Docstoc

Teorema Sisa

Document Sample
Teorema Sisa Powered By Docstoc
					        Setelah mempelajari pembagian suku banyak, bahasan berikutnya akan
        memusatkan pengamatan kita pada sisa S(x).
                     Pada Pembagian suku banyak, sudah dibahas :

                               f(x) = p(x) . h(x) + S(x)

             Dari bentuk-bentuk sisa dengan pembagi khusus (x – k), (ax + b),
             dan (ax2 + bx + c), dapat diturunkan
                     Beberapa Teorema sisa atau Dalil Sisa :
    Teorema I :Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisanya S = f(k)
                                                                            b
    Teorema II :Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisanya S = f(– )
                                                                            a
    Teorema III : Jika suku banyak f(x) dibagi (x – a).(x – b), maka sisanya
                   adalah : S = (x – a), h1(b) + f(a)
                                     dengan h1(x) hasil bagi f(x) oleh (x – a)

                                                           Selanjutnya…
nurin_az@yahoo.com
            Teorema I :
             Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisanya S = f(k)




       Contoh 1:
    Tentukan sisanya bila suku banyak f(x) = x4 + 3x3 + 2x2 + x + 15 dibagi (x – 2)

        Jawab : f(x) dibagi x – 2 sisanya f(2)

        2       1        3       2        1      15       Tanda     berarti dikalikan 2
                         2      10       24      50
                                                       +
                         5      12       25      65 = nilai dari f(2)

                     Jadi sisanya adalah 65
                                                             Selanjutnya…
nurin_az@yahoo.com
         Teorema II :
                                                                      b
          Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisanya S = f(– )
                                                                      a

       Contoh 2:
         Tentukan sisanya bila suku banyak f(x) = 9x4 + 3x3 – 30x2 + 7x + 12
         dibagi oleh (3x – 2)
        Jawab : f(x) dibagi 3x – 2 sisanya f(  )

               9        3      – 30         7   12
                                                           Tanda         berarti dikalikan 
                          6       6      –16     –6
                                                      +
                         9     – 24      –9      6 = nilai dari f(  )

                     Jadi sisanya adalah 6

                                                             Selanjutnya…
nurin_az@yahoo.com
        Teorema III :
         Jika suku banyak f(x) dibagi (x – a).(x – b), maka sisanya adalah :
                                S = (x – a), h1(b) + f(a)

       Contoh 3:
        Tentukan sisa pada pembagian f(x) = 2x4 + 5x3 – x + 8 oleh (x2 + x – 2)

  Solusi : (x2 + x – 2) difaktorkan (x + 2)(x – 1)
cara -1, dapat dicari dengan pembagian bentuk panjang ( coba sendiri…)
cara -2, dengan skema Horner :
Tahap 1 :        f(x) = 2x4 + 5x3 – x + 8 dibagi (x + 2)            didapat s(x) =
                                                                 = (x + 2) . h1(1) + f(-2)
  -2       2          5       0        –1           8
                     –4      –2          4       –6              = (x + 2) . 4 + 2
                                                     +           = 4 (x + 2) + 2
                      1     –2           3        2 = f(–2 )     = 4x + 10
Tahap 2 : h1(x) = 2x3 + x2 – 2x + 3 dibagi (x – 1)             Jadi sisanya adalah 4x + 10

   1      2           1     –2          3
                      2       3         1                         Coba soal lagi
                                             +                        yuk…
nurin_az@yahoo.com    3       1         4 = h1(1)
               Cara lain : suku banyak f(x) dibagi (x – a).(x – b), dapat dinyatakan
                           sbg f(x) = (x – a)(x – b).h(x) + s(x)
               krn pembagi berderajad dua, maka s(x) setinggi-tingginya berderajad satu


      Soal 1:
         Suku banyak f(x) jika dibagi (x + 2) mempunyai sisa 14 dan dibagi (x – 4)
         mempunyai sisa –4. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi (x2 – 2x – 8)

       Solusi : Pembagi x2 – 2x – 8 = (x + 2)(x – 4)       & misalkan s(x) = px + q

                f (x) = (x2 – 2x – 8).h(x) + s(x)
               f (x) = (x + 2)(x – 4).h(x) + px + q
                                 -2p + q = 14           Untuk p = – 3 maka
                f (-2) = 14
                f (4) = – 4      4p + q = – 4                4p + q = – 4
                                                             –12 + q = – 4
                                  –6p + 0 = 18                     q=8
                                     –6p = 18
                                       p=–3                px + q = – 3x + 8


                      Jadi, jika f(x) dibagi (x2 – 2x – 8) sisanya (–3x + 8)

                                                                  Selanjutnya…
nurin_az@yahoo.com
               Rumus lain : suku banyak f(x) dibagi (x – a).(x – b), maka
                       f(a)(x – b) – f(b)(x – a)            (x – b)      (x – a)
                S(x) =                           atau    S = a – b f(a) + b – a f(b)
                                a–b

       Soal 1, jika diselesaiakan dg rumus:
         Suku banyak f(x) jika dibagi (x + 2) mempunyai sisa 14 dan dibagi (x – 4)
         mempunyai sisa –4. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi (x2 – 2x – 8)


       Solusi : Pembagi x2 – 2x – 8 = (x + 2)(x – 4)  a = – 2 & b = 4

              f (a) = 14    f (-2) = 14      & f (b) = – 4  f (4) = – 4

                            f(a)(x – b) – f(b)(x – a)
                     S(x) =          a–b
                              14(x – 4) – (–4)(x + 2)
                     S(x) =
                                     –2–4               Jadi, f(x) dibagi (x2 – 2x – 8)
                              14x – 56 + 4x + 8               sisanya (–3x + 8)
                     S(x) =
                                     –6
                              18x – 48      S(x) = – 3x + 8
                     S(x) =     –6
                                                                   Selanjutnya…
nurin_az@yahoo.com
               Soal 2 :
               Suku banyak f(x) jika dibagi (x2 – x) sisanya (5x + 1), dan jika dibagi (x2 + x)
               sisanya (3x + 1).Tentukan sisanya jika f(x) dibagi (x2 – 1)


       Jawab :
          • f (x) = (x2 – x).h1(x) + 5x + 1
                 = x(x – 1).h1(x) + 5x + 1          f (0) = 1  f (1) = 6
          • f (x) = (x2 + x).h2(x) + 3x + 1
                     = x(x + 1).h2(x) + 3x + 1      f (0) = 1  f (-1) = – 2

           jika f(x) dibagi (x2 – 1), maka sisanya (px + q)
       f (x) = (x – 1)(x + 1).h3(x) + px + q                 Untuk p = 4 maka
                f (1) = 6          p+q= 6
                                                                   p+q=6
                f (-1) = – 2      –p + q = – 2
                                                                  4+q=6
                                    2p + 0 = 8
                                                                      q=2
                                         p=4
                                                               px + q = 4x + 2

                           Jadi, jika f(x) dibagi (x2 – 1) sisanya (4x + 2)
                                                                      Selanjutnya…
nurin_az@yahoo.com
               Soal 2, jika diselesaikan dengan rumus :
               Suku banyak f(x) jika dibagi (x2 – x) sisanya (5x + 1), dan jika dibagi (x2 + x)
               sisanya (3x + 1).Tentukan sisanya jika f(x) dibagi (x2 – 1)


       Jawab : • f (x) = (x2 – x).h1(x) + 5x + 1
                       = x(x – 1).h1(x) + 5x + 1            f (1) = 6   atau   f(a) = 6
                     • f (x) = (x2 + x).h2(x) + 3x + 1
                             = x(x + 1).h2(x) + 3x + 1      f (-1) = – 2 atau f(b) = – 2


     jika f(x) dibagi (x – 1)(x + 1)  a = 1 & b = – 1
                                    f(a)(x – b) – f(b)(x – a)
           maka sisanya S(x) =
                                             a–b
                                     6(x + 1) – (–2)(x – 1)
                            S(x) =
                                            1+1
                                    6x + 6 + 2x – 2                             Oh iya…
                            S(x) =                                             Jawaban
                                          1+1
                                    8x + 4                                       sama
                            S(x) =
                                      2
                                             S(x) = 4x + 2

                          Jadi, f(x) dibagi (x2 – 1) sisanya (4x + 2)
nurin_az@yahoo.com
            Soal 3 :
            Suku banyak f(x) jika dibagi (x + 1) sisa 4, dibagi (x – 2) sisa 3. Suku banyak g(x)
             jika dibagi (x + 1) sisa -3, dibagi (x – 2) sisa -2. Jika h(x) = f(x).g(x), maka
             Tentukan sisa pembagian h(x) apabila dibagi (x2 – x – 2)

       Jawab :
        • f (x)            f (-1) = 4  f (2) = 3
        • g (x)           g (-1) = – 3  g (2) = – 2
                                                                                (x – 2)
                diketahui : h(x) = f(x). g(x) dan h(x) dibagi (x2 – x – 2)
                                                                                 (x + 1)
                     misalkan sisa pembagian : (px + q), maka

        h(x) = (x – 2)(x + 1).H(x) + px + q
           h(2) = f(2). g(2)  h(2) = 3.(-2) = – 6 didapat : 2p + q = – 6
          h(-1) = f(-1). g(-1)  h(-1) = 4.(-3) = –12 didapat : –p + q = –12
                                                                    3p + 0 = 6
                      Untuk p = 2   maka                                p=2
                            –p + q = –12
                            –2 + q = –12     px + q = 2x – 10
                                 q = – 10
                             Jadi, h(x) dibagi (x2 – x – 2) sisanya (2x – 10)
nurin_az@yahoo.com
                         Selamat Mengerjakan ....



                     “ Sesungguhnya disamping kesulitan
                                       ada kemudahan“
                                               ( Qs Al Insyraah: 5-6 )




                                          Muflichati Nurin Az.
nurin_az@yahoo.com

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:195
posted:4/13/2012
language:Malay
pages:10
mr doen mr doen mr http://bineh.com
About just a nice girl