Ringkasan Matematika SMA c by anamaulida

VIEWS: 805 PAGES: 165

									                 Cara Mudah
                    Menghadapi
  UJIAN NASIONAL DAN SPMB 2007

            MATEMATIKA SMA




                   Oleh
        TIM MATRIX MEDIA LITERATA




Matrix Media Literata            ADHI CITRA
                                                     KATA PENGANTAR
                                         Siapkah Kalian?
      Matematika sudah pasti diujikan dalam Ujian Nasional 2007. Nilai Matematika juga menjadi
 nilai penentu dalam Ujian Nasional. Banyak siswa yang tidak lulus Ujian Nasional 2006 hanya
 karena nilai Matematikanya di bawah standar. Sudah siapkah kalian? Belajar bukanlah sekadar
 mencapai target materi pelajaran saja, tetapi pencapaian siswa dalam memahami materi dan
 menguasai kemampuan dasar. Dengan demikian, materi pelajaran hanya merupakan sarana dalam
 mencapai kemampuan dasar. Sedangkan untuk mengasah kemampuan dasar tersebut, siswa harus
 lebih sering mengerjakan soal-soal latihan.
                                 Apa dan Siapa yang Salah?
     Kabar tentang banyaknya siswa tidak lulus pada Ujian Nasional 2006 sangat memprihatinkan
 kita. Siapa pun, selama kita masih memiliki hati nurani akan menangis mengetahui sejumlah
 sekolah tidak mampu meluluskan satu pun siswanya. Mengapa begitu banyak siswa yang tidak
 lulus meski angka kelulusan hanya 4,25? Apa dan siapa yang salah? Tidak perlu kita mencari siapa
 yang salah, sekarang mari belajar dan berlatih sungguh-sungguh.

                                    Apa yang Harus Dilakukan?
      Ingin lulus Ujian Nasional 2007, mengikuti ujian Paket C, atau mengulang di kelas XII lagi?
 Buku Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA ini merupakan
 buku yang tepat untuk menghadapi Ujian Nasional tahun 2007, karena dalam buku ini sudah
 disiapkan semua yang kalian butuhkan.
      Rangkuman Materi disajikan pada setiap pokok bahasan atau subpokok bahasan materi
      pelajaran. Dengan demikian, kalian dapat mengingat kembali materi-materi yang lalu pada saat
      hendak mengerjakan soal.
      Contoh Soal dan Pembahasan juga disediakan untuk melatih kalian dalam menyelesaikan
      soal-soal ujian nasional sehingga kalian mengetahui strategi penyelesaiannya.
      Soal Pemantapan Ujian Nasional disajikan berdasarkan penggabungan dari beberapa model
      soal-soal ujian nasional. Dengan demikian kalian dapat melihat frekuensi kemunculan, tingkat
      kesulitan, dan tipologi soal yang muncul pada setiap pokok bahasan.
      Soal-soal UMPTN dan SPMB juga disediakan untuk melatih kalian yang ingin melanjutkan
      pendidikan ke Perguruan Tinggi Negeri. Dengan berlatih mengerjakan soal-soal ini, maka
      kalian akan mengetahui tipe-tipe soal yang akan muncul dalam SPMB 2007.
      Try Out Ujian Nasional 2007 disajikan untuk melatih kalian menyelesaikan soal-soal ujian
      nasional, sehingga kalian siap menghadapi Ujian Nasional 2007.
      Prediksi Ujian Nasional 2007 merupakan gambaran soal yang akan keluar dalam Ujian
      Nasional 2007.
      Persiapan Ujian Saringan Masuk ITB memuat soal-soal Tes Bakat Skolastik dan Psikotes.
      Soal-soal ini sengaja kami sertakan untuk kalian yang ingin masuk Institut Teknologi Bandung
      melalui jalur khusus.
     Keputusan berada di tangan kalian. Kesuksesan tidak datang begitu saja. Apabila kalian berlatih
 terus dengan serius, maka bola kesuksesan ada di tangan Anda. Semoga berhasil!

                                                                          Jakarta, September 2006


                                                                        Tim Matrix Media Literata



Kata pengantar                                                                                     iii
                                                                                              DAFTAR ISI
                                                                                              DAFTAR ISI
 KATA PENGANTAR ........................................................................................................................         iii

 BAB 1         BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA ...................................................                                            1
               A. Bentuk Pangkat ..........................................................................................................       1
               B. Bentuk Akar ................................................................................................................    1
               C. Bentuk Logaritma .......................................................................................................        3
               Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                       4
               Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                    5

 BAB 2         PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT ..................................................................                                    7
               A. Persamaan Kuadrat ....................................................................................................          7
               B. Penyelesaian Persamaan Kuadrat ............................................................................                     7
               C. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat ........................................                                      8
               D. Jenis-jenis Persamaan Kuadrat ................................................................................                  8
               E. Membentuk Persamaan Kuadrat ..............................................................................                      9
               F. Fungsi Kuadrat ...........................................................................................................      9
               Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                      11
               Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                   12

 BAB 3         SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT .................................................                                             15
               A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) .................................................                                 15
               B. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel ...................................................                               17
               C. Sistem Persamaan Non-linear ..................................................................................                 17
               Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                      18
               Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                   19

 BAB 4         PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL ....................................................................                                 21
               A. Pertidaksamaan Pecahan ...........................................................................................             21
               B. Pertidaksamaan Irasional ...........................................................................................           21
               C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak ...................................................................................                22
               Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                      23
               Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                   24

 BAB 5         LOGIKA MATEMATIKA ................................................................................................                26
               A. Pernyataan Kalimat Terbuka dan Ingkaran ...........................................................                            26
               B. Konjungsi dan Disjungsi ............................................................................................           26
               C. Implikasi dan Biimplikasi ..........................................................................................           27
               D. Negasi dari Pernyataan Majemuk ............................................................................                    28
               E. Ingkaran Pernyataan Berkuantor .............................................................................                   29
               F. Modus Ponens, Tollens, Silogisme ...........................................................................                   29
               Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                      30
               Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                   32



iv                                            Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
 BAB 6       RUANG DIMENSI TIGA ................................................................................................                  33
             A. Gambar Bangun Ruang ..............................................................................................                33
             B. Jarak dan Sudut ..........................................................................................................        33
             C. Volume Bangun Ruang ...............................................................................................               35
             Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                         36
             Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                      39

 BAB 7       STATISTIKA .....................................................................................................................     40
             A. Ukuran Pemusatan .....................................................................................................            40
             B. Ukuran Penyebaran ....................................................................................................            42
             C. Tabel Distribusi Frekuensi Berkelompok ................................................................                           42
             D. Histogram dan Poligon Frekuensi ............................................................................                      43
             E. Statistika Deskriptif ....................................................................................................        43
             Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                         45
             Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                      46

 BAB 8       PELUANG ..........................................................................................................................   48
             A. Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi ....................................................                                  48
             B. Peluang Suatu Kejadian .............................................................................................              49
             C. Peluang Kejadian Majemuk .......................................................................................                  50
             Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                         52
             Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                      53

 BAB 9       TRIGONOMETRI .............................................................................................................           54
             A. Rumus Trigonometri ..................................................................................................             54
             B. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) ........                                                  54
             C. Perbandingan Trigonometri dan Sudut Berelasi ....................................................                                 56
             D. Aturan Sinus, Kosinus, dan Luas Segitiga .............................................................                            57
             E. Rumus Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut ..........................................................                                58
             F. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap .......................................................................                          59
             G. Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus ......................................................                                 60
             H. Rumus Hasil Kali Sinus dan Kosinus ......................................................................                         60
             I. Fungsi Trigonometri dan Grafiknya .........................................................................                       60
             Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                         62
             Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                      64

 BAB 10 PERSAMAAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN .........................................                                                          67
        A. Persamaan-persamaan Lingkaran .............................................................................                            67
        B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran ....................................................................                                68
        C. Persamaan Parabola (Pengayaan) .............................................................................                           70
        D. Persamaan Garis Singgung Parabola .......................................................................                              70
        E. Persamaan Elips (Pengayaan) ...................................................................................                        71
        F. Persamaan Garis Singgung Elips .............................................................................                           72
        G. Persamaan Hiperbola (Pengayaan) ...........................................................................                            72
        Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                              74
        Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                           77




Daftar Isi                                                                                                                                             v
 BAB 11 SUKU BANYAK ................................................................................................................         79
        A. Persamaan Suku Banyak ...........................................................................................                 79
        B. Pembagian Suku Banyak dengan x – k ...................................................................                            79
        C. Pembagian Suku Banyak dengan ax + b ................................................................                              80
        D. Pembagian Suku Banyak dengan ax2 + bx + c ......................................................                                  80
        E. Teorema Sisa ...............................................................................................................      81
        F. Akar-akar dari Persamaan Suku Banyak ................................................................                             81
        Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                         82
        Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                      83

 BAB 12 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS ........................................................                                          84
        A. Fungsi Komposisi ........................................................................................................         84
        B. Sifat-sifat Fungsi Komposisi ......................................................................................               84
        C. Fungsi Invers ..............................................................................................................      85
        Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                         87
        Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                      89

 BAB 13 LIMIT FUNGSI ................................................................................................................        90
        A. Pengertian Limit di Suatu Titik ...............................................................................                   90
        B. Limit Fungsi Aljabar ..................................................................................................           90
        C. Teorema Limit ............................................................................................................        92
        D. Limit Trigonometri .....................................................................................................          92
        Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                         93
        Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                      96

 BAB 14 TURUNAN .........................................................................................................................     98
        A. Aturan Turunan ..........................................................................................................          98
        B. Persamaan Garis Singgung pada Kurva ..................................................................                             99
        C. Fungsi Turun dan Fungsi Naik ................................................................................                      99
        D. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi .......................................................                                   100
        Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                         100
        Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                      102

 BAB 15 INTEGRAL .........................................................................................................................   106
        A. Integral Tak Tentu .....................................................................................................          106
        B. Intergral Tertentu .......................................................................................................        106
        C. Teknik Pengintegralan ...............................................................................................             107
        D. Menentukan Luas Daerah .........................................................................................                  108
        E. Menentukan Volume Benda Putar ...........................................................................                         109
        Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                         111
        Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                      114

 BAB 16 PROGRAM LINEAR .......................................................................................................               116
        A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel ........................................................                                116
        B. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif .....................................................................                         117
        Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                         118
        Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                      119




vi                                            Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
 BAB 17 MATRIKS ...........................................................................................................................      121
        A. Pengertian dan Jenis-jenis Matriks ..........................................................................                         121
        B. Operasi Hitung ............................................................................................................           122
        C. Transpos .......................................................................................................................      123
        D. Determinan dan Invers Matriks ...............................................................................                         124
        Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                             125
        Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                          127

 BAB 18 VEKTOR .............................................................................................................................     129
        A. Pengertian dan Penulisan Vektor ............................................................................                          129
        B. Operasi pada Vektor ...................................................................................................               129
        C. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor ..............................................                                        130
        D. Perbandingan Vektor ..................................................................................................                131
        Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                             132
        Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                          134

 BAB 19 TRANSFORMASI GEOMETRI .....................................................................................                              136
        A. Translasi (Pergeseran) ................................................................................................               136
        B. Refleksi (Pencerminan) ...............................................................................................                137
        C. Rotasi (Perputaran) .....................................................................................................             138
        D. Dilatasi (Perkalian) .....................................................................................................            139
        Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                             140
        Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                          142

 BAB 20 BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA ...............................................................                                         143
        A. Barisan ..........................................................................................................................    143
        B. Deret .............................................................................................................................   143
        C. Barisan dan Deret Aritmetika ..................................................................................                       144
        D. Barisan dan Deret Geometri .....................................................................................                      144
        E. Notasi Sigma dan Induksi Matematika ...................................................................                               145
        Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                             146
        Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                          149

 BAB 21 FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA .................................................................                                          153
        A. Persamaan Eksponen .................................................................................................                  153
        B. Pertidaksamaan Eksponen .........................................................................................                     154
        C. Persamaan Logaritma .................................................................................................                 154
        D. Pertidaksamaan Logaritma ........................................................................................                     154
        Soal Pemantapan Ujian Nasional .............................................................................                             155
        Soal-soal UMPTN dan SPMB ......................................................................................                          156

 Try Out 1 Ujian Nasional 2007 ...................................................................................................               159

 Try Out 2 Ujian Nasional 2007 ...................................................................................................               165

 Try Out 3 Ujian Nasional 2007 ...................................................................................................               171

 Try Out 4 Ujian Nasional 2007 ...................................................................................................               177




Daftar Isi                                                                                                                                         vii
  Prediksi 1 Ujian Nasional 2007 ..................................................................................................                         183

  Prediksi 2 Ujian Nasional 2007 ..................................................................................................                         189

  Prediksi 3 Ujian Nasional 2007 ..................................................................................................                         195

  Tes Bakat Skolastik Paket 1 .......................................................................................................                       201

  Tes Bakat Skolastik Paket 2 .......................................................................................................                       201

  Psikotes ..............................................................................................................................................   212

  REFERENSI ......................................................................................................................................          216




viii                                              Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
 Bab

             1                                                            Bentuk Pangkat , Akar, dan
                                                                                 Pangkat, Akar,
                                                                          Logaritma

                                                                                   Contoh
       A.        Bentuk Pangkat
                                                                                        Bentuk sederhana dari

                                                                                         7 x2 y 3 z2              27 xy 1 z8
1.     Pangkat bulat positif, negatif, dan nol                                                                                 adalah . . . .
                                                                                        54 x 1 y 5 z4            84 x 6 y4 z 2
    Jika p bilangan real dan n bilangan bulat positif,
maka pn didefinisikan sebagai hasil perkalian p                                                 1 10
                                                                                                  x y        3                           1 10 3
                                                                                                                                            x y z
                                                                                        A.                                      D.
sebanyak n faktor, yaitu sebagai berikut.                                                      12                                        24
                                                                                                1 10 3                                   1 10          3
                                  p         p        p        . . .       p             B.        x y z                         E.          x z
                                                                                               12                                        24
                     pn
                                                   n faktor
                                                                                               1 10          3
                                                                                        C.        x y
                                                                                               24
    Jika p 0 dan n bilangan bulat negatif, maka
p–n didefinisikan sebagai berikut.                                                      Jawab:
                              1
       p–n           pn                                                                  7 x2 y 3 z2                  27 xy 1 z 8

                                                                      1
                                                                                        54 x 1 y 5 z 4            84 x 6 y4 z 2
                     p        p            p        . . .       p
                                        n faktor                                              7 x2 y   3 2
                                                                                                        z              27 xy 1 z     8

                 p    1
                              p       1      1
                                               p            . . .         p   1              84 x 6 y4 z 2   54 x 1 y 5 z 4
                                                                                              1 x2 6 y 3 4 z2 2       1 x1                1
                                                                                                                                              y   1    5
                                                                                                                                                           z   8   4
                  1        1            1                       1             1              12                       2
                                                    . . .
                  p        p            p                       p             pn              1 8 7 4 1 2 4 4
                                                                                                x y z        x y z
                                                                                             12            2
Secara umum dirumuskan
                                                                                              1 8 2 7 4 4 4
                                                                                                x      y     z
                              1                                                              24
             p n                                   dan              p0        1
                              pn                                                              1 10 3 0       1 10 3
                                                                                                x y z           x y
                                                                                             24             24
                                                                                                                                                      Kunci: C
2.     Sifat-sifat bilangan berpangkat
    Untuk setiap p, q bilangan real dan m, n
bilangan bulat, berlaku aturan berikut.
a.     pm        pn        pm           n
                                                                                        B.         Bentuk Akar
b.     pm    pn           pm           n

             n
c.      pm               pm       n                                                1.    Sifat-sifat bentuk akar
                                                                                       Untuk setiap a, b, c, d bilangan real, m dan n
d.     (p    q)n          pn           qn
                                                                                   bilangan asli berlaku aturan berikut.
             n                                                                                          m
         p            pn                                                                 n
e.                         , q                 0                                   a.         am       an
         q            qn
                                                                                   b.    cn a       dn a         (c     d)n a


     Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma                                                                                                                         1
c.       cn a            dn a                (c              d) n a                                  Dari hasil di atas diperoleh akar berikut.

d.       n                       n           n                                                                                                                   2
             a       b               a           b                                                           12        2 35                   7              5                7         5
                         n
         n
             a               a                                                                                                                                   2
e.                       n
                                 , b             0                                                           12        2 35               7              5                7         5
             b               b
f.       mn              mn a
                 a                                                                                       Perhatikan: 12                  7           5
                                                                                                                     35                  7           5
2.       Merasionalkan penyebut pecahan
                                                                                                     Secara umum dituliskan.
    Merasionalkan penyebut pecahan artinya
mengubah bentuk akar pada penyebut dari suatu
pecahan menjadi bilangan rasional.                                                                                              a     2 b                    c            d
    Merasionalkan dengan cara mengalikan
pembilang dan penyebut pecahan dengan akar                                                                                      a     2 b                    c            d
sekawan dari penyebut.
                                                                                                                   di mana a                 c           d
    Untuk a, b, dan c bilangan real berlaku aturan                                                                         b                 c           d, c             d
berikut.

          a              a               b               a                                                                      a b               2 ab                        a        b
a.                                                         b
             b               b           b               b
                                                                                                                                a b               2 ab                    a         b
             a               a           b               1
b.                                                         ab                                                      dengan a               b
             b               b           b               b

                 c                               c                       a       b
c.
             a               b           a                   b           a       b
                                         c                                                           Contoh
                                                             a       b
                                     a        b
                                                                                                                                                                                   5        2
                                                                                                        1.    Bentuk                sederhana                        dari
                 c                           c                        a          b                                                                                                     5    2
d.                                                                                                            adalah . . . .
             a           b               a               b            a          b
                                         c                                                                    A.       2 2          5 5                  10          10
                                                             a        b
                                     a        b
                                                                                                              B.       2 2          5 5               10             10

                             a           b disebut sekawan a                                                  C.       5 5          2 2              10          10
                 •                                                                               b

                 •           a           b disebut sekawan a                                 b                D.       5 5          2 2              10          10
                 •           Hasil kuadrat dua suku                                                           E.       5 5          2 2              10          10
                             (a b)2 a2 2ab b2
                             (a b)2 a2 2ab b2                                                                 Jawab:
                                                                                                              5         2            5           2
                                 2                   2                                       2                     5    2            5        2
             7           5                   7                   2       7       5       5
                                                                                                                            5         2           5           2
                                         7           2 35                 5
                                                                                                                                     5           4
                                         12              2 35
                                                                                                                        5 5               2              5           10       2 2
                                 2                       2                                       2
             7               5                   7               2           7       5       5                          5 5               10             10           2 2
                                         7               2 35             5                                             5 5              2 2                 10       10
                                         12                  2 35                                                                                                                 Kunci: D


     2                                                                        Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                                                         a
                                                                                   c.        log pn          n a log p
      2.    Nilai dari                  31         936           21     416                              b
                                                                                         a                    log p
            adalah . . . .                                                         d.        log p       b
                                                                                                              log a
            A.       5 2                         D.      13
                                                                                         a                        1
                                                                                   e.        log p
            B.       2 5                         E.         21                                               p
                                                                                                                 log a
            C.        8                                                            f.    a
                                                                                             log a 1
            Jawab:                                                                 g.    a
                                                                                             log an           n
            Ingat rumus:                                                                 a
                                                                                   h.        log 1       0
                      a b              2 ab              a       b                       a
                                                                                   i.        log p p log q                 a
                                                                                                                               log q
                      a b              2 ab              a       b
                                                                                         an                      m a
            sehingga diperoleh:                                                    j.         log pm                 log p
                                                                                                                 n
                31        936           21            416
                                                                                         a               an
                                                                                   k.        log p               log pn
                           31 2 234                    21 2 104
                                                                                          a
                           18 13                 2 18 13                           l.    a log p         p

                               13 8            2 13 8                                                                  m
                                                                                                an
                                                                                   m. (am )          log p
                                                                                                                      pn
                               18      13               13       8

                           18       8
                          3 2       2 2
                          5 2
                                                                                   Contoh
                                                                 Kunci: A
                                                                                                         64
                                                                                        Diketahui             log 7            x, maka nilai dari
                                                                                        128         1
                                                                                              log                ....
                                                                                                    49
       C.        Bentuk Logaritma
                                                                                        A.
                                                                                                2
                                                                                                  x                                    D.
                                                                                                                                             7
                                                                                                                                               x
                                                                                                7                                           12
                                                                                                 7                                          12
Untuk a           0 dan a              1, berlaku aturan berikut.                       B.         x                                   E.      x
                                                                                                12                                           7
            a
            log p          n jika dan hanya jika an                     p                       12
                                                                                                   x
                                                                                        C.
                                                                                                 7
dengan:
  a adalah bilangan pokok                                                               Jawab:
  p adalah bilangan yang akan dicari logaritmanya                                       64                             log 7
                                                                                             log 7       x                             x
    (p 0)                                                                                                             log 64
  n adalah logaritma dari p dengan bilangan                                                                            log 7
    pokok a                                                                                                                             x
                                                                                                                      log 26
    Untuk a 0, a                       1, p           0, dan q        0, berlaku                                       log 7
aturan berikut.                                                                                                                         x
                                                                                                                      6 log 2
a.     a               a               a
           log pq          log p           log q                                                                        log 7
                                                                                                                                       6x
               p                                                                                                       log 2
       a                   a               a
b.         log                 log p           log q
               q


     Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma                                                                                                      3
                               1                                                    Cara lain:
                          log
     128     1                 49                                                          64
         log                                                                        x              log 7
             49           log 128                                                              6
                                                                                           2
                                                                                    x              log 7
                          log (49) 1
                                                                                            1 2                              2
                               log 27                                               x           log 7             6x             log 7
                                                                                            6
                          log 7 2
                                                                                    Jadi,
                           log 27
                                                                                    128            1       27            2          22
                            2 log 7                2        log 7                         log                   log 7                   log 7
                                                                                                   49                               7
                           7 log 2                 7        log 2
                                                                                                               2                  12
                               2                   12                                                            6x                   x
                                       6x             x                                                        7                   7
                               7                    7                                                                                              Kunci: C




              S oal Pemantapan Ujian Nasional

      Kompas
     •    Soal nomor 1 – 3 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari bentuk pangkat dan logaritma.
     •    Soal nomor 4 – 6 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari bentuk merasionalkan dan
          bentuk logaritma.
     •    Soal nomor 7 – 8 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari semua
          materi pada bab ini.



1.   Ditentukan nilai a = 9, b = 16, dan c = 36. Nilai                                                                                                     2
                           3                                                                                                                       3           31
               1  1                                                            4.    Nilai x dari persamaan
          a    3b 2c                   ....                                                                                                   3x       2        9
                                                                                     adalah . . . .
     A.   1                                   D. 12                                            2
                                                                                     A.                                          D.      31
     B.   3                                   E. 18                                            3                                          3
     C.   9
                                                                                     B.        41                                E.          41
                                                                                                2                                             2
2.   Jika log 2 = 0,301 dan log 3 = 0,477, maka
     log 3 225                                                                       C.            31
                          ....                                                                      3

     A.   0,714                               D. 0,778
                                                                                                                 1           3           2
     B.   0,734                               E. 0,784                                                         25 2     16 4       27 3
                                                                               5.    Nilai p               3                                  adalah . . . .
     C.   0,756
                                                                                                               6250,25           810,5
                                   x    1
3.   Jika 6
            x         1        2            , maka x = . . . .                       A.     2                                    D. 16
                               3
     A.   2
               log 3                          D.       3
                                                           log 6                     B.     8                                    E.      36
                                                       1                             C.     15
          3                                            2 log
     B.        log 2                          E.               2
              1                                                                6.    Diketahui 2log 5 = p dan 3log 2 = q.
     C.       2 log   3                                                              Nilai 3log 125 + 8log 27 = . . . .

 4                                                         Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
              3p       q                      3 p2        3                 A.   (36      6 3) m            D.   (36      3 3) m
       A.                               D.
                   q                                 q                      B.   (36      6 3) m            E.   36 3 m
              p        q                      3p         q2                 C.   (36      3 3) m
       B.         3q
                                        E.
                                                     q
                                                                       8.   Keliling trapesium KLMN pada gambar berikut
              3 pq2        1                                                adalah 23 cm.
       C.
                  q                                                         Panjang KL adalah . . . .
7.     Kawat sepanjang 99 m digunakan seluruhnya
                                                                                         N              M
       untuk membuat kerangka seperti pada gambar
       berikut.
                                    C



                                                                                         K              O              L



                                                                            A.   5       2 2 cm             D.    10      2 2 cm
                           A        D         B
                                                                            B.   5       2 2 cm             E.    10       2 cm
       Panjang AB              BC   AC        x m. Besar nilai x
                                                                            C.   10          2 2 cm
       adalah . . . .




                                                                  S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.     Jika log log x               log 2          1, maka nilai       4.   Jika f(x)         b x , b konstanta positif, maka
       x
        log 5 . . . .
                                                                            f ( x2 x)
                                              1                                               . . . .
       A.   5 log 5                     D.       log 5                       f ( x 1)
                                              5
                                               1                            A.   f(x2)
       B.   2 log 5                     E.        log 5                     B.   f(x 1) f(x 1)
                                              10
       C.   log 5                                    (UMPTN 2001)           C.   f(x 1) f(x 1)
                                                                            D.   f(x 1) f(x 1)
                   2       3                                                E.   f(x2 1)                               (SPMB 2002)
2.     Jika                     a       b 6 ; a dan b bilangan
                   2       3
                                                                                                                           3
       bulat, maka a            b       . . . .                                                               x x
                                                                       5.   Jika x       0 dan x        1 memenuhi  xp
       A.   5                           D. 2                                                                   x
       B.   3                           E. 3                                dengan p bilangan rasional, maka p . . . .
       C.   2                                            (SPMB 2002)                 1                           1
                                                                            A.                              D.
                                                                                     2                           2
3.     Jika f(x)    ax, maka untuk setiap x dan y
                                                                                     1                           2
       berlaku . . . .                                                      B.                              E.
                                                                                     3                           3
       A. f(x)f(y) f(xy)
       B. f(x)f(y) f(x y)                                                        1
                                                                            C.                                         (SPMB 2002)
       C. f(x)f(y) f(x) f(y)                                                     3
       D. f(x) f(y) f(xy)                                              6.   Jika 4 log 5     p dan           4
                                                                                                                 log 28        q, maka
       E. f(x) f(y) f(x y)                                                  4
                                      (SPMB 2002)                             log 70 . . . .


     Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma                                                                                     5
                           1                                                    1                11. Jika f(x)          x2        1 dan g(x)               x            1, maka
      A.       p        q                               D. p             q
                           2                                                    2
                                                                                                      f ( x)
                            1                                                    1                                  . . . .
      B.       p        2q                              E.       2p        q                          g( x)
                            2                                                    2
                            1                                                                        A.    (1          x )(x      1)     D. (1             x )(1             x)
      C.       p        q 1                                                   (SPMB 2002)
                            2                                                                                                                              x )(1
                                                                                                     B.    (1          x )(x      1)     E.   (1                             x)
7.    Jika a                    1, b                   0, dan c                    1, maka           C.    (1          x )(1      x)                       (SPMB 2005)
      b             a       c             2       a          c
       log                      log b                 log                . . . .
                                                                                                 12. Nilai x yang memenuhi persamaan
               1
      A.                                                D. 2                                         4x 2x 1 3 adalah . . . .
               4
               1                                                                                     A.    1             D. 3log 2
      B.                                                E.       3                                   B. 2                E. 3
               2
                                                                                                         2
      C.       1                                                              (SPMB 2002)            C. log 3                      (SPMB 2005)


                                                             1            1        1       1 2   13. Nilai k yang                      memenuhi persamaan
8.    Jika a                    0, maka                     a2       a    2    a2      a   2         xa(xa 1)a(xa)1 a                  xk 1 adalah . . . .
                                                                                                     A. a                                D. 3a 1
      sama dengan . . . .
                                      2
                                                                                                     B. 3a                               E. a2 a
                1
      A.         2
                   a2 1                                                                              C. 2a 1                                               (SPMB 2005)
               a
               1 4
      B.           a  1                                                                          14. Jika p 1                  3 , maka p2 2 adalah . . . .
               a2
                                                                                                     A. p                             D. 1 p
               1
      C.         2
                   a4 a2                      1                                                      B. 2p                            E. 2(1 p)
               a
                                                                                                     C. 1 p                                                (SPMB 2005)
               1        4
      D.         2
                   a 1
               a                                                                                               4                                   9
                                                                                                 15. Jika          log 6      m        1, maka         log 8            . . . .
               1 4                                                                                               3                              3
      E.           a   1                                                      (SPMB 2003)            A.                                  D.
               a2                                                                                              2m 4                           2m 4
                                                                                                                 3                              3
9.    Nilai x yang memenuhi persamaan                                                                B.                                  E.
                                                                                                               4m 2                           2m 2
           1 ( x 3)
      0,09 2                                                                                                     3
                                  1 adalah . . . .                                                   C.                                                    (SPMB 2006)
        0,33 x          1                                                                                      4m 2
      A.   2                                            D. 1
                                                                                                                                                       x            2             10
      B.   1                                            E. 2                                     16. Nilai x yang memenuhi                    3
                                                                                                                                                  2            2x        3
                                                                                                                                                                             2
      C. 0                                                                    (SPMB 2004)
                                                                                                     adalah . . . .
          5             2         5               2                                                              1
              log10                   log 2                                                          A.        2    atau 5               D.       1 atau 4
10.                                                         . . . .                                              2
                    5                                                                                                   2                          2
                        log 20
                                                                                                     B.        2 atau 1                  E.          atau 3
               1                                                                                                        3                          3
      A.                                                D. 4                                                     2
               2                                                                                               1 atau 2
                                                                                                     C.                                                    (SPMB 2006)
      B.       1                                        E.       5                                               3
      C.       2                                                              (SPMB 2004)




           Intersection
              Materi tentang pangkat, akar, dan logaritma akan sangat membantu kamu lebih teliti dalam
              melakukan perhitungan, karena materi pada bab ini akan banyak digunakan pada bab-bab
              berikutnya.


 6                                                                   Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab

             2                          Persamaan dan Fungsi
                                        Kuadrat


                                                          di mana: b                    p q
      A.     Persamaan Kuadrat                                    ac                    p · q

                                                     2.   Melengkapkan kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:
                                                          ax2        bx        c        0
                                                                                             b             c
       ax2     bx   c   0, a, b, c   R, dan a   0                                  x2          x                    0
                                                                                             a             a
                                                                                                           2                                2
dengan:                                                                             b              b                     c           b
x adalah variabel                                                x2        2          x
                                                                                   2a             2a                     a          2a
a adalah koefisien dari x2                                                                                 2
b adalah koefisien dari x                                                                          b                b2          4 ac
                                                                                         x
c adalah konstanta                                                                                2a                            2
                                                                                                                          4a
                                                                                                           2
                                                                                            (x        p)            q
Contoh                                                                                            x        p              q
      Nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat                                                             x              q         p
      3 x2 0 adalah . . . .
      A. a     1, b 1, c 3                                                               b             b2           4 ac
                                                          di mana: p                       , q                               , a        0
                                                                                        2a                          2
      B. a 3, b 0, c        1                                                                                  4a
      C. a     1, b 0, c 3
                                                     3.   Rumus
      D. a 1, b 3, c 0
                                                          ax2 bx c                      0 . . . . dikali 4a
      E. a 3, b      1, c 0
                                                          Sehingga,
      Jawab:                                               4 a2 x2        4 abx          4 ac 0
      Bentuk umum persamaan kuadrat:
                                                            4 a2 x2        4 abx             b2       b2        4 ac ditambah b2
      ax2 bx c 0
      3 x2    x2 0 · x 3                                                   (2ax             b)2       b2        4 ac
      Jadi, a  1, b 0, dan c 3.
                                                                                   2ax       b                 b2       4 ac
                                          Kunci: C
                                                                                         2ax           b            b2         4 ac

                                                                                                       bb2 4 ac
                                                                                             x
                                                                                                       2a
       B.    Penyelesaian Persamaan Kuadrat
                                                                                              x
                                                                                                   b     D
                                                                                                     2a
                                                          di mana D                b2        4ac (D diskriminan)
    Untuk menentukan penyelesaian persamaan
kuadrat ada tiga cara, yaitu dengan memfaktorkan,
melengkapkan kuadrat, dan menggunakan rumus.         Contoh
1.     Memfaktorkan
                                                          Penyelesaian dari persamaan kuadrat
                        ax   p ax q                       x(3x 4) 3x 10 adalah . . . .
       ax2   bx     c
                               a

     Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat                                                                                                         7
                                                                                             Contoh
                  3
        A.                                                 D.        2                           Akar-akar persamaan kuadrat 4x2 px 25 0
                  5
                                                                                                 adalah x1 dan x2. Jika akar-akar persamaan
              3                                                                                  kuadrat x 1 2   x22    12,5, maka nilai p
        B.                                                 E.        2
              5                                                                                  adalah . . . .
              2                                                                                  A.      20                                       D. 8
        C.
              5
                                                                                                 B.      12                                       E.   25
        Jawab:                                                                                   C.    4
                   x(3x 4)                     3x 10
                                                                                                 Jawab:
                   3x2 4x                      3x 10
        3x2     4x 3x 10                       0                                                 4x2       px       25        0
                3x2 x 10                       0                                                       a        4, b       p, c          25
              (3x 5)(x 2)                      0                                                                              b          p
                                                                                                       x1       x2
                      3x 5                     0 atau x                  2        0                                           a          4
                                               5                                                                          c       25
                                     x                                   x         2                   x1 · x2
                                               3                                                                          a        4
                                                                         Kunci: D
                                                                                                                     x12          x22     12,5
                                                                                                       (x1      x2)2          2x1x2       12,5
                                                                                                                  2
                                                                                                                p                 25
                                                                                                                          2               12,5
                                                                                                                4                  4
                  Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar                                                                    p2           25
        C.                                                                                                           16            2
                                                                                                                                          12,5
                  Persamaan Kuadrat
                                                                                                                                  p2                   25
                                                                                                                                          12,5
                                                                                                                                  16                   2
                                      b            b2       4 ac                                                                  p2
Dari rumus x1,2                                                                                                                           25
                                                   2a                                                                             16
                                                                                                                                   p2     16 25
                              b           b2         4 ac                                                                          p2     400
Misalkan               x1
                                          2a                                                                                         p     20
                                 b        b2         4 ac                                                                                                    Kunci: A
                       x2
                                          2a
                                 b                              c
maka: x1               x2          dan x1 x2
                                 a                              a

Bukti:
                                          2                              2
                                                                                                 D.          Jenis-jenis Persamaan Kuadrat
                             b        b            4 ac          b       b        4 ac
         x1       x2
                                      2a                                 2a
                                                                                                  Persamaan kuadrat ax2                           bx   c    0 mempunyai
                             2b                b                                                                                              2
                                                                                                                               b          b        4 ac
                            2a                 a                                             akar-akar x1,2                                                , D   b2   4 ac ,
                                                                                                                                         2a
                                                                                             a   0.
                             b        b2           4 ac          b           b2       4 ac       Nilai x1 dan x2 bergantung dengan diskriminan
•        x1       x2
                                      2a                                 2a                  (D) yang berarti membedakan jenis akar.
                                                                 2                           1. D 0, persamaan kuadrat mempunyai dua
                            ( b)2              b2         4 ac                                            akar nyata yang berbeda.
                                           (2a)2                                             2. D 0, persamaan kuadrat mempunyai dua
                                                                                                          akar yang sama.
                            b2       (b2           4 ac)         c
                                                                                             3. D 0, persamaan kuadrat tidak mempunyai
                                           2                     a
                                     4a                                                                   akar nyata (kedua akar imajiner).


    8                                                            Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh
                                                                                                         6
  Sifat dari akar persamaan kuadrat                                               x1        x2                    2
                                                                                                         3
  5x2 6x 2 0 adalah . . . .                                                                              2
  A. akar-akarnya sama                                                            x1        x2
                                                                                                         3
  B. akar-akarnya bilangan rasional
  C. akar-akarnya imajiner                                                   Sekarang kita cari nilai p                             q dan p       q.
  D. akar-akarnya bilangan irasional                                                             1            1             x1     x2
  E. akar-akarnya bilangan berbeda                                                p     q
                                                                                                 x1           x2              x1 x2
  Jawab:                                                                                         2                      3
                                                                                                              2                 3
        5x2    6x         2    0       a       5, b          6, c   2                            2                      2
                                                                                                 3
        D     b2 4ac
              ( 6)2 4(5)(2)
                                                                                                     1         1  1 3               1
              36 40                                                               p         q
                                                                                                     x1
                                                                                                     x1 x2     2  x22
               4                                                                                               3
                                                                             Sehingga diperoleh persamaan kuadrat
  D 0, maka persamaan kuadrat akar-akarnya
                                                                             berikut.
  imajiner.
                                                                                          3
                                 Kunci: C                                         x2 3 x     0 ..... kedua ruas dikali 2
                                                                                          2
                                                                                 2x2  6x 3 0
                                                                                                                                            Kunci: D


   E.       Membentuk Persamaan Kuadrat

    Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar                               F.        Fungsi Kuadrat
x1 dan x2 dapat dibentuk dengan menggunakan
rumus berikut.
                                                                            Bentuk umum                               fungsi            kuadrat   adalah
                    a(x       x1) (x       x2)       0                  f(x) ax2 bx c.
                                                                        Dari bentuk umum tersebut dapat diperoleh
                                atau
                                                                                      b
                                                                        f ( x) a x2     x   c
              ax2     (x1       x2)x          x1x2       0                            a
                                                                                                          2
                                                                                                  b                b2
                                                                                  a     x                                       c
Contoh
                                                                                                 2a               4 a2
                                                                                                      2
  Persamaan kuadrat yang akar-akarnya                                                            b                b2
                                                                                  a x                                       c
  kebalikan dari akar-akar persamaan kuadarat                                                   2a                4a
  3x2 6x 2 0 adalah . . . .                                                                           2
                                                                                                                  b2     4 ac
                                                                                                 b
  A.   3x2 2x 6 0                                                                 a x
                                                                                                2a                     4a
  B. 3x2 2x 6 0
                                                                                                     2
  C. 2x2 6x 3 0                                                                   a x
                                                                                             b                    D
  D. 2x2 6x 3 0                                                                             2a                    4a
  E.   2x2 6x 3 0                                                                                             2
                                                                                                  b                     D
                                                                                  a x
  Jawab:                                                                                         2a                     4a
  Misalkan akar-akar kuadrat yang dicari                                Dari rumus di atas, diperoleh aturan berikut.
  adalah p dan q, maka persamaan kuadrat
                                                                        a.            Jika a          0, maka grafik terbuka ke atas.
  tersebut adalah x2 (p   q)x  p q     0
                                                                                      Jika a         0, maka grafik terbuka ke bawah.
                    1                  1
  dengan p             dan q              .                             b.            Jika D 0, maka grafiknya menyinggung
                    x1                 x2                                             sumbu-x.

 Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat                                                                                                                    9
           Jika D    0, maka grafiknya memotong                       1.    f(x) ax2 bx c jika diketahui tiga titik yang
           sumbu-x pada dua titik.                                          dilalui oleh kurva tersebut.
           Jika D 0, maka grafiknya tidak memotong                    2.    f(x) a(x x1)(x x2) jika x1 dan x2 merupakan
           sumbu-x.                                                         absis titik potong dengan sumbu-x dan satu titik
c.    Ilustrasi kurva terhadap sumbu-x                                      lain diketahui.
      (i)                              (ii)                       x   3.    f(x) a(x p)2 q jika (p, q) titik puncak dan
                                                                            satu titik lain diketahui.


                                   x
                                                                      Contoh
            a    0 dan D       0              a     0 dan D   0            1.   Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui
                                                                                titik ( 12, 0) dan mempunyai titik balik
      (iii)                            (iv)                                     ( 15, 3) adalah . . . .
                                                                  x
                                                                                A. f(x) 3(x 15)2 3
                                                                                B. f(x)      3(x 15)2 3
                                   x
                                                                                C.   f(x)      1 ( x 15)2   3
                                                                                               3
            a     dan D    0                  a     0 dan D   0                                  1
                                                                                D. f(x)             (x 15)2   3
                                                                                                 3
      (v)                              (vi)                                                    1
                                                                  x
                                                                                E.   f(x)        (x    15)2           3
                                                                                               3

                                                                                Jawab:
                                   x                                            Fungsi kuadrat f(x) a(x p)2 q dengan
                                                                                koordinat titik balik (p, q) ( 15, 3).
            a    0 dan D       0              a     0 dan D   0                 Fungsi f(x) a(x 15)2 3
                                                                                Grafik melalui titik ( 12, 0) sehingga
                Untuk a 0 dan D 0, grafik semuanya                              diperoleh nilai sebagai berikut.
                berada di atas sumbu-x, dan f(x) disebut                              0 a( 12 15)2 3
                definit positif. Lihat gambar (v).                                    3 a(3)2
                Untuk a 0 dan D 0, grafiknya semuanya                                 3 9a
                berada di bawah sumbu-x, dan f(x) disebut                                       3       1
                                                                                       a
                definit negatif. Lihat gambar (vi).                                             9       3
                                                                                                      1
                Koordinat titik ekstrim atau titik balik                        Jadi, f ( x)            (x       15)2     3
                fungsi                                                                                3
                                                                                                                              Kunci: D
                                 b   D
                                   ,                                                                   y
                                2a 4 a                                     2.


                Persamaan sumbu simetri

                                        b
                            x
                                       2a
                                                                                      ( 5, 0)
                                                                                                                              x
                Nilai maksimum atau minimum fungsi                                                           (1, 0)
                                                                                                           (0,   2)
                                       D
                               y
                                       4a

d.  Menentukan persamaan fungsi kuadrat                                         Persamaan fungsi kuadrat dari grafik di
    Untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat                                   atas adalah . . . .
dapat menggunakan rumus-rumus berikut.


 10                                               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                      2 2                                       f(x) a(x 5)(x 1).
          A.   f(x)      x   4x 5
                      5                                         Grafik melalui titik (0, 2), sehingga
                        5 2                                            2 a(0 5)(0 1)
          B.   f(x)        x  4x 5
                        2                                              2 a(5)( 1)
                        2 2                                            2   5a
          C.   f(x)        x   4x 5
                        5                                                  2
                                                                       a
                        5 2                                                5
          D. f(x)          x   4x 5
                        2                                       Jadi, persamaan grafik tersebut adalah
                      5 2                                       sebagai berikut.
          E.   f(x)     (x    4x  5)
                      2                                                  2
                                                                 f ( x)    (x   5)( x 1)
          Jawab:                                                         5
                                                                         2 2
          Grafik memotong sumbu-x di dua                                   (x   4x    5)
          titik yaitu ( 5, 0) dan (1, 0), maka                           5
                                                                                               Kunci: A




           S oal Pemantapan Ujian Nasional

       Kompas
      •   Soal nomor 1 – 3 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari cara menyusun persamaan
          kuadrat.
      •   Soal nomor 4 – 8 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari jumlah akar-akar persamaan
          kuadrat dan dalil Pythagoras.
      •   Soal nomor 9 – 12 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari
          semua materi ini.



1.     Persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai          3.   Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai
       titik balik (2, 1) dan melalui titik (3, 5)           maksimum 3 untuk x 1 dan grafiknya melalui
       adalah . . . .                                        titik (3, 1), memotong sumbu-y di titik . . . .
       A. y 6x2 24x 23                                             0, 7
                                                             A.        2            D. (0, 2)
       B. y 6x2 24x 25
       C. y 6x2 24x 23                                       B. (0, 3)              E.  0, 3
                                                                                            2
       D. y 6x2 24x 25
                                                             C.    0, 5
       E. y 6x2 24x 23                                                 2

2.     Persamaan grafik suatu fungsi kuadrat            4.   Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan
       yang memotong sumbu-x di titik (3, 0) dan             kuadrat 2x2     14x   20   0, maka x12    x22
       (5, 0) serta memotong sumbu-y di titik (0, 15)        adalah . . . .
       adalah . . . .                                        A. 25                  D. 33
       A. y x2 8x 20                                         B. 29                  E. 37
       B. y x2 8x 20                                         C. 31
       C. y x2 8x 15
                                                        5.   Jika sisi miring segitiga siku-siku adalah 25 cm
       D. y x2 8x 15                                         dan kelilingnya 56 cm, maka luas segitiga
       E. y x2 8x 15                                         adalah . . . .

     Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat                                                                  11
      A.   64 cm2               D. 96 cm2                 10. Persamaan kuadrat
      B.   72 cm2               E. 108 cm2                    (k 2)x2 (2k 1)x k 1 0
      C.   84 cm2                                             mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah
                                                              kedua akar persamaan tersebut adalah . . . .
6.    Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan
                                                                    9                     2
       2 adalah . . . .                                        A.                    D.
                                                                    8                     5
      A. x2 7x 10 0
                                                                    8                     1
      B. x2 7x 10 0                                            B.                    E.
                                                                    9                     5
      C. x2 3x 10 0
      D. x2 3x 10 0
                                                                    5
                                                               C.
                                                                    2
      E. x2 3x 10 0
                                                          11. Kawat sepanjang 32 m
7.    Jika  akar-akar persamaan   kuadrat                     akan dibuat kerangka                             l
      3x2 5x 1 0 adalah    dan , maka nilai                   seperti pada gambar.
                                                                                                               l
       1        1    sama dengan . . . .                      Agar luasnya maksi-
       2        2
                                                              mum, panjang (p)                         p

      A.   19                   D. 24                         adalah . . . .
      B.   21                   E. 25                         A. 4m              D. 5m
      C.   23                                                           1                     1
                                                               B.   4     m          E.   5     m
8.    Persamaan kuadrat x2    (m  2)x   9   0                           3                     3
      mempunyai akar-akar nyata. Nilai m yang                           2
                                                               C.   4     m
      memenuhi adalah . . . .                                           3
      A. m    4 atau m 8
      B. m    8 atau m 4                                  12. Kawat sepanjang 60 m
                                                              akan dibuat kerangka                         x
      C. m    4 atau m 10
                                                              seperti pada gambar.
      D. 4 m 8
                                                              Ukuran luas maksimum-                        x
      E.   8 m 4                                              nya adalah . . . .
                                                                                              y        y
9.    Agar f(x)     (p    2)x2   2(2p   3)x    5p    6
                                                               A.   84   m2          D. 112       m2
      bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas
      nilai p adalah . . . .                                   B.   96 m2            E. 120 m2
      A. p 1                   D. 1 p 2                        C.   108 m2
      B. 2 p 3                 E. p 1 atau p 2
      C. p 3




                                                     S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.    Akar-akar kuadrat 4x2 20x 1 0 adalah xl             2.   Diketahui f(x) x2     x 3 dan g(x) 3x 5.
      dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya              Daerah hasil dari y    f(x) g(x) adalah . . . .
      x1 1     x    1                                          A. x 0                 D. 0 x 4
           dan 2      adalah . . . .
        x2       x1                                            B. x 2                 E. 4 x 8
      A.   x2       78x 15 0                                   C. x 4                             (UMPTN 2001)

      B.   x2        78x 15 0
                                                          3.   Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan
      C.   x2        78x 15 0                                  x2 2x a 0 sama dengan jumlah kebalikan
      D.   x2        15x 78 0                                  akar-akar persamaan x2     8x    (a    1)  0,
      E.   x2        15x 78 0              (UMPTN 2001)        maka nilai a sama dengan . . . .


 12                                   Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
       A.   6                       D. 2                      9.   Fungsi f(x)     (a 4)x2 ax 2      (a   3) bernilai
       B.   1                       E. 3                           tak negatif   jika . . . .
                1                                                  A. 0 a         4           D. a    4
       C.                                      (UMPTN 2001)
                2                                                  B. 0 a         4           E. a   4
                                                                   C.   4 a         4                 (SPMB 2003)
4.     Selisih sisi terpanjang dan sisi terpendek
       sebuah segitiga siku-siku sama dengan dua kali         10. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
       selisih sisi yang lain dengan sisi terpendek.              x 4x 3 0, maka persamaan kuadrat yang
       Jika luas segitiga itu 150 cm2, maka kelilingnya           akar-akarnya x12 dan x22 adalah . . . .
       sama dengan . . . .                                        A. x2 10x      9 0
       A. 30 cm                 D. 90 cm                          B. x2 10x      9 0
       B. 45 cm                 E. 120 cm                              2
                                                                  C. x    4x    3 0
       C. 60 cm                         (UMPTN 2001)                   2
                                                                  D. x    4x    3 0
                                                                  E. x2 4x      9 0              (SPMB 2004)
5.     Agar (3m 1)x2 4(m 1)x m                      4 untuk
       setiap x real, maka haruslah . . . .
                                                                                                    x k 1
       A. m 0 atau m 5                                        11. Jika salah satu akar persamaan
                                                                                                    6 x 2
                1                                                  adalah 6, maka akar yang lain adalah . . . .
       B.               m       5
                3                                                  A.   9              D. 6
       C. 0         m       5                                      B.   3              E. 9
       D. 0         m       5                                      C. 3                          (SPMB 2004)
                        1
       E.   m             atau m    3           (SPMB 2002)   12. Diberikan persamaan kuadrat ax2 bx c 0.
                        3                                         Satu akarnya merupakan kelipatan 4 akar
6.     Akar-akar persamaan kuadrat x2 6x c 0                      yang lain. Maka a, b, dan c memenuhi
       adalah x1 dan x2. Akar-akar persamaan kuadrat              hubungan . . . .
       x2 (x12 x22)x 4 0 adalah u dan v. Jika                     A. b 4a2c            D. 4b2 9ac
       u v       uv, maka x13x2 x1x23 . . . .                     B. b 16ac            E. 4b2 25ac
       A.    64                     D. 32                              2
                                                                  C. b    8ac                    (SPMB 2004)
       B.   4                       E. 64
                                                              13. Agar kurva y     mx2   2mx    m seluruhnya
       C.   16                                  (SPMB 2003)       terletak di atas kurva y     2x2   3, maka
                                                                  konstanta m memenuhi . . . .
7.     Jika a dan b adalah akar-akar persamaan
       kuadrat x2     4x 2  0, maka persamaan                     A. m 6               D. 6 m 2
       kuadrat yang akar-akarnya a 2 b dan ab 2                   B. m 2               E.   6 m      2
       adalah . . . .                                             C. 2 m 6                       (SPMB 2004)
       A. x2 8x 6 0                                           14. Akar-akar persamaan kuadrat x2 ax b 0
       B. x2 6x 6 0                                               adalah x 1 dan x 2 . Jika x 1 dan x 2 juga
       C. x2     6x 8 0                                           merupakan akar-akar persamaan kuadrat
            2
       D. x      8x 8 0                                           2x2 (a 3)x (3b 2) 0,
       E. x2     8x 8 0             (SPMB 2003)                   maka a b . . . .
                                                                  A.  2                D. 2
8.     Grafik fungsi y   (a   2)x2     2ax   a   2
       menyinggung sumbu-x di titik P dan memotong                B.  1                E. 3
       sumbu-y di titik Q. Panjang ruas garis PQ                  C. 1                           (SPMB 2004)
       adalah . . . .
                                                              15. Akar-akar persamaan kuadrat
       A.   2                       D.   3 3                      x2 (a 1)x 6 0, a 0
                37
            3                                                     adalah x1 dan x2. Jika x12  x22   13, maka
              1                                                   a . . . .
       B.   1    15                 E.   4 3
              3                                                   A. 0                  D. 4
                1                                                 B. 1                  E. 6
       C.   2     6                             (SPMB 2003)
                3                                                 C. 2                           (SPMB 2005)


     Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat                                                                          13
16. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 6x 3 0                A.   2x2   3x 10     0
    adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-        B.   2x2   10x 3     0
    akarnya x1 x2 dan x1x2 adalah . . . .                 C.   2x2    9x 3     0
                                                          D.   2x2    3x 9     0
                                                          E.   2x2    3x 9     0            (SPMB 2006)




      Intersection
      Bab ini banyak keterkaitannya dengan materi trigonometri, lingkaran, limit fungsi, integral, dan
      turunan. Untuk itu, kamu harus benar-benar memahami materi pada bab ini.




 14                             Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
 Bab
                                     Sistem Persamaan Linear
           3                         dan Kuadrat


                                                     Contoh
      A.    Sistem Persamaan Linear Dua
            Variabel (SPLDV)
                                                      Penyelesaian dari persamaan x            2y    5 dan
                                                      3x 5y      4 adalah . . . .
    Bentuk umum sistem persamaan linear dua
                                                      A. x     38 dan y 22
variabel (SPLDV) adalah sebagai berikut.
                                                      B. x     22 dan y 38
                      ax    by   c                    C. x     17 dan y 11
                                                      D. x 17 dan y        11
di mana x dan y adalah peubah atau variabel           E. x 22 dan y        11
sementara a, b, dan c adalah konstanta.
                                                      Jawab:
                                                       x 2y        5        . . . (1)
 I N G A T
                                                      3x 5y        4        . . . (2)
      Misalkan diberikan sistem persamaan linear      Dari Persamaan (1) diperoleh
      berikut.
                                                      2y      x    5
           a1x b1y c1
                                                       y     1x        5
           a2x b2y c2                                        2         2
      •    Mempunyai solusi atau penyelesaian
                                                      Substitusi nilai y ke Persamaan (2).
                        a1  b1
           tunggal jika a   b2                                1        5
                         2                            3x    5 2x       2        4
      •    Tidak mempunyai penyelesaian jika
           a1    b1   c1                               3x     5x       25       4
                                                              2         2
           a2    b2   c2
                                                              1x       25
      •    Mempunyai       banyak    solusi   jika                              4
                                                              2        2
           a1   b1         c1
           a2   b2         c2                                      1x          17
                                                                   2            2
                                                                     x         17
                                                      Substitusi nilai x ke salah satu persamaan,
    Menentukan penyelesaian SPLDV dapat               misalkan Persamaan (1).
dilakukan dengan menggunakan metode substitusi,
                                                      17    2y     5          2y        5 17
metode eliminasi, metode grafik, dan metode
reduksi.                                                                      2y        22
                                                                               y        11
1.     Metode substitusi                              Jadi, penyelesaiannya adalah x                17 dan
          Menggantikan salah satu variabel dari       y    11.
          persamaan pertama dengan variabel dari                                                Kunci: D
          persamaan yang kedua.



     Bab 3 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat                                                           15
2.    Metode eliminasi
               Menghilangkan salah satu peubah.                   Jawab:
                                                                   y 3x         1           dan         y       x           3
Contoh                                                               x     y                            x               y

     Himpunan penyelesaian dari                                      1                    1
                                                                           0        (       , 0)            3       0           ( 3, 0)
                                                                     3                    3
      2x        5y    10                                                                                                         (0, 3)
                                                                     0     1             (0, 1)             0       3
      3x        2y     7
                                                                                                   y
     adalah . . . .
                                                                           y        3x       1
     A. {( 5, 4)}                      D. {(15, 4)}                                                     y       x       3
     B. {( 5, 4)}                      E. {(15, 4)}
     C. {(5, 4)}                                                                    ( 1, 2)

     Jawab:
     2x 5y           10    . . . (1)                                                                                x
     3x 2y            7    . . . (2)
     Eliminasi y
     2x 5y 10              2     4x     10y     20
     3x 2y       7         5    15x     10y     35
                                        11x     55                Jadi, penyelesaiannya adalah x                                1 dan
                                          x     5                 y 2.
     Eliminasi x                                                                                                            Kunci: D
     2x 5y 10              3     6x 15y         30
     3x 2y       7         2      6x 4y         14
                                                             4.    Metode reduksi
                                     11y        44
                                                                      Mengurangkan kedua persamaan sampai
                                       y        4
                                                                      diperoleh salah satu koefisien variabelnya
     Jadi, himpunan penyelesaian adalah {( 5, 4)}.                    sama dengan nol, sehingga variabel tersebut
                                                Kunci: A              hilang.



                                                             Contoh
3.    Metode grafik
         Menggambarkan persamaan garis pada                       Himpunan penyelesaian dari
         grafik dengan menentukan titik-titik potong.              4x    2y      46
                                                                   3x    y      21
                                                                  adalah . . . .
Contoh                                                            A. {( 4, 31)}                         D. { 2, 27)}
                                                                  B. {( 4, 31)}                         E. {(2, 31)}
     Penyelesaian persamaan y              3x     1 dan           C. { 2, 27)}
     y x 3 adalah . . . .
                                                                  Jawab:
     A. x    1 dan y    2
                                                                  4x 2y        46           . . . (1)
     B.    x      1 dan y   1                                      3x y        21           . . . (2)
                   2
                  1                                               Reduksi Persamaan (2) dari Persamaan (1)
     C.    x         dan y 2
                   2                                              4x 2y 46
     D. x         1 dan y 2                                        3x y 21
     E. x        1 dan y 1                                          x y 25        . . . (3)




 16                                      Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
  Reduksi Persamaan (3) dari Persamaan (2)                Persamaan (i) dikali 2
  3x y 21                                                 2x 2y 2z        6      . . . (iv)
   x y 25                                                  2x 2y z 6             . . . (ii)
     2x    4                                                       3z     12
      x    2                                                        z     4
  Substitusi nilai x        2 ke Persamaan (1)            Substitusi   z     4 ke (i)
  atau Persamaan (2).                                        x y        4    3
   4( 2) 2y 46                                                   x      y   1        . . . (v)
      8 2y 46                                                    x      y   7        . . . (iii)
          2y 54                                                  2x     8
           y 27                                                   x     4
  Jadi, HP    {( 2, 27)}.                                 Substitusi x 4 ke (iii)
                                     Kunci: D             4 y 7
                                                              y 4 7      3
                                                          Himpunan penyelesaian (x, y, z)          (4, 3, 4).
                                                                                                   Kunci: C
   B.    Sistem Persamaan Linear dengan
         Tiga Variabel
    Sama halnya dengan SPLDV, hanya saja di sini
menggunakan tiga peubah atau variabel, yaitu x, y,         C.    Sistem Persamaan Non-Linear
dan z.
Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
                                                     1.    Sistem persamaan linear-kuadrat
    a1x b1y c1z d1
                                                         Bentuk umum persamaan linear-kuadrat adalah
    a2x b2y c2z d2
                                                     sebagai berikut.
    a3x b3y c3z d3
                                                         y px q           . . . Persamaan linear
dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 adalah               2
                                                         y ax      bx c   . . . Persamaan kuadrat
bilangan real.
                                                     dengan p, q, a, b, c adalah bilangan real dan x
    Metode yang digunakan untuk menyelesaikan
                                                     adalah peubah atau variabel.
persamaan ini adalah metode eliminasi dan
substitusi.                                              Penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat
                                                     dapat ditentukan dengan metode grafik dan metode
                                                     substitusi.
Contoh
                                                     2.    Sistem persamaan kuadrat dua variabel
  Himpunan penyelesaian dari SPL                         Bentuk umum persamaan kuadrat dua variabel
    x y z        3                                   adalah sebagai berikut.
  2x 2y z 6                                              y ax2 bx c
        x y 7                                            y px2 qx r
  adalah . . . .                                     dengan a, b, c, p, q, r adalah bilangan real dan x
  A. (4, 3, 4)            D. ( 2, 3, 4)              adalah peubah atau variabel.
  B. (2, 3, 4)            E. ( 2, 3, 4)
  C. (4, 3, 4)                                       Contoh
  Jawab:                                                  Himpunan penyelesaian dari
    x y      z    3    . . . (i)                              y (1 2x)2 31
  2x 2y      z   6     . . . (ii)                             y 3x(x 1) 42
      x      y   7     . . . (iii)                        adalah . . . .


 Bab 3 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat                                                                  17
     A.    (8, 258)                 D. (9, 258)                                     (x 9)(x 8) 0
     B.    ( 9, 258)                E. ( 9, 258)                                     x 9 atau x 8
     C.    ( 8, 258)                                             Substitusi x ke (i)
                                                                      Untuk x 9
     Jawab:
                                                                         y (1 2 9)2 31
     y (1 2x)2           31     . . . (i)
                                                                              (1 18)2 31 ( 17)2 31
     y 3x(x 1)           42     . . . (ii)
                                                                              289 31 258
     Dari Persamaan (i) dan (ii) diperoleh                            Untuk x       8
     (i) y 1 4x 4x2 31 4x2 4x 30                                         y (1 2 ( 8))2 31
     (ii) y 3x(x 1) 42 3x2 3x 42                                              (1 16)2 31 (17)2 31
     Karena (i)        (ii) maka diperoleh                                    289 31 258
                            4x2 4x 30 3x2     3x   42            Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
     4x2       3x2    4x 3x 30 42 0                              {(9, 259), ( 8, 258)}.
                              x2 x 72 0                                                           Kunci: C




               S oal Pemantapan Ujian Nasional

      Kompas
     •     Soal nomor 1 – 3 merupakan kategori soal yang mudah. Pelajari materi persamaan linear dua
           variabel.
     •     Soal nomor 4 – 5 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang bagaimana memodelkan
           suatu masalah dan menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel.
     •     Soal nomor 6 merupakan kategori soal yang sulit. Soal ini mengarah pada pemecahan masalah,
           sehingga kamu harus mempelajari dan memahami semua materi pada bab ini.




1.    Himpunan penyelesaian                                 3.    Harga karcis masuk museum untuk anak
                                                                  Rp2.000,00 dan untuk dewasa Rp3.000,00.
          7x     2y    6
                                                                  Terjual 180 karcis dalam seminggu dengan hasil
          3x     4y    22
                                                                  penjualan Rp420.000,00. Berapakah masing-
      adalah . . . .                                              masing karcis anak dan dewasa yang terjual
      A. {( 4, 2)}              D. {(2, 4)}                       berturut-turut dalam seminggu?
      B. {( 4, 2)}              E. {(2, 4)}                       A. {(60, 120)}         D. {(100, 80)}
      C. {( 2, 4)}                                                B. {(70, 110)}         E. {(120, 60)}
2.    Vina membeli dua cokelat dan lima permen, ia                C. {(80, 100)}
      membayar Rp13.000,00. Lina membeli tiga               4.    Umur ayah empat kali umur Ahmad. Empat
      cokelat dan empat permen, ia membayar                       tahun yang lalu umur ayah sama dengan lima
      Rp16.000,00. Jika Dewi membeli satu cokelat                 kali umur Ahmad ditambah delapan tahun.
      dan dua permen, maka ia harus                               Jumlah umur ayah dan Ahmad sekarang
      membayar . . . .                                            adalah . . . .
      A. Rp6.000,00        D. Rp11.000,00                         A. 38 tahun          D. 41 tahun
      B. Rp7.000,00        E. Rp12.000,00                         B. 39 tahun          E. 42 tahun
      C. Rp9.000,00                                               C. 40 tahun

 18                                     Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
5.     Himpunan penyelesaian                            6.   Jika uang A, B, dan C digabungkan hasilnya
        4x  3y  z 16                                         Rp60.000,00. Apabila uang B diambil Rp10.000,00
        2x  7y  3z 8                                         dan diberikan kepada A, maka uang A akan
                                                             sama dengan uang B. Jika uang C ditambah
        x  3y  2z   14
                                                             Rp20.000,00, maka uang C akan sama dengan
       adalah . . . .                                        jumlah uang A dan B.
       A. {( 3, 1, 7)}       D. {(3, 1, 7)}                  Perbandingkan uang A, uang B, dan uang C
       B. {( 3, 1, 7)}       E. {(3, 1, 7)}                  berturut-turut adalah . . . .
       C. {( 3, 1, 7)}                                       A. 1 : 2 : 3          D. 2 : 3 : 1
                                                             B. 1 : 3 : 2          E. 3 : 1 : 2
                                                             C. 2 : 1 : 3




                                                   S oal-soal UMPTN dan SPMB

1.     Enam tahun yang lalu, Budi 4 tahun lebih muda    5.   Pada tahun 2002, usia seorang anak sama
       dari seperenam umur ayahnya. Umur Budi                dengan seperempat usia ibunya (dalam tahun).
       sekarang 3 tahun lebih tua dari seperdelapan          Jika pada tahun 2006 usia anak itu sepertiga
       umur ayahnya. Jumlah umur Budi dan ayahnya            usia ibunya, maka tahun lahir anak tersebut
       sekarang adalah . . . .                               adalah . . . .
       A. 60 tahun             D. 54 tahun                   A. 1988              D. 1994
       B. 57 tahun             E. 52 tahun                   B. 1990              E. 1996
       C. 56 tahun                    (UMPTN 2001)           C. 1992                         (SPMB 2002)

2.     Garis g: 2x       3y     7 memotong garis        6.   Jika x dan y memenuhi sistem persamaan
       h: 3x 2y 4 di titik A. Persamaan garis yang           2    1               1   2                  1
       melalui titik A dan sejajar garis k: 3x y 6                        1 dan           8 , maka               ....
                                                             x    y               x   y              x       y
       adalah . . . .                                                 3
       A. x y 7               D. 3x y 7                      A.                           D. 5
                                                                      2
       B. x 3y        1       E. 3x y 1                           5
       C. 3x y        7                  (SPMB 2002)         B.                           E.   6
                                                                  6
                                                                  6
3.     Garis g melalui titik (1, 2) dan (3, 1).              C.                                      (SPMB 2002)
       Persamaan garis h yang melalui titik ( 1, 2)               5
       dan sejajar garis g adalah . . . .               7.   Garis l melalui titik P( 2, 1) dan Q(q, 1),
       A. 2x y 0                                             q 0 dan garis k melalui Q(q, 1) dan R(1, 0).
       B. 3x 2y 1 0                                          Jika garis k tegak lurus garis l, maka
       C. 2x 3y 8 0                                          persamaan garis l adalah . . . .
       D. 2x y 4 0                                           A. y x 1 0            D. 2y x 1 0
       E. 3x 2y 7 0                       (SPMB 2002)        B. y x 1 0            E. 2y x 1 0
                                                             C. 2y x 1 0                      (SPMB 2003)
4.     Sepuluh tahun yang lalu perbandingan umur
       adik dan kakak adalah 2 : 3. Jika perbandingan   8.   Garis g memotong sumbu-x di titik A(a, 0)
       umur mereka sekarang adalah 4 : 5, maka               dan memotong sumbu-y di titik B(0, b).
       perbandingan umur tersebut 10 tahun yang              Jika AB     5 dan gradien g bernilai negatif,
       akan datang adalah . . . .                            maka . . . .
       A. 5 : 6              D. 8 : 9                        A.   5 a 5, ab 0
       B. 6 : 7              E. 9 : 10                       B.   5 a 5, ab 0
       C. 7 : 8                          (SPMB 2002)         C.   5 a 5, ab 0

     Bab 3 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat                                                                   19
      D. 5 a 5, ab 0                                    10. Uang Amir Rp20.000,00 lebih banyak
      E. 0 a 5, b 0                    (SPMB 2003)          dibandingkan uang Budi ditambah dua kali
                                                            uang Doni. Jumlah uang Amir, Budi, dan Doni
9.    Jika garis y  bx   a memotong parabola                adalah Rp100.000,00. Selisih uang Budi dan Doni
           2
      y ax    bx (a 2b) di titik (1, 1) dan (x0, y0),       adalah Rp5.000,00. Uang Amir adalah . . . .
      maka x0 y0 . . . .
                                                            A. Rp22.000,00         D. Rp67.000,00
      A.   6             D.
                                                            B. Rp33.000,00         E. Rp80.000,00
      B.   5             E. 2
      C.   4                          (SPMB 2004)           C. Rp51.000,00                    (SPMB 2005)




        Intersection
        Untuk mempelajari materi tentang program linear, sebaiknya materi tentang SPL ini harus
        benar-benar dipahami. Karena bab ini merupakan dasar kamu mempelajari materi tentang
        program linear.




 20                                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab

         4                            Per tidaksamaan Satu
                                      Pertidaksamaan
                                      Variabel


   A.       Pertidaksamaan Pecahan                          Ambil sembarang nilai x selain pembuat
                                                            nol ( 7 dan 2) untuk menentukan daerah
                                                              dan .
    Langkah-langkah menentukan himpunan
                                                            Misalkan: x     3
penyelesaian.
    Buat ruas kanan menjadi nol.                                      x 7         ( 3) 7
                                                            f ( x)
    Buat perkalian faktor linear pada pembilang                      x 2           3 2
    dan penyebut.                                                    3    7 4
                                                                               4 (bernilai positif )
    Tuliskan nilai-nilai pembuat nol pada garis                          1  1
    bilangan.                                               Untuk x     1, diperoleh
    Tentukan tanda “ “ dan “ – “.                                   (1) 7     1 7
                                                            f ( x)
    Tentukan interval yang sesuai.                                 1    2       1
                                                                     6
                                                                           6 (bernilai negatif )
Contoh                                                              1
                                                            Perhatikan garis bilangan berikut!
  Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
  2x     1
            3 adalah . . . .
   x    2
                                                                     {x  7 atau x    2}
  A.      7  x 2
                                                            x     2 bukan penyelesaian karena
  B.    x   7 atau x 2
                                                            penyebutnya menjadi nol.
  C.      2 x 7
                                                                                        Kunci: D
  D.    x   7 atau x    2
  E.    x 2 atau x 7

  Jawab:
                  2x 1
                  x 2
                           3                           B.     Pertidaksamaan Irasional
            2x 1
                       3   0
             x 2                                  1.    f ( x)   k
   2x 1          3( x 2)                                    f(x) 0; k         0    . . . (i)
                           0
   x 2            x 2                                       f(x) k2                . . . (ii)
       2x    1    3x   6                               Himpunan penyelesaiannya adalah (i)         (ii).
                           0
             x    2
                 x 7                              2.    f ( x)       g( x)
                        0
               x 2                                         f(x) 0          . . . (i)
        Batas pembuat nol pembilang dan                    g(x) 0          . . . (ii)
        penyebut                                           f(x) g(x)       . . . (iii)
         x 7 0       dan  x 2 0                        Himpunan penyelesaiannya adalah
             x    7         x  2
                                                       (i) (ii) (iii)

 Bab 4 Pertidaksamaan Satu Variabel                                                                    21
Contoh
                                                                   Dari (i), (ii) dan (iii)
 1.   Himpunan penyelesaian dari 3 x 2 2
      adalah . . . .
                               2
      A. x 2              D.       x 2
                               3
               2                                                             6           8          10
      B. x                E. x 2
               3
          2                                                        Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
      C.       x 2
          3                                                        8 x 10.
      Jawab:                                                                                   Kunci: C
      (i) 3x 2       0          (ii)     3x   2         4
                     2
                x                             3x        6
                     3
                                               x        2
      Dari (i) dan (ii) diperoleh
                                                              C.      Pertidaksamaan Nilai Mutlak

                                                              |f(x)|     k, maka k            f(x) k
                                                              |f(x)|     k, maka f(x)           k atau f(x)       k
               2
               3           2

      Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah                 Contoh
      x 2.
                                                             Tentukan penyelesaian dari |2x                   5|           3
 2.   Himpunan penyelesaian dari                             adalah . . . .
        x 6    10 x adalah . . . .                           A.   1 x 4              D. 8                     x        1
      A. 6 x 10           D. 6 x                   10        B. 1 x 4                E.   2                   x       8
      B. 6 x 8            E. 8 x                   10        C.   4 x 2
      C. 8 x 10
                                                             Jawab:
      Jawab:                                                   |2x 5|            3
      (i) x 6       0, x 6                                    3 2x 5             3
      (ii) 10 x       0, x 10                                 3 5 2x             3   5
      (iii) x 6     10 x                                         2 2x            8
              2x    16                                            1 x            4
               x    8                                                                                    Kunci: B




22                                     Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                   S oal Pemantapan Ujian Nasional

       Kompas
      •           Soal nomor 1 merupakan ketegori soal yang mudah, pelajari pertidaksamaan pecahan.
      •           Soal nomor 2 – 4 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari pertidaksamaan irasional.
      •           Soal nomor 5 – 6 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus pelajari semua
                  materi ini.




1.     Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
                                                                 4.   Nilai x dari x 10    x 2 adalah . . . .
              3 x 12                                                  A.    10 x 6
                            0 adalah . . . .
       x2          8 x 12                                             B.    10 x    1 dan x 6
       A.         ( , 2) atau (4, 6)                                  C.    10 x    1
       B.         ( , 2) atau (6, )                                   D. 1 x 6 dan x        10
       C.         ( , 2)                                              E.    1 x 6
       D.         (6, )
       E.         (2, 6)                                                                    1   2       1
                                                                 5.   Diketahui                         . Nilai x
                                                                                   x 2 x 6 ( x 2)( x 6)
2.     Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
                                                                      yang memenuhi pertidaksamaan tersebut
              1     x        2x       6 adalah . . . .                adalah . . . .
                    5                                        5        A.   2 x 6
       A.                x                 D.    3   x                B.   6 x 2
                   3                                         3
                                                                      C. x     3 dan 2 x 6
                    5
       B.                x                 E.   3    x   1            D. x     3 dan 2 x 6
                   3
                                                                      E. x     3 dan 2 x 6
                    5
       C.                x        1
                   3                                                              3                         5
                                                                 6.       2                         2
3.     Himpunan penyelesaian pertidaksamaan                           x           3x    2       x           4x   3
                                                                      berlaku untuk . . . .
          x          x   6, x         R adalah . . . .
                                                                              x     1                            1   x       3
       A.         {x| 2 x 3, x     R}                                 A.                                    D.
                                                                                    2                            2
       B.         {x|x  3 atau x 2, x   R}
                                                                      B.      x    2                        E.   2   x   3
       C.         {x| 6 x    2 atau x 3, x R}
                                                                      C.      x    3
       D.         {x|x  2 atau x 3, x   R}
       E.         {x|x 3, x   R}




     Bab 4 Pertidaksamaan Satu Variabel                                                                                          23
                                                                                 S oal-soal UMPTN dan SPMB
                                            x2          2x     1                     5.   Agar pertidaksamaan 4x2 9x a2 9 dipenuhi
1.    Penyelesaian               dari                               0        dan
                                                2
                                            x           2x     1                          oleh semua nilai real x, maka . . . .
           x                                                                              A. a 4 atau a       4
                       0 adalah . . . .
      x        3                                                                                     3             3
      A.       x       1     2 atau x            3                                        B.   a   3    atau a   3
                                                                                                     4             4
      B.       x       0 atau x 1               2                                         C.   a   3 atau a    3
      C.       x       0 atau x 3                                                                    1             1
      D.       0       x 3                                                                D. a     2    atau a   2
                                                                                                     2             2
      E.       0       x 1      2                            (UMPTN 2001)
                                                                                          E.   a   2 atau a    2            (SPMB 2002)
2.    Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan                                           6.   Himpunan     semua nilai x yang memenuhi
           5                                                                              x   x 3       3 adalah . . . .
                         1 adalah . . . .
      4x           3                                                                      A. {x  R      x 3}
                   1          3                                                           B. {x  R      x 3}
      A.                 x      atau x              2                                     C. {x  R        3 x 3}
                   2          4
                                                                                          D. {x  R      x   3}
                         1      3                                                         E. {x  R      x   3}           (SPMB 2002)
      B.       x           atau         x       2
                         2      4
                   1                    3                                            7.   Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
      C.                  x   2, x                                                          2
                   2                    4                                                        x adalah . . . .
                         1              3                                                 x 1
      D. x                 atau x                                                         A. { x x   2 atau x 1 }
                         2              4
                         1                                                                B. { x x   2 atau 0 x 1 }
      E.       x           atau x       2                    (UMPTN 2001)                 C. { x x   1 }
                         2
                                                                                          D. { x x   1 atau x 1}
                                                               x2       5x       6        E. { x   1 x 1 }          (SPMB 2002)
3.    Daerah asal fungsi f(x)
                                                                    x        2
      adalah           . . . .                                                                                              x   2   x   1
                                                                                     8.   Solusi dari pertidaksamaan
      A. {x             x 2}                                                                                                x   5   x   4
      B. {x             1 x 2}                                                            adalah . . . .
      C. {x             x      6 atau 1     x           2}                                A.   4 x 5
      D. {x             x      6 atau 1     x           2}                                               1
                                                                                          B. 5 x 6
      E. {x             x      6 atau 1     x           2}                                               2
                                                             (UMPTN 2001)                 C. x 4
                                                                                                                        1
4.    Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan                                                D. 4     x   5 atau       6
                                                                                                                        2
      3x 2    2x     1   0 dan 3x 2   x   3   0                                                                     1
      adalah . . . .                                                                      E.   x   4 atau x     6           (SPMB 2003)
                                                                                                                    2
                     1
      A.    1 x             D. 1 x 1                                                 9.   Himpunan      penyelesaian pertidaksamaan
                     3
                                                                                          x2 2 6        2x 0 adalah . . . .
             3                   3      1
      B.          x    1    E.       x                                                    A. {x   4     x 1}
             2                   2      3
                                                                                          B. {x x      3}
           1
      C.        x 1                 (SPMB 2002)                                           C. {x x       4}
           3
                                                                                          D. {x   4     x 2}
                                                                                          E. {x x      2}                   (SPMB 2004)




 24                                                     Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                           2 x2         x   3
10. Penyelesaian pertidaksamaan                                2
                                                                                0      A.    4    x       7   D. x    4
                                                           x            x   6
   adalah . . . .                                                                      B.    3    x       7   E. 3    x    5
                                           1                                           C.    x    4                       (SPMB 2005)
   A.    x         1 atau x            1
                                           2
                                                                                    13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
                                   1                                1
   B.        1         x       1     atau 2            x        1
                                   2                                2                   x2       4x   3
                                                                                         2
                                                                                                   0 adalah . . . .
               1                                                                       x   3 x 10
   C.        1             x        1 atau 2           x    3
               2                                                                       A. x 2 atau 3 x 5
                                               1                                       B.  2 x 1 atau 3 x 5
   D.        2         x        1 atau 1               x    3
                                               2                                       C.  2 x 1 atau 3 x 5
                                   1                           1                       D. 1 x 3 atau x 5
   E.        3         x             atau 2        x       2
                                   2                           2                       E. 1 x 3 atau x 5                  (SPMB 2005)
                                                               (SPMB 2004)
                                                                                    14. Semua nilai x yang memenuhi 1 2x 2 x
11. Jika 10 y x 2 dan y                                x       3, maka . . . .          adalah . . . .
    A. 8 x y x 2                                                                                  1
    B. 8 x y x 3                                                                        A. x
                                                                                                  3
    C. 0 y x 3                                                                          B. x 1
    D. 8 x y x 1                                                                                  2
    E. 0 y x 2                                                 (SPMB 2004)
                                                                                        C. x          atau x 2
                                                                                                  3
                                                                                                   2
12. Nilai          x       yang        memenuhi                    persamaan            D. x           atau x 1
                                                                                                   3
     x       3         5       x , adalah . . . .                                                 1
                                                                                        E. x         atau x 1        (SPMB 2006)
                                                                                                  3



        Intersection
        Materi tentang pertidaksamaan banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Materi ini juga
        banyak digunakan dalam ilmu Ekonomi, Fisika, dan masih banyak lagi. Untuk itu, kamu harus
        benar-benar mempelajari dan memahami bab ini.




 Bab 4 Pertidaksamaan Satu Variabel                                                                                               25
Bab

           5                               Logika Matematika



      A.     Pernyataan Kalimat Terbuka dan
                                                                 C. x y 9, x, y      R
             Ingkaran
                                                                 D. Andre Agassi adalah petenis dunia.
1.    Pernyataan                                                 E. Susi Susanti adalah pelatih
        Kalimat tertutup yang memiliki nilai benar                  bulutangkis.
        saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus             Jawab:
        benar dan salah.                                         x y 9, x, y      R merupakan kalimat
Misalnya:                                                        terbuka karena nilai x dan y tidak
• Presiden Indonesia pada tahun 2003 adalah                      terbatas. Sehingga nilai kebenarannya
    Megawati Soekarno Putri.                                     belum pasti.
• Susi Susanti adalah atlet tenis.                                                            Kunci: C
•    3 ( 2)      1
                                                            2.   Ingkaran dari pernyataan ”Jakarta ada di
2.    Kalimat terbuka                                            Pulau Sulawesi” adalah . . . .
                                                                 A. Pulau Sulawesi ada di Jakarta.
        Kalimat yang belum pasti nilai kebenaran-
        nya.                                                     B. Pulau Sulawesi tidak ada di Jakarta.
                                                                 C. Tidak benar Pulau Sulawesi ada di
Misalnya:
                                                                     Jakarta.
• x 3 4
                                                                 D. Jakarta tidak ada di Pulau Sulawesi.
• p2 q2 36
                                                                 E. Jakarta atau pulau Sulawesi.
• Si A adalah siswi yang berambut panjang.
                                                                 Jawab:
3.    Ingkaran                                                   Ingkaran dari kata ”ada” adalah ”tidak
    Ingkaran suatu pernyataan p adalah pernyataan                ada”.
 p yang bernilai benar jika p bernilai salah dan                                              Kunci: D
bernilai salah jika p bernilai benar.
Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut.

                    p      p
                                                            B.     Konjungsi dan Disjungsi
                    B      S
                    S      B                           1.    Konjungsi
                                                                Bernilai benar jika dan hanya jika
                                                                pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai
Contoh                                                          benar.
     1.    Di bawah ini yang merupakan kalimat                                p    q    p       q
           terbuka adalah . . . .                                             B    B        B
           A. Kuda adalah hewan berkaki 4.
                                                                              B    S        S
           B. Persamaan kuadrat 3x2 2x 1 0
               mempunyai akar kembar.                                         S    B        S
                                                                              S    S        S


 26                               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh
                                                                                3                                       3
      p : Pagi ini hujan deras.                                 A.       x                                 D. x
                                                                                4                                       4
      q : Saya membawa payung.
                                                                                3                                       3
      Kesimpulan yang benar untuk p            q                B.       x                                 E.   x
      adalah . . . .                                                            4                                       4
      A. Pagi ini hujan deras, maka saya membawa                               3
                                                                C.       x
          payung.                                                              4
      B. Pagi ini hujan deras atau saya membawa
          payung.                                               Jawab:
      C. Jika pagi ini hujan deras, maka saya                   Terlebih dahulu, uraikan disjungsi tersebut
          membawa payung.                                       menjadi pernyataan tunggal.
      D. Pagi ini hujan deras dan saya membawa                  Premis 1 (p) : 2 adalah bilangan cacah
          payung.                                                                                 3x
                                                                                         3
      E. Pagi ini hujan deras, tetapi saya tidak                Premis 1 (q) :               81            27, y        R
          membawa payung.
                                                                         p merupakan pernyataan salah.
      Jawab:                                                             q merupakan kalimat terbuka.
      p q : Pagi ini hujan deras dan saya
                                                                Supaya disjungsi salah, maka q harus
            membawa payung.
                                                                membentuk pernyataan salah.
                                  Kunci: D
                                                                     3        3x
                                                                         81         27

2.     Disjungsi                                                      1 3x
                                                                 (81) 3             27
a.     Disjungsi inklusif
           Bernilai benar jika salah satu pernyataan
                                                                             81 x   27
           tunggalnya bernilai benar.
                                                                             4 x
                                                                         (3 )       33
                             p      q   p       q
                                                                             34 x   33
                             B      B       B                                 4x    3
                             B      S       B                                       3 (q benar)
                                                                               x
                             S      B       B                                       4
                             S      S       S                   Agar (p, q) salah, maka x adalah bilangan riil
                                                                              3            3
                                                                yang bukan       atau x      , dengan x   R.
b.     Disjungsi eksklusif                                                    4            4
           Bernilai benar hanya jika salah satu                                                                         Kunci: B
           pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai
           benar.
                             p      q   p       q
                             B      B       S
                             B      S       B                   C.           Implikasi dan Biimplikasi
                             S      B       B
                             S      S       S              1.    Implikasi
                                                                    Bernilai salah hanya jika hipotesa bernilai
Contoh                                                              benar dan konklusi bernilai salah.
                                                                                             p         q    p       q
      ” 2       adalah       bilangan       cacah   atau
       3        3x                                                                           B         B        B
           81        27, x   R ”.
                                                                                             B         S        S
      Berapakah nilai x agar disjungsi di atas
                                                                                             S         B        B
      bernilai salah?
                                                                                             S         S        B


     Bab 5 Logika Matematika                                                                                                   27
Contoh
                                                               Biimplikai bernilai benar jika p dan q benar.
     Jika x2    4x  4   0, maka jumlah sudut                   Untuk q benar maka nilai x dapat ditentukan
     segitiga adalah 360 . Agar implikasi                      sebagai beriku.
     dari kalimat di atas salah, maka nilai x                   x2 x 72 0
     adalah . . . .
                                                               (x 9)(x 8) 0
     A. x     2               D. x 2
     B. x     3               E. x 4
     C. x     4                                                                             9           8
     Jawab:                                                    Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
         2                                                     x –9 atau x 8.
     p: x    4x 4 0
     q : Jumlah sudut segitiga adalah 360 .                                                 Kunci: D
     Implikasi akan bernilai salah jika p benar dan
     q salah.
     Untuk p benar, maka nilai x adalah                        D.    Negasi dari Pernyataan Majemuk
     x2 4x 4 0
         (x 2)2 0                                         1.    Negasi dari konjungsi
           x 2 0
                x 2                                                                (p     q)        p       q
                                          Kunci: D
                                                                 p   q      p       q      p        q   (p       q)    p       q

2.    Biimplikasi                                                B   B     S       S            B            S             S
         Bernilai benar jika pernyataan p dan q                  B   S     S       B            S            B             B
         memiliki nilai kebenaran yang sama.                     S   B     B       S            S            B             B
                        p     q   p       q                      S   S     B       B            S            B             B
                        B    B        B
                                                                                                                 ekuivalen
                        B    S        S
                                                          Contoh
                        S    B        S
                        S    S        B                        Jika p q:    3 5 8 dan 8 adalah bilangan
                                                               asli, maka    (p q) . . . .
                                                               A. 3 5       8 atau 8 bukan bilangan asli
                                                               B. 3 5       8 dan 8 bukan bilangan asli
Contoh
                                                               C. 3 5       8 atau 8 bukan bilangan asli
     Diketahui 72 adalah bilangan yang habis dibagi            D. 3 5       8 dan 8 bukan bilangan asli
     24 jika dan hanya jika himpunan penyelesaian              E. 3 5       8 maka 8 bukan bilangan asli
     dari x2 x 72 0, x R. Agar biimplikasi
                                                               Jawab:
     dari kalimat di atas bernilai benar, maka nilai
                                                                (p q): 3       5        8 atau 8 bukan bilangan asli
     x adalah . . . .
     A.    9 x       8                                                                                            Kunci: C
     B.    9 x 8
     C.    8 x 9                                          2.    Negasi dari Disjungsi
     D. x      9 atau x 8
                                                                                   (p     q)        p       q
     E. x      8 atau x     9

     Jawab:                                                      p   q      p       q      p        q   (p       q)    p       q
     p : 72 adalah bilangan yang habis dibagi 24.                B   B     S       S            B            S             S
         (Benar)                                                 B   S     S       B            B            S             S
     q : himpunan penyelesaian dari x2 x 72 0,
                                                                 S   B     B       S            B            S             S
         x   R (kalimat terbuka)
                                                                 S   S     B       B            S            B             B


 28                                   Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh                                                                   [ (x), k(x)]       (x)[ k(x)]
      Negasi dari pernyataan: ”Deni nonton atau
      belajar” adalah . . . .
                                                       Contoh
      A. Deni nonton dan belajar.
      B. Deni nonton sambil belajar.                        Ingkaran dari 5x            7      12,       x    R
      C. Deni tidak nonton tetapi belajar.                  adalah . . . .
      D. Jika Deni tidak nonton, maka belajar.              A. 5x 7 12x                     D. 5x 7           12
      E. Deni tidak nonton dan tidak belajar.               B. 5 7x 12x                     E. 5x 7          12
      Jawab:                                                C.   5x 7      12
        p q : Deni nonton atau belajar.                     Jawab:
       (p q) : Deni tidak nonton dan tidak belajar.         Ingkaran dari 5x  7         12,    x     R adalah
                                                            5x 7 12.
                                         Kunci: E
                                                                                                     Kunci: E


3.     Negasi dari implikasi
                                                       2.    Ingkaran berkuantor eksistensial
                    (p    q)   p    q
                                                                 Pernyataan berkuantor universal dengan
                                                                 kalimat terbukanya menjadi ingkaran.
Contoh                                                                   [ (x), k(x)]       (x)[ k(x)]
      Diketahui pertanyaan berikut.
      ”Jika hari ini hujan, maka Vina membawa
      payung”.                                         Contoh
      Negasi dari implikasi di atas adalah . . . .
                                                            Ingkaran dari pernyataan ”Ada siswa yang
      A. Jika hari ini tidak hujan, maka Vina
                                                            datang terlambat ke sekolah” adalah . . . .
          membawa payung.
                                                            A. Ada siswa yang tidak datang terlambat
      B. Jika hari ini hujan, maka Vina tidak                   ke sekolah.
          membawa payung.                                   B. Ada siswa yang tidak datang terlambat
      C. Jika hari ini tidak hujan, maka Vina tidak             ke sekolah.
          membawa payung.                                   C. Tidak ada siswa yang tidak datang
      D. Hari ini tidak hujan atau Vina tidak                   terlambat ke sekolah.
          membawa payung.                                   D. Semua siswa tidak datang terlambat ke
      E. Hari ini hujan dan Vina tidak membawa                  sekolah.
          payung.                                           E. Semua siswa datang terlambat ke sekolah.

      Jawab:                                                Jawab:
      p  q : Jika hari ini hujan, maka Vina                 Ingkaran dari pernyataan ”Ada siswa yang
              membawa payung.                               datang terlambat ke sekolah” adalah
      p   q : Hari ini hujan dan Vina tidak                 ”Semua siswa tidak datang terlambat ke
              membawa payung.                               sekolah”.
                                   Kunci: E                                                          Kunci: D



                                                            F.    Modus Ponens, Tollens, Silogisme
      E.    Ingkaran Pernyataan Berkuantor
                                                       1.    Modus ponens
1.     Ingkaran berkuantor universal                         Premis 1 : p q
           Pernyataan berkuantor eksistensial dengan         Premis 2 :   p
           kalimat terbukanya menjadi ingkaran.              Konklusi :   q

     Bab 5 Logika Matematika                                                                                   29
      atau                                              Contoh
      Premis 1 :        p
      Premis 2 : p      q                                    (1) p    q
                                                             (2) q    r
      Konklusi :        q
                                                             (3) r
2.    Modus tollens                                          Kesimpulan dari tiga premis di atas
      Premis 1 : p      q                                    adalah . . . .
      Premis 2 :        q                                    A. p                 D. r
      Konklusi :        p                                    B. p                 E. r
      atau                                                   C. q
      Premis 1 :        q                                    Jawab:
      Premis 2 : p      q
                                                             Dari premis (1) dan (2)
      Konklusi :        p
                                                             (1)     p    q
                                                             (2)     q    r
3.    Silogisme
      Premis 1 : p      q                                            p     r (silogisme) . . . (4)
      Premis 2 : q      r                                    Dari (3) dan (4)
      Konklusi : p      r                                    (3)       r
                                                             (4) p     r
                                                                      p (modus tollens)
                                                                                                     Kunci: B




          S oal Pemantapan Ujian Nasional

      Kompas
     •   Soal nomor 1 – 5 merupakan kategori soal yang mudah, kamu harus mempelajari materi negasi,
         implikasi, konjungsi, dan disjungsi.
     •   Soal nomor 6 – 12 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari materi kontraposisi.
     •   Soal nomor 13 – 17 merupakan kategori soal yang sulit, pelajari materi modus ponens, modus
         tollens, dan silogisme.




1.    Premis (1) : Jika Ida lulus kuliah atau menikah   2.    Negasi dari pernyataan: ’’Jika ulangan
                   maka ibu memberi hadiah.                   dibatalkan, maka semua murid bersuka ria’’
      Premis (2) : Ibu tidak memberi hadiah.                  adalah . . . .
                                                              A. Ulangan dibatalkan dan semua murid tidak
      Kesimpulannya adalah . . . .
                                                                  bersuka ria.
      A. Ida tidak lulus kuliah dan menikah.
                                                              B. Ulangan tidak dibatalkan dan ada murid
      B. Ida tidak lulus kuliah dan tidak menikah.                bersuka ria.
      C. Ida tidak lulus kuliah atau menikah.                 C. Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid
      D. Ida tidak lulus kuliah atau tidak menikah.               bersuka ria.
      E. Jika Ida tidak lulus kuliah maka Ida tidak           D. Ulangan dibatalkan dan ada murid tidak
          menikah.                                                bersuka ria.


 30                                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
       E.   Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid      7.   Kontraposisi dari         pernyataan majemuk
            tidak bersuka ria.                                 p   (p   q) adalah       . . . .
                                                               A. (p   q)     p           D. ( p q)   p
3.     Ingkaran dari pernyataan: “Seorang siswa
                                                               B. ( p q)      p           E. (p   q) p
       dinyatakan lulus ujian apabila semua nilai
       ujiannya tidak kurang dari 4,25” adalah . . . .         C. (p   q)    p
       A. Seorang siswa dinyatakan lulus ujian            8.    p     q
           apabila ada nilai ujiannya kurang dari 4,25.         q     r
       B. Seorang siswa dinyatakan tidak lulus ujian                . . .
           apabila ada nilai ujiannya yang tidak kurang
           dari 4,25.                                          Penarikan kesimpulan yang                sah    dari
       C. Seorang siswa lulus nilai ujiannya di atas           argumentasi di atas adalah . . . .
           4,25.                                               A. p   r              D. p       r
       D. Seorang siswa tidak lulus atau tidak                 B.  p    r            E. p     r
           mendapat nilai 4,25.                                C. p     r
       E. Semua nilai ujian seorang siswa tidak           9.   Penarikan kesimpulan dari dua premis:
           kurang dari 4,25 tetapi ia tidak lulus.             p    q
4.     Ingkaran dari pernyataan: ”Semua peserta ujian               q
       berdoa sebelum mengerjakan soal” adalah . . . .           . . .
       A. Semua peserta ujian tidak berdoa sebelum             adalah . . . .
           mengerjakan soal.                                   A. p                     D.   (p    q)
       B. Beberapa peserta ujian berdoa sebelum                B. p                     E.   q
           mengerjakan soal.                                   C. q
       C. Beberapa peserta ujian tidak berdoa
           sebelum mengerjakan soal.                      10. Pernyataan p          q ekuivalen dengan per-
       D. Semua peserta ujian berdoa sesudah                  nyataan . . . .
           mengerjakan soal.                                   A.   p  q                D. p       q
       E. Beberapa peserta ujian berdoa sesudah                B.    p   q              E. p       q
           mengerjakan soal.                                   C.    p   q

5.     Ingkaran dari pernyataan                           11. Kesimpulan dari tiga premis
       ”Jika Fathin mendapat nilai 10, maka ia diberi          p       q
       hadiah” adalah . . . .                                  r       q
                                                                       r
       A. Jika Fathin tidak mendapat nilai 10, maka
                                                                 . . .
           ia tidak diberi hadiah.
                                                              adalah . . . .
       B. Jika Fathin diberi hadiah, maka ia
                                                              A. p                  D. p          q
           mendapat nilai 10.
                                                              B.   q                E. r           r
       C. Fathin mendapat nilai 10, tetapi ia tidak           C. q
           diberi hadiah.
       D. Fathin mendapat nilai 10 dan ia diberi          12. Negasi dari pernyataan majemuk p            (q     r)
           hadiah.                                            adalah . . . .
       E. Jika Fathin tidak diberi hadiah, maka ia            A. (r     q)      p   D. p ( q             r)
           tidak mendapat nilai 10.                           B. (q      r)   p     E. p ( q             r)
                                                              C. p (q        p)
6.     Diberikan pernyataan berikut.
       ( p    q)   q                                      13. Diketahui
                                                              Premis I : p          q
       Kontraposisi dari       pernyataan    di   atas        Premis II :  q        r
       adalah . . . .
                                                                                p   r
       A.   q (p q)            D. q    (p   q)
       B.   q (p q)            E. q    (p   q)                 Kesimpulan tersebut merupakan . . . .
                                                               A. konvers           D. modus tollens
       C. q ( p q)
                                                               B. kontraposisi      E. silogisme
                                                               C. modus ponens

     Bab 5 Logika Matematika                                                                                   31
14. Argumen yang sah adalah . . . .                              16. Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika
    A. p     q         D. p         q                                pernyatan berikut benar
       p     q             p                                         p    q
                    p                               q                q    r
      B.     p      q             E.     p              q            r   s
                    p                    p              q            dan s pernyataan yang salah, maka di antara
                                                                     pernyataan berikut yang salah adalah . . . .
                    q                                   q
                                                                     A. p                 D. p     r
      C.    p      q
                                                                     B.   r               E. p       r
                   q
                                                                     C.   q
                   p

15. Argumen mana yang valid (sah)                                17. (I)     p     q        (III)     p    q
    (i) Premis 1 : p  (q r)
                                                                             q     r                  q    r
        Premis 2 : p
                                                                             p     r                  p    r
        Konklusi : q r
      (ii) Premis 1 : q       p                                      (II)   ( p   q)
           Premis 2 : p                                                       q    r
           Konklusi : q                                                       p    r
      (iii) Premis 1 : (p    q)         r
            Premis 2 : r     (p        q)                            Argumentasi yang sah adalah . . . .
            Konklusi : (p    q)         (p     q)                    A. (I) dan (II)     D. (I), (II), dan (III)
      A.    (i) dan (ii)          D. (i) dan (iii)                   B. (II) dan (III)   E. (III)
      B.    (i)                   E. (i) (ii) dan (iii)              C. (I) dan (III)
      C.    (ii) dan (iii)




                                                            S oal-soal UMPTN dan SPMB
Nilai x yang menyebabkan penyataan ”Jika x2 x 6,                 Catatan: Setelah tahun 2001 soal tentang logika
maka x2 3x 9” bernilai salah adalah . . . .                               matematika sangat jarang diujikan.
A.    3                    D. 2
B.    2                    E. 6
C. 1                               (UMPTN 2001)




           Intersection
           Dengan memahami materi logika matematika, maka akan mempermudah kamu untuk mengambil
           suatu keputusan dan menarik kesimpulan.




 32                                          Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab

            6                                 Ruang Dimensi Tiga



       A.   Gambar Bangun Ruang                              B.   Jarak dan Sudut

     Untuk menggambar bangun ruang, ada beberapa        1.   Jarak
istilah yang perlu diketahui. Istilah tersebut adalah
sebagai berikut.                                        a.   Jarak antara dua titik
                                                                     A                      B
1.     Bidang gambar
          Bidang datar yang akan digunakan untuk
                                                            Ruas garis AB menunjukkan jarak antara titik
          menggambar bangun ruang.
                                                        A dan titik B.
2.     Bidang frontal
          Bidang yang sejajar dengan bidang gambar.     b.   Jarak antara titik dan garis
                                                                                    P
3.     Bidang ortogonal
          bidang yang tegak lurus terhadap bidang
          frontal.

4.     Perbandingan proyeksi                                                    Q               l

            Panjang garis ortogonal pada gambar
                                                            Jarak antara titik P dan garis l ditunjukkan
             Panjang garis ortogonalsebenarnya
                                                        oleh ruas garis PQ yang tegak lurus garis l
5.     Sudut surut                                      c.   Jarak antara titik dan bidang
          Sudut pada gambar yang dibentuk oleh
                                                                                        P
          garis frontal horizontal arah ke kanan
          dengan garis ortogonal arah ke belakang
                                                                                        m
          yang berpotongan.
                     H                G


                 E                F
                     D                    C
                                                            Jarak antara titik P dan bidang ditunjukkan
                                                        oleh ruas garis m yang tegak lurus bidang.
                 A                B

                                                        d.   Jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan
       Pada balok di atas,
       • Bidang frontal adalah bidang ABFE dan                                                  p

          DCGH
                                                                                        r
       • Bidang ortogonal horizontal adalah bidang
          ABCD dan EFGH                                                                         q
       • Bidang ortogonal vertikal adalah bidang            Jarak antara garis p dan q ditunjukkan oleh
          ADHE dan BCGF                                 ruas garis r yang tegak lurus terhadap garis
       • Sudut surut adalah sudut                       p dan q.

     Bab 6 Ruang Dimensi Tiga                                                                           33
e.    Jarak antara garis dan bidang yang saling
      sejajar                                                        dengan AB      4 cm, BC   3 cm, dan
                              P       l
                                                                     TA TB TC TD 2,5 5 cm. Jarak
                                                                     titik puncak T ke bidang alas ABCD
                                  m                                  adalah . . . .
                                                                     A.    5 cm                               D. 5 5 cm
                              Q                                      B.    2,5 5 cm                           E. 7 5 cm
                                                                     C.    7 cm
    Ruas garis m yang tegak lurus terhadap garis                     Jawab:
l dan tegak lurus terhadap bidang menunjukkan                                                T
jarak antara garis l dan bidang.
                                                                                                     2,5 5
f.    Jarak antara dua bidang
                              Q                                                 D                         C
                                                                                            O         3
                                                                               A        4        B
                                  n
                                                                     Panjang AC                  ( AB)2           ( BC)2

                              P                                                                 42    32              16 9     5 cm
    Ruas garis n yang tegak lurus terhadap kedua                     Jarak titik T ke bidang alas adalah TO,
bidang menunjukkan jarak antara kedua bidang.                        yaitu perpotongan antara diagonal AC dan
                                                                     diagonal BD.
2.    Sudut                                                                   1      1
                                                                       OC       AC        5 2,5 cm
a.    Sudut antara garis dan bidang                                           2      2
                              Q                                         TC 2,5 5 cm
                                                                     (TO)2 (TC)2 (OC)2
                          l
                                                                               (2,5 5 )2 (2,5)2
                      P
                                                                               31,25 6,25 25
                              Q                                           TO   5 cm
                                                                                                                           Kunci: A

    Garis l menembus bidang di titik P. Titik Q                 2.   Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan
pada garis l diproyeksikan pada bidang                               panjang rusuk 8 cm. Jika besar sudut
proyeksinya Q . Jadi, sudut antara garis l dan                       antara diagonal ruang AG dengan
bidang adalah QPQ .                                                  bidang alas ABCD adalah , maka cos
                                                                     adalah . . . .
b.    Sudut antara dua bidang                                            1                   1
                                                                     A.     2            D.     2
                                                                         2                   3
                          w                                              1                   1
                  v                                                  B.     3            E.     6
                                                                         2                   3
                                                                         1
                                                                     C.     6
                                                                         2
                                                                     Jawab:
                                                                                            H                 G
   Bidang v dan bidang w berpotongan dan
membentuk sudut dan .
                                                                                   E                      F
Contoh                                                                                  D                         C

     1.   Diketahui limas T.ABCD dengan bidang
          alas ABCD berbentuk persegipanjang                                        A       8 cm      B




 34                                       Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                                                Contoh
                AC       8 2 cm
                                                                                 Diketahui limas T.ABCD, bidang alasnya
                AG    8 3 cm                                                     ABCD berbentuk persegipanjang dengan
                  CAG     , yaitu sudut yang dibentuk                            AC 10 cm, BC 6 cm, dan tan        3 dengan
                oleh garis AG dan garis AC, sebab                                  adalah sudut antara bidang TBC dan bidang
                AC merupakan proyeksi AG pada                                    alas ABCD, maka volume limas adalah . . . .
                bidang ABCD.
                                                                                 A. 576 cm3                 D. 96 cm3
                           AC 8 2                         2    1                 B. 288 cm  3
                                                                                                            E. 64 cm3
                cos                                              6
                           AG 8 3                     3        3                            3
                                                                                 C. 192 cm
                            1
            Jadi, cos         6.                                                 Jawab:
                            3
                                                               Kunci: E                                     T




       C.     Volume Bangun Ruang
                                                                                                   D                         C
1.     Prisma
                                                                                                   F
                                                                                                                         E
                 Volume          Luas alas                    Tinggi                                        O
                                                                                          A                          B
2.     Tabung
                                                                                 Sudut antara bidang TBC dan bidang alas
                             V           r2       t                              ABCD adalah TEO        , di mana E titik
                                                                                 tengah BC dan O adalah perpotongan diago-
       dengan V         volume, r         jari-jari, dan t             tinggi    nal AC dan BD. Perhatikan ABC, untuk
                                                                                 mencari panjang AB, gunakan dalil
3.     Limas                                                                     Pythagoras.
                            1                                                        (AB)2 (AC)2 (BC)2
              Volume                    Luas alas               Tinggi                       102 62
                            3
                                                                                             100 36 64
4.     Kerucut                                                                       AB        64       8 cm
                                         1 2
                             V             r t                                       AB       EF       8 cm
                                         3
                                                                                              1                  1
                                                                                     OE                EF                8   4 cm
       dengan V         volume, r         jari-jari, dan t             tinggi                 2                  2
                                                                                                  TO
5.     Bola                                                                         tan
                                                                                                  OE
                                         4 3
                                V          r                                                      TO
                                         3                                                3
                                                                                                   4
                                                                                         TO       4 3           12 cm
       dengan V         volume dan r                  jari-jari
                                                                                           1
                                                                                     V          Luas alas Tinggi
6.     Kubus                                                                               3
                                    V     s3                                              Luas alas   AB BC
                                                                                                      8 6
       dengan V         volume dan s              panjang rusuk                                       48 cm2
                                                                                          Tinggi TO 12 cm
7.     Balok
                                                                                                      1
                            V       p         l       t                          Jadi, volume limas       48 12                  192 cm3.
                                                                                                      3
                                                                                                                                 Kunci: C
       dengan V         volume, p         panjang, l              lebar, dan
t     tinggi

     Bab 6 Ruang Dimensi Tiga                                                                                                           35
            S oal Pemantapan Ujian Nasional

      Kompas
     Model soal-soal ujian nasional pada bab ini sengaja dibuat lebih banyak daripada bab lainnya, karena
     soal yang berhubungan dengan materi ini sering muncul dengan berbagai macam model soal yang
     selalu berbeda tiap tahun. Materi ini juga tergolong materi yang membutuhkan penalaran dalam
     menyelesaikan soal-soalnya.
     •     Soal nomor 1 – 8 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari jarak antara titik dan bidang.
     •     Soal nomor 9 – 29 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari sudut antara dua bidang.
     •     Soal nomor 30 – 32 merupakan ketegori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari
           semua materi pada bab ini.




1.    Diketahui kubus ABCD.EFGH, di mana titik P,       5.   Panjang proyeksi garis EG pada bidang BDG
      Q, dan R adalah titik pertengahan rusuk AD,            dalam kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm
      BC, dan CG. Irisan kubus dengan bidang yang            adalah . . . .
      melalui P, Q, dan R berbentuk . . . .                                              6 2 cm
                                                             A.   2 6 cm            D.
      A. segi enam
      B. segitiga                                            B.   4 3 cm            E.   3 10 cm
      C. jajargenjang                                        C.   3 6 cm
      D. persegi
                                                        6.   Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk
      E. persegipanjang
                                                             6 cm. P adalah titik tengah rusuk HE. Jarak
2.    Diketahui T.ABCD limas beraturan. Panjang              titik P ke diagonal ruang AG . . . .
      rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegak               A. 3 6 cm              D. 3 2 cm
      12 2 cm. Jarak A ke TC adalah . . . .                  B.   3 5 cm            E.   3 cm
      A. 6 cm            D. 8 cm                             C.   3 3 cm
      B.   6 2 cm            E.   8 6 cm                7.   Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk
      C.   6 6 cm                                            8 cm. P adalah titik tengah FG. Jarak titik P
                                                             dan garis BD adalah . . . .
3.    Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk
      6 cm. Titik O merupakan titik potong                   A. 4 6 cm              D. 2 14 cm
      diagonal bidang alas, jarak titik O ke BCGF            B.   4 5 cm            E.   4 3 cm
      adalah . . . .
                                                             C.   6 2 cm
      A.   6 cm              D.   3 3 cm
                                                        8.   Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan
      B.   3 cm              E.   6 2 cm                     panjang rusuknya 4 cm dan titik P adalah titik
      C.    3 2 cm                                           potong EG dan FH. Jarak titik P dan bidang BDG
                                                             adalah . . . .
4.    Prisma segi empat beraturan ABCD.EFGH
      dengan rusak 6 cm dan tinggi prisma 8 cm.                   1 3 cm                 1 6 cm
                                                             A.                    D.
                                                                  3                      3
      Titik potong diagonal AC dan BD adalah T,
                                                             B.   2 3 cm           E. 2 6 cm
      jarak titik D dan TH sama dengan . . . .                    3                      3
           12 41 cm            36 41 cm                           4 3 cm
      A.                    D.                               C.
           41                  41                                 3
           24 41 cm
      B.                    E. 2 41 cm                  9.   Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk
           41
           30 41 cm                                          b cm. Besar sudut antara garis DE dan HF
      C.
           41                                                adalah . . . .

 36                                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
    A.   30                 D. 90                           AB. Sudut antara TP dengan bidang alas adalah
    B.   45                 E. 120                           . Nilai tan     . . . .
    C.   60                                                                             1 3
                                                            A. 2 2                   D.
                                                                                        2
10. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk                         2 2                    1 3
                                                            B.                       E.
    2 cm. Jika sudut antara diagonal ruang BH                   3                       3
    dengan bidang alas ABCD adalah , maka                   C. 1
    tan adalah . . . .                                  15. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD.
        1                    1                              Panjang rusuk tegak 11 cm dan panjang rusuk
    A.     2             D.     3
        2                    3                              alas 2 2 cm. Sudut antara bidang TAD dan
        1                    1
    B.     3             E.     6                           TBC adalah , maka cos         . . . .
        2                    6
                                                                 3 11                  1 3
        1                                                   A.                     D.
    C.     2                                                    11                     2
        3                                                        5                     8
                                                            B.                     E.
11. Jika bidang sisi sebuah limas beraturan dengan               9                     9
    alas persegi direbahkan ke bidang alas, diperoleh            2 14
                                                            C.
    gambar seperti di bawah ini.                                 9
                                                        16. Pada kubus ABCD.EFGH, a adalah sudut antara
                                                            bidang ACF dan ABCD. Nilai sin a . . . .
                                                                1 3                 1 3
                                                            A.                 D.
                            A                                   4                   3
                                17 cm
                                                                1 6                 1 3
                                                            B.                 E.
                                        C                       3                   2
                                                                1 2
                    16 cm                                   C.
                                                                4
                            B
                                                        17. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk
                                                            4 cm. Jika sudut antara BF dan bidang BEG
                                                            adalah , maka sin       . . . .
    Volume limas adalah . . . .                                 1 2                     1 3
                                                            A.                   D.
    A. 1.024 cm3          D. 1.528 cm3                          4                       2
                                                                1 2                     1 6
    B. 1.280 cm3          E. 1.624 cm3                      B.
                                                                2
                                                                                 E.
                                                                                        2
                3
    C. 1.460 cm                                                 1 3
                                                            C.
                                                                3
12. Bidang alas limas T.ABCD berbentuk persegi
    dengan sisi 2 cm. Bidang TAB tegak lurus bidang     18. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk
    alas ABCD. TAB samakaki dengan tinggi limas             alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai
    adalah 5. Sudut antara TD dengan bidang alas            sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC
    adalah . . . .                                          adalah . . . .
    A. 90                   D. 30                                69                               138
    B. 60                   E. 25,5                         A.                           D.
                                                                 2                                12
    C. 45                                                        69                               138
                                                            B.                           E.
13. Diketahui piramida T.ABC, TC           ABC,                  6                                 6
     ACB 90 , AC 8, BC 8, dan TC 6. Jika                         139
      sudut antara bidang TAB dengan bidang ABC,            C.
                                                                 24
    maka tan       . . . .
                                                        19. Perhatikan gambar di bawah!
         1                     1
    A.      3              D.    2                                         T
         4                     4
         3                     3
    B.      3              E.    2                                5 cm
         4                     4
         1                                                                        5 cm
    C.      2                                                          A                      C
         4
14. Diketahui bidang segi empat beraturan T.ABCD                           5 cm
    dengan rusuk 4 cm. Titik P pada pertengahan                                    B


 Bab 6 Ruang Dimensi Tiga                                                                               37
      AT, AB, dan AC saling tegak lurus di A. Jarak   25. Pada kubus ABCD.EFGH, diketahui P adalah
      titik A ke bidang TBC adalah . . . .                titik-titik tengah rusuk AE. Sudut antara
                                                          bidang PFH dan bidang BDHF adalah . Nilai
           5 6                   5 6
      A.       cm           D.       cm                   sin      . . . .
            4                     3
                                                               1 6                 1 3
           5 3                                            A.                    D.
                                                               3                   3
      B.       cm           E.   5 2 cm
            3                                                  1 2                 1 6
                                                          B.                    E.
                                                               2                   6
           5 2
      C.       cm                                              1 6
            2                                             C.
                                                               4
20. Pada kubus ABCD.EFGH, adalah sudut antara
                                                      26. Diketahui limas beraturan T.ABC, AB 6 cm,
    bidang ADHE dan ACH. Nilai cos    . . . .
                                                          dan TA 9 cm. Sudut antara TA dan bidang
           1 3                   1 2                      TBC adalah . Nilai tan      . . . .
      A.                    D.
           2                     3
           1 3                   1 2                           7                         23
      B.                    E.                           A.                    D.
           3                     6                            23                         7
           1 3                                                  46                   7 23
      C.
           6                                             B.                    E.
                                                               24                     23
21. Pada limas segi empat beraturan T.ABCD                      46
                                                         C.
    semua rusuknya sama panjang. Sudut antara                  12
    TA dan bidang ABCD adalah . . . .                 27. Dari sebuah bidang empat ABCD, diketahui
    A. 15              D. 60                              BC    BD dan AB tegak lurus bidang BCD
    B. 30              E. 75
    C. 45                                                (AB BCD), BC BD 3 2 dan AB 3. Sudut
                                                         antara bidang ACD dan BCD . . . .
22. Diketahui limas T.ABC, TA TB 5, TC 2,
    CA CB 4, dan AB 6. Jika sudut antara                 A.                    D.
                                                              6                      3
    TC dan bidang TAB, maka cos  . . . .
                                                         B.                    E.
            7                    13                           5                      2
      A.                    D.
           16                    16                      C.
            9                    15                           4
      B.                    E.                        28. Diketahui bidang empat beraturan ABCD. Sudut
           16                    16
           11                                             antara bidang ABC dan BCD adalah . Nilai
      C.                                                  tan     . . . .
           16
                                                              1
23. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai sinus                A.                               D
                                                              3
    dari sudut antara bidang ABC dan bidang ACF           B. 2 2                               C
    adalah . . . .
         1 2                                             C.       2
    A.                     D. 2 2                                         A
         2                                                    3 2
                                                         D.
         2 2                   1 6                            2                     4 cm
    B.                     E.
         3                     3
                                                              2 2                             B
    C.     2                                             E.
                                                               3
24. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang          29. Ditentukan kubus ABCD.EFGH. Tangen sudut
    rusuknya 6 cm. Nilai sinus sudut antara CD
                                                          antara CG dengan bidang BDG adalah . . . .
    dan bidang ACH adalah . . . .
                                                              1 3
           1 3                                            A.                   H       G
      A.                    D.   1 6                          2
           3                     3                        B.    2            E       F
           1 3                   1 6                          1 2
      B.                    E.                            C.
           2                     2                            2                D       C
                                                          D.    3            A       B
           1 2
      C.                                                  E.    6
           2

 38                               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
30. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang             32. ABCD.EFGH adalah sebuah balok siku-siku
    rusuk 2 cm. Jika P titik tengah AB dan Q titik           dengan alas yang berbentuk persegi.
    tengah FG, maka luas PCQ . . . .                         AB 3 cm, AE 6 cm, serta adalah sudut
        1                                                    antara bidang ACH dan bidang ABCD. Maka
    A.     21              D. 4 21
        2                                                    sin 2    . . . .
    B. 2 21                E.    21                                36                      36
                                                              A.                    D.         3
        1                                                          41                    1.681
    C.     21
        4                                                                                  36
                                                                   36
                                                              B.      3             E.         2
31. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC                         41                    1.681
    dengan panjang rusuk-rusuknya 4 cm. Jika                       36
    besar sudut antara bidang TAB dan bidang alas             C.      2
                                                                   41
    ABC adalah , maka cos adalah . . . .
        1                      1
    A.                     D.    2
        2                      3
        1                      1
    B.                     E.    3
        3                      3
        1
    C.      2
        2


                                                   S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.     Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a.
                                                              A.   a 3              D.   a 6
       Jarak A ke diagonal BH adalah . . . .
           a                    a                             B.   2a               E.   3a 2
       A.     6             D.     6                          C.                                (SPMB 2003)
           2                    5                                  a 5
           a                    a                        4.   Diketahui kubus ABCD.EFGH. P titik tengah
       B.     6             E.     6
           3                    6                             HG, M titik tengah DC, N titik tengah BC, dan
           a                                                  S titik tengah MN. Perbandingan luas APS
       C.     6                     (UMPTN 2001)
           4                                                  dengan luas proyeksi APS ke bidang ABCD
                                                              adalah . . . .
2.     Bidang v dan w tegak lurus sepanjang garis g.
                                                              A. 2 : 1             D. 3 : 1
       Garis l membentuk sudut 45° dengan v dan
                                                              B. 1 : 2             E. 3 : 2
       30 dengan w. Sinus sudut antara garis l dan
                                                              C. 2 : 3                         (SPMB 2005)
       garis g adalah . . . .
            1                    1                       5.   Diberikan balok ABCD.EFGH dengan
       A.                     D.     3                        DC 12 cm, CG 20 cm, BC 18 cm. T adalah
            2                    3
                                                              titik tengah AD. Jika    adalah sudut antara
              2                    2
       B.                     E.                              garis GT dengan bidang ABCD, maka nilai
             2                    3                           cos      . . . .
              3
       C.                              (SPMB 2002)                  2                    3
             2                                                A.                    D.
                                                                    3                    4
3.     Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang                     4                    5
                                                              B.                    E.
       rusuknya 2a. Jika p titik tengah BF dan Q titik              5                    6
       tengah EH, maka panjang PQ . . . .                           3
                                                              C.                              (SPMB 2006)
                                                                    5


         Intersection
          Untuk mempelajari materi ini, terlebih dahulu pelajari materi tentang bangun datar, bangun
          ruang, dan trigonometri. Materi ini sangat berguna dalam dunia teknik (arsitektur).



     Bab 6 Ruang Dimensi Tiga                                                                           39
Bab

            7                                                Statistika



                                                                       a.    Untuk jumlah data ganjil
      A.     Ukuran Pemusatan                                               Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang
                                                                       terbesar atau sebaliknya maka mediannya adalah
1.    Rata-rata ( x )                                                  nilai data yang berada di tengah, yaitu nilai data
         Jumlah semua nilai data                                                   n        1
      x                                                                yang ke-                 .
               Banyak data                                                              2
            x1       x2      x3       . . .    xn      1 n                                          Me        x n 1
                                                            xi
                              n                        ni 1                                                        2

Jika kelompok data diketahui nilai rata-rata dan
frekuensinya, maka nilai rata-rata gabungan dapat                      b.    Untuk jumlah data genap
ditentukan dengan rumus beikut.                                            Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang
                                                                       terbesar atau sebaliknya, maka mediannya adalah
                       n1 x1 n2 x2 . . . ni xi
                 x                                                     rata-rata dari dua nilai data yang di tengah,
                           n1 n2 . . . ni
                                                                                                                       n
                                                                       yaitu rata-rata dari nilai data ke-               dan nilai data
dengan ni            Frekuensi data ke-i                                                                               2
       xi            Rata-rata data ke-i                                   n      1 .
                                                                       ke- 2

Contoh                                                                                                   xn     xn
                                                                                                                   1
                                                                                                          2      2
                                                                                             Me
     Dalam 6 kali ujian Matematika selama satu                                                                  2
     semester Rina memperoleh angka sebagai
     berikut.
              76 68 95 82 87 93
                                                                       Contoh
     Berapakah rata-rata nilai ujian Rina selama                            1.   Untuk data 7, 8, 8, 8, 7, 3, 9, 2, 11,
     satu semester?                                                              mediannya adalah . . . .
     A. 81,4                    D. 86,1                                          A. 2                  D. 8
     B. 82,6                    E. 88,5                                          B. 3                  E. 9
     C. 83,5                                                                     C. 7
     Jawab:                                                                      Jawab:
        76  68               95       82      87     93                          Data setelah diurutkan
     x
                                  6                                              2, 3, 7, 7,         8,       8, 8, 9, 11
           501
                      83,5
            6
                                                                                                    Median
                                                          Kunci: C
                                                                                 Banyaknya data ada 9, maka jumlah data
                                                                                 ganjil.
2.  Median                                                                       Me         x n 1         x 9 1        x10    x5   8
    Median adalah ukuran tengah dari data yang                                                  2              2        2
telah diurutkan.                                                                 Jadi, mediannya adalah 8.
    Cara menentukan median dapat dilakukan                                                                                   Kunci: D
dengan cara berikut.

 40                                                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                                   Kuartil bawah                    Kuartil atas
                                                                       (Q 1 )                          (Q 3 )
      2.   Median dari data
                                                                Bagian I        Bagian II      Bagian III        Bagian IV
           19 21 14 8             26    15   17
           25 20 31 24            16    10   9           Data minimum              Kuartil tengah                Data maksimum
           adalah . . . .                                     (x 1 )                   (Q 2 )                           (x n )

           A. 16,5                     D. 19,5
           B. 18                       E. 21
           C. 19
                                                         Contoh

           Jawab:                                          1.     Data gol yang dicetak tim A adalah
           Data diurutkan dari yang terkecil sampai               sebagai berikut.
           yang terbesar adalah
                                                                                1, 2, 0, 0, 3, 2, 1, 1, 2
           8    9       10   14   15    16   17
           19   20      21   24   25    26   31                   Kuartil bawah dan kuartil atas dari data
                                                                  tersebut adalah . . . .
           Banyak data ada 14, maka jumlah data
           genap.                                                      1 dan 1
                                                                  A.                                D. 1 dan 2
                                                                       2
                  x14 x 14
                            1   x7 x8
                    2     2                                            1 dan 2
           Me                                                     B.                                E.       0 dan 3
                        2          2                                   2
                  17 19 36                                        C.   0 dan 2
                                18
                      2     2
                                      Kunci: B                    Jawab:
                                                                  Data setelah diurutkan
                                                                       0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3
3.  Modus                                                                   Q1                      Q3
    Modus adalah data yang paling banyak atau                                             Q2
paling sering muncul.
                                                                  Sehingga diperoleh,

Contoh                                                                                                       0       1       1
                                                                       Kuartil bawah               Q1
                                                                                                                 2           2
      Diketahui data sebagai berikut.
                                                                                                         2       2
      61 66 78 65 73 65 64 61 63 65                                    Kuartil atas            Q3                        2
                                                                                                             2
      Modus dari data di atas ini adalah . . . .
                                                                                                                  Kunci: B
      A. 61                     D. 73
      B. 63                     E. 78                      2.     Data nilai Matematika yang diperoleh
      C. 65                                                       kelompok Mawar adalah sebagai berikut.
                                                                       6, 5, 5, 4, 7, 8, 9, 6, 5, 8
      Jawab:
                                                                  Kuartil atas              dari     data            tersebut
      Data diurutkan
                                                                  adalah . . . .
      61, 61, 63, 64, 65, 65, 65, 66, 73, 78
                                                                  A. 4                              D. 7
      Data yang paling banyak muncul adalah 65.
                                                                  B. 5                              E. 8
                                              Kunci: C
                                                                  C. 6
                                                                  Jawab:
4.  Kuartil                                                       Data setelah diurutkan
    Kuartil adalah data atau nilai yang membagi
                                                                   4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9
data yang telah diurutkan menjadi empat bagian
                                                                           Q1        Q3        Q2
yang sama.
Kuartil terdiri atas 3 bagian.                                    Sehingga diperoleh,
• Kuartil bawah (Q1)                                              Kuartil atas Q3 8
• Kuartil tengah atau median (Q2)                                                                                 Kunci: E
• Kuartil atas (Q3)

     Bab 7 Statistika                                                                                                            41
      B.   Ukuran Penyebaran                                       A.
                                                                   B.
                                                                            11,15
                                                                            10,17
                                                                                                                D. 103,58
                                                                                                                E. 621,5
                                                                   C.       124,3
1.    Jangkauan (J)
                                                                   Jawab:
    Jangkauan adalah selisih antara nilai
maksimum (xmax) dengan nilai minimum (xmin).                                                 76     71     88       54    67     73
                                                                   Rata-rata ( x )
Jangkauan sering juga disebut dengan range dan                                                                  6
                                                                                             429
dilambangkan dengan J.                                                                                   71,5
                                                                                              6
                    J       xmax     xmin                            6
                                                                           ( xi     x )2     (76     71,5)2         (71    71,5)2
2.    Hamparan (H)                                                   i 1
                                                                                             (88   71,5)2   (5   71,5)2
     Hamparan adalah selisih antara kuartil ketiga                                           (67 71,5) 2  (73 – 71,5)2
(Q3) dengan kuartil pertama (Q1). Hamparan sering                                            20,25 0,25 272,25 306,25
juga disebut dengan jangkauan antarkuartil dan                                                 20,25 2,25
dilambangkan dengan H.                                                                       621,5
                        H     Q3     Q1                                           1 6
                                                                     S2                (x   x )2
                                                                                  6 i 1 i
3.    Simpangan Quartil (Qd)                                                      1
                                                                                      621,5 103,58
    Simpangan kuartil adalah setengah dari selisih                                6
kuartil ketiga dengan kuartil pertama. Sering juga                   S2           103,58         10,17
disebut dengan simpangan semiinterkuartil dan
dilambangkan dengan Qd.                                            Jadi, simpangan baku                    10,17.
                                                                                                                          Kunci: B
                        1          1
              Qd          H          (Q      Q1 )
                        2          2 3

4.  Ragam atau simpangan rata-rata
    Ragam atau simpangan rata-rata adalah ukuran                     C.           Tabel Distribusi Frekuensi
yang menyatakan penyebaran nilai-nilai atau data                                  Berkelompok
terhadap rata-ratanya. Sering juga disebut dengan
                                                                  Berikut ini data tinggi badan siswa Kelas XI
varians atau variasi dan dilambangkan dengan S2.
                                                               SMU (dalam cm).
                            1 n                                167           157           163      159          162       151
                S2              (x        x )2
                            ni 1 i                             155           169           158      165          153       168
                                                               160           164           170      150          156       154
5.  Simpangan baku                                             156           165           148      155          158       156
    Simpangan baku sering disebut dengan standar               166           156           163      160          172       157
deviasi dan dilambangkan dengan S.
                                                               159           156           160      162          162       164
                            1 n                                167           166           168      156          163       162
                S               (x        x )2
                            ni 1 i                             166           164           157      158          156       160
                                                                   Langkah-langkah membuat tabel frekuensi
                                                               berkelompok.
Contoh                                                         • Data terbesar x max 172
                                                                   Data terkecil xmin 148
     Nilai ujian Matematika Bella pada semester
     pertama adalah                                            •     Jangkauan (J)                 xmax xmin
                                                                                                   172 148
                76 71 88 54 67 73
                                                                                                   24
     Nilai simpangan baku pada data di atas
     adalah . . . .                                                  Pilih banyak interval kelas. Misalkan ditentukan
                                                                     banyaknya interval kelas ada 7.

 42                                        Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
    Panjang interval kelas
                Jangkauan                                 Tinggi Badan            Tepi                                Tepi
                                                                       Frekuensi
           Banyak interval kelas                             Siswa               Bawah                                Atas
           24                                                 148 – 151               3                   147,5      151,5
                    3,43   4
           7                                                  152 – 155               4                   151,5      155,5
                                                              156 – 159              15                   155,5      159,5

Contoh                                                        160 – 163              11                   159,5      163,5
                                                              164 – 167              10                   163,5      167,5
  Sajikanlah data tinggi badan siswa Kelas XI
  SMU di atas dalam bentuk tabel distribusi                   168 – 171               4                   167,5      171,5
  frekuensi!                                                  172 – 175               1                   171,5      175,5

  Jawab:                                                 Frekuensi


        Tinggi Badan           Frekuensi                 16

          148 – 151                 3                    14

          152 – 155                 4                    12                                     Poligon frekuensi

          156 – 159                 15                   10
                                                                                                               Histogram
          160 – 163                 11                    8

          164 – 167                 10                    6

          168 – 171                 4                     4

          172 – 175                 1                     2

                                                         O
                                                              147,5 151,5 155,5 159,5 163,5 167,5 171,5 175,5

                                                                                Tinggi badan siswa


   D.    Histogram dan Poligon Frekuensi

    Setelah menyajikan data yang disusun dalam
                                                         E.     Statistika Deskriptif
tabel distribusi menjadi diagram, buat sumbu
mendatar yang menyatakan interval kelas dan sumbu   1.   Rataan hitung ( x )
tegak yang menyatakan frekuensi. Pada sumbu
                                                        Rataan hitung untuk data berkelompok dapat
mendatar tuliskan tepi bawah kelas dan tepi atas    dituliskan sebagai berikut.
kelas, dengan aturan berikut.
                                                                                     n
    Tepi bawah Batas bawah – 0,5                                                           fi        xi
    Tepi atas Batas atas 0,5                                                         i 1
                                                                            x              n
                                                                                                fi
Contoh                                                                                   i 1

  Gambarkan histogram dan poligon dari data         dengan:
  tinggi badan siswa Kelas XI SMU pada              fi  Frekuensi data ke-i
  contoh subbab C!                                  x i Data ke-i
                                                    n Banyaknya data
  Jawab:
  Interval ke-1 pada tabel batas bawah adalah       2.   Modus (Mo)
  148 dan batas atas adalah 151. Untuk inter-
  val ke-2, batas bawah adalah 156 dan batas                                                         d1
                                                                      Mo        tb                              i
  atas adalah 155, dan seterusnya.                                                         d1             d2


 Bab 7 Statistika                                                                                                            43
dengan:                                                           Contoh
tb Tepi bawah kelas
                                                                    1.                                        10
d1 Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas                            10
    sebelumnya
                                                                                                                     8
d2 Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas                             8
                                                                                                      7
    sesudahnya
                                                                          6
 i Panjang kelas                                                                                                                   5
                                                                                                 4
                                                                          4
3.    Median dan Kuartil
                                                                                      2
      Kuartil bawah (Q1)                                                  2

                                                                         O
                              1                                                 7,5        12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5
                                n         f   1
               Q1      tb1    4                        i
                                     f1                                  Rataan dari data pada diagram di atas
                                                                         adalah . . . .
                                                                         A. 22,51             D. 25,73
      dengan:                                                            B. 23,46             E. 26,85
          tb1        Tepi bawah kelas yang memuat                        C. 24,58
                     kuartil bawah Q1                                    Jawab:
         f 1         Jumlah frekuensi sebelum kuartil                                                 Nilai
                                                                                                                   Frekuensi
                     bawah Q1                                             Modus data                 tengah                            xi · fi
                                                                                                       (xi)           (fi)
           f1        Frekuensi kelas yang memuat
                     kuartil bawah Q1                                         17,5 – 12,5              10                 2              20

                                                                              12,5 – 17,5              15                 4              60
      Median atau Kuartil Tengah (Q2)
                                                                              17,5 – 22,5              20                 7             140

                              1n     ( f )2                                   22,5 – 27,5              25             10                250
                Q2      tb2   2                    i                          27,5 – 32,5              30                 8             240
                                    f2
                                                                              32,5 – 37,5              35                 5             175

         tb2        Tepi bawah kelas yang memuat kuartil                                                             fi       36       fi . x i
                    bawah Q2                                                                                                             885

      ( f )2        Jumlah frekuensi sebelum kuartil                                  fi        xi    885
                                                                          x                                    24,58
                    bawah Q2                                                               fi         36
          f2        Frekuensi kelas yang memuat kuartil                                                                            Kunci: C
                    bawah Q2
                                                                    2.                                        10
                                                                         10
      Kuartil Atas (Q3)                                                                                              9

                                                                          8                                                        7
                              3n     ( f )3                                                      6
                Q3      tb3   4                    i                      6
                                    f3                                                                 4
                                                                          4

                                                                                      2
         tb3         Tepi bawah kelas yang memuat                         2
                     kuartil bawah Q3
                                                                         O
      ( f )3         Jumlah frekuensi sebelum kuartil                           80,5 84,5 88,5 92,5 96,5 100,5 104,5
                     bawah Q3
                                                                         Modus dari data pada diagram di atas
           f3        Frekuensi kelas yang memuat kuartil                 adalah . . . .
                     bawah Q3




 44                                           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
          A.   92,50                    D. 96,50                   Dari daftar distribusi frekuensi data
          B.   93,95                    E. 97,93                   berkelompok diperoleh kelas modus
          C.   95,93                                               92,5 96,5 dengan:
                                                                       i 96,5 92,5 4
          Jawab:
                                                                       d1 10 4 6
            Nilai Data      Nilai Tengah Frekuensi                     d2 10 9 1
                                 (x i)      (f i )
                                                                   Sehingga,
             80,5 – 84,5         82,5              2
                                                                                        6
             84,5 – 88,5         86,5              6               Mo     92,5                       4
                                                                                    6        1
             88,5 – 92,5         90,5              4
                                                                                  6
                                                                          92,5              4
             92,5 – 96,5         94,5              10                             7
             96,5 – 100,5        98,5              9                              24
                                                                          92,5               95,93
                                                                                  7
           100,5 – 104,5        102,5              7                                                           Kunci: C




            S oal Pemantapan Ujian Nasional

       Kompas
      •    Soal nomor 1 – 2 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari materi tentang ukuran pemusatan.
      •    Soal nomor 3 – 4 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang rata-rata yang lebih
           diaplikasikan.
      •    Soal nomor 5 – 7 merupakan kategori soal yang sulit, pelajari tentang rata-rata untuk data
           berkelompok.




1.     Rata-rata dari nilai ujian Fisika:                           A.   158 cm                  D. 162 cm
       8, 7, 7, 6, 4, 6, 6, 5, 5 adalah . . . .                     B.   159 cm                  E. 163 cm
       A. 5,3                      D. 5,8                           C.   160 cm
       B. 5,4                      E. 6
       C. 5,6                                                 4.    Nilai rata-rata ujian Bahasa Inggris 40 siswa
                                                                    suatu SMU yang diambil secara acak adalah 5,5.
2.     Simpangan kuartil dari data 3, 6, 2, 4, 14, 9, 12, 8         Data yang diperoleh sebagai berikut.
       adalah . . . .
             1                                                       Nilai              4        x       6,5   8
       A. 2                   D. 4
             2                                                       Frekuensi          17       10      6     7
                                    1
       B. 3                   E. 4
                                    2                               Nilai x adalah . . . .
             1
       C. 3                                                         A. 6                         D. 5,7
             2
                                                                    B. 5,9                       E. 5,6
3.     Tinggi rata-rata tujuh pelajar adalah 161 cm. Jika
                                                                    C. 5,8
       digabung dengan tiga pelajar lagi, tinggi rata-rata
       sepuluh pelajar tersebut adalah 160,7 cm. Tinggi       5.    Diagram di bawah menyajikan data berat badan
       rata-rata tiga pelajar tersebut adalah . . . .               (dalam kg) dari 40 siswa, modusnya adalah . . . .




     Bab 7 Statistika                                                                                                 45
                                                             6.   Kuartil bawah dari
           12                                                                              Nilai     Frekuensi
                                                                  data yang tersaji
                                                                  pada tabel distribusi    30 – 39       1
                                                                  frekuensi di samping     40 – 49       3
                                                                  adalah . . . .           50 – 59       11
            8                                                     A. 66,9
                                                                                           60 – 69       21
                                                                  B. 66,6
            6                                                                              70 – 79       43
                                                                  C. 66,2
                                                                  D. 66,1                  80 – 89       32
                                                                  E. 66,0                  90 – 99       9
            3

                                                             7.   Dari data distribusi
            1                                                     frekuensi di samping,    Kelas Interval     f
                   40–44 45–49 50–54 55–59 60–64                  dapat disimpulkan
                                                                                               13 – 70        3
                                                                  bahwa rata-rata dis-
                                                                  tribusi adalah . . . .       18 – 12        4
      A.    46,1                D. 47,5                                                        13 – 17        7
                                                                  A. 14
      B.    46,5                E.   48,0                         B. 15                        18 – 22        10
      C.    46,9                                                  C. 16                        23 – 27        6
                                                                  D. 17
                                                                  E. 18




                                                         S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.    Tiga kelas A, B, dan C berturut-turut terdiri               rupiah, maka penghasilan tahunan dari kedua
      dari 10 siswa, 20 siswa, dan 15 siswa. Rata-rata            kelompok tersebut adalah . . . .
      nilai gabungan dari ketiga kelas adalah 55. Jika            A. 4,2 juta rupiah   D. 2,34 juta rupiah
      rata-rata kelas A dan C berturut-turut 56 dan               B. 2,1 juta rupiah   E. 2,4 juta rupiah
      65, maka rata-rata nilai kelas B . . . .                    C. 1,86 juta rupiah              (SPMB 2002)
      A. 45                   D. 55,5
      B. 47                   E. 58                          4.   Tinggi 12 orang siswa dalam centimeter adalah
      C. 51,56                         (UMPTN 2001)               sebagai berikut.
                                                                  160 148 156 147 148 158
2.    Dari data distribusi
                                 Kelas Interval      f            150 148 165 145 158 162
      interval frekuensi
      di samping, dapat               2     6        2            Kuartil bawah data tersebut adalah . . . .
      disimpulkan bahwa               7     11       3            A. 147,5             D. 149
      rata-rata distribusi                                        B. 148               E. 149,5
                                     12     16       4
      adalah . . . .                                              C. 148,5                        (SPMB 2002)
                                     17     21       5
      A. 16,50
                                     22     26       6       5.   Modus dari kelompok data 3, 6, 7, 5, 8, 4, 5, 9
      B. 17,00
                                                                  adalah . . . .
      C. 15,50
      D. 15,75                                                    A. 5,0               D. 7,5
      E. 17,75                               (SPMB 2002)          B. 7,0               E. 6,0
                                                                  C. 5,5                          (SPMB 2002)
3.    Perbandingan jumlah buruh tetap dan buruh
      tak tetap di suatu pabrik adalah 1 : 9. Jika           6.   Data berikut adalah hasil ujian Matematika
      penghasilan tahunan rata-rata buruh tak tetap               suatu kelas di SMU yang nilai rata-ratanya
      1,8 juta rupiah dan buruh tak tetap 2,4 juta                adalah x.


 46                                   Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
        Nilai            3       4       5       6        7   8        Seorang calon dinyatakan lulus jika nilainya
                                                                       sama dengan atau di atas rata-rata. Banyaknya
        Frekuensi        2       4       8       12   16      4
                                                                       calon yang lulus adalah . . . .
       Siswa dinyatakan lulus bila nilainya lebih besar                A. 8                  D. 44
       atau sama dengan x       1 . Banyaknya siswa                    B. 18                 E. 48
       yang lulus ujian ini adalah . . . .                             C. 38                            (SPMB 2004)
       A. 20                  D. 36                               9.   Nilai rata-rata tes Matematika dari kelompok
       B. 28                  E. 40                                    siswa dan kelompok siswi di suatu kelas
       C. 32                              (SPMB 2003)
                                                                       berturut-turut adalah 5 dan 7. Jika nilai
7.     Tabel di bawah ini adalah data ujian dari siswa                 rata-rata di kelas tersebut adalah 6,2, maka
       dalam sebuah kelas.                                             perbandingan banyaknya siswa dan siswi
                                                                       adalah . . . .
        Nilai                5       6       7        8       9        A. 2 : 3               D. 3 : 5
        Frekuensi            1       4       2        1       2        B. 3 : 4               E. 4 : 5
                                                                       C. 2 : 5                         (SPMB 2004)
       Median dari data tersebut adalah . . . .
       A. 6                  D. 7,5                               10. Nilai rata-rata ulangan Matematika dari kedua
       B. 6,5                E. 8                                     kelas adalah 5,38. Jika nilai rata-rata kelas
       C. 7                            (SPMB 2003)                    pertama yang terdiri dari 38 siswa adalah 5,8
                                                                      dan kelas kedua terdiri dari 42 siswa, maka
8.     Nilai ujian dari peserta seleksi pegawai di suatu              nilai rata-rata kelas kedua adalah . . . .
       instansi diperlihatkan dalam tabel berikut.                    A. 5                    D. 5,21
                                                                      B. 5,12                 E. 5,26
                Nilai Ujian              Frekuensi
                                                                      C. 5,18                          (SPMB 2005)
                        3                        2
                                                                  11. Jika jangkauan dari data terurut
                        4                        4
                                                                      x 1, 2x 1, 3x, 5x 3, 4x 3, 6x 2
                        5                        6                    adalah 18, maka mediannya adalah . . . .
                        6                        20                   A. 9                  D. 21
                        7                        10                   B. 10,5               E. 24,8
                        8                        5                    C. 12                            (SPMB 2006)

                        9                        2
                        10                       1



          Intersection
          Materi tentang statistika berkaitan dengan pengukuran, pencacahan, pengamatan, perhitungan,
          dan kesimpulan. Dalam ilmu sosial, statistika sangat berperan penting. Begitu juga dalam ilmu
          lainnya, seperti Biologi, Fisika, Kimia, dan lain-lain. Ilmu Statistika sangat diperlukan pada saat
          melakukan survei atau pengumpulan data, serta pengolahan data.




     Bab 7 Statistika                                                                                           47
Bab

           8                                  Peluang



      A.     Kaidah Pencacahan, Permutasi,                       Nilai tempat puluhan (angka kedua) dapat
             dan Kombinasi                                       dipilih dengan 4 cara, yaitu 0, 1, 3, 4
                                                                 (misalnya angka 4).
1.    Aturan perkalian
                                                                 Nilai tempat satuan (angka ketiga) dapat
    Misalkan terdapat n tempat tersedia                          dipilih dengan 3 cara, yaitu 0, 1, 3
dengan:                                                          (misalnya angka 0).
    P1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
    pertama.                                                 Sehingga diperoleh: 4           4         3      48 bilangan.
    P2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat                                                                     Kunci: B
    kedua setelah tempat pertama terisi.
    P3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
    ketiga setelah tempat pertama dan kedua terisi.     2.    Permutasi
                                                        a.    Notasi faktorial
      Pn adalah banyak cara untuk mengisi tempat              n   n (n 1)           (n           2)        . . .    3   2     1
      ke-n setelah tempat pertama, kedua, ketiga,             1   1
      . . ., (n 1) terisi.
                                                              0! 1
           Banyak cara untuk mengisi n tempat yang
           tersedia secara keseluruhan adalah           b.    Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda
                   P1 P2 P3 . . . Pn                          Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n
                                                              unsur yang tersedia adalah
                                                                                        n
                                                                         Prn                     , n         r
                                                                                   (n       r)
Contoh
                                                              Banyak permutasi n unsur yang diambil dari n
     Diketahui angka-angka 0, 1, 2, 3, 4. Berapa              unsur yang tersedia adalah
     banyak bilangan tiga angka yang dapat
                                                                                    n
     dibentuk dari angka-angka tersebut jika tidak                                 Pn        n
     boleh ada angka yang sama?
     A. 24 bilangan            D. 75 bilangan                 Permutasi dari n unsur yang tersedia jika
     B. 48 bilangan            E. 96 bilangan                 terdapat k unsur yang sama adalah
     C. 60 bilangan                                                                 n
                                                                               P      , k              n
                                                                                    k
     Jawab:
     Bilangan tiga angka memiliki nilai tempat          •     Permutasi dari n unsur yang tersedia jika
     ratusan, puluhan, dan ratusan.                           terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama,
         Nilai tempat ratusan (angka pertama)                 dan m unsur yang sama adalah
         dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu 1, 2, 3,                       n
         4 (misalnya angka 2).                                      P          , k                l         m      n
                                                                         k l m


 48                                 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
•      Banyak permutasi siklis dari n unsur berbeda
       adalah                                                  Olimpiade Matematika tingkat SMU. Banyak
                                                               kemungkinan jika yang dipilih 5 orang laki-
                      Psiklis    (n   1)                       laki dan 3 orang perempuan adalah . . . .
                                                               A. 24                    D. 120
                                                               B. 36                    E. 144
Contoh                                                         C. 72
      1.   Banyak bilangan empat angka berbeda                 Jawab:
           yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2,                Lima orang laki-laki dipilih dari enam
           5, 7, 8, 9 adalah . . . .                                orang laki-laki merupakan 5 unsur dari
           A. 15 bilangan            D. 360 bilangan                6 unsur.
           B. 60 bilangan            E. 720 bilangan                         6
                                                                      6
           C. 240 bilangan                                          C5
                                                                         5 (6 1)
           Jawab:                                                          6
           Banyak bilangan itu adalah permutasi 4                        5 1
           unsur yang diambil dari 6 unsur yang                           6 5
                                                                                  6
           tersedia                                                         5
             6      6!    6 5 4 3 2!                                Tiga orang perempuan dipilih dari
            P4
                  (6 4)!        2!                                  empat orang perempuan merupakan
                          6 5 4 3                                   3 unsur dari 4 unsur.
                                                                      4       4!
                          360 bi langan                             C3
                                                                          3 (4 1)
                                               Kunci: D
                                                                             4
      2.   Ada duabelas buah alat tulis, tujuh buah                         3 1
           di antaranya pulpen dan lima buah sisa                           3
                                                                            4
           pensil. Berapa banyak cara untuk                                    4
                                                                          3
           menyusun keduabelas alat tersebut secara            Dengan menggunakan aturan perkalian
           berdampingan?                                       banyak cara untuk memilih 8 orang tersebut
           A. 99 bilangan        D. 896 bilangan
                                                               adalah 6         4    24.
           B. 348 bilangan       E. 992 bilangan
           C. 792 bilangan                                                                                Kunci: A

           Jawab:
           Banyaknya unsur n 12, banyak unsur
           yang sama k 7 (pulpen) dan l 5 (pensil).

           P
                12     12       11 10 9 8 7                    B.      Peluang Suatu Kejadian
                7 5     7        5 4 3 2 1
                       11       9 8   792 bilangan
                                                          1.  Definisi peluang
                                               Kunci: C
                                                              Jika setiap anggota ruang sampel mempunyai
                                                          peluang yang sama untuk muncul, maka peluang
                                                          kejadian A yang memiliki anggota sebanyak n(A)
3.  Kombinasi                                             adalah
    Banyak kombinasi r unsur yang diambil dari n                                           n( A)
unsur yang tersedia adalah                                                      P(A)             ,A   S
                                                                                           n(S)
                  n          n
                 Cr               , r      n
                         r (n  r)                         2.    Kisaran nilai peluang
                                                                Kisaran nilai peluang adalah 0            P(A)   1.
Contoh                                                    •     P(A)    0           A merupakan kejadian mustahil
      Siswa SMU yang terdiri dari 6 orang laki-laki                                 terjadi.
      dan 4 orang perempuan akan mengikuti                •     P(A)    1           A merupakan kejadian yang pasti
                                                                                    terjadi.

     Bab 8 Peluang                                                                                                49
3.    Peluang komplemen suatu kejadian
   Jika A adalah komplemen dari kejadian A,                                    dengan A menyatakan kejadian
maka peluang kejadian A adalah P(A ) 1 P(A).                                   bahwa sisi angka sama sekali tidak
                                                                               muncul.
                                                                            Dan ini hanya dapat terjadi dalam
Contoh                                                                      satu cara, yaitu bila semua
     1.   Irsam melempar sebuah dadu satu kali.                             pelemparan menghasilkan sisi
          Berapakah peluang muncul mata dadu                                gambar.
          bilangan prima?                                                             1
                                                                        Jadi, P(A )
                                                                                     16
               1                            1
          A.                         D.                                                1  15
               3                            6                             P(A) 1
                                                                                      16  16
               1                            2                                                       Kunci: D
          B.                         E.
               2                            6
               2
          C.
               3

          Jawab:                                                   C.       Peluang Kejadian Majemuk
               Ruang sampel S         {1, 2, 3, 4, 5, 6}
               n(S) 6                                         1.  Peluang gabungan dua kejadian
               A   Himpunan mata dadu bilangan                    Jika A dan B dua kejadian yang berada dalam
                   prima                                      ruang sampel S, maka peluang kejadian A       B
                   {2, 3, 5}                                  adalah
               n(A) 3
                                                                        P(A      B)   P(A)    P(B)     P(A   B)
                      n( A)  3    1
               P(A)
                      n( S)  6    2
          Jadi, peluang muncul mata dadu bilangan
                         1                                    Contoh
          prima adalah .
                         2
                                                Kunci: B           Jumlah siswa di kelas ada 40 orang. Bila siswa
                                                                   yang lulus ujian Matematika ada 25 orang,
     2.   Sekeping uang logam dilemparkan 4 kali                   yang lulus ujian Bahasa Inggris ada 30 orang,
          berturut-turut. Berapakah peluang                        dan yang lulus sekurang-kurangnya satu mata
          sekurang-kurangnya sisi angka muncul
                                                                   pelajaran di atas ada 20 orang, maka
          sekali?
                                                                   berapakah peluang siswa yang lulus kedua
              1                    15
          A.                   D.                                  mata pelajaran tersebut?
              2                    16
                                                                        3                           3
               3                   23                              A.                         C.
          B.                   E.                                       8                          16
              4                    24
                                                                         3                              7
               1                                                   B.                            E.
          C.                                                            16                             16
              16
                                                                        7
                                                                   C.
          Jawab:                                                        8
             Setiap pelemparan menghasilkan dua
                                                                   Jawab:
             kemungkinan, yaitu gambar atau
             angka, maka banyaknya ruang                                S      jumlah siswa di kelas
             sampel adalah                                                                  n( A)  25 5
                                                                        n(S)     25    P(A)
                                                                                            n(S)   40 8
                      n(S)     24    16
                                                                        B Kejadian siswa yang lulus ujian
               Misalkan A adalah kejadian bahwa                             Bahasa Inggris.
               sisi angka muncul sekali, maka                                               n( B) 30 6
                                                                        n(B) 30     P(B)
                      P(A)     1    P(A )                                                   n(S) 40 8



 50                                       Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
           A     B      Kejadian siswa yang lulus                              B {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
                        sekurang-kurangnya satu mata                           n(B) 3
                        pelajaran.
                                                                                       n( B) 3     1
           n(A       B) 20                                                    P(B)
                                                                                       n(S) 36 12
                           n( A B) 20 4
           P(A       B)                                                    Dilihat dari A dan B bahwa tidak ada anggota
                              n(S)   40 8                                  yang sama, maka A dan B saling lepas
           A      B Kejadian siswa yang lulus ke                           sehingga:
                    dua mata pelajaran.                                    P(A B) P(A) P(B)
           Sehingga diperoleh                                                          1      1            2        1    3     1
           P(A B) P(A) P(B) P(A          B)                                            6     12           12       12   12     4
                      4    5        6                                                                                      Kunci: A
                                          P(A        B)
                      8    8        8
                           5        6    4     7
           P(A       B)                                               3.    Peluang dua kejadian saling bebas
                           8        8    8     8
                                                           Kunci: C       Jika A dan B kejadian-kejadian yang saling
                                                                      bebas, maka berlaku aturan berikut.
                                                                                      P(A        B)       P(A)      P(B)
2.     Peluang gabungan dua kejadian saling
       lepas
    Jika A dan B masing-masing dua kejadian                           Contoh
yang saling lepas, maka peluang gabungan dua
                                                                           Dua keping mata uang logam dilempar secara
kejadian yang saling lepas adalah
                                                                           bersamaan. Kejadian A adalah munculnya sisi
                     P(A       B)       P(A)        P(B)                   angka pada mata uang logam pertama,
                                                                           sedangkan kejadian B munculnya sisi yang
                                                                           sama untuk kedua mata uang logam.
Contoh                                                                     Berapakah peluang kejadian A dan B?
                                                                                1                         1
                                                                           A.                        D.
      Berapakah peluang untuk mendapatkan                                       2                        16
      jumlah mata dadu 7 atau 10 bila sepasang                                  1                         1
      dadu dilemparkan secara bersamaan?                                   B.                        E.
                                                                                4                        32
           1                                          11                        1
      A.                                       D.                          C.
           4                                          36                        8
           1                                          1                    Jawab:
      B.                                       E.
           6                                          72
                                                                               Ruang sampel S          {(G, G), (G, A), (A, G),
            5
      C.                                                                                               (A, A)}    n(S) 4
           12
                                                                               Kejadian A        {(A, A), (A, G)}    n(A) 2
      Jawab:                                                                                      2 1
                                                                                      P(A)
      Banyak anggota ruang sampel dari pelem-                                                     4 2
      paran dua dadu adalah n(S) 36.                                           Kejadian B        {(A, A), (G, G)}           n(B)   2
          A    Kejadian munculnya jumlah mata
                                                                                                 2        1
               dadu 7                                                                 P(B)
               {(1, 6), (2, 5), (3, 5), (4, 3), (5, 2),                                          4        2
               (6, 1)}                                                         P(A    B)    P(A)          P(B)
          n(A) 6                                                                             1        1        1
                  n( A) 6 1                                                                  2        2        4
          P(A)
                  n(S) 36 6                                                                                                    1
                                                                           Jadi, peluang kejadian A dan B adalah                 .
           B     Kejadian munculnya jumlah mata                                                                                4
                 dadu 10, maka                                                                                             Kunci: B


     Bab 8 Peluang                                                                                                                 51
4.    Peluang Kejadian Bersyarat (Pengayaan)                 Contoh
    Kejadian bersyarat merupakan dua kejadian
tidak saling bebas. Peluang kejadian A dengan                     Diketahui A dan B adalah suatu kejadian
syarat B telah terjadi dinotasikan dengan P(A|B).                 pada ruang sampel S dengan P(A)    0,75,
Jika P(A B) adalah peluang terjadinya A dan B,                    P(B)   0,40, dan P(A    B)   0,15. Maka
maka berlaku aturan berikut.                                      P(B | A) adalah . . . .
                                                                  A. 0,02                 D. 0,25
              P ( A B)                          P ( B A)          B. 0,05                 E. 0,50
 P ( A | B)                 atau P ( B | A)                       C. 0,20
                  P ( B)                            P ( A)
                                                                  Jawab:
                            P ( A | B) P ( B)                     Oleh karena A     B B            A, maka
               P ( B | A)
                                   P ( A)                         P(A   B) P(B       A)
                                                                  sehingga diperoleh
                                                                               P ( B A)     0,15
                                                                  P ( B | A)                         0, 2
                                                                                   P ( A)   0,75
                                                                                                            Kunci: C




          S oal Pemantapan Ujian Nasional

      Kompas
     •   Soal nomor 1 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari materi kaidah pencacahan.
     •   Soal nomor 2 – 5 merupakan kategori soal sedang, pahami materi kombinasi, peluang suatu
         kejadian, dan peluang kejadian majemuk.
     •   Soal nomor 6 – 7 merupakan kategori soal yang sulit, pelajari seluruh materi peluang.




1.    Dari angka 2, 3, 7, 8, 9 dibuat bilangan yang                      5                          9
      terdiri dari tiga angka yang berbeda. Di antara              A.                       D.
                                                                        36                          36
      bilangan-bilangan tersebut, banyaknya bilangan
                                                                        7                           11
      yang kurang dari 300 adalah . . . .                          B.                       E.
                                                                        36                          36
      A. 12                   D. 24
                                                                        8
      B. 16                   E. 36                                C.
                                                                        36
      C. 20
                                                             4.    Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang
2.    Dari dua belas siswa yang terdiri dari delapan               dilempar undi satu kali bersama, maka peluang
      putra dan empat putri akan dibentuk tim voli                 untuk memperoleh gambar pada mata uang dan
      yang beranggotakan enam orang. Jika                          bilangan ganjil pada dadu adalah . . . .
      disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak                     1                     1
      dua orang putri, maka banyak tim yang dapat                  A.                     D.
                                                                        12                     3
      dibentuk adalah . . . .
                                                                        1                      1
      A. 523                  D. 581                               B.                     E.
                                                                        6                      2
      B. 558                  E. 593                                    1
      C. 574                                                       C.
                                                                        4
3.    Dua buah dadu dilempar bersama-sama.                   5.    Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang
      Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau                    muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu
      10 adalah . . . .                                            kedua 5 adalah . . . .

 52                                   Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
              6                      3                     7.   Dari empat huruf A, B, C, D, dan empat angka
       A.                      D.                               1, 2, 3, 4 akan dibuat plat nomor mobil yang
              36                    36
               5                    1                           dimulai 1 huruf diikuti dengan 3 angka dan
       B.                      E.                               diakhiri dengan 1 huruf. Karena pembuat plat
              36                    36
              4                                                 nomor tidak diperbolehkan memuat angka 234,
       C.                                                       maka banyaknya plat nomor yang dapat dibuat
              36
                                                                adalah . . . .
6.     Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning.
       Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning.          A. 954                 D. 1.024
       Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola             B. 986                 E. 1.030
       secara acak. Peluang terambilnya kedua bola              C. 1.008
       berwarna sama adalah . . . .
            1                       9
       A.                      D.
            8                      16
             5                     7
       B.                      E.
            16                     8
             7
       C.
            16
                                                     S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.     Dari 12 orang yang terdiri atas 8 pria dan               A.   20                 D. 90
       4 wanita akan dibentuk kelompok kerja                    B.   30                 E. 360
       beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok               C.   60                            (SPMB 2003)
       kerja ini terdapat paling sedikit 2 pria, maka
       banyaknya cara membentuknya adalah . . . .          4.   Suatu sekolah membentuk tim delegasi yang
       A. 422                 D. 462                            terdiri dari 4 anak Kelas I, 5 anak Kelas II, dan
       B. 448                 E. 468                            6 anak Kelas III. Kemudian akan ditentukan
       C. 456                          (UMPTN 2001)             pimpinan yang terdiri dari Ketua, Wakil Ketua,
                                                                dan Sekretaris, maka banyaknya kemungkinan
2.     Dari 10 orang siswa yang terdiri 7 orang putra           susunan pimpinan adalah . . . .
       dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang                 A. 156                  D. 600
       beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan                  B. 492                  E. 720
       anggota tim tersebut paling banyak 2 orang               C. 546                             (SPMB 2004)
       putri, maka banyaknya tim yang dapat dibentuk
       adalah . . . .                                      5.   Dari angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 akan dibuat
       A. 168                D. 231                             bilangan yang terdiri atas tiga angka yang
       B. 189                E. 252                             berbeda. Banyaknya bilangan berbeda yang lebih
       C. 210                            (SPMB 2002)            besar dari 640, tetapi lebih kecil dari 860
                                                                adalah . . . .
3.     Akan disusun suatu tim peneliti yang terdiri             A. 78                  D. 96
       dari 2 orang matematikawan dan 3 orang                   B. 84                  E. 102
       teknisi. Jika calon yang tersedia 3 orang                C. 90                            (SPMB 2005)
       matematikawan dan 5 orang teknisi, maka             6.   Dalam babak penyisihan suatu turnamen,
       banyak cara menyusun tim tersebut                        25 pecatur satu sama lain bertanding satu
       adalah . . . .                                           kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi
                                                                adalah . . . .
                                                                A. 150                 D. 270
                                                                B. 180                 E. 300
                                                                C. 200                           (SPMB 2006)


            Intersection
            Materi tentang peluang terkait dengan ilmu statistika. Penerapannya banyak digunakan dalam
            bidang pertanian, geofisika, meteorologi, kependudukan, transportasi, industri, dan lain-lain.




     Bab 8 Peluang                                                                                           53
Bab

           9                                    Trigonometri



     A.      Rumus Trigonometri
                                                                          20                                      29
                                                                    A.                                   D.
                                                                          29                                      21
    Perhatikan segitiga PQR di   R                                        21                                      21
                                                                    B.                                   E.
samping. Segitiga PQR siku-siku                                           29                                      35
di P.                                                                     29
                                     r                              C.
    PQ disebut sisi di samping y                                          20
sudut Q dengan panjang x.                                           Jawab:
    PR disebut sisi di depan
                                                                    Berdasarkan teorema Pythagoras
sudut Q dengan panjang y, dan    P x    Q
QR adalah sisi miring dengan                                        (AC)2 (BC)2 (AB)2
panjang r.                                                                 292 212
    Rumus perbandingan trigonometri adalah                                 841 441
sebagai berikut.                                                           400
               panjang sisi depan Q     y                            AC        400   20
     sin
                 panjang sisi miring    r                                      AC     20
                                                                    sin   B
               panjang sisi samping Q       x                                  BC     29
     cos                                                                                                               Kunci: A
                 panjang sisi miring        r
                panjang sisi depan Q        y
     tan
                  panjang sisi miring       x

                panjang sisi samping Q         1       x
     cotan
                 panjang sisi depan Q        tan       y
                                                                    B.      Perbandingan Trigonometri Sudut-
                                                                            sudut Istimewa (0 , 30 , 45 , 60 , 90 )
                 panjang sisi miring           1           r
     sec                                                       1.    Jika       0 , maka x r dan y                       0.
               panjang sisi samping Q        cos           x
                                                                                    y  0
                 panjang sisi miring          1        r                  sin 0            0
     cosec                                                                          r  r
                panjang sisi depan Q        sin        y                            x  r
                                                                          cos 0           1
                                                                                    r  r
                                                                                     y  0
Contoh                                                                    tan 0            0
                                                                                     x  x
  Perhatikan segitiga ABC         C
                                                                                         y
  yang siku-siku di A pada
  gambar berikut!
                                            29 cm
  Berdasarkan gambar, nilai                                                                  r
                                                                                                     y
  sin B . . . .                                                                                               x
                                                                                     O           x

                                  A    21 cm       B



54                                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
2.     Jika           90 , maka x                 0 dan y            r.                                  C

                           y       r                                                                         45
           sin 90                            1
                           r       r
                           x       0
           cos 90                            0
                           r       r
                                                                                                                           45
                              y     r
           tan 90                                        tidak terdefinisi                                A                     B
                              x     0
                                                                                          Dari gambar di atas, ABC adalah segitiga siku-
                                            C
                                                                                          siku samakaki.
                                                                                            ABC    ACB 45 dan AB AC
                                                                                              Misalkan panjang AB              AC    r
                                                                                              (BC)2 (AB)2 (AC)2
                               A         D               B                                           r2 r2
                                                                                                     2r2
       Dari gambar di atas, ABC adalah segitiga                                                 BC      2r 2      2r
       samasisi dengan AB BC AC.
                                                                                                         AC       r             1        1
                               1                                                              sin 45                                       2
           BD         AD         AB                                                                      BC           2r        2        2
                               2
                                                                                                         AB       r             1        1
                               1                                                              cos 45                                       2
                      AD         BC              . . . karena AB           BC                            BC       2r            2        2
                               2
                               1                                                                          AC      r
                      AD         AC              . . . karena AB           AC                 tan 45                       1
                               2                                                                          AB      r
              ABC          BCA              CAB          60                              Nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut
              BCD          DCA          30                                          istimewa adalah sebagai berikut.
           Panjang BD              a, maka AB                 2BD                                      sin        cos               tan
                                                              2a
              (AB)2     (AD)2       (DB)2                                                       0        0             1             0
                                                              A
              (2a)2     (AD)2          a2                                                                1        1 3               1 3
                                                                                               30
                                                                                                         2        2                 3
           (AD)2        4a2        a2                          30°
                                                                                                       1 2        1 2
                        3a2                                                                    45                                    1
                                                                                                       2          2
                AD         3a2                                                                         1 3            1              1
                                                                          60°                  60
                                                                                                       2              2              3
                           3a                                 D                 B
                                                                                               90        1             0
                           BD            a           1
           sin 30
                           AB           2a           2

                            AD            3a             1                           I N G A T
           cos 30                                          3
                            AB           2a              2                            •     sin2A cos2A 1
                            BD           a           1                                      sin A
           tan 30                                      3                              •            tan A
                            AD           3a          3                                       cos A
                                                                                             cos A
                           AD            3a          1                                •              cot an A
           sin 60                                      3                                     sin A
                           AB           2a           2
                                                                                      •     tan A · cotan A 1
                           BD            a       1                                                     1
           cos 60                                                                     •      sec A
                           AB           2a       2                                                   cos A
                                                                                                         1
                            AD               3a                                       •      cosec A
           tan 60                                        3                                             sin A
                            BD               a


     Bab 9 Trigonometri                                                                                                                        55
Contoh                                                             3.    Relasi di Kuadran III
                                                                            sin (180   )   sin
     Nilai dari cos 30 sin 90                 sin 30 cos 90                 cos (180   )   cos
     adalah . . . .                                                         tan (180   ) tan
                                                   1                        sin (270   )   cos
     A.    0                             D.            3
                                                   2                        cos (270   )   sin
           1                                         1
     B.                                  E.              3                  tan (270    ) cotan
           2                                         2
               1
     C.          2                                                 4.    Relasi di Kuadran IV
               2
                                                                            sin (360   )   sin
     Jawab:                                                                 cos (360   ) cos
     cos 30 sin 90        sin 30 cos 90                                     tan (360   )   tan
          1            1                                                    sin (270   )   cos
            3    1        0                                                 cos (270   ) sin
          2            2
          1             1                                                   tan (270    )   cotan
            3     0       3
          2             2
                                                      Kunci: D     5.    Relasi antara Sudut Positif dan Sudut
                                                                         Negatif
                                                                            sin ( )   sin
                                                                            cos ( ) cos
      C.        Perbandingan Trigonometri dan                               tan ( )   tan
                Sudut Berelasi
                                                                   Contoh
                                90
                                                                        1.   cos (180         )       sin (90         )
                  Kuadran II          Kuadran I
                                                                             cos (360    )     . . . .
                                                                             A. sin                    D. sin (90         )
                                                       0°
                                                       360°
                                                                             B.    cos                 E. sin (90         )
          180°
                                                                             C. cos (180       )
                  Kuadran III         Kuadran IV

                                                                             Jawab:
                                270                                          cos (180     ) sin (90      ) cos (360           )
                                                                                      cos    cos        cos
           Kuadran               I            II       III    IV                    cos
                 sin                                                                sin (90     )
                                                                                                                 Kunci: D
                 cos
                 tan                                                    2.   Bentuk sederhana dari
                                                                              cos 30 sin 15
                                                                             sin 195 sin 120          . . . .
1.    Relasi Kuadran I
         sin (90   ) cos                                                                                        1
         cos (90   ) sin                                                     A.   1                    D.         3
                                                                                                                2
         tan (90   ) cotan
                                                                                                                1
                                                                             B.   1                    E.         2
                                                                                                                2
2.    Relasi Kuadran II
                                                                                  1
         sin (180    ) sin                                                   C.     3
                                                                                  2
         cos (180    )   cos
         tan (180    )   tan                                                 Jawab:
         sin (90   ) cos                                                     sin 195    sin (180       15 )  sin 15
         cos (90   )    sin                                                  sin 120    sin (90       30 ) cos 30
         tan (90   )    cotan


 56                                           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                                                        Contoh
            Sehingga,
             cos 30 sin 15                             cos 30 sin 15                     1.   Diketahui segitiga ABC dengan
                                                                                    1         panjang sisi a dan b berturut-turut 9 cm
            sin 195 sin 120                             sin 15 cos 30
                                                                                              dan 12 cm. Sudut B 42 , maka besar
                                                                            Kunci: B            C . . . .
                                                                                              (sin 42 0,669 dan cos 42 0,743)
                                                                                              A. 30                  D. 108
                                                                                              B. 72                  E. 252
                                                                                              C. 102
       D.     Aturan Sinus, Kosinus, dan Luas
                                                                                              Jawab:
              Segitiga                                                                        Dengan menggunakan aturan sinus

1.     Aturan sinus                                                                                 a                b
                                                                                              sin           A     sin B
                       a                           b                        c                       9               12
                 sin           A        sin             B           sin         C             sin           A     sin 42
                                                                                                    9               12
                                            C
                                                                                              sin           A     0,669
                                                                                                                  9 0,669
                                                                                              sin           A                        0,50
                                   b                        a                                                         12
                                                                                                            A     30
                           A                                        B
                                               c                                              Sehingga,
                                                                                               C            180      ( A       B)
                                                                                                            180      (30      42 )
2.     Aturan kosinus                                                                                       180      72      108

                       a2          b2          c2           2bc cos A                                                                       Kunci: D
                       b2          a2          c2           2ac cos B
                                                                                         2.   Pada gambar di bawah ini, titik A dan C
                       c2          a2          b2           2ab cos C                         merupakan titik-titik ujung sebuah
                                                                                              terowongan yang dilihat dari titik B dan
                                        C
                                                                                              besar sudut penglihatan CBA 60 .
                               b                                a                                                            C
                       A                                                 B
                                                   c


3.     Luas segitiga
                                       C                                                                    A                          B

                               b                            a                                                           3
                                                                                              Jika AB                     x meter,
                                                                                                                  2x meter dan BC
                    A                                                   B                                               2
                                               c
                                                                                              maka panjang terowongan adalah . . . .
                                                                                                        1
   Luas segitiga ABC dapat ditentukan dengan                                                  A.                6 x meter
menggunakan rumus berikut.                                                                              2
                                                                                                        1
                                                                                              B.                6 x meter
                                           1                                                            4
                       Luas                             b       c       sin     A                       1
                                           2                                                  C.             13 x meter
                                                                                                        2
                                           1                                                            1
                       Luas                             a       c       sin     B             D.                13 x meter
                                           2                                                            4
                                           1                                                                13
                       Luas                            a        b       sin     C             E.               x meter
                                           2                                                                 2


     Bab 9 Trigonometri                                                                                                                            57
                                                                    3.    Rumus tan (                  )
           Jawab:
                                                                                                    tan                tan
           AB  c        2x m                                                   tan (          )
                                                                                                   1   tan              tan
                         3
           BC       a      x m
                         2                                                                          tan                tan
           AC       b                                                          tan (      )
                                                                                                   1 tan                tan
           Nilai b dapat dihitung dengan meng-
           gunakan aturan kosinus.
                                                                    Contoh
           b2    a2     c2      2 · a · c · cos          B
                        2                                                                4              24
                  3            2       3                                 1.   Jika sin     dan sin         , dan
                    x     2x       2 x 2 x cos 60
                  2                    2                                                 5              25
                 9 2                    1                                     terletak di kuadran II, maka nilai
                           2       2
                   x    4x      6x                                            sin (    ) adalah . . . .
                 4                      2
                   1 2       2       1 2    13 2                                   4                                      44
                6 x      3x       3 x          x                              A.                                  D.
                   4                 4       4                                     5                                     125
                      x          1                                                   4                                  100
           Jadi, b       13           13 x meter.
                      2          2                                            B.                                  E.
                                              Kunci: C                               5                                  125
                                                                                    44
     3.    Pada jajargenjang PQRS diketahui                                   C.
                                                                                   125
           PQ      10 2 cm, PS         8 cm, dan
            SPQ      45 . Luas jajargenjang PQRS                              Jawab:
           adalah . . . .
                                                                                                        4
           A. 20 cm2                                                               Diketahui                 sehingga
                                                                                                           sin
                                   S           R                                                        5
           B. 40 cm2                                                               diperoleh ukuran berikut.
           C. 20 2 cm     2    q        p

           D. 40 2 cm     2
           E. 80 cm2         P       s     Q
                                                                                              5                  4

           Jawab:
                                1
           Luas       PQS               PQ     PS       sin   SPQ                                  3
                                2
                                1                                                  Dengan menggunakan teorema
                                        10 2        8     sin 45                                                   3
                                2                                                  Pythagoras diperoleh cos           .
                                          1                                                                        5
                                40 2        2                                      (Karena cos di kuadran II negatif,
                                          2
                        20              2 40 cm2                                                  3
                                                                                   maka cos         )
           Jadi, Luas PQRS              2 Luas PQS                                                5
                                        2 40 80 cm2                                                               24
                                                                                   Diketahui juga bahwa sin
                                               Kunci: E                                                           25
                                                                                   sehingga diperoleh ukuran berikut.


                                                                                              25                 24
      E.        Rumus Penjumlahan dan Selisih
                Dua Sudut
                                                                                                   7
1.    Rumus sin (                   )                                              Dengan menggunakan teorema
            sin (           )   sin      cos        cos       sin                                                7
            sin (           )   sin      cos        cos       cos                  Pythagoras diperoleh cos
                                                                                                                 25
                                                                                   (Karena cos di kuadran II negatif,
2.    Rumus cos (                 )
         cos (    )             cos      cos        sin       sin                                 7
                                                                                   maka cos          )
         cos (    )             cos      cos        sin       sin                                 25

 58                                            Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                                     Contoh
       Jadi,
       sin (          )     sin       cos         cos      sin                    10                                       120
                                                                           A.                                       D.
                              4       7             3    24                       13                                       169
                                                                                  10                                        60
                              5       25            5    25                B.                                       E.
                                                                                  36                                       169
                               28              72                                  25
                                                                           C.
                              125             125                                 169
                               28        72          44                    Jawab:
                              125       125         125                    Dengan      menggunakan      teorema
                                                                           Pythagoras, diperoleh AB 12.
                                                        Kunci: C
                                                                                          12
                                                                           cos A
                              4                                                           13
 2.    Jika sin                       dan        sudut lancip,                                             C
                    4 2
       maka nilai tan (45                    ) adalah . . . .
                                                                                               13
                                                                                                               5
                1
       A.         2                         D. 1
                2                                                                     A         12         B
               1
       B.        2                          E.
               2                                                           sin 2A         2 sin A cos A
               1                                                                                5   12
       C.                                                                                 2
               2                                                                               13   13
                                                                                          120
       Jawab:
                                                                                          169
                     4        1                                                                                                Kunci: D
       sin
                 4 2              2
                 1                                                    2.   Diketahui nilai cos 2 x
                                                                                                                    1 untuk
                    2                                                                                               8
                 2
                 45                                                        180         2x       270 . Nilai sin x adalah . . . .
                                                                                      3                          4
       Sehingga tan (45                 )        tan (45      45 )         A.                               D.
                                                                                      4                          3
                                                 tan 90
                                                                                  3                              1
                                                                           B.                               E.
                                                        Kunci: E                  4                              4
                                                                                      4
                                                                           C.
                                                                                      3
                                                                           Jawab:
                                                                            cos 2x          1        2 sin2 x
  F.        Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
                                                                                      1
                                                                                            1        2 sin2 x
                                                                                      8
  sin 2        2 sin        cos                                                                      1
                                                                           2 sin2 x         1
  cos 2        cos2         sin2                                                                     8
               1 2 sin2                                                                     9
                                                                           2 sin2 x
                                                                                            8
               2 cos2   1                                                                    9
                                                                                sin2 x
                 2 tan                                                                      16
  tan 2
                          tan 2                                                 sin x         3,           180            2x   270
                                                                                              4
Contoh                                                                                                         90         x    135
                                                                           Karena 90             x       135 terletak di Kuadran
 1.    Misalkan A adalah sudut lancip p
                                                                                                                    3
                       5                                                   II, maka nilai sin x                       .
       dan sin A         , maka nilai sin 2A                                                                        4
                      13
       adalah . . . .                                                                                                          Kunci: B


Bab 9 Trigonometri                                                                                                                    59
                                                                 Contoh
     G.      Rumus Jumlah dan Selisih Sinus
             dan Kosinus                                              2 sin 5 cos 4                 2 cos 6       sin 3    sin 3
                                                                      adalah . . . .
                                1             1                       A. sin                                  D. cos 3
•    sin A     sin B      2 sin   ( A B) cos ( A B)
                                2             2                       B. cos                                  E. sin 9
                                1            1                        C. sin 3
•    sin A     sin B      2 cos ( A B) sin ( A B)
                                2            2
                                                                      Jawab:
     cos A      cos B     2 cos 1 ( A B) cos 1 ( A B)
                                2             2                       • 2 sin 5 cos 4                sin (5       4 ) sin (5   4)
                                  1 ( A B) sin 1 ( A B)                                               sin 9        sin
     cos A      cos B       2 sin
                                  2            2                      •     2 cos 6 sin 3            sin (6       3 ) sin (6   3 )
                                                                                                      sin 9        sin 3
Contoh                                                                Sehingga,
                                                                      2 sin 5 cos 4     2 cos 6 sin 3     sin 3
    cos 4 x cos 4 y                                                         sin 9   sin    (sin 9  sin 3 ) sin 3
                     . . . .
    sin 4 x sin 4 y                                                         sin 9   sin     sin 9  sin 3    sin 3
    A.   tan (2x 2y)                    D. tan (2x        2y)               sin
    B.   tan (2x 2y)                    E. tan (2x        2y)                                           Kunci: A
    C.     tan (2x      2y)

    Jawab:
          cos 4x      cos 4y

                     2 sin 1 (4 x 4 y) sin 1 (4 x 4 y)                I.         Fungsi Trigonometri dan Grafiknya
                           2               2
                     2 sin 2(x y) sin 2(x y)
          sin 4x      sin 4y                                     1.       Grafik dari fungsi dasar trigonometri
                2 cos 1 (4 x 4 y) sin 1 (4 x              4 y)               y        sin x
                      2               2
                2 cos 2(x y) sin 2(x y)                                                 1 periode
          Sehingga,                                                               1

           cos 4 x     cos 4 y
                                                                                  0
           sin 4 x     sin 4 y                                                           180         360

                     2 sin 2( x    y) sin 2( x y)                                 1
                     2 cos 2( x    y) sin 2( x y)
                     sin 2( x     y)                                                  y maksimum             1
                     cos 2( x     y)                                                  y minimum             1
                     tan 2(x      y)    tan (2x     2y)                               Satu periode          360
                                                                             y        cos x
                                                  Kunci: A
                                                                                         1 periode
                                                                                  1

                                                                                              180
     H.      Rumus Hasil Kali Sinus dan Kosinus                                   0
                                                                                                      360


                                                                                  1
     2 sin A cos B         sin (A       B)    sin (A      B)
     2 cos A sin B         sin (A       B)    sin (A      B)                          y maksimum             1
     2 cos A cos B         cos (A       B)    cos (A      B)                          y minimum             1
         2 sin A sin B         cos (A    B)    cos (A      B)                         Satu periode          360


60                                           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
      y        tan x
                                                                y       2 cos 2            3 x
                                                                                          4
           1

                   90        270
                                                                    y         2 cos 3 x
           0                                                                        2
                         180   360
                                                                                                                        Kunci: C
           1



               y maksimum
               y minimum                                   2.    Mengubah bentuk a cos x                       b sin x menjadi
                                                                 k cos (x a)
               Satu periode          180
                                                                 Bentuk umum:
                                                                        a cos x           b sin x          k cos (x           )

Contoh                                                           dengan

 Perhatikan grafik berikut!                                             k      a2         b2
           y                                                                         b
                                                                        tan
                                                                                     a
       2

       1                                                   Contoh
       0                                             x          Himpunan       penyelesaian   persamaan
                           2
                    3       3                                   sin x      3 cos x    2 untuk 0 x 360
       1
                                                                adalah . . . .
       2                                                        A. 15                    D. 90
                                                                B. 45                    E. 115
 Persamaan grafik di atas adalah . . . .                        C. 75
              3
 A. y 2 sin x                                                   Jawab:
              2
 B. y    2 sin 3 x                                              sin x         3 cos x              2
                2
                                                                    a         3, b       1, dan c              2
                3x
 C. y    2 cos
                2                                                                                          2
                                                                    k         a2        b2             3           12     2
              3x
 D. y 2 cos
              2
                                                                                   b         1     1
 E. y    2 cos 2 x                                                  tan
                                                                                   a               3
                                                                                                     3
                3                                                                              3
 Jawab:                                                                            30
     Grafik tersebut adalah grafik kosinus                          2 cos ( x           30 )       2
     yang terbalik.
                                                                                          2
     Nilai maksimum 2 dan nilai minimum                                 cos ( x         30 )
                                                                                         2
      2    Amplitudo 2
                                                                      cos ( x   30 ) cos 45
                4
     Periode                                                                 x   30       45   n                    360
                 3
 Sehingga persamaannya adalah                                       x 45       30    n · 360
       Amplitudo                         1 periode                      75     n · 360
                                                                    x    45     30     n · 360
                            2                                            15     n · 360
 y    1        2   cos               x
                            4                                   Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 75 dan
 Karena grafiknya            3
     terbalik                                                   345 .
                                          Periode grafik                                                                Kunci: C



Bab 9 Trigonometri                                                                                                                61
            S oal Pemantapan Ujian Nasional

      Kompas
     •     Soal nomor 1 – 4 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari materi rumus trigonometri,
           perbandingan sudut istimewa, dan persamaan-persamaan trigonometri.
     •     Soal nomor 5 – 9 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang aturan sinus.
     •     Soal nomor 10 – 20 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus pelajari semua
           materi pada bab ini.



                                                       3 ,     6.    Dari segitiga ABC diketahui      30 dan
1.    Diketahui tan x          1,05 dengan         x
                                                       2                 60 . Jika a c   9, maka panjang sisi b
      maka sin x        . . . .                                      adalah . . . .
           20                          20
      A.                          D.                                 A.       2 3           D. 3 2
           29                          29
                                                                     B.       3 3           E. 3
           21                          21
      B.                          E.                                 C.       2 2
           29                          29
          9                                                    7.    Dari segitiga ABC diketahui b    3 cm dan
      C.                                                             c   4 cm. Jika luas segitiga  3 cm2, maka
         29
                                                                     sudut A . . . .
         tan x                                                       A. 30                D. 90
2.                 sama dengan . . . .                               B. 45                E. 120
      sin x cos x
      A. cos2x             D. sec2x                                  C. 60
      B. sin 2x            E. cos x                            8.    Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang
      C. cosec  2x                                                   sisinya 5 cm, 6 cm, dan 21 cm adalah . . . .
                                                                          1 21                    5
                                                                     A.                    D.
               1                                                          5
3.    sin 5 x        2 , maka x        . . . .                            1 21                  1 5
               2                                                     B                     E.
      A. 95 atau     40           D. 55 atau 72                           6                     3
                                                                          1 5
      B. 40 atau     60           E. 60 atau 75                      C.
                                                                          5
      C. 45 atau     63
                                                               9.    Diketahui     ABC dengan panjang sisi
4.    Nilai sin 45 cos 15          cos 45 sin 15 sama                AB 3 cm, AC 4 cm, dan CAB 60 . CD
      dengan . . . .                                                 adalah tinggi ABC, panjang CD . . . .
           1                           1 6                              2 3                      3 3
      A.                          D.                                 A.      cm             D.        cm
           2                           2                                3                        2
           1 2                           1 3                         B.   3 cm              E.   2 3 cm
      B.                          E.
           2                             2                           C. 2 cm
            1 3
      C.                                                       10.            y
            2
           sin A                                                          2
5.                   . . . .
         1   cos A
            1   sin A                  1   cos A
      A.                          D.
              sin A                      sin A                            0                                x
                                                                                    1   2        3     4
            1 cos A                    1   cos A
      B.                          E.
              cos A                      sin A
            1   cos A                                                     2
      C.
              cos A

 62                                        Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
    Jika grafik di atas berbentuk y                  A sin kx,                   sin 5 x                sin 3 x
    maka nilai A dan k adalah . . . .                               15. Bentuk                                  senilai dengan . . . .
                                                                                 cos 5 x                cos 3 x
    A. A      2 dan k                                                   A.   tan 2x                          D. cotan 4x
    B. A      2 dan k 2
    C. A 2 dan k                                                        B.   tan 4x                          E. cotan 8x
    D. A 2 dan k 2                                                      C.   tan 8x
    E. A 2 dan k 2
                                                                    16. Untuk 0           x           360 , himpunan penyelesaian
                                                              1 3       dari sin x                3 cos x            3        0 adalah . . . .
11. Penyelesaian persamaan              sin ( x     45)
                                                              2         A.   {120 , 180 }                      D. {0 , 300 }
    untuk 0 x 360 adalah . . . .
    A. 75   x 105                                                       B.   {90 , 210 }                       E.    {0 , 300 , 360 }
    B. 75   x 165                                                       C.   {30 , 270 }
    C. 105   x 165
                                                                    17. Himpunan                      penyelesaian                  persamaan
    D. 0   x 75 atau 165  x 360
    E. 0   x 105 atau 165    x 360                                       6 sin x              2 cos x               2 untuk 0                x      360
                                                                        adalah . . . .
12. Persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah
    adalah . . . .                                                      A. {15 , 105          }                D. {75 , 345 }
                               y                                        B. {15 , 195          }                E. {105 , 345 }
                                                                        C. {75 , 195          }


                                                                    18. Jika 2 cos2 2 x                5 sin             2x         3        0 , maka
                                                                                                               2
                                                               x        nilai sin x           . . . .
         2                                                2
                                                                             1                         1
                                                                        A.     3 atau                    3
                                                                             2                         2
                                                                             1                         1
                                                                        B.     2 atau                    2
                                                                             2                         2
             y       2 cos x   1
                               6                                             1                         1
                                                                        C.     3 atau                    3
             y       2 cos x   1                                             6                         6
    B.                         6
                               1                                             1                    1
    C.       y       2 cos x                                            D.     atau
                               3                                             4                    4
             y       2 cos x   1                                             1                    1
    D.                         3                                               atau
                                                                        E.
                                                                             2                    2
             y       2 cos x   2
    E.                         3                                                                        1
                                                                    19. Jika cot an 54                    , maka cosec 9                         . . . .
13. Jika diketahui sudut lancip A dengan                                                                x
            1
    cos 2A    , maka nilai tan A . . . .                                     x        1                                  2( x2          1)
            3                                                           A.                                     D.
                                                                             x        1                                   x         1
             1 3                        2 5
    A.                             D.
             3                          5                                    x        1                                   x         1
                                                                        B.                                     E.
             1 2                                                             x        1                                         2
    B.                             E.     6                                                                              2( x           1)
             2
             1 6                                                                 2( x2        1)
    C.                                                                  C.
             3                                                                    x       1
                  sin 81    sin 21
14. Nilai                                 . . . .                                                                               d
                 sin 69    sin 171                                  20. Nilai maksimum dari
                                                                                                           12 cos x             5 sin x              16
                                          1 3
    A.           3                 D.                                   adalah 3. Maka nilai d adalah . . . .
                                          2
             1 3                                                        A. 6                  D. 20
    B.                             E.         3
             2                                                          B. 9                  E. 24
             1 3
    C.                                                                  C. 12
             3

 Bab 9 Trigonometri                                                                                                                                  63
                                                                                 A. p sin2(   )
                                              sin A                              B.  p sin cos (      )
21. Jika A       B       C       360 , maka       2
                                                B C                              C.  p cos cos (       )
                                            sin                                  D. p cos (     ) sin (                      )
                                                  2
      A.   tan A                     D. 1                                        E. p cos2(   )
               2
      B.   cot an A                 E.   0                                  23. Diketahui XY dan XZ merupakan diameter
                  2                                                             lingkaran. Jika YZ a, maka AB . . . .
                B C
      C.   sec                                                                  A. a cos
                  2                                                             B. a sin                  B
22. Diketahui ABC adalah segitiga lancip, besar                                 C. a tan              A
      ABC     , BCA      , dan AC p. CK adalah                                        a
    garis tinggi melalui C dan KM adalah garis                                  D. sin
                                                                                                  X      Y Z
    tinggi dalam AKC yang melalui K. Panjang                                          a
    AM . . . .                                                                  E. cos




                                                                        S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.    Jika     dari          segitiga    ABC              diketahui                         1                                 1
                                                                                 A.       2 a                          D.   3 a
            10 3                                                                            2                                 7
      AC         cm, BC     10 cm, dan sudut                                     B.       3a                           E.   4a
             3
      A 60 , maka sudut C adalah . . . .                                                    1
                                                                                 C.       3 a                                      (UMPTN 2001)
      A. 105            D. 55                                                               4
      B. 90             E. 45                                               6.   Titik-titik sudut segitiga samakaki ABC terletak
      C. 75                     (UMPTN 2001)                                     pada lingkaran berjari-jari 7 cm. Jika alas
                                                              9                  AB           2 7 cm, maka tan A                   . . . .
2.    Pada     ABC diketahui cos (B                  C)         . Jika
                                                             40
      panjang sisi AC 10 cm dan AB                        8 cm, maka                      1                                  1
                                                                                 A.            6         7             D.          6         7
      panjang sisi BC . . . .                                                             7                                  2
      A. 8 2 cm               D. 11 2 cm                                                  1
                                                                                 B.            6         7             E.     6        7
                                                                                          6
      B.   9 2 cm                   E.   12 2 cm
      C.                                                                                  1
           10 2 cm                               (UMPTN 2001)                    C.            6         7                             (SPMB 2002)
                                                                                          3
3.    Jika sudut lancip yang memenuhi
      2 cos2   1 2 sin 2 , maka tan                           . . . .       7.   Diketahui f(x)     2 cos 3x     1. Jika nilai
      A. 2   5            D.   5 2                                               maksimum f(x) adalah a dan nilai minimum f(x)
                                                                                 adalah b, maka a2 b2 . . . .
      B.   2     3                  E.       5       1
                                                                                 A. 3                 D. 18
      C.   2     3                               (UMPTN 2001)
                                                                                 B. 6                 E. 36
4.    Bentuk tan2x sec2x identik dengan . . . .                                  C. 12                            (SPMB 2002)
      A. sin2x   cos2x    D. sec2x   cosec2x
            2
      B. sec x      2
                 cos x             2
                          E. cosec x   sec2x                                                        2 tan
                                                                            8.   Nilai dari                              . . . .
      C. cosec2x   sin2x          (UMPTN 2001)                                                     1         tan 2

5.                   A                                                           A.       2 sin   cos                  D. 2 sin
                                                                                 B.       sin   cos                    E. 2 cos
                             120                                                 C.       1 2 sin                                      (SPMB 2003)
                                                 C
                             B
      Jika panjang lintasan langsung dari A ke C                            9.   Pada          sebarang              segitiga      ABC           berlaku
      adalah a 7 dan A ke B adalah a, maka panjang                               a        b
                                                                                               . . . .
      jalan dari A ke C melalui B adalah . . . .                                      b

 64                                          Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                            1     sin A sin B          14. Jika untuk 0                    ,          berlaku
                   sin A
    A.     1                           D.                                   3 tan
                   sin B                        sin A sin B                                      tan           tan      tan                     3 dan
                                                                                                       3
           sin ( A B)                       cos ( A B)                     sin       sin                 , maka cos(                 )      . . . .
    B.                                 E.                                                              4
              sin B                            cos B                       A.    0                             D. 1
                         A                                                       1                                     1
    C.     1       tan                              (SPMB 2003)            B.       3                            E.      2
                         B                                                       2                                     2
                                                                           C.     1                                                    (SPMB 2004)
                  3               4
10. Jika sin        dan tan         ,               dan     adalah
                  5               3                                    15. Jika tan                    tan y     p dengan p                    0, maka
    sudut lancip, maka nilai sin (                  ) adalah . . . .       cos cos y
         9                                                                                             . . . .
    A.                     D. 1                                            sin (  y)
        25                                                                     1
        16                       32                                        A.                                    D. 2p
    B.                     E.                                                   p
        25                       25                                            2
        18                                                                 B.                                    E.    p2
    C.                                              (SPMB 2003)                 p
        25                                                                 C. p                                                        (SPMB 2004)
11. Jika       dan       merupakan sudut lancip dari suatu
                                                                                                                                           1
    segitiga siku-siku dan tan                      2 sin , maka       16. Jika 1            tan2x       a, a    1 dan 0           x            , maka
                                                                                                                                           2
    sin2    . . . .                                                        sin2x         . . . .
         4                                  1                                                                          a         1
    A.                     D.                                              A.    a                               D.
         5                                  2                                                                              a
         5                                  1
    B.                     E.                                                                                              a         1
         4                                  3                              B.    a           1                   E.
                                                                                                                               a
         2
    C.                                              (SPMB 2004)                      a
         3                                                                 C.                                                        (SPMB 2005)
                                                                                 a       1
12. Pada ABC diketahui D adalah titik tengah
    AC. Jika BC a, AC b, AB c, dan BD d,                               17. Himpunan nilai x yang memenuhi
    maka d2 . . . .                                                          3 sin 2x     cos 2x                     1 untuk 0                 x      2
           1 2           1 2     1 2                                       adalah . . . .
    A.       a             b       c
           2             4       2                                                                                                 4
                                                                           A.                                    D.          ,
           1 2        1 2        1 2                                                 6                                  3           3
    B.       a          b          c
           2          4          2
                                                                           B.                                    E.     0,        ,
           1 2        1 2       1 2                                                  3                                           6 3
    C.       a          b         c
           2          4         2
                                                                                         7 3
                                                                           C.            , ,     ,                                     (SPMB 2005)
               1 2        1 2     1 2                                                6 2 6 2
    D.           a          b       c
               4          4       2
                                                                       18. Nilai x       yang memenuhi
           1 2           1 2     1 2                                       2 cos2x         cos x 1 0, 0                 x                adalah . . . .
    E.       a             b       c                (SPMB 2004)
           4             4       2                                              1
                                                                           A.                dan
                                                                                3
13. Jika 2 tan2x               2 tan x      2    0 dengan batas                 1                2
                                                                           B.                dan
                                                                                3                3
    1
               x     , maka sin x           cos x     . . . .                   1                3
    2                                                                      C.                dan
                                                                                3                4
               3                            1                                   1                3
    A.           5                     D.     5                            D.                dan
               5                            5                                   4                4
               5                            3                                   1                2
    B.           5                     E.     5                            E.                dan                                       (SPMB 2005)
               4                            5                                   4                3
    C.     0                                        (SPMB 2004)


 Bab 9 Trigonometri                                                                                                                                   65
19. Jika tan x 2 dan sin(x y) 5 cos (y                     x),   21. Jika tan x 3 sin2x       0, maka nilai
    maka tan y sama dengan . . . .                                   sin x cos x . . . .
                   3                      3                               1                       2
      A.                          D.                                 A.                      D.
                  11                     11                               3                       3
                  1                      1                                1                       1
      B.                          E.                                 B.     2                E.     5
                  2                      2                                3                       3
      C.      0                                  (SPMB 2006)              1
                                                                     C.     3                            (SPMB 2006)
                                                                          3
                               1
20. Jika cos x tan x             3       0 untuk                 22. Rentang    nilai untuk fungsi y    sin2x   4 sin x
                               2
          1                                                          adalah .   . . .
      1            x    2 , maka cos x       . . . .                 A.   3      y 3          D. 1      y 5
          2
                                                                     B.   3      y 5          E.   1    y 9
                                         2
      A.      2                   D.       3                         C.   2      y 5                     (SPMB 2006)
                                         3
                  2                      1
      B.            3             E.
                  3                      2
                  1
      C.                                         (SPMB 2006)
                  2



           Intersection
           Materi trigonometri ini akan banyak membantu dalam memahami materi tentang limit fungsi
           trigonometri, turunan, dan integral pada bab selanjutnya. Trigonometri juga sering digunakan
           dalam ilmu Fisika.




 66                                          Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab

         10                                        Persamaan dan Garis
                                                   Singgung Lingkaran


       A.    Persamaan-persamaan Lingkaran                   D. b      12 atau b               12
                                                             E. b      12 atau b               12
                                                             Jawab:
1.     Persamaan lingkaran yang berpusat di
                                                             Titik P( 5, b) substitusi ke x2 y2 169
       titik O(0, 0) dan berjari-jari r
                                                             P( 5, b)     ( 5)2 b2.
                             y
                                                             Agar titik P( 5, b) terletak di dalam lingkaran,
                                                             haruslah ( 5)2 b2 169
                                     P(x, y)                               25 b2 169
                                 r                                               b2 169 25
                                     y                                           b2 144
                                 x
                                               x                            12 b 12
                         O
                                                             Jadi, 12 b 12.
                                                                                                    Kunci: C


                                                        3.    Persamaan lingkaran yang berpusat di
    Ambil titik P(x, y) sembarang pada lingkaran.             titik P(a, b) dan berjari-jari r
Panjang garis OP adalah jari-jari r.
                                                                                y
(OP)2 (x 0)2 (y 0)2
   r2 x2 y2
                                                                                                         Q(x, y)
                                                                                               r
     Persamaan lingkaran yang berpusat di titik                             b
     O(0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 y2 r2.                                          P(a, b)
                                                                                                                   x
                                                                            O             a
2.     Kedudukan titik P(a, b) pada lingkaran
       x2  y2 r2
•      Titik P(a, b) terletak di dalam lingkaran
       x2 y2 r2 jika dan hanya jika a2 b2 r2.               Ambil titik Q(x, y) sembarang pada lingkaran,
•      Titik P(a, b) terletak pada lingkaran            maka kuadrat jarak antara titik pusat P(a, b) dan
       x2 y2 r2 jika dan hanya jika a2 b2 r2.           Q(x, y) adalah (PQ)2 (x a)2 (y b)2 di mana PQ
•      Titik P(a, b) terletak di luar lingkaran         merupakan jari-jari lingkaran. Jadi persamaan
       x2 y2 r2 jika dan hanya jika a2 b2 r2            lingkaran yang berjari-jari r dan berpusat di (a, b)
                                                        adalah sebagai berikut.
Contoh                                                                  (x          a)2       (y     b)2     r2
      Batasan nilai b agar titik P( 5, b) terletak di
      dalam lingkaran x2 y2 169 adalah . . . .              Sementara bentuk umum persamaan lingkaran
      A.   12 b 0                                       adalah sebagai berikut.
      B. b     12 atau b 0
                                                                       x2       y2        Ax        By     C       0
      C.   12 b 12


     Bab 10 Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran                                                                     67
Dengan         pusat                 A,   B     dan   jari-jari        Jawab:
                          P
                                     2    2                               Persamaan lingkaran
                                                                          x2 y2 4x 2y 4 0
r        A2        B2    C
         4         4                                                      Titik R(h, 1) terletak di luar               lingkaran
                                                                           h2 ( 1)2 4(h) 2( 1) 4                        0
                                                                                   h2 1 4h 2 4                          0
Contoh                                                                                     h2 4h 5                      0
                                                                                         (h 5)(h 1)                     0
     Jari-jari lingkaran pada persamaan
     x2 y2 10x 18y 6 0                                                                    1                       5
     adalah . . . .                                                                h     1 atau h 5
     A. 5                        D. 15                                 Jadi, batasan nilai h adalah h                       1 atau
     B. 10                       E. 18                                 h 5.
     C. 12                                                                                                             Kunci: D

     Jawab:
     Persamaan lingkaran
     x2 y2 10x 18y 6                      0, maka diperoleh            B.        Persamaan Garis Singgung
     A 10, B      18, dan C               6                                      Lingkaran
                                 2
     r        102        18
                                      6                           1.    Persamaan garis singgung yang melalui
               4         4
                                                                        suatu titik pada lingkaran
              25    81       6
                                                                      Persamaan garis singgung lingkaran yang
            100     10                                            berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r adalah sebagai
     Jadi, jari-jari lingkaran adalah 10.                         berikut.
                                                  Kunci: B                                    xx1   yy1    r2

                                                                  Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat
4.    Kedudukan suatu titik R(h, k) pada                          di titik P(a, b) dan berjari-jari r adalah sebagai
      lingkaran yang berpusat di titik P(a, b).                   berikut.
      Titik R(h, k) terletak di dalam lingkaran                             (x    a)(x1        a)   (y    b)(y1       b)    r2
      (x   a)2   (y  b)2    r2 jika dan hanya jika
             2        2    2
      (h a)     (k b)     r .                                     Contoh
      Titik R(h, k) terletak pada lingkaran
                                                                       Persamaan garis singgung            lingkaran
      (x   a)2   (y  b)2    r2 jika dan hanya jika
             2        2    2                                           (x 5)2 (y 3)2 61
      (h a)     (k b)     r .
                                                                       Pada titik ( 1, 2) adalah .         . . .
      Titik R(h, k) terletak di luar lingkaran
                                                                       A.   6x 5y 16                       D. 5x           6y    16
      (x   a)2   (y  b)2    r2 jika dan hanya jika                     B. 6x 5y 16                         E. 5x           6y    16
             2        2    2
      (h a)     (k b)     r .                                          C.   5x 6y 16
                                                                       Jawab:
Contoh                                                                 Selidiki dahulu apakah ( 1, 2) terletak pada
                                                                       lingkaran (x 5)2 (y 3)2          61.
     Batasan nilai h agar titik R(h, 1) yang                           Substitusi titik ( 1, 2) ke persamaan
     terletak di luar lingkaran                                        ( 1 5)2 (2 3)2 ( 6)2 (5)2
     x2 y2 4x 2y 4 0 adalah . . . .                                                            36 25 61
     A.    1 h 5                                                       Persamaan garis singgung
     B.    5 h 1                                                       ( 1 5)(x 5) (2 3)(y 3) 61
                                                                                    6(x 5) 5(y 3) 61
     C. h      5 atau h 1
                                                                                    6x 30 5y 15 61
     D. h      1 atau h 5                                                                       6x 5y 16
     E. h      1 atau h 5
                                                                                                                       Kunci: A


 68                                           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
2.     Persamaan garis singgung lingkaran
       dengan gradien tertentu dengan titik pusat                          Jadi, persamaan garis singgung adalah
       O(0, 0)                                                             4x y 4 17     0 atau 4x y 4 17      0.
    Garis y    mx    c dengan gradien m yang                                                                                   Kunci: B
menyinggung lingkaran x2     y2   r2. Persamaan
garis singgungnya adalah sebagai berikut
                                                                      3.    Persamaan garis singgung lingkaran
                                                                            gradien tertentu dengan titik pusat
                      y        mx        r 1 m2                             P(a, b).
                                                                         Persamaan garis singgung bergradien m yang
                                                                      menyingung lingkaran (x a)2 (y b)2 r2, adalah

Contoh
                                                                                    y       b       m(x    a)      r 1 m2
      Persamaan garis singgung pada lingkaran
      x2 y2 16 yang tegak lurus terhadap garis
      2x 8y 5 0 adalah . . . .
                                                                      Contoh
      A.   4x    y        4 17           0
                                                                           Persamaan garis singgung pada lingkaran
      B.   4x    y        4 17           0
                                                                           (x 2)2   (y  3)2   4 yang sejajar dengan
      C.   x    4y        4 17           0                                 garis 6x 2y 7 0 adalah . . . .
      D. x      4y        4 17           0                                 A.   y   2x          3    3 10
      E.   x    4y        4 17           0                                 B.   y   2x          3    3 10

      Jawab:                                                               C.   y   3x          3    2 10
         Garis f : 2x           8y        5      0                         D. y     3x          3    2 10
                                         8y      2x   5
                                                                           E.   y   3x          3    2 10
                                                 1x        5
                                             y
                                                 4         8               Jawab:
                            1                                                 Garis g: 6x             2y    7      0
           Gradien f : mf
                            4                                                                              2y      6x      7
           Garis singgung lingkaran adalah garis                                                                               1
                                                                                                               y   3x      3
           dengan gradien mg. Garis g tegak lurus                                                                              2
           dengan garis f, maka                                                 Gradien mg            3
           mg · mf    1                                                         Garis singgung lingkaran h dengan
           mg · 1    1                                                          gradien mh. Karena garis g sejajar, maka
                 4                                                                  mh   mg
                mg   4                                                              mh 3
           Persamaan lingkaran:                                                 Persamaan garis singgung
           x2   y2        16         r           16   4                                                                2
                                                                                y       3   3(x       2)       2 1 (3)
           Persamaan garis singgung                                             y       3   3(x       2)       2 10
                                                                                        y   3x       6     3  2 10
           y         4x     4 1          ( 4)2
                                                                                        y   3x       3     2 10
                 4x        4 17
                                                                           Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
      Sehingga diperoleh                                                   y 3x 3 2 10 atau y 3x 3 2 10 .
           y     4x       4 17 atau y                 4x       4 17                                                            Kunci: C




     Bab 10 Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran                                                                                    69
                                                                           Contoh
      C.      Persamaan Parabola (Pengayaan)
                                                                                Koordinat titik fokus dari persamaan parabola
                               y                                                y2 4y 8x 28 0 adalah . . . .
                                                  l1                            A.   ( 4, 2)                                  D. ( 2, 2)
                                                                                B.   (2, 2)                                   E.       ( 2, 2)
           B( p, y)                     A(x, y)
                               y                                                C.   ( 2, 4)

                                                                  x
                                                                                Jawab:
                 p         O        x      F(p, 0)
                                                                                y2    4y           8x        28        0
                                                                                                    2
                                                                                                   y         4y        8x     28
                                                                                                        2
                                                                                          (y       2)            4     8x     28
                                             l2                                                                  2
                                                                                                   (y       2)         8x     32
                                                                                                                 2
                                                                                                   (y       2)         8(x        4)
                 x     p
                                                                                     Koordinat puncak ( 4, 2)
1.    Persamaan parabola dengan titik puncak (0, 0),
                                                                                     4p        8        p        2
      fokus F(p, 0), dan garis direktriks x p adalah
                                                                                     Fokus ( 4               p, 2)           ( 4 2, 2)
                                   y2     4px                                                                                ( 2, 2)
2.    Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik                                                                                       Kunci: E
      fokus F( p, 0), dan garis direktriks x p adalah

                                   y2      4px

3.    Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik
      fokus F(0, p), dan garis direktriks y p adalah
                                                                                D.        Persamaan Garis Singgung
                                                                                          Parabola
                                   x2     4py

4.    Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik                       1.    Persamaan garis singgung parabola yang
      fokus F(0, p), dan garis direktriks y p adalah                             berpuncak di A(h, k) pada parabola
                                                                                 (y k)2 4p(x h) dengan gradien m adalah
                                   x2      4py
                                                                                                                                       p
5.    Persamaan parabola dengan puncak (h, k), garis                                               (y       k)       m(x     h)
                                                                                                                                       m
      direktriks x h p, dan titik fokus F(h p, k)
      adalah
                                                                           2.    Persamaan garis singgung parabola yang
                      (y       k)2        4p(x         h)                        berpuncak di A(h, k) pada parabola
                                                                                 (y k)2  4p(x h) dengan gradien m adalah
6.    Persamaan parabola dengan puncak (h, k), garis
      direktriks x h p, dan titik fokus F(h p, k)                                                                                      p
      adalah                                                                                       (y       k)       m(x     h)
                                                                                                                                       m
                      (y       k)2         4p(x        h)
                                                                           3.    Persamaan garis singgung parabola yang
7.    Persamaan parabola dengan puncak (h, k), garis                             berpuncak di A(h, k) pada parabola
      direktriks y k p, dan titik fokus F(h, k p)                                (x h)2 4p(y k) dengan gradien m adalah
      adalah
                                                                                                   (y       k)       m(x     h)    m2p
                                    2
                      (x       h)         4p(y         k)

8.    Persamaan parabola dengan puncak (h, k), garis                       4.    Persamaan garis singgung parabola yang
      direktriks y k p, dan titik fokus F(h, k p)                                berpuncak di A(h, k) pada parabola
      adalah                                                                     (x h)2  4p(y k) dengan gradien m adalah

                      (x       h)2         4p(y        k)                                          (y       k)       m(x     h)    m2p


 70                                                    Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh                                                                       di mana:
                                                                             • a2 b2              c2 ; a   b
      Persamaan garis singgung pada parabola
                                                                                                                   c
      x2 4x 2y 10 0 yang tegak lurus pada                                    •   Eksentrisitas: e
                                                                                                                   a
      garis 2x 4y 7 0 adalah . . . .                                                                               a
      A. 2x y 5 0             D. x 2y 5 0                                    •   Direktriks: x
                                                                                                                   e
      B. x 2y 5 0             E. 2x y 5 0
                                                                       3.    Persamaan elips berpusat di (h, k) dengan sumbu
      C.    2x y 5 0
                                                                             utama garis y k dan sumbu sekawan garis x h
      Jawab:
                                                                             adalah
      x2 4x 2y 10 0                                                                                    2                    2
                x2 4x    2y 10                                                           x         h           y        k
                                                                                                                                    1
             (x 2)2 4    2y 10                                                                a2                   b2
                      2
                (x 2)    2y 6                                                di mana:
                (x 2)2   2(y 3)                                              • Puncak: (h a, k) dan (h a, k)
          Puncak (2, 3)    4p   2                                            • Titik ujung sumbu minor: (h, k                               b) dan
                                                    1                            (h, k b)
                                            p
                                                    2                        • Fokus: (h c, k) dan (h c, k)
           2x     4y    7     0
                                                                       4.    Persamaan elips berpusat di (h, k) dengan sumbu
                       4y         2x        7
                                                                             utama garis x h dan sumbu sekawan adalah
                                 1     7           1                         garis y k
                       y1          x       m1
                                 2     4            2                                                  2                    2
            m1· m2           1 (karena tegak lurus)                                      x         h           y        k
                                                                                                                                    1
            1                                                                                 b2                   a2
              · m2   1
            2
                                                                             di mana:
                m2 2
                                                                             • Puncak: (h, k a) dan (h, k a)
      Persamaan garis singgung:                                              • Titik ujung sumbu minor: (h                               b, k) dan
           y k m2(x h) m22p                                                      (h b, k)
                                                        1                    • Fokus: (h, k c) dan (h, k c)
           y      3    2(x     2)          (2)2 ·
                                                        2
                                               1
           y      3    2(x     2)          4 ·                         Contoh
                                               2
                                               1
           y      3    2(x     2)          4 ·                              Koordinat fokus pada elips
                                               2
           y      3    2x     4        2                                    4x2 9y 48x 72y 144                              0 adalah . . . .
           y      3    2x     2                                             A.   6       2 5, 4                        D.       6       2 5, 4
      2x   y      5    0                                                         6       2 5, 4                                 6       2 5, 4
                                                                            B.                                         E.
                                                            Kunci: A
                                                                            C.   6       2 5, 4

                                                                            Jawab:
                                                                                4x2 48x 9y 72y    144
      E.        Persamaan Elips (Pengayaan)                                 4(x2
                                                                                   12x 36) 9(y2 8y 16)
                                                                                                  144 144                                   144
                                                                                 4(x 6)2 9(y 4)2 144
1.     Bentuk umum persamaan elips
                                                                                              2                2
       Ax2 By2 Cx Dy      E 0 dengan                                                 x    6            y   4
                                                                                                     1
       A 0, B 0, dan A B                                                            36        16
                                                                            Sehingga diperoleh,
2.     Persamaan elips yang berpusat di O(0, 0) dan
                                                                            a2 36, b2 16, h 6, k        4
       fokus di F1( c, 0) dan F2(c, 0) adalah
                                                                            c2 36 16 20          c 2 5
                              x2           y2                               Fokus: (6   2 5 , 4) dan (6   2 5 , 4)
                                                    1                                                      Kunci: C
                              a2           b2


     Bab 10 Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran                                                                                               71
      F.          Persamaan Garis Singgung Elips                                                           •    Persamaan garis singgung elips
                                                                                                                y   2     m2(x         1)          (25)(4)         9
1.    Persamaan garis singgung elips                                                                            y   2      2( x        1)          109
                          2                          2
          x           h                y         k
                                                              1 dengan gradien m                                y   2      2x        2           109
                  2                          2
          a            b
      adalah sebagai berikut.                                                                                       y1     2x        4           109

                                                                                                                    y2     2x        4           109
                  y           k        m x               h                a2 m2              b2
                                                                                                                                                                       Kunci: D

2.    Persamaan garis singgung elips
                          2                          2
          x           h                y         k
                                                              1 dengan gradien m
               b2                          a2
         adalah sebagai berikut.                                                                           G.       Persamaan Hiperbola (Pengayaan)

                  y           k        m x               h                b2 m2              a2
                                                                                                      1.   Pada hiperbola, selisih jarak terhadap kedua
                                                                                                           fokus sama dengan 2a.
                                                                                                      2.   Bentuk umum persamaan hiperbola adalah
Contoh                                                                                                               Ax2        By2         Cx       Dy        E       0
     Persamaan garis singgung pada elips
     9x2 25y2 18x 100y 116 0                                                                               dengan A         0, B         0, dan A            B.
     yang sejajar pada garis 6x      3y                                                  1        0   3.   Persamaan hiperbola berpusat di O(0, 0), fokus
     adalah . . . .                                                                                        di F1(0, c) dan F2(0, c) adalah
     A.       x           2           59 atau x                   2             59
     B.       x           4           59 atau x                   4             59                                                x2          y2
                                                                                                                                                         1
     C.       x           4           109 atau x                      4         109                                               a2          b2

     D.       2x          2            109 atau 2 x                       2          109
                                                                                                           di mana: c2          a2       b2
     E.       2x          4            109 atau 2 x                       4          109
                                                                                                      4.   Persamaan hiperbola yang berpusat di A(h, k),
     Jawab:
                                                                                                           sumbu utama sejajar sumbu-x adalah
          9x2 25y2 18x 100y                                           116            0
     9(x 1)2 9 25(y 2)2 100                                           116            0                               (x         h)2           (y         k)2
                                                                                                                                                                   1
             9(x 1)2 25(y 2)2                                         225            0                                     a2                       b2
                              9( x         1)2     25( y                  2)2                              di mana:
                                                                                     1
                                                 225                                                       • c2 a2 b2
                                      (x     1)2             (y           2)2                              • Sumbu nyata y k dan sumbu sekawan
                                                                                     1
                                           25                         9                                        x h
     Sehinga diperoleh                                                                                     • Koordinat puncak: (h a, k) dan (h a, k)
                                                                                                           • Koordinat titik ujung: (h, k b) dan (h, k b)
     •        Pusat: P(1, 2)
                                                                                                           • Fokus: (h c, k) dan (h c, k)
     •        Sejajar pada garis 6x                          3y           1     0
                                                                                                                                 c
              6x 3y 1 0                                                                                    • Eksentrisitas: e
                                                                                                                                 a
                      3y 6x 1                                                                                                        a
                                                                                                           • Direktriks: x     h
                                                 1                                                                                   e
                                  y    2x                    m1           m2         2
                                                 3

 72                                                                   Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
       •   Persamaan asimtot:
                                                                       D. 4x               3y           10       0 dan 4x                 3y       22   0
                          b
               (y  k)       (x                          h)             E. 3x               4y           22       0 dan 3x                 4y       10   0
                          a
                                                       2b2             Jawab:
       •   Panjang latus rectum
                                                        a              Puncak: (2, 4) dan ( 6, 4)
5.     Persamaan hiperbola berpusat di A(h , k) dengan                 Fokus: (3, 4)
       sumbu utama sejajar sumbu-y adalah                              h a      6
                                                                       h a 2
                (y            k)2           (x        h)2                     2h           4
                                                              1
                      a2                         b2                            h           2
                                                                                h          a         6                       h        c        3
       di mana:
                                                                                 2         a         6                       2        c        3
       •   c2    a2       b2
                                                                                           a        4                                 c        5
       •   Sumbu nyata x                         h dan sumbu sekawan
                                                                               k           4
           y k
                                                                                   2
       •   Koordinat puncak: (h, k a) dan (h, k a)                             b           c2 a2
       •   Koordinat titik ujung: (h b, k ) dan (h b,)                                     52 ( 4)2
       •   Fokus: (h , k            c) dan (h, k             c)                            25 16
                                                                                           9
                                             c
       •   Eksentrisitas: e                                                                    3
                                             a                          b              9
                                                                  a    Persamaan asimtot:
       •   Persamaan direktriks: y                           k
                                                                  e                        b
       •   Persamaan asimtot:                                          y      k              (x         h)
                                                                                           a
                             a
               (y  k)          (x                            h)                            3
                             b                                                               (x          2)
                                                                       y      k
                          2             2                                                  4
                      x             y
6.     Hiperbola                                 1 mempunyai asimtot                                                 3
                          2
                      a             b2                                 (i)                          y        4
                                                                                                                     4
                                                                                                                        (x       2)
                b
       y          x                                                                                                   3          3
                a                                                                                   y        4           x
                                                                                                                      4          2
                      y2            x2                                               3                  11
7.     Hiperbola                                 1 mempunyai asimtot              y    x                         0
                          2          2                                               4                   2
                      a             b
                a                                                                  4y 3x                22       0
       y          x
                b                                                                                                3
                                                                       (ii)                     y       4          (x        2)
                                                                                                                 4
                                                                                                                 3           3
Contoh                                                                                          y       4          x
                                                                                                                 4           2
      Persamaan asimtot hiperbola dengan puncak                                   3                     5
                                                                               y    x                            0 . . . kedua ruas dikali 4
      (2, 4) dan ( 6, 4) serta salah satu titik                                   4                     2
      fokusnya adalah (3, 4) adalah . . . .                                    4y 3x                    10       0
      A. 4x 3y 10 0 dan 3x 4y 22 0                                     Jadi, persamaan asimtotnya adalah
      B. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0                                     3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0
      C. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0                                                                                                             Kunci: B




     Bab 10 Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran                                                                                                          73
          S oal Pemantapan Ujian Nasional

      Kompas
     •   Soal nomor 1 – 4 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang bentuk umum persamaan
         lingkaran.
     •   Soal nomor 5 – 12 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang syarat garis singgung
         dan jarak pada lingkaran.
     •   Soal nomor 13 – 22 merupakan kategori soal yang sulit, pelajari semua materi lingkaran.
     •   Soal nomor 23 – 41 merupakan latihan untuk materi pengayaan.




1.    Jika titik (a, 1) terletak   pada lingkaran      6.   Suatu lingkaran menyinggung sumbu-x di titik
      x2   y2     4x  6y    27     0, maka nilai a          (1, 0). Jari-jari lingkaran sama dengan 2,
      adalah . . . .                                        sedangkan pusat lingkaran berada di kuadran
      A.   8 atau 4        D. 1    atau 6                   I. Jika lingkaran tersebut memotong
      B.   6 atau 5        E. 4    atau 5                   sumbu-y di titik P dan Q, maka panjang PQ
      C.   4 atau 8                                         sama dengan . . . .
                                                            A. 2 2                 D. 3 3
2.    Jari-jari dan titik       pusat lingkaran             B. 2 3                 E. 4 2
      x2 y2 4x 10y 13           0 adalah . . . .            C. 3 2
      A. 2 dan (2, 5)   D.      4 dan ( 2, 5)
      B. 2 dan ( 2, 5)  E.      4 dan (2, 5)           7.   Garis singgung y x3       2x       1 di titik dengan
      C. 2 dan ( 2, 5)                                      absis 1 adalah . . . .
                                                                                           y     1x     1
                                                            A.   y   2x    2         D.
3.    Persamaan lingkaran dengan ujung diameter                                                  2      2
      A(2, 4) dan B( 4, 2) adalah . . . .                   B.   y   x     1         E.    y     3x    3
      A. (x 3)2 (y 1)2 10                                   C.   y       x 1
      B. (x 1)2 (y 3)2 10                              8.   Suatu garis menyinggung kurva
      C. (x 1)2 (y 3)2 10                                   y x3 3x2 2x 5 di titik T(1, 3).
      D. (x 1)2 (y 3)2 10                                   Persamaan garis singgung tersebut adalah . . . .
      E. (x 1)2 (y 3)2 10                                   A. y 5x 7             D. y 7x 5
                                                            B. y 5x 10            E. y 7x 10
4.    Jarak antara titik pusat lingkaran
                                                            C. y 7x 3
      x2 4x y2 4 0
      dari sumbu-y adalah . . . .                      9.   Persamaan garis singgung melalui titik (5, 1)
                                   1                        pada lingkaran x2   y2   4x   6y     12     0
      A. 3                   D. 1                           adalah . . . .
                                   2
            1                                               A. 3x 4y 19 0
      B. 2                   E. 1
            2                                               B. 3x 4y 19 0
      C. 2                                                  C. 4x 3y 19 0
                                                            D. x 7y 26 0
5.    Garis x y c akan menyinggung lingkaran
                                                            E. x 7y 26 0
      x2   y2   4 di titik A dalam kuadran I jika
      c . . . .                                        10. Diketahui kurva dengan persamaan
      A. 2 2                D. 8                           y   x3   5x2   7. Persamaan garis singgung
      B. 4 2                E. 8 2                         kurva yang berabsis 1 dan tegak lurus
      C. 6                                                 y 2x 3 adalah . . . .

 74                                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
    A.   x    2y 5 0                D. x y 6 0                  A.   3x   4y       2 0
    B.   x    2y 7 0                E. 2x y 5 0                 B.   3x   4y       32 0
    C.   x    y 7 0                                             C.   3x   4y       32 0
                                                                D.   4x   3y       32 0
11. Persamaan garis singgung pada kurva                         E.   4x   3y       32 0
    y    2x2 6x    7 yang tegak lurus garis
    x 2y 13 0 adalah . . . .                                17. Persamaan          garis singgung lingkaran
                                                                (x 4)2 (y          3)2 40 yang tegak lurus garis
    A.   2x       y    15       0
                                                                x 3y 5            0, adalah . . . .
    B.   2x       y    15       0
                                                                A. y 3x           1 dan y 3x 30
    C.   2x       y    15       0                               B. y 3x           2 dan y 3x 32
    D. 4x         2y       29   0                               C. y 3x           2 dan y 3x 32
    E.   4x       2y       29   0                               D. y 3x           5 dan y 3x 35
                                                                E. y 3x           5 dan y 3x 35
12. Salah satu persamaan garis singgung dari titik
    (0, 4) pada lingkaran x2 y2 4 adalah . . . .            18. Persamaan         garis singgung pada kurva
                                                                y ax3 2x2         di titik (1, a 2) dan tegak lurus
    A.   y    x        4            D.    y       x 3   4
                                                                garis x 2y          4 adalah . . . .
    B.   y    2x       4            E.    y       x 2   4       A. y    2x         2         D. y 2x 2
    C.   y        x    4                                        B. y    2x         1         E. y 2x 2
                                                                C. y 2x           1
13. Kedua garis lurus yang ditarik dari titik (0, 0)
    dan menyinggung lingkaran L dengan                      19. P adalah titik potong garis x 4y 4 0 dan
    persamaan x 2     y2   4x     10y      20     0,            2x y 10. Persamaan lingkaran yang berpusat
    mempunyai gradien . . . .                                   di P dan menyinggung garis 3x      4y    0
                                                                adalah . . . .
         10 12 5      10 12 5                                   A. x2 y2 4x 2y 2 0
    A.           atau
            5            5
                                                                B. x2 y2 4x 2y 2 0
    B.   8 6 5 atau 8 6 5                                       C. x2 y2 4x 2y 4 0
    C.   10       6 5 atau 10            6 5                    D. x2 y2 8x 4y 4 0
         8 6 5      8 6 5                                       E. x2 y2 8x 4y 2 0
    D.         atau
           5          5
                                                            20. Suatu lingkaran berpusat pada titik potong garis
         10 6 5      10 6 5                                     x    y   1    0 dan garis x     y   3   0 serta
    E.          atau
            5           5                                       menyinggung garis 3x 4y 35 0. Persamaan
                                                                lingkaran tersebut adalah . . . .
14. Lingkaran yang menyinggung garis x y 5 di
    titik (4, 1) dan melalui titik (8, 2) mempunyai             A.   x2   y2      4x    2y   20   0
                                                                      2       2
    jari-jari . . . .                                           B.   x    y       2x    y    20   0
                                                                      2    2
    A.   1, 4 3                     D.    1,7 2                 C.   x    y       4x    2y   20   0
                                                                      2       2
                                                                D. x      y       2x    y    20   0
    B.   1,6 3                      E.    2,1 2
                                                                      2    2
                                                                E.   x    y       4x    2y   20   0
    C.   1,7 3
                                                            21. Salah satu persamaan garis singgung kurva
15. Garis singgung lingkaran x2 y2 25 di titik                  y x3 6x2 18x 3 yang tegak lurus dengan
    ( 3, 4) menyinggung lingkaran dengan pusat                  garis 9y x 2 0 adalah . . . .
    (10, 5) dan jari-jari r. Nilai r adalah . . . .
                                                                A. y 9x 7 0         D. y 9x 3 0
    A.   3                          D. 9                        B. y 9x 7 0         E. y 9x 3 0
    B.   5                          E.    11                    C. y 9x 7 0
    C.   7
                                                            22. Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik
                                                                potong garis x 3y 3 0 dan 2x y 4 0
16. Diketahui sebuah lingkaran melalui titik O(0, 0),
                                                                serta menyinggung garis 3x     4y    8     0
    A(0, 8), dan B(6, 0). Persamaan garis singgung
                                                                adalah . . . .
    pada lingkaran tersebut di titik A adalah . . . .

 Bab 10 Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran                                                                 75
      A.   x2    y2   6x   4y    12 0                        C. 3x      4y     2        0
      B.   x2    y2   6x   4y    4 0                         D. 3x      4y     2        0
      C.   x2    y2   6x   4y    5 0                         E. 3x      4y     5        0
      D.   x2    y2   6x   4y    23 0
                                                         29. Diketahui parabola dengan koordinat titik
      E.   x2    y2   6x   4y    25 0
                                                             puncak (2, 3) dan berfokus pada titik ( 1, 3).
23. Garis singgung pada parabola y x2 4 yang                 Persamaan garis singgung pada parabola
    tegak lurus pada garis y   x   3 memotong                tersebut dengan gradien 3 adalah . . . .
    sumbu-y di titik . . . .                                 A. y     3x 4         D. y 3x 4
                 13                       19                 B. y     4x 3         E. y 3x 4
      A.    0,    4             D.   0,    4                 C. y 4x 3
            0,   15                  0,   21
      B.          4             E.        4              30. Koordinat titik fokus elips
                 17
      C.    0,    4                                          9x2 25y2 36x 50y 164                           0 adalah . . . .
                                                             A. (6, 1) dan ( 2, 1)
24. Persamaan         parabola horizontal dengan
                                                             B. ( 6, 1) dan (2, 1)
    titik puncak      (1, 3) dan melalui titik (3, 7)
                                                             C. (1, 6) dan (1, 2)
    adalah . . . .
                                                             D. (1, 6) dan (1, 2)
    A. (y 1)2         8(x 3)
                                                             E. (6, 1) dan ( 1, 1)
    B. (y 1)2         12(x 3)
    C. (y 3)2         6(x 1)                             31. Panjang sumbu minor suatu elips horizontal
    D. (y 3)2         8(x 1)                                 yang pusatnya M(3, 1) sama dengan 6. Elips
    E. (y 3)2         12(x 1)                                tersebut melalui titik P(8, 3). Persamaan elips
                                                             adalah . . . .
25. Persamaan parabola dengan fokus (2, 1) dan
                                                                  (x     3)2       (y           1)2
    garis direktriks x 6 adalah . . . .                      A.                                       1
                                                                       40                   9
    A. y2 2y 8x 31 0
                                                                  (x     3)2       (y           1)2
    B. y2 2y 8x 33 0                                         B.                                       1
                                                                       42                   9
    C. y2 2y 8x 35 0
    D. x2 8x 8y 18 0                                              (x     3)2       (y           1)2
                                                             C.                                       1
                                                                       45                   9
    E. x2 8x 8y 24 0
                                                                  (x   3)2         (y   1)2
26. Diketahui suatu parabola dengan titik puncak             D.                                       1
                                                                     42               18
    ( 1, 3) dan titik fokus (3, 3). Persamaan garis               (x   3)2         ( y 1)2
    singgung parabola tersebut yang bergradien 2             E.                                       1
                                                                     45               36
    adalah . . . .
    A. y 2x 3               D. y 2x 8                    32. Koordinat fokus suatu hiperbola adalah
    B. y 2x 4               E. y 2x 12                       (3, 4     5 ) dan (3, 4   5 ), sedangkan salah
    C. y 2x 7                                                satu titik puncaknya (3, 6). Hiperbola tersebut
                                                             mempunyai asimtot dengan persamaan . . . .
27. Diketahui parabola dengan puncak (1, 3) dan              A. y       2x 1 dan y 2x 5
    fokus (1, 2). Persamaan garis singgung parabola          B. y       2x 1 dan y      2x 4
    tersebut yang sejajar dengan garis 2x y 3 0              C. y x 3 dan y x 1
    adalah . . . .
                                                             D. y 2x 2 dan y           2x 10
    A. 2y 4x 1              D. 2y 4x 1
                                                             E. y 2x 3 dan y           2x 8
    B. 2y 2x 9              E. 2y 4x 7
    C. 2y 4x 11                                          33. Diketahui hiperbola dengan puncak (0, 6) dan
                                                             (0, 0) serta salah satu fokus (0, 8). Persamaan
28. Salah satu persamaan asimtot hiperbola dengan            asimtot hiperbola adalah . . . .
    persamaan 9x2 16y2 36x 32y 124 0                                    4x                             4x
    adalah . . . .                                           A.   y          3 dan y                          3
                                                                        3                              3
    A. 4y 3x 2 0                                                  y      4 x 3 dan y                  4x     3
                                                             B.
    B. 4y 3x 1 0                                                         3                            3


 76                                  Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
            y        3x     3 dan y            3x    3               A.   4x      3y        10 0 dan 4x 3y 2           2
       C.
                     4                         4                     B.   3x      4y        2 0 dan 3x 4y 10           0
            y        3x     3 dan y            3x    3
       D.                                                            C.   3x      4y        2 0 dan 3x 4y 10           0
                     4                         4
                     16 x                       16 x                 D.   3x      4y        10 0 dan 3x 4y 2           0
       E.   y               3 dan y                    3
                      9                          9                   E.   3x      4y        10 0 dan 3x 4y 2           0
34. Koordinat pusat hiperbola
                                                                                                            x2        y2
    3x2 4y2 12x 32y 10 0 adalah . . . .                         38. Diketahui salah satu asimtot dari                      1
                                                                                                            4         b2
    A. ( 2, 4)            D. (2, 4)                                  sejajar dengan garis 6x   3y            5       0. Nilai
    B. ( 2, 4)            E. (4, 2)                                  b2 . . . .
    C. (2, 4)                                                             1
                                                                     A.                    D. 16
35. Salah satu asimtot hiperbola
                                                                          4
                                                                     B. 1                  E. 25
       (x  3)2  ( y 1)2                                              C. 4
                          1
         16        25
                                                                39. Persamaan garis singgung pada                parabola
       memotong sumbu-y di titik . . . .
                                                                    y2 8x yang sejajar dengan garis 2x           y 1 0
       A.   0, 2 1                    D.   0, 4 1                   adalah . . . .
                 4                              4
                                                                    A. y 2x 1             D. 2y x                1
       B.   0, 2 3                    E.   0, 4 3                   B. y 2x 1             E. y 2x                2
                 4                              4
                                                                    C. 2y x 1
       C.   0, 4 1
                 2
                                                                40. Salah satu persamaan asimtot hiperbola
36. Persamaan hiperbola yang berfokus di titik                       (x     2)2        (y    1)2
    ( 8, 1) dan (18, 1) serta jarak kedua puncak                                                   1 adalah . . . .
                                                                          16                 9
    hiperbola 24 satuan adalah . . . .
                                                                     A.    4x     3y        11 0
            (x     1)2      (y       5)2                             B.    4x     3y        5 0
       A.                                  1
                 12              5                                   C.    3x     4y        6 0
            (x     5)2      (y     1)2                               D.    3x     4y        10 0
       B.                                  1
                 144             25                                  E.    3x     4y        6 0
            (x     1)2      (y       5)2
       C.                                  1                    41. Diketahui persamaan hiperbola
                 12              5
                                                                    9x2 4y2 54x 8y 41 0
            (y     1)2      (x     5)2                              persamaan asimtot hiperbola                  tersebut
       D.                                  1
                 25              16                                 adalah . . . .
            (y     1)2      (x     5)2                              A. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y                      7     0
       E.                                  1
                 144             25                                 B. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y                      7     0
37. Persamaan garis asimtot hiperbola dengan                        C. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y                      7     0
    koordinat titik puncak ( 2, 1) dan (6, 1), serta                D. 2x 3y 11 0 dan 2x 3y                      7     0
    salah satu fokus (7, 1) adalah . . . .                          E. 2x 3y 11 0 dan 2x 3y                      1     0




                                                           S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.     Garis x    2y     5 memotong lingkaran                   2.   Suatu garis lurus mempunyai gradien 3
       x2
           y 2
                4x 8y 10 0 di titik A dan B.                         dan memotong parabola y         2x2  x  6 di
       Panjang ruas garis AB adalah . . . .                          titik (2, 4). Titik potong lainnya mempunyai
                                                                     koordinat . . . .
       A.   4 2                       D. 5                           A. (4, 2)               D. (3, 2)
       B.   2 5                       E. 4                           B. (3, 1)               E. ( 4, 22)
       C.       10                               (UMPTN 2001)        C. (7, 1)                       (UMPTN 2001)


     Bab 10 Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran                                                                         77
3.    Koordinat titik pada parabola y x2 4x 1               A.   3y   4x   20   0
      yang garisnya sejajar sumbu-x adalah . . . .          B.   3y   4x   50   0
      A. (3, 2)             D. (2, 3)                       C.   4x   3y   10   0
      B. (3, 2)             E. (2, 3)                       D.   4x   3y   50   0
      C. ( 3, 2)                     (UMPTN 2001)           E.   4x   3y   10   0             (SPMB 2005)
4.    Agar parabola y 3px2 2px 1 menyinggung
      sumbu-x, maka p . . . .                          9.   Lingkaran L menyinggung sumbu-x,
      A. 0                D. 1 dan 3                        menyinggung lingkaran x 2          y2    4 dan
      B. 3                E. 0 dan 3                        melalui titik B(4, 6). Persamaan L dapat ditulis
      C.   1                       (SPMB 2002)              sebagai . . . .
                                                            A. (x 4)2 (y 6)2 144
5.    Diketahui    dua   buah    lingkaran     yang         B. (x 3)2 (y 4)2 5
                                             1x 3
      menyinggung sumbu-y dan garis y              .        C. x2 y2 8x 6y 16 0
                                             3
      Jika pusat kedua lingkaran itu terletak pada          D. x2 y2 24x 44 0
      garis y    3 , maka jarak kedua pusatnya sama         E. x2 y2 8x 6y 56 0 (SPMB 2005)
      dengan . . . .
                                                       10. Jika garis y 7x   3 menyinggung parabola
      A. 2 2                 D. 3 2                             2
                                                           y 4x ax b di titik (1, 4), a dan b konstanta,
      B. 2 3                 E. 5
                                                           maka a b . . . .
      C. 4                             (SPMB 2002)
                                                           A.   2              D. 1
6.    Lingkaran x2 y2 2ax 2by c 0 menying-                 B.   1              E. 2
      gung sumbu-y bila c sama dengan . . . .              C. 0                            (SPMB 2005)
      A. ab                D. a2
            2
      B. ab                E. b2                       11. Persamaan lingkaran yang pusatnya berimpit
      C. a2b                        (SPMB 2003)            dengan pusat 9x2 4y2 54x 16y 101 0
                                                           dan melalui titik (0, 6) adalah . . . .
7.    Persamaan lingkaran dengan titik pusat berada
      pada parabola y x2 dan menyinggung sumbu-x           A. x2 y2 6x 4y 60 0
      adalah . . . .                                       B. x2 y2 6x 4y 50 0
      A. x2 y2 2ax 2a2y a2 0                               C. x2 y2 6x 4y 12 0
      B. x2 y2 2ax 2a2y a2 0                               D. x2 y2 6x 4y 12 0
      C. x2 y2 2ax 2a2y a4 0                               E. x2 y2 27x 8y 12 0 (SPMB 2006)
      D. x2 y2 2ax 2a2y a2 0
      E. x2 y2 2ax 2a2y a2 a4 0                        12. Garis y      x      8 memotong parabola
                                       (SPMB 2004)         y ax2 5x 12 di titik P( 2, 6) dan di titik
                                                           Q. Koordinat titik Q adalah . . . .
8.    Garis g tegak lurus pada garis 3x 4y 5 0             A. (5, 13)            D. (2, 10)
      dan berjarak 2 dari pusat lingkaran                  B. (4, 12)            E. (2, 9)
      x2 y2 4x 8y 4 0. Persamaan salah satu                C. (3, 11)                       (SPMB 2006)
      garis g adalah . . . .




        Intersection
        Materi lingkaran berhubungan erat dengan materi sebelumnya, yaitu tentang persamaan garis
        lurus, gradien, dan persamaan kuadrat.




 78                               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab

         11                                                        Suku Banyak



    A.        Persamaan Suku Banyak                                                     Jawab:
                                                                                                 A                B           4x
                                                                                             x       2        x       2       2
    Misalkan dua buah suku banyak f(x)                             dan g(x)                                               x           4
yang dinyatakan dalam bentuk umum                                  sebagai              A( x 2) B( x 2)                       4x
berikut.                                                                                   ( x 2)( x 2)                   x   2
                                                                                                                                      4
    f(x) an xn   an 1 xn 1     . . .                               a2 x2                                                          2
                                                                                        Karena (x 2)(x 2)        x   4 sehingga
         a1 x a0
                                                                                        berlaku sifat persamaan suku banyak
    g(x) bn xn   bn 1 xn 1     . . .                               b2 x2                berikut.
         b1 x b0
                                                                                          A(x 2) B(x 2) 4x
Jika f(x)       g (x), maka an bn, an                               bn                   Ax 2A Bx 2B 4x
                                                               1           1,
. . . , a2     b2, a1 b1, a0 b0                                                          (A B)x 2A 2B 4x
                                                                                             A B 4         . . . (1)
                                                                                            2A 2B 0        . . . (2)
Contoh                                                                                           2A 2B
                                                                                                  A B
   1.    Jika x2 4x 1 (x 1)(x                      3)          2k, maka
         nilai k adalah . . . .                                                         Sehingga dari Persamaan (1) diperoleh
                                                   1                                    A A 4
         A.     2                             D.                                           2A 4
                                                   2
         B.    2                              E.   4                                        A 2      B 2
                   1                                                                    Jadi, 3A         5B       3 2 5                   2
         C.
                   2                                                                                              6 10
         Jawab:                                                                                                    4
         x2 4x          1    (x       1)(x      3) 2k                                                                                         Kunci: C
         x2 4x          1    x2       4x       3 2k
         Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak,
         maka
         3 2k     1
             2k 4      k 2                                                         B.     Pembagian Suku Banyak dengan x k
                                       Kunci: B
                                                                                    Misalkan f(x) a3x3 a2x2 a1x a0 dibagi
   2.    Jika           4x            A                B           maka         dengan (x k) maka diperoleh hasil bagi H(x) dan
                       x2    4    x       2        x       2
                                                                                sisa S. Secara umum dituliskan sebagai berikut.
         3A     5B adalah . . . .
         A.     2                 D. 4                                                           f(x)     (x          h)H(x)          S
         B.     6                 E. 2
                                                                                   Jika f(x) berderajat 3 dan (x k) berderajat 1,
         C.     4
                                                                                maka H(x) berderajat 2 dan sisa S adalah konstanta.

  Bab 11 Suku Banyak                                                                                                                                 79
    Sisa S dapat disajikan dalam bentuk bagan
berikut.                                                                       C.          Pembagian Suku Banyak dengan
                                                                                           ax b
k            a3            a2             a1                      a0
                                                                            Bentuk umum suku banyak
                           b3k            b2k                  b1k             f(x) (x k)H(x) S
             a3       a2     b3k     a1       b2k         a0          b1k                              b
                                                                            Misalkan k                   , maka
                                                                                                       a
             b3            b2             b1                      S                                    b
                                                                               f(x)             x          H ( x)      S
                                                                                                       a
Tanda         artinya “ dikali k”.                                                             1
                                                                               f(x)              (ax        b)H(x)     S
                                                                                               a
                                                                                                              H ( x)
                                                                               f(x)        (ax         b)                  S
Contoh                                                                                                         a

    1.   Suku banyak x2 4x 8 dibagi dengan
         x 1, maka sisanya adalah . . . .                                   Contoh
         A.  8              D. 5
         B.  3              E. 8                                              Hasil bagi H(x) dan sisa S dari pembagian
                                                                              suku banyak f(x) 3x3 x2 x 2 dengan
         C. 1
                                                                              (3x 2) adalah . . . .
         Jawab:                                                               A. H(x) x2 x 1 dan S 4
                                                                              B. H(x) x2 x 1 dan S 1
         1        1                  4                8
                                                                              C. H(x) x2 x 1 dan S 6
                                                                              D. H(x) x2 x 1 dan S 4
                                     1                5
                                                                              E. H(x) x2 x 1 dan S 1
                  1          5                        3
         Jadi, sisanya adalah 3.                                              Jawab:
                                                      Kunci: B                Bentuk 3 x                2       3 x    2
                                                                                                                       3
    2.   Suku banyak f(x) x3 x2 (a 2)x 4
                                                                               2
         dibagi dengan (x 1) memberikan sisa 9.                                            3                1          1            2
                                                                               3
         Maka nilai a adalah . . . .
         A. 1                  D. 4                                                                         2          2            2
         B. 2                  E. 5                                                        3                3          3            4
         C. 3
         Jawab:                                                                                        3 x2      3x    3
                                                                              Jadi, H(x)                                       x2   x   1 dan
                                                                                                                 3
         1        1              1        a       2           4               S       4.
                                                                                                                                    Kunci: D
                                 1            2               a
                  1              2            a           a       4

                                                              9

         Jadi,    S   a 4                                                      D.          Pembagian Suku Banyak dengan
                  9   a + 4
                                                                                           ax 2 bx c
                  a   5                                                         Suku banyak f(x) dibagi dengan ax2 bx c,
                                                      Kunci: E              maka hasil bagi H(x) dan sisa S dapat ditentukan
                                                                            dengan cara pembagian bersusun.




80                                            Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh
                                                                               f( 4)       2( 4)3    5( 4)2 4( 4)    k       0
                             4                3
  Sisa dari f(x)           2x    3x      5x                     2 dibagi                            128 80 16        k       0
  dengan x2 x              2 adalah . . . .                                                                    32    k       0
  A. 4x 6                           D. 2x                       4                                                    k       32
  B. 6x 4                           E. 3x                       4
                                                                               Cara lain:
  C. 2x 3
                                                                                4      2                5        4       k
  Jawab:
                     2x2         x        3
                                                                                                        8       12       32
  x2    x     2      2x4      3x3             5x          2
                     2x4         2x3          4x2                                      2                3        8   k       32

                                     x3       4x2         5x        2                                                    0
                                      3               2
                                     x            x       2x                   Sisa: k       32     0       k   32
                                              3x   2
                                                          3x        2                                                    Kunci: E

                                              3x2         3x        6
                                                          6x        4
  Jadi, S     6x      4.
                                                               Kunci: B        F.      Akar-akar dari Persamaan Suku
                                                                                       Banyak

                                                                                Misalkan f(x) adalah suku banyak. (x              k) faktor
                                                                            dari f(x) jika dan hanya jika f(x) 0.

   E.       Teorema Sisa
                                                                            Contoh
                                                                               Salah satu akar persamaan x3 7x 6 adalah
    Misalkan f(x) adalah suku banyak, maka berlaku
                                                                                1, akar-akar yang lain adalah . . . .
aturan berikut.
                                                                               A. x     2 dan x 3
    f(x) dibagi (x     a), sisa f(a)
                                                                               B. x 2 dan x        3
    f(x) dibagi (x     a), sisa f( a)                                          C. x 1 dan x        2
                                                      b                        D. x 1 dan x 3
    f(x) dibagi (ax        b), sisa f
                                                      a                        E. x 2 dan x 3
    f(x) habis dibagi oleh (x                     a), maka f(a)         0
                                                                               Jawab:
                                                                                1        1              0        7       6

Contoh                                                                                                  1        1       6
                                          3               2                              1              1        6       0
  Suku banyak f(x)     2x    5x    4x    k
  habis dibagi dengan (x  4), maka nilai k
                                                                               Hasil bagi H(x)  x2 x 6
  adalah . . . .
                                                                                                (x 3)(x 2)
  A. 6                    D. 24
                                                                               Sehingga persamaan suku banyak dapat
  B. 12                   E. 32
                                                                               dituliskan menjadi:
  C. 18
                                                                                           (x 3)(x 2)(x 1)
  Jawab:                                                                       Jadi, akar-akar yang lain adalah x 3 dan
  Suku banyak f(x) 2x3 5x2 4x                                    k habis       x    2.
  dibagi (x 4), maka f( 4) 0.                                                                                   Kunci: A


 Bab 11 Suku Banyak                                                                                                                    81
          S oal Pemantapan Ujian Nasional

      Kompas
     •   Soal nomor 1 – 3 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang pembagian suku
         banyak.
     •   Soal nomor 4 – 11 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang kesamaan dan
         pembagian suku banyak.
     •   Soal nomor 12 – 18 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari
         semua materi suku banyak.




1.    Nilai f(3) untuk suku banyak                   6.   Suku banyak f(x) x3 6x2 11x 5 dibagi
      f(x) x4 2x3 3x2 1                                   dengan (x a)3 dan sisanya bx c, maka nilai
      adalah . . . .                                      a, b, dan c adalah . . . .
      A. 55                  D. 43                        A. a 1, b 2, dan c 3
      B. 51                  E. 38                        B. a 3, b       1, dan c 2
      C. 47                                               C. a 2, b       1, dan c 3
                                                          D. a      1, b 3, dan c    2
2.    Sisa pembagian       dari suku banyak               E. a      2, b 3, dan c 1
      f(x)    2x 3   x2    5x   4 dibagi x 2
      adalah . . . .                                 7.   Suku banyak P(x) x3 (a 1)x2 bx 2a,
      A.   4               D.   22                        habis dibagi oleh x   2, dibagi x   2 sisanya
      B.   6               E.   26                         4. Nilai a dan b berturut-turut adalah . . . .
      C.   18                                             A. 7 dan 3            D. 1 dan 3
                                                          B.   2 dan 6          E.    4 dan 8
3.    Hasil bagi pada pembagian suku banyak               C. 3 dan 5
      f(x)  x4     2x3 3x2 4x  7 dengan x 1
                                                     8.   Suku banyak x3 Ax2 Bx    6 habis dibagi
      adalah . . . .
                                                          (x 3x 2). Nilai A B . . . .
      A. x3 3x2 6x 10
                                                          A.  5             D. 17
      B. x3 2x2 x 6
                                                          B.  17            E. 19
      C. x3 3x2 x 10
                                                          C. 5
      D. x3 2x2 x 6
      E. x3 3x2 6x 10                                9.   Persamaan x3 2x2 5x 6 0 mempunyai
                                                          akar-akar x1, x2, dan x3. Nilai x1 x2 x3 dan
4.    Tiga kali nilai suku banyak x3 x2 kx 2
                                                          x 1 x 2 x 3 adalah . . . .
      pada x 1 sama dengan nilai suku banyak pada
                                                          A. 2 dan 6                 D. 5 dan 6
      x 2. Nilai k yang memenuhi adalah . . . .
                                                          B.      6 dan 2            E.  5 dan 6
      A. 4                  D. 16
                                                          C.      2 dan 6
      B. 8                  E. 20
      C. 12                                          10. Akar-akar persamaan x3      4x2      x     4   0
                                                         adalah x1, x2, dan x3. Nilai x12      x2 2   x3 2
5.    Nilai suku banyak x 5    x2      ax b pada
                                                         adalah . . . .
      x    1 adalah 16, dan pada x 2 adalah 26,
                                                         A. 2                  D. 17
      maka nilai a dan b adalah . . . .
                                                         B. 14                 E. 18
      A. a     6 dan b    10
                                                         C. 15
      B. a     4 dan b    10
      C. a 6 dan b       10                          11. Jika p dan q merupakan akar-akar rasional dan
      D. a     4 dan b 10                                persamaan 3x4 8x3 7x 2 0, maka nilai
      E. a 4 dan b 10                                    p q . . . .

 82                              Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
               8                   5                         A.    x 7             D. 11x       13
       A.                     D.                             B.   6x 3             E. 33x       39
               3                   3
                                                             C.    6x 21
               7                   7
       B.                     E.
               3                   3                    15. Suku banyak (x4 7x3 9x2 13x 7) dibagi
                                                            (x 1)(x 3) menghasilkan sisa . . . .
               5
       C.                                                   A. x 1             D. 2x 1
               3
                                                            B. x 3             E. 2x 3
12. Dua akar dari x4 ax3 (a 8)x2 3x b 0                     C. 2x 1
    adalah 1 dan 1. Akar-akar yang lain                 16. Akar real persamaan x5 2x4 4x2 ax b
    adalah . . . .                                          0 adalah x1    1, x2  3, dan x3. Nilai dari
    A. x 5 dan x 2                                          x1 x2 2x3 . . . .
    B. x     2 dan x 5                                      A. 0                 D. 3
    C. x     5 dan x 2                                      B. 1                 E. 4
    D. x     5 dan x –2                                     C. 2
    E. x 10 dan x 1                                     17. Diketahui persamaan x3 ax2 x b 0. Jika
13. Jika f(x) dibagi (x 2) sisanya 3, dibagi (x    3)            1,   2, dan adalah akar-akar persamaan
    sisanya 7, maka jika f(x) dibagi (x 2)(x       3)       tersebut, maka nilai dari 2    2   2
                                                                                                   . . . .
    sisanya adalah . . . .                                  A. 3                  D. 12
    A. 2x 1                 D. x 2                          B. 6                  E. 14
    B. 2x 1                 E.   2x 1                       C. 8
    C. x 2                                              18. Suku banyak x4 ax3 2x2 bx 5 jika dibagi
                                                            oleh (x 2) bersisa 7, sedangkan suku banyak
14. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x 1)
    bersisa 8 dan dibagi (x     3) bersisa 4. Suku          tersebut dibagi (x 3) akan memberikan sisa
    banyak g(x) jika dibagi (x 1) bersisa 9 dan             182. Nilai dari a2 4ab 4b2 . . . .
    jika dibagi (x 3) bersisa 15. Jika h(x) f(x)g(x),       A. 1                   D. 16
    maka sisa pembagian h(x) oleh (x2       2x    3)        B. 4                   E. 25
    adalah . . . .                                          C. 9




                                                   S oal-soal UMPTN dan SPMB
             1 4                                        2.   Diketahui h(x) x2 3x        4 merupakan salah
1.     f(x)    x   2ax2      2a2 habis dibagi (x   4)
             2                                               satu faktor dari g(x) x4    2x3 ax2 14x b.
       untuk a . . . .                                       Jika g(x) dibagi dengan x   1 akan tersisa . . . .
       A. 8                   D.   2                         A. 0                   D.   12
       B. 4                   E.   4                         B. 3                   E.   24
       C. 2                             (SPMB 2005)          C. 9                               (SPMB 2006)




            Intersection
            Agar lebih mudah memahami materi suku banyak ini, kamu harus memahami materi sistem
            persamaan linear dan fungsi kuadrat. Materi tentang suku banyak ini sering juga digunakan
            dalam ilmu Fisika.




     Bab 11 Suku Banyak                                                                                    83
Bab

        12                                                     Fungsi Komposisi
                                                               dan Fungsi Invers


      A.       Fungsi Komposisi                                                     (f    g)( x)    f(g(x))        f(x2         1)
                                                                                                         2
                                                                                                    2(x        1)      1         2x2              2   1
                                                   f
                     g                                                                              2x2       1
                                                                                    (f    g)(2)     2(2)2 1
                               y       g(x)                                                         2 4 1                   8        1     9
           x                                               z       f(y)
                                                                                                                                          Kunci: A
           A                       B                           C

                                    h                                          2.   Jika f(x) 2x dan f(g(x))   10x 8, maka
                                                                                    g(x) adalah . . . .
      g: A       B, maka y          g(x)
                                                                                    A. 5x 4                 D. 20x 16
      f: B       C, maka z          f(y)
                                                                                    B. 5x 4                 E. 20x 16
Fungsi komposisi f dan g dapat dituliskan                                           C. 4 5x
                 h(x)     (f       g)(x)      f(g(x))                               Jawab:
                                                                                    f(x) 2x                           . . . (i)
                     f                             g                                f(g(x))   10x 8                   . . . (ii)
                                                                                    Substitusi (i) ke (ii)
                               y       f(x)                z       g(y)               2g(x)   10x 8
           x
                                                                                       g(x)   5x 4 4                   5x
           A                       B                           C                                                                          Kunci: C
                                    h

      f: A       B, maka y          f(x)
      g: B       C, maka z          g(y)
Fungsi komposisi g dan f dapat dituliskan

                  h(x)    ( g f )( x)         g(f(x))                          B.        Sifat-sifat Fungsi Komposisi


Contoh                                                                    1.    Tidak Komutatif

  1.       Fungsi f : R    R dan g: R     R di mana                                                (f   g)( x)       ( g f )( x)
           f(x)   2x    1 dan g(x)     x2   1. Maka
           ( f g)(2) adalah . . . .                                       2.    Asosiatif
           A. 9                     D. 19
           B. 11                    E. 22                                                   ( f ( g h))( x)          (( f       g) h)( x)
           C. 15
                                                                          3.    Identitas
           Jawab:
           f(x) 2x       1 dan g(x)           x2       1                                     (f    I ))( x)      ( I f )( x)             f ( x)


 84                                             Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh
                                                                                    Jawab:
  Fungsi-fungsi f, g, dan h adalah pemetaan                                                                       2x    3
  dari R ke R dengan f(x) x 4, g(x) 2 x,                                                           f(x)                    , x   1
                                                                                                                   x   1
  dan h(x)     x2  x    1, maka (( f g) h)( x)                                                                   2x     3
                                                                                                       y
  adalah . . . .                                                                                                   x   1
  A. x2 x 5                 D. 7 x x2                                                   y(x 1)                   2x      3
  B. x2 x 7                 E. 5 x x2                                                     yx y                   2x      3
                 2
  C. 5 x x                                                                              (y 2)x                   y     3
  Jawab:                                                                                                          y    3
                                                                                                       x
  Misal:         z(x)          (f   g)( x)                                                                        y    2
                                                                                                  1               x    3
              f (g(x))     f(2 x)                                                            f        (x)                , x     2
                           (2 x)             4                                                                    x    2
                           6 x
         (f     g) h ( x)             ( z h)( x)           z(h(x))
                                         2
                                                                                        I N G A T
                                     z(x  x 1)
                                         2                                                                             ax b
                                     6 (x   x 1)
                                                                                         Jika f(x)                          , maka
                                     6 x2 x 1                                                                          cx d
                                     5 x x2                                                                        dx b
                                                                                                  1
                                               Kunci: E                                  f         (x)
                                                                                                                  cx a


                                                                                         1
                                                                                                                   ( x 2) 3          x 5
                                                                                    f    (x            2)                                , x 0
                                                                                                                   ( x 2) 2           x
                                                                                                                                        Kunci: D

   C.        Fungsi Invers                                                                               x 2         3
                                                                               2.   Diketahui f(x             , x      , dan
                                                                                                                        2)
                                                                                                        2x 3         2
                                                                                      1
                                                                     1
                                                                                    f (x) adalah invers fungsi f(x). Rumus
     Untuk menentukan rumus fungsi invers f                              (x)        f 1(3x 1) adalah . . . .
jika f(x) diketahui adalah sebagai berikut.
                                                                                                  3x       1              1
   Ubah persamaan y                  f(x) dalam bentuk x sebagai                    A.                       , x
                                                                                                 6x       1               6
   fungsi y.
                                                                                                  3x       1              1
   Bentuk x sebagai fungsi y sama dengan f                           1
                                                                     (y).           B.                       , x
                                                                                                 6x       1               6
                 1                                    1
   Ganti f        (y) dengan x jadi f                 (x).                                       6x       1 , x          1
                                                                                    C.
                                                                                                  3x       1             3
                                                                                                 6x      1              1
                                                                                    D.                     , x
Contoh                                                                                           3x      1              3
                                                                                                 3x      1              1
                                         2x 3                                       E.                     , x
  1.    Fungsi f ditentukan oleh f(x)                                                            6x      1              6
                                          x 1
                           1
        dengan x 1. Jika f invers dari f, maka                                      Jawab:
        f 1(x 2) adalah . . . .                                                                         x 2                          3
                                                                                                 f(x         , x
                                                                                                            2)
                x 1, x                                    x 5                                          2x 3                          2
        A.                          5            D.           , x    0
                x 5                                        x                                               x 2
                                                                                             f(x 2)
                                                                                                       2( x 2) 1
                  x                                       x 5
        B.               , x        5            E.           ,x     1                                 x
                x 5                                       x 1                                   f(x)
                                                                                                     2x 1
                  x                                                                                     x
        C.               , x         1
                x 1                                                                          f 1(x)
                                                                                                     2x 1


 Bab 12 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers                                                                                                     85
                                       (3 x 1)                    4.   Fungsi f : R  R dan g : R    R dengan
              1
          f       (3x     1)                                                                   2
                                    2(3 x 1) 1                         f(x) 3x 4 dan g(x)        , x 1, maka
                                                                                            x 1
                                    3x 1                1              ( g f ) 1 (x 2) . . . .
                                         , x
                                    6x 1                6
                                                                            5x     12
                                                                       A.             ,x        2
                                                   Kunci: B                 3x      6
 3.   Fungsi f : R  R dan g: R     R ditentu-                               6x     3                5
      kan dengan                                                       B.            ,x
                                                                            2x     5                2
            5                        3x 4
      f(x)     , x 0 dan ( f g)( x)         ,
             x                         2x                                   3x     6                12
                   1
      x 0, maka g ( 5) . . . .                                         C.            ,x
                                                                            5x    12                 5
      A. 0,2               D. 1,2
      B. 0,5               E. 2,8                                           2x     5             1
                                                                       D.            ,x
      C. 0,8                                                                6x     3             2

      Jawab:                                                                5x     12
                                                                       E.             ,x            2
                   5                                                        3x      6
         f(x)        , x 0
                   x
                                                                       Jawab:
                        3x 4                            3x 4
         ( f g)( x)                        f ( g( x))
                         2x                              2x                 ( g f )( x)      g(f (x))
                5       3x 4                                                                 g(3x        4)
              g ( x)      2x                                                                         2              2
                                10 x           4                                             (3 x     4) 1     3x       5
                   g(x)              , x
                               3x 4            3
                                                                                                5x 2
              1              4x             10                              ( g f ) 1 ( x)
          g (x)                  , x                                                              3x
                          3 x 10             3
                            4( 5)                                                                        5( x 2) 2
                                                20                          ( g f ) 1 (x
          g 1( 5)                                                                              2)          3( x 2)
                          3( 5) 10            15 10
                               20     4                                                                  5 x 12
                                            0,8                                                                 , x         2
                               25     5                                                                  3x 6

                                                   Kunci: C                                                      Kunci: E




86                                          Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                S oal Pemantapan Ujian Nasional

       Kompas
      •        Nomor 1 – 9 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang fungsi komposisi.
      •        Nomor 10 – 18 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari sifat-sifat komposisi.
      •        Nomor 19 – 22 merupakan ketegori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari semua
               materi pada bab ini.




1.     Jika f(x)             x3       1 dan g(x)            2x        5, maka       6.   Diketahui f : R  R, g: R     R dengan
          ( g f )( x) adalah . . . .                                                     g(x) 3x 7 dan ( g f )( x) 15x2 6x                                  19.
       A.      2x3      1                    D. x3          1                            Rumus untuk f(x) adalah . . . .

       B.      2x   3
                        3                    E.    x 3
                                                            5                            A.   5x2   6x     12         D. 5x2                2x     4
                                                                                                2                                     2
       C.      2x3       3                                                               B.   5x    6x     4          E.      5x            2x     3
                                                                                                2
                                                                                         C.   5x    3x     4
2.     Jika f : R    R dengan f(x)    x    4 dan
       g: R      R dengan g(x)    x 2
                                        1, maka                                     7.   Diketahui fungsi f(x)        2x          3 dan g(x)           3x     1.
          (f   g)( x        3)     . . . .                                               Nilai x yang memenuhi ( f         g)( x            4) f(x) 2g(x)

       A.      x2       3x                   D. x2          6x        6                  adalah . . . .

       B.      x2       6                    E.    x2       6x        10                 A.    12                     D.
                                                                                                                                  1
       C.      x2
                        3x        6                                                                                               2
                                                                                         B.    1                      E.      12
3.     Diketahui: f(x)                2x     1                                           C.    2
                            (f    g)( x      1)      2x2         4x       1
                                                                                    8.   Diketahui f(x) x 1 dan ( f                       g)( x)   3x2        4,
       Nilai g( 2)               . . . .
                                                                                         maka g(4) . . . .
       A.       5                            D. 1
                                                                                         A.   15                      D. 52
       B.       4                            E.    5
                                                                                         B.   16                      E.      57
       C.       1
                                                                                         C.   51
4.     Diketahui fungsi f(x)                 6x     3, g(x)       5x       4, dan
                                                                                    9.   Diketahui: g(x)        x    4
          (f   g)( a)        81. Nilai a          . . . .
                                                                                                     (f    g)( x)     x2          3x         2
       A.       2                            D. 2
                                                                                         Nilai f(0) sama dengan . . . .
       B.       1                            E.    3
                                                                                         A.   20                      D. 8
       C.      1
                                                                                         B.   16                      E.      6
5.     Diketahui f : R   dan g : R  R, didefinisikan                                     C.   15
                       3
       dengan f(x) x      4 dan g(x) 2 sin x. Nilai
                                                                                    10. Jika f(x)   10     3x2, g(x)          x       5, dan h(x)            4x,
       ( f g) 1      adalah . . . .                                                      maka (h g f )(2)           . . . .
               2
       A.   4                 D. 6                                                       A.    60                     D. 48
       B.      2                             E.    12                                    B.    48                     E. 12
       C.      3                                                                         C.    12


     Bab 12 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers                                                                                                              87
11. Jika fungsi g: R     R ditentukan oleh                                                        16. Diketahui fungsi f yang dinyatakan dengan
    g(x)  x2   x   1 dan f : R   R sehingga                                                                     x 4
      (f       g)( x)         3x2           3x       7, maka f(x)                   . . . .           f(x      3)       untuk x 5 dan f 1(x) adalah
                                                                                                               2x 5              2
      A.       3x        4                           D. 3x 4                                          invers dari f(x). Rumus fungsi f 1(x) . . . .
      B.       3x        4                           E. 3x 6                                                   1  x                   1             5x        4             1
                                                                                                      A.            , x                        D.               , x
      C.        3x        4                                                                                    1 2x                   2             2x        1             2
                                                                                                               1  x                   1             5x        4                1
                        2     3x                                        1                             B.            , x                        E.               , x
12. Diketahui f ( x)             , x                                      . Jika f 1                           1 2x                   2             2x        1                2
                        4x 1                                            4
      adalah invers fungsi f, maka f                                  1
                                                                       (x 2) . . . .                           1  x                   1
                                                                                                      C.            , x
                                                                                                               2x 1                   2
               4          x                 5
                            , x
      A.       4x         5                 4                                                     17. Jika ( f g)( x) 4x2 8x                        3 dan g(x)            2x       4,
                                                                                                      maka f 1(x) . . . .
                x         4                     5
      B.                    , x                                                                       A.       x       9                       D.   2         x       1
               4x         5                     4
                x         2                     3                                                     B.       2           x                   E.   2         x       7
      C.                    , x                                                                                 2
               4x         3                     4                                                     C.       x       4x        3
                     x                          3
      D.                      , x                                                                 18. Jika ( f         g)( x)        x2       4x dan g(x)         x    1, maka
               4x         3                     4
                                                                                                           1
                                                                                                      f     (x)        . . . .
                     x                          5
      E.                      , x                                                                     A.       2           x                   D. 3           x 2
               4x         5                     4
                                                                                                      B.       3        x 4                    E.   4         3x
                                        2x         3                                                  C.       x2      6x 5
13. Diketahui f ( x)                                 , x             4 , dan g(x)           2x,
                                        x          4                                              19. Fungsi f : R                 R dan g : R R dirumuskan
                  1
      maka ( g f ) ( x)                          . . . .                                              dengan f(x)                2x 1 dan g(x) 3x 5, maka
                x        2              1                      4x       10                            ( g f ) 1 ( a)             2. Nilai a adalah . . . .
      A.                    ,x                       D.                    , x              3
               3x         1             3                       3       x                             A.    10                                 D. 6
               2x         5                 2                  4x       10                            B.    6                                  E. 10
      B.                    , x                      E.                    , x          3
               3x         2                 3                   3       x                             C.           2

                   4x   6                                                                         20. Jika f ( x)  x   1 dan ( f g)( x)                               2 x          1,
      C.                  , x                4
                   x  4                                                                               maka fungsi g adalah g(x) . . . .
                                                2x     3                                              A. 2x 1              D. 4x 3
14. Diketahui: f : x                                     , x               4
                                                 x     4                                              B. 2x 3              E. 5x 4
                                                                                                      C. 4x 5
                              ( g f )( x)            x2        7x       8
                   5                                                                              21. Diberikan fungsi f dan g dengan f(x)                                2x       1
      Nilai dari g                           . . . .
                   8
                                                                                                                          x
      A. 8                                           D. 0                                             dan ( f          g)( x) , x                        1 , maka invers
                                                                                                                        x 1
      B.       6                                     E.        4                                      dari fungsi adalah g 1(x)                     . . . .
      C.       4                                                                                               x
                                                                                                      A.          , x    1
                                                                        1                                    x 1
15. Fungsi invers dari f ( x)                             (1        x3 ) 5        2 adalah                  2x    1
           1                                                                                          B.            , x   0
      f    (x)          . . . .                                                                               2x
                                        1                                          5                         x 1
                                                                                                      C.          , x    0
      A.        1        (x     2)5     3
                                                     D.        1      (x         2) 3                          x
                                                                             5
                                                                                                               2x           1
                                        1
                                                                                                      D.            , x
      B.        1        (x     2)5     3
                                                     E.        (x      2) 3                                 2x 1            2

                                    5                                                                              2x   1
                                                                                                      E.                  , x             0
      C.       1         (x     2) 3                                                                                 2x

 88                                                                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
22. f(x)          x       2 untuk x         0                                       A.   1                      D. 8
                  15                                                                B.   3                      E. 10
       g(x)                untuk x          0
                   x                                                                C.   5
                                            1        1
       Dengan demikian                  f        g        ( x)   1 untuk x
       sama dengan . . . .




                                                                          S oal-soal UMPTN dan SPMB

1.     Jika f(x) 2 x, g(x) x2                            1, dan h(x)     3x,        A.   x    9                 D.   2      x     1
       maka (h g f )(3) . . . .
                                                                                    B.   2      x               E.   2      x     7
       A.     80                            D. 80
                                                                                    C.   x2     4x     3                    (UMPTN 2001)
       B.     6                             E.       81
       C.     6                                            (UMPTN 2001)        3.   Jika f(x)     3x       1
                                                                                                           , maka f 1(81)       . . . .
                                                                                    A. 1                        D. 4
2.     Jika ( f g)( x)         4 x2         8x   3 dan g(x)         2x    4,        B. 2                        E. 5
                      1                                                             C. 3                                    (UMPTN 2001)
       maka f          (x)    . . . .




            Intersection
            Untuk lebih memahami bab ini, kamu harus memahami materi persamaan dan fungsi kuadrat,
            sistem persamaan linear, dan suku banyak.




     Bab 12 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers                                                                                            89
Bab

                 13                                                      Limit Fungsi



         A.              Pengertian Limit di Suatu Titik                               B.             Limit Fungsi Aljabar

         Misalkan fungsi f(x) didefinisikan di sekitar                          1.       Menentukan limit fungsi aljabar berbentuk
x        a, maka lim f ( x)                 L jika dan hanya jika                            f ( x)
                             x   a                                                       lim
                                                                                         x a g ( x)

                             lim f ( x)         lim f ( x)       L                       Jika dengan cara substitusi langsung diperoleh
                             x   a           x    a
                                                                                             f ( x)        0
                                                                                l im                         maka perhitungan limit dilakukan
             lim f ( x)              L biasa disebut limit kiri                 x    a       g ( x)        0
             x       a                                                          dengan cara:
             lim f ( x)              L biasa disebut limit kanan
             x       a                                                          a.       Pemfaktoran

                                                                                                      x2    4x 5                       ( x 5)( x 1)
                                                                                         l im                                    l im
                                                                                         x       1         x 1                   x   1     x 1
Contoh                                                                                                                           l im x 5        1 5
                                                                                                                                 x           1
                    2 x2 6 x                                                                                                         6
     Nilai l im                                       dengan         x      0
             x 0        4x
     adalah . . . .
                                                                                b.       Substitusi langsung
                                                             3
     A.              3                                 D.                                Misalnya: l im x                        5           3           5            2
                                                             2                                                  x   3

                         3                                                      c.       Mengalikan dengan akar sekawan
     B.                                                E.    3
                         2
     C.              0                                                                                x     1            x       1                   x       1
                                                                                         lim
     Jawab:
                                                                                         x 1          x2        1         x      1                   x       1

                     2 x2 6 x                2 x( x 3)                                                                  (x       1) x ( x                        1)
     l im                                l im                                                                                                                             x
         x       0       4x              x 0      4x                                                                               x 1
                                             x     3
                                        l im                                    d.       Aturan L’Hospital
                                        x 0     2
                                        0 3                                                                             f ( x)                       f ( x)
                                           2                                                                    lim                      lim
                                                                                                                x   a   g ( x)           x       a   g ( x)
                                           3
                                           2                                                       x3       1           3 x2                 3
                                                                     Kunci: B            lim           2
                                                                                                                    lim                        2             3
                                                                                         x     2   x        1       x 2 2x                   2




    90                                                      Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh                                                                                                                       f ( x)
                                                                                                                  lim                       0
                                                                                                                 x           g ( x)
                                        3
                                    x         27
      Nilai dari l im                   2              adalah . . . .
                          x     3   x         3x
      A.     9                                           D. 3                 I N G A T
      B.     3                                           E. 9
      C.    0                                                                     lim         ax2            bx            c            ax2          dx       e
                                                                                  x
      Jawab:                                                                                  b         d
                      3                                     2                                  2 a
                 (x       27)                     (x    3)( x   3x      9)
       l im           2              l im
      x      3    x       3x        x        3           x( x   3)
                                                  x2     3x 9
                                        l im                                 Contoh
                                     x        3          x
                                              2
                                     ( 3)        3( 3) 9                                 8 x3           2 x2         x         1
                                                 3                                l im                           2                      adalah . . . .
                                                                                  x      2        7x        5x             4 x3
                                     9        9 9 27
                                                                  9               A.     2                                                  D. 2
                                               3      3
                                                                 Kunci: A                1
                                                                                  B.                                                        E.       4
                                                                                         2
2.     Menentukan limit fungsi aljabar berbentuk                                         1
           f ( x)                                                                 C.
       lim                                                                               2
       x   g ( x)
                                                                                  Jawab:
a.     Membagi dengan pangkat tertinggi                                           Karena f(x) dan g(x) mempunyai pangkat
       Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) sama                           tertinggi 3, maka f(x) dan g(x) masing-masing
                                                                                  dibagi x3.
       dengan pangkat tertinggi variabel x pada g(x),
       maka                                                                                  8 x3       2 x2             x      1
                                                                                  l im                             2
               f ( x)          koefisien variabel x n dari f ( x)
                                                                                  x      2        7x         5x              4 x3
           lim
           x   g ( x)          koefisien variabel x n dari g( x)                                                  2 x2             x        1
                                                                                                         8
                                                                                                                       3            3
                                                                                                                   x               x    x3
                                                                                              l im
       dengan n adalah pangkat tertinggi variabel x.                                          x             2       7x             5x 2
                                                                                                                                         4
       Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih                                         x3 x3                              x3
       besar dari pangkat tertinggi variabel x pada                                           8 0 0 0
       g(x) dan koefisien variabel x yang pangkatnya                                          0 0 0 4
       tertinggi pada f(x) bernilai positif, maka                                             8
                                                                                                             2
                                        f ( x)                                                 4
                                    lim                                                                                                                   Kunci: A
                                    x   g ( x)

       Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih
       besar dari pangkat tertinggi variabel x pada
                                                                             b.    Mengalikan dengan faktor lawan
       g(x) dan koefisien variabel x yang pangkatnya
       tertinggi pada f(x) bernilai negatif, maka                                  Bentuk l im [ f ( x)                        g( x)] dapat dicari dengan
                                                                                                    x
                                            f ( x)                                                              f ( x)         g ( x)
                                lim                                          cara mengalikan                                          sehingga bentuk limit
                                x           g ( x)                                                              f ( x)         g ( x)
                                                                             itu menjadi
       Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih
       kecil dari pangkat tertinggi variabel x pada g(x),                                                         f ( x)           g ( x)                f 2 ( x)   g 2 ( x)
                                                                              l im [ f ( x)         g( x)]                                       l im
       maka                                                                   x                                   f ( x)           g ( x)        x         f ( x)   g ( x)


     Bab 13 Limit Fungsi                                                                                                                                                91
Contoh                                                                                                                                                   l im f ( x)
                                                                                                                             f ( x)                      x       c
                                                                                                                        l im                                                         dengan syarat (T. 7)
                     x   2
                                 4x        5               x   2
                                                                           6x          3 adalah . . . .                 x c  g ( x)                      l im g( x)
      l im                                                                                                                                               x       c
   x                                                                                                                                                                                     n
                                                                                                                                                     n
  A.                                                                           D.           5                           l im ( f ( x))                           l im f ( x)                     (T. 8)
  B.         0                                                                 E.           10                          x       c                                x   c
                                                                                                                                    n    f ( x)                          f ( x) ,
  C.             1                                                                                                      l im                                 n l im                               dengan            syarat
                                                                                                                        x       c                              x c
  Jawab:
                                                                                                                        l im f ( x)                      0 untuk n genap (T. 9)
                                                                                                                        x       c
                         2                                     2
      l im           x           4x 5                      x               6 x 3)
   x

                         lim            x2             4x                  5            x2             6x      3
                                                                                                                   Contoh
                         x

                                       x2              4x              5               x2          6x          3    Jika l im f (x)                               2 dan l im g(x)                            32, maka
                                                                                                                                    x    3                                           x 3
                                       x2              4x              5               x2          6x          3                3
                                                                                                                    nilai l im f ( x) 5 g( x) adalah . . . .
                                                                                                                                    x 3
                                      ( x2         4x                  5) ( x 2                6 x 3)
                     l im                                                                                           A.          64                                                           D. 16
                     x                 x2              4x              5            x2          6x 3                B.          56                                                           E. 8
                                                                   10 x 8                                           C.          36
                     l im
                                           2
                     x                 x           4x 5                            x2          6x 3                 Jawab:
                                                                                   8                                      3
                                                                   10                                               l im f ( x) 5 g ( x)
                                                                                   x                                x       3
                     l im
                     x                             4               5                        6              3                        T .6
                                      1                                            1
                                                   x           x2                           x          x2                                      3
                                                                                                                                         l im f ( x) l im 5 g ( x)
                                               10                  0                                                                     x       3                   x       3
                             1     0           0                   1           0       0                                            T .8
                          10                       10                                                                                                                3
                                                                               5
                         1 1                        2                                                                                        l im f ( x)                     l im 5 g ( x)
                                                                                                                                             x       3                           x       3
                                                                                                   Kunci: D
                                                                                                                                    T .9
                                                                                                                                                                     3
                                                                                                                                             l im f ( x)                     5       l im g ( x)
                                                                                                                                             x       3                               x       3

      C.             Teorema Limit                                                                                                       2   3           5
                                                                                                                                                             32          8           2           16

                                                                                                                                3                                    5
                                                                                                                    Jadi, l im f ( x)                                    g( x)                   16 .
    Berikut ini adalah teorema limit yang sering                                                                                    x     3
digunakan untuk menentukan limit fungsi aljabar.
                                                                                                                                                                                                             Kunci: D
    Misalkan n bilangan asli, k konstanta, f dan g
fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:

       lim k                     k (T.1)
       x     c

       lim c                 c (T.2)
                                                                                                                     D.                 Limit Trigonometri
       x     c

       lim kf ( x)                     k lim f ( x) (T.3)                                                                            sin x                                                                    x
       x     c                                 x       c                                                                l im                                 1                                   l im                1
                                                                                                                        x       0      x                                                         x      0   sin x
       lim [ f ( x)                   g( x)]                   lim f ( x)                      lim g( x) (T.4)
       x     c                                                 x       c                       x       c                             sin ax                                                            ax
                                                                                                                        l im                                  1                                  l im                    1
       l im [ f ( x)                  g( x)]                l im f ( x)                        l im g( x) (T.5)         x       0      ax                                                        x 0 sin ax
       x     c                                                 x       c                       x       c
                                                                                                                                        tan x                                                          x
       l im [ f ( x)               g( x)]                  l im f ( x)                     l im g( x) (T.6)             l im                                 1                                   l im                    1
       x     c                                             x       c                       x       c                    x       0         x                                                      x 0 tan x


 92                                                                                    Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
               tan ax
                                      1
                                                               ax
                                                                      1
                                                                          Contoh
          l im                                      l im
          x 0    ax                                 x 0     tan ax
               sin ax                 a                       ax      a                                              cos 4 x            1
          l im                                      l im                       Nilai dari l im                                  2           adalah . . . .
          x 0    bx                   b             x   0   sin bx    b                              x       0             4x
               tan ax                  a                      ax      a        A.                                                           D. 2
          l im                                      l im
          x 0    bx                    b            x   0   tan bx    b        B.        2                                                  E. 4
                                                                               C.       0
                                                                               Jawab:
 I N G A T                                                                     cos 4x            1       2 sin22x
              sin 2x              2 sin x cos x
              cos 2x              cos2x sin2x 1             2 sin2x                     (1 2 sin 2 2 x)                   1                     2 sin 2 2 x
                                                                               lim                                                  lim
              cos nx              1 - 2 sin2 n x
                                                                               x    0                4 x2                           x       0           4 x2
                                             2
                                                                                                                                                    sin 2 2 x
                                                                                                                                    2 lim
                                 cos 2 x                                                                                                x       0       4 x2
              cos x           sin x                                                                                                                                  2
                             cos x    sin x                                                                                                                sin 2 x
                                                                                                                                    2 lim lim
                               1x                                                                                                                         0 2x
              1 cos x 2 sin2                                                                                                            x    0 x
                               2                                                                                                            2
              1 cos 2x (sin x2
                                   cos2x)   (cos2x                                                                                  2(1)
                            2                                                                                                       2
                         sin x)
              6 cos2x 3(2 cos2x 1) 3 · cos 2x                                                                                                                  Kunci: D




                 S oal Pemantapan Ujian Nasional

       Kompas
      •       Soal nomor 1 – 5 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari limit di suatu titik dan
              pemfaktoran pada persamaan kuadrat.
      •       Soal nomor 6 – 14 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari dalil L’Hospital, limit
              trigonometri, dan cara menentukan limit fungsi aljabar bentuk l im f ( x) .
                                                                                                                 x
      •       Soal nomor 15 – 26 merupakan kategori soal yang sulit, pelajari materi trigonometri dan semua
              tentang limit fungsi.




                     x2       x       12                                                                              x2
1.        l im                             . . ..                         2.       Nilai lim                                                    . . . .
          x      3        x       3                                                          x   0       1            1         x2
       A.        0                             D.   7                              A.    2                                          D.              2
       B.            3                         E.   11                             B.    0                                          E.              3
       C.            5                                                             C.     1

     Bab 13 Limit Fungsi                                                                                                                                                 93
3.    Nilai lim
                                        6           x              1
                                                                                   . . . .                         4x        6            x2       3x         18
                                            2                 x        2                               10. lim                                                          . . . .
                   x        2           x           4                                                      x   3                      3        x
                   1                                                   1                                                                                          13
      A.                                                      D.                                          A.       1                               D.
                   2                                                   4                                                                                           4
                   1                                                   1                                               1                                          27
      B.                                                      E.                                          B.                                       E.
                   4                                                   2                                               2                                           4
                                                                                                                       1
      C.       0                                                                                          C.
                                                                                                                       4
                       t3            8
4.    lim                                               . . . .                                                sin 5 x
      t 2 t2                    t           6                                                          11. lim                        . . . .
                                                                                                           x 0 sin 3 x
                                                                       5
      A.       0                                              D.                                                                                              5
                                                                       4                                  A.       1                               D.
               4                                                                                                                                              3
      B.                                                      E.                                             3
               3                                                                                          B.                                       E.         1
                                                                                                             5
               12                                                                                         C. 0
      C.
                5
                                                                                                       12. lim         3x        2         9 x2          2x        5        . . . .
                                                  f ( x) f (2)                                             x
5.    Jika f(x)                     x2, maka l im                                            . . . .
                                                       x 2                                                             5
                                                                                                                                                              21
                                             x 2
                                                                                                          A.                                       D.
                                                                                                                       6                                        3
      A.       0                                              D. 16
                                                                                                                                                              5
      B.       4                                              E.                                          B.           21                          E.
                                                                                                                        3                                     6
      C.       8
                                                                                                          C.           12
                                                                                                                        3
               (2 x                 1)2         9
6.    l im                                                . . . .                                                           4x
      x    1       x2           2x              6                                                      13. lim                                 . . . .
                                                                                                           x   0    x       sin 3 x
      A.       3                                              D. 6
                                                                                                                   3
      B.       0                                              E.       8                                  A.                                       D. 3
                                                                                                                   4
      C.       3                                                                                          B.       1                               E.         4
                   x   n
                         x          2                                                                              4
7.    l im                                  adalah . . . .                                                C.
                       x 1                                                                                         3
      x    1
                                                                                                                       x     1
                                                                                                       14. lim                         . . . .
      A.       2n 1                                           D. n           2                             x 1     1         x
      B.       2n 1                                           E. n           2                            A.        2                              D. 1
      C.       2 n                                                                                        B.        5                              E.
                                                                                                          C.       0
8.    lim              (2 x             5)(2 x           1)        (2 x       5)       . . . .
      x                                                                                                                     sin 2              x
                                                                                                                                      2
      A.       2                                              D. 7                                     15. l im                                               . . . .
                                                                                                           x                 x tan                 x
      B.       3                                              E.       14                                      2        2                      2
      C.       7                                                                                                                                              1
                                                                                                          A.       1                               D.
                                            4x                                                                                                                2
9.    lim                                                                  . . . .                                     1
      x                1            2x              1         2x                                          B.                                       E.         1
                                                                                                                       2
      A.       0                                              D. 2                                        C.       0
               1
      B.                                                      E.                                                   sin 4 x           sin 4 x cos 2x
               2
                                                                                                       16. lim                                                    . . . .
      C.       1                                                                                           x 0                       6x3



 94                                                                        Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                        3                                                  2 x tan x
   A.       2                                   D.                              22. Nilai lim                                 . . . .
                                                        2                                        x         1    cos x
            5                                                                      A.        4                            D. 1
   B.                                           E.     0
            4                                                                      B.       1                             E. 4
            4                                                                      C.       0
   C.
            3
17. Nilai lim                      x   5          2x        1       . . . .                     2 sin x cos x             1
                x
                                                                                23. lim                      2
                                                                                                                                    . . . .
                                                                                    x
                                                                                        4
                                                                                                     6 cos x         3
   A.        1                                  D. 2                                        2                                            1
   B.       0                                   E.                                 A.                                     D.
                                                                                            3                                            3
   C.       1                                                                               1                                            2
                                                                                   B.                                     E.
                                   4 x2                                                     3                                            3
18. Nilai lim                                        . . . .                       C.
                x 0         1       cos 2 x
   A.        2                                  D. 2                                        sin 3 x           sin 3 x cos 2 x
                                                                                24. lim                                                      . . . .
   B.        1                                  E. 4                                x   0                     4 x3
   C.       1                                                                                                                        2
                                                                                   A.       3                             D.
             1          cos2 ( x           2)                                                                                        3
19. lim                                              . . . .                                3                                        1
    x   2           2                                                              B.                                     E.
             3x               12 x     12
                                                                                            2                                        2
   A.       0                                   D. 1                                        3
                                                                                   C.
            1                                                                               4
   B.                                           E.     3
            3                                                                               cos x            sin x
              1                                                                 25. lim                                   . . . .
   C.                                                                               x
                                                                                        4
                                                                                                     2x       2
               3
                                                                                   A.                                     D.             2
                                           x
20. Nilai lim                                                         . . . .
                x           2( x       )        tan ( x         )                                                                        1 2
                                                                                   B.       2                             E.
                                                                                                                                         2
                1                                       1
   A.                                           D.                                 C.       1
                2                                       3
                1                                       2                                                 cos2 (     x)
   B.                                           E.
                                                        5                       26. lim                                                      . . . .
                4                                                                   x           (2 x         ) tan ( 2         x)
            1                                                                           2
   C.
            4                                                                                                                       1
                                                                                   A.        1                            D.
                              x tan 2 x                                                                                             2
21. Nilai lim                                        . . . .                       B.       1                             E.        0
                x       0    1   cos 6 x
            1                                                                                   1
                                                        1                          C.
   A.                                           D.                                              2
            9                                           3
            1                                           2
   B.                                           E.
            6                                           3
            2
   C.
            9




 Bab 13 Limit Fungsi                                                                                                                                   95
                                                                          S oal-soal UMPTN dan SPMB

                     9        x2                                                             sin x sin 3 x
1.    lim                                     ....                              7.    lim                                       ....
                                                                                      x    0    x cos x
      x    3   4             x2       7                                               A.    0                                    D. 3
      A.    0                                    D. 8                                 B.    1                                    E. 4
      B.    5                                    E.                                   C.    2                                                       (SPMB 2002)
      C.    6,5                                               (UMPTN 2001)                             sin          x
                                                                                8.    lim                                              ....
                x        2
                                                                                      x    1       x       1 cos         x
          2 sin                                                                                                                        1
                2                                                                     A.    0                                    D.
2.    lim
      x 0 x sin x                                                                                                                      2
                                                                                      B.                                         E.    4
      A.    0                                    D. 2                                 C.    1                                                       (SPMB 2002)
            1
      B.
            2
                                                 E.     4                                      x2          16
                                                                                9.    lim                           . ...
      C.    1                                                 (UMPTN 2001)            x    4       x       4
                                                                                      A.                                         D. 1
               1        sin 2 x
3.    lim                                                                             B.    8                                    E. 0
      x
           4
                    cos2 2 x                                                          C.    4                                                       (SPMB 2002)
                1                                       1
      A.                                         D.                                                x       1
                2                                       4                       10. lim                             ....
                                                                                      x    1 1             x
                                                         1
      B.    0                                    E.                                   A.     2                                   D. 1
                                                        16                            B.     5                                   E.
               1
      C.                                                      (UMPTN 2001)            C.    0                                                       (SPMB 2002)
               2
                                      2
                                                                                                   4       x        2
                         x        1                                             11. lim                                  ....
4.    lim                                       ....                                  x    0               x
      x    1 3     x2         23 x        1                                                                                                 1
                                                                                      A.    0                                    D.
      A.    0                                    D. 9                                                                                       4
                                                                                               1                                            1
            1                                                                         B.                                         E.
      B.                                         E.                                            4                                            2
            3                                                                                  1
      C.    3                                                 (UMPTN 2001)            C.                                                            (SPMB 2002)
                                                                                               2
                         4x
5.    lim                                 ....                                                 x2 3                a x     3a
      x    0    x        sin 3 x                                                12. lim                                           ....
                                                                                      x    a                   x    a
            3                                                                         A.    a                                    D. a           3
      A.                                         D. 3
            4                                                                         B.    a          1                         E. a           4
      B.    1                                    E.     4                             C.    a          2                                            (SPMB 2002)
            4
      C.                                                        (SPMB 2002)
            3
                                                                                               sin x
                                                                                                                    2
          x2 sin x tan x                                                        13.   lim                                  ....
6.    lim                                        ....                                 x                x
      x 0   1 cos 2 x                                                                      2
                                                                                                       2            4
      A.    0                                    D. 2                                                                                   1
                                                                                      A.       4                                 D.
            1                                                                                                                           2
      B.                                         E.     4                                                                               1
            2                                                                         B.       2                                 E.
      C.    1                                                   (SPMB 2002)                                                             4
                                                                                      C.                                                            (SPMB 2003)


 96                                                         Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                                           19. Jika garis y                      bx 1 memotong parabola
14.   lim           x           2x         x     ....                                          2
      x                                                                          y         x           x       a di titik (1, 0), maka nilai
                                                   1                                 x2 x a
      A.        2 2                             D.   2                           lim                                ....
                                                   2                             x 1   bx 1
      B.    2                                   E. 0
      C.                                                     (SPMB 2003)         A.    3                                    D.     1
                2
                                                                                 B.    1                                    E.     3
                x       3         x        3                                     C.    0                                                  (SPMB 2005)
15. lim                                           ....
      x    3                x         3                                              1 cos x
                                                                           20. lim                                  ....
      A.    0                                   D. 12                            x 0 2 x sin 3 x
                                                                                                                                   1
      B.    3                                   E. 15                            A.    0                                    D.
      C.    6                                                (SPMB 2004)                                                           3
                                                                                        1                                          1
                                                                                 B.                                         E.
                                1     1                                                12                                          2
16.   lim x2 sin                  tan           ....                                   1
      x                         x     x                                          C.                                                       (SPMB 2005)
      A.     1                                  D. 1                                   6
      B.    0                                   E. 2                       21.   lim               x       1        x   x    1     ....
            1                                                                    x
      C.                                                     (SPMB 2005)
            2                                                                    A.    0                                    D. 1
                                                                                          1
               tan 2              2x                                             B.                                         E.    3
17. lim                                        ....                                       2
      x    2        x2          2x                                                        1
                                                                                 C.         3                                             (SPMB 2006)
            1                                            1                                3
      A.                                        D.
            4                                            6
                                                                                                                2
            1                                            1                                                 1
      B.                                        E.                                                 x                sin x
            8                                            4                                                 2
      C.    0                                                (SPMB 2005)   22.       lim                                         ....
                                                                                 x    1                    cos2 x
                                                                                      2
               x2 sin x               3 cos 2 x        6                         A.     1                                   D. 1
18. lim                                                      ....
      x    3                      9       3x                                             1
      A.     3                                  D. 3                             B.                                         E.    2
                                                                                         2
      B.     1                                  E.                               C.    0                                                  (SPMB 2006)
      C.    0                                                (SPMB 2005)




           Intersection
           Materi limit fungsi akan lebih mudah dipelajari apabila kamu mempelajari dan memahami materi
           tentang pemfaktoran pada persamaan kuadrat dan trigonometri.




 Bab 13 Limit Fungsi                                                                                                                             97
Bab

        14                                                    Turunan



                                                                      8.  Aturan hasil bagi
      A.   Aturan Turunan                                                 Jika f(x) dan g(x) dengan g(x)                              0 mempunyai
                                                                      turunan f (x) dan g (x) maka
1.    Aturan fungsi konstan
                                                                                     f                    f ( x) g( x)       f ( x) g ( x)
      Jika f(x)        k dengan k konstanta, maka                                      ( x)
                                                                                     g                                        2
                                                                                                                     g( x)
                            f (x)      0

2.    Aturan fungsi identitas                                         9.    Aturan rantai

      Jika f(x)        x, maka                                            Jika f(x) [u(x)]n, dengan n bilangan real,
                                                                      dan mempunyai turunan u (x), maka
                            f (x)      1
                                                                                        f (x)             n[u(x)]n       1
                                                                                                                             · u (x)
3.    Aturan pangkat
     Jika f (x)        axn, dengan a              0 dan n bilangan    10. Aturan fungsi trigonometri
asli, maka                                                                  Jika f(x)           sin x, maka
                         f(x)     naxn      – 1
                                                                                                      f (x)      cos x

4.    Aturan kelipatan konstanta                                            Jika g(x)           cos x, maka

     Jika f(x) ku(x) dengan k suatu konstanta dan                                                     g (x)       sin x
u(x) mempunyai turunan u x), maka                                           Jika h(x)           tan x, maka
                          f (x)     ku (x)                                                        1
                                                                                h (x)                         atau           h(x)      sec2x
                                                                                                cos2 x
5.    Aturan jumlah
    Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai                         Jika h(x)           cotan x, maka
turunan f(x) dan g(x), maka
                                                                                                  h (x)          cosec2x
                  (f     g) (x)     f (x)         g (x)
                                                                      Contoh
6.    Aturan selisih                                                                                                                         6
                                                                           1.   Turunan dari fungsi f(x)                          2x              1
    Jika f (x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai                                                                                          x
turunan f (x) dan g (x) maka                                                    adalah . . . .
                                                                                             3                                           3
                  (f     g) (x)     f (x)         g (x)                         A.   2                                   D.       2
                                                                                             x3                                              x
7.    Aturan hasil kali                                                                            3                                     3
                                                                                B.          2                            E.       2
    Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai                                                   x                                   x
turunan f (x) dan g (x), maka                                                                     3
                                                                                C.      2
            (f · g) (x)         f (x)g(x)         f(x)g (x)                                       x3


 98                                               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
      Jawab:                                                                 B.       Persamaan Garis Singgung pada
                            6                               6                         Kurva
         f(x)     2x                   1       2x            1
                                                                     1
                             x
                                                            x2               Persamaan garis yang melalui titik A(x1, y1),
                                   1                                     dengan gradien m ditentukan dengan rumus berikut.
                  2x        6x     2       1
                                    1                                                      y     y1   m(x    x1)
                               1                    1
         f (x)     2             6x 2
                               2
                                                                            Jika titik A(x1, y1) terletak pada kurva y f(x),
                               3
                               2               3                 3       maka persamaan garis singgung kurva yang
                      2   3x           2        3
                                                        2
                                                                 x3      melalui titik A(x 1, y 1) ditentukan oleh rumus
                                               x2
                                                                         y y1 m(x x1) dengan gradien m f (x1) atau
                                                        Kunci: C
                                                                                dy
 2.   Turunan dari fungsi f(x)  (2x3   5)10                              m      dx x x1
      adalah . . . .
      A. 10(2x3 5)9        D. 60x2(2x3 5)9
      B. 20(2x3 5)9        E. 80x2(2x3 5)9                               Contoh
             2    3     9
      C. 20x (2x     5)
                                                                             Persamaan      garis  singgung      kurva
                                                                                   2
      Jawab:                                                                 y   4x     2x  3 yang melalui titik ( 1, 2)
      f(x) y (2x3 5)10                                                       adalah . . . .
      Misalkan u 2x3 5 maka                                                  A. 6x y 4 0             D. x 6y 4 0
                     dy                                                      B. 6x y 4 0             E. x 6y 4 0
          y u10            10u9
                     du                                                      C. x 6y 4 0
           du
                 6x2
           dx                                                                Jawab:
               dy du                                                                     dy
          y                                                                       m                f (x1) 8x1 2
               du dx                                                                     dx x x1
              10(2x3 5)9 · 6x2 60x2(2x3 5)9                                       f (1) 8( 1) 2
      Cara lain:                                                                          8 2
      Dengan aturan rantai                                                                6
        y [u(x)]n                                                            Persamaan garis singgung yang melalui titik
       y   n[u(x)]n 1 · u (x)                                                ( 1, 2) adalah
           10(2x3 5)9 · 6x2 60x2(2x3 5)9                                           y 2      6(x ( 1))
                                                        Kunci: D                   y 2      6(x 1)
                                                                                       y    6x 6 2
 3.   Turunan dari fungsi f(x)      cos 4 x
      adalah . . . .                                                                   y    6x 4
      A.   4 cos3x sin x D. 4 cos x sin3x                                    6x y 4 0
               3
      B. 4 cos x sin x   E.  4 cos3x sin3x                                                                   Kunci: B
                      3
      C.   4 cos x sin x
      Jawab:
         f(x)     y       cos4x
                      (cos x)4
                      u4, dengan u cos x                                     C.       Fungsi Turun dan Fungsi Naik
                dy           du
                      4u3,         sin x
                du           dx                                          Kurva fungsi y        f(x) pada suatu interval.
                 dy du
         y                                                               •    Jika f (x)   0 pada suatu interval, maka kurva
                 du dx
                4 cos3x · ( sin x)   4 cos3x sin x                            f(x) naik.
                                        Kunci: A                         •    Jika f (x) 0 pada suatu interval, maka kurva
                                                                              f(x) turun.

Bab 14 Turunan                                                                                                             99
Contoh                                                     Contoh
     Diketahui fungsi f(x) x3 3x2 72x             15.           Diketahui jumlah dua buah bilangan sama
     Kurva f(x) naik pada inteval . . . .                       dengan 30. Jika perkalian salah satu bilangan
     A.   6 x 4                                                 dengan kuadrat bilangan yang lainnya
     B.   4 x 6                                                 mencapai nilai maksimum, maka nilai
     C. x     4 atau x 6
                                                                maksimum fungsi tersebut adalah . . . .
     D. x     6 atau x 4
                                                                A. 1.000                   D. 4.000
     E. x     6 atau x 4
                                                                B. 2.000                   E. 5.000
     Jawab:                                                     C. 3.000
         f(x) x3 3x2 72x 15
        f (x) 3x2 6x 72                                         Jawab:
        f(x) naik, syaratnya f (x) 0.                           Misalkan salah satu bilangan itu adalah c,
          3x2 6x 72 0                                           maka bilangan yang lain 30     c. Perkalian
        3(x2 2x 24) 0                                           salah satu bilangan dengan kuadrat bilangan
           (x 6)(x 4) 0                                         lainnya dirumuskan sebagai berikut.
          x    6 atau x 4           6         4                     A (30 c)c2
     Jadi, fungsi f(x)   x3
                              3x   2
                                       72x    15 naik                   30c2 c3
     pada interval x     6 atau x      4.                            dA
                                                                           0    60c 3c2 0
                                             Kunci: D                dc
                                                                                3c(20 c) 0
                                                                                c1 0 atau c2 20
                                                                Nilai A maksimum diperoleh bila c      20.
     D.    Nilai Maksimum dan Minimum
                                                                    A (30 20)(20)2
           Suatu Fungsi
                                                                        10 400
     Misalkan A adalah fungsi x. Untuk mencari                          4.000
nilai maksimum atau minimum dari A tersebut,                                                        Kunci: D
                             dA
syaratnya adalah A   0 atau       0.
                             dx



           S oal Pemantapan Ujian Nasional

      Kompas
     •    Soal nomor 1 – 7 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang aturan turunan.
     •    Soal nomor 8 – 15 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang turunan berantai.
     •    Soal nomor 16 – 25 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari
          semua materi pada bab ini.


1.    Turunan pertama dari y (2x2 5)2 adalah . . . .       3.    Jika f(x) (2x     1)2(x   2), maka f (x)    . . . .
      A. 4x 10              D. 8x3 40x                           A. 4(2x 1)(x      3)
      B. 16x2 40            E. 16x3 40x                          B. 2(2x 1)(5x       6)
             3                                                   C. (2x 1)(6x      5)
      C. 16x     20x
                                                                 D. (2x 1)(6x      7)
2.    f(x)    (cos22x    sin22x)                                 E. (2x 1)(5x      7)
      f (x) . . . .
                                                           4.    Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan
      A. 4 sin 4x              D. 2 sin 2x
      B.    4 sin 4x           E. 2 sin 4x                       dengan f ( x)     3 x2    5 adalah f (x), maka
      C. 2 sin 2x                                                f (x)   . . . .


100                                    Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                      3x                                    x                                      sin x   cos x
       A.             2                    D.               2                      10. Jika f(x)                 , sin x          0 dan f (x)
                3x              5                     3x              5                                sin x
                      3                                 6x                             adalah turunan f, maka nilai dari f                 ....
       B.                                  E.                                                                                      2
                      2                                     2
                3x              5                     3x              5                A.    2                    D. 1
                      6                                                                B.    1                    E. 2
       C.
                3 x2            5                                                      C.   0

                                                                                   11. Turunan pertama f(x) 2 cos3(1               2x) adalah
                         2x       3                                                    f (x) . . . .
5.     Diketahui g(x)               , f (x) adalah turunan
                           f ( x)                                                      A.   6 cos2(1 2x)
       pertama f (x) dan g (x) adalah turunan pertama
                                                                                       B. 6 cos2(1 2x)
       g(x). Jika f(1) f (1) 1, maka g (1) . . . .
                                                                                       C.   12 cos2(1 2x)
       A.    3                    D. 3
                                                                                       D. 1 sin (12 4x) cos (1 2x)
       B.    1                    E. 4
                                                                                       E. 6 sin (2 4x) cos (1 2x)
       C. 1
                                                             3 x2                  12. Diketahui f(x)
                                                                                                          1     cos x
                                                                                                                      . Jika f (x) turunan
6.     Turunan pertama dari f ( x)                                  adalah                                    sin x
                                                            2x    1
       f (x)      . . . .
                                                                                       pertama f(x), maka nilai f           3    . . . .
                      6x                         6 x( x              1)
       A.                                  D.                                          A.   2                     D.        3
               (2 x        1)2                   (2 x               1)2
                                                                                       B.    2     3              E.    2
                6x         1                     6 x(3 x              1)                    1 3
       B.                       2          E.                                          C.
               (2 x        1)                        (2 x           1)2                     3

                6x         1                                                       13. Turunan pertama fungsi f(x)  sin2 (2x3                  5)
       C.                                                                              adalah f (x) . . . .
               (2 x        1)2
                                                                                       A. 2 cos (2x3 5)
7.     Turunan pertama dari f(x)                  cos2(1              3x) adalah       B. 12x2 cos (2x3 5)
       f (x) . . . .                                                                   C. 2 sin (2x3 5) cos (2x3 5)
       A.      2 cos (1             3x)    D.        3 sin (2              6x)         D. 6x2 sin (4x3 10)
       B.      6 cos (1 3x)                E.    3 sin (2                 6x)          E. 6x2 cos (2x3 1)
       C.       6 cos (1 3x)                                                       14. Turunan pertama dari y    xe 2x adalah
                                                dy                                     dy
8.     Jika y              cos        , maka                . . . .                          ....
                                                d                                      dx
                  cos                                 cos                              A. e2x 1         D. 2e2x 1
                                                                                           2x
       A.                                  D.                                          B. e (2x 1)      E. 2e2x(x 1)
                2 sin                            2 cos                                       2x
                                                                                       C. 2e
                cos                                             1
       B.                                  E.                                      15. Grafik fungsi f(x) 5  15x     9x2                 x3 naik
               2 sin                                  2 cos
                                                                                       untuk x yang memenuhi . . . .
                  sin
       C.                                                                              A. x 1 atau x 5
                 2 cos                                                                 B. 1 x 5
                                                                                       C.   5 x      1
9.     Diketahui fungsi f(x) x sin 3x dan g(x) x2.                                     D. x     5 atau x   1
       Jika u(x) g(f(x)), maka turunan pertama dari                                    E.   5 x 1
       u(x) adalah u (x) . . . .
       A. 2(x sin 3x 3x sin 3x 3 sin2x)                                                             1
       B. 2x 2 sin 3x 6x cos 3x 3 sin 6x                                           16. Jika f 4       x       8    4x       2x2, f (3)     . . . .
                                                                                                    2
       C. 2x 6 sin 3x cos 3x                                                           A.   8                     D.    8
       D. 2(x sin 3x 3 sin 3x sin23x)                                                  B.   4                     E.    10
       E. 2x 6 sin 3x 3x cos 3x sin 3x cos 3x                                          C.    4

     Bab 14 Turunan                                                                                                                         101
17. Perhatikan gambar di bawah. Keliling daerah          21. Dua kebun berdampingan yang masing-masing
    yang diarsir adalah 200. Luas daerah yang                berukuran x m, y m, dan luas keseluruhan
    diarsir mencapai nilai terbesar untuk a sama             24 m2. Supaya panjang pagar yang diperlukan
    dengan . . . .                                           sedikit mungkin, maka panjang x dan y
          100                                                berturut-turut adalah . . . .
    A.                                                       A. 2 m dan 6 m
         4 3
          200                                                B. 6 m dan 2 m
    B.                                                                                     x          x
         4 3                                                 C. 3 m dan 4 m
          400                             b
                                                             D. 2 3 m dan 2 3 m
    C.
         4 3                                                 E. 4 m dan 3 m                            y         y
          100
    D.                                                   22. Keliling suatu persegipanjang adalah 8 cm dan
         5 4
          400                    a                           panjangnya (3 x) cm. Persegipanjang tersebut
    E.                                                       mencapai luas maksimum untuk x . . . .
         5 4
                                                             A. 4                   D. 1
18. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya               B. 2                   E.   2
    persegi adalah 432 cm2. Agar volume kotak                C. 1
    tersebut mencapai maksimum, maka panjang
                                                                                   3        dy
    rusuk persegi adalah . . . .                         23. Jika y        cos       , maka        . . . .
                                                                                   x        dx
    A. 6 cm               D. 12 cm
                                                                               3                  3          3
    B. 8 cm               E. 16 cm                           A.       3 sin                D.          sin
                                                                               x                   2         x
    C. 10 cm                                                                                      x
                                                                       3      3                   3     3
                                                             B.           sin              E.       sin
19. Suatu kebun berbentuk persegipanjang. Salah                       x 2     x                   x     x
    satu sisinya berbatasan dengan sungai. Keliling                    3      3
                                                             C.           sin
    kebun tersebut akan dipagari dengan kawat                          x      x
    sepanjang 48 meter. Jika sisi yang berbatasan
                                                         24. Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak
    dengan sungai tidak diberi pagar, maka luas
                                                             tanpa tutup dengan alas persegi. Jika jumlah
    maksimum kebun tersebut adalah . . . .
                                                             luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak
      A.   144 m2                     x                      ditentukan sebesar 432 cm2, maka volume kotak
      B.   192 m2                                            terbesar yang mungkin adalah . . . .
                                          y
      C.   288 m2                                            A. 432 cm3             D. 864 cm3
                                                                        3
                                      x                      B. 644 cm              E. 972 cm3
      D. 384 m2                                              C. 720 cm  3
      E.   576 m2            sungai
                  1                                      25. Persamaan garis singgung kurva y     x 2 x di
20. Fungsi y        (p 2)2x3 x2 5px mempunyai
                  3                                          titik pada kurva dengan absis 2 adalah . . . .
      nilai minimum 27 untuk x 3. Nilai p . . . .            A. y 3x 2             D. y     3x 2
      A. 8                  D. 3
                                                             B. y 3x 2x            E. y     3x 1
      B. 5                  E. 5
                                                             C. y 3x 1
      C. 3



                                                   S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.    Garis g menyinggung kurva y     sin x   cos x di                                             3 1
                         1                                   A.   1        3               D.
      titik yang berabsis     . Gradien garis yang                                                  2
                          3                                                                      1    3
      tegak lurus pada garis g adalah . . . .                B.   1        3               E.
                                                                                                    2
                                                             C.   1                                    (UMPTN 2001)




102                              Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
2.     Turunan        y   2(x        2)(x2      3x          1) adalah   9.   Grafik fungsi f(x) 5    15x   9x2   x3 naik
       y   . . .     .                                                       untuk x yang memenuhi . . . .
       A. 6x2         4x 10           D. 3x2           2x    5               A. x 1 atau x 5 D. x          5 atau x   1
       B. 3x2         2x 5            E. 6x2           4x    10              B. 1 x 5             E.   5 x 1
       C.   3x2         2x 5                       (UMPTN 2001)              C.   5 x      1                (SPMB 2002)
3.     Persamaan garis singgung pada kurva                              10. f(x)  sin x   cos x sin x   cos2x sin x
       y   5x2  8x  17 yang tegak lurus garis                                  3
                                                                            cos x sin x . . . untuk 0 x      . . . .
       2x 4y 9 0 adalah . . . .
                                                                            A. merupakan fungsi naik
       A. 2x y 12 0 D. x 2y 12 0
                                                                            B. merupakan fungsi turun
       B. 2x y 12 0 E. x 2y 12 0
       C. 2x y 12 0             (UMPTN 2001)
                                                                            C. mempunyai maksimum saja
                                                                            D. mempunyai minimum saja
                                                   3                        E. mempunyai maksimum dan minimum
4.     Turunan fungsi y          4    2 x2    3        adalah . . . .
                                                                                                                 (SPMB 2002)
                     x
                                                   4                    11. Grafik fungsi y x4 8x2 9 akan turun pada
       A.       4    2
                    2x   3
                                      D.      3 x 2 x2          3
                                                                            interval . . . .
                    3x                                                      A. x      3
                                               4
       B.   4
                2 x2 3
                                      E.     3 x 2 x2       3               B. x 3
                  16 x                                                      C. x      2 atau 0 x 2
       C.       4                                  (UMPTN 2001)
            3 2 x2       3                                                  D. x 3 atau 2 x 0
                                                                            E.    2 x 2                 (SPMB 2002)
5.     Suatu proyek pembangunan gedung sekolah
       dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya                     12. Jika garis singgung pada kurva y x2 ax 9
                                                                            di titik yang berabsis 1 adalah y   10x  8,
                                     120                                    maka a . . . .
       proyek per hari          3x    900  ratus ribu
                                      x                                     A. 6                   D. 9
       rupiah. Agar biaya proyek minimum, maka                              B. 7                   E. 10
       proyek tersebut diselesaikan dalam waktu . . . .                     C. 8                            (SPMB 2003)
       A. 40 hari              D. 120 hari
       B. 60 hari              E. 150 hari                              13. Jika f(3   2x)   4   2x      x, maka f (1)    . . . .
       C. 90 hari                      (UMPTN 2001)                         A.   4                    D. 0
                                                                                                           1
6.     Jika persamaan garis singgung kurva                                   B.   2                   E.
             2                                                                                              2
       y ax     bx 3 pada titik (1, 1) tegak lurus                           C.   1                              (SPMB 2003)
                                 2     2
       garis 6y x 7 0, maka a         b    . . . .
       A. 2               D. 13                                         14. Garis g melalui titik ( 2, 1) dan menyinggung
       B. 8               E. 20                                             kurva K y 2 x . Jika titik singgung garis
       C. 10                        (UMPTN 2001)                            g dan kurva K adalah (a, b), maka a b . . . .
                               1                                            A.   3                  D. 3
7.     Garis singgung kurva y      di titik berabsis
                               2x                                           B.   2                  E. 4
       1
          akan memotong sumbu-x di titik . . . .                            C. 0                              (SPMB 2003)
       2
       A. (2, 0)            D. ( 1, 0)                                  15. Selisih dua bilangan adalah 10. Pada saat hasil
       B. (1, 0)            E. ( 2, 0)                                      kali kuadrat kedua bilangan itu maksimum,
       C. (0, 0)                    (UMPTN 2001)                            jumlah kedua bilangan tersebut adalah . . . .
                                                                            A.    1                D. 0
8.     Garis g menyinggung kurva y x2 2 di titik                            B.    6                E. 2
                      1                                                     C.    2                           (SPMB 2003)
       yang berabsis    . Besar sudut yang dibentuk
                      2
       oleh garis g dengan sumbu-x adalah . . . .                                                                1,   3
                                                                        16. Jika garis k melalui titik                2    dan
       A. 30                  D. 75
       B. 45                  E. 90                                          menyinggung grafik y           x2   di kuadran
       C. 60                           (SPMB 2002)                                                          2


     Bab 14 Turunan                                                                                                        103
                                          2                                A.   1 x 6                     D. x       0 atau x     12
      pertama pada titik              a, a , maka nilai a                  B.   0 x 12                    E. x       1 atau x     6
                                         2
      adalah . . . .                                                       C.    6 x 6                                 (SPMB 2004)
      A. 1                            D. 4                             23. Jika fungsi f(x)         x5   15x3 mencapai minimum
      B. 2                            E. 5                                 di titik . . . .
      C. 3                                               (SPMB 2003)       A. (0, 0)                      D. (3, 162)
                                                                           B. (1, 14)                     E. ( 3, 162)
17. Jika pada interval 0              x        4, turunan fungsi
                                                                           C. (1, 14)                                  (SPMB 2005)
                       x
      f(x) 2 2 sin 2 bernilai nol di x1 dan x2,                                                x2
                                                                       24. Kurva y                       naik untuk . . . .
      maka x12 x22 . . . .                                                                    x2    2
      A. 5                 D. 17                                           A.   2     x      2 atau x            2
      B. 10                E. 20                                           B. x       2 atau x 2
      C. 13                       (SPMB 2003)                              C. x          2
18. Jumlah dua bilangan adalah 8. Pada saat hasil                          D. 2       x      2 atau x            2
    kali kuadrat kedua bilangan tersebut mencapai                          E. x        2                               (SPMB 2005)
    maksimum, maka selisih bilangan terbesar dan                                              x2
    terkecil adalah . . . .                                            25. Kurva y             naik pada . . . .
                                                                                          x 1
    A. 0                    D. 10                                          A.   2     x    1 atau x 0
    B. 4                    E. 12                                          B. x       2 atau 1 x 0
    C. 8                             (SPMB 2003)                           C.   2     x    1 atau 1 x 0
                                                                           D.         x    2 atau x 0
19.                               C
                                                                           E. x       2 atau x    1            (SPMB 2005)
                                           E
                                                                                                                           1     cos x
                        D                                              26. Turunan pertama dari fungsi f(x)
                                                                                                                               sin x
                    A                                B                     adalah f (x)        . . . .
      Jika ABC siku-siku samakaki, AC EC 3                                      1    sin x                         2
                                                                           A.        2
                                                                                                          D.
      dan AD   CF, maka luas minimum dari segi                                  sin x                      1   sin x
      empat ABED adalah . . . .                                                sin x 1                             1
                                                                           B.                   E.
      A.   3,375                      D. 4,000                                 cos x 1                     1   cos x
                                                                                   2
      B.   3,500                      E.       4,500                       C.                             (SPMB 2005)
                                                                               cos x 1
      C.   3,750                                         (SPMB 2004)   27. Turunan pertama dari fungsi y (sin x cos x)2
                                                                           adalah y   . . . .
20. Kurva y x3 6x2                16 naik untuk nilai x yang
                                                                           A. 0                 D. 4 cos2x 2
    memenuhi . . . .                                                                2
                                                                           B. 4 sin x           E. 4 cos2x 4
      A.   x        4 atau x      0                                                 2
                                                                           C. 4 sin x 2                   (SPMB 2005)
      B.   x       0 atau x       4
                                                                       28. Nilai maksimum fungsi y 1 sin 2x cos 2x
      C.       4    x   1
                                                                           adalah . . . .
      D. 1 x 4                                                             A. 2                D. 1 2 2
      E. 0 x 4                                           (SPMB 2004)       B. 1       2        E. 4
21. Persamaan               garis singgung pada kurva                      C. 3                        (SPMB 2005)
          3
    y x      di         titik yang absisnya 1 adalah . . . .           29. Garis g melalui titik (4, 3) memotong sumbu-x
           x
                                                                           positif di A dan sumbu-y positif di B. Agar luas
    A. 2x y             2     0       D.        2x       y   2   0
                                                                            AOB minimum, maka panjang ruas garis AB
    B. 2x y             6     0       E.        4x       y   6   0
                                                                           adalah . . . .
    C. 4x y             0                                (SPMB 2004)
                                                                           A. 8                    D. 12
                       1 3
22. Grafik fungsi f(x)   x  3x2 naik untuk nilai                           B. 10                   E. 10 2
                       6                                                   C. 8 2                             (SPMB 2005)
    x yang memenuhi . . . .



104                                             Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
30. Jika fungsi f(x)   x(12    2x) 2 mempunyai               C. naik hanya untuk 1 x 0
    nilai maksimum p dan nilai minimum q, maka               D. turun hanya untuk 1 x 0
    p q . . . .                                              E. turun untuk 0 x 2     (SPMB 2006)
    A. 0                 D. 16
    B. 4                 E. 128                          33. Grafik y ax2 3x c melalui titik (1, 5). Jika
    C. 8 2                          (SPMB 2005)
                                                             grafik turunannya y      f (x) melalui titik
                                                             (2, 5), maka konstanta a dan c adalah . . . .
                                      1                      A. a     2 dan c 4
31. Jika f(x)    sin x cos 3x, maka f 6           ....
                                                             B. a 5 dan c      3
          1                       1                          C. a 1 dan c 1
    A.                      D.        3
          2                       2                          D. a 2 dan c 0
            1                       1
    B.                      E.    1    3                     E. a     3 dan c 5             (SPMB 2006)
            2                       2
           1
             1                                           34. Nilai minimum dari fungsi y     x4   6x2     3
    C.                                 (SPMB 2005)
             2                                               adalah . . . .
                                                             A.   14             D. 11
32. Garis singgung kurva y     3x4   4x3   12x2     15
                                                             B.   13             E.   10
    akan . . . .
                                                             C.   12                         (SPMB 2006)
    A. selalu naik
    B. selalu turun




         Intersection
         Untuk lebih mudah memahami materi bab ini, sebaiknya terlebih dahulu pelajari materi persamaan
         garis lurus.




 Bab 14 Turunan                                                                                         105
Bab

        15                                                  Integral



    A.       Integral Tak Tentu                                                          6       9       2         c1
                                                                                        c1       6       9         2            5

    Misal k konstanta real sembarang, f(x) dan g(x)                                F (x)         9x2          2x           5
merupakan fungsi integral yang dapat ditentukan                                        F(x)           F ( x ) dx
fungsi integral umumnya.
                                                                                                      (9 x2               2x        5) dx
        dx      x        c                                                                           3            2
                                                                                                 3x           x            5x        c2
                                                                                       F(2)   10, maka
        k dx        kx        c
                                                                                        10    3(2)3 (2)2 5(2)                             c2
                         1                                                              10    24 4 10 c2
        xn dx                 xn 1         c, dengan n bilangan
                 n 1                                                                     c2   10 24 4 10                                    8
      rasional dan n               1                                                                     3            2
                                                                               Jadi, F(x)         3x              x            5x     8
      Integral parsial                                                                                                                    Kunci: C
        u dv        uv        v du
                                                                         2.    Nilai      (2 x        5) sin (x2                    5x) dx
      Integral trigonometri
                                                                               adalah . . . .
         cos x dx            sin x     c                                       A.   cos (x2 5x) c
                                                                               B. cos (x2 5x) c
         sin x dx             cos x        c
                                                                               C. (x2 5x) cos (x2 5x) c
         sec2 x dx           tan x      c                                      D. (x2 5x) cos (x2 5x) c
                                                                               E. cos (x2 5x) sin (x2 5x                                        c)
         cosec 2 x dx             cotan x      c
                                                                               Jawab:
                                                                               Misalkan:          u          x2           5x
                                                                                              du
Contoh                                                                                                       2x           5
                                                                                              dx
   1.    Jika F (x) 18x 2 dan F (1) 6 dan                                                      du            (2x           5) dx
         F(2) 10, maka nilai fungsi F(x) . . . .
                                                                                 sin u du                    cos u c
         A. 3x3 x2 5x 8
                                                                                                             cos (x2 5x)                  c
         B. 3x3 2x2 5x 8
         C. 3x3 x2 5x 8                                                                                                                   Kunci: A
         D. 3x3 2x2 5x 8
         E. 3x3 2x2 5x 8
         Jawab:
                                                                          B.     Integral Tertentu
               F (x)          F ( x) dx             (18 x   2) dx
                             9x2 2x c1                                     Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi kontinu dan
               F (1)         6, maka                                   terdefinisi dalam interval [a, b], maka integral
                   6         9(1)2 2(1) c1                             tertentu f(x) dan g(x) dari x   a sampai x     b,
                                                                       memenuhi sifat-sifat berikut.

106                                                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
        a
        a
                f ( x) dx        0                                                                     Integral dari               a2          x2 dapat diubah ke dalam
        a                                                                                        bentuk fungsi trigonometri dengan substitusi variabel
                 f ( x) dx          0 , di mana f fungsi ganjil.
         a                                                                                       trigonometri.
        a                             a
                 f ( x) dx      2            f ( x) dx, di mana f fungsi                          Integran Variabel baru                                    Hasil substitusi
            a                        0
       genap.                                                                                                              x       a sin t                 a 1     sin 2 t       a cos t
        b                                a                                                             2       2
                f ( x) dx                        f ( x) dx                                            a    x
        a                                b
                                                                                                                           x       a cos t                 a 1     cos2 t        a sin t
        b                                    b
                kf ( x) dx           k            f ( x) dx , di mana k adalah
        a                                 a
       konstanta real sembarang.                                                                 2.  Metode Parsial
        b                                                   b                     b                  Pengintegralan parsial dirumuskan sebagai
                [ f ( x) dx      g( x)] dx                       f ( x) dx            g( x) dx
        a                                                a                     a                 berikut.
        b                                               b                      b
                [ f ( x) dx     g( x)] dx                       f ( x) dx             g( x) dx
        a                                               a                     a                                                u dv            uv           v du
        h                       b                           b
                f ( x) dx           f ( x) dx                   f ( x), untuk a          h   b
        a                       h                           a


Contoh                                                                                           Contoh
                  a                                                                                   1.   Dengan metode substitusi, nilai dari
      Jika             (3 x2        4 x) dx             10 , maka nilai a
                  1
      sama dengan . . . .                                                                                              2x      1
                                                                                                                                           dx          . . . .
      A.  5                                                     D. 5                                               x   2
                                                                                                                               x       6
      B.  3                                                     E. 9
      C. 3
                                                                                                           A.          x2          x       6       c
      Jawab:
            a                                                                                              B.          x2          x       6       c
                 (3 x2        4 x) dx             10
         1

                       x3      2x2
                                      a                                                                    C.      2 x2                x   6           c
                                                  10
                                      1
       a3         2a2 (1              2)          10                                                       D.      2 x2                x   6           c
                  a3 2a2               1          10
                  a3 2a2               9          0                                                        E.      2 x2                x       6       c
      (a2         a 3)(a              3)          0
                                       a          3                                                        Jawab:
      Jadi, nilai a              3.                                                                        Misalkan
                                                                             Kunci: C                      u x2 x 6                                du       (2x       1) dx
                                                                                                                2x 1                                       du
                                                                                                                                           dx                     2 u        c
                                                                                                                   x   2
                                                                                                                               x       6                    u

       C.          Teknik Pengintegralan                                                                                                               2 x2       x   6      c
                                                                                                                                                                      Kunci: D
1.     Metode Substitusi
                                                                                                      2.   Dengan menggunakan rumus parsial, nilai
    Misalkan f(x) adalah fungsi yang terdiferensial-                                                                       x sin x dx adalah . . . .
                                                                                                           dari
kan, maka berlaku aturan berikut.
                                                                                                           A.  x sin x cos x c
                       n                                    n                                              B.  x sin x cos x c
                      f ( x) f ( x) dx                  f ( x) d( f ( x))
                                                                                                           C.  x cos x sin x c
                                                        1
                                                                 f n 1 ( x)    c                           D. x cos x sin x c
                                                    n       1
                 dengan n                    1.                                                            E. x sin x cos x c



     Bab 15 Integral                                                                                                                                                                107
                                                                                3.    Luas daerah dibatasi kurva y                                           f(x) dan
          Jawab:                                                                      sumbu-x
          Misalkan:                                                                                         b                          c
                                                                                            L( R)                f ( x) dx                    f ( x) dx
           u x      du                dx                                                                    a                         b

          dv        sin x dx            v             sin x dx                                                   y

                                                    cos x
               x sin x dx        x( cos x)                  ( cos x) dx                                     R1
                                      x cos x           sin x            c                                                                          y        f(x)
          Cara lain:                                                                                a                          b                             c
                                                                                                                                                                            x
                                                                                                                                           R2
                x            sin x
                1             cos x
                0             sin x

           dipersial         integral                                           4.    Luas daerah yang terletak di antara dua
          Jadi,                                                                       kurva
               x sin x dx           x( cos x)           1( sin x) c                                         b                         b
                                                                                            L(S)                f ( x) dx                     g( x) dx
                                      x cos x          sin x        c                                       a                         a
                                                                                                            b
                                                                    Kunci: C                                    ( f ( x)           g( x)) dx
                                                                                                            a


                                                                                                        y

     D.     Menentukan Luas Daerah
                                                                                                                                                        y1           f(x)
                                                                                                                           S
1.    Luas daerah di atas sumbu-x                                                                                                                       y2       g(x)
                                               b
                             L( P )                 f ( x) dx
                                            a
                                                                                                                                                                 x
                         y                                                                                      a                         b

                                                                y        f(x)


                                                                                Contoh
                                            P

                                                                        x            1.   Luas daerah yang diarsir pada gambar
                                a                       b                                 adalah . . . .


2.    Luas daerah di bawah sumbu-x                                                                                         y
                                                                                                                                           (2, 4)
                                           b
                         L(Q)                   f ( x) dx
                                        a

                     y
                                                                                                                                                x
                                                                                                        ( 1, 1)
                                a               b                   x

                                       Q                                                                              O

                                                            y           f(x)




108                                                      Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
          3
              1
                satuan luas                                                        E.       Menentukan Volume Benda Putar
              2

     B.    1 satuan luas                                                      1.   Volume benda putar mengelilingi sumbu-x
          4
           2
           1                                                                                            b                     b
     C.   5 satuan luas                                                                     V               y2 dx                   { f ( x)}2 dx
           2                                                                                            a                     a

           1                                                                                        y
     D.   6 satuan luas                                                                                                                 y           f(x)
           2
                                                                                                                   4x
              1                                                                                                              f(x)
     E.   7     satuan luas
              2
                                                                                                                                                                x
     Jawab:                                                                                     0           a                     b

          Daerah dibatasi pada x                                      1 dan
          x 2.
          Mencari persamaan garis lurus pada
          titik ( 1, 1) dan (2, 4).                                           2.   Volume benda putar mengelilingi sumbu-y
           y       1      x           1                                                                 b                     b
                                                                                            V               x 2 dy                  { g( y)}2 dy
           4       1      2           1                                                                 a                    a
           y       1      x           1
                                                                                                                        y
               3              3
                                                                                                                                         x          f(y)
          y        1      x           1
                                                                                                                                          y          b
                   y      x               2
                                                                                                                                        f(y)
     Persamaan parabola y                                 x2, maka luas
                                                                                                                                        y
     daerah diarsir adalah
                                                                                                                                            y        a
              2                               2                                                                                                 x
      L            (( x      2)           x ) dx
               1
              2                                   2
                   (x     2) dx                       x2 dx                   3.   Volume benda putar suatu daerah antara
               1                                  1
                              2                       2
                                                                                   dua kurva
          1 2                                 1 3
            x           2x                      x                             a.   Perputaran mengelilingi sumbu-x
          2                       1           3           1
           1 2                                1                                                             b
             (2)          2(2)                  ( 1)2         2( 1)                             V                 f 2 ( x)        g2 ( x) dx
           2                                  2                                                             a
                                                                                                            b
                  1 2         1                                                                                 ( y12        y12 ) dx
                    (2)         ( 1)3                                                                       a
                  3           3
                              1                       8       1                             y
           (2       4)                    2
                              2                       3       3                                                                                            y1       f(x)

                   3                          1
           6                 (3)          7           3                                                                                                  y2         g(x)
                   2                          2
              1
          4     satuan luas                                                                                 a                           b
                                                                                                                                                                    x
              2                                                                         O
                                                                  Kunci: B




Bab 15 Integral                                                                                                                                                         109
b.    Perputaran mengelilingi sumbu-y
                                                                        Jawab:
                V
                       b       2
                           [ f ( y)      2
                                        g ( y)] dy                      Ordinat titik potong kurva y                        x2 dan y    3x
                      a                                                                                                        1
                      b
                           ( x12      x22 ) dy                          f(y)    garis y          x2       x1            y     y2
                      a
                                                                                                                    1
                                                                        g(y)    garis y          3x       x2          y
                               y                                                                                    3
                                                                                                1
                                                                        Substitusi x              y ke y           x2
                                                      y     b                                   3                            y     3x
                                                                                                 2                      y
                                                                                 y      1y
                                                      x1         f(y)                   3
                                                                                       1 2
                                                 x2       g(y)                   y        y                                         y   x2
                                                                                       9
                                                      y     a            y2     9y    0

                           O
                                                             x          y(y     9)    0
                                                                                                                    O                   x
                                                                                 y     0 atau y           9
                                                                        Jika daerah yang diarsir pada gambar di atas
Contoh                                                                  diputar sejauh 360 mengelilingi sumbu-y,
                                                                        maka volume benda putarnya adalah
     Daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 dan                                     9
     garis y 3x diputar sejauh 360 mengelilingi                         V             ( x12       x22 ) dy
                                                                                 0
     sumbu-y, maka volume benda putar yang
     terjadi adalah . . . .                                                       9         1 2                2
                                                                                           y2         1y           dy
             1                                                                   0                    3
     A.   13   satuan volume
             2                                                                    9
                                                                                       y        1 y2 dy
                                                                                 0              9
               2
     B.   21     satuan volume                                                                        9
               3                                                                 1 2   1 3
                                                                                   y      y
                                                                                 2     27    0
               3                                                                 1 2     1
     C.   27
               4
                 satuan volume                                                     (9)     (9)3
                                                                                 2      27
               1                                                                  81
                                                                                      27
     D. 35       satuan volume                                                     2
               6
                                                                                  1
                                                                               13    satuan volume
               1                                                                  2
     E.   37     satuan volume                                                                                                   Kunci: A
               2




110                                          Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
               S oal Pemantapan Ujian Nasional

       Kompas
      •       Soal nomor 1 – 10 merupakan ketegori soal yang mudah, pelajari integral tertentu dan integral
              tak tentu.
      •       Soal nomor 11 – 23 merupakan ketegori soal yang sedang, pelajari cara menentukan luas daerah
              dan volume benda putar.
      •       Soal nomor 24 – 30 merupakan ketegori soal yang sulit pelajari semua meteri integral.




1.            cos 4 x dx        . . . .                                            sin 1
                                                                         5.             x dx                    . . . .
            1                                                                        x2
       A.      sin 4x c
            4
       B. 2 sin 2x cos 2x                  c                                                                                                  1
                                                                              A.    sin x2              c                     D.   cos                 c
       C. 4 sin 4x c                                                                                                                          x
       D. 4 sin 4x c                                                          B.    cos x            c                        E.   cos x2              c
          1
       E.   sin 4x c                                                                           1
          4                                                                   C.     sin                    c
                                                                                               x
2.     Hasil dari           cos x cos 4 x dx                . . . .                                 b        dx
                                                                         6.   Nilai dari                                 . . ..
                 1 sin 5 x         1 sin 3 x            c                                           a           x
       A.
                 5                 3                                                 1
                1 sin 5 x          1 sin 3 x                                  A.              b         a                     D.   2          a        b
       B.                                               c                            2
               10                  6
                                                                              B.     2     b            a                     E.       2       b       a
                2 sin 5 x        2 sin 3 x          c
       C.
                5                3                                                   1
                                                                              C.              a          b
               1 cos 5 x         1 cos 3 x                                           2
       D.                                           c
               2                 2
                                                                         7.        x sin 2 x dx                     . . . .
                    1 sin 5 x      1 sin 3 x            c
       E.
                    2              2                                                 1 ( x cos 2 x                    1 sin 2 x)
                                                                              A.                                                              c
                                                                                     2                                2
3.     Hasil dari           2   (cos x sin2 x) dx              . . . .
                           0                                                             1 ( x cos 2 x                   1 sin 2 x)                c
                                                                              B.
                                                                                         2                               2
               1                                1
       A.                                  D.                                            1 ( x cos 2 x                   1 sin 2 x)
               3                                2                             C.                                                                   c
                                                                                         2                               2
               1
       B.                                  E.                                 D. 2(x cos 2x                       2 sin 2x)               c
               2
               1                                                              E.      2(cos 2x                  2 sin 2x)             c
       C.
               3
               sin x dx                                                                    3
4.        0
                                 . . . .                                 8.   Nilai               (3 x2             2x        2) dx           40, maka nilai
                                                                                          p

       A.                                  D.                                 1p
                4                                                                   . . . .
                                                                              2
                                                3                             A. 2                                            D.      1
       B.                                  E.
                3                                2                            B. 1                                            E.      4
       C.                                                                     C.  1
                2

     Bab 15 Integral                                                                                                                                       111
                  a                                           15.                             y
9.    Diketahui       (3 x    2)( x      4) dx   50 . Salah
                  1                                                                                         y=x
      satu nilai a yang memenuhi adalah . . . .
      A.   4               D. 2                                                                                y = x2 – 2
      B.   2               E. 4
      C. 1                                                                                                           x


10. Jika f(x)         (3 x2   6x       4) dx dan f(1)    1,
      maka f(x) . . . .
      A. x3 3x2 4x            3                                     Luas daerah yang dibatasi garis y                        x dan
      B. x3 6x2 4x            3                                     parabola y x2 2 adalah . . . .
      C. x3 3x2 4x            3                                          1                    1
      D. x3 6x2 4x            3                                     A. 6                D. 3
                                                                         2                    2
      E. x3 3x2 4x            2                                          1                    1
                                                                    B. 5                E. 2
11. Diketahui kurva y    f(x) melalui titik (1, 2)                       2                    2
    dan y     4x   8. Koordinat titik balik kurva                        1
                                                                    C. 4
    adalah . . . .                                                        2
    A. ( 1, 2)            D. (2, 4)                           16. Jika f(x) (x 2)2 4 dan g(x)       f(x), maka
    B. (2, 1)             E. ( 2, 4)                              luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g
    C. ( 2, 4)                                                    adalah . . . .
12. Volume benda putar yang terjadi bila                                  2
                                                                  A. 10 satuan luas
                                                                          3
    daerah yang dibatasi oleh kurva y    x2    1,
                                                                          1
    sumbu-x, x 1, dan x   1, diputar mengelilingi                 B. 21 satuan luas
                                                                          3
    sumbu-x sejauh 360 adalah . . . .                                     2
                                                                  C. 22 satuan luas
            4                           24                                3
      A.                          D.                                      2
           15                           15                        D. 42 satuan luas
                                                                          3
            8                           32                                1
      B.                          E.                              E. 45 satuan luas
           15                           15                                3
           16                                                                                 x 2,          jika x       2
      C.                                                      17. Diketahui f(x)                   2
           15                                                                                     x ,       jika x       2
13. Luas daerah arsiran pada gambar berikut ini                               4
                                                                    Nilai         f ( x) dx   ....
    adalah . . . .                                                          0
                              1                                             1                                   2
    A. 5 satuan luas     D. 9 satuan luas                           A.   24                            D.    25
                               3                                            3                                   3
         2                      1                                           2                                   1
    B. 7 satuan luas E. 10 satuan luas                              B.   24                            E.    26
         3                      3                                           3                                   3
    C. 8 satuan luas                                                        1
                                                                    C.   25
                                                                            3
                                                          2
14. Daerah yang dibatasi oleh kurva y         x
                                                              18. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
    dan garis x y 2 0 diputar mengelilingi
                                                                  y x2 9x 15 dan y          x2 7x 15
    sumbu-x sejauh 360 . Volume benda putar yang
                                                                  adalah . . . .
    terjadi adalah . . . .
            2                                                       A.   2 2 satuan luas
    A. 15        satuan volume                                             3
            3
    B. 15
            2
                 satuan volume                                      B.   23       satuan luas
            5                                                              5
            3                                                            3 1
    C. 14        satuan volume                                      C.            satuan luas
            5                                                              3
            2
    D. 14        satuan volume                                      D.   32       satuan luas
            5                                                              3
            3
    E. 10
            5
                 satuan volume                                      E.   41       satuan luas
                                                                           3

112                                       Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
19. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y 2x2,
                                                   24. Hasil              x 9             x2 dx                     . . . .
    y 4x 22, garis x 0, dan x, 2 adalah . . . .
        8
    A.     satuan luas                                   A.         1 (9          x2 )                 9            x2           c
        3                                                           3
       10
    B.      satuan luas
        3                                                B.          2 (9         x2 )                 9            x2           c
        12                                                           3
    C.      satuan luas
         3
    D.
       15
            satuan luas                                  C.     2 (9         x2 )                  9           x2            c
        3                                                       3
       16
    E.      satuan luas
        3                                                       2 (9                                                2 (9
                                                         D.                 x2 )              9        x2                        x2 ) 9           x2       c
                                                                3                                                   9
20. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
    y     x2     3x, sumbu-x, dan garis x 6                     1 (9                                                         1 (9
                                                         E.                  x2 )                  9           x2                          x2 )        c
    adalah . . . .                                              3                                                            9
          1                     1
    A. 4 satuan luas D. 22 satuan luas
          2                     2                                    10       4x
           1                                       25.                                                dx           . . . .
                                                              3 (x        2)( x           3)
    B. 13 satuan luas E. 27 satuan luas
           2
    C. 18 satuan luas
                                                         A.    4 3 ( x2               5x              6)2            c
21. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola
    y   x2     2x dan garis y   x   6 sama
                                                         B.    4 ( x2                 5x               6)2            c
    dengan . . . .
                                                         C.      43 ( x2                  5x           6)2               c
                              2
    A. 20               D. 20
                              3
           1                  5                          D.      33 ( x 2                 5x           6)2               c
    B. 20               E. 20
           6                  6
           1                                             E.    33 ( x 2               5x              6)2            c
    C. 20
           3
22. Volume benda putar yang terbentuk karena                                      2                x2
                                                   26. Hasil dari                                                   dx           . . . .
                                                                              0                             3
    perputaran terhadap sumbu-x sejauh 360° dari                                          (9           x3 ) 2
    daerah yang dibatasi oleh parabola y x2 dan
                                                                2                                                        1
    y x sama dengan . . . .                              A.                                                    D.
                                                                3                                                        3
          8                        2                            5                                                        2
    A.                       D.
         15                       15                     B.                                                    E.
                                                                9                                                        9
          6                        1                            4
    B.                       E.                          C.
         15                       15                            9
          4
    C.                                                                                    4 x dx
         15                                        27. Hasil dari                                                   . . . .
                                                                                      3   x2           1
23. Daerah D dibatasi oleh kurva y     sin x,
    0 x p, dan sumbu-x. Jika daerah D diputar                                                  2
                                                         A.      63 x2                    1                c
    360 terhadap sumbu-x, maka volume benda
    putar yang terjadi adalah . . . .                                                         2
    A.   2
           satuan volume                                 B.      33 x 2                   1                c
         1
    B.           satuan volume
         2                                                           4 3 x2                       2
                                                         C.                                1                   c
         1 2                                                         3
    C.         satuan volume
         2
                                                                                              2
    D.     satuan volume                                 D.     4 3 x2                1                 c
                                                                3
             1
    E.            satuan volume
             2                                                                            2
                                                         E.    33 x 2                 1                c


 Bab 15 Integral                                                                                                                                   113
28. Diketahui f(x)                ax   b, f(x)   0 untuk 0             x   4                7                                        5
                                                           8                         A.                                     D.
      dan f(x)        0 untuk x             4. Jika            f ( x) dx   0,               8                                        4
                                                           0
                                                                                                                                     11
      serta luas daerah yang dibatasi oleh                                           B.                                     E.
      y f(x), x 0, x 8, dan sumbu-x adalah 6,                                                                                         8
      maka persamaan fungsi f(x) adalah . . . .                                             9
                                                                                     C.
          2      4             1     4                                                      8
      A.    x            D.      x
          5      5             5     5                                          30. Daerah R dibatasi oleh parabola y       2x 2
            2     4              1     4                                            dan garis y 8. Garis y c dengan 0 c 8
      B.      x          E.        x
            5     5              5     5                                            membagi daerah tersebut menjadi dua bagian,
          1     4                                                                   yaitu daerah R1 dan R2. Daerah R1 dan R2
      C.    x
          5     5                                                                   diputar terhadap sumbu-y sehingga meng-
                                                                                    hasilkan benda putar dengan volume V1 dan
29. Daerah D terletak di kuadran pertama yang                                       V2. Agar V1 dan V2, maka c . . . .
    dibatasi oleh parabola y 2x2, parabola y 4x2,
                                                                                     A.     2 2                             D.       2 3
    dan garis y 3. Volume benda putar yang terjadi
    jika diputar terhadap sumbu-y adalah . . . .                                     B.     3 2                             E.       4 3
                                                                                     C.     4 2




                                                                           S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.    Garis g menyinggung y sin x di titik ( , 0).                                          1
      Jika daerah yang dibatasi oleh garis g, garis                                  C.         (3 x     4   x2 ) dx
                                                                                            0
           1
      x        , dan kurva y         sin x diputar                                          1                2
            2                                                                        D.         3 x dx               (4     x2 ) dx
                                                                                            0                1
      mengelilingi sumbu-x, maka volume benda
      putar yang terjadi adalah . . . .                                                     1                2
                                                                                     E.         3 x dx               ( x2    4) dx            (SPMB 2003)
            2                                    2                                          0                1
                      2                                   2
      A.        (          8)               D.        (         6)
           16                                    8                              4.   Perhatikan gambar!
            2                                    2
                      2                                   2
      B.        (          6)               E.        (         8)                                                    y
           16                                    6                                                                                        y   x2
            2
      C.        ( 2        6)                             (UMPTN 2001)
           24
                                                                                                                                          y   x
2.    Jika D adalah daerah yang dibatasi oleh parabola
      y 4x x2 serta garis yang melalui (4, 0) dan
      puncak parabola, maka luas D adalah . . . .
                                                                                                                                                   x
           4                      26                                                                                             b
      A.                     D.
           3                       3
           16                     28                                                            0                b
      B.                     E.                                                      Jika           x dx              x2 dx , maka luas daerah
            3                      3                                                            1            0
           20                                                                        yang diarsir adalah . . . .
      C.                              (UMPTN 2001)
            3                                                                               1                                        1
                                                                                     A.                                     D.
3.    Luas daerah dalam kuadran I yang dibatasi oleh                                        2                                        6
      y 4 x2, y 3x, dan y 0 dapat dinyatakan                                                1                                        1
      sebagai . . . .                                                                B.                                     E.
                                                                                            3                                        8
           1
      A.         (4       x2      3 x) dx                                                   1
           0
           2
                                                                                     C.                                                       (SPMB 2003)
                 (4       x   2
                                  3 x) dx                                                   4
      B.   0


114                                              Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                                                      1
5.     Garis singgung kurva y                  1, 2
                                                f(x) di titik                A.         6                          D. 2 atau 2
                                                  3                                   3
       sejajar dengan garis 2x     y     3   0. Jika                                                                        5        5
                                                                             B.       2                            E.         atau
       f(x) 2x, maka titik potong kurva f(x) dengan                                                                         2        2
       sumbu-y adalah . . . .                                                         5
                                                                             C.                                                 (SPMB 2005)
       A. (0, 1)              D. (0, 2)                                               2
       B. (0, l)              E. (0, 0)                                 8.
                                                                                                           y
       C. (0, 2)                        (SPMB 2004)
                                                                                  y       x2       2
6.     Jika          b       , maka himpunan semua nilai-
                                                     b
       nilai b yang menghasilkan                         sin x dx   0
                                                                                                       O
       adalah . . . .                                                                                                   x
       A. 0
       B. ( , )                                                                           y    x
       C. ( , 0, )                                                                                             y   x2


       D.        ,       , 0,        ,
                     2           2                                           Luas daerah yang diarsir adalah . . . .
                                                                                 11                    17
                                                                             A.                   D.
       E.        ,       ,       , 0,     , ,            (SPMB 2004)              6                     6
                     2       4           2 4                                     13                    19
                                                                             B.                   E.
                                                                                  6                     6
7.     Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva
                                                                                 15
                                              2                              C.                             (SPMB 2006)
       y      px dan garis y      x adalah      ,                                 6
                                              3
       maka p . . . .




            Intersection
            Untuk mempelajari bab ini terlebih dahulu pahami materi tentang persamaan kuadrat dan turunan.




     Bab 15 Integral                                                                                                                     115
Bab

        16                                                             Program Linear



   A.          Sistem Pertidaksamaan Linear Dua                                         Jawab:
               Variabel                                                                 (i) x 0
                                                                                                                       y


    Bentuk umum pertidaksamaan linear dua
variabel adalah sebagai berikut.
                                                                                                                                           x
      ax       by          p                                                                                       O

      cx       dy          q
dengan a, b, c, d, p, q adalah bilangan real dan x,                                                                            y
                                                                                        (ii) y     0
y adalah peubah atau variabel.


Contoh
                                                                                                                                               x
                                                                                                                       O
   Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan
   x 0, y 0, dan 2x y 6, untuk x, y R
   adalah . . . .                                                                       (iii) 2x       y       6
               y                                              y                              Untuk menggambar pertidaksamaan
   A.                                               D.                                  tersebut, terlebih dahulu ubah pertidaksamaan
           3                                              6                             ke bentuk persamaan 2x y 6.
                       HP                                                                    Jika x 0        2(0) y 6
                                                x                                                                   y 6      (0, 6)
           O                            6                         HP
                                                                                             Jika y 0        2x 6
                                                                                    x                         x 3     (3, 0)
                                                          O            3
                                                                                             Untuk menentukan daerah 2x                                  y       6
                                        y                                       y
   B.                                               E.                                  ambil titik uji (0, 0).
                                                                            6
               6                    O
                                            x                                           2 · 0 0 6
                               HP
                                                                                                 0 6
                                    3                                                   Dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh
                                                                           HP
                                                                                                           y                               y
                                                          x
                                                                   3            O
                                                                                                   6                                   6
                       y
  C.
           x
                   O                        6
                            HP
                                                                                                                                               HP
                   3

                                                                                                                                   x                         x
                                                                                                   O                       3           O             3


                                                                                                                                                    Kunci: D


116                                                      Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
   B.     Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif                           Substitusi y            0   ke   persamaan
                                                                        2x 3y 12.
                                                                           2x 3 · 0        12
    Bentuk umum fungsi objektif                                                   2x       12
                                                                                   x       6
                   f(x, y)          ax          by
                                                                        Jadi, titik A(6, 0).
    Suatu fungsi akan dioptimumkan (maksimum                            Titik B adalah titik potong antara
atau minimum) disebut fungsi objektif.                                  2x y 8 dan 2x 3y 12.
    Untuk menentukan nilai optimum fungsi                               Dari 2x y 8, diperoleh
objektif dapat digunakan salah satu metode berikut.
                                                                                 y 8 2x            . . . (i)
    Metode uji titik pojok
    Metode garis selidik                                                Substitusi y pada Persamaan (i) ke
                                                                        Persamaan 2x 3y 12.
                                                                             2x 3(8      2x)    12
Contoh                                                                        2x 24       6x    12
                                                                                          4x     12
   Nilai    maksimum    fungsi   objektif
   f(x, y) 3x 5y yang memenuhi 2x y 8,                                                     x    3
   2x 3y 12, x      dan y 0 adalah . . . .                              Substitusi x 3 ke Persamaan (i)
   A. 19                  D. 45                                             y 8 2(3)
   B. 20                  E. 57                                                 8 6
   C. 40                                                                        2
   Jawab:                                                               Jadi, titik B(3, 2).
   Dengan menggunakan metode uji titik pojok.                           Titik C adalah titik potong antara
                   y                                                    2x y 8 dan sumbu-y.
                                                                        Substitusi x 0 ke persamaan
               8       C
                                                                                2x y 8
                                x       0
                                                                            2 . 0 y 8
                                                                                     y 8
                                                                        Jadi, titik C(0, 8).
               4
                                                                        Uji titik-titik pojok
                                        B       y     0
                                                                        Titik pojok (x, y) f(x, y)         3x   5y
                                                     A
                                                               x               A(6, 0)                   18
               O                            4        6
                                                                               B(3, 2)                   19
                           2x       y       8        2x   3y       12
                                                                               C(0, 8)                   40
   Titik-titik pojoknya adalah titik A, B, dan C.                       Dari tabel diperoleh nilai maksimum
        Titik A adalah titik potong antara garis                        fungsi objektif f(x, y) 3x  5y adalah
        2x 3y 12 dan sumbu-x.                                           f(0, 8) 40.




 Bab 16 Program Linear                                                                                               117
            S oal Pemantapan Ujian Nasional

      Kompas
     •     Soal nomor 1 merupakan kategori soal yang mudah, kamu pelajari tentang SPLDV.
     •     Soal nomor 2 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang nilai optimum suatu fungsi
           objektif.
     •     Soal nomor 3 – 6 merupakan kategori soal yang sulit sehingga kamu harus mempelajari dan
           memahami seluruh materi bab ini.




1.    Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan                               D.         y

      x 0, y 0 dan x 2y 4, untuk x dan y R
      adalah . . . .                                                               2

      A.         y
                                                                                           HP
             4
                                                                                                                 x
                                                                                  O                      4


                                                                                                         y
                     HP                                                     E.


                                       x
             O                 2
                                                                                   4                         O   x
                                                                                                HP


                                   y
                                                                                                     2
      B.                   4


                                                                       2.   Seorang pedagang membeli jeruk seharga
                          HP                                                Rp1.200,00/buah dijual dengan laba Rp300,00/
                                                                            buah. Sedangkan apel seharga Rp1.000,00/buah
                                                                            dijual dengan laba Rp200,00/buah. Pedagang
                                           x
                     2         O                                            tersebut mempunyai modal Rp340.000,00 dan
                                                                            kiosnya dapat menampung 300 buah, maka
                     y                                                      keuntungan maksimum pedagang tersebut
     C.                                                                     adalah . . . .
                                                                            A.   Rp75.000,00         D. Rp83.000,00
                                                                            B.   Rp78.000,00         E. Rp85.000,00
                                                    x                       C.   Rp80.000,00
              O                                2
                          HP
              2




118                                                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
3.     Perhatikan grafik di bawah ini!                                              A.   36                  D. 27
                     y                                                              B.   32                  E. 25
                                                                                    C.   30
             60          A
                                                                               5.   Nilai maksimum fungsi sasaran z        6x     8y dari
                              k: 3x        y    60
                                                                                    sistem pertidaksamaan
                             B                                                       4x 2    60
                                       l: x     y     40
                                                                                     2x  4y   48
                                       C
                                                    m: x   3y    80                  x  0, y   0
                                                                      x             adalah . . . .
                 O                                          80
                                                                                    A. 120             D. 114
       Nilai minimum dari fungsi objektif 6x                              8y        B. 118             E. 112
       adalah . . . .                                                               C. 116
       A. 240              D. 320                                              6.   Nilai minimum fungsi objektif x  3y yang
       B. 280              E. 360                                                   memenuhi pertidaksamaan 3x      2y   12,
                                                                                    x 2y 8, x y 8, y 0 adalah . . . .
       C. 300
                                                                                    A. 8               D. 18
4.     Nilai maksimum dari bentuk objektif k 3x                           4y        B. 9               E. 24
       yang memenuhi sistem pertidaksamaan
                                                                                    C. 11
        x    0
        y    0
        2x       y       11
        x    2y          10
       dengan x, y               R adalah . . . .




                                                                          S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.     Nilai minimum dari z 3x 6y yang memenuhi
                                                                                    Daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah
       syarat:
                                                                                    himpunan semua (x, y) yang memenuhi . . . .
           4x y 20
           x y 20                                                                   A.   2x     y   30, 3x   4y   60, x    0, y      0
           x y 10                                                                   B.   2x     y   30, 3x   4y   60, x    0, y      0
           x 20                                                                     C.   x     2y   30, 4x   3y   60, x    0, y      0
           y 20
                                                                                    D. x       2y   30, 4x   3y   60, x    0, y      0
       adalah . . . .
       A. 50                D. 20                                                   E.   2x     y   30, 4x   4y   60, x    0, y      0
       B. 40                E. 10                                                                                         (SPMB 2003)
       C. 30                       (UMPTN 2001)
                                                                               3.   Nilai maksimum dari f(x, y) 10x 20y dengan
2.                                     y                                            kendala x 0, y 0, x 4y 120, x y 60
                                                                                    adalah . . . .
                                  30                                                A.   400                 D. 700
                                  15                                                B.   500                 E.   800
                                                                                    C.   600                              (SPMB 2004)
                                  O            15    20


     Bab 16 Program Linear                                                                                                          119
4.                      y                                    A.   9               D. 16
                                                             B.   10              E. 20
                    6
                               y    x                        C.   12                        (SPMB 2005)

                                                        6.   Nilai z 3x 2y maksimum pada x a dan
                    1
                                                             y b juga memenuhi pertidaksamaan
                    O         5 6                                  2x y 0
                                                                 x 2y 0
      Daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah             x 2y 8
      penyelesaian sistem pertaksamaan linear . . . .        maka a b . . . .
      A. 6x 5y 30 0, x 6y 6 0, x y 0                         A.   2            D. 4
      B. 6x 5y 30 0, x 6y 6 0, x y 0                         B. 1              E. 6
      C. 6x 5y 30 0, x 6y 6 0, x y 0                         C. 2                        (SPMB 2005)
      D. 6x 5y 30 0, x 6y 6 0, x y 0
      E. 6x 5y 30 0, x 6y 6 0, x y 0                    7.   Nilai minimum dari fungsi F x y pada daerah
                                        (SPMB 2004)          yang memenuhi pertidaksamaan 4x y 12,
                                                             2x y 12, x 2y        6, x 0 dan y 0 adalah
5.    Nilai maksimum dari 4x         y untuk x dan y         A. 0                  D. 8
      yang memenuhi 5x    3y        20, 3y   5x  10,         B. 3                  E. 12
      x 0, y 0 adalah . . . .                                C. 6                           (SPMB 2006)




        Intersection
        Untuk menguasai materi program linear sebaiknya pelajari dahulu materi tentang persamaan
        linear dua variabel atau tiga variabel. Materi tentang program linear juga banyak digunakan
        dalam ilmu ekonomi. Jika kamu ingin menjadi pengusaha yang handal, pahami dan pelajarilah
        bab ini dengan saksama.




120                                 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab

            17                                                   Matriks



                                                                      Contoh
       A.           Pengertian dan Jenis-jenis Matriks
                                                                                   2
                                                                                                       2
                                                                             C     9              D    1
1.     Pengertian matriks                                                           3
   Perhatikan susunan kumpulan bilangan di
bawah ini.
                                                                     c.   Matriks persegi
                    8 4 3
                                                                         Matriks persegi adalah matriks yang banyak
       A            1 6 2                                            barisnya sama dengan banyak kolomnya.
                    5 7 9
      Matriks adalah susunan kumpulan bilangan                        Contoh
yang berbentuk persegipanjang dan dinyatakan
dalam baris dan kolom.                                                                                  2   3   4
      Matriks A terdiri dari 4 baris dan 3 kolom,                                   6   8
                                                                             E                    F     1   5   3
                                                                                    6   8
maka matriks A berordo 4 3.                                                                             4   6   8
      Bentuk umum, matriks berordo i       j dengan
i, j bilangan asli, dapat dituliskan sebagai berikut.

                          a11    a12   a1 j                          d.   Matriks nol
                                                    Baris pertama
                          a21    a22   a2 j                              Matriks nol adalah matriks yang semua
                                                    Baris kedua
       Ai       j                                                    elemennya nol.

                          ai1    ai2    aij         Baris ke-i
                                                                      Contoh
                      Kolom Kolom      Kolom                                                             0 0 0
                     pertama kedua      ke-j                                       0 0 0
                                                                             G                    H      0 0 0
                                                                                   0 0 0
                                                                                                         0 0 0
2.     Jenis-jenis matriks

a.     Matriks baris                                                 e.   Matriks identitas
    Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari                       Matriks identitas adalah matriks yang elemen-
satu baris.                                                          elemen diagonal utamanya sama dengan 1,
                                                                     sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0.
Contoh
            A        (8     4)          B      (5       1 7)          Contoh
                                                                                   1 0 0
                                                                                                        1 0
b.  Matriks kolom                                                            I     0 1 0          J
                                                                                                        0 1
                                                                                   0 0 1
    Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari
satu kolom.




     Bab 17 Matriks                                                                                                 121
f.    Matriks skalar
     Matriks skalar adalah matriks yang elemen-               B.           Operasi Hitung
elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen
di luar elemen diagonalnya sama dengan 0.
                                                              Jika matriks K, L, dan M dapat dioperasikan
Contoh                                                    dengan n adalah konstanta, maka berlaku aturan
                                                          berikut.
                3 0                      5 0 0            1. K L L K
         K                        L      0 5 0
                0 3                                       2. (K L) M K (L M)
                                         0 0 5
                                                          3. K(L M) KL KM
                                                          4. (K L)M KM LM
g.    Matriks diagonal                                    5. K(L M) KL KM
                                                          6. M(K L) MK LM
    Matriks diagonal adalah matriks persegi yang
elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.           7. n(K L) nK nL
                                                          8. n(K L) nK nL
Contoh                                                    9. (n p)K nK pK
                                                          10. (n p)K nK pK
                                         7 0 0
                3 0                                       11. (np)K n(pK)
         M                        N      0 5 0
                0 4                                       12. n(KL) (nK)L K(nL)
                                         0 0 11
                                                          13. (KL)M K(LM)

                                                          Cara melakukan perkalian dua buah matriks adalah
h.    Matriks segitiga atas
                                                                               Am    p    Bp   n    Cm       n
    Matriks segitiga atas adalah matriks persegi
yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya
bernilai nol.
                                                          Jadi, perkalian matriks dapat dilakukan bergantung
Contoh                                                    pada ordo matriks tersebut.

               5 3 6                                                                3 2            5 1
                                                          Misalnya: A                   , B
         O     0 1 4                                                                1 4            6 2
               0 0 8                                                       3 2      5 1
                                                          A        B
                                                                           1 4      6 2
               11   2   5 1                                                3    5   2 6 3 1         2    2
                0   4   7 3                                                1    5   4 6 1 1         4    2
         P
                0   0   6 15
                0   0   0 9                                                15 12 3        4        27 7
                                                                           5 24 1         8        29 9


i.    Matriks segitiga bawah                               I N G A T
    Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi             Perkalian matriks AB             BA
yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya
bernilai nol.

Contoh                                                    Contoh
               4 0 0
                                                              1.       Diketahui matriks
         Q     2 1 0
               3 5 8                                                           2 3 5                         4 5  1
                                                                       A       1 0 8               B         1 0 2
                3 0 0         0
                                                                               3 1 7                         3 3 1
                2 1 0         0
         R
                5 13 9        0                                        Nilai matriks C yang memenuhi
                8 1 7         4                                        2C 3B A adalah . . . .


122                                   Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
               7 2        6                                           10     b     4                2a    3    5
 A.    C       6 0        5                                                  b     4 10                  2a    5   3
               1 7        5                                                  b      6                    2a    8
               7     6 1                                                     b     6                      a    4
 B.    C       2     0 7                                                  atau
               6     5 5
                                                                      25     6b      11
                   1 6 7
 C.    C           7 0 2                                                     6b      11 25
                   5 6 5                                                     6b      36
                                                                              b      6
                   7 1        6                                       5a     18     2
 D.    C           2 0        5                                              5a     18 2
                   6 7        5                                              5a     20
               14        12 2                                                 a     4
 E.    C        4         0 14
                                                                 Jadi, a     4 dan b      6.
               12        10 10
                                                                                                              Kunci: C
 Jawab:
          4         5     1        2       3 5
 2C     3 1         0     2        1       0 8
          3         3     1        3       1 7
            12 15         3        2       3 5                   C.        Transpos
  2C         3  0         6        1       0 8
             9  9         3        3       1 7
                                                                  Transpos matriks A atau AT adalah sebuah
                    2 12            3 15 5 ( 3)              matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris
       2C           1 3             0 0   8 6                ke-i matriks A menjadi kolom ke-j dan sebaliknya
                    3 9            1 ( 9) 7 3                menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris
                    14        12  2                          ke-i.
        2C           4         0 14                          Misalnya:
                    12        10 10
                                                                       6 5 1                         6 2 4
                    7     6 1                                A        2 3 7 , maka AT                5 3 0
           C        2     0 7                                         4 0 9                          1 7 9
                    6     5 5
                                                  Kunci: B   Sifat-sifat matriks transpos adalah sebagai berikut.
                                                                 (A B)T AT BT
 2.    Diketahui matriks                                         (AT)T A
            2 1          5 a                        4 5
       P          , Q        , R                                 (cA)T cAT, c adalah konstanta
            5 6          b 3                       11 2
                                                                 (AB)T BTAT
       Bila PQ R, maka nilai a dan b berturut-
       turut adalah . . . .
       A. a     4 dan b 6
       B. a 4 dan b         6                                Contoh
       C. a 4 dan b 6                                            Jika matriks
       D. a     4 dan b      6                                        5   3p                    5    6
       E. a     6 dan b 4                                         A           dan B
                                                                      6 x 1                     3    p
       Jawab:                                                    Jika AT         B, maka nilai x adalah . . . .
                              PQ       R
                                                                 A.   2                         D. 1
               2    1    5 a               4  5                  B. 0                           E. 2
               5    6    b 3               11 2
                                                                      1
           10 b 2 a 3                      4  5                  C.
                                                                      2
           25 6 b 5 a 18                   11 2



Bab 17 Matriks                                                                                                         123
     Jawab:                                                             Jawab:
              5     3p               5   6
      A                , AT                                                    3x x 3
              6    x 1               3p x 1                             |A|                      2
                                                                               2 x 4
                        5   6              5       6
     AT   B
                        3p x 1             3       p
                                                                        |A| 3x(x 4) 2(x 3)                   2
     Sehingga diperoleh,                                                  3x2 12x 2x 6 2                    0
          3p        3                          x       1     p                3x2 14x 6 2                   0
           p       1                           x       1     1                    3x2 14x 8                 0
                                                       x     1 1
                                                                                 (3x 2)(x 4)                0
                                                       x      2
                                                                                     2
                                                       Kunci: E                  x     atau x               4
                                                                                     3
                                                                                                                     Kunci: C


     D.       Determinan dan Invers Matriks
                                                                   2.    Invers matriks
                                                                         Matriks persegi dengan ordo 2                2.
1.    Determinan
    Determinan dari matriks persegi A dinotasikan                                                    a b
                                                                                            A
dengan |A|.                                                                                          c d
    Untuk matriks A berordo 2       2, determinan
                                                                         Determinan dari matriks A adalah
matriks A didefinisikan sebagai berikut.
                         a b                                                               |A|   ad        bc
                    A
                         c d
                                                                       Invers dari matriks A, memenuhi AA 1 A 1A I,
                                      a b                          di mana I     matriks identitas. Invers matriks A
Determinan A adalah |A|                                 ad    bc
                                      c d                          atau biasa ditulis A 1 adalah
Untuk matriks B berordo 3 3 determinan matriks
B didefinisikan sebagai berikut.                                                                 1 d b
                                                                                     A 1
                                                                                             ad bc c a
                              a b     c
                         B    d e     f                            Suatu matriks mempunyai invers apabila:
                              g h     i                                matriks tersebut adalah matriks persegi
                                                                       determinannya tidak sama dengan nol
        a b       c a b
B       d e       f d e
        g h       i g h
                                                                   Contoh
        aei       bfg   cdh    ceg    afh          bdi                  Diketahui matriks
                                                                               1 2                     5   5
                                                                        A           dan B
Contoh                                                                         3 1                     10 0
                                                                        Jika AX      B, maka matriks X adalah . . . .
                                     3x x 3
     Diketahui matriks A                    . Nilai x                         1 2                                1          2
                                     2 x 4
                                                                        A.     6 0                         D.     6        0
     jika det A         2 adalah . . . .
           2                                   3                               1      2                          1         2
     A.                               D.                                       5      5
           3                                   4                                                                 5         5
                                                                        B.    3      6                     E.
           3                                                                                                     3         1
     B.                               E.       4                              5      5                           5         5
           4
                                                                               1 2
          2
     C.                                                                 C.    6 0
          3



124                                        Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
      Jawab:                                                                                                           1        2
                                                                                              1     1 1       2        5        5
                    AX       B                                                          A
                1                1                                                                  5 3       1        3        1
              A AX           A B                                                                                       5        5
                IX           A 1B                                                                   1     2
                                                                                                    5     5        5        5       1     2
                 X           A 1B                                                       X
                                                                                                    3     1       10        0           6 0
              |A| ( 1)(1)                2( 3)                                                      5     5
                         1       6       5                                                                                               Kunci: A




               S oal Pemantapan Ujian Nasional

       Kompas
      •       Soal nomor 1 – 4 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang operasi hitung matriks.
      •       Soal nomor 5 – 9 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang invers pada matriks.
      •       Soal nomor 10 – 15 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus pelajari determinan
              dan akar-akar persamaan kuadrat.


                 m 0            2              n                                   A.       3                          D. 0
1.     Jika                                                                        B.       2                          E. 1
                 0 n            4            5 3m
                                                                                   C.       1
       maka m               n        . . . .
       A.  2                                     D. 2                                           2   1     x        8
       B.  1                                     E. 3                         5.   Jika         5    3    y        9 , maka
       C. 1
                                                                                   nilai x        dan y adalah . . . .
2.     Ditentukan                                                                  A. x            2 dan y    3
            a b 2                        4 b c        10   7                       B. x             3 dan y 2
       2
          c 4    d                       8 2d           4 a 1 .                    C. x             3 dan y    2
       Nilai a b c                       d adalah . . . .                          D. x            2 dan y 3
       A.    11                              D. 7                                  E. x            3 dan y 2
       B.   9                                E.   3
                                                                                                                       4         9            5p   5
       C.   8                                                                 6.   Diketahui matriks A                             ,B                ,
                                                                                                                       3        4p             1   3
                                                 5     2          2  1                         10 8
3.     Diketahui matriks A                               ,B             ,          dan C                . Jika matriks A                      B    C 1,
                                                 9     4          p p q                         4 6p
                                 1 0                                               nilai 2p adalah . . . .
       dan A            B            , maka p                q    . . . .
                                 0 1                                               A.       1                          D. 1
               23                          17                                                 1
       A.                              D.                                          B.                                  E.       2
                2                           2                                                 2
               21                          15                                             1
       B.                              E.                                          C.
                2                           2                                             2
               19
       C.
                2                                                                                                           1 1               6m   4
                                                                              7.   Diketahui matriks A                        2 ,B                   ,
                                                                                                                           4m 1                1   1
                p       1 p q                        1 0                1 0
4.        A                   , B                         , dan
                    p      2s                         s t               0 1                              1 8m                       1
                                                                                   dan C                          dengan B              adalah invers
                                     2                                                                   1  5
       Jika A           B        C , maka q             2t    . . . .

     Bab 17 Matriks                                                                                                                                125
      dari matriks B. Jika A2                 B   1
                                                          C, nilai m yang                                         3 2
      memenuhi adalah . . . .                                               12. Jika X adalah invers dari matriks 2 2 , maka
      A. 2                 C.                     2
                                                                                X2 adalah matriks . . . .
               1
      B.                                 E.       6                                                                         31   21
               6                                                                          2        2                          4    2
                                                                                A.        2        3              D.          1
           1                                                                                                                2      2
      C.                                                                                                                      2
           2
                                                                                                                           21    2
                                                                                          3        2                        2
                                                                                B.                                E.
8.    Diketahui matriks A
                            2 1
                                 dan B
                                        3 2
                                            .
                                                                                          2        2                       31   21
                            3 5         1 3                                                                                 4    2
      Matriks X berordo 2     2 yang memenuhi                                                 2        21
      XB BAB adalah . . . .                                                                              2
                                                                                C.
           12 13                0 7                                                       21           3 1
      A.                  D.                                                               2             4
           11 16                7 14
                                                                            13. Jika matriks
            0 7                                       5 7
      B.   11 16                         E.           4 21                               3 1                      2        1
                                                                                A            dan B
                                                                                         3 2                      1        1
           12 13
      C.    7 14                                                                memenuhi persamaan A                   BX, maka X adalah
                                                                                matriks . . . .
9.    Jika x dan y memenuhi persamaan matriks                                             1 1                                  1 0
                                                                                A.        1 2                     D.           1 1
       p   q       x           p
                                 , p      q
       q   p       y           q
                                                                                          1 1                                  1       1
      maka x           2y      . . . .                                          B.        1 2                     E.           1       2
      A.  6                              D. 1
      B.  1                              E. 2                                             1 2
      C. 0                                                                      C.        1 1
                                  2      3                  6   12
10. Diketahui A                            , B                        dan
                                  1      2                  4   10                                                                 4       2
                                                                            14. Diketahui               matriks        A                            dan
      A2   xA              yB. Nilai xy       . . . .                                                                              3       4
                                                                                     5 3
                                                      1                         A
                                                                                     2 1 . Jika AC         B dan C 1 adalah
      A.   4                             D.
                                                      2                         invers matriks C, maka determinan dari
      B.   1                             E.       2                             matriks C 1 adalah . . . .
           1                                                                    A.   2                D. 2
      C.
           2                                                                    B.   1                E. 3
                                                                                C. 1
                                                  2 4             1   2
11. Diketahui matriks P                               , Q               ,
                                                  3 1             1   2                                                            4 5
                                                                            15. Diketahui               matriks        P                            dan
                                                                                                                                    4 x
                           7 10
      dan B                     . Jika BT adalah matriks B                               3x        2
                           7 9                                                  Q                    .       Jika x1 dan x2 adalah akar-
                                                                                         1         x
      transpos dan matriks A P Q, maka matriks
      X(2 2) yang memenuhi persamaan A · X BT                                   akar dari persamaan yang memenuhi
      adalah . . . .                                                            det (P)           det (Q), maka x12                x22         . . . .
               2 3                                    1 3                                4                                     7
      A.       3 1                       D.           2 1                       A.   7                            D. 13
                                                                                         9                                     9
           2           3                              1    3                            8                                      1
      B.   1           1                 E.           2    1                    B.   10                           E.   15
                                                                                        9                                      9
           3           2                                                                2
      C.                                                                        C.   11
           1           3                                                                9

126                                                   Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                                        S oal-soal UMPTN dan SPMB

1.     A
              p       1       p        q
                                           ,B
                                                  1 0
                                                             dan                           2        2                         31
                                                                                                                               4
                                                                                                                                      21
                                                                                                                                       2
                  p               2s              s t                            A.                                 D.
                                                                                           2        3                        21           2
              1       1                                                                                                       2
       C                .
              0       1
                                                                                           3        2                        21           2
       Jika   A       B               2
                                  C , maka q 2t               . . . .                                                         4
                                                                                 B.        2        2               E.
       A.     3                          D. 0                                                                                21       21
                                                                                                                              2        2
       B.     2                          E. 1
       C.     1                                              (UMPTN 2001)                      2        21
                                                                                                          2
                                                                                 C.                                                (SPMB 2003)
                                                                                           21           3 1
                        3 x   2  5                                                          2             4
2.     Persamaan                    merupakan per-
                      4 5 y     1                                           6.   Diketahui matriks
       samaan dua garis lurus yang berpotongan di
       titik yang jumlah absis dan ordinatnya sama                                     a       b
                                                                                                              u v
       dengan . . . .                                                            P     c d , Q                       , dan PT transpos dari
                                                                                                              w z
       A. 0                  D. 4                                                      e f
       B. 2                  E. 5                                                matriks P. Operasi yang dapat dilakukan pada
       C. 3                          (UMPTN 2001)                                P dan Q adalah . . . .
                          3           5                                          A. P Q dan PQ          D. PQ dan QTP
3.     Jika A                           , AT adalah transpos dari                B. PTQ dan QP          E. PQ dan QPT
                          1           2
                                                                                 C. PQ dan QP                     (SPMB 2003)
       matriks A, dan A 1 adalah invers dari matriks
       A, maka AT A 1 . . . .                                               7.   Jika A, B, dan C matriks 2                  2 yang memenuhi
              5        4                                5      4                        0 1                              1    0
       A.      6      1                         D.      4      5                 AB                       dan CB                 , maka CA 1
                                                                                         1 0                             0     1
              1 6                                        5    4                  adalah . . . .
       B.      6 1                              E.      4     5                        0        1                            1 0
                                                                                 A.    1       0                    D.       0 1
              1        4
       C.      4      1                                       (SPMB 2002)              0            1                        0 1
                                                                                 B.     1          0                E.       1 0
4.     Jika p, q, r, dan s memenuhi persamaan
                                                                                        1 0
         p    q           2a r                    1   1                          C.    0 1                                         (SPMB 2003)
        2r    s            q 2p                   1   1
       maka p         q           r        s    6 adalah . . . .                                                3 1                           2    1
                                                                            8.   Jika matriks A                              dan B
       A.  7                                     D. 0                                                           3 1                           1   1
       B.  3                                     E. 1                            memenuhi AX                    B,       maka         X       adalah
       C.                                                     (SPMB 2003)
                                                                                 matriks . . . .
                                                                                       1 1                                   1 0
                                                                                 A.     1 2                         D.        1 1
                                         3 2
5.     Jika X adalah invers dari matriks 2 2 , maka                                     1 1                                  1    1
                                                                                 B.    1 2                          E.        1 2
       X2 adalah matriks . . . .
                                                                                       1 2
                                                                                 C.     1 1                                        (SPMB 2003)


     Bab 17 Matriks                                                                                                                               127
9.    Jika x dan y memenuhi persamaan matriks                             14. Diberikan dua matriks A dan B dengan
       1       x         1       1       4                                                 5 k                        9 m
                                           , maka x       y     . . . .       A                dan B                      . Jika AB                    BA,
           3         2       y   2       1                                                 0 2                        0 5
      A.        4                          D. 4                                             k
                                                                             maka                     . . . .
      B.        2                          E. 8                                             m
      C.       2                                        (SPMB 2003)                    4                                     10
                                                                             A.                                        D.
                                     a a    4                                          3                                     45
10. Diketahui M                                 dengan a       0. Jika                      3
                                     5 a    1                                B.                                        E.    2
                                                                                            4
      determinan matriks M sama dengan 1, maka                                         3
      M 1 sama dengan . . . .                                                C.                                                           (SPMB 2004)
                                                                                       4
            8   11              7  11
      A.                   D.                                             15. Hasil kali semua nilai x sehingga matriks
            5    7              5   8
                7 11                               7 5                            x2        2x x             10
      B.                                   E.                                                                       tidak mempunyai invers
                5 8                               11 8                             x        2  x             6

                8 11                                                         adalah . . . .
      C.                                                (SPMB 2003)          A. 20                                     D. 20
                5 7
                                                                             B.   10                                   E. 9
11. Dua             garis        dalam      persamaan         matriks        C. 10                                                        (SPMB 2004)

           2 a           x       5                                        16. Nilai p yang memenuhi persamaan matriks
                                      saling tegak lurus jika
           b 3           y       4                                                     2 1                   6 2p        2       1     0 1
                                                                              2
      a : b . . . .                                                                    1 3                   4  1        1       1     2 4
      A.   6:1                             D. 2 : 3                          adalah . . . .
      B.   3 : 2                           E. 1 : 2                          A.   2                                    D. 1
      C. 1 : 1                                          (SPMB 2003)          B.   1                                    E. 2
                                                                             C. 0                                                         (SPMB 2004)
12. Jika x dan y memenuhi pertidaksamaan matriks
                                                                          17. Jika konstanta k memenuhi persamaan
       p       q     x           p
                                   , p     q , maka x    2y     . . . .        k 1              x        1         0
       q       p     y           q                                                                                   , maka x         y      . . . .
                                                                               1 0              y        1         k
      A.        6                          D. 1
                                                                             A.        (2       k)(1          k)       D. (1          k)(1     k)
      B.        1                          E. 2
                                                                             B.        (2       k)(1          k)       E. (1          k)(2     k)
      C.       0                                        (SPMB 2003)
                                                                             C.        (2       k)(1          k)                          (SPMB 2006)

                                                                          18. Transpos dari matriks Q ditulis Q T. Jika
                                   a 1 2
                                                                                           1         1
13. Jika a bilangan bulat, matriks a 1 a tidak                                Q                              dan det (2Q             Q T)     0, maka
                                                                                           p        1
                                                     5 6 7
      mempunyai invers untuk a                     . . . .                   nilai p                . . . .
      A. 5                D. 2                                                                                                    1        1
      B. 4                E. 1                                               A.         1                              D.        2  atau 1
                                                                                                                                  2        2
      C. 3                                              (SPMB 2004)                                                               1
                                                                             B.         1 atau 2                       E.        1 atau 1
                                                                                                                                  2
                                                                                            1
                                                                             C.         2     atau 1                                      (SPMB 2006)
                                                                                            2

           Intersection
           Bab ini sangat erat kaitannya dengan materi transfomasi geometri. Untuk memahami materi ini,
           terlebih dahulu pahami sistem persamaan linear.




128                                               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab

           18                                               Vektor



       A.       Pengertian dan Penulisan Vektor                                  B.   Operasi pada Vektor

1.     Pengertian vektor                                                          Misalkan penjumlahan dari vektor a dengan
    Vektor adalah besaran yang mempunyai besar                                vektor b adalah vektor c , dituliskan c a b.
dan arah. Besaran yang hanya mempunyai besar                                  Vektor c disebut resultan.
saja tanpa arah disebut besaran skalar.                                       Sifat-sifat penjumlahan vektor.
                                                                                  a   b        b       a
2.     Penulisan vektor
                                                                                  (a b) c a (b                      c)
     Suatu vektor dapat dituliskan dengan memakai                                 o a a o   a
lambang huruf kecil yang dicetak tebal, misalnya a,
                                                                                 Vektor o adalah unsur identitas.
b, c, . . . , k, l, m, . . . , s, t, u, . . . .
     Untuk menghindari kesulitan jika ditulis                                    a    b 0 , di mana vektor a merupakan
dengan tulisan tangan, suatu vektor dilambangkan                                 invers penjumlahan dari vektor b .
dengan huruf kecil yang ditambahkan tanda panah
                                                                                  Pengurangan vektor a dengan vektor b dapat
di atas huruf tersebut. Misalnya a, b, c, . . . , k, l,
                                                                              ditentukan dengan menggunakan invers
m, . . . , s, t, u, . . . .                                                   penjumlahan dari sebuah vektor.
     Jika vektor a (x, y), maka panjang vektor a                              Misalnya x       a       b        a    ( b)
adalah sebagai berikut.

                                                                              Contoh
                                  a          x2   y2
                                                                                Diketahui vektor a                  ( 4, 2, 4) dan vektor
                                                                                b     (0, 3, 4), maka nilai a                         b ,
                                                                                adalah . . . .
Contoh
                                                                                A. 1                  D. 6
      Diketahui titik A(2, 1, 3) dan B(4, 0, 5), maka                           B.   17               E. 11
      nilai vektor p yang mewakili ruas garis                                   C.   41
      berarah dari titik A ke titik B adalah . . . .
      A.    3                      D. 9                                         Jawab:

      B.        2                                 E.    12                       a        ( 4)2 (2)2 (4)2
      C.    3                                                                             16       4       16        36     6

      Jawab:                                                                     b        02 ( 3)2          42
            p       ab       (4       2, 0    ( 1), 5       3)    (2, 1, 2)
                                                                                          0        9       16       25    5
            p            22       12         22                                 Sehingga diperoleh,
                         4        1      4        9     3                        a    b        6       5        1
                                                                 Kunci: C                                                       Kunci: A


     Bab 18 Vektor                                                                                                                     129
                                                                                                            8                                                 8
      C.             Perkalian Skalar Dua Vektor dan
                                                                                                            9                                                 9
                     Proyeksi Vektor                                                                        4                                                 4
                                                                                                   A.       9                                 D.              9
     Jika a dan b vektor-vektor tak nol dan sudut
                                                                                                            8                                                 8
  di antara vektor a dan b , maka perkalian skalar                                                          9                                                 9
vektor a dan b didefinisikan
                                                                                                            4                                             4
                               a       b            a b cos                                                 9                                             9
                                                                                                            8                                             8
                                                                                                   B.       9                                 E.
    Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor. Jika a ,                                                                                                     9
b , c vektor-vektor di R2 atau di R3 dan m, n                                                               8                                             8
skalar tak nol, maka diperoleh aturan berikut.                                                              9                                             9
          a      b     b           a                                                                        8
          a( b        c)        ab             ac                                                           9
                                                                                                   C.       4
          n(a        b) ( n a) b                a(n b)                                                      9
          (m         n)a m a                    na                                                          8
          n(a         b)           na          nb                                                           9
                                                        A                                          Jawab:
                                                                                                   Misalkan proyeksi vektor a pada b
                                                                                                   adalah c , maka
                                   a
                                                                                                                                      a       b
                                                                                                                          c                   2
                                                                                                                                                      b
                                                                                                                                          b
                                           c                C
                  O                                                             B
                                                        b
                                                                                                        b            22       ( 1)2 ( 2)2
     Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor                                                                   4 1 4                        9       3
c . Perhatikan AOC!
                   c                                                                                             1            2
cos                                                                                                              0            1
                  a                                                                                                                           2
      c           a cos                                                                                          1            2
                                                                                                        c                                     1
                                                                                                                     32
                           a           b       a        b                                                                                     2
                  a
                               a b                 b
                                                                                                                                              2
                                                                                                                2      0          2
      Panjang proyeksi vektor a pada vektor b                                                                                                 1
                                                                                                                      9
                           a       b                                                                                                          2
adalah c                               .
                               b                                                                                                                  8
                                                                                                                                                  9
                 Proyeksi vektor a pada b adalah                                                                          2                       4
                                                                                                                 4        1                       9
                                                    a           b                                               9
                                           c                        b                                                                             8
                                                            2                                                             2
                                                        b                                                                                         9
                                                                                                                                                              Kunci: A

Contoh                                                                                        2.   Vektor a     ( 2, 1, 3) dan vektor
                                                                                                   b (1, 3, 2), maka besar sudut antara
   1.         Diketahui vektor                                                                     vektor a dan vektor b adalah . . . .
              a   ( 1, 0, 1), b                             (2, 1, 2)                              A. 30                D. 90
              maka proyeksi vektor                                       a   pada   b              B. 45                E. 120
              adalah . . . .                                                                       C. 60



130                                                                     Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                                                                          B

       Jawab:                                                                                                  n
                                                                                                      b
                                                                                                                    C
                                2                                                                         c
             a              2           ( 1)2 32                                                                        m
                                                                                                               a
                        4       1 9          14                                               O                             A

                                                                             Titik C pada ruas garis AB dengan perbandingan
                b       12 ( 3)2 22
                                                                         m : n sehingga vektor c di R3 adalah
                        1       9       4        14                                                       mb         na
                                                                                                  c
                                2        1                                                                 m         n
            a       b           1        3                               Contoh
                                3        2
                            2       3        6        7                    Berapakah koordinat titik                         pada garis
                                                                           penghubung A(2, 0, 6) dan B(2,                   4, 6) di dalam
                            a       b                 7             7
            cos                                                            dengan perbandingan 3 : 1?
                         a b                     14           14   14
                                                                           A. (2, 6, 3)               D.                        (2, 3, 6)
                        60°                                                B. (6, 2, 3)               E.                        (3, 2, 6)
                                                              Kunci: C     C. (3, 6, 2)

                                                                           Jawab:
                                                                           Misalkan titik tersebut adalah C maka
                                                                           AC : CB 3 : 1
  D.       Perbandingan Vektor                                             Koordinat titik C adalah

                                                                                  2             2
                    m                                     n
                                                                                3 4           1 0
       P                                                            R             6             6
                                    Q                                      C
                                                                                      3       1
    Titik Q membagi PR di dalam sehingga                                           6              2                 8
PQ : QR m : n atau PQ : PR m : (m n)                                              12              0                12
                                    m                                             18              6                24              2
                                                                                                                                   3
            P                                                  Q                          4                        4
                                         R                                                                                         6
                                                  n
                                                                           Jadi, koordinat titik C                  (2, 3, 6).
    Titik Q membagi PR di luar sehingga                                                                                             Kunci: D
PQ : QR m : ( n).




 Bab 18 Vektor                                                                                                                              131
              S oal Pemantapan Ujian Nasional

      Kompas
     •       Soal nomor 1 – 6 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang operasi pada vektor.
     •       Soal nomor 7 – 18 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang panjang proyeksi
             vektor.
     •       Soal nomor 19 – 21 merupakan kategori soal yang sulit, pelajari semua materi vektor.




                                           3                  2                  1v   u                  1u    1v
                                                                            A.                     D.
                                                                                 3                       6     3
1.    Besar sudut antara a                 2 dan b            3
                                                                                 v  1u                   1u    1v
                                           4                   3            B.                     E.
                                                                                    3                    6     3
      adalah . . . .                                                             1v   1u
                                                                            C.
      A. 180                       D. 30                                         3    6
      B. 90                        E. 0                                5.   ABCDEF adalah segi enam beraturan dengan
      C. 60                                                                 pusat O. Bila AB dan BC masing-masing
                                                                            dinyatakan oleh vektor u dan v , maka CD
2.    Diketahui a           3, b        1, dan a        b     1             sama dengan . . . .
      Panjang vektor a         b        . . . .                             A. u     v           D. u    2v
      A.   3                       D.    2 2                                B. u     v           E. v    u
                                                                            C. 2 v     u
      B.       5                   E.    2 3        1
      C.                                                               6.   Diketahui persegipanjang OACB dan D titik
               7
                                                                            tengah OA, CD memotong diagonal AB di P.
3.    Diketahui vektor-vektor                                               Jika OA    a dan OB        b , maka O P dapat
                                                                            dinyatakan sebagai . . . .
               4        5                      7                                1 (a                     1a    2b
                                                                            A.        b)           D.
         u     2 , v    3 , dan w              1                                2                        3     3
               5        7                      4                                1 (a  b)                 1a    2b
                                                                            B.                     E.
                                                                                3                        2     3
      vektor 3 u       2v    w sama dengan . . . .                              2a    1b
                                                                            C.
                                                                                3     3
               9                          7
      A.       1                   D.     1                            7.   Diketahui     vektor   u    2i    4j    6k   dan
               5                          5                                 v 2 i 2 j 4 k . Proyeksi vektor ortogonal
                                                                            u pada v adalah . . . .
               9                          5                                 A.  4i   8 j 12k D.      i  2 j 3k
      B.       2                   E.     3                                 B.  4i   4 j 8k       E. i   j  2k
               4                          9                                 C.  2i   2 j 4k
               8                                                       8.   Diketahui |a|      6, (a b) (a b) 0, dan
      C.       2                                                            a (a b)    3. Besar sudut antara vektor a
               7                                                            dan b adalah . . . .
                                                                            A.                     D.
                                                                                 6                       2
4.    Dalam ABC, diketahui P titik berat ABC dan
                                                                            B.                     E.
                                                                                 4
      Q titik tengah AC. Jika CA                   u dan CB       v,
                                                                            C.
      maka PQ      . . . .                                                       3

132                                        Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                                                      A.       110                       D.        18
                                          2 2
9.     Diketahui vektor a   4 dan b        m . Jika                                   B.       84                        E.        12
                            5               5                                         C.       56
       proyeksi skalar ortogonal vektor b pada

       vektor a sama dengan 3 5 , maka nilai m sama                               15. Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut
                            5
       dengan . . . .                                                                 60 dengan a       2 dan b     5, maka nilai
       A. 4                 D. 7                                                      a(b  a)            ....
       B. 5                 E. 8                                                      A. 5                                    D.            9
       C. 6                                                                           B. 7                                    E.            10
                                                                                      C. 8
10. Diketahui
       a    4i   3j    pk                                                         16. Diketahui vektor-vektor a                     2i           4j         3 k,
       b   3i   4j    pk                                                              b        xi    zj         4 k, c        5i        3j         2 k, dan
       Jika sudut antara vektor a dan b sama
                                                                                      d    2i       zj       xk . Jika vektor a tegak lurus
       dengan 60 , maka nilai p . . . .
                                                                                      terhadap vektor b dan vektor c tegak lurus
       A.         3                       D.       6
                 5 3                                                                  terhadap vektor d , maka a                        b        ....
       B.                                 E.        3 5
                 3                                                                    A.       6j        k               D.     2i          k
       C.       5
                                                                                      B.   4i        2j       k          E.   4i            6j         k
11. Diketahui vektor-vektor a                            2i        j       9 k,
                                                                                      C.   6i        k
       b    i        j 3 k, c       3i    2j       k, dan d            a   2 b.
       Proyeksi vektor d pada vektor c adalah . . . .                             17. Vektor yang merupakan proyeksi vektor
                                                                                      (3, 1, 1) pada vektor (2, 5, 1) adalah . . . .
            1b                                     1c
       A.                                 D.                                               1 (2, 5, 1)           1 30(2, 5, 1)
            2                                      7                                  A.                    D.
                                                                                           2                      3
            1b                                     1b
       B.                                 E.                                               1 (2, 5, 1)                         1 (2, 5, 1)
            4                                      7                                  B.                                 E.
                                                                                           3                                   4
            1c
       C.                                                                                      1 (2, 5, 1)
            2
                                                                                      C.
                                                                                               30
12. Diketahui vektor a                         i         j         2 k dan
       b        ni         j        2 k. Jika vektor a dan                        18. Titik-titik P, Q, dan R segaris, serta P                         ( 1, 1)
                                                                                      dan R(3, 5). Jika PQ QR, maka Q                                  . . . .
       vektor b membentuk sudut 60 , maka nilai                                       A. (3, 1)               D. (1, 3)
       n . . . .
                                                                                      B. (2, 2)               E. (2, 3)
       A.   2            D. 1
                                                                                      C. (1, 1)
       B.   1            E. 2
       C. 0                                                                       19. Diketahui a             (x,   1, 5) dan b                  (6,       3, 6).

13. Diketahui: a                                                                      Panjang proyeksi a pada b adalah 5 satuan,
                                3i       j  k
               b                2i       3j   2k                                      maka a sama dengan . . . .
               c                6i       6j  3k                                       A.   5                             D.   2 10
       Proyeksi vektor (a                2 b) pada c adalah . . . .                   B.   6                             E.   3 10
       A.   2i         2j       k         D.       2i        2j     k                 C.       30
       B.   3i         4j       3k        E.        2i        2j       k
                                                                                                                              1                   2
       C.   3i         j       2k
                                                                                  20. Diketahui vektor a                      x , b
                                                                                                                        1 , dan
14. Diketahui titik A(7, 4, 1), B(2, 4, 9), dan                                                                         1     2
    C(1, 3, 2). Jika P terletak pada AB dengan                                                                         2
                                                                                      panjang proyeksi a pada b adalah    . Sudut
    AP : PB     2 : 3, maka panjang |CP | . . .                                                                         6
    satuan panjang.                                                                   antara a dan b adalah a, maka cos a . . . .

     Bab 18 Vektor                                                                                                                                          133
             2                            2                                                                              x
      A.                            D.
           3 6                             6                           21. Sudut antara vektor u                         1       dan vektor
           1                               6                                                                             3
      B.                            E.
           3                              3
                                                                                      1
           2
      C.                                                                    v         3   adalah         . Nilai x           . . . .
           3                                                                                         3
                                                                                      2
                                                                            A.   46                          D. 5
                                                                            B.   10                          E. 2
                                                                                 46
                                                                            C.
                                                                                  5




                                                                 S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.    ABCDEF adalah segi enam beraturan dengan                         4.   Diberikan matriks dan vektor-vektor sebagai
      pusat O. Bila AB dan BC masing-masing                                 berikut.
      dinyatakan oleh vektor u dan v , maka                                       2       2              1
                                                                                                                     p
      CD        . . . .                                                     A     2       1 ,a       2 ,b                    , dan AT me-
                                                                                                                     q
      A.   u        v               D.   u      2v                                3       2          2
      B.   u        v               E.    v     u
                                                                            nyatakan transpos dari A. Jika vektor AT a
      C.       2v       u                           (SPMB 2002)             tegak lurus dengan vektor b , maka nilai p
                                                                            sama dengan . . . .
2.    Diketahui             kubus    OABC.DEFG.              Jika           A. q                 D. 2q
      OA                                                                    B.   q               E. 3q
                (1, 0, 0), OC       (0, 0, 1), vektor proyeksi
                                                                            C. 2q                          (SPMB 2004)
      AF ke OF adalah . . . .
           1                             2                             5.   Bila panjang proyeksi vektor b   i 2 j pada
      A.     (1, 1, 1)              D.     (1, l, 1)                        vektor a   xi   y j dengan x, y   0 adalah 1,
           2                             3
                                                                            maka nilai 4x 3y 1 . . . .
                3                         1 1 1                             A. 1                  D. 2
      B.          (1, 1, 1)         E.     , ,
               3                          3 3 3                             B.   1                E. 3
           2                                                                C. 0                            (SPMB 2004)
      C.     3 (1, 1, 1)                            (SPMB 2003)
           3                                                           6.   Diketahui         bidang empat ABCD,
                                                                                              pada

3.    Jika sudut antara vektor a                                            DA a, DB b, dan DC c. Jika titik Q pada AB
                                           i        2j   p k dan
                                                                            dengan AQ : QB 1 : 2 dan titik R pada BC
      b    i        2j      p k adalah 60 , maka p           . . . .        dengan BR : RC 1 : 2, maka QR . . . .
               1      1                                                           a   b c                           2a           b     c
      A.         atau               D.                                      A.                               D.
               2      2                        5 atau    5                           3                                       3
                                                                                 a b c                              2a           b     c
                                             1        1                     B.                               E.
      B.       1 atau 1             E.         5 atau   5                           3                                        3
                                             2        2
                                                                                  2a b c
      C.         2 atau       2                     (SPMB 2003)             C.                                                (SPMB 2004)
                                                                                      3



134                                          Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
7.     Diberikan vektor-vektor posisi a     i   2 k dan         A.       D.
                                                                              4
       b    3i   k . Notasi x menyatakan panjang
                                                                B.       E.
       vektor x . Sudut antara vektor b a          ab                2        5

       dengan b a      a b adalah . . . .                       C.                (SPMB 2006)
                                                                     3




           Intersection
           Materi ini banyak diaplikasikan dalam ilmu Fisika.




     Bab 18 Vektor                                                                       135
Bab

        19                                                         Transformasi Geometri



   A.          Translasi (Pergeseran)                                                A( 1, 3) A (2, 5)
                                                                                          1 a 2       a                                  3
                                                                     h                     3         b           5          b           2
       Titik P(a, b) ditranslasikan dengan T1                        k ,                                                   a                3
maka diperoleh bayangan P (a                     h, b       k). Kemudian             Jadi, nilai T                                            .
                                                                                                                           b                2
                                                                 m                                                                                          Kunci: A
bayangan P ditranslasikan dengan T2                              n , maka       2.   Bayangan lingkaran
diperoleh                                                                            (x    5)2           (y           2)2          9 jika ditranslasikan
                                                                                                                 2
                         T2       m                                                  oleh T                      1        adalah . . . .
                                  n
P (a    h, b    k)                        P (a    (h       m), b    (k    n))
                                                                                     A.    (x        7)2              (y           3)2          9
                                                                                                             2                      2
       P (a      h       m, b         k      n) diperoleh dengan                     B.    (x        7)               (y           3)           9
                                                                                                             2                      2
                                                               h m                   C.    (x        7)               (y           3)           9
mentranslasikan P(a, b) dengan T                                   .                 D. (x           7)      2
                                                                                                                      (x            2
                                                                                                                                   3)           9
                                                               k n
                                                                                                             2                      2
    Translasi T1 kemudian dilanjutkan dengan T2                                      E.    (x        3)               (y           7)           9
ditulis T2 T1 .                                                                      Jawab:
                                                                                     Ambil sebarang titik P(a, b) pada
                              h   m
  P(a, b)       T2 T1
                              k   n        P (a       n     m, b    k    n)          (x 5)2 (y 2)2 9, maka
                                                                                     (a        5)2       (b              2)2        9 . . . (*)
                                                                                                                                                                    2
                                                                                     Translasikan titik P dengan T                                                  1
Contoh                                                                               sehingga diperoleh
  1.     Translasi T memetakan titik A( 1, 3)                                                            T
                                                                                                                      2
                                                                                                                      1
         ke titik A (2, 5), maka translasi T                                         P(a, b)                                       P (a             ( 2), b        1)
         adalah . . . .                                                                                                            P (a             2, b      1)
              3                    2
         A.                  D.                                                            a         a            2            a        a           2
              2                    3
                                                                                           b         b            1            b         b          1
                 2                                         3
         B.                                  E.                                      Substitusi a dan b ke (*).
                 3                                         2
                     3                                                               ((a        2)           5)2           ((b           1)         2)2      9
         C.                                                                                                          2                                  2
                     2                                                                    (a         2           5)         (b              1       2)       9
         Jawab:                                                                                              (a           7)2           (b          3)2      9
                                                  a
         Misalkan translasi T                                                        Jadi bayangan lingkaran adalah
                                                  b
                          T       a
                                  b
                                                                                     (x        7)2       (y              3)2        9
         A( 1, 3)                         A( 1            a, 3     b)                                                                                       Kunci: B


136                                               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                           6.    Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis x                h
       B.   Refleksi (Pencerminan)                               menghasilkan bayangan titik G(2h a, b).


1.     Pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu-x                    A(a, b) Garis y       h
                                                                                                   G(2h      a, b)
       menghasilkan bayangan titik B(a, b).
                                                                 Bentuk matriks transformasinya adalah
              A(a, b)      Sumbu-x         B(a, b)                     1 0 a        2h
                                                                 G
                                                                       0 1 b         0
       Matriks transformasi untuk pencerminan
       terhadap sumbu-x adalah                             7.    Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y                k
         1 0                   1 0 a                             menghasilkan bayangan titik H(a, 2k b).
         0  1 sehingga B      0 1 b
                                     .
                                                                                 Garis y   k
                                                                     A(a, b)                       H(a, 2k     b)
2.     Pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu-y
       menghasilkan bayangan titik C( a, b).
                                                                 Bentuk matriks transformasinya adalah
              A(a, b)      Sumbu- y        C( a, b)                    1 0 a         0
                                                                 H
                                                                       0  1 b        2k
       Matriks transformasi untuk pencerminan
       terhadap sumbu-y adalah                             Contoh
          1 0                  1 0 a
          0 1 , sehingga C           .                          1.   Bayangan dari titik P( 2, 5) jika
                               0 1 b
                                                                     dicerminkan terhadap garis x    3
3.     Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y      x             adalah . . . .
       menghasilkan bayangan titik D(b, a).                          A. ( 2, 11)        D. ( 8, 5)
                                                                     B. ( 2, 1)         E. (2, 5)
                          Garis y     x
              A(a, b)                       D(b, a)                  C. ( 4, 5)

                                                                     Jawab:
       Matriks transformasi untuk pencerminan
                                                                     P(a, b)    Garis x    h       P (2h   a, b)
       terhadap garis y x adalah
                                                                     P( 2, 5)    Garis x       3    P (2( 3)    ( 2), 5)
        0 1                           0 1     a
        1 0    sehingga D                       .                                                   P ( 6 2, 5)
                                      1 0     b
                                                                                                    P ( 4, 5)
4.     Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis
                                                                                                             Kunci: B
       y   x menghasilkan bayangan titik E( b, a).
                                                                2.   Bayangan parabola y     2x2    4x                7
            A(a, b)     Garis y      x      E( b, a)                 yang dicerminkan terhadap garis y                2
                                                                     adalah . . . .
       Matriks transformasi untuk pencerminan                        A. y      2x2 4x 11
       terhadap garis y x adalah                                     B. y 2x2 4x 11
          0 1                 0 1 a                                  C. y      2x2 4x 11
          1 0 sehingga E       1 0 b .                               D. y 2x2 4x 11
5.     Pencerminan titik A (a, b) terhadap titik asal O              E. y 2x2 4x 11
       menghasilkan bayangan titik F( a, b).                         Jawab:
                                                                     Ambil sembarang titik P(a, b) pada
                           O(0, 0)
               A(a, b)                    F( a, b)                   y 2x2 4x 7 sehingga
                                                                     b 2a2 4a 7 . . . (*)
       Matriks transformasi untuk pencerminan                        Refleksikan titik P terhadap garis
       terhadap titik asal O adalah                                  y    2.
          1 0                      1 0 a                             P(a, b)    Garis y    2       P (a, 2( 2) b)
          0  1 sehingga F         0 1 b
                                         .
                                                                                                   P (a, 4 b)


     Bab 19 Transformasi Geometri                                                                                     137
                                                                            Titik A(x, y) diputar sebesar radian terhadap
        a     a                                                        titik pusat P(a , b) sehingga diperoleh A (x , y ), maka
        b      4 b       b    4 b                                      terdapat hubungan berikut.
     Substitusi nilai a dan b ke (*)                                        x    (x a) cos        (y b) sin        a
      4 b      2(a )2 4(a ) 7                                               y    (x a) sin        (y b) cos        b
          b    2(a )2 4a     7 4                                       atau dapat ditulis dalam bentuk matriks
                    2
          b    2(a )    4a   11
          b     2(a )2 4a     11                                                    x          cos       sin       x       a   a
           y    2x2 4x 11                                                      A
                                                                                    y          sin       cos       y       b   b
                                                           Kunci: A


                                                                       Contoh
     C.       Rotasi (Perputaran)                                         1.   Titik H(2, 3) diputar 60 berlawanan
                                                                               dengan arah jarum jam terhadap titik
                                                                               pusat O(0, 0). Bayangan titik H oleh rotasi
1.    Rotasi terhadap titik pusat O(0, 0)                                      tersebut adalah . . . .
                      y
                                                                                               3               3
                                    A (x , y )                                 A.   H 1          3, 3
                                                                                               2               2
                                                                                               3               3
                                                                               B.   H 1          3, 3
                                                                                               2               2

                                                        A(x, y)
                                                                                      3    1
                                                                               C.   H   3,
                                                                                      2    2
                                                                                      1    3
                                                                  x            D.   H   3,
                  O                      B             A                              2    2
     Jika titik A(x, y) diputar sebesar    radian                                               3
                                                                               E.   H     3,      3
terhadap titik pusat O, maka diperoleh bayangan                                                 2
titik A (x , y ), maka terdapat hubungan berikut.                              Jawab:
     x    x cos      y sin
                                                                                  60 dan H(2, 3)
     y    x sin      y cos
                                                                               x   2 cos 60     3 sin 60
atau dapat ditulis dalam bentuk matriks
                                                                                       1      1            3
                                                                                   2 ·      3     3    1     3
                                                                                       2      2            2
                          x          cos         sin       x                   y   2 sin 60     3 · cos 60
              A
                          y          sin         cos       y                           1            1          3
                                                                                   2 ·    3     3 ·        3
                                                                                       2            2          2
Tabel hasil rotasi terhadap pusat O(0,0) adalah
                                                                                                          3                 3
sebagai berikut.                                                               H    (x , y )         1      3,         3
                                                                                                          2                 2
                          Titik Asal               Bayangan                                                                Kunci: A
         90                   (x,   y)                 ( y, x)
        180                   (x,   y)                 ( x, y)            2.   Bayangan parabola y x2 2x 4 yang
                                                                               dirotasikan sebesar 90 berlawanan
        270                   (x,   y)                 (y, x)
                                                                               dengan arah perputaran jarum jam
        360                   (x,   y)                 (x, y)                  dengan titik pusat Q(2, 3) adalah . . . .
                                                                               A. x y 4y 2
2.    Rotasi terhadap titik pusat P(a, b)                                      B. x     y2 4y 2
                                                                                        2
                                                                               C. y x       4x 2
                                A (x , y )
                                                                               D. y     x2 4x 2
                                             A(x, y)
                                                                               E. y     x2 4x 2

          P(a, b)                                                              Jawab:
                                                                               Ambil sembarang titik A(a, b) pada
                                                                               y x2 2x 4 sehingga


138                                                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
                                                               Dinyatakan dalam bentuk matriks adalah sebagai
            b a2 2a 4 . . . (*)                                berikut.
            Rotasikan titik A sebesar 90 berlawanan
            arah jarum jam dengan titik pusat                                                  x           k 0           x
                                                                                 A
            Q(2, 3), dengan rotasi ini diperoleh titik                                         y           0 k           y
            A (a , b ).
             a        cos 90   sin 90   a 2     2
                                                               2.    Dilatasi terhadap titik pusat P(a, b)
             b       sin 90        cos 90         b 3    3
                     0      1    a 2          2                     Jika titik A(x, y) dilatasikan terhadap titik pusat
                                                               P(a, b) dengan faktor skala k dan diperoleh bayangan
                     1      0    b 3          3
                                                               titik A (x , y ), maka
                         (b 3)         2           b 5              x    a k(x a)
                           a 2         3           a 1              y    b k(y b)
            Sehingga titik A ( b 5, a 1)                       Secara matematis dituliskan sebagai berikut.
                a    b 5        b 5 a
                b   a 1         a b   1                         A(x, y) A       P ( a, b), k           A (k(x       a)       a, k(y   b)    b)
            Substitusi nilai a dan b ke persamaan (*)
            5 a     (b 1)2 2(b 1) 4                            Dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut.
            5 a     b2 2b 1 2b 2 4
            5 a     b2 4b 7                                                        x               k 0       x       a           a
                                                                            A
               a    b2 4b 2                                                        y               0 k       y       b           b
                a     b2 4b 2
                x     y2 4y 2
            Jadi, bayangan parabola y x2 2x 4
            yang dirotasikan sebesar 90 berlawanan
                                                               Contoh
            arah jarum jam terhadap titik pusat                     Bayangan titik A( 2, 7) yang dilatasikan oleh
            Q(2, 3) adalah x    y2 4y 2.                            [P(2, 1), 3] adalah . . . .
                                                    Kunci: B        A. A ( 10, 19)              D. A (10, 19)
                                                                    B. A (10, 19)               E. A ( 19, 10)
                                                                    C. A ( 10, 19)

                                                                    Jawab:
       D.     Dilatasi (Perkalian)
                                                                    A( 2, 7), P(2, a), k               3

1.     Dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0)                                x        3 0               2 2           2
                                                                    A
                                                                            y        0 3               7 1           1
     Jika titik A(x, y) dilatasikan terhadap titik pusat
O(0, 0) dengan faktor skala k dan diperoleh bayangan                                 3 0               4        2
titik A (x , y ), maka terdapat hubungan berikut.                                    0 3               6        1
     x    kx                                                                           12          2            10
     y    ky                                                                           18          1            19
Secara matematis ditulis                                            Jadi, bayangan titik A adalah A ( 10, 19).

                                O, k                                                                                           Kunci: A
                 A(x, y)                   A (kx, ky)




     Bab 19 Transformasi Geometri                                                                                                          139
            S oal Pemantapan Ujian Nasional

      Kompas
     •     Soal nomor 1 – 3 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari materi tentang pencerminan.
     •     Soal nomor 4 – 11 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari materi tentang komposisi dua
           rotasi berurutan yang sepusat.
     •     Soal nomor 12 – 18 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari
           semua materi tentang matriks transformasi.




1.    Bayangan titik ( 5, 10) dicerminkan terhadap              A.   x 2y      4   0     D. 2x      y   4   0
      garis y    x adalah . . . .                               B.   x 2y      4   0     E. 2x      y   4   0
      A. (10, 5)             D. (5, 10)                         C.   2x y      4   0
      B. (5, 10)             E. ( 10, 5)
      C. ( 10, 5)                                          6.   Bayangan ABC dengan A(2, 1), B(6, 1), dan
                                                                C(5, 3) karena refleksi terhadap sumbu-y
2.    Bayangan garis y 2x 2 yang dicerminkan                    dilanjutkan rotasi (O, 90 ), maka akan
      terhadap garis y x adalah . . . .                         diperoleh . . . .
                                    x                           A. A ( 1, 2), B (1, 6), dan C ( 3, 5)
      A. y x 1            D. y          1
                                    2                           B. A ( 1, 2), B (1, 6), dan C ( 3, 5)
                                    x   1                       C. A (1, 2), B ( 1, 6), dan C ( 3, 5)
      B. y x 1            E. y
                                    2   2                       D. A ( 1, 2), B ( 1, 6), dan C ( 3, 5)
              x
      C. y        1                                             E. A ( 1, 2), B ( 1, 6), dan C ( 3, 5)
              2
                                                           7.   Luas bayangan persegipanjang PQRS dengan
3.    Suatu garis 3x  4y    2   0 jika digeser
                                                                P( 1, 2), Q(3, 2), R(3, 1), S( 1, 1) karena
      ke kanan sejauh 1 satuan, persamaannya
                                                                dilatasi [O, 3] dilanjutkan rotasi terhadap pusat
      menjadi . . . .
      A. 3x 4y 5 0                                              O dengan sudut         adalah . . . .
                                                                                   2
      B.   3x      4y   1    0                                  A.   36                  D. 96
      C.   3x      4y   6    0                                  B.   48                  E. 108
      D. 3x        4y   2    0                                  C.   72
      E.   3x      4y   3    0
                                                           8.   Bayangan titik A(x, y) karena refleksi terhadap
4.    Bayangan titik (6, 2) oleh rotasi berlawanan              garis x  2, dilanjutkan refleksi terhadap garis
      arah jarum jam sejauh 1      20 dilanjutkan               y 3, dan rotasi terhadap pusat O dengan sudut
      dengan      2     40 terhadap titik asal
      adalah . . . .                                               radian adalah ( 4, 6). Koordinat titik A
                                                                 2
      A. (3      3, 3 2   1)                                    adalah . . . .
      B.    (1      3, 3 2       1)                             A.   (2, 10)             D. ( 10, 2)
      C.    (3 3    1, 3 2        1)                            B.   (2, 10)             E.   (10, 2)
      D.    ( 3    2, 2      1)                                 C.   (10, 2)
      E.    ( 2    1, 23      2)
                                                           9.   Bayangan titik A karena rotasi pusat ( 1, 1)
5.    Persamaan peta garis x     2y    4   0 yang
      dirotasikan dengan pusat (0, 0) sejauh 90 ,               dengan sudut       dilanjutkan dilatasi pusat
                                                                                 2
      dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis             (1, 2) dengan faktor skala 2 adalah (1, 4).
      y x adalah . . . .                                        Koordinat titik A adalah . . . .

140                                    Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
    A.   (3, 3)                    D. (3, 3)                               A.   A( 1,   3),   B(2, 5), dan C(1, 2)
                                                                           B.   A( 1,   3),   B( 2, 5), dan C( 1, 2)
    B.       3, 1                  E.   ( 3, 3)
                2                                                          C.   A( 1,   3),   B( 2, 5), dan C(1, 2)
    C.   ( 3, 3)                                                           D.   A(3,    1),   B(5, 2), dan C(2, 1)
                                                                           E.   A(3,    1),   B(5, 2), dan C(2, 1)
10. Bayangan kurva y        x2    3x   1 karena
    dirotasikan sejauh 180 searah jarum jam                            15. Persamaan peta kurva y        x2 7x     10 oleh
    dengan titik pusat O(0, 0), kemudian dilanjut-                         transformasi berturut-turut terhadap rotasi
                                                                           pusat O dengan sudut putar 90 , dilanjutkan
    kan oleh pencerminan terhadap garis y        x
                                                                           dengan dilatasi pusat A(3, 1) dan faktor skala 2
    adalah . . . .
                                                                           adalah . . . .
    A.   y     x2       3x   1     D. y      x2          3y    1           A. y2 16y 2x 48 0
                    2                            2
    B.   y     x        3x   1     E.   y    x           3x    1           B. y2 16y 2x 49 0
                    2
    C.   y     x        3x   1                                             C. y2 16y 2x 49 0
                                                 1                         D. y2 8y x 28 0
11. Grafik parabola y        2x2    4 ditranslasi oleh                     E. y2 8y 4x 48 0
                                                 3
    kemudian didilatasi oleh [O, 2] dengan O adalah
                                                                       16. Diketahui:
    titik (0, 0), maka bayangannya adalah . . . .
                                                                           T1 adalah transformasi pencerminan terhadap
    A. y x2 4x 18
                                                                           sumbu-x.
    B. y x2 4x 18
                                                                           T2 adalah transformasi pencerminan terhadap
    C. y x2 8x 9
                                                                           garis y x.
    D. y x2 8x 9
                                                                           T3 adalah rotasi pusat O dan sudut putar 90
    E. y x2 4x 9                                                           T4 adalah transformasi yang bersesuaikan
12. Bayangan dari garis 2x                  3y       8        0 oleh                              3 2
                                                                           dengan matriks             .
                                                                                                  2 1
    transformasi rotasi terhadap O sebesar
                                              2                            Bayangan           titik   A     oleh   transformasi
    radian, kemudian dilanjutkan dengan
    pencerminan terhadap sumbu-y adalah . . . .                            T4 T1 T2 T3 adalah A (8, 6). Koordinat titik
    A. 2x 3y 8 0 D. 3y 2y 8 0                                              A adalah . . . .
    B. 3x 2y 8 0 E. 2y 3x 8 0                                              A. (4, 2)                      D. ( 2, 4)
    C. 2x 3y 8 0                                                           B. ( 4, 2)                     E. (4, 6)
                                                                           C. (2, 4)
13. Bayangan titik M(x, y) oleh transformasi yang
                                  2 1                                  17. Segitiga PQR dengan P( 2, 2), Q( 1, 4), R( 2, 4)
    bersesuaian dengan matriks           dilanjut-
                                  1 0
                                                                                                           1 2
                    3 2                                                    ditransformasi oleh matriks             . Luas
    kan dengan                                                                                             2 0
                    0 1 adalah titik M ( 50, 5).
                                                                           bayangan segitiga PQR adalah . . . satuan luas.
    Koordinat titik M adalah . . . .
                                                                           A. 3                     D.       9
    A. ( 50, 5)           D. (15, 30)
                                                                           B. 4                     E.       12
    B. ( 15, 30)          E. (5, 10)                                       C. 7
    C. ( 5, 10)
                                                                       18. Elips dengan persamaan 4x2 9y2 36 digeser
14. Koordinat bayangan titik-titik sudut segitiga                             1
    ABC karena dicerminkan terhadap garis y x                                 2 kemudian diputar 90 dengan pusat
    dan dilanjutkan oleh transformasi yang                                 ( 1, 2). Persamaan bayangan elips tersebut
                                                 2 1                       adalah . . . .
    bersesuaian dengan matriks                                adalah
                                                 1 3                       A. 4(x 3)2 9(y 3)2 36
    A (5, 0), B (12, 11), dan C (5, 5). Koordinat                          B. 9(x 1)2 4(y 2)2 36
    titik-titik sudut segitiga ABC semula                                  C. 4(x 1)2 9(y 2)2 36
    adalah . . . .                                                         D. 9(x 1)2 4(y 2)2 36
                                                                           E. 4(x 1)2 9(y 2)2 36



 Bab 19 Transformasi Geometri                                                                                              141
                                                   S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.    Suatu gambar dalam bidang xy diputar 45°           2.   Transformasi T berupa rotasi yang disusul
      searah perputaran jarum jam, kemudian                   dengan pencerminan terhadap garis y x. Jika
      dicerminkan terhadap sumbu-x. Matriks yang              rotasi itu berupa rotasi sebesar 90° terhadap
      menyatakan hasil kedua transformasi tersebut            pusat koordinat dengan arah perputaran jarum
      adalah . . . .                                          jam, maka matriks transformasi T dapat ditulis
              2     1   1            2 1     1                sebagai . . . .
      A.                      D.                                    1   0                           0     1
             2      1   1           2 1      1
                                                              A.                        D.          1    1
                                                                    0   1
              2     1   1            2 1     1
      B.                      E.                                   1    0                       1       1 1
             2      1   1           2    1   1                B.                        E.
                                                                   0     1                      2       1 1
              2 1       1                                          0    1
      C.                                 (SPMB 2002)          C.                               (SPMB 2005)
             2 1        1                                          1    0




           Intersection
           Agar lebih mudah mempelajari matriks transformasi, terlebih dahulu pahami tentang perkalian
           matriks. Materi tentang transformasi sering diaplikasikan dalam bidang fotografi dan arsitek.




142                                 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab

         20                                              Deret,
                                                Barisan, Deret ,
                                                dan Notasi Sigma


    A.       Barisan                                        B.        Deret

     Perhatikan barisan di bawah ini!                       Banyaknya suku-suku dari suatu barisan disebut
(i) 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . .                         deret. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
(ii) 1, 4, 7, 10, 13, 16, . . . .                                                                                   n
     Pada (i), suku pertama barisan tersebut adalah             U1        U2        U3    . . . .         Un             Ui
                                                                                                                   i 1
3, bilangan sesudahnya adalah sebagai berikut.
     5 3 2                                                  Untuk bentuk 2 4 8 16 32 . . . dapat
     7 5 2                                              dilihat bahwa suku berikutnya adalah suku
     9 7 2                                              sebelumnya dikali 2.
     11 9 2                                                 4 2 2
     13 11 2                                                8 4 2
                                                            16 8 2
    Terlihat jelas bahwa suku berikutnya selalu
ditambah 2, sehingga barisan tersebut mempunyai             Pada deret, beda disebut rasio atau ditulis r
beda 2.                                                 dan suku pertama ditulis a. Rasio adalah hasil bagi
    Pada barisan, bilangan pertama disebut suku         suku kedua dengan suku pertama, atau suku ketiga
pertama dan ditulis dengan a, beda ditulis b,           dengan suku kedua, dan seterusnya.
sedangkan banyaknya suku ditulis dengan n, untuk
suku tertentu ditulis Un.                                                      U2        U3                       Un
                                                                      r                            ...
    Bentuk umum barisan adalah                                                 U1        U2                      Un 1

                  U1, U2, U3, . . . . , Un              Contoh
                                                           Suku kelima dan rasio pada deret
                                                           243 81 27 . . .
Contoh
                                                           secara berturut-turut adalah . . . .
   Suku pertama dan beda pada barisan                                                                              1
                                                           A.        9 dan 3                         D. 3 dan
   6, 15, 24, 33, 42, . . . secara berturut-turut                                                                  3
   adalah . . . .                                                                                                  1
                                                           B.        3 dan 3                         E.      9 dan
   A. 6 dan 9                   D. 9 dan 15                                                                        3
                                                                 1
   B. 6 dan 11                  D. 11 dan 15               C.      dan 3
                                                                 3
   C. 6 dan 15
                                                           Jawab:
   Jawab:                                                     Deret 243              81       27         . . .
   Barisan: 6, 15, 24, 33, 42, . . . .
                                                                          U2      81      1
   a     6    b    15    6                                       r        U1     243      3
                   9
                                                                 U1        243
                                             Kunci: A


 Bab 20 Barisan, Deret, dan Notasi Sigma                                                                                      143
                                                                         Contoh
                              1
          U2       243                 81                                     1.    Banyaknya suku pada barisan 12, 20, 28,
                              3
                              1                                                     36, . . . , 652 adalah . . . .
          U3        81                 27
                              3                                                     A. 80                   D. 83
                              1                                                     B. 81                   E. 85
          U4        27                 9
                              3
                                                                                    C. 82
                              1
          U5         9                 3
                              3                                                     Jawab:
                                                           Kunci: D
                                                                                    a 12, b    20 12 8, Un        652
                                                                                        Un    a (n 1)b
                                                                                        652   12 (n 1)8
                                                                                    652 12    8n 8
                                                                                      8n 8    640
     C.    Barisan dan Deret Aritmetika                                                  8n   640 8
                                                                                         8n   648
                                                                                          n   648 : 8
1.    Barisan aritmetika
                                                                                          n   81
      Perhatikan barisan di bawah ini!
                                                                                    Jadi, banyaknya suku adalah 81.
(i) 4, 7, 10, 13, 16, . . .
(ii) 28, 24, 20, 16, 12, . . .                                                                                    Kunci: B
(iii) 9, 14, 19, 24, 29, . . .                                                2.    Jika jumlah n suku pertama suatu barisan
    Selisih dua suku yang berurutan pada barisan-                                   adalah 2n2(n     1), maka suku kelima
barisan di atas selalu tetap, barisan tersebut                                      barisan tersebut adalah . . . .
dinamakan barisan aritmetika. Selisih dua suku                                      A. 96                  D. 200
berurutan disebut beda.                                                             B. 104                 E. 208
    Rumus suku ke-n barisan aritmetika                                              C. 136
adalah sebagai berikut.
                                                                                    Jawab:
                                                                                    Sn  2n2(n 1)
                        Un        a        (n     1)b
                                                                                    Un  Sn Sn 1
                                                                                    U5  S5 S4
2.    Deret Aritmetika                                                                  2(5)2(5 1) 2(4)2(4 1)
    Bila U1, U2, U3, . . . , Un merupakan barisan                                       2 · 25 · 4 2 · 16 · 3
aritmetika, maka U1 U2 U3 . . . Un disebut                                              200 96 104
deret aritmetika.                                                                                             Kunci: B
    Jika jumlah n suku yang pertama dari deret
aritmetika dilambangkan dengan Sn, maka

                              n
                   Sn           (2a          (n     1)b)
                              2
                                                                               D.     Barisan dan Deret Geometri
    Karena Un a (n 1)b, maka Sn juga dapat
ditulis menjadi rumus berikut.                                           1.    Barisan geometri
                                      n                                        Perhatikan barisan di bawah ini!
                         Sn             (a        Un)                    (i) 3, 9, 27, 81, . . .
                                      2
                                                                         (ii) 2, 4, 8, 16, . . .
Bila Sn        1   U1        U2        U3         . . .    Un   1        (iii) 1, 5, 25, 125, . . .
          Sn       U1        U2        U3         . . .    Un   1   Un
                                                                             Ketiga barisan di atas memiliki perbandingan
          Sn       Sn    1        Un                                     dua suku yang berurutan selalu konstan, maka
untuk setiap n.                                                          barisan tersebut adalah barisan geometri.


144                                                 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Perbandingan dua suku yang berurutan disebut
rasio, dituliskan dengan r.
                                                                       A.       5                                     D. 8
Rumus suku ke-n barisan geometri                                       B.       6                                     E. 12
                                                                       C.       7
                                            Un
             Un    arn    1
                              dengan r                                 Jawab:
                                           Un 1
                                                                                            32
                                                                                a              dan Sn                 3
                                                                                            21
2.     Deret geometri
                                                                                            1
                                                                                r               1, maka               diperoleh
    Bila U1, U2, . . . , Un merupakan barisan                                               2
geometri, maka U1 U2 U3 . . . Un disebut                                                            a (1              rn )
deret geometri.                                                                               Sn
                                                                                                       1              r
    Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama                                                                                   n
deret geometri, maka berlaku aturan berikut.                                                                 32 1         1
                                                                                                             21           2
                                                                                                     3
                                                                                                                          1
                  a (1    rn )                                                                                    1
                                                                                                                          2
           Sn                  , 1     r   1
                     1   r                                                                                                    n
                                                                                                             32 1         1
                     n
                  a (r  1)                                                                                   21           2
           Sn              , r       1 atau r                                                        3
                     r 1                                                                                              1
                                                                                                                      2
                                                                                                                                  n
                                                                                                 3           32               1
                                                                                                                1
                                                                                                 2           21               2
Contoh                                                                                               n
                                                                                            1                3    21
                                                                                1
      1.   Suatu barisan geometri suku keduanya 6                                           2                2    32
           dan suku keempatnya 54. Bila rasio-                                              1
                                                                                                     n
                                                                                                             63
           nya positif, maka suku keenamnya                                     1
                                                                                            2                64
           adalah . . . .
                                                                                                     n
           A. 486                D. 62                                                      1                     63
                                                                                                             1
           B. 243                E. 60                                                      2                     64
                                                                                                     n
           C. 81                                                                            1                 1
                                                                                            2                64
           Jawab:                                                                                    n            6
              U2 ar 6                                                                       1                1
              U4 ar3 54              ar · r2    54                                          2                2
                                                                                                         n   6
                                      6 · r2    54
                                                                                                                                  Kunci: B
                                          r2    9
                                           r    3
                   ar 6
                a · 3 6
                    a 2                                        E.           Notasi Sigma dan Induksi
                U6 ar5                                                      Matematika
                     2 · (3)5
                     2 · 243     486
                                                          1.   Notasi Sigma
                                               Kunci: A
                                                              Notasi sigma dilambangkan dengan ” ”, yaitu
      2.   Suku pertama sebuah deret geometri             sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan.
                                                          Berikut ini adalah sifat-sifat notasi sigma.
           adalah 32 dan rasionya adalah 1 .
                  21                     2                         n                    n
                                                                           ai                   aj
           Banyaknya suku bila Sn 3 adalah . . . .
                                                               i       1            j       1



     Bab 20 Barisan, Deret, dan Notasi Sigma                                                                                             145
             n                                                                                          Akan dibuktikan rumus benar untuk n                                      1
                     k       nk, k                 konstanta                                                                    2
                                                                                                        2(1)       1) = 1                                benar
         i       1

             n                       n
                                                                                                        Andaikan rumus benar untuk n                                 k
                     kai         k            ai                                                        1 3 5 . . . (2k 1) = k2                                          benar
         i       1                   i 1
                                                                                                        Akan dibuktikan rumus benar untuk n k                                        1
             n                                 n                   n
                                                                                                        1 3 5 . . . (2k 1) + 2 k 1 1
                     (ai bi )                         ai                 bi
         i       1                            i 1                  i 1                                  = k2 +         2 k 1             1
             n                   m                         n                                               2
                     ai                  ai                            ai , 1    m    n                 = k + 2k 1
         i       1               i 1                  i m          1                                    = (k 1)2 . . . benar
             n                       n        k                                                     Jadi, rumus berlaku untuk semua bilangan asli n.
                     ai                               ai       k
         i       m               i m              k

                                                                                                    Contoh
     I N G A T                                                                                        Bentuk umum dari deret 1                            3     5    7     ...
                                                                                                      adalah . . . .
         Teori Binomial Newton
                                                                                                               n                                                n
                                          n                                                           A.               (n       1)                   D.             (2n     1)
                             n
             a           b                          n
                                                   Ck an k bk                                              k 1                                                k 1
                                     k        0                                                             n                                                  n
                                                                                                      B.               (k       1)                   E.             (2k     1)
                                                                                                           k 1                                                k 1
                                                                                                            n
2.    Induksi Matematika                                                                              C.               (2n       1)
                                                                                                           k 1
   Induksi matematika merupakan cara
pembuktian dalam matematika. Ada tiga langkah                                                         Jawab:
pembuktian.                                                                                           Pada notasi sigma tersebut, k = 1 disebut
   Buktikan rumus benar untuk n 1                                                                     batas bawah dan n batas atas. Penjumlahan
                                                                                                      tersebut merupakan penjumlahan n bilangan
   Anggap rumus benar untuk n k
                                                                                                      ganjil pertama, sehingga
   Buktikan rumus benar untuk n k 1
                                                                                                                                             n
     Misalnya akan dibuktikan untuk semua bilangan                                                     1   3       5        7    . . .             (2k     1)
asli n bahwa                                                                                                                                 k 1

1 3 5 . . . (2n 1) = n2                                                                                                                                             Kunci: E




                     S oal Pemantapan Ujian Nasional

      Kompas
     •           Soal nomor 1 – 6 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang barisan dan deret
                 arimetika.
     •           Soal nomor 7 – 23 merupakan kategori soal yang sedang, pahami materi tentang barisan dan
                 deret aritmetika, barisan dan deret geometri, serta notasi sigma.
     •           Soal nomor 24 – 31 merupakan kategori soal yang sulit, pahami semua materi pada bab ini.



146                                                                             Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
1.     Jika Sn n2 2n adalah jumlah n suku pertama                    1                                                 3
       suatu deret aritmetika, suku kedelapan deret         A.         n(n               3)                D.            n(n    1)
                                                                     2                                                 2
       tersebut adalah . . . .                                       1                                                 3
       A. 9                    D. 21                        B.         n(n               1)                E.            n(n    2)
                                                                     2                                                 2
       B. 13                   E. 24                                 1
       C. 15                                                C.         n(n               2)
                                                                     2
2.     Jumlah n suku pertama suatu deret adalah        8.   Pertambahan penduduk tiap tahun suatu desa
       3n 2n, jumlah U2 U3 U4 adalah . . . .                mengikuti aturan deret geometri. Pertambahan
       A.   80                 D. 95                        penduduk pada tahun 1989 sebesar 48 orang
       B.   84                 E. 97                        dan tahun 1991 sebesar 432 orang. Pertambahan
       C.   89                                              penduduk tahun 1994 adalah . . . .
                                                            A. 11.472              D. 11.712
3.     Banyaknya suku suatu deret aritmetika
                                                            B. 11.568              E. 11.776
       adalah 16, suku terakhir 45 dan jumlah
                                                            C. 11.664
       deret sama dengan 280. Suku pertama deret
       ini adalah . . . .                              9.   Suku ke-5 dan suku ke-9 suatu deret geometri
       A. 10               D. 8                             adalah 48 dan 768. Jumlah enam suku pertama
       B. 8                E.   10                          deret tersebut adalah . . . .
       C.   5                                               A. 171                D. 205
4.     Suku ke-n suatu deret aritmetika adalah              B. 189                E. 212
       Un 3n 5. Rumus jumlah n suku pertama                 C. 193
       deret tersebut adalah . . . .                                                     25
                  n (3n                                10. Diketahui                              (2       pk)            40, maka nilai
       A.   Sn            7)
                  2                                                                  k        5
                  n (3n                                         25
       B.   Sn            5)                                             pk
                  2                                                                  . . . .
                  n (3n                                     k        5
       C.   Sn            4)
                  2                                         A.       20                                    D. 82
       D.   Sn    n (3n   3)                                B.       28                                    E. 42
                  2                                         C.       30
       E.   Sn    n (3n   2)
                  2                                                                      7             k       1
                                                       11. Hasil dari                             1                adalah . . . .
5.     Jumlah n buah suku pertama dari suatu deret                                                2
                                                                                     k        1
       aritmetika dinyatakan oleh Sn 4n2 3n, suku                     127                                              127
       kelima dan beda dari deret tersebut berturut-        A.                                             D.
                                                                     1.024                                             128
       turut adalah . . . .                                          127                                               255
       A. 115 dan 8          D. 39 dan 4                    B.                                             E.
                                                                     256                                               256
       B. 76 dan 8           E. 39 dan 4                             255
       C. 39 dan 8                                          C.
                                                                     512
6.     Jumlah semua suku deret geometri tak hingga     12. Dari deret aritmetika diketahui suku tengah
       sama dengan 8, sedangkan jumlah semua suku          32. Jika jumlah n suku pertama deret adalah
       pada urutan genap sama dengan 8 . Suku              672, banyak suku deret itu adalah . . . .
                                            3
       kelima deret tersebut adalah . . . .                A. 17                 D. 23
            1                                              B. 19                 E. 25
       A.                    D. 3                          C. 21
            4
            2
       B.                    E. 4                                            5                                 6
            3
                                                       13. Nilai                     (3n          7)                   (5n     6)    . . . .
       C. 2                                                              n       1                         n       2

7.     Pada deret aritmetika Sn U1 U2 . . . Un,             A.       140                                   D. 171
       semua sukunya positif. Jika U1 · U4 36 dan           B.       155                                   E. 181
       U2 · U3 54, maka Sn . . . .                          C.       165

     Bab 20 Barisan, Deret, dan Notasi Sigma                                                                                             147
          50                                                             20. Hasil kali suku kedua dan suku keempat dari
14.                (n        2)   . . . .                                    suatu barisan geometri yang semua sukunya
      n        1                                                             positif adalah 16. Jika jumlah tiga suku pertama
                   52                                56                      adalah 7, maka suku pertamanya adalah . . . .
      A.                    n               D.                (n   4)
               n        3
                                                                                  1
                                                 n        3                  A.                     D. 2
                   54                                                             2
                                                     60
      B.                    (n    2)        E.                (n   8)                                    5
                                                                             B.   1                 E.
               n        3                        n        3                                              2
                                                                                  3
                   55                                                        C.
                                                                                  2
      C.                    (n    3)
               n        3                                                21. Jumlah suatu deret geometri terhingga adalah
                                                                             6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor
15. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
                                                                             ganjil adalah 4. Suku keenam deret tersebut
                5n
    Sn    n2       . Beda dari deret aritmetika                              adalah . . . .
                2
    tersebut adalah . . . .                                                        1                   4
                                                                             A.                    D.
                                                                                  32                   32
    A.    51                D. 2
                                 1
           2                     2                                                 2                   6
                                                                             B.                    E.
                                                                                  32                   32
      B.           2                        E.   51
                                                  2                                3
                                                                             C.
      C.       2                                                                  32

16. Jumlah n buah suku pertama suatu deret                               22. Un adalah suku ke-n suatu deret. Jika suku
                                    n (5n 19).                               pertama deret itu 100 dan Un 1           Un 6
    aritmetika dinyatakan oleh Sn
                                    2                                        untuk setiap n, maka jumlah semua suku deret
    Beda deret tersebut sama dengan . . . .
                                                                             itu yang bernilai positif adalah . . . .
    A.   5                D. 3
                                                                             A. 844                  D. 884
    B.   3                E. 5
                                                                             B. 848                  E. 886
    C.   2
                                                                             C. 864
                                           4
17. Dari suatu deret geometri, suku ketiga   dan                         23. Jumlah tak hingga suatu deret geometri
                                           3
                  32
    suku keenam      . Jumlah sampai tak hingga                              adalah 16 dan jumlah semua suku pada urutan
                  81
    deret itu sama dengan . . . .                                                           16
                                                                             genap adalah      . Suku ke-7 deret tersebut
    A.   2                D. 1                                                               3
                                                                             adalah . . . .
         1                                                                                             1
    B.                    E. 9
         9                                                                   A. 8                  D.
                                                                                                       8
         1
    C.                                                                                                 3
         3                                                                   B. 4                  E.
                                                                                                       8
18. Diketahui Un adalah suku ke-n suatu deret arit-                              1
                                                                             C.
    metika dan U1 U2 U3       9, U3 U4 U5 15.                                    4
    Jumlah lima suku pertama deret tersebut                              24. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2 m dan
    adalah . . . .                                                                                               4
    A. 4                  D. 15                                              memantul kembali dengan ketinggian    kali
                                                                                                                 5
    B. 5                  E. 24                                              tinggi sebelumnya. Pemantulan ini terus
    C. 9                                                                     berlangsung terus-menerus hingga bola
                                                                             berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola
19. Suku pertama deret geometri tak hingga adalah                            adalah . . . .
    5 dan jumlah suku yang bernomor ganjil adalah                            A. 14 m             D. 20 m
    9. Jumlah deret geometri tak hingga tersebut                             B. 16 m             E. 22 m
    untuk rasio positif adalah . . . .
                                                                             C. 18 m
          1                        1
    A. 7                   D. 22
          2                        2                                     25. Diberikan barisan persegipanjang yang
    B. 10                  E. 27                                             sebangun, sisi panjang yang ke-(n    1) sama
      C.       15                                                            dengan sisi pendek ke-n. Jika persegipanjang


148                                                  Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
       yang pertama berukuran 6 3 cm, jumlah luas             29. Keliling suatu segitiga yang sisi-sisinya
       semua persegipanjang itu adalah . . . .                    membentuk deret aritmetika adalah 12 cm. Jika
       A. 15 cm2            D. 24 cm2                             sudut di hadapan sisi terpanjang adalah 120°,
       B. 18 cm2            E. 27 cm2                             maka luas segitiga tersebut adalah . . . .
       C. 21 cm  2                                                      4 3 cm2                     12 3 cm 2
                                                                   A.                          D.
                                                                        3                            5
26. Diketahui barisan geometri dengan U1               4 3
                                                        x               8 3 cm2                     24 3 cm2
                                                                   B.                          E.
                                                                        3                            5
       dan U4     x x . Rasio barisan geometri tersebut                 12 cm2
                                                                   C.
       adalah . . . .                                                    5
                                                              30. Rasio suatu deret geometri tak berhingga adalah
       A.   x2 4 x            D.       x
                                   4
                                                                                     (x   2)
       B.   x2                E.       x                           r    lim      2
                                                                                          . Suku pertama deret
                                                                        x   2 2x  6x    4
            4                                                      itu merupakan hasil kali skalar vektor
       C.       x3
                                                                   a    i    j 2k dan b     2i   j k . Jumlah
27. Banyak bilangan antara 2.000 dan 6.000 yang                    deret geometri tak berhingga tersebut
    dapat disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7                adalah . . . .
    dan tidak ada angka yang sama adalah . . . .                       1
                                                                   A.                   D. 2
    A. 1.680             D. 1.050                                      4
                                                                       1
    B. 1.470             E. 840                                    B.                   E. 4
                                                                       3
    C. 1.260                                                           4
                                                                   C.
                                                                       3
28. Suatu keluarga mempunyai enam anak yang
    usianya pada saat ini membentuk barisan                   31. Tiga buah bilangan membentuk barisan
    aritmetika. Jika usia anak ketiga adalah 7 tahun              aritmetika yang jumlahnya 12 dan hasil kalinya
    dan usia anak kelima adalah 12 tahun, maka                    63. Jika bilangan terkecil dari ketiga bilangan
    jumlah usia enam anak tersebut adalah . . . .                 itu adalah k, maka nilai 2k . . . .
    A. 48,5 tahun           D. 50,0 tahun                               1
                                                                   A.                          D. 8
    B. 49,0 tahun           E. 50,5 tahun                               2
    C. 49,5 tahun                                                  B.   4                      E.   9
                                                                   C.   7




                                                         S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.     Sebuah deret aritmetika mempunyai suku                      terjadi deret aritmetika. Jumlah deret
       umum an dan beda 2. Jika a2 a4 a6 . . .                     aritmetika yang terjadi adalah . . . .
       a20    138, maka jumlah lima suku pertama                   A. 120                D. 600
       deret tersebut adalah . . . .                               B. 360                E. 720
                                                                   C. 480                         (UMPTN 2001)
                                           2
       A.    11               D.       9
                                           5                  3.   Seorang pedagang beras pada bulan Januari
                4                                                  dapat menjual 90 kg, bulan Februari, Maret,
       B.    10               E.    9
                5                                                  dan seterusnya selama satu tahun selalu
       C.    10                                (UMPTN 2001)
                                                                   bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya.
                                                                   Jika keuntungan per kilogram Rp300,   maka
2.     Antara bilangan 8 dan 112 disisipkan 10 bilangan            keuntungan rata-rata tiap bulan sama
       sehingga bersama kedua bilangan tersebut                    dengan . . . .


     Bab 20 Barisan, Deret, dan Notasi Sigma                                                                    149
      A.   Rp14.500,00           D. Rp174.000,00                                                1
                                                                   A.   1                D.   2
      B.   Rp29.000,00           E.   Rp348.000,00                                              2
      C.   Rp43.500,00                      (UMPTN 2001)                                        1
                                                                   B.   2                E.   3
                                                                                                2
4.    Ditentukan rasio deret geometri tak hingga                   C.   3                            (SPMB 2002)
      adalah 3log (2x 1). Jika deret ini mempunyai            9.   Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah
      jumlah (konvergen), maka nilai x yang                        6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor
      memenuhi adalah . . . .                                      ganjil adalah 4. Suku keenam deret tersebut
           1           2              2                            adalah . . . .
      A.        x                D.          x   2
           2           3              3                                 1                     4
                                                                   A.                    D.
           1                          1          2                      32                    32
      B.        x      2         E.          x
           2                          2          3                       2                    6
                                                                   B.                    E.
           2                                                            32                    32
      C.        x      2                    (UMPTN 2001)
           3                                                            3
                                                                   C.                                (SPMB 2002)
                                                                        32
5.    Sepotong kawat panjangnya 124 cm dipotong
      menjadi 5 bagian sehingga panjang potong-                                          x 1 1       1
      potongannya membentuk barisan geometri.                 10. Agar deret geometri       , ,           , . . .
                                                                                         x     x x( x 1)
      Jika potongan kawat yang paling pendek adalah                jumlahnya mempunyai limit, maka nilai x harus
      4 cm, maka potongan kawat yang paling panjang                memenuhi . . . .
      adalah . . . .                                               A. x 0              D. x 2
      A. 60 cm              D. 72 cm                               B. x 1              E. x 0 atau x 2
      B. 64 cm              E. 76 cm                               C. 0 x 1                       (SPMB 2002)
      C. 68 cm                       (UMPTN 2001)
                                                              11. Jika n suku pertama deret aritmetika
6.    Tiga buah bilangan merupakan suku-suku                      ditentukan oleh S n    2n 2    n. Jika U n
      beraturan suatu deret aritmetika. Selisih                   menyatakan suku ke-n deret tersebut, maka
      bilangan ketiga dengan bilangan pertama                     U12 adalah . . . .
      adalah 6. Jika bilangan ketiga ditambah 3, maka             A. 41               D. 49
      ketiga bilangan tersebut merupakan deret                    B. 47               E. 300
      geometri. Jumlah dari kuadrat bilangan-                     C. 48                         (SPMB 2002)
      bilangan tersebut adalah . . . .
      A. 21                   D. 116                          12. Jumlah 6 suku pertama deret aritmetika adalah
      B. 35                   E. 126                              24, sedangkan jumlah 10 suku pertamanya
                                                                  adalah 100. Suku ke-21 adalah . . . .
      C. 69                             (UMPTN 2001)
                                                                           1                     1
7.    Sebuah deret geometri tak hingga dengan suku                 A.   50               D. 69
                                                                           2                     2
      umum Un memenuhi                                                     1                     1
      3         3            3                                     B.   53               E.   60
      log U1        log U2   log U3    3 dan U1      U2   8                2                     2
      Jumlah deret tersebut adalah . . . .                                   1
                                                                   C.   56                           (SPMB 2003)
           1                          17                                     2
      A.                         D.
           4                           2
                                                              13. Hasil kali suku kedua dan suku keempat dari
           27                         27
      B.                         E.                               suatu barisan geometri yang semua sukunya
            4                          2                          positif adalah 16. Jika jumlah tiga suku pertama
           3                                                      adalah 7, maka suku pertamanya adalah . . . .
      C.                                    (UMPTN 2001)
           2
                                                                        1
                                                                   A.                    D. 2
8.    Suatu deret aritmetika terdiri dari sepuluh suku                  2
      dan jumlahnya 145. Jika jumlah dari suku                                                5
                                                                   B.   1                E.
      keempat dan suku kesembilan sama dengan                                                 2
      lima kali suku ketiganya, maka beda deret                         3
      adalah . . . .                                               C.                                (SPMB 2003)
                                                                        2

150                                       Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
14. Tiga bilangan membentuk suatu deret geometri.            Jumlah luas seluruh segitiga adalah . . . .
    Jika hasil kalinya adalah 216 dan jumlahnya              A.     8a2                        D. 2a2
    26, maka rasio deret tersebut adalah . . . .
                                                             B.     4a2                        E.   a2
                1                     1                                  2
    A.   3 atau             D. 3 atau                        C.     3a                                          (SPMB 2004)
                3                     2
                    1                     1              20. Suku ketiga suatu deret aritmetika adalah
    B.   3 atau             E.   2 atau                      11 dan suku akhirnya 23. Jika suku tengahnya
                    3                     2
                                                             14, maka jumlah semua suku deret tersebut
    C.   3 atau 2                       (SPMB 2003)
                                                             adalah . . . .
15. log b log ab2 log a2b3 . . .      log a9b10 sama         A. 88                 D. 100
    dengan . . . .                                           B. 90                 E. 110
    A. log 45a log 55b                                       C. 98                           (SPMB 2005)
    B. (log a)45 (log a)45
                                                         21. Jika suku ke-n suatu deret adalah Un 22x n,
    C. (45) 1og a (55) log b                                 maka jumlah tak hingga deret tersebut
    D. (91) log a (101) log b                                adalah . . . .
    E. 45 1og ab                        (SPMB 2004)          A.     22x      2
                                                                                               D. 22x         1

16. Suku pertama suatu deret geometri adalah                 B.     22x      1
                                                                                               E.   22x       2

    a 2 dengan a 0 dan suku kedua adalah ap.                 C.     22x                                         (SPMB 2005)
    Jika suku kesepuluh deret tersebut adalah a70,       22. Suatu populasi hewan mengikuti hukum
    maka p adalah . . . .                                    pertumbuhan berikut
    A. 3                  D. 6
                                                                                 N(t)    100.000         2t     2
    B. 4                  E. 8
    C. 5                             (SPMB 2004)             N(t)        besar populasi pada saat t
                                                                t        waktu dalam satuan tahun
17. Pada saat awal pengamatan delapan virus jenis            Agar besar populasi menjadi 3 kali lipat populasi
    tertentu, setiap 24 jam masing-masing virus              awal (saat t 0), maka t . . . .
    membelah diri menjadi dua. Jika setiap 96 jam            A.     10
                                                                         log 3                 D.   2
                                                                                                    log 3           2
    seperempat dari seluruh virus dibunuh, maka                     10                              2
                                                             B.          log 3     2           E.   log 3
    banyaknya virus pada hari ke-6 adalah . . . .                   2
                                                             C.      log 3        4                             (SPMB 2005)
    A. 96                 D. 224
    B. 128                E. 256                         23. Diberikan suku banyak f(x) x3 3x2 a. Jika
    C. 192                          (SPMB 2004)              f (2), f (2), f(x) membentuk barisan aritmetika,
                                                             maka f (2) f(2) . . . .
18. Diketahui persamaan parabola y ax2 bx c.                 A. 37                    D. 63
    Jika a, b, dan c bcrturut-turut merupakan suku           B. 46                    E. 72
    pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan
                                                             C. 51                              (SPMB 2005)
    aritmetika, serta garis singgung parabola
    tersebut di titik (1, 12) sejajar dengan garis       24. Jumlah deret tak hingga
    y 6x, maka nilai 3a 2b c = . . . .
                                                                       1                       1                    1
    A. 14                   D. 20                            1      sin2                sin4             sin6           . . .
                                                                       3                       3                    3
    B. 16                   E.. 22                           adalah . . . .
    C. 18                              (SPMB 2004)
                                                                    4                                   1
                                                             A.                                D. 3
19. Diketahui segitiga siku-siku samakaki pertama                   7                                   4
    memiliki panjang sisi siku-siku a. Dibuat segitiga              3
                                                             B.                                E.   4
    siku-siku samakaki kedua dengan panjang sisi                    4
    miring sama dengan panjang sisi siku-siku                C.     2                                           (SPMB 2005)
    segitiga pertama. Segitiga siku-siku samakaki        25. Bilangan ylog (x 1), ylog (x 1), ylog (3x 1),
    ketiga, keempat, dan seterusnya masing-masing            merupakan tiga suku berurutan dari deret
    dibuat dengan panjang sisi miring sama dengan            aritmetika. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah
    panjang sisi siku-siku segitiga sebelumnya.              adalah 6, maka x y . . . .

 Bab 20 Barisan, Deret, dan Notasi Sigma                                                                                 151
    A.    2                 D. 5                           28. Tiga bilangan membentuk suatu deret geometri
    B.    3                 E. 6                               naik. Jika jumlahnya 26 dan hasil kalinya 216,
    C.    4                                  (SPMB 2006)       maka rasio deretnya adalah . . . .
                                                               A. 1                  D. 4
26. Suku kelima suatu deret aritmetika sama
                                                               B. 2                  E. 2
    dengan tiga kali suku kedua deret tersebut. Jika
                                                               C. 3                             (SPMB 2006)
    jumlah empat suku pertama adalah 16, maka
    jumlah 10 suku pertama sama            dengan .        29. Jika suku ke-n dari deret geometri adalah
    . . .                                                      Un 6 3 n, maka jumlah n suku pertamanya
    A. 32                  D. 96                               adalah . . . .
    B. 48                  E. 100                                   1
                                                               A.     (1 3 n)         D. 3(1         3 n)
    C. 64                             (SPMB 2006)                   3
                                                                    2
27. Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan              B.      (1 3 n)        E.     6(1     3 n)
                                                                    3
    suku pertama a dan rasio r dengan 0 r 1
                                                                      2
    adalah S. Jika suku pertama tetap dan rasio                C.   1 (1 3 n)                        (SPMB 2006)
                                                                      3
    berubah menjadi 1      r, maka jumlahnya
    menjadi . . . .                                        30. Jika jumlah 10 suku pertama deret aritmetika

                  1                                            a    (a    2)     (a   2 2)      (n     3 2)   . . .
                                     S
    A.    S 1               D.
                  r              1       r                     adalah 55 2 , maka a        . . . .

          S                           1                        A.   1                 D.       2
    B.                      E.   S           1
          r                           r                        B.   2                 E.     2 2
                                                                    1
              1                                                C.     2                              (SPMB 2006)
    C.    S       r                          (SPMB 2006)            2
              r




         Intersection
         Materi ini akan sangat memudahkan kamu untuk menghitung jumlah atau hasil kali satu bilangan
         yang tak terhingga banyaknya.




152                                  Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab

        21                                                               Fungsi Eksponen dan
                                                                         Logaritma


   A.        Persamaan Eksponen                                                                                                           1
                                                                                A.    {0, 2}                                D.       0,
                                                                                                                                          2
    Persamaan eksponen adalah persamaan di mana                                 B.        0, 1                              E.
                                                                                                                                      1, 2
                                                                                             2                                        2
eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel.                                           1, 2
Ada beberapa bentuk persamaan eksponen, yaitu                                   C.        2
sebagai berikut.
                                                                                Jawab:
    af(x) ag(x), maka f(x) g(x)
                                                                                           x                    x2
    af(x) bf(x), maka f(x) 0                                                     22 x 2            2x
                                                                                                        4x

    f(x)g(x)   f(x)h(x), maka
                                                                                          2x            4x      x2
         g(x) h(x)                                                                   2x            2x
         f(x) 1                                                                 •          2x                4x x2
         f(x)      1, apabila g(x) dan h(x) keduanya                                       2
                                                                                       x   2x                0
         genap atau keduanya ganjil.                                                   x(x 2)                0
         f(x)     0, apabila g(x) dan h(x) keduanya                                   x 0 atau               x 2
         positif.
                                                                                •     2x       1        x           1
                                                                                                                    2
Contoh                                                                                                                  1
                                                                                •     2x           1        x
                                                                                                                        2
   1.   Penyelesaian persamaan                                                                1 ke g(x) dan h(x) apakah
                                                                                Substitusi x
              2x        1            x    1   adalah . . . .                                   2
         3                       9
                                                                                keduanya ganjil atau genap.
                                                                 1
        A.      0                                         D.   2                      g        1        2       1            1
                                                                 2              •              2                2
                      1                                          1
        B.      1                                         E.   3                                                                 2
                      2                                          2                    h        1        4      1            1             2   1
                                                                                •              2               2            2                 4
        C.      2
                                                                                                            2 1
        Jawab:                                                                                                4
             1 (2 x         1)                                                  Keduanya tidak ganjil atau genap. Jadi
        32                            32( x        1)
        1 (2 x                                                                  x   1 bukan penyelesaian.
                            1)        2( x         1)                               2
        2
            x               1         2x       2                                • 2x 0      x 0
                            2
                            x         21                                        •     g(0)         2        0       0
                                       2
                                                                                •     h(0)         4(0)         (0)2        4
                                                                     Kunci: D   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
   2.   Himpunan penyelesaian dari                                               1, 2 .
                    x                                                            2
                                         4x   x2
         4 x2                    2x                     adalah . . . .                                       Kunci: C


 Bab 21 Fungsi Eksponen dan Logaritma                                                                                                             153
                                                                                   2.    Penyelesaian dari
   B.            Pertidaksamaan Eksponen                                                 2
                                                                                          log (x2 8) 5log (x2                8) adalah . . . .
                                                                                                                                1
                                                                                         A.        3                       D.
Jika af(x) ag(x), maka                                                                                                          3
    f(x) g(x), untuk a                     1                                             B.     1                          E. 2
    f(x) g(x), untuk 0                     a     1                                       C.    1
                                                                                         Jawab:
                                                                                         2
Contoh                                                                                    log (x2  8) 5log (x2 8)
                                                                                                x2  8 1
  Himpunan penyelesaian 3 x                                2
                                                                   9x   3
                                                                                                   x2 9
  adalah . . . .
                                                                                                    x    3
  A. x 8               D. x                                    8
                                                                                         Jadi, penyelesaiannya x 3 dan x    3.
                                                               1
  B.         x     8                             E.    x                                                             Kunci: A
                                                               8
  C.         x    8                                                                3.    Himpunan penyelesaian dari
                                                                                         x  2              x 2
  Jawab:                                                                                     log (x     3)     log (x2  3x                 5)
  3x 2 9x 3                                                                              adalah . . . .
  3x 2 32(x 3)                                                                           A.   { 4, 2}         D. { 4, 2}
  x 2 2x 6                                                                               B.   { 2, 4}         E. {2, 4}
     x   8                                                                               C.   { }
     x 8
                                                                                         Jawab:
  Jadi, HP: {x x                   8, x        R}.                                       x     2
                                                                                                 log (x 3)    x        2
                                                                                                                       log (x2      3x    5)
                                                                                                                  2
                                                               Kunci: A                                x 3    x         3x 5
                                                                                                x2 2x 8       0
                                                                                              (x 4)(x 2)      0
                                                                                             x     4 atau x   2
   C.            Persamaan Logaritma                                                     Selidiki apakah f(x) 0, g(x) 0, h(x)                  0
                                                                                         dan f(x) 1.
      a
       log f(x)         b, maka f(x)                 ab, dengan syarat                         f( 4)   4 2      6 0
      f(x) 0                                                                                   f(2) 2 2 0
      a          a
       log f(x)   log g(x), maka f(x)                          g(x), dengan              Karena jika x                4 dan x        2 nilai
      syarat f(x) 0 dan g(x) 0                                                           f(x) 0, maka x               –4 dan x      2 bukan
      a                 b                                                                penyelesaian.
       log f(x)         log f(x), maka f(x)                1
      f(x)                  f(x)                                                         Jadi, tidak ada solusi atau himpunan
             log g(x)              log h(x)
      Jika f(x) 0, g(x)                   0, h(x)      0, dan f(x)          1,           penyelesaiannya adalah { }.
      maka g(x) h(x)                                                                                                  Kunci: C


Contoh
             3
  1.          log (x    5)         2, maka nilai x adalah . . . .
             A. 7                           D. 12
                                                                                    D.        Pertidaksamaan Logaritma
             B. 9                           E. 14
             C. 11                                                               Jika alog f(x) alog g(x), maka
                                                                                     f(x) 0
             Jawab:
             3                      3                                                g(x) 0
              log (x 5)             log 9
                                                                                     f(x) g(x), untuk a 1
                  (x 5)            9
                                                                                     f(x) g(x), untuk 0 a 1
                      x            14
                                                               Kunci: E          Himpunan penyelesaiannya adalah
                                                                                     (i) (ii) (iii)

154                                                   Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh
                                                                                    (ii)     x2 x               2        0
      1.    Penyelesaian dari                                                              (x 2)(x             1)        0
            18
               log (x2 x 2) 1 adalah                    . . . .
            A. { 4 x      1 atau 2 x                     5}
            B. { 5 x      2 atau 1 x                     4}
            C. { 4 x      1 atau 2 x                     5}
            D. { 5 x      2 atau 1 x                     4}
            E. { 5 x      1 atau 2 x                     4}                                               x             2 atau x     1

            Jawab:                                                                  Dari (i) dan (ii) diperoleh,
            18
                log (x2 x 2)         1
            18
                log (x2 x 2)         18
                                       log 18
            (i)        x2 x 2        18
                      2
                     x    x 20       0
                                                                                                 5                  2           1         4
                   (x 5)(x 4)        0

                                                                                    Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
                                 5                4                                 { 5 x     2 atau 1 x 4}.
                                 5        x       4                                                                                   Kunci: B




             S oal Pemantapan Ujian Nasional

       Kompas
      •     Soal nomor 1 – 2 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari persamaan eksponen.
      •     Soal nomor 3 – 6 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari persamaan dan pertidaksamaan
            eksponen, serta persamaan logaritma.
      •     Soal nomor 7 – 11 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari
            semua materi pada bab ini.




                                                       2
1.     Nilai x pada persamaan 16x                        adalah . . . .
                                                      2                        C.     5 2        2 6
              1                               1
       A.                            D.
              8                               4                                D.          2 5       2 6
              1                               1
       B.                            E.                                        E.          5 2       2 6
              4                               8

       C.
              1                                                           3.   Nilai x yang memenuhi persamaan 4x                             2x    12
              2                                                                adalah . . . .
                                                                               A.    3              D. 3
2.     Nilai x dari persamaan                 x 2       3     x 2    2
       adalah . . . .                                                          B.    2              E. 4
                                                                               C. 2
       A.    2 5     6                                                                                     3    x
                                                                                                      1                  3
                                                                          4.   Nilai x dari                                  4 adalah . . . .
       B.    2 5    2 6                                                                               2

     Bab 21 Fungsi Eksponen dan Logaritma                                                                                                          155
                   11                               11                              A.   x       3
      A.   x                             D. x
                    3                                3                                           1
                                                                                    B.   x
                    11                              11                                           3
      B.   x                             E.   x                                                              1
                     3                               3
                                                                                    C.       1       x         atau x           3
                    3                                                                                        3
      C.   x
                   11                                                                    1
                                                                                    D.               x       1 atau x           3
5.          3
      Jika log (1    log x)    3
                               1, maka nilai x yang                                      3
      berlaku adalah . . . .                                                        E.   1       x       3
           1                                                                   9.   Nilai x yang memenuhi
      A.                     D. 3                                                   2
           9                                                                         log 2log (2x 1 15) 1                           2
                                                                                                                                        log x
           1                                                                        adalah . . . .
      B.                     E. 9
           3
      C. 1                                                                                    2
                                                                                    A.   log                               D.       3 atau 5
                                                                                              5
6.    Himpunan penyelesaian dari                                                    B.   2
                                                                                          log 5                            E.       5 atau 3
      33x 2 · 33(x 1) 29 adalah . . . .                                             C.   5
                                                                                          log 2
          1                    1
      A.                  D.                                                   10. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
          3                    9
          2                    2                                                                                  1
      B.                  E.                                                             3                                          3
          3                    9                                                    2        log x                                      log 81
                                                                                                             x
                                                                                                                 log   3
      C. 1
                                                                                    adalah . . . .
7.    Jika 22x 1 3 · 2x              2    0, maka batasan nilai                     A. x     3 atau x                  9
      x adalah . . . .                                                              B. x     3 atau x                  3
            1                                                                       C. x     9 atau x                  3
      A.           x       2             D. 0       x    1                          D. 3 x 3, x                        1
            2
                                                                                    E.   3 x 9, x                      1
               1
      B.               x       2         E.   x      1
               2                                                               11. Himpunan penyelesaian dari
                                                                                   3
                           1                                                         log (x 5) 3 log (x 2) 3 log (28                             4x)   0
      C.       2   x                                                               adalah . . . .
                           2
                                                                                   A. {3, 6}            D. { 3}
8.    Nilai-nilai x yang memenuhi 3log x – xlog 3                          0
                                                                                   B. {3, 6}            E. {6}
      adalah . . . .
                                                                                   C. { 3, 6}




                                                                       S oal-soal UMPTN dan SPMB
1.    Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan                                          A.   10                                D. 0
           x2 3 x 15                                                                B.   6                                 E.  2
       1                       32 adalah . . . .                                    C.   2                                               (UMPTN 2001)
       2

      A.   x      5                      D. x       5                          3.   Nilai-nilai yang memenuhi pertidaksamaan
                                                                                    3
      B.   x     2                       E. x        2 atau x          5             log (x2 8x) 2 adalah . . . .
                                                                                    A.    1 x 0
      C.       2 x         5                        (UMPTN 2001)
                                                                                    B. 0 x 8
                                                                                    C. 8 x 9
                                                         x2       16                D. x      1 atau x 8
2.    Jumlah akar-akar persamaan log                                   1
                                                              x                     E.    1 x 0 atau 8 x 9
      sama dengan . . . .                                                                                         (UMPTN 2001)


156                                               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
4.     Himpunan penyelesaian pertidaksamaan:                                                           5                                                       5
                                                                                              A.               x         1               D.           x
       3                12                                                                             2                                                       2
           log x                        3 adalah . . . .                                               5                                                           5
                         x                                                                    B.                   x      0              E.       1       x
                                                                                                       2                                                           2
       A.    {x     R x                 2 atau x             6}                                        5
                                                                                              C.                   x         1                             (SPMB 2005)
       B.    {x     R 0                 x      2 atau x              6}                                2
       C.    {x     R x                 0 atau 2             x       6}                    10. Jika a 0, b 0, dan alog b                              b
                                                                                                                                                          log a4        4    0,
       D. {x        R 1                 x      1 atau x              6}                        maka a2b 2log b . . . .
       E.    {x     R 2                 x      6}                     (SPMB 2002)              A.   1             D. 1
                                                                                               B. 0               E.    2
5.     Himpunan penyelesaian pertidaksamaan                                                    C. 3                                                        (SPMB 2004)
       2                            2
        log (x         2)           log (x          5)        3 adalah . . . .
       A.    {x     3           x        6}                                                11. Semua nilai-nilai x yang memenuhi
                                                                                                                   a
       B.    {x 5           x           6}                                                        2                    log b c log a
                                                                                               2 x x 6                   c
                                                                                                                                              adalah . . . .
       C.    {x x            2 atau x               5}                                                                       log b
       D. {x x               2 atau 5               x        6}                               A.       2       x 3
       E.    {x     3           x            2 atau 5            x    6}                      B.   x           2 atau x              3

                                                                          (SPMB 2002)              1           17                    1       17
                                                                                              C.                             x
                                                                                                           2                             2
6.     Himpunan penyelesaian pertidaksamaan                                                                1            17                        1       17
       24x 22(x 1) 3 0 adalah . . . .                                                         D. x                               atau x
                                                                                                         2                                            2
       A. {x l x 3 }                                                                          E.   semua bilangan real
       B.    {x    0         x           3                                                                                                                 (SPMB 2004)
                                             log    2}
       C.    {x    x         0 atau x               2
                                                        log 3 }                            12. Hasil kali semua nilai x yang                                   memenuhi

                                        12                                                                                    x3 2 x2 3 x 6                4 x2 4 x 8
       D. {x 0              x              log 3 }                                            persamaan 4                                             2                       0
                                        2                                                     adalah . . . .
                                        2                                                     A. 4                                       D.       3
       E.    {x 0           x               log 3 }                   (SPMB 2003)
                                                                                              B. 2                                       E.       4
                                                                                              C.   2                                                       (SPMB 2004)
                                                         2
       log (a2 x2 )                 a               x
7.                                      log 1                             . .              13. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan
           log a                                    a
                                                                                              24x 1            5       22x       1
                                                                                                                                         32, maka x1               x2        ..
       A.     2                                     D. 1                                      A. 1                                       D. 4
                                                                                              B. 2                                       E. 6
       B.     1                                     E. 2
                                                                                              C. 3                                                         (SPMB 2004)
       C.    0                                                        (SPMB 2003)
                                                                                           14. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan
8.     Nilai x yang memenuhi                                                                       2x 1 3y 7
                          3                                                                       2x 1 3y 1 1
       (4log x )2 2log x                                     0 adalah . . . .
                          4                                                                   maka nilai x y adalah . . . .
                                                                           1                  A. 0                D. 4
       A.    16 atau 4                              D. 8 atau
                                                                           2                  B‘ 2                E . 5
                                1                                                             C. 3                                                         (SPMB 2004)
       B.    16 atau                                E.       8 atau 4
                                4
                                                                                           15. Jika u x2 dan xlog 10 ulog (5u 40), maka
       C.    8 atau 2                                                 (SPMB 2003)
                                                                                               nilai u adalah. . . .
9.     Semua bilangan real x yang memenuhi per-                                                A. 25                 D. 28
                                         2 x x2          2
                                                                                               B. 26                 E. 30
       tidaksamaan 1                                 2x       3x 5
                                                                          adalah . . . .       C. 27                         (SPMB 2004)
                   8


     Bab 21 Fungsi Eksponen dan Logaritma                                                                                                                                   157
16. Jika a             1, maka penyelesaian                                                           1
                                                                                             A.                                        D. 1
          a
              log (2 x             1       3
                                               log a             1       0 adalah    ..              10
                                                                                                     1
      A.       1                                        D. 4                                 B.                                        E.     10
                                                                                                     4
      B.       2                                        E. 5                                         3
                                                                                             C.                                                         (SPMB 2005)
      C.       3                                                            (SPMB 2004)              4
                                                                                          21. Nilai x yang memenuhi persamaan
                                                             1
17. Penyelesaian 22 x                          2
                                                                         adalah . . . .
                                                                                                    1
                                                         8x 1                                 3
                                                                                                  92 x
      A.        2                                       D. 1                                                      3x    1
                                                                                                                            adalah. . . .
                                                                                                  27
      B.        1                                       E. 2                                 A.      16                                D. 5
      C.       0                                                            (SPMB 2004)      B.      7                                 E. 6
                                                                                             C.     4                                                   (SPMB 2005)
18. Nilai x yang memenuhi persamaan
    42x 1 34x 1 432 adalah . . . .
                                                                                                       81         1     x         1     y         1
                   1                                                                      22. Jika          log             log             log      , maka 2x        3y
      A.                                                D. 1                                                      x               y               81
                   2
                                                                                             sama dengan . . . .
      B.       0                                        E.       2
                                                                                             A.  162                                   D. 81
                1                                                                            B.  81                                    E. 162
      C.                                                                    (SPMB 2004)
                2                                                                            C. 0                                                       (SPMB 2006)

19. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan                                                                           3        1      1         1
      1                                                                                   23. Jika p              x2    x2        x3    x 3           dan
      2                2
          log (2x                  7x)             2 adalah . . . .
                                                                                                         1         1                1        p
                                       1                                                      q        x2         x 2   x         x 3 , maka                . . . .
      A.        4          x                                                                                                                 q
                                       2
                   1                                                                         A.      3
                                                                                                         x                             D.        x3 x
      B.                       x       4
                   2                                                                                 3                                            3
      C.       0       x           4                                                         B.          x2                            E.        x x2
                                                    1                                        C.     x                                                   (SPMB 2006)
      D. x             4 atau x
                                                    2
                                        1                                                 24. Jika (3 x    1) 3 (3 x  1) 3 2 3 3x                                     33,
                                                                            1
      E.        4          x           3 atau 0                      x                        maka . . . .
                                        2                                   2
                                                                                              A. x 0
                                                                           (SPMB 2005)        B. x 3log 6
                                                                                              C. x log 6
20. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan                                                           3
                                                                                              D. x       log 6
    4(log x)(1 log x) 3, maka x1x2 . . . .
                                                                                              E. tidak ada nilai x yang memenuhi
                                                                                                                                                        (SPMB 2006)




           Intersection
              Agar lebih mudah mempelajari materi bab ini, sebelumnya kamu harus sudah memahami materi
              bentuk pangkat, akar, dan logaritma pada Bab 1. Materi fungsi eksponen dan logaritma ini
              berhubungan erat juga dengan materi persamaan dan fungsi kuadrat. Materi yang kamu bahas
              ini juga ada hubungannya dengan Geografi atau ilmu bumi.




158                                                                  Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA