Informe de Practicas by xiuliliaofz

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									      Universidad Politécnica de Madrid




Máster en Robótica y Automática




             Asignatura
Dinámica y Control de Robots




       Guía de Prácticas
              Universidad Politécnica de Madrid




Máster en Robótica y Automática




                 Datos del Alumno




Juan Carlos Cambera Ibañez
M10030
Juan David Hernández Vega
M10043
22-Dic-2010
               Normativa para la realización de las
                         prácticas

       Las prácticas de la Asignatura Dinámica y Control de Robots son de obligada
realización para superar la asignatura.

       Todas las prácticas se entregarán al finalizar la quinta práctica en un único
documento en formato .pdf y la misma versión será entregada al profesor en papel.

       Un integrante de cada grupo, escogido al azar por el profesor, deberá defender
su trabajo en una sesión de 10 minutos. La nota obtenida será para todos los
miembros del grupo.

       El guión de prácticas contiene ejercicios propuestos por el profesor. El alumno
es libre de agregar a la lista otros experimentos por iniciativa propia.

       La plantilla que se utilizará para la realización del trabajo es la facilitada por el
profesor.

       La nota obtenida en la actividad práctica de la asignatura Dinámica y Control de
Robots se obtiene a través de la siguiente ecuación:




       Donde Pi es la nota individual obtenida en cada práctica incluyendo la calidad
con la que se ha generado la memoria ( M i ) y Exp es la nota de la defensa oral del
trabajo.
                                  Práctica 1
                   Modelado Dinámico de Robots

   Objetivos

    Adquirir destreza en el modelado dinámico de robots seriales.
    Validar el modelo propuesto mediante herramientas
     computacionales.




   Ejercicios propuestos:
   Dado el robot propuesto en la Fig. 1 se pide
1. Desarrolle el modelo teórico del robot propuesto.
2. Implemente el modelo dinámico en MatLab (preferentemente SimMechanics
   Toolbox).
3. Simule el movimiento libre del robot.




                                  Fig. 1: Robot de 2 D.O.F.


   Datos:
                                         Solución
                        Modelado Dinámico de Robots
       Todos los ficheros creados para Matlab se encuentran en el repositorio SVN
http://code.google.com/p/msc-in-automation-and-
robotics/source/browse/#svn%2Ftrunk, así como los videos que se mencionaran de las
respectivas simulaciones se encuentran en el sitio http://code.google.com/p/msc-in-
automation-and-robotics/wiki/DynamicsAndControl. El sitio es un lugar de respaldo de
diferentes actividades académicas que realizan los autores.

   1. Desarrolle el modelo teórico del robot propuesto:

        Para modelar y simular el comportamiento dinámico de un sistema robótico de
cuerpos rígidos como el expuesto en la Fig. 1, es posible desarrollar las ecuaciones de
movimiento bien sea por la formulación de Lagrangre, basadas en el principio de
conservación de la energía, o por la formulación de Newton-Euler (NE), basadas en el
principio de conservación de fuerzas (rotacionales y translacionales). Para el desarrollo
particular de este ejercicio se optó por utilizar ambas formulaciones, donde se validó la
equivalencia de las mismas, para así deducir las ventajas y desventajas que tiene una
respecto a la otra.

           a. Modelo dinámico mediante la formulación de Lagrange:

       Por razones de simplicidad se procede a calcular el modelo inverso directo de
este robot haciendo uso del método del Langrangiano. A continuación se muestra un
diagrama del robot en 2D.




                                Fig. 2: Diagrama del Robot 2D
      Sea Uref la energía potencial de referencia. Entonces se tiene que las energías
potenciales 1 y 2 vienen expresadas por las siguientes ecuaciones:


                                                                                    (1)



                                                                                    (2)




       La energía cinética de la masa 1, K1, se puede expresar como la suma de la
energía cinética debida al desplazamiento lineal del centro de masa, K1vcm1, más la
energía cinética debido a la rotación del sólido, K1rot. Esto se expresa de la siguiente
forma:


                                                                                    (3)




       Sea       la velocidad del centro de masa del sólido 1, y       su velocidad
rotacional, la energía cinética por el desplazamiento del centro de masa se expresa
como:

Aplicando el mismo procedimiento para el sólido 2. Se tiene:


                                                                                    (4)




        Sean I1 y I2 las matrices de inercia de los cuerpos 1 y 2, y sean Izz1 y Izz2 los
momentos de inercias respecto a un eje que pasa por sus centros de masa en la
dirección del eje z (ver Fig. 2). La energía cinética rotacional del sólido 1 viene
expresada como:

                                                                                    (5)




Sustituyendo estos resultados en la ecuación ( 3 ). Se tiene:

                                                                                    (6)
                                             +
       Si se aplica el mismo procedimiento para el segundo link, se cumple lo
siguiente:


                                                                                                            (7)




         Planteando la energía cinética debida a la velocidad del centro de masa 2 se
tiene:


                                                                                                            (8)




       La velocidad lineal del centro de masa 2 (Vcm2) puede ser descompuesta en dos
componentes perpendiculares, una en dirección radial de una circunferencia de radio
variable con el valor de la articulación 2, y otra en dirección tangencial a esta
circunferencia. Este análisis se puede ver en la gráfica a continuación:




         Fig. 3: Descomposición vectorial (Vcm2) velocidad en dirección radial y velocidad en dirección tangencial


       Dado que la descomposición vectorial de Vcm2 se puede realizar en dos
vectores perpendiculares, la ecuación ( 8 ) se puede escribir como:


                                                                                                            (9)
       La energía cinética rotacional del centro masa 2 se debe a la velocidad con que
se mueve la articulación 1, pues la única que aporta velocidad rotacional. Esta energía
rotacional se plantea de la siguiente forma:


                                                                                  ( 10 )




       Finalmente sustituyendo los últimos resultados en la ecuación 7 se tiene que:


                                                                                  ( 11 )




        Siguiendo con el procedimiento de Euler Lagrange, el Lagrangiano viene dado
por la siguiente fórmula:




       Y luego el torque 1, 1, y la fuerza 2, F2, vienen dados por las siguientes
ecuaciones:




      Realizando las derivadas correspondientes mediante MATLAB (ver código en el
Apéndice) se obtienen los siguientes resultados:




       Escribiendo la dinámica en forma matricial en función de las matrices de Masas
(M), Coriolis (C), y de términos gravitacionales (G), se tiene:
       Donde las matrices M, C y G son respectivamente:




           b. Modelo dinámico mediante la formulación de Newton-Euler:

       Por otra parte se tienen las ecuaciones de movimiento basadas en la
formulación Newton-Euler. Diferentes autores han hecho un estudio y desarrollo
exhaustivo de estas ecuaciones, proponiendo algoritmos recursivos para resolverlas.
En la actualidad Roy Featherstone reunió los diferentes aportes y adicionalmente
propuso la utilización del álgebra espacial para la solución de estas ecuaciones[1]; ésta
algebra es una notación que combina las componentes translacionales y rotacionales
en operadores 6-dimensionales. A continuación se exponen los diferentes
componentes que hacen parte del modelo dinámico según la notación NE.

          Para generalizar el modelo obtenido, todas las cantidades calculadas (inercias
posiciones, velocidades, aceleraciones y fuerzas) se consideran en un espacio de
movimiento 3-dimensional, por lo cual considerando la relativa simplicidad del sistema
y su movimiento, algunas de estas cantidades presentaron comportamientos
constantes o nulos. Además estas cantidades fueron referidas locamente a marcos de
referencias 3-dimensionales de cada cuerpo como se puede apreciar en la Fig. 4,
donde el sistema de coordenadas X0, Y0, X0 es un sistema fijo o inercial, y los sistemas
Xi, Yi, Xi, para i={1,2}, son los correspondientes a cada uno de los cuerpos del robot.
                                             Z0               X2

                                                   Y 0, X 1

                                                                     Z2
                                  X 0, Z 1              Y2
                                 Fig. 4: Marcos de referencias 3-dimensionales de
                                               los cuerpos del robot


       Cada cuerpo a su vez, y según las especificaciones dadas en la Fig. 1, cuentan
con parámetros de masa (masa e inercia) que se deben considerar al momento de
analizar la respuesta dinámica del robot. Estos valores se muestran en la Tabla 1.


     Cuerpoi       Masai (Kg)       Vector al CMi (m)                       Inerciai


         1             0.2




         2             0.1




   Tabla 1: Parámetros de masa del robot, expresados localmente al sistema de referencia de cada cuerpo


       A diferencia del modelo obtenido mediante la formulación de Lagrange, con la
formulación recursiva NE no se obtienen unas ecuaciones simbólicas que calculen los
pares necesarios para un conjunto de entradas, sino que definen todos los parámetros
necesarios para calcular numéricamente dicha solución.

   2. Implemente el modelo dinámico en MatLab (preferentemente SimMechanics
      Toolbox):

       Así como es bien conocido que las formulaciones Lagrange y Newton-Euler son
equivalentes, varios autores también han analizado como la formulación NE es
computacionalmente más eficiente debido principalmente a 2 factores: la estructura
recursiva y la representación elegida para las dinámicas rotacionales [2]. Por este
motivo se seleccionó la formulación NE para implementar el modelo y posterior
simulación del mismo.
       Por otra parte, a pesar de que se sugería el uso de SimMechanics como Toolbox
de simulación, lo autores decidieron en su lugar utilizar el toolbox de Roy Featherstone
[3], ya que en éste se encuentran las soluciones recursivas a los problemas de
dinámica inversa y directa de complejidad lineal, con el uso del álgebra espacial
mencionada; además uno de los autores ha utilizado dicha herramienta para
solucionar las ecuaciones de movimiento de sistemas dinámicamente complejos , de
base flotante y estructura ramificada, como es el caso de una caminante robótico [4].
Un visualización del robot con esta herramienta se puede apreciar en la Fig. 5.




             Fig. 5: Modelo de sólidos para visualizar la simulación del movimiento del robot


       Los parámetros de masa mencionados con anterioridad, así como otros
parámetros geométricos permiten la completa descripción cinemática y dinámica del
robot, necesarias para la obtención de las simulaciones que se explicarán en el
siguiente punto. Esta definición se puede apreciar en el fichero
Robot2DOF_FeatherstoneToolbox.m.

   3. Simule el movimiento libre del robot:

        Las simulaciones de movimiento libre de un sistema robótico, específicamente
un sistema de cuerpos rígidos, se puede realizar al verificar la respuesta dinámica del
sistema ante los efectos de la gravedad. Para esto entonces es necesario definir una o
varias posiciones iniciales para el manipulador robótico, y verificar la evolución del
sistema en el tiempo. El efecto de la gravedad puede ser considerado como una
aceleración que posee el primer cuerpo, o bien un fuerza externa que se aplica a cada
uno de los cuerpos; computacionalmente es más eficiente incluir el término de
aceleración de la gravedad en el primer cuerpo, para que este se propague a lo largo
de la cadena de eslabones. De manera ilustrativa se incluye un diagrama de un cuerpo
rígido donde se puede apreciar las cantidades espaciales (velocidades, aceleraciones y
fuerzas), ver Fig. 6.




              Fig. 6: Operadores espaciales considerados para su descripción dinámica[5]


       El problema dinámico de un sistema de cuerpos rígidos está dividido en el
problema inverso, en el que se calculan los pares en las junturas o articulaciones según
una configuración dada (posición, velocidad, aceleración y fuerzas externas), y en el
problema directo, que de manera complementaria calcula la aceleración del sistema
dados unos pares aplicados en las articulaciones. El segundo de estos permite realizar
simulaciones de la respuesta del sistema. A continuación se mostrarán los resultados
obtenidos para diferentes configuraciones iniciales del sistema, donde la respuesta del
mismo fue obtenida según el proceso de simulación es explicado en la Fig. 7.
    Fig. 7: Diagrama flujo de simulación mediante el cálculo de la dinámica directa del robot


    La primera prueba que se realizó fue con una configuración incial con el
     brazo manipulador completamente extendido verticalmente (Ver Fig. 8).
     Para este caso en particular, el único movimiento que se presenta es en el
     segundo cuerpo, y considerando que está perfectamente alineados no
     genera un movimiento sobre el primer cuerpo móvil del robot (Ver Video).
     Esto también se puede observar en el comportamiento de las posiciones y
     velocidades articulares presentadas en la Fig. 9.
Fig. 8: Efecto de la gravedad para una posición inicial del brazo completamente extendido (cuerpos alineados).




Fig. 9: Posistionces y velocidades del sistema bajo el efecto de la gravedad para una posición inicial del brazo
                                completamente extendido (cuerpos alineados).


           La segunda prueba se realizó con una configuración incial               casi
            completamente extendido verticalmente (Ver Fig. 10). El pequeño angúlo
            de desviación entre los 2 cuerpos, es suficiente para inducir un movimiento
            en todo el sistema, finalizando en un movimiento pendular que no se
            detiene puesto que no se consideraron efecto de fricción (Ver Video). Esto
            también se puede observar en el comportamiento de las posiciones y
            velocidades articulares presentadas en la Fig. 11. Se observa también los
            pasos desde el punto máximo y mínimo de posición de la segunda
            articulación (prismática).




Fig. 10: Efecto de la gravedad para una posición inicial del brazo casi completamente extendido (cuerpos NO
                                                  alineados).




Fig. 11: Posistionces y velocidades del sistema bajo el efecto de la gravedad para una posición inicial del brazo
                             casi completamente extendido (cuerpos NO alineados).


           La tercera prueba se realizó con una configuración incial donde la primera
            articulación orienta el robot hacia abajo y la segunda se encuentra
            completamente contraida (Ver Fig. 12). El único movimienot esperado y
            observado fue el de la segunda articulación a su límite, esto ya que los 2
            cuerpos se encontraban alineados (Ver Video). Esto también se puede
            observar en el comportamiento de las posiciones y velocidades articulares
            presentadas en la Fig. 13. Se observa también los pasos desde el punto
            máximo y mínimo de posición de la segunda articulación (prismática).




   Fig. 12: Efecto de la gravedad para una posición inicial del brazo hacia abajo, con la segunda articulación
                                         contraida (cuerpos alineados).




Fig. 13: Posistionces y velocidades del sistema bajo el efecto de la gravedad para una posición inicial del brazo
                     hacia abajo, con la segunda articulación contraida (cuerpos alineados).


           La cuarta prueba se realizó con una configuración incial donde la primera
            articulación orienta el robot en un posición inclinada y la segunda se
            encuentra completamente contraida (Ver Fig. 14). Para este caso se puede
            observa como por efectos de la gravedad el sistema tiende a orientarse
            hacia abajo, obligando a la segunda articulación prismática a llegar a su
             límite y generando un movimiento pendular en todo el sistema (Ver Video).
             Esto también se puede observar en el comportamiento de las posiciones y
             velocidades articulares presentadas en la Fig. 15.




Fig. 14: Efecto de la gravedad para una posición inicial del robot inclinado, con la segunda articulación contraida
                                             (cuerpos NO alineados).




 Fig. 15: Posistionces y velocidades del sistema bajo el efecto de la gravedad para una posición inicial del robot
                     inclinado, con la segunda articulación contraida (cuerpos NO alineados).
               Evaluación de la Práctica 1
               Modelado Dinámico de Robots


Ejercicios Propuesto                Calificación Concedida
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Calidad de la Memoria
Otros resultados obtenidos
NOTA FINAL PRACTICA 1


Observaciones del profesor:
                                   Práctica 2
                      Análisis del Modelo Dinámico

     Objetivo

      Analizar las propiedades del modelo dinámico y la influencia de
cada uno de los parámetros que intervienen en dicho modelo.




     Ejercicios propuestos

  1. Verifique que                 es una matriz antisimétrica.

  2. Establezca unos valores de referencia deseados o bien diseñe una trayectoria
     sencilla para el extremo operativo. Impleméntela en el modelo construido en
     MatLab de la práctica anterior. El robot alcanza el objetivo? Por qué?
  3. Cambie la inercia de uno de los eslabones. Simule nuevamente utilizando la
     trayectoria anterior. Analice cómo ha afectado el cambio que acaba de hacer
     con respecto a los resultados del apartado 2.
  4. Cómo afecta la gravedad a su robot.
                                          Solución
                        Análisis del Modelo Dinámico

   1. Verifique que                   es una matriz antisimétrica.


       A continuación se realiza la comprobación de que la matriz                 es
una matriz antisimétrica. Considérense los resultados de las matrices M y C obtenidos
en la sesión anterior:




                       C=



       Es fácil demostrar que la matriz    se puede escribir como:




       Entonces también es cierto que la matriz                  es igual a:




Lo cual demuestra que es una matriz antisimétrica.
   2. Establezca unos valores de referencia deseados o bien diseñe una trayectoria
      sencilla para el extremo operativo. Impleméntela en el modelo construido en
      MatLab de la práctica anterior. El robot alcanza el objetivo? Por qué?
       Para este caso en particular y por las capacidades de movimiento del robot
asignado para las prácticas, se diseñó un generador de trayectorias, o control
cinemático, que genera movimientos con forma de espirales de Arquímedes [6]. La
ecuación ( 12 ) define este tipos de curvas, donde r y , son respectivamente el radio y
ángulo de un punto de la espiral. Con este tipo de movimiento se tiene la
particularidad de generar trayectorias donde radio depende del ángulo de giro, lo que
traducido al espacio de coordenadas articulares del robot implica que el radio depende
del valor de la segunda articulación. Por otra parte, la variable independiente, en este
caso , es coincidente con el valor de la primera articulación. Los valores de a y b son
constantes y afectan la forma de la espiral. En la Fig. 16 se puede apreciar la
trayectoria Cartesiana diseñada para el robot.


                                                                                                       ( 12 )




     Fig. 16: Trayectoria Cartesiana del robot describiendo una espiral de Arquímedes, con a=0.1 y b=0.02


       La espiral calculada y presentada en la Fig. 16 está diseñada de manera que el
robot alcance todos los puntos, pues el radio máximo de la espiral no supera la
longitud máxima de robot contando su capacidad de movimiento prismático de la
segunda articulación (Ver video).
               Fig. 17: Trayectorias articulares del robot para realizar la espiral del arquímedes




  Fig. 18: Pares necesarios para que robot realice la espiral del arquímedes, calculados mediante el algoritmo
                                       recursivo Spatial Newton-Euler[1]


        En la Fig. 17 se presentan las trayectorias articulares del robot necesarias para
realizar las trayectorias Cartesianas presentadas en la Fig. 16. Adicionalmente en la Fig.
18 se presentan los pares necesarios para realizar estas trayectorias. Dichos pares
fueron calculados mediante el algoritmo recursivo de dinámica inversa implementado
por Roy Featherstone [1].

   3. Cambie la inercia de uno de los eslabones. Simule nuevamente utilizando la
      trayectoria anterior. Analice cómo ha afectado el cambio que acaba de hacer
      con respecto a los resultados del apartado 2.
        Según la especificación que se dio en el ejercicio propuesto, el primer cuerpo
cuenta con una inercia, mientras que el segundo se considerada como una masa
puntual. Por lo anterior se modificó la inercia del primer cuerpo. Además, dado que la
masa se calculó asumiendo un cuerpo de constitución uniforme de forma cilíndrica, la
variación de inercia se hace con base a un cambio de densidad del material de cuerpo
rígido, pero tomando en cuenta que el volumen sigue siendo el mismo, la inercia se
varía aumentando o disminuyendo la masa del cuerpo.




        Fig. 19: Pares necesarios para que robot realice la espiral del arquímedes; se ha aumentado el valor de
                       la masa del primer cuerpo y en consecuencia la inercia del mismo


        En la Fig. 19 se pueden apreciar los pares necesarios para realizar la espiral
expuesta en la Fig. 16, sin embargo en este caso en particular se ha aumento la inercia
del primero cuerpo, como se explico anteriormente. Se aprecia claramente como el
par de la primera articulación ha aunmentado en valor respecto a los expuestos
inicialmente en la Fig. 18. También observa como el par de la segunda articulación se
mantiene con los mismos valores, esto se debe a que el aumento de la inercia del
primer cuerpo afecta de manera directa la primera articulación, la segunda no tendrá
necesidad de aplicar un mayor par para vencer mayor resistencia al movimiento
(inercia).
       Fig. 20: Pares necesarios para que robot realice la espiral del arquímedes; se le ha asignado una inercia
                                       al segundo y una masa mayor.


       En la Fig. 20 se aprecia de manera clara como definir una inercia y aumentar la
masa del segundo cuerpo aumenta aumenta los pares en las dos articulaciones
(compárese con las Fig. 18 y Fig. 19). Claramente queda demostrado el acoplamiento
dinámico de los cuerpos rígidos, puesto que una mayor inercia en el segundo cuerpo
implica un mayor par para la articulación propia del cuerpo y las anteriores al mismo.

   4. Cómo afecta la gravedad a su robot.
       Una de las razones de haber seleccionado la formulación Newton-Euler para las
pruebas que se han realizado a lo largo de estas prácticas, fue la eficiencia
computacional de las implementaciones recursivas que solucionan los problemas
dinámicos. Sin embargo, otro aspecto importante que se logra con este tipo de
formulación es el hecho de lograr generalizar la dinámica de un solo cuerpo rígido por
medio de una notación en la que se consideran como parámetros locales a cada
cuerpo las posiciones, velocidades, aceleraciones, inercias y fuerzas, éstas últimas
incluyendo las externas e internas. Esta generalización del comportamiento de
sistemas bien sea seriales o ramificados, permite que factores externos como
gravedad, impactos, fricción, entre otras, sean fácilmente incluidos en modelo.
        Fig. 21: Pares necesarios para que robot realice la espiral del arquímedes; se ha omitido el efecto de la
                                           gravedad en el modelo.


        En la Fig. 21 realizó la simulación del robot para encontrar los pares necesarios
para realizar una espiral de Arquímedes como ya se había mostrado en las Fig. 18, Fig.
19 y Fig. 20, con la diferencia que en este caso particular se omitió el efecto de la
gravedad. En este caso se observa claramente el comportamiento lineal de los pares
que no tienen fluctuaciones debdio a que no se encuentran en configuración alguna
donde se deba compensar o “vencer” el efecto de la gravedad, solo son necesarios
pares para “vencer” la oposición de movimiento propia de los cuerpos, es decir, sus
inercias.
               Evaluación de la Práctica 2
                Análisis del Modelo Dinámico


Ejercicios Propuesto                  Calificación Concedida
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Calidad de la Memoria
Otros resultados obtenidos
NOTA FINAL PRACTICA 2


Observaciones del profesor:
                                      Práctica 3
                Modelo Dinámico del Robot con Actuadores

       Objetivo

      Incluir el modelo dinámico de los actuadores al modelo dinámico de
un robot y analizar la influencia del mismo.




       Ejercicios propuestos:


   1. Seleccione los servo-motores adecuados para su robot.
       Como ya se sabe, la selección de los servoaccionamientos que usará el robot
estará determinado por las fuerzas bajo las cuales estén los actuadores del sistema,
dependiendo de las tareas (posiciones, velocidades y aceleraciones) que se esperen del
mismo. Con lo anterior es claro que este proceso de selección dependerá de los
resultados que se obtengan de la dinámica inversa del robot. Básicamente el proceso
de selección consta de 2 fases:

               Cálculo de los pares máximos requeridos.
               Obtención de los datos de los motores.

       a.   Cálculo de los pares máximos requeridos.
        Para este caso en particular se realizó una consideración adicional a la
planteada inicialmente en clase. Considerando el robot presentado en la Fig. 1 y sus
marcos de referencia 3-dimensionales asignados, tal como se aprecian en la Fig. 4,
para primera articulación (rotacional) se puede considerar como la peor posición un
ángulo de 0 rad, allí se presentarán los peores casos de esfuerzos para dicha
articulación, sin embargo, esta posición generará esfuerzos mínimos en la segunda
articulación, ya que por la configuración mecánica del robot, el segundo cuerpo en
esta posición no realiza movimiento relativo a su articulación. Por lo tanto se ha
decidido tener 2 configuraciones para obtener los pares máximos requeridos.
   Fig. 22: Diagrama de bloques de sistema de prueba para el cálculo de pares máximos para la selección de
                                            servoaccionamientos


        En la Fig. 22 se muestra un diagrama de bloques hecho en Simulink mediante el
cual se calcularon los pares máximos para la selección de los motores. Adicionalmente,
dado que durante el desarrollo de esta práctica se diseñaron diferentes aspectos del
funcionamiento del robot, incluido el control cinemático del mismo, se decidió utilizar
como perfiles de velocidad de prueba para la selección de los motores, aquellos
definidos para las trayectorias de la espiral de Arquímedes [6]. En este control
cinemático se definieron el conjunto de posiciones, velocidades y aceleraciones
esperadas por el sistema.




  Fig. 23: Perfil de velocidad para selección servoaccionamientos, articulación 1 [rad/s] y articulación 2 [m/s]
                                                                                         2                       2
 Fig. 24: Perfil de aceleración para selección servoaccionamientos, articulación 1 [rad/s ] y articulación 2 [m/s ]


        Los perfiles de velocidad y aceleración para la selección de sevoaccionamientos
se pueden apreciar en la Fig. 23 y Fig. 24. El perfil de velocidad se caracteriza por tener
un intervalo de aceleración, intervalo constante e intervalo de desaceleración. Esto
obedece con un comportamiento esperado del sistema ajustado a una trayectoria
espiral de Arquímedes como la propuesta en la práctica anterior y base para el
desarrollo de todo el ejercicio propuesto en las demás prácticas. En la Fig. 23 se puede
apreciar la velocidad máxima para cada uno de los actuadores, para el caso de la
primera articulación se tiene un valor de 1.662 [rad/s], mientras que para la segunda
articulación se tiene un valor de 0.0545 [m/s].

        La velocidad máxima de la primera articulación (i.e. 1.662 rad/s) es
aproximadamente 16 rpm. Asumiendo el uso de motores que trabajan 5000 rpm se
tiene que el factor de reducción es 5000/16=312.5, se asume entonces un factor de
reducción de 300. Para el caso de la segunda articulación se asume el uso de
reductores husillos de bolas de paso 25 mm. Para calcular el factor de reducción es
necesario encontrar la equivalencia en rpm que corresponden a la velocidad máxima
de la articulación prismática[7]. Esto se logra mediante la ecuación




        Donde v es la velocidad máxima (mm/s) y p es el paso del husillo (mm). Para
este caso en particular v=54.5mm/s y p=25mm, entonces la velocidad máxima es de
aproximadamente 132 rpm. 5000/132 da un factor de reducción aproximadamente
igual a 38.
       Se seleccionaron 2 configuraciones de posiciones críticas para calcular los pares
máximos. Para el caso de la primera articulación se coloca el robot con un valor de 0
rad en la primera articulación y 0.2 m en la segunda Q1=[0,0.2]. Para encontrar las
fuerzas máximas de la segunda articulación se define una segunda configuración
Q2=[pi/2, 0.2]. Asumiendo estas configuraciones se obtuvieron los siguientes
resultados.




         Fig. 25: Gráficas de Torques/fuerzas de las articulaciones para encontrar sus valores pico y nominal


        En la Fig. 25 se aprecian las curvas de los torques y fuerzas de las articulaciones
1 y 2 ante los perfiles de velocidad presentados en la Fig. 23. Se obtuvo para la
articulación 1 un par pico de 3.3977x10-4 Nm y un par nominal 3.2955 x10-4, mientras
que para la articulación 2 se obtuvo una fuerza pico de 0.26 Nm y una fuerza nominal
de 0.237 Nm.


       Se utiliza entonces la ecuación                       , con F como la fuerza (N), p es el paso
del husillo (m) y n es la eficiencia del husillo (se asume de 0.85). Realizando las
correspondientes transformaciones se obtienen los pares pico y nominal para cada
articulación, como se puede ver en la Tabla 2.


       Articulación                                  1                                      2


         pico(Nm)                            3.3977x10-4                             1.217x10-4


        nominal(Nm)                         3.2955 x10-4                             1.109x10-4


                                 Tabla 2: Par pico y nominal para cada articulación
         b. Obtención de los datos de los motores.
       Calculados los pares pico y nominal se procede a seleccionar los motores que
cumplan con estas especificaciones. Sin embargo, dichos valores de pares deben ser
multiplicados por un factor de seguridad de 1.5. Los valores de los pares pico y nominal
incluyendo el factor de seguridad se presenta en la Tabla 3. Ahora, considerando estos
valores, se seleccionaron los motores y se extrajeron sus características que son
presentadas en la Tabla 4.


         Articulación                                1                                      2


          pico(Nm)                           5.0965x10-4                            1.8255x10-4


         nominal(Nm)                        4.9432x10-4                             1.6635x10-4


                Tabla 3: Par pico y nominal para cada articulación considerando el factor de seguridad



Articulación     Nombre            R()           L(mH)         KT(mH/A)        Kv(V/rad/s)        Imáx(A)
                  Motor
     1          DB17CDB             6.9            1.28           0.035             0.035                3.6
     2          DB17CDB             6.9            1.28           0.035             0.035                3.6
                               Tabla 4: Datos de los motores seleccionados.


   2. Obtenga el modelo dinámico de sus servo-motores. Suponga que la dinámica es
      lineal.
         En la Fig. 26 se muestra el modelo dinámico del motor expresado como un
         diagrama de bloques de primer orden. Este diagrama para analizar la respuesta
         dinámica del sistema completo y se demostrará la incidencia del mismo sobre
         todo el sistema en el siguiente punto. Como parte de las




     Fig. 26: Modelo dinámico del motor expresado como diagrama de bloques. Sistema de primer orden
   3. Agregue esta dinámica a la de su robot en MatLab y analice los cambios que
      observa.
       Para validar el comportamiento dinámico del sistema incluyendo la dinámica de
los motores, se optó por verificar cómo el diseño de un control desacoplado,
considerando las reducciones calculadas en la el primer punto de esta práctica,
permiten diseñar controladores independientes para cada actuador del sistema sin
considerar la dinámica del resto del sistema. Inicialmente se ha diseñado un
controlador para cada articulación de la siguiente manera:




     Fig. 27: Diagrama de bloques para la sintonización de controlador PID para la articulación 1 del robot




Fig. 28: Diagrama de bloques para la sintonización de controlador PID para la articulación 1 del robot, se aprecia
                      fución adicional que convierte par del motor en fuerza translacional
       En las Fig. 27 y Fig. 28 se aprecian los diagramas de bloques para la
sintonización de los controladores PID para cada una de las articulación por separado.
Para esto lo que se hace es fijar las posiciones, velocidades torques/fuerzas de las
demás articulaciones a un valor fijo, dejando solo por variar la articulación en
particular que se está ajustando el controlador. Ajustando manualmente los
parámetros del los controladores se obtuvo de manera independiente las respuestas
presentadas en la Fig. 29. Como se puede apreciar se han variado los parámetros del
controlador hasta obtener una respuesta críticamente amortiguada.




      Fig. 29: Respuesta de los controladores para cada una de las articulaciones ante una entrada paso


       Teniendo los controladores sintonizados se probó la respuesta del sistema ya
no de manera independiente, sino ante las trayectorias esperadas para el robot, en
este caso una trayectoria de tipo espiral de Arquímedes. En la Fig. 30 se aprecia el
diagrama de bloques completo del sistema incluyendo sus reguladores, así como un
bloque de control cinematico encargo de la generación de trayectorias del robot.

       Como era de esperarse y considerando las reductoras utilizadas en el sistema,
en la Fig. 31 se aprecia como el sistema puede seguir las trayectorias especificadas
para cada una de sus articulaciones. Estas trayectorias se caracterizan por tener
periodos de aceleración, constantes y desaceleración, lo cual resulta coherente no solo
para las pruebas de diseño (perfiles trapezoidales) sino para una aplicación real del
sistema. Puede apreciarse también como los controladores diseñados de manera
independiente no pierden su validez funcionando en de manera conjunta, esto se debe
básicamente al desacople dinámico del sistema por las reductoras utilizadas.
       Fig. 30: Diagrama de bloques en la que se muestra el sistema completo con los 2 controladores y la
                 entrada del sistema generada por un control cinemático de trayectorias




Fig. 31: Respuesta del sistema ante una trayectoria de tipo esperial de arquímedes. Control desacoplado.
               Solución
Modelo Dinámico del Robot con Actuadores
               Evaluación de la Práctica 3
      Modelo Dinámico del Robot con Actuadores


Ejercicios Propuesto                Calificación Concedida
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Calidad de la Memoria
Otros resultados obtenidos
NOTA FINAL PRACTICA 3


Observaciones del profesor:
                                  Práctica 4
                              Control de Robots

     Objetivo

      Diseñar i implementar diferentes tipos de controladores para un
robot serial y evaluar cualitativamente la estabilidad del sistema
controlado.



     Ejercicios propuestos:


  1. Para el robot modelado en la práctica 1, implemente los siguientes tipos de
     controladores:
        a. Control proporcional con realimentación de velocidad.
        b. Control PD
        c. Control PD con compensación de la gravedad.
        d. Control con Dinámica inversa.
  2. Suponga que el extremo operativo de su robot interactúa con un entorno
     suave. Implemente un controlador compliante.
                                                Solución
                                        Control de Robots
        El control de manipuladores industriales se clasifica fundamentalmente en dos
clases. La primera clase referida al control de manipuladores que se desplazan
libremente en un espacio de trabajo sin ninguna interacción con el ambiente. Y una
segunda clase cuyos robots están diseñados para la interacción con el medio
ambiente, típicamente aplicando una fuerza [7]. En esta práctica sólo se tratará el
control de movimiento de manipuladores que se desplazan libremente en su espacio
de trabajo, que constan de accionadores ideales sin dinámica.
        A continuación se presenta la implementación de los controladores clásicos
para la solución de este problema. Cada apartado incluye las gráficas de simulación del
sistema controlado ante un escalón y una trayectoria espiral de Arquímedes acelerada.
        Los parámetros de simulación de las señales de referencia son los presentados
en la Tabla 5 y Tabla 6.


           Escalón 1 (Posición inicial-final)              55-56 grados

           Escalón 2 (Posición inicial-final)             0 -0.05 metros

           Tiempo del escalón                              0.5 seg
                               Tabla 5: Parámetros de la referencia escalón


           Posición Inicial articulación 1            45 grados =0.7854 rad

           Posición Final articulación 1              245 grados= 4.2761 rad

           Posición Inicial articulación 2            0 metros

           Posición Final articulación 2              0.2 metros

           Velocidad máxima alcanzada por la          60 grados/seg =1.0472 rad/seg
           articulación 1

           Velocidad máxima alcanzada por la          0.06 metros/seg
           articulación 2

           Duración de la trayectoria                 5 seg

           Tiempo de Inicio de trayectoria            0.2 seg
                        Tabla 6: Parámetros de la referencia espiral de Arquímedes


      Las curvas de posición y velocidad de la trayectoria espiral de Arquímedes se
presentan a continuación, en la Fig. 32 y Fig. 33:
                                                         a)




                                                         b)

Fig. 32: Trayectorias de referencia de posición y velocidad de la articulación 1 (grados/seg Vs. seg):a, posiciones de
                                       referencia; b, velocidades de referencia
                                              a)




                                              b)

Fig. 33: Trayectorias de referencia de posición y velocidad de la articulación 2 (grados/seg Vs. seg): a,
                    posiciones de referencia; b, velocidades de referencia
       Las matrices de ganancia del controlador PD Kp y Kv utilizadas para los primeros
3 esquemas de control se presentan en la Tabla 7.




                        a)                                                          b)

       Tabla 7: Matrices de ganancia de la acción proporcional a), y acción derivativa del controlador PD


       Para el último esquema se aprovecha de una característica propia del sistema
controlado, y se realizan los cálculos para garantizar ciertas características en la
respuesta del sistema controlado.
       a.    Implemente un control proporcional con realimentación de velocidad.
       El control proporcional con realimentación de velocidad es el controlador de
malla cerrada más sencillo que puede emplearse para el control de robots que se
mueven libremente. La ley de control que le gobierna es la siguiente:




       Donde Kp y Kv son matrices simétricas definidas positivas, y                                         ,
donde qd es la posición articular deseada. Esta acción de control así como la anterior
suele ser referida en la bibliografía como control PD, lo cual no es una nomenclatura
del todo correcta para en el sentido más general, pero se considera de esta forma
dado que en el caso particular donde el vector                      Esta acción de control así como la
anterior suele ser referida en la bibliografía como control PD, lo cual no es una
nomenclatura del todo correcta para en el sentido más general, pero se considera de
esta forma dado que en el caso particular donde el vector                                 se restringe a ser
constante [7]. El diagrama en Simulink de este esquema de control se presenta a
continuación.
       Fig. 34: Control proporcional por retroalimentación de velocidad (Diagrama de Simulink-Matlab)


       En la figura a continuación se muestra el contenido del bloque de dinámica
directa. El bloque MATLAB-Function llama al método de dinámica directa
implementado siguiendo el algoritmo de Roy Featherstone.




          Fig. 35: Implementación de la dinámica directa en Simulink-Matlab. Los switch se utilizaron para forzar
 la posición de una de las articulaciones y trabajar como si fuese un robot de 1GDL en las primeras pruebas del
                                                      control.
         Respuesta del sistema controlado ante un escalón unitario

       A continuación las respuestas del sistema controlado ante las entradas de
referencia escalón:




                                                                                                      a)




                                                                                                      b)


        Fig. 36: Respuesta del sistema ante una referencia escalón: a) respuesta ante una referencia escalón de
 amplitud 1 grado a la articulación (grados Vs. seg) 1;b) respuesta ante una referencia escalón de 0.05 (metros
                                                     Vs.seg).
       En las gráficas presentadas en las Fig. 36 presentadas en este apartado se
demuestra que los objetivos de control de posición no se logran. Las respuestas del
sistema tiene un error de estado estacionario, para los escalones de referencia
considerados, de 0.1960 grados y 0.0081 m para la articulación 1 y 2 respectivamente.
Con respecto a las características transitorias de la respuesta los tiempos de
establecimiento son de aproximadamente 0.25 seg en ambos casos, y los sobrepicos
despreciables son prácticamente despreciables.

        Un fenómeno relevante de este sistema se aprecia en los primeros instantes de
la simulación donde aún cuando la respuesta del sistema parte de un error cero de
posición respecto a la referencia, el sistema se estabiliza por debajo de la referencia
hasta que las acciones de control generan el torque suficiente para compensar la
gravedad. Como se verá en futuros controladores, los errores de estacionario para este
sistema controlado se debe a la presencia de términos gravitacionales, g(q), no nulos
en la dinámica del robot que no han sido compensados correctamente.

        De manera similar a la teoría clásica de control para sistemas lineales los
errores de estado estacionario se pueden mejorar mediante el aumento de la ganancia
proporcional Kp; y el tiempo de establecimiento mediante la disminución de la
ganancia derivativa Kv, a cambio de un aumento del máximo pico en la respuesta
transitoria. Una diferencia apreciable con respecto a la teoría clásica de control es que
no se pueden posicionar directamente los polos del sistema a lazo cerrado
arbitrariamente de manera de garantizar ciertas propiedades en la respuesta del
sistema. Otra diferencia notoria entre el análisis de los sistemas no lineales,
específicamente de brazos manipuladores, es que las características propias de las
respuesta del sistema varían con la región de trabajo. Esto último se hará más evidente
en la siguiente sección.

        Respuesta del sistema ante una trayectoria de referencia

       A continuación las respuestas del sistema ante una trayectoria de referencia:
               Fig. 37: Respuesta del sistema ante una trayectoria espiral de Arquímedes: a) seguimiento de
trayectoria de la articulación 1 (grados Vs. seg);b) seguimiento de trayectoria de la articulación 2 (metros Vs. seg)
       Las gráficas presentadas en la Fig. 37 nos muestran que el robot sigue la
trayectoria de referencia pero con un cierto error. Este error varía de acuerdo a la
posición de la instantánea del robot. En la gráfica de la articulación 2, es más fácil
notar que primeramente el robot mantiene un error positivo respecto a la referencia
hasta el segundo 3.5 donde el error cambia de signo y comienza a crecer con el signo
contrario. Este cambio de signo corresponde justamente cuando el robot cruza los
180º. Este resultado hace evidente que uno de los principales inconvenientes en el
control de posición y trayectoria de los robots es el efecto de la gravedad sobre el
sistema.

       b. Implemente un control PD.
       El control proporcional con realimentación de velocidad es el controlador de
malla cerrada más sencillo que puede emplearse para el control de robots que se
mueven libremente. La ley de control que le gobierna es la siguiente:




       Donde Kp y Kv son matrices simétricas definidas positivas, y                             ,
donde qd es la posición articular deseada. .El diagrama en Simulink de este esquema
de control se presenta en la Fig. 38.




                 Fig. 38: Control proporcional- derivativo (PD) (Diagrama de Simulink-Matlab)


      Para el caso de referencias del tipo de escalón este controlador se comporta
exactamente igual al presentado en el punto anterior, por ello las respuestas ante
referencias escalones se omiten en este apartado. En la Fig. 39 se presentan la
respuesta ante la trayectoria espiral de Arquímedes.




                                                                                                               a)




                                                                                                             b)


               Fig. 39: Respuesta del sistema ante una trayectoria espiral de Arquímedes: a) seguimiento de
trayectoria de la articulación 1 (grados Vs. seg);b) seguimiento de trayectoria de la articulación 2 (metros Vs. seg)
        En las gráficas de la Fig. 39 se muestra que esta respuesta no presenta mayor
diferencia con la respuesta del sistema anterior. Solo se resalta una mínima mejora en
el error de seguimiento que es mayormente apreciable en la articulación 1. Este
análisis no es del todo concluyente pues habría que hacer un estudio de la robustez de
ambos sistemas para destacar otras ventajas comparativas.

       c.   Implemente un control PD con compensación de la gravedad.
       El control PD con compensación de gravedad consiste en adherir a la ley de
control del caso anterior un término de compensación de la gravedad. Para el caso de
compensación de gravedad precalculada, que fue el tratado para este análisis, la ley
de control que le gobierna es la siguiente:




       Donde Kp y Kv son matrices simétricas definidas positivas, y                                          ,
donde qd es la posición articular deseada. .El diagrama en Simulink de este esquema
de control se presenta en la Fig. 40.




        Fig. 40: Control proporcional- derivativo (PD) con compensación de gravedad precalculada (Diagrama
                                             de Simulink-Matlab)


         El esquema de la Fig. 40 es muy útil cuando el robot realiza tareas repetitivas
 pues los valores de compensación pueden ser calculados fueras de línea. Existe otro
esquema de control, similar al anterior, donde la matriz de compensación de gravedad
  se calcula con las salidas instantáneas del sistema y no con la referencia. La ley de
control de este esquema, y su representación en Simulink se presentan a continuación:




 Fig. 41: Control proporcional- derivativo (PD) con compensación de gravedad calculada(Diagrama de Simulink-
                                                      Matlab)


         Respuesta del sistema con compensación de gravedad precalculada ante un
          escalón unitario

       En la Fig. 42 se presenta las respuestas del sistema ante referencias del tipo
escalón. Nótese, primeramente, que cuando el sistema arranca con un error cero este
mantiene su posición mientras la referencia no cambie. Cuando el escalón ocurre en
0.5 seg el sistema sigue a la referencia con un tiempo de establecimiento de 0.15 seg y
0,18 seg para la articulación 1 y 2, respectivamente, y una sobreoscilación despreciable
en ambos casos. Cuando el sistema está establecido al final de la simulación el error de
estado estacionario es cero.

        Este sistema representa una notoria ventaja sobre los esquemas anteriores
pues anula los errores de estado estacionario del sistema. Esto confirma la hipótesis
planteada en los esquemas anteriores donde se afirmaba una fuerte correlación entre
los errores de estado estacionario y término de gravedad no nulo.
                                                                                                   a)




                                                                                                   b)


       Fig. 42: Respuesta del sistema controlado con control PD con compensación de gravedad precalculada
ante una referencia escalón: a) respuesta ante una referencia escalón de amplitud 1 grado a la articulación
             (grados Vs seg) 1;b) respuesta ante una referencia escalón de 0.05 (metros Vs. seg)
          Respuesta del sistema con compensación de gravedad precalculada ante una
           trayectoria

       En la Fig. 43 se presentan las respuestas del sistema ante una trayectoria de
referencia de tipo espiral de Arquímedes.




                                                                                                            a)




                                                                                                           b)


               Fig. 43: Respuesta del sistema ante una trayectoria espiral de Arquímedes: a) seguimiento de
trayectoria de la articulación 1 (grados Vs. seg);b) seguimiento de trayectoria de la articulación 2 (metros Vs. seg)
       En las gráficas de la Fig. 43 se denota que la salida del sistema realiza un
seguimiento fino de la trayectoria sin errores apreciables debido a la configuración
instantánea del robot.

       d. Control con Dinámica inversa.


        El control PD por dinámica inversa desacopla el control de cada una de las
articulaciones mediante la prealimentación de la dinámica inversa. La ley de control
esta expresada por las siguientes ecuaciones:




       Donde Kp y Kv son matrices simétricas definidas positivas, y                      ,
donde qd es la posición articular deseada. Si se realizan las simplificaciones pertinentes
sobre el sistema se obtiene la siguiente ecuación de bucle cerrado:




        Al considerarse Kv y Kp matrices diagonales, el error evolucionará en cada
articulación de la siguiente manera:




      Esto implica que se puede hacer una asignación directa de polos para el control
independiente de cada articulación. Esta es una libertad que ninguno de las estrategias
de control estudiadas anteriormente ha permitido. Los polos de cada grado vienen
dado por la siguiente ecuación:




        El diagrama en Simulink de este esquema de control se presenta en la Fig. 44.
     Fig. 44: Control proporcional- derivativo (PD) por dinámica inversa (Diagrama de Simulink-Matlab)


        Respuesta del sistema controlado ante un escalón unitario

        Haciendo uso de la ecuación de asignación indicada en el apartado anterior, se
ha diseñado las matrices de ganancia del control PD de manera de garantizar un
tiempo de establecimiento de 0.3 segundos con una respuesta transitoria del tipo
críticamente amortiguada. Las matrices de ganancia resultantes se presentan en la
tabla a continuación:




                       a)                                                       b)


            Tabla 8: Ganancias Proporcional Kp y Derivativa Kv del sistema de control para un tiempo de
               establecimiento de 0.3 segundo y una respuesta críticamente amortiguada.
           Fig. 45: Respuesta del sistema controlado con control PD por dinámica inversa ante una referencia
  escalón: a) respuesta ante una referencia escalón de amplitud 1 grado a la articulación (grados Vs seg) 1;b)
                        respuesta ante una referencia escalón de 0.05 (metros Vs. seg).


        En las gráficas de la Fig. 45 se puede ver que los parámetros diseñados para
definir el comportamiento de la respuesta temporal del sistema son bastante precisos
y siguen las mismas técnicas de diseño que la teoría clásica de control.
          Respuesta del sistema ante una trayectoria de referencia

       En la Fig. 46 se muestran las gráficas de la respuesta al sistema ante una
referencia de espiral de Arquímedes. Las ganancias del controlador PD han sido
consideradas iguales a las del apartado anterior.




               Fig. 46: Respuesta del sistema ante una trayectoria espiral de Arquímedes: a) seguimiento de
trayectoria de la articulación 1 (grados Vs. seg);b) seguimiento de trayectoria de la articulación 2 (metros Vs. seg)
       Estas gráficas demuestran un seguimiento exacto de la trayectoria indicada.
Esto indica que el esquema ha anulado la dinámica del sistema a controlar. Téngase en
cuenta que para los efectos de las simulaciones se ha partido del conocimiento exacto
de la dinámica del sistema. En los casos reales no sé esta en conocimiento de esta
información, y además existen otros factores como la respuesta dinámica de los
actuadores, los roces y juegos mecánicos que imposibilitan la perfecta anulación de la
dinámica del sistema.

       Aunque las características de diseño y de errores de seguimiento resultan
bastante ventajosas en este esquema, debemos recalcar que esta estrategia requiere
mayor capacidad de cómputo que las estrategias anteriores. En escenarios reales
donde la evaluación de la dinámica se realiza por equipos de procesamiento digital de
señales como (DSP) la evaluación de todos los términos de la dinámica puede ser
sumamente costoso, y difícil de solucionar cuando se quiere realizar el control de
seguimiento de trayectorias bastante rápidas donde se requieren altas velocidades de
muestreo. Una de las soluciones prácticas a este problema, también aplicables al
esquema de compensación de gravedad calculada (el caso precalculado se podría
calcular fuera de línea) es realizar la actualización de las matrices de compensación de
la dinámica a una frecuencia inferior a la de la evaluación del control PD.
                Evaluación de la Práctica 4
                         Control de Robots


Ejercicios Propuesto                         Calificación Concedida
Ejercicio 1 a
Ejercicio 1 b
Ejercicio 1 c
Ejercicio 1 d
Ejercicio 2
Calidad de la Memoria
Otros resultados obtenidos
NOTA FINAL PRACTICA 4


Observaciones del profesor:
                                 BIBLIOGRAFÍA
      [2]. On the Equivalence of Lagrangian and Newton-Euler Dynamics for
Manipulators. Silver, William M. 2, June de 1982, The International Journal of Robotics
Research, Vol. 1, pp. 60-70.

        [3]. Featherstone, Roy. Spatial Vector and Rigid-Body Dynamics Functions.
Spatial        Vectors       and         Rigid-Body       Dynamics.      [Online]
http://users.cecs.anu.edu.au/~roy/spatial/index.html.

          [4]. Hernández-Vega, J D, Magdalena, X and Jaramillo-Botero, Andrés. Modelo
Cinemático y Dinámico de un Caminante Robótico. [ed.] Universidad Javeriana de Cali.
s.l. : Trabajo de grado, 2009. pp. 1-139.

      [5]. Jaramillo-Botero, Andrés. Dinámica de Manipuladores Robóticos.
Manipuladores Robóticos. Cali : Not published, 2005.

       [6]. contributors, Wikipedia's. Archimedean spiral. Wkipedia. [Online] 16 de
Dec de 2010. http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_spiral.

       [7]. Saltarén, R., et al. Robótica: Modelado, Simulación y Diseño con Matlab.

       [1]. Featherstone, R. Rigid body dynamics algorithms. 2008.

								
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