PERMUTASI

					PERMUTASI
    STANDAR KOMPETENSI
1. Menggunakan aturan statistika, kaedah
  pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam
  pemecahan masalah.

          KOMPETENSI DASAR
1.4. Mnggunakan aturan perkalian ,
  permutasi , dan kombinasi dalam
  pemecahan masalah
            INDIKATOR
• Menentukan berbagai kemungkinan
  pengisisna tempat dalam permainan
  tertentu atau masalah-masalah lainnya.
• Berdiskusi mengenai kaidah pencacahan
  yang mengarah pada aturan perkalian,
  permutasi dan kombinasi
• Menerapkan rumus aturan perkalian,
  permutasi dan kombinasi untuk
  menyelesaikan soal.
      Tujuan Pembelajaran
• Menentukan banyaknya permutasi dengan
  cara mencoba kemudian dengan
  menggunakan rumus
• Memahami permutasi jika ada beberapa
  elemen yang sama
• Memahami permutasi siklis
                   Permutasi
• Definisi Permutasi
  Permutasi dari n objek adalah susunan (permutasi)
  yang berbeda dari objek-objek tersebut.


• Dari definisi permutasi dapatkah Anda buktikan
  Teorema 1
• Teorema 1
  “ Jika ada n unsur yang berbeda diambil n unsur, maka
  banyak susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur
  tersebut adalah sebanyak n .
             Contoh 1
 Tentukan banyaknya susunan
    jika dua buah unsur {x,y}
  dipermutasikan dua-dua tiap
            kelompok!
Jawab :
Banyak susunannya adalah 2! = 2.1 = 2 ,
  yaitu xy dan yx. Untuk lebih
  jelasnya,lihatlah bagan berikut.
              x    y    xy
              y    x    yx
               Contoh 2
Tentukan banyak permutasi jika tiga
 buah unsur {x,y,z} dipermutasikan
 tiga-tiga tiap kelompok!
Jawab :
Karena n = 3, maka banyak permutasinya
 adalah 3! = 3.2.1 = 6,yaitu :
y   z   xyz
z   y   xzy

x   z   yxz
z   x   yzx

x   y   zxy
y   x   zyx
                  Contoh 3

• Berapa banyak peserta yang dapat diberi
  nomor ujian dengan menggunakan
  lambang bilangan 1,2,3,4, tanpa ada
  lambang yang berulang dan tiap nomor
  ujian terdiri dari 4 angka?
Jawab :
Karena n = 4, maka banyaknya peserta yang
  dapat diberi nomor ujian adalah 4! = 4.3.2.1 =
  24
      Permutasi seperti contoh di atas
 menunjukkan bahwa dari n unsur yang
    tersedia, diambil seluruhnya untuk
 disusun. Dari n unsur dapat pula dibuat
  susunan yang hanya memiliki r unsur,
    untuk r<n, dengan memperhatikan
     urutannya. Kita dapat menuliskan
susunan huruf yang memiliki tiga anggota
 dari {a,b,c,d} menjadi 24 urutan seperti
                 berikut ini :
       abc bac cab dab
       abd bad cad dac
       acb bca cba dba
       acd bcd cbd dbc
       adb bda cda dcb
       adc bdc cdb dca
Setiap urutan atau susunan dari huruf
   tersebut disebut permutasi dari
         himpunan {a,b,c,d}.
    b   c       a     b

        d             d

a       b              a
    c       c   b
                       d
        d

    d   b       d      a

        c              b



        c              b
                a
    a   d              c

                       a
b       a   d   b
    c                  c
        d

                c      a
        a
    d                  b
        c

                    Gambar 1
  Perhatikan gambar 1 di atas! Ada 4 huruf
yang mungkin untuk ditempatkan pada huruf
ke-1, ada 3 huruf yang mungkin ditempatkan
   pada huruf ke-2, dan ada 2 huruf yang
 mungkin ditempatkan pada huruf ke-3. Jadi
banyaknya susunan dalam menyusun 3 huruf
      dari 4 huruf adalah 4 x 3 x 2 = 24

 • Teorema 2
  Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n buah
   unsur yang berbeda adalah
         P (n,r) = nPr =    n!
                        ( n – r )!
             Untuk r < n.
   P(n,r) = nPr dibaca permutasi
          tingkat r dari n .
                  Bukti :
Pada sebuah himpunan, banyak permutasi r
 elemen yang diambil dari n elemen yang
      berbeda ditulis dengan notasi
    nPr,perhatikan diagram berikut ini.
        nPr = n(n-1)(n-2)…(n-(r-1))
 nPr =n(n-1)(n-2) (n-(r-1))(n-r)(n-(r+1))..3.2.1
             (n-r)(n-(r+1))..3.2.1
               Jadi,nPr = n!
                            (n-r)!
  Permutasi nPr untuk r<n disebut juga
    dengan variasi dan ditulis v (n,r).
Dengan menggunakan teorema 2, maka
banyaknya susunan untuk menyusun tiga
     huruf dari empat huruf adalah
           4P3 = 4! = 1x2x3x4 =24
               (4-3)!      1!
              Contoh 4
• Hitunglah 7P3 dengan menggunakan
  rumus di atas!
• Jawab
    7P3 = 7! = 7! = 7.6.5.4.3.2.1
          (7-3)! 4!    4.3.2.1
        = 7.6.5
        = 210
                        Contoh 5
• Dengan beberapa cara seorang programmer akan membuat password
  dengan menggunakan empat huruf dari himpunan huruf {S,E,M,P,A,T,I}.
  Jika satu huruf hanya digunakan sekali?

• Jawab :
 Banyaknya huruf yang tersedia adalah tujuh dan hanya
  digunakan empat huruf, maka n = 7 dan r = 4.
          7P4 = 7! = 7x6x5x4 =880
               (7-4)!
               Contoh 6
• Tentukan permutasi (variasi) dua unsur
  dari tiga buah unsur {p,q,r}!
• Karena n = 3 dan r = 2,
  Maka P(3,2) = 3! = 3.2.1 = 6
                 (3-2)!    1
Susunan huruf-hurufnya dapat ditunjukkan
  dengan diagram pohon berikut:
                   Contoh 7
“ Ada sembilan calon yang akan dipilih pada pemilihan
  pengurus kelas 2 yang terdiri dari ketua,sekretaris
  dan bendahara. Berapa banyak cara memilih pada
  susunan pengurus kelas tersebut?“
                          Jawab :
  Untuk memilih ketua ada 9 cara, sekretaris 8 cara, dan
 bendahara 7 cara. Secara keseluruhan ada 9x8x7 = 504
cara. Masalah di atas tidak lain adalah perwujudan 3 cara
       yang diambil dari 9 unsur berbeda, dengan
                 n = 9 dan r =3 akibatnya,
                      9P3 = 9! = 9!
                           (9-3)! 6!
                           = 9.8.7.6!
                                6!
                            = 504
 Jadi dalam pemilihan pengurus kelas tersebut ada 504
                           cara.
   Permutasi dengan Beberapa
       Elemen yang Sama
Untuk mencari banyak permutasi yang mungkin
 dengan beberapa elemen yang sama,
 perhatikan hal berikut ini.
Misalkan terdapat n objek dengan n1 jenis
 pertama, n2 jenis kedua,…dan nk jenis ke-
 k.Dengan adanya n objek, maka terdapat n!
 permutasi. Jika P adalah banyak permutasi yang
 berbeda, jenis pertama mempunyai n1!, jenis
 keduamempunyai n2! dan seterusnya, maka
 dengan kaidah pencacahan, diperoleh
 permutasi berikut ini :
         P.n1!.n2!...nk!
Karena banyak unsur ada n objek,
    maka: P.n1!.n2!... nk! = n!
            Teorema 3
  Jika terdapat n objek dengan n1
jenis pertama,n2 jenis kedua,…,dan
   nk jenis ke-k, maka banyaknya
permutasi yang berbeda dari objek-
           objek ini adalah
              P=       n!
               n1!n2!...nk!
                     Contoh 8
• Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf
  pada kata TITANIA ?
   Jawab :
  Elemen-elemen yang sama adalah huruf T,I dan A masing-
  masing dua buah dan banyak huruf ada tujuh buah, maka P =
  7! = 7.6.5.4.3.2.1
              2!2!2! 2.1.2.1.2.1
            = 630
    Permutasi Siklis
            Misalkan kita akan menyusun
              4 huruf, seperti tampak
              pada gambar. Dengan
              catatan
D     A       ABCD,BCDA,CDAB, dan
              DABC tidak dapat
              dibedakan,jadi dalam hal
              ini sebuah huruf akan
              selalu menempati jalan
C     B
              lingkaran tersebut. Dengan
              kaidah pencacahan, kita
              dapat menyajikan dengan
              diagram berikut.
   1       3        2         1

  = 3! Atau (4-1)! Secara umum
 banyaknya permutasi siklis dari n
        objek adalah (n-1)!
            Teorema 4
“Banyaknya permutasi siklis dari n
       objek adalah (n-1)!”
               Contoh 9
• Dengan berapa cara delapan kue yang
  berbeda dapat disusun melingkar di atas
  meja?

 Jawab :
     P = (8-1)! = 7! = 7.6.5.4.3.2.1
                     = 5040
                 Kesimpulan:
    Dari contoh-contoh di atas dapat kita
 simpulkan bahwa permutasi Matematika ini
bukan hanya sebagai ilmu yang hanya untuk
    dipelajari begitu saja, tapi dapat juga
     membantu kita dalam memecahkan
   berbagai masalah dalam berbagai hal di
 kehidupan kita sehari-hari,misalnya dalam
 pemilihan perangkat kelas seperti contoh 7
diatas,atau membantu kita dalam menyusun
 kue seperti contoh 9 di atas. Semoga ilmu
    ini dapat berguna bagi kita bersama.
                  Wassalam
             mgmp sma 2 medan

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:313
posted:4/13/2012
language:
pages:27
mr doen mr doen mr http://bineh.com
About just a nice girl