pienso un número: x
               2. le resto 2 unidades: x – 2
               3. como debemos elevar la diferencia al cuadrado necesitamos utilizar

                   paréntesis:
                4. busco en la tabla como se simboliza cuádruplo: 4x

                5. resulta entonces:

         2. Planteamos la ecuación:
         3. Resolvemos la ecuación:
                1. desarrollamos el cuadrado del binomio:
                2. lo aplicamos en la resolución
         4. Verificamos las soluciones halladas:




            x=4




            x = -4

http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/prob_int.htm

Quien quiere hacer algo encuentra un medio; quien no quiere hacer nada encuentra una
excusa». (Proverbio chino)

  «La matemática ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los escolares del mundo
entero, y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un sufrimiento
inevitable para adquirir un conocimiento necesario; pero la enseñanza no debe ser una
tortura, y no seríamos buenos profesores si no procuráramos, por todos los medios,
transformar este sufrimiento en goce, lo cual no significa ausencia de esfuerzo, sino, por
el contrario, alumbramiento de estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces». (Puig
Adam, 1958)

   Matemáticas es la única asignatura que se estudia en todos los países del mundo y en
todos los niveles educativos. Supone un pilar básico de la enseñanza en todos ellos. La
causa fundamental de esa universal presencia hay que buscarla en que las matemáticas
constituyen un idioma «poderoso, conciso y sin ambigüedades» (según la formulación
del Informe Cockroft, 1985). Ese idioma se pretende que sea aprendido por nuestros
alumnos, hasta conseguir que lo "hablen". En general por medio de la contemplación de
cómo los hacen otros (sus profesores), y por su aplicación a situaciones muy sencillas y
ajenas a sus vivencias (los ejercicios).

  La utilización de un idioma requiere de unos conocimientos mínimos para poder
desarrollarse, por supuesto. Pero sobre todo se necesitan situaciones que inviten a
comunicarse por medio de ese idioma, a esforzarse en lograrlo, y, desde luego, de unas
técnicas para hacerlo. En el caso del idioma matemático, una de las técnicas
fundamentales de comunicación son los métodos de Resolución de Problemas.

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2. IDEAS, TENDENCIAS, CREENCIAS, ETC. SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

  La resolución de problemas es considerada en la actualidad la parte más esencial de la
educación matemática. Mediante la resolución de problemas, los estudiantes
experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea.

      El párrafo 243 del Informe Cockroft señala en su punto quinto que la enseñanza de
       las Matemáticas debe considerar la «resolución de problemas, incluyendo la
       aplicación de las mismas situaciones de la vida diaria».

      El N.C.T.M. de Estados Unidos, declaraba hace más de diez años que «el objetivo
       fundamental de la enseñanza de las Matemáticas no debería ser otro que el de la
       resolución de problemas».

      En el libro de Hofsdadter, Gödel, Escher y Bach, se dice que «las capacidades
       básicas de la inteligencia se favorecen desde las Matemáticas a partir de la
       resolución de problemas, siempre y cuando éstos no sean vistos como situaciones
       que requieran una respuesta única (conocida previamente por el profesor que
       encamina hacia ella), sino como un proceso en el que el alumno estima, hace
       conjeturas y sugiere explicaciones».

      Santaló (1985), gran matemático español y además muy interesado en su didáctica,
       señala que «enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar a resolver
       problemas. Estudiar matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución
       de problemas».

      En una conferencia pronunciada en 1968 George Polya decía: «Está bien justificado
       que todos los textos de matemáticas, contengan problemas. Los problemas pueden
       incluso considerarse como la parte más esencial de la educación matemática».

      M. de Guzmán (1984) comenta que «lo que sobre todo deberríamos proporcionar a
       nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con
       hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas matemáticos y
       no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en que
       quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco
       significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la
       resolución de problemas se le ha llamdo, con razón, el corazón de las matemáticas,
       pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha traído y atre a los
       matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es
       de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo
       de herramientas, en una palabra, la vida propia de las matemáticas».

      En España, el currículo del Área de Matemáticas en Primaria y Secundaria concede
       extraordinaria importancia al tema dedicándole mucha atención, especialmente
       desde los contenidos de procedimientos y actitudes.

  Aunque no es sencillo, y quizás parezca superfluo, para entendernos es interesante
delimitar, siquiera sea en grandes rasgos, qué es lo que entendemos por problema. Pero,
como la palabra "problema" se usa en contextos diferentes y con matices diversos,
haremos un esfuerzo por clarificar a qué nos referimos.
   No aportan mucha claridad las definiciones de los diccionarios generales. Nos acerca
más al sentido de qué es un problema la expresión de "problema de letra" que los
alumnos emplean con frecuencia: son aquellos que hacen referencia a contextos ajenos a
las matemáticas propiamente dichas, los que llevan dentro una cierta "historia", que se
pueden contar. Los que abren las ventanas del aula y hacen un puente (aunque sea frágil)
entre las matemáticas y la vida.
   Pero no es el único aspecto a destacar. También hay que caracterizar los "problemas"
por oposición a los ejercicios (algo bien conocido por los alumnos porque constituye el
núcleo fundamental de su quehacer matemático).
   En los ejercicios se puede decidir con rapidez si se saben resolver o no; se trata de
aplicar un algoritmo, que pueden conocer o ignorar. Pero, una vez localizado, se aplica y
basta. Justamente, la proliferación de ejercicios en clase de matemáticas ha desarrollado
y arraigado en los alumnos un síndrome generalizado; en cuanto se les plantea una tarea
a realizar, tras una somera reflexión, contestan: "lo sé" o "no lo sé", según hayan
localizado o no el algoritmo apropiado. Ahí acaban, en general, sus elucubraciones.
   En los problemas no es evidente el camino a seguir; incluso puede haber varios; y
desde luego no está codificado y enseñado previamente. Hay que apelar a conocimientos
dispersos, y no siempre de matemáticas; hay que relacionar saberes procedentes de
campos diferentes, hay que poner a punto relaciones nuevas.
   Por tanto, un "problema" sería una cuestión a la que no es posible contestar por
aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad, sino que para
resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos, matemáticos o no, y buscar
relaciones nuevas entre ellos. Pero además tiene que ser una cuestión que nos interese,
que nos provoque las ganas de resolverla, una tarea a la que estemos dispuestos a
dedicarle tiempo y esfuerzos. Como consecuencia de todo ello, una vez resuelta nos
proporciona una sensación considerable de placer. E incluso, sin haber acabado el
proceso, sin haber logrado la solución, también en el proceso de búsqueda, en los
avances que vamos realizando, encontraremos una componente placentera.

  Aunque los rasgos fundamentales de lo que entendemos por problema están descritos
en el párrafo anterior, todavía creemos conveniente añadir algunos comentarios
adicionales sobre los mismos:

      Los algoritmos que se suelen explicar en clase, o que aparecen en los libros de
       texto, resuelven grupos enteros de problemas. Lo que pasa es que si no situamos
       previamente los problemas a los que responden, estamos dando la respuesta antes
       de que exista la pregunta. Y en ese contexto no es difícil de adivinar el poco interés
       con que se recibe la misma.

      Las situaciones existen en la realidad. Los problemas los alumbramos nosotros.
       Pasan a ese estatus cuando los asumimos como un reto personal y decidimos en
       consecuencia dedicarle tiempo y esfuerzos a procurar resolverlos.

      La resolución de un problema añade algo a lo que ya conocíamos; nos proporciona
       relaciones nuevas entre lo que ya sabíamos o nos aporta otros puntos de vista de
       situaciones ya conocidas. Suponen el aporte de la chispa de la creatividad, aquella
       que aparece de cuando en cuando, y que logra, por utilizar la expresión de Koestler
       (1983), que dos y dos son cinco.
   Resaltemos una vez más la fuerte componente de compromiso personal en los
problemas, y la importancia que tiene la manera en que se nos presenten para que lo
asumamos como tales. Todo ello es de particular interés en la enseñanza, porque de
cómo se plantea la cuestión, el contexto en que se sitúe y de la "tecnología" expositiva
utilizada depende, en un porcentaje muy importante, el que un problema pase a ser
considerado como tal por nuestros alumnos.

3. RASGOS QUE CARACTERIZAN A LOS BUENOS PROBLEMAS.

  Una vez que tenemos un problema, los hay mejores y peores, vamos a referirnos a los
rasgos que caracterizan a los buenos problemas. Reseñamos y comentamos los más
importantes (Grupo Cero, 1984):

      No son cuestiones con trampas ni acertijos. Es importante hacer esta distinción en
       la enseñanza porque los alumnos, cuando se les plantean problemas, tienden a
       pensar que si no hay (o al menos ellos no lo recuerdan directamente) un algoritmo
       para abordarlos ni se les ocurre ningún procedimiento, seguro que lo que sucede
       es que tiene que haber algún tipo de truco o de "magia". La práctica sistemática
       resolviendo problemas hace que esa percepción habitual vaya cambiando.

      Pueden o no tener aplicaciones, pero el interés es por ellos mismos. Así como hay
       otras cuestiones cuya importancia proviene de que tienen un campo de
       aplicaciones (y sin descartar que los problemas las tengan), el interés de los
       problemas es por el propio proceso. Pero a pesar de ello, los buenos problemas
       suelen llevar a desarrollar procesos que, más tarde, se pueden aplicar a muchos
       otros campos.

      Representan un desafío a las cualidades deseables en un matemático. Parece obvio
       para todo el mundo que existen unas cualidades que distinguen a las personas que
       resuelven problemas con facilidad, aunque si se tienen que señalar cuáles son, es
       bien dificultoso hacerlo. Y se tiende a pensar que coinciden en líneas generales
       con las cualidades propias de los matemáticos.

      Una vez resueltos apetece proponerlos a otras personas para que a su vez intenten
       resolverlos. Pasa como con los chistes que nos gustan, que los contamos
       enseguida a otros, y así se van formando cadenas que explican su rápida difusión.
       Lo mismo sucede con los buenos problemas.

      Parecen a primera vista algo abordable, no dejan bloqueado, sin capacidad de
       reacción. Y puede pasar que alguna solución parcial sea sencilla o incluso
       inmediata. Desde un punto de vista psicológico, sólo nos planteamos aquello que
       somos capaces (o al menos eso creemos) de resolver. Por eso, si un problema sólo
       lo es para nosotros cuando lo aceptamos como tal, difícil es que nos
       "embarquemos" en una aventura que nos parezca superior a nuestras fuerzas.

      Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difícil de explicar pero agradable de
       experimentar. La componente de placer es fundamental en todo desafío intelectual,
       si se quiere que sea asumido con gusto y de manera duradera. Incluso, en la
       enseñanza, la incorporación de esos factores a la práctica diaria pueden prefigurar
       la inclinación de los estudios futuros. Y no hay que olvidar que las matemáticas
      son de las materias que no dejan indiferente, se las quiere o se las odia (como
      aparece en múltiples estudios). Por ello más vale que introduzcamos refuerzos
      positivos para hacer que aumenten los que las aprecian.

4. PAUTAS A SEGUIR EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

  Una vez señaladas las características de los buenos problemas, hay que referirse a la
importancia que tiene resolver problemas en clase. Pensemos, que, como dice Polya
(1945) «sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes problemas, hay,
en la solución de todo problema, un poco de descubrimiento»; pero que, si se resuelve un
problema y llega a excitar nuestra curiosidad, «este género de experiencia, a una
determinada edad, puede determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar, tanto en el
espíritu como en el carácter, una huella que durará toda una vida».

  Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de
procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del
problema (aún en el caso de que tenga solución). Pero de ahí no hay que sacar en
consecuencia una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la única manera de
resolver un problema sea por "ideas luminosas", que se tienen o no se tienen.

   Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que
otras de su misma edad y formación parecida. Que suelen ser las que aplican
(generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos
que suelen resultar especialmente indicados para abordar los problemas. Son los,
procesos que se llaman "heurísticos": operaciones mentales que se manifiestan
típicamente útiles para resolver problemas. El conocimiento y la práctica de los mismos
es justamente el objeto de la resolución de problemas, y hace que sea una facultad
entrenable, un apartado en el que se puede mejorar con la práctica. Pero para ello hay
que conocer los procesos y aplicarlos de una forma planificada, con método.

  Es ya clásica, y bien conocida, la formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro
etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de
arranque de todos los estudios posteriores:

1. COMPRENDER EL PROBLEMA. Parece, a veces, innecesaria, sobre todo en contextos
escolares; pero es de una importancia capital, sobre todo cuando los problemas a
resolver no son de formulación estrictamente matemática. Es más, es la tarea más difícil,
por ejemplo, cuando se ha de hacer un tratamiento informático: entender cuál es el
problema que tenemos que abordar, dados los diferentes lenguajes que hablan el
demandante y el informático.
    - Se debe leer el enunciado despacio.
    - ¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos)
    - ¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos)
    - Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas.
    - Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación.

2. TRAZAR UN PLAN PARA RESOLVERLO. Hay que plantearla de una manera flexible y
recursiva, alejada del mecanicismo.
    - ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos?
    - ¿Se puede plantear el problema de otra forma?
    - Imaginar un problema parecido pero más sencillo.
    - Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de
llegada con la de partida?
    - ¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?

3. PONER EN PRÁCTICA EL PLAN. También hay que plantearla de una manera flexible y
recursiva, alejada del mecanicismo. Y tener en cuenta que el pensamiento no es lineal,
que hay saltos continuos entre el diseño del plan y su puesta en práctica.
     - Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos.
     - ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto?
     - Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto?
     - Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo
que se hace y para qué se hace.
     - Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver
al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.

4. COMPROBAR LOS RESULTADOS. Es la más importante en la vida diaria, porque
supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el modelo del problema
que hemos realizado, y su contraste con la realidad que queríamos resolver.
    - Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha
averiguado.
    - Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente posible?
    - ¿Se puede comprobar la solución?
    - ¿Hay algún otro modo de resolver el problema?
    - ¿Se puede hallar alguna otra solución?
    - Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que
se ha hallado.
    - Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y
plantear nuevos problemas.

   Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas: se
pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un caso concreto. Por lo tanto
hay que enseñar también a los alumnos a utilizar los instrumentos que conozca, con lo
que nos encontramos en un nivel metacognitivo, que es donde parece que se sitúa la
diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los demás.

  Dentro de las líneas de desarrollo de las ideas de Polya, Schoenfeld da una lista de
técnicas heurísticas de uso frecuente, que agrupa en tres fases, y que extractamos:

  ANÁLISIS.

  1.   Trazar un diagrama.
  2.   Examinar casos particulares.
  3.   Probar a simplificar el problema.

  EXPLORACIÓN.

  1.   Examinar problemas esencialmente equivalentes.
  2.   Examinar problemas ligeramente modificados.
  3.   Examinar problemas ampliamente modificados.
  COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN OBTENIDA.

  1.   ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?:
       a) ¿Utiliza todos los datos pertinentes?
       b) ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables?
       c) ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio de escala?
  2.   ¿Verifica la solución los criterios generales siguientes?:
       a) ¿Es posible obtener la misma solución por otro método?
       b) ¿Puede quedar concretada en caso particulares?
       c) ¿Es posible reducirla a resultados conocidos?
       d) ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?

   Finalmente, hacemos una recopilación de las estrategias más frecuentes que se suelen
utilizar en la resolución de problemas. Según S. Fernández (1992) serían:

  - Ensayo-error.
  - Empezar por lo fácil, resolver un problema semejante más sencillo.
  - Manipular y experimentar manualmente.
  - Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar).
  - Experimentar y extraer pautas (inducir).
  - Resolver problemas análogos (analogía).
  - Seguir un método (organización).
  - Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación).
  - Hacer recuente (conteo).
  - Utilizar un método de expresión adecuado: verbal, algebraico, gráfico, numérico
(codificar, expresión, comunicación).
  - Cambio de estados.
  - Sacar partido de la simetría.
  - Deducir y sacar conclusiones.
  - Conjeturar.
  - Principio del palomar.
  - Analizar los casos límite.
  - Reformular el problema.
  - Suponer que no (reducción al absurdo).
  - Empezar por el final (dar el problema por resuelto).

   Para terminar sólo queremos hacer dos consideraciones. La primera hace referencia a
que el contexto en el que se sitúen los problemas, que por parte de los profesores se
tienden a considerar como irrelevante o, al menos como poco significativo, tiene una gran
importancia, tanto para determinar el éxito o fracaso en la resolución de los mismos,
como para incidir en el futuro de la relación entre las matemáticas y los alumnos. La
segunda, que parece una perogrullada, es que la única manera de aprender a resolver
problemas es resolviendo problemas; es muy bueno conocer técnicas y procedimientos,
pero vistos en acción, no sólo a nivel teórico, porque si no, es un conocimiento vacío.
Luego, hay que hacer cuantos esfuerzos sean precisos para que la resolución de
problemas sea el núcleo central de la enseñanza matemática.

5. DESARROLLO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
  Si consideramos un problema como una situación que se presenta en la que se sabe
más o menos, o con toda claridad, a dónde se quiere ir, pero no se sabe cómo; entonces
resolver un problema es precisamente aclarar dicha situación y encontrar algún camino
adecuado que lleve a la meta.

   A veces no sabremos si la herramienta adecuada para la situación está entre la
colección de técnicas que dominamos o ni siquiera si se ha creado una técnica que
pueda ser suficientemente potente para resolver el problema. Esta es precisamente la
circunstancia del investigador, en matemáticas y en cualquier otro campo, y, por otra
parte, ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en nuestra vida normal.

  La destreza para resolver genuinos problemas es un verdadero arte que se aprende
con paciencia y considerable esfuerzo, enfrentándose con tranquilidad, sin angustias, a
multitud de problemas diversos, tratando de sacar el mejor partido posible de los muchos
seguros fracasos iniciales, observando los modos de proceder, comparándolos con los
de los expertos y procurando ajustar adecuadamente los procesos de pensamiento a los
de ellos. Es la misma forma de transmisión que la de cualquier otro arte, como el de la
pintura, la música, etc.

  Las estrategias que tendremos ocasión de aprender y ejercitar son:

  A. Comenzar resolviendo un problema semejante más fácil.
  B. Hacer experimentos, observar, busca pautas, regularidades ... Hacer conjeturas.
Tratar de demostrarlas.
  C. Dibujar una figura, un esquema, un diagrama.
  D. Escoger un lenguaje adecuado, una notación apropiada.
  E. Inducción.
  F. Supongamos que no es así.
  G. Supongamos el problema resuelto.
  H. Si tenemos una receta y estamos seguros de que se ajusta al problema,
aplíquémosla.

  A.   COMENZAR RESOLVIENDO UN PROBLEMA SEMEJANTE MÁS FÁCIL.

   Esta estrategia se practica en multitud de circunstancias. El niño que aprende a andar
en bicicleta no intenta lanzarse cuesta abajo por su cuenta a gran velocidad. Empieza con
un triciclo para atender primero el problema de los pedales y del volante. Luego vendrá el
problema del equilibrio y se ensayará con dos ruedas. Si se aprende a conducir un coche,
lo mejor es circular primero despacio, sin necesidad de cambiar marchas, y en
descampado, para poder jugar con el volante. Ya vendrán luego los problemas
conduciendo en la calle.

  En matemáticas sucede lo mismo. Si estudiamos derivadas, primero, las haremos
sencillas, la de un monomio como x2, ... , luego pasamos a un polinomio y cuando
sentimos cierta familiaridad con el proceso, nos lanzamos más lejos.

   Un problema puede resultar difícil por su tamaño, por tener demasiados elementos que
lo hacen enrevesado y oscuro. Para empezar, debemos resolver un problema semejante
lo más sencillo posible. Luego lo complicaremos hasta llegar al propuesto inicialmente.
    Procediendo así, obtenemos varios provechos:

  a) De orden psicológico. Empezamos animándonos con el probable éxito.
  b) De orden racional. En el problema sencillo suelen aparecer, más transparentes,
principios de solución que estaban confusos y opacos en medio de la complejidad del
problema inicial.
  c) Manipulación más fácil. La manipulación efectiva en un problema de pocas piezas
es más fácil que en uno de muchas.

  La simplificación de un problema se puede lograr no sólo reduciendo su tamaño, sino
también imponiendo alguna condición adicional que no está en el problema propuesto.
Incluso, aunque parezca al principio que tu simplificación es demasiado drástica, se
comprueba con frecuencia cómo la ayuda del problema simplificado es muy efectiva.

  UNA MOSCA ANTOJADIZA. Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la
siguiente posición:

O   O O O O
O   O O O O
O   O O O O
O   O O O O
O   O O O O
   Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). Se le ocurre hacer
un paseo andando por las 25 monedas, pero, pasando de una moneda a otra
horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario
sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar?
   Solución. Son muchas 25 monedas. Vamos a probar con menos, por ejemplo, con
2x2=4 monedas. Así:
 O O
 O O
   Es obvio que se pose donde se pose, la mosca tiene el camino bien fácil.
   Probemos con 3x3=9 monedas. Así:
 O O O
 O O O
 O O O
   Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil. Si se posa en el centro,
también. Pero si se posa en cualquier otra moneda, como fácilmente se observa, lo tiene
imposible.
   Así, en el caso de 3x3=9 monedas, a veces se puede hacer el paseo, y otras no.
Podemos sospechar que en el de 5x5=25 monedas suceda algo parecido.
   ¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas?
   Señalemos los centros de las monedas con coordenadas:
 (-1,1) (0,1) (1,1)
 (-1,0) (0,0) (1,0)
 (-1,-1) (0,-1) (1,-1)
   Es curioso: ¡los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0,1), (1,0), (0,-1),
(-1,0)! En ellos, la suma de las coordenadas es impar. En los restantes, la suma de las
coordenadas es par. Llamaremos pares a estos vértices y, a los otros, impares.
   Hay cuatro vértices impares y cinco pares. El paseo de la mosca, empezando por un
vértice impar, sería:
Impar    Par    Impar     Par    ...

  Si terminase en impar, habría más vértices impares que pares. Si terminase en par,
habría igual número de las dos clases. Ambas cosas son falsas. ¡La mosca no puede
hacer el paseo saliendo de un vértice impar!
  Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 5x5 monedas. El camino en los
casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente.

http://educacion.jalisco.gob.mx/consulta/educar/15/15Moreno.html

a) Enseñar a resolver "problemas tipo"

Esta estrategia consiste en plantear a los alumnos algún problema que combina cierta
información, de manera que su solución demanda el uso de algún procedimiento
determinado o de una combinación de ellos; digamos por ejemplo, un problema que
puede reducirse al planteamiento de una proporción y al cálculo de un término
desconocido de la misma.

Una vez que el problema es resuelto, deseablemente en un trabajo conjunto entre el profesor y
los alumnos y no como mera ejemplificación del profesor, se propone una serie de nuevos
problemas que conservan la misma estructura que el problema inicial, de tal manera que sólo
varían los datos y el contexto.

Conservar la misma estructura supone que la información acerca de ciertas variables sigue
siendo del mismo tipo, la pregunta que se plantea demanda que dicha información se relacione
de la misma manera y se responda a ella utilizando procedimientos similares; por ello se habla
de estar trabajando con "problemas tipo".

A favor de una estrategia como ésta, habrá que decir que, reconocer modos de relacionar cierta
información en determinadas circunstancias, es un aprendizaje valioso dado que permite la
formación de un esquema que podrá ser incorporado como nuevo elemento al bagaje de
conocimientos que el estudiante ha construido previamente y que podrá ser utilizado como
recurso en nuevas situaciones que compartan, al menos parcialmente, las condiciones
presentes en los "problemas tipo" que han sido trabajados; en otras palabras, con esta
estrategia didáctica se contribuye al aprendizaje de modos de relación de información y de
procedimientos, que pueden ser transferibles a nuevas situaciones.

Sin embargo, cuando se privilegia o se usa de manera exclusiva la estrategia didáctica de
enseñar a resolver "problemas tipo", cuando la ejercitación en los mismos ocurre sin introducir
prácticamente ninguna variación, la experiencia puede resultar para el alumno muy similar a la
del aprendizaje de un nuevo algoritmo.

En casos como éste, el problema deja de ser tal, en tanto que deja de cumplirse la condición de
que para resolverlo, el alumno no disponga de un sistema de respuestas totalmente constituido
que le permita responder de manera inmediata; por otra parte, ha dejado de demandarle un uso
creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental al que anteriormente ha
tenido acceso. Así es como llegan a generarse en los alumnos expresiones como "ese problema
no me lo han enseñado", manifestando con frases como ésta una concepción de problema
similar a la de un algoritmo y perdiendo de vista el carácter original y constructivo que la solución
de un problema demanda.
b) Inducir la reformulación verbal del problema a resolver

Para explicar en qué consiste esta estrategia didáctica, conviene hacer referencia a una idea
expuesta por Parra (1991) acerca de que la resolución de un problema pasa por un proceso de
reformulación, en el que la persona que resuelve hace una especie de traducción de la situación
planteada a un esquema propio de explicación, el cual es punto de partida para iniciar la
búsqueda de alguna forma de solución. Se trata de una reformulación que puede interpretar o
no, de manera acertada, la situación planteada en el problema y que puede asociarse a la
comprensión o a la falta de comprensión del mismo.

La reformulación a la que se hace referencia va más allá de un mero asunto de reformulación
del lenguaje verbal con que es planteado el problema en cuestión (pasando quizá de un
lenguaje técnico a un lenguaje coloquial), pero en muchos de los casos, se ve facilitada
justamente por una atinada reformulación de dicho lenguaje, a la cual se le llamará en lo
sucesivo "reformulación verbal".

Así, la estrategia didáctica de inducir la reformulación verbal del problema a resolver, consiste
en propiciar que los alumnos (con la asistencia del profesor en la medida que resulte
estrictamente necesario) reelaboren el enunciado del problema, utilizando para ello las palabras
de uso familiar que les permitan precisar con mayor claridad cuál es la situación planteada en el
problema, cuidando, desde luego, que no se modifique con ello su estructura original.

El uso de esta estrategia didáctica se apoya en el supuesto de que la comprensión de la
situación planteada en el problema es fundamental para proceder a cualquier intento de solución
y de que sólo se puede verbalizar de manera adecuada aquello que se ha comprendido
satisfactoriamente.

A favor de una estrategia didáctica como ésta, hay que señalar que es propiciadora de un primer
nivel de análisis que facilita la comprensión del problema en cuestión; que a través de ella se
puede salvar la dificultad que el alumno tiene en ocasiones para interpretar los términos que
aparecen en el enunciado de un problema; que permite descartar, en su caso, si una solución
incorrecta tiene que ver con una inadecuada interpretación del lenguaje en el que está
expresado el problema, o con otro tipo de razones y que, en la medida en que los alumnos
puedan realizar dicha reformulación sin ayuda del maestro, esta estrategia didáctica permitirá
que el alumno desarrolle una estrategia de aprendizaje sumamente valiosa para emprender la
resolución de problemas matemáticos.

Sin embargo, es necesario ponderar también algunos riesgos presentes al inducir la
reformulación verbal de los problemas a resolver. Sin un seguimiento cuidadoso de la
realización de esta tarea, la reelaboración del enunciado puede alterar la estructura original del
problema y, por consiguiente, llevar a una solución errónea del mismo. Por otra parte, si la
reelaboración trae consigo una constante eliminación del lenguaje técnico o de palabras que
obligarían al estudiante a ampliar no sólo su vocabulario, sino también la construcción de
significados, esta estrategia puede resultar limitante para el logro de otro tipo de objetivos de
aprendizaje que también se propician a través de la resolución de problemas matemáticos.

c) Facilitar por medio de preguntas el análisis del enunciado del problema

En esta estrategia didáctica, el docente asume el papel de constructor de preguntas que faciliten
a los alumnos identificar la información contenida de manera explícita o implícita en el enunciado
del problema, descartar aquella información que no sea relevante, descubrir si está presente
toda la información que sería necesaria para poder resolver el problema y percibir cuáles son las
relaciones que pueden establecerse a partir de la información detectada, todo esto como
antecedente para idear un plan de resolución del problema.

Las preguntas del docente pueden incluso generar que se recuperen de la memoria
algunos conceptos, y en su caso notación simbólica (conocimiento declarativo),
involucrados en el planteamiento del problema y que se precise su significado; esto
aumentará la probabilidad de que el estudiante elija atinadamente aquellos
procedimientos que resulten pertinentes para alcanzar la solución del problema.

Las preguntas, en este caso, se convierten en una especie de andamiaje que apuntalará ese
uso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental que caracteriza al
proceso de generación del conocimiento condicional que es requerido para resolver un problema
determinado.

Por supuesto que se trata de preguntas generadoras de análisis y reflexión, no de aquellas cuya
respuesta consiste meramente en asentir o disentir de lo planteado por el docente, ni de
preguntas que sugieran por sí mismas una respuesta; esto se convierte en condición
fundamental de la pertinencia de esta estrategia didáctica. Se requiere que el docente desarrolle
habilidad para plantear preguntas como las que se han venido describiendo, que seleccione y
analice cuidadosamente los problemas que propondrá a sus alumnos y que pueda establecer en
el aula las condiciones para la participación grupal en la reflexión y discusión que demanda el
proceso de dar respuesta a este tipo de preguntas.

A favor de una estrategia didáctica como ésta, habrá que señalar la riqueza de la pregunta como
mediación que puede facilitar aprendizajes complejos, como es el caso de la resolución de
problemas matemáticos; su potencial para apoyar a los alumnos en el descubrimiento de qué
tipo de elementos conviene analizar antes de elegir los procedimientos para la resolución de
problemas, en otras palabras, para apoyar que aprendan en la acción lo que es difícil aprender
por descripción; y desde luego, su intervención para impedir al alumno que de manera
inmediata, después de una lectura superficial del problema, se lance a la decisión de cuál o
cuáles procedimientos de solución utilizar.

Como contraparte, hay que hacer notar el riesgo de que esta estrategia didáctica se convierta en
"necesaria" para el alumno, esto es, que origine en él cierta dependencia intelectual que
finalmente le traiga resistencia a un trabajo individual si no cuenta con la asistencia del docente
cuando se le proponga resolver problemas matemáticos.

d) Facilitar la explicitación de los razonamientos presentes durante el proceso de solución del
problema

Esta estrategia didáctica consiste en propiciar una especie de "pensamiento en voz alta", ya sea
durante la acción o en forma posterior a ésta, que contribuya a que el alumno sea plenamente
consciente de las razones por las que va tomando ciertas decisiones y concretándolas en la
realización de algún procedimiento con la intención de resolver el problema.

La explicitación de los razonamientos presentes durante el proceso de solución del problema, se
facilita mediante preguntas del tipo ¿cómo se te ocurrió esta forma de solución?, ¿qué pensaste
cuando decidiste realizar tal operación?, ¿por qué decidiste este procedimiento y no otro?, ¿qué
te ayudó a pensar de esa manera?, ¿qué pasaría si usaras tal procedimiento en lugar del que
utilizaste?; o bien mediante solicitudes expresas como: explica a tus compañeros qué fuiste
pensando mientras resolvías el problema o, si tú fueras el maestro ¿cómo le explicarías a tu
grupo por qué este problema puede resolverse como tú lo resolviste?

El uso de esta estrategia didáctica tiene como propósito propiciar que ocurra lo que se planteó
en el referente conceptual de este trabajo: que el alumno llegue a desarrollar un sistema de
regulación y lo utilice de manera consciente, reflexiva y eficaz, lo cual permitirá generar ese otro
tipo de conocimiento, el condicional, que es la clave para la resolución de problemas.

Pero no sólo eso, la estrategia didáctica en cuestión puede contribuir también a ejercitar en el
alumno el retorno reflexivo que, una vez resuelto el problema, le permite evaluar la pertinencia,
tanto de la solución en sí, como de los procedimientos utilizados para llegar a ella, pues aun en
el caso de haber encontrado la respuesta correcta, conviene que analice, comparta y discuta
con sus compañeros y con su maestro, otras alternativas para llegar a la solución esperada.

Realizar un trabajo como el que se propone en el caso de esta estrategia didáctica, demanda no
sólo la buena intención del profesor, requiere un ambiente grupal que dé cabida a la reflexión y a
la escucha, pues la participación de cada estudiante, y la del docente, necesitan ser
cuidadosamente analizadas, atendiendo tanto a la claridad y precisión de la explicación en sí,
como a su congruencia con las actividades realizadas durante la solución del problema.

A favor de una estrategia didáctica como ésta, habrá que señalar su potencial de contribución a
la formación del pensamiento reflexivo, de la capacidad de argumentar la toma de decisiones,
de controlar el sentido de las acciones e incluso de propiciar el desarrollo de habilidades
metacognitivas.

Sin embargo, en su utilización habrá que cuidar que todos los alumnos tengan o lleguen a tener
una participación en esta reflexión compartida, pues sólo de esa manera se podrá evitar el
riesgo de que algunos estudiantes únicamente se acojan a las respuestas de los que
usualmente solicitan participar.

Una reflexión final

A partir de una mirada global de las ventajas y riesgos (el blanco y negro) de las cuatro
estrategias didácticas analizadas, podría surgir la preocupación de si a través de estas
mediaciones, que finalmente son apoyos para ir desarrollando en los alumnos la habilidad para
resolver problemas matemáticos, se está impidiendo que surja más espontáneamente el uso
creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental con que cuenta el alumno,
para generar ese nuevo tipo de conocimiento (el condicional) que se requiere para llegar a
resolver un problema matemático.

Al respecto se puede señalar que, en uno de los apartados de este trabajo, se estableció que el
desarrollo de estrategias de aprendizaje, y por lo tanto la resolución de problemas matemáticos,
son "enseñables", esto es, pueden ser favorecidos de manera intencional a través de ciertas
mediaciones que, en el ámbito del trabajo escolar, se están denominando estrategias didácticas.
Otra alternativa sería abandonar a los alumnos a su propio ritmo y esfuerzo hasta que de forma
totalmente heurística lograran, en el mejor de los casos, encontrar formas de solución al
problema planteado y poco a poco fueran generalizando su uso en otros tipos de problemas.
No obstante el argumento anterior a favor del uso de estrategias didácticas como las que se han
presentado en este trabajo, resulta fundamental compartir las siguientes consideraciones:

 • Cada una de las estrategias didácticas analizadas tiene su función en un momento
dado, unas en el primer análisis del problema, otras en el proceso de solución o en el de
evaluación de la respuesta; no se trata de que se conviertan en un apoyo permanente, es
fundamental que el docente intuya cuándo es conveniente que deje de usarlas con el
mismo alumno o grupo de alumnos.

• El objetivo de mayor alcance al usar las estrategias didácticas mencionadas, es que el alumno
llegue a internalizarlas como propias, convirtiéndolas en estrategias de aprendizaje que le
posibiliten la resolución de problemas matemáticos.

• El uso de estrategias didácticas como las que se han analizado, y en el fondo propuesto por su
valor formativo, demanda del docente planeación cuidadosa, tiempo, esfuerzo y creatividad,
trabajo con el grupo en pleno y acercamiento con los estudiantes uno a uno; pero los avances
que percibirá en los estudiantes apoyados en ellas, sin duda le llevarán a la certeza de que vale
la pena ese esfuerzo.

http://educacion.jalisco.gob.mx/consulta/educar/02/02RobRam.html

La estrategia de resolución de problemas para enseñar matemática en la escuela secundaria
constituye la parte fundamental de este trabajo, y se propone a los profesores de este nivel para
su aplicación en el primer grado. Las cuatro partes de que se conforma son integradoras del
"Proceso que se aprende". Se parte del intento de lograr una conceptualización, enfatizar el
análisis, construir la igualdad (ecuación), realizar la vía de solución y el control. Es un intento
metodológico en la enseñanza de la matemática que se opone a la estrategia de la repetición de
conceptos y procedimientos que no son significativos para los estudiantes. Pretende ayudar en
la formación de la actividad cognoscitiva de los estudiantes de primer grado.

Esquema de enseñanza

Una de las síntesis que pueden elaborarse acerca del estado actual de la enseñanza de la
matemática en la Educación Básica nos mostraría, con relevancia, que la repetición es la
estrategia más socorrida en el trabajo de aula. La estrategia de la repetición, vista en forma
esquemática, se presentaría así: conceptos ejemplos ejercicios problemas, apoyados por la
tradición histórica de su uso.

   El peso de la tradición histórica es de tal magnitud que ni la racionalidad, ni la evidencia de la
escasa cultura matemática, ni los resultados de investigaciones en la educación matemática
traducidas a propuestas innovadoras, han logrado influir en el grueso del profesorado para
cambiar la metodología de enseñanza.

   Al respecto, Fridunan y Jiménez (199 1) han encontrado que "en numerosos artículos,
monografías y disertaciones consagradas a la solución de problemas, se exponen aspectos
aislados de la metodología de la solución de problemas".

 Los resultados de esta desorganización en la metodología se reflejan en la escasa cultura
matemática y en la carencia de habilidades para resolver problemas. Se puede constatar, en
cualquier escuela de bachillerato, cómo la mayoría de los estudiantes han sido "vacunados"
contra aquellas carreras que exigen contenido matemático para su formación profesional.
También es comprobable que, en la vida cotidiana, los jóvenes estudiantes gustan de plantear y
aventurarse a resolver problemas que exigen conocimientos y procedimientos de carácter
matemático. Esta disposición no es explorada en la situación escolar.

Algunas propuestas para la enseñanza de la matemática

Del universo de propuestas para la enseñanza de la matemática que han venido socializándose
en diferentes foros, existen cuatro que aportan a la nuestra elementos, ideas, pistas, reflexiones,
experiencias de la concepción y puesta en práctica de una metodología de la enseñanza
matemática.

   Lo coincidente radica en la asunción de una metodología para la enseñanza de la
   matemática apoyada en la resolución de problemas. Son conocidas con diferentes nombres:
   la matématización de los belgas 1,8.,enseñanza problémica de los cubanos 2,3: la metodología
   en la enseñanza para la resolución de problemas de los Soviéticos 4,5: y el enfoque de la
   modernización educativa en nuestro país 6,7 .

   La concepción y actuación en la enseñanza problémica de los cubanos nos es más próxima;
de entre los muchos estudiosos que han logrado configurar esta propuesta, el contenido de los
trabajos del Dr. Labarrere2 ha influenciado, en gran parte, la estructuración del material didáctico
que proponemos a la escuela secundaria de nuestro país para el primer grado.

Resolver problemas, un proceso que se aprende

En el nivel de la educación básica hemos venido consumiendo, en la metodología para la
enseñanza de la matemática, la receta "Hazlo como yo", sin habernos detenido en el análisis y
valoración de esa práctica pedagógica; los que han tomado conciencia de ella y de sus
resultados, han encontrado dificultades que los estudiantes tienen cuando son enfrentados a
problemas matemáticos con texto.

   Las dificultades más relevantes son:

            El escaso conocimiento acerca de lo que es un problema y su solución,
       caracterizado por lo indiferenciado e incompleto de las representaciones y del énfasis
       hacia la respuesta del problema.
            El escaso conocimiento acerca del análisis del texto de los problemas,
       caracterizado por la conformación de una imagen incorrecta de lo que es un problema y
       por los análisis superficiales y fragmentarios del texto del problema.
            El escaso conocimiento acerca del procedimiento general de construcción de
       ecuaciones, caracterizado por la dificultad para construir la igualdad y por la
       comprensión unilateral acerca de la función de la igualdad como medio de procedimiento
       de solución.
            El escaso conocimiento acerca del control del proceso de solución y de la
       respuesta obtenida, caracterizado por la ausencia de la formulación del texto y la
       resolución de problemas de ensayo y error.
   El marco configurado por las dificultades es el reto pedagógico a superar, si se pretende
formar el pensamiento de los estudiantes a través de la estrategia de resolución de problemas;
aceptarlo significa intentar ayudar a formar la actividad cognoseitiva de los estudiantes a través
de la resolución de problemas, en un proceso que se aprende" en las condiciones que tiene la
escuela pública en nuestro país.

   La resolución de problemas como un proceso que se aprende, se ha desglosado en:

1. Un proceso de conceptualización que intenta superar la dificultad del escaso conocimiento
 acerca de lo que es un problema; contiene la noción del problema, estructura general y
 específica, etapas de solución y el grafo como uno de los medios que ayudan a solucionarlo.

 Los alcances de esta unidad se concretan en el énfasis que se haga en el análisis de los
 problemas para acceder a las estructuras general y específica.

II. Un proceso de análisis que pretende formar una imagen correcta de lo que es un problema,
  organizado en los contenidos que se refieren a la pregunta no explicitada, información
  incompleta, información superflua, análisis del texto y reformulación de problemas. Los
  alcances de esta organización radican en el énfasis que se dé al análisis.

 Las dificultades fundamentales se dieron en la estructuración de los problemas relacionados
 con la información superflua contenida en los problemas. Lo superfluo se da en dos sentidos:
 la información que no contradice, y la que contradice las condiciones o la exigencia. La
 dificultad de estructuración se presentó en el tratamiento docente de aquellos ejemplos que
 corresponden a la contradicción de las condiciones o de la exigencia.

111. Un análisis integral del problema donde se hace uso de esquemas, gráficos de nivel y
 lineales, grafos, diagramas de Venn, cuadros de organización y gráfica cartesiana, como
 medios auxiliares para realizar el análisis y obtener el modelo matemático que soluciona el
 problema.

   Los alcances de esta organización radican en el uso que se da a los diversos medios
   auxiliares para realizar la síntesis a través del análisis. Ésta parece ser la unidad mejor
   lograda a nivel de organización y por las posibilidades que brinda al estudiante para la
   modelización de los problemas matemáticos con texto.

   Una de las limitantes es el uso de grafos como medio auxiliar para modelización, ya que no
es conocido en la escuela pública.

   Otra limitante tiene relación con el contenido de los problemas; varios de ellos caen en el
esquema de "compra".

 El proceso de solución se dedicó a la construcción de la igualdad; determinación de la vía de
solución, realización de la vía y las formas de control.

   Los alcances radican en haber logrado diversos ejemplos que enfatizan la construcción de la
igualdad, y en que, al aprovechar el análisis realizado en la unidades anteriores, permiten
obtener la vía de solución y su realización, incluyendo una de las formas de control
(correspondencia de las condiciones); la idea central radica en el intento de superar el esquema
estereotipo que los alumnos traen de la escuela primaria, y que se reconoce en el trabajo
enfatizado hacia la incógnita, los datos, las operaciones y el resultado, y a comprobar el
resultado de las operaciones.

   El medio que exploramos, y que ofrece mayor posibilidad de uso, ha sido el grafo, seguido
del gráfico de nivel; el medio que ha presentado mayor dificultad ha sido el cuadro de
organización para hacer devenir el modelo matemático.

 En las limitaciones se ha detectado el escaso manejo de contenidos diferentes de los de
"cantidad-precio", y que no se resaltó la vía de solución y su realización, que aparecen en los
problemas diseñadas de una manera natural.

   Por lo que respecta al control del proceso de solución y de la respuesta obtenida, la
construcción del problema inverso fue la que ofreció mayor dificultad para su diseño; el control
de la solución a través de la correspondencia con las condiciones es adecuado; no incluimos el
de estimación de la respuesta ni explotamos el control por la solución de otro procedimiento que
ya se había planteado implícitamente, al usar diferentes medios auxiliares para modelar
problemas.

   Se ha incluido una parte de problemas y juegos. Tienen la cualidad de ser sugerentes y
atractivos. Se presentan con la intención de explorar la disposición de los estudiantes para
aventurarse en estos caminos.

Comentarios

El uso de un mismo problema en diferentes partes y momentos de los procesos pudiera dar la
impresión de escasa imaginación; la justificación que se ofrece se apoya en lo pedagógico de su
uso al explorar la actividad mental puesta en juego.

    A manera de conclusión, ha resultado difícil de asimilar la concreción de la propuesta a
través de un material de apoyo a la metodología en la enseñanza para resolver problemas. Esta
dificultad, aventuro, se debe a la formación que hemos recibido en este enfoque de la
enseñanza de la matemática que corresponde a estereotipos; ello soslaya la formación del
pensamiento de los sujetos de la escuela a través de una comprensión general en la solución de
problemas matemáticos con texto

http://www.matematicas.unal.edu.co/logica/Rota1/node2.html

Qué es una demostración matemática?

Todo el mundo sabe qué es una demostración matemática. Una demostración de un teorema
matemático es una sucesión de pasos que conducen a la conclusión deseada. Las reglas que
dichas sucesiones de pasos deben seguir fueron hechas explícitas cuando fue formalizada la
lógica al principio de este siglo, y no han cambiado desde entonces. Estas reglas pueden ser
usadas para refutar una demostración putativa localizando errores lógicos; sin embargo, no
pueden ser usadas para encontrar una demostración que no se tenga de una conjetura
matemática.
La expresión 'demostración correcta' es redundante. La demostración matemática no admite
grados. Una sucesión de pasos en un argumento es o bien una demostración o bien pura
basura. Los argumentos heurísticos son de uso común en la práctica de la matemática. Sin
embargo, los argumentos heurísticos no son vistos como parte de la lógica formal. El rol de los
argumentos heurísticos a sido reconocido pocas veces en la filosofía de la matemática, a pesar
del papel crucial que los argumentos heurísticos juegan en el descubrimiento matemático.
La noción matemática de demostración es marcadamente distinta de las nociones de
demostración en otras áreas, como las cortes de leyes, la conversación diaria y la física. Las
demostraciones dadas por físicos sí admiten grados: de dos pruebas dadas de la misma
afirmación física, una se puede juzgar más correcta que otra. Abra cualquier libro de física, y
hallará ocurrencia común de grados de correctitud de demostraciones, detalle molesto para los
matemáticos. Por ejemplo, el célebre argumento de Peierls para la mecánica estadística no
tenía sentido matemático estricto cuando fue propuesto por primera vez por Sir Rudolph Peierls,
y siguió siendo matemáticamente carente de sentido aún al pasar por una larga sucesión de
demostraciones en el sentido aceptado por los físicos. Cada demostración sucesiva fue
considerada como 'más correcta' que la anterior, hasta que una demostración 'final' fue hallada;
la única que un matemático acepta.
El método axiomático por medio del cual escribimos la matemática es el único que garantiza la
verdad de una afirmación matemática. Sin embargo, una discusión del método axiomático no
nos dice mucho acerca de la demostración matemática. Nuestro propósito es esclarecer algunos
de los rasgos distintivos del pensamiento matemático que están ocultos bajo la mecánica
aparente de la demostración matemática. Alegaremos, usando muchos ejemplos, que la
descripción de demostración matemática que usualmente damos es verdadera, pero no es
realista. Muchos rasgos del pensamiento matemático son dejados de lado por la noción formal
de demostración. Estos rasgos han sido conocidos por un largo tiempo, pero han sido discutidos
pocas veces.
Nuestro ideal de realismo es tomado de la fenomenología de Edmund Husserl. Hace tiempo,
Husserl dio algunas de las reglas a seguir en una descripción realista. Vale la pena recordar
algunas de estas reglas.
Una descripción realista debe develar rasgos ocultos. Los matemáticos no predican lo que
practican. Se rehusan a aceptar formalmente lo que hacen en su trabajo diario.
Los fenómenos laterales que normalmente se mantienen relegados deben ser tratados con su
debida importancia. El vocabulario de oficio de los matemáticos incluye palabras como
'entendimiento', 'profundidad', 'tipos de demostración', 'grados de claridad' y muchos otros. Una
discusión rigurosa de los roles de esos términos debería ser parte de la filosofía de la
demostración matemática.
El realismo fenomenológico pide que no se fabriquen excusas que puedan conducir a desechar
cualquier rasgo de la matemática poniéndole el rótulo de psicológico, sociológico o subjetivo.
Todas las hipótesis normativas deben ser erradicadas. Con excesiva frecuencia, supuestas
descripciones de demostraciones matemáticas son defensas escondidas de lo que el autor cree
que una demostración matemática debería ser. Una actitud estrictamente descriptiva se impone,
a pesar de sus dificultades y peligros. Puede conducir a descubrimientos desagradables: por
ejemplo, uno podría llegar a darse cuenta que no hay rasgos comunes compartidos por todas
las demostraciones matemáticas. O bien, uno podría ser llevado a admitir que las
contradicciones son parte de la realidad de la matemática, a la par con la verdad.

http://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

Una deducción o demostración matemática es una sucesión coherente de pasos que,
tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado hipótesis, permite asegurar la
veracidad de una tesis. Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de
deducción (fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas
básicas de deducción del sistema en cuestión). El hecho de no conocer ninguna demostración
de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este
resultado implica que es falso.

Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de teoremas, sí existen
diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comunmente en matemáticas:

      Demostración por contraposición
      Demostración por reducción al absurdo, y como caso particular, descenso infinito
      Inducción matemática

Por otra parte, a pesar del alto grado de intervención humana necesario para hacer una
demostración, también existen técnicas computacionales que permiten hacer demostraciones
automáticas, notablemente en el campo de la geometría euclidiana.

http://www.sabiasque.info/ilusiones.htm

RAZONAMIENTO ALTERNO

¿Podrías decir cuál es el orden de los siguientes numeros? 0 5 4 2 9 8 6 7 3 1 . Está fácil, pero
a la vez muy difícil. Si después de pensar unos 5 minutos no se te ocurre, marca el siguiente
texto: Estamos acostumbardos resolver los problemas de una sola forma y por ello a ver los
números sólo como números, pero si los vemos como palabras veremos que el oreden es
alfabético: cero, cinco, cuatro, dos, etc..

Aquí hay otro similar: ¿Qué letra continúa en la siguiente serie? U D T C C S S O N


¿Qué figura sigue en la secuencia?

MONEDAS

Tenemos 8 monedas idénticas a la vista, pero una es falsa y pesa menos. ¿cómo identificar la
moneda falsa con sólo 2 pesadas en una balanza?

Tenemos 10 sacos de monedas iguales que pesan 10 gramos cada una. Pero un saco proviene
de una máquina defectuosa que está produciendo monedas de 9 gramos. ¿cómo saber cuál es
el saco con monedas de menor peso haciendo sólo una pesada en una báscula?

CADENA

¿Cómo unir 5 trozos de cadena de 3 eslabones cada uno, haciendo sólo 3 cortes?.        OOO
OOO OOO OOO OOO

9 PUNTOS

Une los 9 puntos de la figura con un sólo trazo de 4 líneas rectas.

PASTEL
¿Puedes partir un pastel en 8 partes iguales con sólo 3 cortes?

¿PORQUÉ NO HAY PREMIO NOBEL EN MATEMÁTICAS?

Se cuentan varias historias: La más conocida dice que la esposa de Nobel tenía amoríos
con Mittag-Leffler un matemático de la época por lo que en venganza no incluyó dicha
asignatura en los premios. Otra dice que se llevaba mal con Mittag-Leffler quien tendría
posibilidades de ganar el premio. Parece que ninguna de ellas es cierta pues Nobel no era
casado y apenas conocía a dicho personaje. Se cree que la verdadera razón es que Nobel
consideraba las matemáticas poco útiles en la vida práctica.

LIMONES

3 docenas de limones cuestan tantos pesos como limones dan por 16 pesos. ¿cuánto vale la
docena?

REPARTIENDO EL TRABAJO

Una persona puede hacer un trabajo en 2 horas, mientras otra lo hace en 3. ¿en cuánto tiempo
lo podrán hacer las dos a la vez?. Aunque suena trivial y no requiere mayores matemáticas,
pocos lo saben resolver. Si se reparten el trabajo a la mitad, el primero terminará en una hora y
el segundo en hora y media. Por tanto si el primero al terminar le ayuda al segundo, terminarán
en un tiempo comprendido entre 1 y 1.5 horas. La respuesta es: 1 / ( 1 / 2 + 1 / 3 ) = 1 / ( 5 / 6
) = 6 / 5 = 1.2

RESULTADOS INESPERADOS

Si le ofrecieran aumentarle el sueldo $500 cada quincena o $1,500 cada mes ¿qué
escogería?. Haga cuentas y se convencerá de que a veces la respuesta lógica no es la
correcta.

El número 142857 tiene la particularidad de que si se multiplica por 2,3,4,5 y 6 se obtienen
números con los mismos dígitos y en el mismo orden pero con la posición corrida. Sin embargo
al multiplicarlo por 7 se obtiene algo muy distinto.

Si pudiera cortar una hoja tamaño carta con grueso de 0.1 mm en cuadritos de un milímetro y
formara con ellos una torre ¿qué altura alcanzaría : 10 cm, 50 cm, 90 cm, 2 m, 6m ?

Si pudiera cortar la misma hoja a la mitad y cada mitad a la mitad, y así 30 veces. ¿qué altura
alcanzaría la torre: 10 cm, 1 m, 100 m, 1 km, 100 km ?

Para enviar un correo a todos los habitantes del mundo (5,000 millones) ¿cuántas series se
requieren si lo envía a 10 personas y les pide que a su vez lo envíen a otras 10 distintas de
modo que una persona no lo reciba 2 veces?

Trate de recortar en una hoja carta el agujero más grande que pueda. Aunque no lo crea, hay
una forma de hacerlo de manera que el orificio sea mayor al tamaño de la hoja misma; de hecho
puede fácilmente lograr un marco de 1 metro de diámetro.
Uno de los resultados inesperados más famosos es el que se cuenta sobre la invención del
ajedrez: gustó tanto el juego a un rey persa que ofreció al inventor darle lo que pidiera. Éste
pidió un grano de trigo por el primer cuadro del tablero, 2 por el segundo, 4 por el tercero, 8 por
el cuarto, y así sucesivamente hasta considerar los 64 cuadros. El rey, considerando trivial la
solicitud, ordenó cumplirla, lo cual fue imposible pues la cantidad 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...... = 1 +
2 + 2^2 + 2^3 + ...... + 2^63 = 2^64 - 1 (2 elevado a la potencia 64 o sea multiplicado 64 veces
por sí mismo) es tan grande que aún hoy en día es miles de veces superior a la cosecha
mundial anual de trigo. Para darnos una idea de lo grande de este número diremos que es
mucho mayor al número de segundos que han transcurrido desde que se cree inició el universo
hace 15,000 millones de años.

Si usted mira con binoculares un barco acercándose a la costa, ¿lo verá acercarse más rápido o
más despacio?. Primero conteste intuitivamente y después haga cálculos.

Al decir los números en inglés del 1 al 100 cuál es el primero que tiene una letra A. NINGUNO

No puede doblarse una hoja de papel carta a la mitad más de 7 veces. Inténtelo.

PARADOJAS

Si alguien dice "estoy mintiendo" ¿estará diciendo la verdad? Si dice la verdad entonces miente
y si miente entonces dice la verdad.

El barbero del pueblo afeita a todos los hombres que no se afeitan solos. ¿quién afeita al
barbero?. R: Estas dos paradojas no tienen solución; son afirmaciones mal planteadas que
llevan a una contradicción.

Una de las paradojas más antiguas es aquella del árabe que heredó a sus 3 hijos una cuadra de
17 caballos que habrían de repartir del siguiente modo: al mayor la mitad de los caballos, al
segundo un tercio y al menor un noveno. Los herederos pidieron el consejo de un sabio pues no
sabían como repartir los caballos sin llamar al carnicero. El sabio llevó un caballo de su
propiedad y procedió al reparto. Siendo entonces 18 caballos, entregó 9 al mayor, 6 al segundo
y 2 al menor. Habiendo entregado 17 caballos, tomó el suyo y se marchó. ¿El truco?. La suma
1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 9 no es 1 como debía ocurrir sino 17 / 18 . El padre no andaba bien en
aritmética o quiso poner a pensar a sus hijos.

Demostración de que 2=1. Supongamos que B=A multiplicando por B: B²=AB, restando A²:
B²-A²=AB-A², factorizando (B-A)(B+A)=A(B-A) dividiendo entre B-A: B+A=A y como B=A
entonces 2A=A por lo que 2=1. R: EL ERROR ESTÁ AL DIVIDIR ENTRE B - A QUE ES
CERO (YA QUE COMENZAMOS SUPONIENDO QUE B = A).. EN OTRAS PALABRAS: NO
PORQUE 2 x 0 = 1 x 0 PODEMOS CONCLUIR QUE 2=1. CONCLUSIÓN: NO ES VÁLIDO
DIVIDIR ENTRE CERO.

Otra paradoja: en un cuadrado de área 64 unidades (8 por lado) recorta las 4 piezas A B C y D.
Ahora acomódalas como en la figura de la derecha. El área parece haber aumentado a 65
unidades. ¿donde está el error?.
TELEVISIÓN DE 100 PULGADAS

¿Sabías que puedes tener una TV de 100" o más por sólo $13,800 pesos +iva. Más
información en www.proyectores.info

VUELTAS

Dos autos inician una carrera en un circuito de 3 km. El auto A tarda un minuto en cada vuelta.
El B minuto y medio. Después de una hora ¡cuántas veces habrá rebasado el auto A al B?

PESOS y MEDIDAS

Con una balanza y 4 pesas de 1, 3, 9 y 27 kg. podrá pesar cualquier objeto de 1 a 40 kilos. Por
ejemplo para pesar 22 kilos ponemos en un platillo las pesas de 27, 3 y 1 y en el otro la de 9
Kg.

¿Cómo medir 9 minutos con relojes de arena de 4 y 7 minutos? R: Ponemos los 2 relojes. A los
4 minutos invertimos el primero, a los 7 el segundo; a los 8 minutos vuelve a terminar el
primero; en ese momento invertimos el segundo que lleva un minuto, con lo que podemos medir
el minuto restante.

¿Cómo medir 1 litro con jarras de 3 y 5 litros?

Uno más difícil. ¿Cómo medir 15 segundos teniendo sólo 2 palillos que se consumen en un
minuto y un encendedor?        Piensa primero cómo medir 30 segundos utilizando uno sólo de
los palillos. R: Encendemos uno de los palillos por los dos extremos y el otro sólo en un extremo.
A los 30 segundos se consume el primero y el segundo debe llegar a la mitad. En ese momento
encendemos el otro extremo. Quince segundos después debe consumirse el segundo palillo.

EL PROBLEMA DE LOS 4 COLORES

"Bastan 4 colores para iluminar cualquier mapa de manera que no haya dos países vecinos del
mismo color". Ya los cartógrafos renacentistas lo sabían; sin
embargo fue hasta 1850 que un estudiante inglés lo planteó
como un problema matemático. En 1879 Alfred Kempe publicó
la demostración en la revista Nature e ingresó a la "Royal
Society", pero pocos años más tarde se le descubrieron
errores. Casi 100 años después en 1976 dos norteamericanos
lo demostraron usando una supercomputadora Cray que
analizó todos los tipos de mapas durante 1,200 horas. Pero
muchos argumentaron que no era una demostración válida. En
1996 otros norteamericanos publicaron una demostración que hasta ahora nadie ha refutado.

EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

La ecuación a^2 + b^2 = c^2 (donde ^2 significa al cuadrado) tiene muchas soluciones con
números enteros (distintos de cero) como 3, 4 y 5 y puede interpretarse como el teorema de
Pitágoras donde a y b son los catetos y c la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Pierre de
Fermat planteó en 1637 que no hay soluciones enteras a la ecuación a^n + b^n = c^n cuando
n es mayor a dos o en otras palabras "no es posible expresar un cubo como la suma de dos
cubos y en general cualquier potencia mayor a dos como la suma de dos potencias iguales".
Fermat escribió en el margen de un libro: "Poseo una demostración maravillosa pero no cabe
en este espacio". Esta anotación, descubierta años después por su hijo, puso en marcha una
de las epopeyas más apasionantes en la historia de las matemáticas. Cientos de matemáticos
intentaron sin éxito demostrar el teorema durante más de TRESCIENTOS CINCUENTA AÑOS.
Fue hasta 1997 en que Andrew Wiles lo logró después de muchos años de trabajo y 130
páginas de matemáticas de primera línea. Hoy por hoy, nadie cree que Fermat haya en verdad
tenido una demostración.

PROPORCIÓN ÁUREA

Según los conocedores de arte, la forma rectangular que produce
mayor sensación de armonía y belleza es la llamada proporción áurea,
la cual se obtiene agregando a un cuadrado un rectángulo adicional
de modo que tenga la misma proporción que el rectángulo completo.
De esta condición obtenemos la relación x/1 = 1/(x-1) que nos lleva a
la ecuación x^2-x=1 cuya solución (a 2 decimales) es x=1.62



PREGUNTAS CAPCIOSAS

¿Cuál era el monte más alto del mundo antes de descubrirse el Everest?

Un reloj tarda 5 segundos en dar 6 campanadas, ¿cuánto tardará en dar 12 campanadas?

¿Qué es más barato: invitar a un amigo al fútbol dos veces o invitar a dos amigos una vez?

¿Para qué números enteros distintos de cero es cierto que A + B + C = A x B x C ? (lo curioso
es que sólo hay una solución)

En una caja hay 5 canicas rojas y 5 verdes. ¿cuántas canicas tendrá que sacar para estar
seguro de tener al menos 2 canicas del mismo color?

Un objeto vale diez dólares más de la mitad de lo que vale. ¿cuánto vale?

A una competencia de atletismo sólo acudieron 2 deportistas un Francés y un Alemán. Ganó
el francés y los reporteros galos afirmaron: Francia primer lugar, Alemania último. Sin embargo
un periodista alemán dio la noticia de un modo que, sin mentir , daba la impresión de todo lo
contrario. ¿qué habrá dicho?
¿Cuál es el error del siguiente razonamiento? 1/4 peso = 25 centavos por lo que sacando raíz
cuadrada 1/2 peso = 5 centavos y por tanto 50 = 5.

Si un tronco pesa 100 Kg, ¿cuánto pesará uno del doble de largo pero la mitad de grueso? ¿y
uno de la mitad de largo pero el doble de grueso?. (La respuesta no es 100 Kg)

Una vieja historia narra que cierto día un comprador se acercó a un vendedor de espárragos y le
dijo: -- Traigo este cordel que mide un palmo, ¿cuánto me cobraréis por el mazo de espárragos
que pueda atar con él?. El vendedor pidió 10 reales. A los dos días, regresó y le dijo: Este
cordel mide el doble del anterior, así que os pagaré 20 reales, si lo veis justo. El aldeano aceptó,
aunque quedó con cierta duda si le habría engañado o no el comprador.

Enciendes una vela cada 30 segundos. Las velas se consumen en 5 minutos. ¿cuántas velas
estarán encendidas a los 4, 10, 20 y 30 minutos? R: A los 4 minutos habrá 9 velas y de los 5
minutos en adelante habrá siempre 10 velas encendidas pues cada 30 segundos prendes una y
se apaga otra.

CRUZANDO EL RÍO

3 soldados debían cruzar un río. Pidieron a un par de muchachos que venían en una balsa que
los llevaran. Pero se dieron cuenta que la balsa sólo aguantaba a uno de ellos a la vez; ni
siquiera aguantaba a un soldado y un muchacho. ¿cómo le hicieron para cruzar?.

ACERTIJOS

Un reo tiene ante sí dos puertas: una lo conduce a la libertad y la otra a la silla eléctrica. Puede
hacer una sóla pregunta a uno de los guardias de las puertas. Uno de ellos siempre miente y el
otro dice la verdad . ¿Qué debe preguntar para salvarse? R: ¿qué puerta diría tu compañero
que debo abrir para salir? y dirigirse a la puerta contraria.

En un pueblo se celebró una insólita carrera de caballos en la que ganaría el caballo que llegara
último. Naturalmente ninguno de los jinetes quería avanzar. Después de media hora en que no
pasaba nada y el público comenzaba a retirarse, se acercó un espectador y algo les dijo a los
jinetes, que hizo que montaran atropelladamente y echaran a correr a toda velocidad hacia la
meta. ¿qué fue lo que les dijo? R: PUESTO QUE GANA EL CABALLO QUE LLEGUE AL
ÚLTIMO, CADA QUIÉN MONTE EL CABALLO DE OTRO.

Estas frente a tres apagadores, un pasillo y al fondo una habitación con la puerta cerrada.
¿Cómo saber cuál de los apagadores enciende el foco de la habitación recorriendo el pasillo una
sola vez? R: Enciendes el apagador 1 y esperas 5 minutos, lo apagas y enciendes el 2.
Recorres el pasillo y abres la puerta: Si el foco está encendido, el apagador 2 es el bueno, si
está apagado pero caliente es el 1 y si está frío, debe ser el 3.

				
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posted:4/21/2012
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