Ejercicios y problemas de trigonometr�a

							    EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA

IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS
6º-




7º-
8º-




9º-




10º-




CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO.

      1- Determina todas las razones trigonométricas del ángulo x si cos x =-0.8 y el ángulo x está
         en el tercer cuadrante


       Soluciones: sen x =-0.6
                   Tg x = 0.75


      2- Si la tg x =-0.5 y x esta en el cuarto cuadrante determina el resto de las razones
         trigonométricas

       Soluciones: cos x =0.89
                  Sen x =-0.44

      3- Calcula el seno y coseno de un triangulo del tercer cuadrante sabiendo que su tg = √3

        Soluciones: cos x = -0.5
                    Sen x =-0.86
   4- Sabiendo que sen x =3/5 y que 0º≤x ≤ 90º; calcula el cos x y tg x

       Soluciones: cos x =4/5
                   Sen x =3/4


   5- Si el ángulo x esta en el segundo cuadrante calcula el resto de las razones
      trigonométricas si el cosec x =2.5

       Soluciones: sen x =0.4
                   Cos x =-0.91
                  Tg x =-0.43

   6- Si el sen x =0.8 y que 90º≤x≤180º calcula el resto de las razones trigonométricas

       Soluciones: cos x =-0.6
                   Tg x =-1.3

   7- Calcula las razones trigonométricas del siguiente triangulo:


                 Sen x= 7/8.6         sen ß =5/8.6
                  Cos x= 5/8.6        cosß= 7/8.6
                 Tg x =7/5            tgß= 5/7
5cm


        7 cm

   8-calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas de todos los ángulos del
   siguiente triangulo:

                              sen x = 8/10.63         senß = 7/10.63
                              cos x =7/10.63          cos ß= 8/10.63
                              tg x =8/7              tg ß= 7/8

7cm

          8 cm

9. Si senα = 3/10 y 90º ≤ α ≤ 180º, Averigua todas sus razones trigonométricas.

10. Si α = 0’6 y α se encuentra en el 2º cuadrante. Averigua sus razones

11. Si tgα = -2/5 y α se encuentra en el 2º cuadrante. Averigua sus razones

12. Si senα = 0’4 y α está en el primer cuadrante. Averigua el resto de las razones
    trigonométricas

13. Si la sec (x) = ¾ y x es un ángulo agudo, calcula:
        · Cos (180º - x)
       · Sen (180º + x)
       · Tg (90º - x)

14. Si senα = 0’68 y cosα = 0’73, calcula senβ y cosβ


15. Si α es un ángulo agudo y cosα = 4/5, calcula el resto de las razones trigonométricas


  16-Sabiendo que el seno de un angulo agudo es 0.17 calcula:
a) sen (180 + alfa ) SOLUCIÓN: -0.17
b) sec (180 – alfa )  SOL - 1/ 0.985
c) tg (360 – alfa )   SOL -0.17


   17-Sabiendo las razones trigonométricas de 30 º, calcula:
a) cos ( 90 – alfa )  SOL 1 /2
b) cotg (180 + alfa ) SOL √3
c) sen ( 360 – alfa )  SOL - ½

    18- Sabiendo que la tg de un angulo agudo es 1.09 calcula :
a) cosec ( 180 º – alfa )  SOL 1.36
b) tg ( 180 + alfa )        SOL 1.09
c) cos ( 90º – alfa )       SOL 0.735

   19- Sabiendo que la cotg de un ángulo del tercer cuadrante es 0.854 calcula todas las
razones trigonométricas del primer cuadrante:
a) sen alfa      SOL 0.760
b) cos alfa      SOL 0.649
c) tg alfa       SOL 0.73
d) cosec alfa    SOL 1 / 0.760
e) sec alfa      SOL 1 / 0.649
f) cotg alfa     SOL 1 / 0.73


EJERCICIOS TEÓRICOS

1.- Cosec (α) es la razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del
cateto opuesto del ángulo α

Respuesta: Verdadero, ya que si tomamos la circunferencia gniométrica la
hipotenusa tiene el valor de 1 y el cateto opuesto seria el seno, luego:

                                1/sen (α)= cosec (α)

2.- Dado este dibujo di:
1º ¿Que relación hay entre la hipotenusa de un triangulo rectángulo y la
relación 1= sen² (α) + cos² (α)?




Respuesta: Que para conseguir dicha relación primero tenemos que escribir el
teorema de Pitágoras y luego dividirlo todo por la hipotenusa al cuadro y así
obtenemos la relación.

a² = b² + c² ; a²/ a² = b² /a²+ c²/ a² ; 1= b² /a²+ c²/ a² ; 1= sen²(α) + cos²(α)




2º ¿Porqué el seno y el coseno de la relación 1= sen² (α) + cos² (α) están
elevados al cuadrado?


Respuesta: Porque el sen y el cos de la relación se sacan de la división del
teorema de Pitágoras entre la hipotenusa al cuadrado. b/a = sen (α) y c/a= cos
(α)

a² = b² + c² ; a²/ a² = b² /a²+ c²/ a² ; 1= b² /a²+ c²/ a²; 1= sen² (α) + cos² (α)


3.- Explica la relación que hay entre los lados de un triángulo y los ángulos:


Respuesta: Según el teorema del seno, hay una relación de proporcionalidad
entre los senos de los ángulos y los lados opuestos ellos:
senÂ/a = senÊ/e = senÛ/u


4- Demuestra que (sen²)²α · cos²α + sen²α · (cos²)²α = sen ²α · cos ²α

Solucion: sen²α + cos²α = 1
PROBLEMAS

1   De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m.




Resolver el triángulo




         sen B = 280/415 = 0.6747      B = arc sen 0.6747 = 42° 25′


         C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′


         c = a cos B    c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m




         2   De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c =

    21 m. Resolver el triángulo




         tg B = 33/21 = 1.5714      B = 57° 32′


         C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′


         a = b/sen B    a = 33/0.5437 = 39.12 m
     3   De un triángulo rectángulo ABC, se co nocen a = 45 m y B =

22°. Resolver el triángulo




     C = 90° - 22° = 68°


     b = a sen 22°     b = 45 · 0.3746 = 16.85 m


     c = a cos 22°     c = 45 · 0.9272 = 41.72 m




     4   De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B =

37º. Resolver el triángulo




     C = 90° - 37° = 53º


     a = b/sen B      a = 5.2/0.6018 = 8.64 m


     c = b · cotg B   c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
     5   De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B =

41.7°. Resolver el triángulo




     6   De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B =

54.6°. Resolver el triángulo
     7   De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4

m. Resolver el triángulo.




     8   De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5

m. Resolver el triángulo.
         9   Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de

    larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.


.




         10   Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue

    un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del

    pueblo se halla?
       11   Hallar   el   radio   de   una   circunferencia   sabiendo   que   una

cuerda de 24.6 m t iene como arco correspondiente uno de 70°




       12   Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos

de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de

70°.
         13   Calcula la altura de un árbol, sabi endo que desde un punto

    del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos

    acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.




         14   La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar

    los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.


.
     15   Calcular   la   longitud   del   lado   y   de   la   apotema   de   un

octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 ce ntímetros de

radio.
         16Tres     pueblos     A,   B   y   C   están   unidos   por   carreteras.   La

  distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que fo rman

  estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?




17 Calcular la altura de una torre si al situarnos a 25 m de su pie, observamos la parte
más alta bajo un ángulo de 45º.
cos 45º = a / 25 =  2 / 2
25  2 / 2 = a
sen 45º = x / 25 2 / 2 = 2 x / 25
sen 45º = 2 x / 25 2
 2 / 2 = 2 x / 25 2
x = 25


18 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su
copa bajo un ángulo de 60º y si retrocedemos 10 m, bajo un ángulo de 30º.
tg 60º = x / y =  3 x = y  3
tg 30º = x / y +10 =  3 / 3
y  3 / y + 10 =  3 / 3
3y  3 = (y+10)*  3
y=5
x = 5* 3
x= 8´6


19 Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la otra
orilla, bajo un ángulo de 60º. Si nos retiramos 10 m. de la orilla, el ángulo de
observación es de 45º. Calcular la altura del arbol y la anchura del río.
tg 60º = x / y =  3 x = y 3
tg 45º = x / y+10 = 1
y 3 / y+10 = 1
y 3 = y +10
y 3 - y = 10
y( 3 -1) = 10
y = 10/ 3-1 = 13´6 m anchura río
x = y 3 = 23´6 m altura árbol
1. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 17 cm, ¿cuánto miden los
otros dos lados?

2. Conocidos en un triángulo rectángulo el ángulo A = π / 3 rad y el lado b = 23 cm, da
las dimensiones de la hipotenusa c y del cateto a:

3. ¿Cuánto medirá el ángulo central de un dodecágono?

4. Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 16 cm y 9 cm.

5. Calcula las dimensiones del lado desconocido de un triángulo dados dos de sus lados
(9 cm y 14 cm) y el ángulo que forman entre ellos 47º.

6. Calcula el radio de un octógono regular de lado 20 cm.




ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

                       2º cuadrante
1) tg x = -2
                       4º cuadrante

x=arcotg 2 =63,43º en el 1º cuadrante

2º cuadrante: 180º - 63,43º=116,57º                   x=116,57º+360ºk
4º cuadrante: 360º-63,43º=296,57º                     x=296,57º+360ºk

                             2º cuadrante
2) cos x = - 0,7561
                             3ºcuadrante

x=arcos (0,7561)= 40,87º en el 1º cuadrante

2º cuadrante: 180º-40,88º=139,12º                       x=139,12º+360ºk
3º cuadrante: 180º+40,88º=220,88º                       x=220,88º+360ºk

                              1º cuadrante
3) tg x = 4
                              3º cuadrante


x=arcotg 4 = 75,96º en el 1º cuadrante

1ºcuadrante: 75,96º+360ºk
3º cuadrante: 180º+75,96º=255,96º               x=255,96º+360ºk
                          1º cuadrante
4) sen x= 1/5
                          2º cuadrante



Arcosen 1/5 = 11, 53º en el 1º cuadrante

1º cuadrante: 11,53º+360ºk
2º cuadrante: 180º-11,53º=168,47º+360ºk


                       1º cuadrante
5)sen x =0,81
                       2º cuadrante


X=Arcsen 0,81= 54,1º en el 1º cuadrante

1º cuadrante: 54.1º+360ºk
2º cuadrante: 180º-54,1º=125,9º+360ºk



6) 2-5 cos x= 6

-5 cos x= 6 -2
-5 cos x=4
5 cos x= -4
                       2º cuadrante
Cos x= -4/5
                        3ºcuadrante


x=arcocos 4/5= 36,87º en el 1º cuadrante

2º cuadrante: 180º-36,87º=143,13º+360ºk
3º cuadrante:180º+36,87º=216,87º+360ºk

                        1º cuadrante
7) cos x =½
                        4ºcuadrante
Arcos ½=60º en el 1º cuadrante

1º cuadrante=60º+360ºk
4º cuadrante=360º-60º=300º+360ºk




                   1º cuadrante
8) sen x =1
                   2º cuadrante


Arcsen 1 =90º en el 1º cuadrante


1º cuadrante:90º+360ºk
2º cuadrante: 180º-90º=90º+360ºk




                      2º cuadrante
9) tg x= -1
                       4º cuadrante


Arcotg (1) = 45 en el 1º cuadrante

2ºcuadrante: 180º-45º=135º+360ºk
4ºcuadrante: 360º-45º=315º+360ºk


                     1º cuadrante
10) cos x= 1/4
                     4º cuadrante


Arccos (¼)=75,52º en el 1ºcuadrante

1º cuadrante: 75,52º+360ºk
4º cuadrante : 360º-72,52º=287,48ºk+360ºk