Docstoc

Materi Sistem Persamaan Linear

Document Sample
Materi Sistem Persamaan Linear Powered By Docstoc
					                      SISTEM PERSAMAAN LINEAR
                 DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL


Standar Kompetensi :
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan
pertidaksamaan satu variabel.

Kompetensi Dasar :

        Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan
         campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel.
        Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
         sisitem persamaan linear
        Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
         sistem persamaan linear dan penafsirannya.
        Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk
         pecahan aljabar.
        Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
         pertidaksamaan satu variabel.
        Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
         pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya.

                           BAB I. PENDAHULUAN

A. Deskripsi
Dalam modul ini Anda akan mempelajari Sistem persamaan linear-linear dua
variabel, tiga variabel, Sistem persamaan linear-kuadrat, Sistem persamaan
kuadrat-kuadrat, dan merancang model matematika yang berkaitan dengan
sistem persamaan linear, kuadrat..

B. Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasar-
dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real.

C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah
sebagai berikut:

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang
   mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan
   yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan,
   kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam
   mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah,
     kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau
     bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan
     membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan
     tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1.    Menentukan sistem                persamaan linear-linear dua variabel,
2.    Menentukan sistem                persamaan linear-linear tiga variabel,
3.    Menentukan sistem                persamaan linear-kuadrat
4.    Menentukan sistem                persamaan kuadrat-kuadrat
5.    Merancang model                  matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan
     linear,kuadrat.

                                           BAB II PEMBELAJARAN
A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN LINEAR
     Bentuk Umum sistem persamaan liniear dan linear
     1. Sistem persamaan linear dengan 2 variabel / SPL 2 variabel
        a1 x  b1 y  c1
        a2 x  b2 y  c2

       x dan y adalah variabel
        a1 , a 2 , b1 , b2 , c1 , c2  R

       Cara menyelesaikannya dengan :
       a.   Metode         Eliminasi
       b.   Metode         Substitusi
       c.   Metode         Campuran Eliminasi dan Substitusi
       d.   Metode         Grafik

       Contoh :
       Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut
        x y 2
        3x  7 y  2

       1. Eliminasi
             x y 2                  x3   3x  3 y  6
             3x  7 y  2            x1   3x  7 y  2

                                              4y = 8
                                                y =2
             x y 2                  x7   7 x  7 y  14
             3x  7 y  2            x1   3x  7 y  2

                                               4x = 16
                                                 x= 4
       2. Substitusi
            Dari persamaan (1) y = x – 2 disubstitusikan ke persamaan (2)
            diperoleh
            3x – 7(x – 2) = -2
            3x – 7x + 14 = -2
            -4x = -16
                x=4
            Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)
        4–y=2
        y =4–2
             =2
  3. Campuran Eliminasi dan Substitusi
        x y 2                      x3         3x  3 y  6
        3x  7 y  2                x1         3x  7 y  2


                                                    4y = 8
                                                       y =2
        y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1)
        x–2=2
        x           = 4
  4. Grafik

                                                                       3x – 7y = -2


                                                             (4,2)



                                            2

                                             x–y=2
                            -2




        Dengan grafik dapat dilihat :
        a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan
           penyelesainnya tepat satu anggota)
        b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan penyelesaian
        c. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya mampunyai
           anggota tak terhingga)

2. Sistem persamaan linear dengan 3 variabel / SPL 3 variabel
   a1 x  b1 y  c1 z  d1
   a 2 x  b2 y  c 2 y  d 2
   a3 x  b3 y  c3 z  d 3

  x, y, z adalah variabel
   a1 , a 2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1 , c 2 , c3 , d1 , d 2 , d 3  R

  Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :
   x yz 3
   2x  y  z  5
   x  2y  z  7

  Dengan Metode campuran Eliminasi dan Substitusi :
     Misal dimulai dengan mengeliminasi z
          (1)    dan (2)
          x yz 3
          2x  y  z  5


          3x + 2y     = 8 ..............................(4)
          (1)    dan (3)

          (2)    2x  y  z  5
                 x  2y  z  7


          x -y             = -2............................(5)
          (4) dan (5)
          3x + 2y = 8         x1     3x + 2y = 8
          x -y      = -2 x 3         3x - 3y = -6


                                           5y = 14
                                          y = 14/5
          3x + 2y = 8         x1     3x + 2y = 8
          x -y      = -2 x 2          2x - 2y = -4
                                                                 +
                                           5x = 4
                                          x = 4/5
          x = 4/5 dan y = 14/5 disubstitusi ke persamaan (1) :
          x+y–z=3
          4/5 + 14/5 – z = 3
          18/5 – z = 3
          z = 18/5 – 3
          z = 3/5
          Jadi HP : {4/5,14/5,3/5}
Tugas I
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut
     a. 2p + 3q = 1
          3p + 4q = 1
     b. -5m + 3n = 4
          6m – 5n = 5
           1 1
             5
           x y
        c.
           1 1
             1
           x y
  2. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :
        a. 7x = 21
           x + 2y = 11
           2x – y + z = 7
        b. a + b + 2c = 3
           4a + 2b + c = 13
           2a + b – 2c = 19
        c. x + 2y = -7
           3y – z = -11
           5x + 2z = -25
B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
  Bentuk Umum :
  y = px + q
  y = ax2 + bx + c
  p, q, a, b dan c  R
  Cara menyelesaikannya :
  1. Substitusi
     Substitusikan y = px + q   ke    y = ax2 + bx + c
     Diperoleh :
     px + q = ax2 + bx + c
     ax2 + (b-p)x + (c-q) = 0
     dengan D = (b-p)2 – 4.a.(c-q)
     ada 3 kemungkinan himpunan penyelesainnya :
     a. Jika D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik)
     b. Jika D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik)
     c. Jika D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan)

  2. Grafik
     Ada 3 kemungkinan :


                                     D>0            D=0                D<0
  Contoh :
  Tentukan himpunan penyelesian dari :
  y = 2 –x
  y = x2
  jawab :
  Substitusika y = 2 – x   ke y = x2 diperoleh :
  x2 = 2 – x                              D = b2 – 4ac
  x2 + x – 2 = 0             D = (1)2 – 4.(1).(2) = 1 + 8 = 9
  (x – 1)(x + 2) = 0                   D > 0 (ada 2 penyelesaian)
  x = 1 atau x = -2
  x = 1 disubstitusikan ke y = 2 – x = 2 – 1 = 1
  x = -2 disubstitusikan ke y = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
  Jadi himpunan penyelesaian {(1,1),(-2,4)}
  Dengan grafik dapat digambarkan sebagai berikut :


                                                y = x2
                  (-2,4)




                               (1,1)      y=2-x




C. SISTEM PERSAMAAN KUADRAT - KUADRAT
  Bentuk Umum :
  y = ax2 + bx + c
  y = px2 + qx + r
  Cara menyelesaikannya :
  1. Substitusi
     Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh :
      (a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0     dengan
     D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)
     Kemungkinan penyelesaiannya :
     a. Jika D > 0 (parabola saling berpotongan di dua titik)
     b. Jika D = 0 ( parabola saling berpotongan di satu titik)
     c. Jika D < 0 (parabola tidak saling berpotongan)
  2. Grafik
       Dengan menggambar kedua parabola dalam satu sistem koordinat
  Contoh :
  Tentukan himpunan penyelesaian dari
  y = x2
  y = 8 – x2
  Jawab :
  Substitusikan (1) ke (2)
  x2 = 8 – x2
  2x2 – 8 = 0
  x2 – 4 = 0
  (x – 2)(x + 2) = 0
  x=2      atau   x = -2
  x = 2 diperoleh y = 22 = 4
  x = -2 diperoleh y = (-2)2 = 4
  Jadi HP : {(2,4) , (-2,4)}


                               8


                                                     y = x2



                      (-2,4)               (2,4)



                                                   y = 8 - x2



                               0


Tugas II
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
  a. y = x – 3
       y = x2 – 4x + 3
  b.    y=x+3
       2y = x2 – 2x + 1
  c. y – 2x – 3 = 0
       y – 2x2 + 4x – 7 = 0
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
  a. y = x2 – 3x – 1
     y = 3x2 + 5x + 7
  b y = x2 + 1
     y = 9 – x2
  c. y = 2x2 – 6x
     y = x2 – 2x + 6


D. MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN SPL
  Contoh :
  Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali umur adikku. Lima tahun yang
  akan datang jumlah umur kakek dan adikku sama dengan 93 tahun. Jika umur
  nenek lebih muda 6 tahun dari kakek. Berapa umur nenek sekarang.
  Jawab :
  Misal umur kakek sekarang adalah x
         Umur adikku sekarang adalah y
  Diperoleh persamaan :
  a. x – 10 = 6(y – 10)
     x – 6y = -50 .............. (1)
  b. (x + 5)+(y + 5) = 93
     x + y + 10 = 93
     x + y = 83...................(2)
     Eliminasi persamaan (1) dan (2)
     x – 6y = -50
     x + y = 83


     - 7y = -133
         y = 19
     x + y = 83
     x       = 83 – 19
            = 64
  Contoh :
  Diketahui y = px – 14 dan y = 2x2 + 5x – 12, tentukan batas-batas p supaya
  a. Berpotongan di 2 titik
  b. Bersinggungan
  c. Tidak berpotongan maupun bersinggungan
  Jawab :
  y = px – 14 substitusikan ke y = 2x2 + 5x – 12
  diperoleh :
  2x2 + 5x – 12 = px – 14
  2x2 + (5 – p)x + 2 = 0
  D = (5 – p)2 – 4.2.2
     = 25 – 10p + p2 – 16
     = p2 – 10p + 9
  a. Berpotongan di dua titik (D > 0)
     p2 – 10p + 9 > 0
     (p – 1)(p – 9) > 0
     p < 1 atau p > 9
  b. Bersinggungan di satu titik (D = 0)
     p2 – 10p + 9 = 0
     (p – 1)(p – 9) = 0
     p = 1 atau p = 9
  c. Tidak berpotongan dan menyinggung (D < 0)
     p2 – 10p + 9 < 0
     (p - 1)(p – 9) < 0
     1<p<9

  Tugas III
  1. Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45. Tentukan
     bilangan-bilangan tersebut

  2. Parabola y = ax2 + bc + c melalui titik-titik (1,1), (-1,-5), dan (3, 23)
     Tentukan nilai a, b, c

  3. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan tersebut
     adalah 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan yang
     lainnya. Bilangan ketiga sam dengan jumlah bilangan yang lain dikurangi 4.
     Tentukan bilangan-bilangan itu.


                              BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi
syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk
melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Stats:
views:1361
posted:4/11/2012
language:Malay
pages:9
Description: Materipelajaran matematika tentang sistem persamaan linear.