Ringkasan Matematika SMA c
Shared by: anamaulida
-
Stats
- views:
- 805
- posted:
- 4/6/2012
- language:
- Latin
- pages:
- 165
Document Sample
Cara Mudah
Menghadapi
UJIAN NASIONAL DAN SPMB 2007
MATEMATIKA SMA
Oleh
TIM MATRIX MEDIA LITERATA
Matrix Media Literata ADHI CITRA
KATA PENGANTAR
Siapkah Kalian?
Matematika sudah pasti diujikan dalam Ujian Nasional 2007. Nilai Matematika juga menjadi
nilai penentu dalam Ujian Nasional. Banyak siswa yang tidak lulus Ujian Nasional 2006 hanya
karena nilai Matematikanya di bawah standar. Sudah siapkah kalian? Belajar bukanlah sekadar
mencapai target materi pelajaran saja, tetapi pencapaian siswa dalam memahami materi dan
menguasai kemampuan dasar. Dengan demikian, materi pelajaran hanya merupakan sarana dalam
mencapai kemampuan dasar. Sedangkan untuk mengasah kemampuan dasar tersebut, siswa harus
lebih sering mengerjakan soal-soal latihan.
Apa dan Siapa yang Salah?
Kabar tentang banyaknya siswa tidak lulus pada Ujian Nasional 2006 sangat memprihatinkan
kita. Siapa pun, selama kita masih memiliki hati nurani akan menangis mengetahui sejumlah
sekolah tidak mampu meluluskan satu pun siswanya. Mengapa begitu banyak siswa yang tidak
lulus meski angka kelulusan hanya 4,25? Apa dan siapa yang salah? Tidak perlu kita mencari siapa
yang salah, sekarang mari belajar dan berlatih sungguh-sungguh.
Apa yang Harus Dilakukan?
Ingin lulus Ujian Nasional 2007, mengikuti ujian Paket C, atau mengulang di kelas XII lagi?
Buku Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA ini merupakan
buku yang tepat untuk menghadapi Ujian Nasional tahun 2007, karena dalam buku ini sudah
disiapkan semua yang kalian butuhkan.
Rangkuman Materi disajikan pada setiap pokok bahasan atau subpokok bahasan materi
pelajaran. Dengan demikian, kalian dapat mengingat kembali materi-materi yang lalu pada saat
hendak mengerjakan soal.
Contoh Soal dan Pembahasan juga disediakan untuk melatih kalian dalam menyelesaikan
soal-soal ujian nasional sehingga kalian mengetahui strategi penyelesaiannya.
Soal Pemantapan Ujian Nasional disajikan berdasarkan penggabungan dari beberapa model
soal-soal ujian nasional. Dengan demikian kalian dapat melihat frekuensi kemunculan, tingkat
kesulitan, dan tipologi soal yang muncul pada setiap pokok bahasan.
Soal-soal UMPTN dan SPMB juga disediakan untuk melatih kalian yang ingin melanjutkan
pendidikan ke Perguruan Tinggi Negeri. Dengan berlatih mengerjakan soal-soal ini, maka
kalian akan mengetahui tipe-tipe soal yang akan muncul dalam SPMB 2007.
Try Out Ujian Nasional 2007 disajikan untuk melatih kalian menyelesaikan soal-soal ujian
nasional, sehingga kalian siap menghadapi Ujian Nasional 2007.
Prediksi Ujian Nasional 2007 merupakan gambaran soal yang akan keluar dalam Ujian
Nasional 2007.
Persiapan Ujian Saringan Masuk ITB memuat soal-soal Tes Bakat Skolastik dan Psikotes.
Soal-soal ini sengaja kami sertakan untuk kalian yang ingin masuk Institut Teknologi Bandung
melalui jalur khusus.
Keputusan berada di tangan kalian. Kesuksesan tidak datang begitu saja. Apabila kalian berlatih
terus dengan serius, maka bola kesuksesan ada di tangan Anda. Semoga berhasil!
Jakarta, September 2006
Tim Matrix Media Literata
Kata pengantar iii
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ........................................................................................................................ iii
BAB 1 BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA ................................................... 1
A. Bentuk Pangkat .......................................................................................................... 1
B. Bentuk Akar ................................................................................................................ 1
C. Bentuk Logaritma ....................................................................................................... 3
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 4
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 5
BAB 2 PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT .................................................................. 7
A. Persamaan Kuadrat .................................................................................................... 7
B. Penyelesaian Persamaan Kuadrat ............................................................................ 7
C. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat ........................................ 8
D. Jenis-jenis Persamaan Kuadrat ................................................................................ 8
E. Membentuk Persamaan Kuadrat .............................................................................. 9
F. Fungsi Kuadrat ........................................................................................................... 9
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 11
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 12
BAB 3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT ................................................. 15
A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) ................................................. 15
B. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel ................................................... 17
C. Sistem Persamaan Non-linear .................................................................................. 17
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 18
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 19
BAB 4 PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL .................................................................... 21
A. Pertidaksamaan Pecahan ........................................................................................... 21
B. Pertidaksamaan Irasional ........................................................................................... 21
C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak ................................................................................... 22
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 23
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 24
BAB 5 LOGIKA MATEMATIKA ................................................................................................ 26
A. Pernyataan Kalimat Terbuka dan Ingkaran ........................................................... 26
B. Konjungsi dan Disjungsi ............................................................................................ 26
C. Implikasi dan Biimplikasi .......................................................................................... 27
D. Negasi dari Pernyataan Majemuk ............................................................................ 28
E. Ingkaran Pernyataan Berkuantor ............................................................................. 29
F. Modus Ponens, Tollens, Silogisme ........................................................................... 29
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 30
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 32
iv Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
BAB 6 RUANG DIMENSI TIGA ................................................................................................ 33
A. Gambar Bangun Ruang .............................................................................................. 33
B. Jarak dan Sudut .......................................................................................................... 33
C. Volume Bangun Ruang ............................................................................................... 35
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 36
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 39
BAB 7 STATISTIKA ..................................................................................................................... 40
A. Ukuran Pemusatan ..................................................................................................... 40
B. Ukuran Penyebaran .................................................................................................... 42
C. Tabel Distribusi Frekuensi Berkelompok ................................................................ 42
D. Histogram dan Poligon Frekuensi ............................................................................ 43
E. Statistika Deskriptif .................................................................................................... 43
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 45
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 46
BAB 8 PELUANG .......................................................................................................................... 48
A. Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi .................................................... 48
B. Peluang Suatu Kejadian ............................................................................................. 49
C. Peluang Kejadian Majemuk ....................................................................................... 50
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 52
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 53
BAB 9 TRIGONOMETRI ............................................................................................................. 54
A. Rumus Trigonometri .................................................................................................. 54
B. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) ........ 54
C. Perbandingan Trigonometri dan Sudut Berelasi .................................................... 56
D. Aturan Sinus, Kosinus, dan Luas Segitiga ............................................................. 57
E. Rumus Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut .......................................................... 58
F. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap ....................................................................... 59
G. Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus ...................................................... 60
H. Rumus Hasil Kali Sinus dan Kosinus ...................................................................... 60
I. Fungsi Trigonometri dan Grafiknya ......................................................................... 60
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 62
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 64
BAB 10 PERSAMAAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN ......................................... 67
A. Persamaan-persamaan Lingkaran ............................................................................. 67
B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran .................................................................... 68
C. Persamaan Parabola (Pengayaan) ............................................................................. 70
D. Persamaan Garis Singgung Parabola ....................................................................... 70
E. Persamaan Elips (Pengayaan) ................................................................................... 71
F. Persamaan Garis Singgung Elips ............................................................................. 72
G. Persamaan Hiperbola (Pengayaan) ........................................................................... 72
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 74
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 77
Daftar Isi v
BAB 11 SUKU BANYAK ................................................................................................................ 79
A. Persamaan Suku Banyak ........................................................................................... 79
B. Pembagian Suku Banyak dengan x – k ................................................................... 79
C. Pembagian Suku Banyak dengan ax + b ................................................................ 80
D. Pembagian Suku Banyak dengan ax2 + bx + c ...................................................... 80
E. Teorema Sisa ............................................................................................................... 81
F. Akar-akar dari Persamaan Suku Banyak ................................................................ 81
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 82
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 83
BAB 12 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS ........................................................ 84
A. Fungsi Komposisi ........................................................................................................ 84
B. Sifat-sifat Fungsi Komposisi ...................................................................................... 84
C. Fungsi Invers .............................................................................................................. 85
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 87
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 89
BAB 13 LIMIT FUNGSI ................................................................................................................ 90
A. Pengertian Limit di Suatu Titik ............................................................................... 90
B. Limit Fungsi Aljabar .................................................................................................. 90
C. Teorema Limit ............................................................................................................ 92
D. Limit Trigonometri ..................................................................................................... 92
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 93
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 96
BAB 14 TURUNAN ......................................................................................................................... 98
A. Aturan Turunan .......................................................................................................... 98
B. Persamaan Garis Singgung pada Kurva .................................................................. 99
C. Fungsi Turun dan Fungsi Naik ................................................................................ 99
D. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi ....................................................... 100
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 100
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 102
BAB 15 INTEGRAL ......................................................................................................................... 106
A. Integral Tak Tentu ..................................................................................................... 106
B. Intergral Tertentu ....................................................................................................... 106
C. Teknik Pengintegralan ............................................................................................... 107
D. Menentukan Luas Daerah ......................................................................................... 108
E. Menentukan Volume Benda Putar ........................................................................... 109
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 111
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 114
BAB 16 PROGRAM LINEAR ....................................................................................................... 116
A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel ........................................................ 116
B. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif ..................................................................... 117
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 118
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 119
vi Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
BAB 17 MATRIKS ........................................................................................................................... 121
A. Pengertian dan Jenis-jenis Matriks .......................................................................... 121
B. Operasi Hitung ............................................................................................................ 122
C. Transpos ....................................................................................................................... 123
D. Determinan dan Invers Matriks ............................................................................... 124
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 125
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 127
BAB 18 VEKTOR ............................................................................................................................. 129
A. Pengertian dan Penulisan Vektor ............................................................................ 129
B. Operasi pada Vektor ................................................................................................... 129
C. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor .............................................. 130
D. Perbandingan Vektor .................................................................................................. 131
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 132
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 134
BAB 19 TRANSFORMASI GEOMETRI ..................................................................................... 136
A. Translasi (Pergeseran) ................................................................................................ 136
B. Refleksi (Pencerminan) ............................................................................................... 137
C. Rotasi (Perputaran) ..................................................................................................... 138
D. Dilatasi (Perkalian) ..................................................................................................... 139
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 140
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 142
BAB 20 BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA ............................................................... 143
A. Barisan .......................................................................................................................... 143
B. Deret ............................................................................................................................. 143
C. Barisan dan Deret Aritmetika .................................................................................. 144
D. Barisan dan Deret Geometri ..................................................................................... 144
E. Notasi Sigma dan Induksi Matematika ................................................................... 145
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 146
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 149
BAB 21 FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA ................................................................. 153
A. Persamaan Eksponen ................................................................................................. 153
B. Pertidaksamaan Eksponen ......................................................................................... 154
C. Persamaan Logaritma ................................................................................................. 154
D. Pertidaksamaan Logaritma ........................................................................................ 154
Soal Pemantapan Ujian Nasional ............................................................................. 155
Soal-soal UMPTN dan SPMB ...................................................................................... 156
Try Out 1 Ujian Nasional 2007 ................................................................................................... 159
Try Out 2 Ujian Nasional 2007 ................................................................................................... 165
Try Out 3 Ujian Nasional 2007 ................................................................................................... 171
Try Out 4 Ujian Nasional 2007 ................................................................................................... 177
Daftar Isi vii
Prediksi 1 Ujian Nasional 2007 .................................................................................................. 183
Prediksi 2 Ujian Nasional 2007 .................................................................................................. 189
Prediksi 3 Ujian Nasional 2007 .................................................................................................. 195
Tes Bakat Skolastik Paket 1 ....................................................................................................... 201
Tes Bakat Skolastik Paket 2 ....................................................................................................... 201
Psikotes .............................................................................................................................................. 212
REFERENSI ...................................................................................................................................... 216
viii Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab
1 Bentuk Pangkat , Akar, dan
Pangkat, Akar,
Logaritma
Contoh
A. Bentuk Pangkat
Bentuk sederhana dari
7 x2 y 3 z2 27 xy 1 z8
1. Pangkat bulat positif, negatif, dan nol adalah . . . .
54 x 1 y 5 z4 84 x 6 y4 z 2
Jika p bilangan real dan n bilangan bulat positif,
maka pn didefinisikan sebagai hasil perkalian p 1 10
x y 3 1 10 3
x y z
A. D.
sebanyak n faktor, yaitu sebagai berikut. 12 24
1 10 3 1 10 3
p p p . . . p B. x y z E. x z
12 24
pn
n faktor
1 10 3
C. x y
24
Jika p 0 dan n bilangan bulat negatif, maka
p–n didefinisikan sebagai berikut. Jawab:
1
p–n pn 7 x2 y 3 z2 27 xy 1 z 8
1
54 x 1 y 5 z 4 84 x 6 y4 z 2
p p p . . . p
n faktor 7 x2 y 3 2
z 27 xy 1 z 8
p 1
p 1 1
p . . . p 1 84 x 6 y4 z 2 54 x 1 y 5 z 4
1 x2 6 y 3 4 z2 2 1 x1 1
y 1 5
z 8 4
1 1 1 1 1 12 2
. . .
p p p p pn 1 8 7 4 1 2 4 4
x y z x y z
12 2
Secara umum dirumuskan
1 8 2 7 4 4 4
x y z
1 24
p n dan p0 1
pn 1 10 3 0 1 10 3
x y z x y
24 24
Kunci: C
2. Sifat-sifat bilangan berpangkat
Untuk setiap p, q bilangan real dan m, n
bilangan bulat, berlaku aturan berikut.
a. pm pn pm n
B. Bentuk Akar
b. pm pn pm n
n
c. pm pm n 1. Sifat-sifat bentuk akar
Untuk setiap a, b, c, d bilangan real, m dan n
d. (p q)n pn qn
bilangan asli berlaku aturan berikut.
n m
p pn n
e. , q 0 a. am an
q qn
b. cn a dn a (c d)n a
Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 1
c. cn a dn a (c d) n a Dari hasil di atas diperoleh akar berikut.
d. n n n 2
a b a b 12 2 35 7 5 7 5
n
n
a a 2
e. n
, b 0 12 2 35 7 5 7 5
b b
f. mn mn a
a Perhatikan: 12 7 5
35 7 5
2. Merasionalkan penyebut pecahan
Secara umum dituliskan.
Merasionalkan penyebut pecahan artinya
mengubah bentuk akar pada penyebut dari suatu
pecahan menjadi bilangan rasional. a 2 b c d
Merasionalkan dengan cara mengalikan
pembilang dan penyebut pecahan dengan akar a 2 b c d
sekawan dari penyebut.
di mana a c d
Untuk a, b, dan c bilangan real berlaku aturan b c d, c d
berikut.
a a b a a b 2 ab a b
a. b
b b b b
a b 2 ab a b
a a b 1
b. ab dengan a b
b b b b
c c a b
c.
a b a b a b
c Contoh
a b
a b
5 2
1. Bentuk sederhana dari
c c a b 5 2
d. adalah . . . .
a b a b a b
c A. 2 2 5 5 10 10
a b
a b
B. 2 2 5 5 10 10
a b disebut sekawan a C. 5 5 2 2 10 10
• b
• a b disebut sekawan a b D. 5 5 2 2 10 10
• Hasil kuadrat dua suku E. 5 5 2 2 10 10
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)2 a2 2ab b2 Jawab:
5 2 5 2
2 2 2 5 2 5 2
7 5 7 2 7 5 5
5 2 5 2
7 2 35 5
5 4
12 2 35
5 5 2 5 10 2 2
2 2 2
7 5 7 2 7 5 5 5 5 10 10 2 2
7 2 35 5 5 5 2 2 10 10
12 2 35 Kunci: D
2 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
a
c. log pn n a log p
2. Nilai dari 31 936 21 416 b
a log p
adalah . . . . d. log p b
log a
A. 5 2 D. 13
a 1
e. log p
B. 2 5 E. 21 p
log a
C. 8 f. a
log a 1
Jawab: g. a
log an n
Ingat rumus: a
h. log 1 0
a b 2 ab a b a
i. log p p log q a
log q
a b 2 ab a b
an m a
sehingga diperoleh: j. log pm log p
n
31 936 21 416
a an
k. log p log pn
31 2 234 21 2 104
a
18 13 2 18 13 l. a log p p
13 8 2 13 8 m
an
m. (am ) log p
pn
18 13 13 8
18 8
3 2 2 2
5 2
Contoh
Kunci: A
64
Diketahui log 7 x, maka nilai dari
128 1
log ....
49
C. Bentuk Logaritma
A.
2
x D.
7
x
7 12
7 12
Untuk a 0 dan a 1, berlaku aturan berikut. B. x E. x
12 7
a
log p n jika dan hanya jika an p 12
x
C.
7
dengan:
a adalah bilangan pokok Jawab:
p adalah bilangan yang akan dicari logaritmanya 64 log 7
log 7 x x
(p 0) log 64
n adalah logaritma dari p dengan bilangan log 7
pokok a x
log 26
Untuk a 0, a 1, p 0, dan q 0, berlaku log 7
aturan berikut. x
6 log 2
a. a a a
log pq log p log q log 7
6x
p log 2
a a a
b. log log p log q
q
Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 3
1 Cara lain:
log
128 1 49 64
log x log 7
49 log 128 6
2
x log 7
log (49) 1
1 2 2
log 27 x log 7 6x log 7
6
log 7 2
Jadi,
log 27
128 1 27 2 22
2 log 7 2 log 7 log log 7 log 7
49 7
7 log 2 7 log 2
2 12
2 12 6x x
6x x 7 7
7 7 Kunci: C
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 3 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari bentuk pangkat dan logaritma.
• Soal nomor 4 – 6 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari bentuk merasionalkan dan
bentuk logaritma.
• Soal nomor 7 – 8 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari semua
materi pada bab ini.
1. Ditentukan nilai a = 9, b = 16, dan c = 36. Nilai 2
3 3 31
1 1 4. Nilai x dari persamaan
a 3b 2c .... 3x 2 9
adalah . . . .
A. 1 D. 12 2
A. D. 31
B. 3 E. 18 3 3
C. 9
B. 41 E. 41
2 2
2. Jika log 2 = 0,301 dan log 3 = 0,477, maka
log 3 225 C. 31
.... 3
A. 0,714 D. 0,778
1 3 2
B. 0,734 E. 0,784 25 2 16 4 27 3
5. Nilai p 3 adalah . . . .
C. 0,756
6250,25 810,5
x 1
3. Jika 6
x 1 2 , maka x = . . . . A. 2 D. 16
3
A. 2
log 3 D. 3
log 6 B. 8 E. 36
1 C. 15
3 2 log
B. log 2 E. 2
1 6. Diketahui 2log 5 = p dan 3log 2 = q.
C. 2 log 3 Nilai 3log 125 + 8log 27 = . . . .
4 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
3p q 3 p2 3 A. (36 6 3) m D. (36 3 3) m
A. D.
q q B. (36 6 3) m E. 36 3 m
p q 3p q2 C. (36 3 3) m
B. 3q
E.
q
8. Keliling trapesium KLMN pada gambar berikut
3 pq2 1 adalah 23 cm.
C.
q Panjang KL adalah . . . .
7. Kawat sepanjang 99 m digunakan seluruhnya
N M
untuk membuat kerangka seperti pada gambar
berikut.
C
K O L
A. 5 2 2 cm D. 10 2 2 cm
A D B
B. 5 2 2 cm E. 10 2 cm
Panjang AB BC AC x m. Besar nilai x
C. 10 2 2 cm
adalah . . . .
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Jika log log x log 2 1, maka nilai 4. Jika f(x) b x , b konstanta positif, maka
x
log 5 . . . .
f ( x2 x)
1 . . . .
A. 5 log 5 D. log 5 f ( x 1)
5
1 A. f(x2)
B. 2 log 5 E. log 5 B. f(x 1) f(x 1)
10
C. log 5 (UMPTN 2001) C. f(x 1) f(x 1)
D. f(x 1) f(x 1)
2 3 E. f(x2 1) (SPMB 2002)
2. Jika a b 6 ; a dan b bilangan
2 3
3
bulat, maka a b . . . . x x
5. Jika x 0 dan x 1 memenuhi xp
A. 5 D. 2 x
B. 3 E. 3 dengan p bilangan rasional, maka p . . . .
C. 2 (SPMB 2002) 1 1
A. D.
2 2
3. Jika f(x) ax, maka untuk setiap x dan y
1 2
berlaku . . . . B. E.
3 3
A. f(x)f(y) f(xy)
B. f(x)f(y) f(x y) 1
C. (SPMB 2002)
C. f(x)f(y) f(x) f(y) 3
D. f(x) f(y) f(xy) 6. Jika 4 log 5 p dan 4
log 28 q, maka
E. f(x) f(y) f(x y) 4
(SPMB 2002) log 70 . . . .
Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 5
1 1 11. Jika f(x) x2 1 dan g(x) x 1, maka
A. p q D. p q
2 2
f ( x)
1 1 . . . .
B. p 2q E. 2p q g( x)
2 2
1 A. (1 x )(x 1) D. (1 x )(1 x)
C. p q 1 (SPMB 2002)
2 x )(1
B. (1 x )(x 1) E. (1 x)
7. Jika a 1, b 0, dan c 1, maka C. (1 x )(1 x) (SPMB 2005)
b a c 2 a c
log log b log . . . .
12. Nilai x yang memenuhi persamaan
1
A. D. 2 4x 2x 1 3 adalah . . . .
4
1 A. 1 D. 3log 2
B. E. 3 B. 2 E. 3
2
2
C. 1 (SPMB 2002) C. log 3 (SPMB 2005)
1 1 1 1 2 13. Nilai k yang memenuhi persamaan
8. Jika a 0, maka a2 a 2 a2 a 2 xa(xa 1)a(xa)1 a xk 1 adalah . . . .
A. a D. 3a 1
sama dengan . . . .
2
B. 3a E. a2 a
1
A. 2
a2 1 C. 2a 1 (SPMB 2005)
a
1 4
B. a 1 14. Jika p 1 3 , maka p2 2 adalah . . . .
a2
A. p D. 1 p
1
C. 2
a4 a2 1 B. 2p E. 2(1 p)
a
C. 1 p (SPMB 2005)
1 4
D. 2
a 1
a 4 9
15. Jika log 6 m 1, maka log 8 . . . .
1 4 3 3
E. a 1 (SPMB 2003) A. D.
a2 2m 4 2m 4
3 3
9. Nilai x yang memenuhi persamaan B. E.
4m 2 2m 2
1 ( x 3)
0,09 2 3
1 adalah . . . . C. (SPMB 2006)
0,33 x 1 4m 2
A. 2 D. 1
x 2 10
B. 1 E. 2 16. Nilai x yang memenuhi 3
2 2x 3
2
C. 0 (SPMB 2004)
adalah . . . .
5 2 5 2 1
log10 log 2 A. 2 atau 5 D. 1 atau 4
10. . . . . 2
5 2 2
log 20
B. 2 atau 1 E. atau 3
1 3 3
A. D. 4 2
2 1 atau 2
C. (SPMB 2006)
B. 1 E. 5 3
C. 2 (SPMB 2004)
Intersection
Materi tentang pangkat, akar, dan logaritma akan sangat membantu kamu lebih teliti dalam
melakukan perhitungan, karena materi pada bab ini akan banyak digunakan pada bab-bab
berikutnya.
6 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab
2 Persamaan dan Fungsi
Kuadrat
di mana: b p q
A. Persamaan Kuadrat ac p · q
2. Melengkapkan kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:
ax2 bx c 0
b c
ax2 bx c 0, a, b, c R, dan a 0 x2 x 0
a a
2 2
dengan: b b c b
x adalah variabel x2 2 x
2a 2a a 2a
a adalah koefisien dari x2 2
b adalah koefisien dari x b b2 4 ac
x
c adalah konstanta 2a 2
4a
2
(x p) q
Contoh x p q
Nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat x q p
3 x2 0 adalah . . . .
A. a 1, b 1, c 3 b b2 4 ac
di mana: p , q , a 0
2a 2
B. a 3, b 0, c 1 4a
C. a 1, b 0, c 3
3. Rumus
D. a 1, b 3, c 0
ax2 bx c 0 . . . . dikali 4a
E. a 3, b 1, c 0
Sehingga,
Jawab: 4 a2 x2 4 abx 4 ac 0
Bentuk umum persamaan kuadrat:
4 a2 x2 4 abx b2 b2 4 ac ditambah b2
ax2 bx c 0
3 x2 x2 0 · x 3 (2ax b)2 b2 4 ac
Jadi, a 1, b 0, dan c 3.
2ax b b2 4 ac
Kunci: C
2ax b b2 4 ac
bb2 4 ac
x
2a
B. Penyelesaian Persamaan Kuadrat
x
b D
2a
di mana D b2 4ac (D diskriminan)
Untuk menentukan penyelesaian persamaan
kuadrat ada tiga cara, yaitu dengan memfaktorkan,
melengkapkan kuadrat, dan menggunakan rumus. Contoh
1. Memfaktorkan
Penyelesaian dari persamaan kuadrat
ax p ax q x(3x 4) 3x 10 adalah . . . .
ax2 bx c
a
Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat 7
Contoh
3
A. D. 2 Akar-akar persamaan kuadrat 4x2 px 25 0
5
adalah x1 dan x2. Jika akar-akar persamaan
3 kuadrat x 1 2 x22 12,5, maka nilai p
B. E. 2
5 adalah . . . .
2 A. 20 D. 8
C.
5
B. 12 E. 25
Jawab: C. 4
x(3x 4) 3x 10
Jawab:
3x2 4x 3x 10
3x2 4x 3x 10 0 4x2 px 25 0
3x2 x 10 0 a 4, b p, c 25
(3x 5)(x 2) 0 b p
x1 x2
3x 5 0 atau x 2 0 a 4
5 c 25
x x 2 x1 · x2
3 a 4
Kunci: D
x12 x22 12,5
(x1 x2)2 2x1x2 12,5
2
p 25
2 12,5
4 4
Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar p2 25
C. 16 2
12,5
Persamaan Kuadrat
p2 25
12,5
16 2
b b2 4 ac p2
Dari rumus x1,2 25
2a 16
p2 16 25
b b2 4 ac p2 400
Misalkan x1
2a p 20
b b2 4 ac Kunci: A
x2
2a
b c
maka: x1 x2 dan x1 x2
a a
Bukti:
2 2
D. Jenis-jenis Persamaan Kuadrat
b b 4 ac b b 4 ac
x1 x2
2a 2a
Persamaan kuadrat ax2 bx c 0 mempunyai
2b b 2
b b 4 ac
2a a akar-akar x1,2 , D b2 4 ac ,
2a
a 0.
b b2 4 ac b b2 4 ac Nilai x1 dan x2 bergantung dengan diskriminan
• x1 x2
2a 2a (D) yang berarti membedakan jenis akar.
2 1. D 0, persamaan kuadrat mempunyai dua
( b)2 b2 4 ac akar nyata yang berbeda.
(2a)2 2. D 0, persamaan kuadrat mempunyai dua
akar yang sama.
b2 (b2 4 ac) c
3. D 0, persamaan kuadrat tidak mempunyai
2 a
4a akar nyata (kedua akar imajiner).
8 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh
6
Sifat dari akar persamaan kuadrat x1 x2 2
3
5x2 6x 2 0 adalah . . . . 2
A. akar-akarnya sama x1 x2
3
B. akar-akarnya bilangan rasional
C. akar-akarnya imajiner Sekarang kita cari nilai p q dan p q.
D. akar-akarnya bilangan irasional 1 1 x1 x2
E. akar-akarnya bilangan berbeda p q
x1 x2 x1 x2
Jawab: 2 3
2 3
5x2 6x 2 0 a 5, b 6, c 2 2 2
3
D b2 4ac
( 6)2 4(5)(2)
1 1 1 3 1
36 40 p q
x1
x1 x2 2 x22
4 3
Sehingga diperoleh persamaan kuadrat
D 0, maka persamaan kuadrat akar-akarnya
berikut.
imajiner.
3
Kunci: C x2 3 x 0 ..... kedua ruas dikali 2
2
2x2 6x 3 0
Kunci: D
E. Membentuk Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar F. Fungsi Kuadrat
x1 dan x2 dapat dibentuk dengan menggunakan
rumus berikut.
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah
a(x x1) (x x2) 0 f(x) ax2 bx c.
Dari bentuk umum tersebut dapat diperoleh
atau
b
f ( x) a x2 x c
ax2 (x1 x2)x x1x2 0 a
2
b b2
a x c
Contoh
2a 4 a2
2
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya b b2
a x c
kebalikan dari akar-akar persamaan kuadarat 2a 4a
3x2 6x 2 0 adalah . . . . 2
b2 4 ac
b
A. 3x2 2x 6 0 a x
2a 4a
B. 3x2 2x 6 0
2
C. 2x2 6x 3 0 a x
b D
D. 2x2 6x 3 0 2a 4a
E. 2x2 6x 3 0 2
b D
a x
Jawab: 2a 4a
Misalkan akar-akar kuadrat yang dicari Dari rumus di atas, diperoleh aturan berikut.
adalah p dan q, maka persamaan kuadrat
a. Jika a 0, maka grafik terbuka ke atas.
tersebut adalah x2 (p q)x p q 0
Jika a 0, maka grafik terbuka ke bawah.
1 1
dengan p dan q . b. Jika D 0, maka grafiknya menyinggung
x1 x2 sumbu-x.
Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat 9
Jika D 0, maka grafiknya memotong 1. f(x) ax2 bx c jika diketahui tiga titik yang
sumbu-x pada dua titik. dilalui oleh kurva tersebut.
Jika D 0, maka grafiknya tidak memotong 2. f(x) a(x x1)(x x2) jika x1 dan x2 merupakan
sumbu-x. absis titik potong dengan sumbu-x dan satu titik
c. Ilustrasi kurva terhadap sumbu-x lain diketahui.
(i) (ii) x 3. f(x) a(x p)2 q jika (p, q) titik puncak dan
satu titik lain diketahui.
x
Contoh
a 0 dan D 0 a 0 dan D 0 1. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui
titik ( 12, 0) dan mempunyai titik balik
(iii) (iv) ( 15, 3) adalah . . . .
x
A. f(x) 3(x 15)2 3
B. f(x) 3(x 15)2 3
x
C. f(x) 1 ( x 15)2 3
3
a dan D 0 a 0 dan D 0 1
D. f(x) (x 15)2 3
3
(v) (vi) 1
x
E. f(x) (x 15)2 3
3
Jawab:
x Fungsi kuadrat f(x) a(x p)2 q dengan
koordinat titik balik (p, q) ( 15, 3).
a 0 dan D 0 a 0 dan D 0 Fungsi f(x) a(x 15)2 3
Grafik melalui titik ( 12, 0) sehingga
Untuk a 0 dan D 0, grafik semuanya diperoleh nilai sebagai berikut.
berada di atas sumbu-x, dan f(x) disebut 0 a( 12 15)2 3
definit positif. Lihat gambar (v). 3 a(3)2
Untuk a 0 dan D 0, grafiknya semuanya 3 9a
berada di bawah sumbu-x, dan f(x) disebut 3 1
a
definit negatif. Lihat gambar (vi). 9 3
1
Koordinat titik ekstrim atau titik balik Jadi, f ( x) (x 15)2 3
fungsi 3
Kunci: D
b D
, y
2a 4 a 2.
Persamaan sumbu simetri
b
x
2a
( 5, 0)
x
Nilai maksimum atau minimum fungsi (1, 0)
(0, 2)
D
y
4a
d. Menentukan persamaan fungsi kuadrat Persamaan fungsi kuadrat dari grafik di
Untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat atas adalah . . . .
dapat menggunakan rumus-rumus berikut.
10 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
2 2 f(x) a(x 5)(x 1).
A. f(x) x 4x 5
5 Grafik melalui titik (0, 2), sehingga
5 2 2 a(0 5)(0 1)
B. f(x) x 4x 5
2 2 a(5)( 1)
2 2 2 5a
C. f(x) x 4x 5
5 2
a
5 2 5
D. f(x) x 4x 5
2 Jadi, persamaan grafik tersebut adalah
5 2 sebagai berikut.
E. f(x) (x 4x 5)
2 2
f ( x) (x 5)( x 1)
Jawab: 5
2 2
Grafik memotong sumbu-x di dua (x 4x 5)
titik yaitu ( 5, 0) dan (1, 0), maka 5
Kunci: A
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 3 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari cara menyusun persamaan
kuadrat.
• Soal nomor 4 – 8 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari jumlah akar-akar persamaan
kuadrat dan dalil Pythagoras.
• Soal nomor 9 – 12 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari
semua materi ini.
1. Persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai 3. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai
titik balik (2, 1) dan melalui titik (3, 5) maksimum 3 untuk x 1 dan grafiknya melalui
adalah . . . . titik (3, 1), memotong sumbu-y di titik . . . .
A. y 6x2 24x 23 0, 7
A. 2 D. (0, 2)
B. y 6x2 24x 25
C. y 6x2 24x 23 B. (0, 3) E. 0, 3
2
D. y 6x2 24x 25
C. 0, 5
E. y 6x2 24x 23 2
2. Persamaan grafik suatu fungsi kuadrat 4. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan
yang memotong sumbu-x di titik (3, 0) dan kuadrat 2x2 14x 20 0, maka x12 x22
(5, 0) serta memotong sumbu-y di titik (0, 15) adalah . . . .
adalah . . . . A. 25 D. 33
A. y x2 8x 20 B. 29 E. 37
B. y x2 8x 20 C. 31
C. y x2 8x 15
5. Jika sisi miring segitiga siku-siku adalah 25 cm
D. y x2 8x 15 dan kelilingnya 56 cm, maka luas segitiga
E. y x2 8x 15 adalah . . . .
Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat 11
A. 64 cm2 D. 96 cm2 10. Persamaan kuadrat
B. 72 cm2 E. 108 cm2 (k 2)x2 (2k 1)x k 1 0
C. 84 cm2 mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah
kedua akar persamaan tersebut adalah . . . .
6. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan
9 2
2 adalah . . . . A. D.
8 5
A. x2 7x 10 0
8 1
B. x2 7x 10 0 B. E.
9 5
C. x2 3x 10 0
D. x2 3x 10 0
5
C.
2
E. x2 3x 10 0
11. Kawat sepanjang 32 m
7. Jika akar-akar persamaan kuadrat akan dibuat kerangka l
3x2 5x 1 0 adalah dan , maka nilai seperti pada gambar.
l
1 1 sama dengan . . . . Agar luasnya maksi-
2 2
mum, panjang (p) p
A. 19 D. 24 adalah . . . .
B. 21 E. 25 A. 4m D. 5m
C. 23 1 1
B. 4 m E. 5 m
8. Persamaan kuadrat x2 (m 2)x 9 0 3 3
mempunyai akar-akar nyata. Nilai m yang 2
C. 4 m
memenuhi adalah . . . . 3
A. m 4 atau m 8
B. m 8 atau m 4 12. Kawat sepanjang 60 m
akan dibuat kerangka x
C. m 4 atau m 10
seperti pada gambar.
D. 4 m 8
Ukuran luas maksimum- x
E. 8 m 4 nya adalah . . . .
y y
9. Agar f(x) (p 2)x2 2(2p 3)x 5p 6
A. 84 m2 D. 112 m2
bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas
nilai p adalah . . . . B. 96 m2 E. 120 m2
A. p 1 D. 1 p 2 C. 108 m2
B. 2 p 3 E. p 1 atau p 2
C. p 3
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Akar-akar kuadrat 4x2 20x 1 0 adalah xl 2. Diketahui f(x) x2 x 3 dan g(x) 3x 5.
dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya Daerah hasil dari y f(x) g(x) adalah . . . .
x1 1 x 1 A. x 0 D. 0 x 4
dan 2 adalah . . . .
x2 x1 B. x 2 E. 4 x 8
A. x2 78x 15 0 C. x 4 (UMPTN 2001)
B. x2 78x 15 0
3. Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan
C. x2 78x 15 0 x2 2x a 0 sama dengan jumlah kebalikan
D. x2 15x 78 0 akar-akar persamaan x2 8x (a 1) 0,
E. x2 15x 78 0 (UMPTN 2001) maka nilai a sama dengan . . . .
12 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
A. 6 D. 2 9. Fungsi f(x) (a 4)x2 ax 2 (a 3) bernilai
B. 1 E. 3 tak negatif jika . . . .
1 A. 0 a 4 D. a 4
C. (UMPTN 2001)
2 B. 0 a 4 E. a 4
C. 4 a 4 (SPMB 2003)
4. Selisih sisi terpanjang dan sisi terpendek
sebuah segitiga siku-siku sama dengan dua kali 10. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
selisih sisi yang lain dengan sisi terpendek. x 4x 3 0, maka persamaan kuadrat yang
Jika luas segitiga itu 150 cm2, maka kelilingnya akar-akarnya x12 dan x22 adalah . . . .
sama dengan . . . . A. x2 10x 9 0
A. 30 cm D. 90 cm B. x2 10x 9 0
B. 45 cm E. 120 cm 2
C. x 4x 3 0
C. 60 cm (UMPTN 2001) 2
D. x 4x 3 0
E. x2 4x 9 0 (SPMB 2004)
5. Agar (3m 1)x2 4(m 1)x m 4 untuk
setiap x real, maka haruslah . . . .
x k 1
A. m 0 atau m 5 11. Jika salah satu akar persamaan
6 x 2
1 adalah 6, maka akar yang lain adalah . . . .
B. m 5
3 A. 9 D. 6
C. 0 m 5 B. 3 E. 9
D. 0 m 5 C. 3 (SPMB 2004)
1
E. m atau m 3 (SPMB 2002) 12. Diberikan persamaan kuadrat ax2 bx c 0.
3 Satu akarnya merupakan kelipatan 4 akar
6. Akar-akar persamaan kuadrat x2 6x c 0 yang lain. Maka a, b, dan c memenuhi
adalah x1 dan x2. Akar-akar persamaan kuadrat hubungan . . . .
x2 (x12 x22)x 4 0 adalah u dan v. Jika A. b 4a2c D. 4b2 9ac
u v uv, maka x13x2 x1x23 . . . . B. b 16ac E. 4b2 25ac
A. 64 D. 32 2
C. b 8ac (SPMB 2004)
B. 4 E. 64
13. Agar kurva y mx2 2mx m seluruhnya
C. 16 (SPMB 2003) terletak di atas kurva y 2x2 3, maka
konstanta m memenuhi . . . .
7. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan
kuadrat x2 4x 2 0, maka persamaan A. m 6 D. 6 m 2
kuadrat yang akar-akarnya a 2 b dan ab 2 B. m 2 E. 6 m 2
adalah . . . . C. 2 m 6 (SPMB 2004)
A. x2 8x 6 0 14. Akar-akar persamaan kuadrat x2 ax b 0
B. x2 6x 6 0 adalah x 1 dan x 2 . Jika x 1 dan x 2 juga
C. x2 6x 8 0 merupakan akar-akar persamaan kuadrat
2
D. x 8x 8 0 2x2 (a 3)x (3b 2) 0,
E. x2 8x 8 0 (SPMB 2003) maka a b . . . .
A. 2 D. 2
8. Grafik fungsi y (a 2)x2 2ax a 2
menyinggung sumbu-x di titik P dan memotong B. 1 E. 3
sumbu-y di titik Q. Panjang ruas garis PQ C. 1 (SPMB 2004)
adalah . . . .
15. Akar-akar persamaan kuadrat
A. 2 D. 3 3 x2 (a 1)x 6 0, a 0
37
3 adalah x1 dan x2. Jika x12 x22 13, maka
1 a . . . .
B. 1 15 E. 4 3
3 A. 0 D. 4
1 B. 1 E. 6
C. 2 6 (SPMB 2003)
3 C. 2 (SPMB 2005)
Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat 13
16. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 6x 3 0 A. 2x2 3x 10 0
adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar- B. 2x2 10x 3 0
akarnya x1 x2 dan x1x2 adalah . . . . C. 2x2 9x 3 0
D. 2x2 3x 9 0
E. 2x2 3x 9 0 (SPMB 2006)
Intersection
Bab ini banyak keterkaitannya dengan materi trigonometri, lingkaran, limit fungsi, integral, dan
turunan. Untuk itu, kamu harus benar-benar memahami materi pada bab ini.
14 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab
Sistem Persamaan Linear
3 dan Kuadrat
Contoh
A. Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel (SPLDV)
Penyelesaian dari persamaan x 2y 5 dan
3x 5y 4 adalah . . . .
Bentuk umum sistem persamaan linear dua
A. x 38 dan y 22
variabel (SPLDV) adalah sebagai berikut.
B. x 22 dan y 38
ax by c C. x 17 dan y 11
D. x 17 dan y 11
di mana x dan y adalah peubah atau variabel E. x 22 dan y 11
sementara a, b, dan c adalah konstanta.
Jawab:
x 2y 5 . . . (1)
I N G A T
3x 5y 4 . . . (2)
Misalkan diberikan sistem persamaan linear Dari Persamaan (1) diperoleh
berikut.
2y x 5
a1x b1y c1
y 1x 5
a2x b2y c2 2 2
• Mempunyai solusi atau penyelesaian
Substitusi nilai y ke Persamaan (2).
a1 b1
tunggal jika a b2 1 5
2 3x 5 2x 2 4
• Tidak mempunyai penyelesaian jika
a1 b1 c1 3x 5x 25 4
2 2
a2 b2 c2
1x 25
• Mempunyai banyak solusi jika 4
2 2
a1 b1 c1
a2 b2 c2 1x 17
2 2
x 17
Substitusi nilai x ke salah satu persamaan,
Menentukan penyelesaian SPLDV dapat misalkan Persamaan (1).
dilakukan dengan menggunakan metode substitusi,
17 2y 5 2y 5 17
metode eliminasi, metode grafik, dan metode
reduksi. 2y 22
y 11
1. Metode substitusi Jadi, penyelesaiannya adalah x 17 dan
Menggantikan salah satu variabel dari y 11.
persamaan pertama dengan variabel dari Kunci: D
persamaan yang kedua.
Bab 3 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat 15
2. Metode eliminasi
Menghilangkan salah satu peubah. Jawab:
y 3x 1 dan y x 3
Contoh x y x y
Himpunan penyelesaian dari 1 1
0 ( , 0) 3 0 ( 3, 0)
3 3
2x 5y 10 (0, 3)
0 1 (0, 1) 0 3
3x 2y 7
y
adalah . . . .
y 3x 1
A. {( 5, 4)} D. {(15, 4)} y x 3
B. {( 5, 4)} E. {(15, 4)}
C. {(5, 4)} ( 1, 2)
Jawab:
2x 5y 10 . . . (1) x
3x 2y 7 . . . (2)
Eliminasi y
2x 5y 10 2 4x 10y 20
3x 2y 7 5 15x 10y 35
11x 55 Jadi, penyelesaiannya adalah x 1 dan
x 5 y 2.
Eliminasi x Kunci: D
2x 5y 10 3 6x 15y 30
3x 2y 7 2 6x 4y 14
4. Metode reduksi
11y 44
Mengurangkan kedua persamaan sampai
y 4
diperoleh salah satu koefisien variabelnya
Jadi, himpunan penyelesaian adalah {( 5, 4)}. sama dengan nol, sehingga variabel tersebut
Kunci: A hilang.
Contoh
3. Metode grafik
Menggambarkan persamaan garis pada Himpunan penyelesaian dari
grafik dengan menentukan titik-titik potong. 4x 2y 46
3x y 21
adalah . . . .
Contoh A. {( 4, 31)} D. { 2, 27)}
B. {( 4, 31)} E. {(2, 31)}
Penyelesaian persamaan y 3x 1 dan C. { 2, 27)}
y x 3 adalah . . . .
Jawab:
A. x 1 dan y 2
4x 2y 46 . . . (1)
B. x 1 dan y 1 3x y 21 . . . (2)
2
1 Reduksi Persamaan (2) dari Persamaan (1)
C. x dan y 2
2 4x 2y 46
D. x 1 dan y 2 3x y 21
E. x 1 dan y 1 x y 25 . . . (3)
16 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Reduksi Persamaan (3) dari Persamaan (2) Persamaan (i) dikali 2
3x y 21 2x 2y 2z 6 . . . (iv)
x y 25 2x 2y z 6 . . . (ii)
2x 4 3z 12
x 2 z 4
Substitusi nilai x 2 ke Persamaan (1) Substitusi z 4 ke (i)
atau Persamaan (2). x y 4 3
4( 2) 2y 46 x y 1 . . . (v)
8 2y 46 x y 7 . . . (iii)
2y 54 2x 8
y 27 x 4
Jadi, HP {( 2, 27)}. Substitusi x 4 ke (iii)
Kunci: D 4 y 7
y 4 7 3
Himpunan penyelesaian (x, y, z) (4, 3, 4).
Kunci: C
B. Sistem Persamaan Linear dengan
Tiga Variabel
Sama halnya dengan SPLDV, hanya saja di sini
menggunakan tiga peubah atau variabel, yaitu x, y, C. Sistem Persamaan Non-Linear
dan z.
Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
1. Sistem persamaan linear-kuadrat
a1x b1y c1z d1
Bentuk umum persamaan linear-kuadrat adalah
a2x b2y c2z d2
sebagai berikut.
a3x b3y c3z d3
y px q . . . Persamaan linear
dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 adalah 2
y ax bx c . . . Persamaan kuadrat
bilangan real.
dengan p, q, a, b, c adalah bilangan real dan x
Metode yang digunakan untuk menyelesaikan
adalah peubah atau variabel.
persamaan ini adalah metode eliminasi dan
substitusi. Penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat
dapat ditentukan dengan metode grafik dan metode
substitusi.
Contoh
2. Sistem persamaan kuadrat dua variabel
Himpunan penyelesaian dari SPL Bentuk umum persamaan kuadrat dua variabel
x y z 3 adalah sebagai berikut.
2x 2y z 6 y ax2 bx c
x y 7 y px2 qx r
adalah . . . . dengan a, b, c, p, q, r adalah bilangan real dan x
A. (4, 3, 4) D. ( 2, 3, 4) adalah peubah atau variabel.
B. (2, 3, 4) E. ( 2, 3, 4)
C. (4, 3, 4) Contoh
Jawab: Himpunan penyelesaian dari
x y z 3 . . . (i) y (1 2x)2 31
2x 2y z 6 . . . (ii) y 3x(x 1) 42
x y 7 . . . (iii) adalah . . . .
Bab 3 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat 17
A. (8, 258) D. (9, 258) (x 9)(x 8) 0
B. ( 9, 258) E. ( 9, 258) x 9 atau x 8
C. ( 8, 258) Substitusi x ke (i)
Untuk x 9
Jawab:
y (1 2 9)2 31
y (1 2x)2 31 . . . (i)
(1 18)2 31 ( 17)2 31
y 3x(x 1) 42 . . . (ii)
289 31 258
Dari Persamaan (i) dan (ii) diperoleh Untuk x 8
(i) y 1 4x 4x2 31 4x2 4x 30 y (1 2 ( 8))2 31
(ii) y 3x(x 1) 42 3x2 3x 42 (1 16)2 31 (17)2 31
Karena (i) (ii) maka diperoleh 289 31 258
4x2 4x 30 3x2 3x 42 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
4x2 3x2 4x 3x 30 42 0 {(9, 259), ( 8, 258)}.
x2 x 72 0 Kunci: C
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 3 merupakan kategori soal yang mudah. Pelajari materi persamaan linear dua
variabel.
• Soal nomor 4 – 5 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang bagaimana memodelkan
suatu masalah dan menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel.
• Soal nomor 6 merupakan kategori soal yang sulit. Soal ini mengarah pada pemecahan masalah,
sehingga kamu harus mempelajari dan memahami semua materi pada bab ini.
1. Himpunan penyelesaian 3. Harga karcis masuk museum untuk anak
Rp2.000,00 dan untuk dewasa Rp3.000,00.
7x 2y 6
Terjual 180 karcis dalam seminggu dengan hasil
3x 4y 22
penjualan Rp420.000,00. Berapakah masing-
adalah . . . . masing karcis anak dan dewasa yang terjual
A. {( 4, 2)} D. {(2, 4)} berturut-turut dalam seminggu?
B. {( 4, 2)} E. {(2, 4)} A. {(60, 120)} D. {(100, 80)}
C. {( 2, 4)} B. {(70, 110)} E. {(120, 60)}
2. Vina membeli dua cokelat dan lima permen, ia C. {(80, 100)}
membayar Rp13.000,00. Lina membeli tiga 4. Umur ayah empat kali umur Ahmad. Empat
cokelat dan empat permen, ia membayar tahun yang lalu umur ayah sama dengan lima
Rp16.000,00. Jika Dewi membeli satu cokelat kali umur Ahmad ditambah delapan tahun.
dan dua permen, maka ia harus Jumlah umur ayah dan Ahmad sekarang
membayar . . . . adalah . . . .
A. Rp6.000,00 D. Rp11.000,00 A. 38 tahun D. 41 tahun
B. Rp7.000,00 E. Rp12.000,00 B. 39 tahun E. 42 tahun
C. Rp9.000,00 C. 40 tahun
18 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
5. Himpunan penyelesaian 6. Jika uang A, B, dan C digabungkan hasilnya
4x 3y z 16 Rp60.000,00. Apabila uang B diambil Rp10.000,00
2x 7y 3z 8 dan diberikan kepada A, maka uang A akan
sama dengan uang B. Jika uang C ditambah
x 3y 2z 14
Rp20.000,00, maka uang C akan sama dengan
adalah . . . . jumlah uang A dan B.
A. {( 3, 1, 7)} D. {(3, 1, 7)} Perbandingkan uang A, uang B, dan uang C
B. {( 3, 1, 7)} E. {(3, 1, 7)} berturut-turut adalah . . . .
C. {( 3, 1, 7)} A. 1 : 2 : 3 D. 2 : 3 : 1
B. 1 : 3 : 2 E. 3 : 1 : 2
C. 2 : 1 : 3
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Enam tahun yang lalu, Budi 4 tahun lebih muda 5. Pada tahun 2002, usia seorang anak sama
dari seperenam umur ayahnya. Umur Budi dengan seperempat usia ibunya (dalam tahun).
sekarang 3 tahun lebih tua dari seperdelapan Jika pada tahun 2006 usia anak itu sepertiga
umur ayahnya. Jumlah umur Budi dan ayahnya usia ibunya, maka tahun lahir anak tersebut
sekarang adalah . . . . adalah . . . .
A. 60 tahun D. 54 tahun A. 1988 D. 1994
B. 57 tahun E. 52 tahun B. 1990 E. 1996
C. 56 tahun (UMPTN 2001) C. 1992 (SPMB 2002)
2. Garis g: 2x 3y 7 memotong garis 6. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan
h: 3x 2y 4 di titik A. Persamaan garis yang 2 1 1 2 1
melalui titik A dan sejajar garis k: 3x y 6 1 dan 8 , maka ....
x y x y x y
adalah . . . . 3
A. x y 7 D. 3x y 7 A. D. 5
2
B. x 3y 1 E. 3x y 1 5
C. 3x y 7 (SPMB 2002) B. E. 6
6
6
3. Garis g melalui titik (1, 2) dan (3, 1). C. (SPMB 2002)
Persamaan garis h yang melalui titik ( 1, 2) 5
dan sejajar garis g adalah . . . . 7. Garis l melalui titik P( 2, 1) dan Q(q, 1),
A. 2x y 0 q 0 dan garis k melalui Q(q, 1) dan R(1, 0).
B. 3x 2y 1 0 Jika garis k tegak lurus garis l, maka
C. 2x 3y 8 0 persamaan garis l adalah . . . .
D. 2x y 4 0 A. y x 1 0 D. 2y x 1 0
E. 3x 2y 7 0 (SPMB 2002) B. y x 1 0 E. 2y x 1 0
C. 2y x 1 0 (SPMB 2003)
4. Sepuluh tahun yang lalu perbandingan umur
adik dan kakak adalah 2 : 3. Jika perbandingan 8. Garis g memotong sumbu-x di titik A(a, 0)
umur mereka sekarang adalah 4 : 5, maka dan memotong sumbu-y di titik B(0, b).
perbandingan umur tersebut 10 tahun yang Jika AB 5 dan gradien g bernilai negatif,
akan datang adalah . . . . maka . . . .
A. 5 : 6 D. 8 : 9 A. 5 a 5, ab 0
B. 6 : 7 E. 9 : 10 B. 5 a 5, ab 0
C. 7 : 8 (SPMB 2002) C. 5 a 5, ab 0
Bab 3 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat 19
D. 5 a 5, ab 0 10. Uang Amir Rp20.000,00 lebih banyak
E. 0 a 5, b 0 (SPMB 2003) dibandingkan uang Budi ditambah dua kali
uang Doni. Jumlah uang Amir, Budi, dan Doni
9. Jika garis y bx a memotong parabola adalah Rp100.000,00. Selisih uang Budi dan Doni
2
y ax bx (a 2b) di titik (1, 1) dan (x0, y0), adalah Rp5.000,00. Uang Amir adalah . . . .
maka x0 y0 . . . .
A. Rp22.000,00 D. Rp67.000,00
A. 6 D.
B. Rp33.000,00 E. Rp80.000,00
B. 5 E. 2
C. 4 (SPMB 2004) C. Rp51.000,00 (SPMB 2005)
Intersection
Untuk mempelajari materi tentang program linear, sebaiknya materi tentang SPL ini harus
benar-benar dipahami. Karena bab ini merupakan dasar kamu mempelajari materi tentang
program linear.
20 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab
4 Per tidaksamaan Satu
Pertidaksamaan
Variabel
A. Pertidaksamaan Pecahan Ambil sembarang nilai x selain pembuat
nol ( 7 dan 2) untuk menentukan daerah
dan .
Langkah-langkah menentukan himpunan
Misalkan: x 3
penyelesaian.
Buat ruas kanan menjadi nol. x 7 ( 3) 7
f ( x)
Buat perkalian faktor linear pada pembilang x 2 3 2
dan penyebut. 3 7 4
4 (bernilai positif )
Tuliskan nilai-nilai pembuat nol pada garis 1 1
bilangan. Untuk x 1, diperoleh
Tentukan tanda “ “ dan “ – “. (1) 7 1 7
f ( x)
Tentukan interval yang sesuai. 1 2 1
6
6 (bernilai negatif )
Contoh 1
Perhatikan garis bilangan berikut!
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
2x 1
3 adalah . . . .
x 2
{x 7 atau x 2}
A. 7 x 2
x 2 bukan penyelesaian karena
B. x 7 atau x 2
penyebutnya menjadi nol.
C. 2 x 7
Kunci: D
D. x 7 atau x 2
E. x 2 atau x 7
Jawab:
2x 1
x 2
3 B. Pertidaksamaan Irasional
2x 1
3 0
x 2 1. f ( x) k
2x 1 3( x 2) f(x) 0; k 0 . . . (i)
0
x 2 x 2 f(x) k2 . . . (ii)
2x 1 3x 6 Himpunan penyelesaiannya adalah (i) (ii).
0
x 2
x 7 2. f ( x) g( x)
0
x 2 f(x) 0 . . . (i)
Batas pembuat nol pembilang dan g(x) 0 . . . (ii)
penyebut f(x) g(x) . . . (iii)
x 7 0 dan x 2 0 Himpunan penyelesaiannya adalah
x 7 x 2
(i) (ii) (iii)
Bab 4 Pertidaksamaan Satu Variabel 21
Contoh
Dari (i), (ii) dan (iii)
1. Himpunan penyelesaian dari 3 x 2 2
adalah . . . .
2
A. x 2 D. x 2
3
2 6 8 10
B. x E. x 2
3
2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
C. x 2
3 8 x 10.
Jawab: Kunci: C
(i) 3x 2 0 (ii) 3x 2 4
2
x 3x 6
3
x 2
Dari (i) dan (ii) diperoleh
C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
|f(x)| k, maka k f(x) k
|f(x)| k, maka f(x) k atau f(x) k
2
3 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah Contoh
x 2.
Tentukan penyelesaian dari |2x 5| 3
2. Himpunan penyelesaian dari adalah . . . .
x 6 10 x adalah . . . . A. 1 x 4 D. 8 x 1
A. 6 x 10 D. 6 x 10 B. 1 x 4 E. 2 x 8
B. 6 x 8 E. 8 x 10 C. 4 x 2
C. 8 x 10
Jawab:
Jawab: |2x 5| 3
(i) x 6 0, x 6 3 2x 5 3
(ii) 10 x 0, x 10 3 5 2x 3 5
(iii) x 6 10 x 2 2x 8
2x 16 1 x 4
x 8 Kunci: B
22 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 merupakan ketegori soal yang mudah, pelajari pertidaksamaan pecahan.
• Soal nomor 2 – 4 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari pertidaksamaan irasional.
• Soal nomor 5 – 6 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus pelajari semua
materi ini.
1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
4. Nilai x dari x 10 x 2 adalah . . . .
3 x 12 A. 10 x 6
0 adalah . . . .
x2 8 x 12 B. 10 x 1 dan x 6
A. ( , 2) atau (4, 6) C. 10 x 1
B. ( , 2) atau (6, ) D. 1 x 6 dan x 10
C. ( , 2) E. 1 x 6
D. (6, )
E. (2, 6) 1 2 1
5. Diketahui . Nilai x
x 2 x 6 ( x 2)( x 6)
2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
yang memenuhi pertidaksamaan tersebut
1 x 2x 6 adalah . . . . adalah . . . .
5 5 A. 2 x 6
A. x D. 3 x B. 6 x 2
3 3
C. x 3 dan 2 x 6
5
B. x E. 3 x 1 D. x 3 dan 2 x 6
3
E. x 3 dan 2 x 6
5
C. x 1
3 3 5
6. 2 2
3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x 3x 2 x 4x 3
berlaku untuk . . . .
x x 6, x R adalah . . . .
x 1 1 x 3
A. {x| 2 x 3, x R} A. D.
2 2
B. {x|x 3 atau x 2, x R}
B. x 2 E. 2 x 3
C. {x| 6 x 2 atau x 3, x R}
C. x 3
D. {x|x 2 atau x 3, x R}
E. {x|x 3, x R}
Bab 4 Pertidaksamaan Satu Variabel 23
S oal-soal UMPTN dan SPMB
x2 2x 1 5. Agar pertidaksamaan 4x2 9x a2 9 dipenuhi
1. Penyelesaian dari 0 dan
2
x 2x 1 oleh semua nilai real x, maka . . . .
x A. a 4 atau a 4
0 adalah . . . .
x 3 3 3
A. x 1 2 atau x 3 B. a 3 atau a 3
4 4
B. x 0 atau x 1 2 C. a 3 atau a 3
C. x 0 atau x 3 1 1
D. 0 x 3 D. a 2 atau a 2
2 2
E. 0 x 1 2 (UMPTN 2001)
E. a 2 atau a 2 (SPMB 2002)
2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 6. Himpunan semua nilai x yang memenuhi
5 x x 3 3 adalah . . . .
1 adalah . . . .
4x 3 A. {x R x 3}
1 3 B. {x R x 3}
A. x atau x 2 C. {x R 3 x 3}
2 4
D. {x R x 3}
1 3 E. {x R x 3} (SPMB 2002)
B. x atau x 2
2 4
1 3 7. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
C. x 2, x 2
2 4 x adalah . . . .
1 3 x 1
D. x atau x A. { x x 2 atau x 1 }
2 4
1 B. { x x 2 atau 0 x 1 }
E. x atau x 2 (UMPTN 2001) C. { x x 1 }
2
D. { x x 1 atau x 1}
x2 5x 6 E. { x 1 x 1 } (SPMB 2002)
3. Daerah asal fungsi f(x)
x 2
adalah . . . . x 2 x 1
8. Solusi dari pertidaksamaan
A. {x x 2} x 5 x 4
B. {x 1 x 2} adalah . . . .
C. {x x 6 atau 1 x 2} A. 4 x 5
D. {x x 6 atau 1 x 2} 1
B. 5 x 6
E. {x x 6 atau 1 x 2} 2
(UMPTN 2001) C. x 4
1
4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan D. 4 x 5 atau 6
2
3x 2 2x 1 0 dan 3x 2 x 3 0 1
adalah . . . . E. x 4 atau x 6 (SPMB 2003)
2
1
A. 1 x D. 1 x 1 9. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
3
x2 2 6 2x 0 adalah . . . .
3 3 1
B. x 1 E. x A. {x 4 x 1}
2 2 3
B. {x x 3}
1
C. x 1 (SPMB 2002) C. {x x 4}
3
D. {x 4 x 2}
E. {x x 2} (SPMB 2004)
24 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
2 x2 x 3
10. Penyelesaian pertidaksamaan 2
0 A. 4 x 7 D. x 4
x x 6
adalah . . . . B. 3 x 7 E. 3 x 5
1 C. x 4 (SPMB 2005)
A. x 1 atau x 1
2
13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
1 1
B. 1 x 1 atau 2 x 1
2 2 x2 4x 3
2
0 adalah . . . .
1 x 3 x 10
C. 1 x 1 atau 2 x 3
2 A. x 2 atau 3 x 5
1 B. 2 x 1 atau 3 x 5
D. 2 x 1 atau 1 x 3
2 C. 2 x 1 atau 3 x 5
1 1 D. 1 x 3 atau x 5
E. 3 x atau 2 x 2
2 2 E. 1 x 3 atau x 5 (SPMB 2005)
(SPMB 2004)
14. Semua nilai x yang memenuhi 1 2x 2 x
11. Jika 10 y x 2 dan y x 3, maka . . . . adalah . . . .
A. 8 x y x 2 1
B. 8 x y x 3 A. x
3
C. 0 y x 3 B. x 1
D. 8 x y x 1 2
E. 0 y x 2 (SPMB 2004)
C. x atau x 2
3
2
12. Nilai x yang memenuhi persamaan D. x atau x 1
3
x 3 5 x , adalah . . . . 1
E. x atau x 1 (SPMB 2006)
3
Intersection
Materi tentang pertidaksamaan banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Materi ini juga
banyak digunakan dalam ilmu Ekonomi, Fisika, dan masih banyak lagi. Untuk itu, kamu harus
benar-benar mempelajari dan memahami bab ini.
Bab 4 Pertidaksamaan Satu Variabel 25
Bab
5 Logika Matematika
A. Pernyataan Kalimat Terbuka dan
C. x y 9, x, y R
Ingkaran
D. Andre Agassi adalah petenis dunia.
1. Pernyataan E. Susi Susanti adalah pelatih
Kalimat tertutup yang memiliki nilai benar bulutangkis.
saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus Jawab:
benar dan salah. x y 9, x, y R merupakan kalimat
Misalnya: terbuka karena nilai x dan y tidak
• Presiden Indonesia pada tahun 2003 adalah terbatas. Sehingga nilai kebenarannya
Megawati Soekarno Putri. belum pasti.
• Susi Susanti adalah atlet tenis. Kunci: C
• 3 ( 2) 1
2. Ingkaran dari pernyataan ”Jakarta ada di
2. Kalimat terbuka Pulau Sulawesi” adalah . . . .
A. Pulau Sulawesi ada di Jakarta.
Kalimat yang belum pasti nilai kebenaran-
nya. B. Pulau Sulawesi tidak ada di Jakarta.
C. Tidak benar Pulau Sulawesi ada di
Misalnya:
Jakarta.
• x 3 4
D. Jakarta tidak ada di Pulau Sulawesi.
• p2 q2 36
E. Jakarta atau pulau Sulawesi.
• Si A adalah siswi yang berambut panjang.
Jawab:
3. Ingkaran Ingkaran dari kata ”ada” adalah ”tidak
Ingkaran suatu pernyataan p adalah pernyataan ada”.
p yang bernilai benar jika p bernilai salah dan Kunci: D
bernilai salah jika p bernilai benar.
Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut.
p p
B. Konjungsi dan Disjungsi
B S
S B 1. Konjungsi
Bernilai benar jika dan hanya jika
pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai
Contoh benar.
1. Di bawah ini yang merupakan kalimat p q p q
terbuka adalah . . . . B B B
A. Kuda adalah hewan berkaki 4.
B S S
B. Persamaan kuadrat 3x2 2x 1 0
mempunyai akar kembar. S B S
S S S
26 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh
3 3
p : Pagi ini hujan deras. A. x D. x
4 4
q : Saya membawa payung.
3 3
Kesimpulan yang benar untuk p q B. x E. x
adalah . . . . 4 4
A. Pagi ini hujan deras, maka saya membawa 3
C. x
payung. 4
B. Pagi ini hujan deras atau saya membawa
payung. Jawab:
C. Jika pagi ini hujan deras, maka saya Terlebih dahulu, uraikan disjungsi tersebut
membawa payung. menjadi pernyataan tunggal.
D. Pagi ini hujan deras dan saya membawa Premis 1 (p) : 2 adalah bilangan cacah
payung. 3x
3
E. Pagi ini hujan deras, tetapi saya tidak Premis 1 (q) : 81 27, y R
membawa payung.
p merupakan pernyataan salah.
Jawab: q merupakan kalimat terbuka.
p q : Pagi ini hujan deras dan saya
Supaya disjungsi salah, maka q harus
membawa payung.
membentuk pernyataan salah.
Kunci: D
3 3x
81 27
2. Disjungsi 1 3x
(81) 3 27
a. Disjungsi inklusif
Bernilai benar jika salah satu pernyataan
81 x 27
tunggalnya bernilai benar.
4 x
(3 ) 33
p q p q
34 x 33
B B B 4x 3
B S B 3 (q benar)
x
S B B 4
S S S Agar (p, q) salah, maka x adalah bilangan riil
3 3
yang bukan atau x , dengan x R.
b. Disjungsi eksklusif 4 4
Bernilai benar hanya jika salah satu Kunci: B
pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai
benar.
p q p q
B B S
B S B C. Implikasi dan Biimplikasi
S B B
S S S 1. Implikasi
Bernilai salah hanya jika hipotesa bernilai
Contoh benar dan konklusi bernilai salah.
p q p q
” 2 adalah bilangan cacah atau
3 3x B B B
81 27, x R ”.
B S S
Berapakah nilai x agar disjungsi di atas
S B B
bernilai salah?
S S B
Bab 5 Logika Matematika 27
Contoh
Biimplikai bernilai benar jika p dan q benar.
Jika x2 4x 4 0, maka jumlah sudut Untuk q benar maka nilai x dapat ditentukan
segitiga adalah 360 . Agar implikasi sebagai beriku.
dari kalimat di atas salah, maka nilai x x2 x 72 0
adalah . . . .
(x 9)(x 8) 0
A. x 2 D. x 2
B. x 3 E. x 4
C. x 4 9 8
Jawab: Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
2 x –9 atau x 8.
p: x 4x 4 0
q : Jumlah sudut segitiga adalah 360 . Kunci: D
Implikasi akan bernilai salah jika p benar dan
q salah.
Untuk p benar, maka nilai x adalah D. Negasi dari Pernyataan Majemuk
x2 4x 4 0
(x 2)2 0 1. Negasi dari konjungsi
x 2 0
x 2 (p q) p q
Kunci: D
p q p q p q (p q) p q
2. Biimplikasi B B S S B S S
Bernilai benar jika pernyataan p dan q B S S B S B B
memiliki nilai kebenaran yang sama. S B B S S B B
p q p q S S B B S B B
B B B
ekuivalen
B S S
Contoh
S B S
S S B Jika p q: 3 5 8 dan 8 adalah bilangan
asli, maka (p q) . . . .
A. 3 5 8 atau 8 bukan bilangan asli
B. 3 5 8 dan 8 bukan bilangan asli
Contoh
C. 3 5 8 atau 8 bukan bilangan asli
Diketahui 72 adalah bilangan yang habis dibagi D. 3 5 8 dan 8 bukan bilangan asli
24 jika dan hanya jika himpunan penyelesaian E. 3 5 8 maka 8 bukan bilangan asli
dari x2 x 72 0, x R. Agar biimplikasi
Jawab:
dari kalimat di atas bernilai benar, maka nilai
(p q): 3 5 8 atau 8 bukan bilangan asli
x adalah . . . .
A. 9 x 8 Kunci: C
B. 9 x 8
C. 8 x 9 2. Negasi dari Disjungsi
D. x 9 atau x 8
(p q) p q
E. x 8 atau x 9
Jawab: p q p q p q (p q) p q
p : 72 adalah bilangan yang habis dibagi 24. B B S S B S S
(Benar) B S S B B S S
q : himpunan penyelesaian dari x2 x 72 0,
S B B S B S S
x R (kalimat terbuka)
S S B B S B B
28 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh [ (x), k(x)] (x)[ k(x)]
Negasi dari pernyataan: ”Deni nonton atau
belajar” adalah . . . .
Contoh
A. Deni nonton dan belajar.
B. Deni nonton sambil belajar. Ingkaran dari 5x 7 12, x R
C. Deni tidak nonton tetapi belajar. adalah . . . .
D. Jika Deni tidak nonton, maka belajar. A. 5x 7 12x D. 5x 7 12
E. Deni tidak nonton dan tidak belajar. B. 5 7x 12x E. 5x 7 12
Jawab: C. 5x 7 12
p q : Deni nonton atau belajar. Jawab:
(p q) : Deni tidak nonton dan tidak belajar. Ingkaran dari 5x 7 12, x R adalah
5x 7 12.
Kunci: E
Kunci: E
3. Negasi dari implikasi
2. Ingkaran berkuantor eksistensial
(p q) p q
Pernyataan berkuantor universal dengan
kalimat terbukanya menjadi ingkaran.
Contoh [ (x), k(x)] (x)[ k(x)]
Diketahui pertanyaan berikut.
”Jika hari ini hujan, maka Vina membawa
payung”. Contoh
Negasi dari implikasi di atas adalah . . . .
Ingkaran dari pernyataan ”Ada siswa yang
A. Jika hari ini tidak hujan, maka Vina
datang terlambat ke sekolah” adalah . . . .
membawa payung.
A. Ada siswa yang tidak datang terlambat
B. Jika hari ini hujan, maka Vina tidak ke sekolah.
membawa payung. B. Ada siswa yang tidak datang terlambat
C. Jika hari ini tidak hujan, maka Vina tidak ke sekolah.
membawa payung. C. Tidak ada siswa yang tidak datang
D. Hari ini tidak hujan atau Vina tidak terlambat ke sekolah.
membawa payung. D. Semua siswa tidak datang terlambat ke
E. Hari ini hujan dan Vina tidak membawa sekolah.
payung. E. Semua siswa datang terlambat ke sekolah.
Jawab: Jawab:
p q : Jika hari ini hujan, maka Vina Ingkaran dari pernyataan ”Ada siswa yang
membawa payung. datang terlambat ke sekolah” adalah
p q : Hari ini hujan dan Vina tidak ”Semua siswa tidak datang terlambat ke
membawa payung. sekolah”.
Kunci: E Kunci: D
F. Modus Ponens, Tollens, Silogisme
E. Ingkaran Pernyataan Berkuantor
1. Modus ponens
1. Ingkaran berkuantor universal Premis 1 : p q
Pernyataan berkuantor eksistensial dengan Premis 2 : p
kalimat terbukanya menjadi ingkaran. Konklusi : q
Bab 5 Logika Matematika 29
atau Contoh
Premis 1 : p
Premis 2 : p q (1) p q
(2) q r
Konklusi : q
(3) r
2. Modus tollens Kesimpulan dari tiga premis di atas
Premis 1 : p q adalah . . . .
Premis 2 : q A. p D. r
Konklusi : p B. p E. r
atau C. q
Premis 1 : q Jawab:
Premis 2 : p q
Dari premis (1) dan (2)
Konklusi : p
(1) p q
(2) q r
3. Silogisme
Premis 1 : p q p r (silogisme) . . . (4)
Premis 2 : q r Dari (3) dan (4)
Konklusi : p r (3) r
(4) p r
p (modus tollens)
Kunci: B
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 5 merupakan kategori soal yang mudah, kamu harus mempelajari materi negasi,
implikasi, konjungsi, dan disjungsi.
• Soal nomor 6 – 12 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari materi kontraposisi.
• Soal nomor 13 – 17 merupakan kategori soal yang sulit, pelajari materi modus ponens, modus
tollens, dan silogisme.
1. Premis (1) : Jika Ida lulus kuliah atau menikah 2. Negasi dari pernyataan: ’’Jika ulangan
maka ibu memberi hadiah. dibatalkan, maka semua murid bersuka ria’’
Premis (2) : Ibu tidak memberi hadiah. adalah . . . .
A. Ulangan dibatalkan dan semua murid tidak
Kesimpulannya adalah . . . .
bersuka ria.
A. Ida tidak lulus kuliah dan menikah.
B. Ulangan tidak dibatalkan dan ada murid
B. Ida tidak lulus kuliah dan tidak menikah. bersuka ria.
C. Ida tidak lulus kuliah atau menikah. C. Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid
D. Ida tidak lulus kuliah atau tidak menikah. bersuka ria.
E. Jika Ida tidak lulus kuliah maka Ida tidak D. Ulangan dibatalkan dan ada murid tidak
menikah. bersuka ria.
30 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
E. Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid 7. Kontraposisi dari pernyataan majemuk
tidak bersuka ria. p (p q) adalah . . . .
A. (p q) p D. ( p q) p
3. Ingkaran dari pernyataan: “Seorang siswa
B. ( p q) p E. (p q) p
dinyatakan lulus ujian apabila semua nilai
ujiannya tidak kurang dari 4,25” adalah . . . . C. (p q) p
A. Seorang siswa dinyatakan lulus ujian 8. p q
apabila ada nilai ujiannya kurang dari 4,25. q r
B. Seorang siswa dinyatakan tidak lulus ujian . . .
apabila ada nilai ujiannya yang tidak kurang
dari 4,25. Penarikan kesimpulan yang sah dari
C. Seorang siswa lulus nilai ujiannya di atas argumentasi di atas adalah . . . .
4,25. A. p r D. p r
D. Seorang siswa tidak lulus atau tidak B. p r E. p r
mendapat nilai 4,25. C. p r
E. Semua nilai ujian seorang siswa tidak 9. Penarikan kesimpulan dari dua premis:
kurang dari 4,25 tetapi ia tidak lulus. p q
4. Ingkaran dari pernyataan: ”Semua peserta ujian q
berdoa sebelum mengerjakan soal” adalah . . . . . . .
A. Semua peserta ujian tidak berdoa sebelum adalah . . . .
mengerjakan soal. A. p D. (p q)
B. Beberapa peserta ujian berdoa sebelum B. p E. q
mengerjakan soal. C. q
C. Beberapa peserta ujian tidak berdoa
sebelum mengerjakan soal. 10. Pernyataan p q ekuivalen dengan per-
D. Semua peserta ujian berdoa sesudah nyataan . . . .
mengerjakan soal. A. p q D. p q
E. Beberapa peserta ujian berdoa sesudah B. p q E. p q
mengerjakan soal. C. p q
5. Ingkaran dari pernyataan 11. Kesimpulan dari tiga premis
”Jika Fathin mendapat nilai 10, maka ia diberi p q
hadiah” adalah . . . . r q
r
A. Jika Fathin tidak mendapat nilai 10, maka
. . .
ia tidak diberi hadiah.
adalah . . . .
B. Jika Fathin diberi hadiah, maka ia
A. p D. p q
mendapat nilai 10.
B. q E. r r
C. Fathin mendapat nilai 10, tetapi ia tidak C. q
diberi hadiah.
D. Fathin mendapat nilai 10 dan ia diberi 12. Negasi dari pernyataan majemuk p (q r)
hadiah. adalah . . . .
E. Jika Fathin tidak diberi hadiah, maka ia A. (r q) p D. p ( q r)
tidak mendapat nilai 10. B. (q r) p E. p ( q r)
C. p (q p)
6. Diberikan pernyataan berikut.
( p q) q 13. Diketahui
Premis I : p q
Kontraposisi dari pernyataan di atas Premis II : q r
adalah . . . .
p r
A. q (p q) D. q (p q)
B. q (p q) E. q (p q) Kesimpulan tersebut merupakan . . . .
A. konvers D. modus tollens
C. q ( p q)
B. kontraposisi E. silogisme
C. modus ponens
Bab 5 Logika Matematika 31
14. Argumen yang sah adalah . . . . 16. Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika
A. p q D. p q pernyatan berikut benar
p q p p q
p q q r
B. p q E. p q r s
p p q dan s pernyataan yang salah, maka di antara
pernyataan berikut yang salah adalah . . . .
q q
A. p D. p r
C. p q
B. r E. p r
q
C. q
p
15. Argumen mana yang valid (sah) 17. (I) p q (III) p q
(i) Premis 1 : p (q r)
q r q r
Premis 2 : p
p r p r
Konklusi : q r
(ii) Premis 1 : q p (II) ( p q)
Premis 2 : p q r
Konklusi : q p r
(iii) Premis 1 : (p q) r
Premis 2 : r (p q) Argumentasi yang sah adalah . . . .
Konklusi : (p q) (p q) A. (I) dan (II) D. (I), (II), dan (III)
A. (i) dan (ii) D. (i) dan (iii) B. (II) dan (III) E. (III)
B. (i) E. (i) (ii) dan (iii) C. (I) dan (III)
C. (ii) dan (iii)
S oal-soal UMPTN dan SPMB
Nilai x yang menyebabkan penyataan ”Jika x2 x 6, Catatan: Setelah tahun 2001 soal tentang logika
maka x2 3x 9” bernilai salah adalah . . . . matematika sangat jarang diujikan.
A. 3 D. 2
B. 2 E. 6
C. 1 (UMPTN 2001)
Intersection
Dengan memahami materi logika matematika, maka akan mempermudah kamu untuk mengambil
suatu keputusan dan menarik kesimpulan.
32 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab
6 Ruang Dimensi Tiga
A. Gambar Bangun Ruang B. Jarak dan Sudut
Untuk menggambar bangun ruang, ada beberapa 1. Jarak
istilah yang perlu diketahui. Istilah tersebut adalah
sebagai berikut. a. Jarak antara dua titik
A B
1. Bidang gambar
Bidang datar yang akan digunakan untuk
Ruas garis AB menunjukkan jarak antara titik
menggambar bangun ruang.
A dan titik B.
2. Bidang frontal
Bidang yang sejajar dengan bidang gambar. b. Jarak antara titik dan garis
P
3. Bidang ortogonal
bidang yang tegak lurus terhadap bidang
frontal.
4. Perbandingan proyeksi Q l
Panjang garis ortogonal pada gambar
Jarak antara titik P dan garis l ditunjukkan
Panjang garis ortogonalsebenarnya
oleh ruas garis PQ yang tegak lurus garis l
5. Sudut surut c. Jarak antara titik dan bidang
Sudut pada gambar yang dibentuk oleh
P
garis frontal horizontal arah ke kanan
dengan garis ortogonal arah ke belakang
m
yang berpotongan.
H G
E F
D C
Jarak antara titik P dan bidang ditunjukkan
oleh ruas garis m yang tegak lurus bidang.
A B
d. Jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan
Pada balok di atas,
• Bidang frontal adalah bidang ABFE dan p
DCGH
r
• Bidang ortogonal horizontal adalah bidang
ABCD dan EFGH q
• Bidang ortogonal vertikal adalah bidang Jarak antara garis p dan q ditunjukkan oleh
ADHE dan BCGF ruas garis r yang tegak lurus terhadap garis
• Sudut surut adalah sudut p dan q.
Bab 6 Ruang Dimensi Tiga 33
e. Jarak antara garis dan bidang yang saling
sejajar dengan AB 4 cm, BC 3 cm, dan
P l
TA TB TC TD 2,5 5 cm. Jarak
titik puncak T ke bidang alas ABCD
m adalah . . . .
A. 5 cm D. 5 5 cm
Q B. 2,5 5 cm E. 7 5 cm
C. 7 cm
Ruas garis m yang tegak lurus terhadap garis Jawab:
l dan tegak lurus terhadap bidang menunjukkan T
jarak antara garis l dan bidang.
2,5 5
f. Jarak antara dua bidang
Q D C
O 3
A 4 B
n
Panjang AC ( AB)2 ( BC)2
P 42 32 16 9 5 cm
Ruas garis n yang tegak lurus terhadap kedua Jarak titik T ke bidang alas adalah TO,
bidang menunjukkan jarak antara kedua bidang. yaitu perpotongan antara diagonal AC dan
diagonal BD.
2. Sudut 1 1
OC AC 5 2,5 cm
a. Sudut antara garis dan bidang 2 2
Q TC 2,5 5 cm
(TO)2 (TC)2 (OC)2
l
(2,5 5 )2 (2,5)2
P
31,25 6,25 25
Q TO 5 cm
Kunci: A
Garis l menembus bidang di titik P. Titik Q 2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan
pada garis l diproyeksikan pada bidang panjang rusuk 8 cm. Jika besar sudut
proyeksinya Q . Jadi, sudut antara garis l dan antara diagonal ruang AG dengan
bidang adalah QPQ . bidang alas ABCD adalah , maka cos
adalah . . . .
b. Sudut antara dua bidang 1 1
A. 2 D. 2
2 3
w 1 1
v B. 3 E. 6
2 3
1
C. 6
2
Jawab:
H G
Bidang v dan bidang w berpotongan dan
membentuk sudut dan .
E F
Contoh D C
1. Diketahui limas T.ABCD dengan bidang
alas ABCD berbentuk persegipanjang A 8 cm B
34 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh
AC 8 2 cm
Diketahui limas T.ABCD, bidang alasnya
AG 8 3 cm ABCD berbentuk persegipanjang dengan
CAG , yaitu sudut yang dibentuk AC 10 cm, BC 6 cm, dan tan 3 dengan
oleh garis AG dan garis AC, sebab adalah sudut antara bidang TBC dan bidang
AC merupakan proyeksi AG pada alas ABCD, maka volume limas adalah . . . .
bidang ABCD.
A. 576 cm3 D. 96 cm3
AC 8 2 2 1 B. 288 cm 3
E. 64 cm3
cos 6
AG 8 3 3 3 3
C. 192 cm
1
Jadi, cos 6. Jawab:
3
Kunci: E T
C. Volume Bangun Ruang
D C
1. Prisma
F
E
Volume Luas alas Tinggi O
A B
2. Tabung
Sudut antara bidang TBC dan bidang alas
V r2 t ABCD adalah TEO , di mana E titik
tengah BC dan O adalah perpotongan diago-
dengan V volume, r jari-jari, dan t tinggi nal AC dan BD. Perhatikan ABC, untuk
mencari panjang AB, gunakan dalil
3. Limas Pythagoras.
1 (AB)2 (AC)2 (BC)2
Volume Luas alas Tinggi 102 62
3
100 36 64
4. Kerucut AB 64 8 cm
1 2
V r t AB EF 8 cm
3
1 1
OE EF 8 4 cm
dengan V volume, r jari-jari, dan t tinggi 2 2
TO
5. Bola tan
OE
4 3
V r TO
3 3
4
TO 4 3 12 cm
dengan V volume dan r jari-jari
1
V Luas alas Tinggi
6. Kubus 3
V s3 Luas alas AB BC
8 6
dengan V volume dan s panjang rusuk 48 cm2
Tinggi TO 12 cm
7. Balok
1
V p l t Jadi, volume limas 48 12 192 cm3.
3
Kunci: C
dengan V volume, p panjang, l lebar, dan
t tinggi
Bab 6 Ruang Dimensi Tiga 35
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
Model soal-soal ujian nasional pada bab ini sengaja dibuat lebih banyak daripada bab lainnya, karena
soal yang berhubungan dengan materi ini sering muncul dengan berbagai macam model soal yang
selalu berbeda tiap tahun. Materi ini juga tergolong materi yang membutuhkan penalaran dalam
menyelesaikan soal-soalnya.
• Soal nomor 1 – 8 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari jarak antara titik dan bidang.
• Soal nomor 9 – 29 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari sudut antara dua bidang.
• Soal nomor 30 – 32 merupakan ketegori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari
semua materi pada bab ini.
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH, di mana titik P, 5. Panjang proyeksi garis EG pada bidang BDG
Q, dan R adalah titik pertengahan rusuk AD, dalam kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm
BC, dan CG. Irisan kubus dengan bidang yang adalah . . . .
melalui P, Q, dan R berbentuk . . . . 6 2 cm
A. 2 6 cm D.
A. segi enam
B. segitiga B. 4 3 cm E. 3 10 cm
C. jajargenjang C. 3 6 cm
D. persegi
6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk
E. persegipanjang
6 cm. P adalah titik tengah rusuk HE. Jarak
2. Diketahui T.ABCD limas beraturan. Panjang titik P ke diagonal ruang AG . . . .
rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegak A. 3 6 cm D. 3 2 cm
12 2 cm. Jarak A ke TC adalah . . . . B. 3 5 cm E. 3 cm
A. 6 cm D. 8 cm C. 3 3 cm
B. 6 2 cm E. 8 6 cm 7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk
C. 6 6 cm 8 cm. P adalah titik tengah FG. Jarak titik P
dan garis BD adalah . . . .
3. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk
6 cm. Titik O merupakan titik potong A. 4 6 cm D. 2 14 cm
diagonal bidang alas, jarak titik O ke BCGF B. 4 5 cm E. 4 3 cm
adalah . . . .
C. 6 2 cm
A. 6 cm D. 3 3 cm
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan
B. 3 cm E. 6 2 cm panjang rusuknya 4 cm dan titik P adalah titik
C. 3 2 cm potong EG dan FH. Jarak titik P dan bidang BDG
adalah . . . .
4. Prisma segi empat beraturan ABCD.EFGH
dengan rusak 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. 1 3 cm 1 6 cm
A. D.
3 3
Titik potong diagonal AC dan BD adalah T,
B. 2 3 cm E. 2 6 cm
jarak titik D dan TH sama dengan . . . . 3 3
12 41 cm 36 41 cm 4 3 cm
A. D. C.
41 41 3
24 41 cm
B. E. 2 41 cm 9. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk
41
30 41 cm b cm. Besar sudut antara garis DE dan HF
C.
41 adalah . . . .
36 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
A. 30 D. 90 AB. Sudut antara TP dengan bidang alas adalah
B. 45 E. 120 . Nilai tan . . . .
C. 60 1 3
A. 2 2 D.
2
10. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 2 1 3
B. E.
2 cm. Jika sudut antara diagonal ruang BH 3 3
dengan bidang alas ABCD adalah , maka C. 1
tan adalah . . . . 15. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD.
1 1 Panjang rusuk tegak 11 cm dan panjang rusuk
A. 2 D. 3
2 3 alas 2 2 cm. Sudut antara bidang TAD dan
1 1
B. 3 E. 6 TBC adalah , maka cos . . . .
2 6
3 11 1 3
1 A. D.
C. 2 11 2
3 5 8
B. E.
11. Jika bidang sisi sebuah limas beraturan dengan 9 9
alas persegi direbahkan ke bidang alas, diperoleh 2 14
C.
gambar seperti di bawah ini. 9
16. Pada kubus ABCD.EFGH, a adalah sudut antara
bidang ACF dan ABCD. Nilai sin a . . . .
1 3 1 3
A. D.
A 4 3
17 cm
1 6 1 3
B. E.
C 3 2
1 2
16 cm C.
4
B
17. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk
4 cm. Jika sudut antara BF dan bidang BEG
adalah , maka sin . . . .
Volume limas adalah . . . . 1 2 1 3
A. D.
A. 1.024 cm3 D. 1.528 cm3 4 2
1 2 1 6
B. 1.280 cm3 E. 1.624 cm3 B.
2
E.
2
3
C. 1.460 cm 1 3
C.
3
12. Bidang alas limas T.ABCD berbentuk persegi
dengan sisi 2 cm. Bidang TAB tegak lurus bidang 18. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk
alas ABCD. TAB samakaki dengan tinggi limas alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai
adalah 5. Sudut antara TD dengan bidang alas sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC
adalah . . . . adalah . . . .
A. 90 D. 30 69 138
B. 60 E. 25,5 A. D.
2 12
C. 45 69 138
B. E.
13. Diketahui piramida T.ABC, TC ABC, 6 6
ACB 90 , AC 8, BC 8, dan TC 6. Jika 139
sudut antara bidang TAB dengan bidang ABC, C.
24
maka tan . . . .
19. Perhatikan gambar di bawah!
1 1
A. 3 D. 2 T
4 4
3 3
B. 3 E. 2 5 cm
4 4
1 5 cm
C. 2 A C
4
14. Diketahui bidang segi empat beraturan T.ABCD 5 cm
dengan rusuk 4 cm. Titik P pada pertengahan B
Bab 6 Ruang Dimensi Tiga 37
AT, AB, dan AC saling tegak lurus di A. Jarak 25. Pada kubus ABCD.EFGH, diketahui P adalah
titik A ke bidang TBC adalah . . . . titik-titik tengah rusuk AE. Sudut antara
bidang PFH dan bidang BDHF adalah . Nilai
5 6 5 6
A. cm D. cm sin . . . .
4 3
1 6 1 3
5 3 A. D.
3 3
B. cm E. 5 2 cm
3 1 2 1 6
B. E.
2 6
5 2
C. cm 1 6
2 C.
4
20. Pada kubus ABCD.EFGH, adalah sudut antara
26. Diketahui limas beraturan T.ABC, AB 6 cm,
bidang ADHE dan ACH. Nilai cos . . . .
dan TA 9 cm. Sudut antara TA dan bidang
1 3 1 2 TBC adalah . Nilai tan . . . .
A. D.
2 3
1 3 1 2 7 23
B. E. A. D.
3 6 23 7
1 3 46 7 23
C.
6 B. E.
24 23
21. Pada limas segi empat beraturan T.ABCD 46
C.
semua rusuknya sama panjang. Sudut antara 12
TA dan bidang ABCD adalah . . . . 27. Dari sebuah bidang empat ABCD, diketahui
A. 15 D. 60 BC BD dan AB tegak lurus bidang BCD
B. 30 E. 75
C. 45 (AB BCD), BC BD 3 2 dan AB 3. Sudut
antara bidang ACD dan BCD . . . .
22. Diketahui limas T.ABC, TA TB 5, TC 2,
CA CB 4, dan AB 6. Jika sudut antara A. D.
6 3
TC dan bidang TAB, maka cos . . . .
B. E.
7 13 5 2
A. D.
16 16 C.
9 15 4
B. E. 28. Diketahui bidang empat beraturan ABCD. Sudut
16 16
11 antara bidang ABC dan BCD adalah . Nilai
C. tan . . . .
16
1
23. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai sinus A. D
3
dari sudut antara bidang ABC dan bidang ACF B. 2 2 C
adalah . . . .
1 2 C. 2
A. D. 2 2 A
2 3 2
D.
2 2 1 6 2 4 cm
B. E.
3 3
2 2 B
C. 2 E.
3
24. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang 29. Ditentukan kubus ABCD.EFGH. Tangen sudut
rusuknya 6 cm. Nilai sinus sudut antara CD
antara CG dengan bidang BDG adalah . . . .
dan bidang ACH adalah . . . .
1 3
1 3 A. H G
A. D. 1 6 2
3 3 B. 2 E F
1 3 1 6 1 2
B. E. C.
2 2 2 D C
D. 3 A B
1 2
C. E. 6
2
38 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
30. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang 32. ABCD.EFGH adalah sebuah balok siku-siku
rusuk 2 cm. Jika P titik tengah AB dan Q titik dengan alas yang berbentuk persegi.
tengah FG, maka luas PCQ . . . . AB 3 cm, AE 6 cm, serta adalah sudut
1 antara bidang ACH dan bidang ABCD. Maka
A. 21 D. 4 21
2 sin 2 . . . .
B. 2 21 E. 21 36 36
A. D. 3
1 41 1.681
C. 21
4 36
36
B. 3 E. 2
31. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC 41 1.681
dengan panjang rusuk-rusuknya 4 cm. Jika 36
besar sudut antara bidang TAB dan bidang alas C. 2
41
ABC adalah , maka cos adalah . . . .
1 1
A. D. 2
2 3
1 1
B. E. 3
3 3
1
C. 2
2
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a.
A. a 3 D. a 6
Jarak A ke diagonal BH adalah . . . .
a a B. 2a E. 3a 2
A. 6 D. 6 C. (SPMB 2003)
2 5 a 5
a a 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH. P titik tengah
B. 6 E. 6
3 6 HG, M titik tengah DC, N titik tengah BC, dan
a S titik tengah MN. Perbandingan luas APS
C. 6 (UMPTN 2001)
4 dengan luas proyeksi APS ke bidang ABCD
adalah . . . .
2. Bidang v dan w tegak lurus sepanjang garis g.
A. 2 : 1 D. 3 : 1
Garis l membentuk sudut 45° dengan v dan
B. 1 : 2 E. 3 : 2
30 dengan w. Sinus sudut antara garis l dan
C. 2 : 3 (SPMB 2005)
garis g adalah . . . .
1 1 5. Diberikan balok ABCD.EFGH dengan
A. D. 3 DC 12 cm, CG 20 cm, BC 18 cm. T adalah
2 3
titik tengah AD. Jika adalah sudut antara
2 2
B. E. garis GT dengan bidang ABCD, maka nilai
2 3 cos . . . .
3
C. (SPMB 2002) 2 3
2 A. D.
3 4
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang 4 5
B. E.
rusuknya 2a. Jika p titik tengah BF dan Q titik 5 6
tengah EH, maka panjang PQ . . . . 3
C. (SPMB 2006)
5
Intersection
Untuk mempelajari materi ini, terlebih dahulu pelajari materi tentang bangun datar, bangun
ruang, dan trigonometri. Materi ini sangat berguna dalam dunia teknik (arsitektur).
Bab 6 Ruang Dimensi Tiga 39
Bab
7 Statistika
a. Untuk jumlah data ganjil
A. Ukuran Pemusatan Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang
terbesar atau sebaliknya maka mediannya adalah
1. Rata-rata ( x ) nilai data yang berada di tengah, yaitu nilai data
Jumlah semua nilai data n 1
x yang ke- .
Banyak data 2
x1 x2 x3 . . . xn 1 n Me x n 1
xi
n ni 1 2
Jika kelompok data diketahui nilai rata-rata dan
frekuensinya, maka nilai rata-rata gabungan dapat b. Untuk jumlah data genap
ditentukan dengan rumus beikut. Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang
terbesar atau sebaliknya, maka mediannya adalah
n1 x1 n2 x2 . . . ni xi
x rata-rata dari dua nilai data yang di tengah,
n1 n2 . . . ni
n
yaitu rata-rata dari nilai data ke- dan nilai data
dengan ni Frekuensi data ke-i 2
xi Rata-rata data ke-i n 1 .
ke- 2
Contoh xn xn
1
2 2
Me
Dalam 6 kali ujian Matematika selama satu 2
semester Rina memperoleh angka sebagai
berikut.
76 68 95 82 87 93
Contoh
Berapakah rata-rata nilai ujian Rina selama 1. Untuk data 7, 8, 8, 8, 7, 3, 9, 2, 11,
satu semester? mediannya adalah . . . .
A. 81,4 D. 86,1 A. 2 D. 8
B. 82,6 E. 88,5 B. 3 E. 9
C. 83,5 C. 7
Jawab: Jawab:
76 68 95 82 87 93 Data setelah diurutkan
x
6 2, 3, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11
501
83,5
6
Median
Kunci: C
Banyaknya data ada 9, maka jumlah data
ganjil.
2. Median Me x n 1 x 9 1 x10 x5 8
Median adalah ukuran tengah dari data yang 2 2 2
telah diurutkan. Jadi, mediannya adalah 8.
Cara menentukan median dapat dilakukan Kunci: D
dengan cara berikut.
40 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Kuartil bawah Kuartil atas
(Q 1 ) (Q 3 )
2. Median dari data
Bagian I Bagian II Bagian III Bagian IV
19 21 14 8 26 15 17
25 20 31 24 16 10 9 Data minimum Kuartil tengah Data maksimum
adalah . . . . (x 1 ) (Q 2 ) (x n )
A. 16,5 D. 19,5
B. 18 E. 21
C. 19
Contoh
Jawab: 1. Data gol yang dicetak tim A adalah
Data diurutkan dari yang terkecil sampai sebagai berikut.
yang terbesar adalah
1, 2, 0, 0, 3, 2, 1, 1, 2
8 9 10 14 15 16 17
19 20 21 24 25 26 31 Kuartil bawah dan kuartil atas dari data
tersebut adalah . . . .
Banyak data ada 14, maka jumlah data
genap. 1 dan 1
A. D. 1 dan 2
2
x14 x 14
1 x7 x8
2 2 1 dan 2
Me B. E. 0 dan 3
2 2 2
17 19 36 C. 0 dan 2
18
2 2
Kunci: B Jawab:
Data setelah diurutkan
0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3
3. Modus Q1 Q3
Modus adalah data yang paling banyak atau Q2
paling sering muncul.
Sehingga diperoleh,
Contoh 0 1 1
Kuartil bawah Q1
2 2
Diketahui data sebagai berikut.
2 2
61 66 78 65 73 65 64 61 63 65 Kuartil atas Q3 2
2
Modus dari data di atas ini adalah . . . .
Kunci: B
A. 61 D. 73
B. 63 E. 78 2. Data nilai Matematika yang diperoleh
C. 65 kelompok Mawar adalah sebagai berikut.
6, 5, 5, 4, 7, 8, 9, 6, 5, 8
Jawab:
Kuartil atas dari data tersebut
Data diurutkan
adalah . . . .
61, 61, 63, 64, 65, 65, 65, 66, 73, 78
A. 4 D. 7
Data yang paling banyak muncul adalah 65.
B. 5 E. 8
Kunci: C
C. 6
Jawab:
4. Kuartil Data setelah diurutkan
Kuartil adalah data atau nilai yang membagi
4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9
data yang telah diurutkan menjadi empat bagian
Q1 Q3 Q2
yang sama.
Kuartil terdiri atas 3 bagian. Sehingga diperoleh,
• Kuartil bawah (Q1) Kuartil atas Q3 8
• Kuartil tengah atau median (Q2) Kunci: E
• Kuartil atas (Q3)
Bab 7 Statistika 41
B. Ukuran Penyebaran A.
B.
11,15
10,17
D. 103,58
E. 621,5
C. 124,3
1. Jangkauan (J)
Jawab:
Jangkauan adalah selisih antara nilai
maksimum (xmax) dengan nilai minimum (xmin). 76 71 88 54 67 73
Rata-rata ( x )
Jangkauan sering juga disebut dengan range dan 6
429
dilambangkan dengan J. 71,5
6
J xmax xmin 6
( xi x )2 (76 71,5)2 (71 71,5)2
2. Hamparan (H) i 1
(88 71,5)2 (5 71,5)2
Hamparan adalah selisih antara kuartil ketiga (67 71,5) 2 (73 – 71,5)2
(Q3) dengan kuartil pertama (Q1). Hamparan sering 20,25 0,25 272,25 306,25
juga disebut dengan jangkauan antarkuartil dan 20,25 2,25
dilambangkan dengan H. 621,5
H Q3 Q1 1 6
S2 (x x )2
6 i 1 i
3. Simpangan Quartil (Qd) 1
621,5 103,58
Simpangan kuartil adalah setengah dari selisih 6
kuartil ketiga dengan kuartil pertama. Sering juga S2 103,58 10,17
disebut dengan simpangan semiinterkuartil dan
dilambangkan dengan Qd. Jadi, simpangan baku 10,17.
Kunci: B
1 1
Qd H (Q Q1 )
2 2 3
4. Ragam atau simpangan rata-rata
Ragam atau simpangan rata-rata adalah ukuran C. Tabel Distribusi Frekuensi
yang menyatakan penyebaran nilai-nilai atau data Berkelompok
terhadap rata-ratanya. Sering juga disebut dengan
Berikut ini data tinggi badan siswa Kelas XI
varians atau variasi dan dilambangkan dengan S2.
SMU (dalam cm).
1 n 167 157 163 159 162 151
S2 (x x )2
ni 1 i 155 169 158 165 153 168
160 164 170 150 156 154
5. Simpangan baku 156 165 148 155 158 156
Simpangan baku sering disebut dengan standar 166 156 163 160 172 157
deviasi dan dilambangkan dengan S.
159 156 160 162 162 164
1 n 167 166 168 156 163 162
S (x x )2
ni 1 i 166 164 157 158 156 160
Langkah-langkah membuat tabel frekuensi
berkelompok.
Contoh • Data terbesar x max 172
Data terkecil xmin 148
Nilai ujian Matematika Bella pada semester
pertama adalah • Jangkauan (J) xmax xmin
172 148
76 71 88 54 67 73
24
Nilai simpangan baku pada data di atas
adalah . . . . Pilih banyak interval kelas. Misalkan ditentukan
banyaknya interval kelas ada 7.
42 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Panjang interval kelas
Jangkauan Tinggi Badan Tepi Tepi
Frekuensi
Banyak interval kelas Siswa Bawah Atas
24 148 – 151 3 147,5 151,5
3,43 4
7 152 – 155 4 151,5 155,5
156 – 159 15 155,5 159,5
Contoh 160 – 163 11 159,5 163,5
164 – 167 10 163,5 167,5
Sajikanlah data tinggi badan siswa Kelas XI
SMU di atas dalam bentuk tabel distribusi 168 – 171 4 167,5 171,5
frekuensi! 172 – 175 1 171,5 175,5
Jawab: Frekuensi
Tinggi Badan Frekuensi 16
148 – 151 3 14
152 – 155 4 12 Poligon frekuensi
156 – 159 15 10
Histogram
160 – 163 11 8
164 – 167 10 6
168 – 171 4 4
172 – 175 1 2
O
147,5 151,5 155,5 159,5 163,5 167,5 171,5 175,5
Tinggi badan siswa
D. Histogram dan Poligon Frekuensi
Setelah menyajikan data yang disusun dalam
E. Statistika Deskriptif
tabel distribusi menjadi diagram, buat sumbu
mendatar yang menyatakan interval kelas dan sumbu 1. Rataan hitung ( x )
tegak yang menyatakan frekuensi. Pada sumbu
Rataan hitung untuk data berkelompok dapat
mendatar tuliskan tepi bawah kelas dan tepi atas dituliskan sebagai berikut.
kelas, dengan aturan berikut.
n
Tepi bawah Batas bawah – 0,5 fi xi
Tepi atas Batas atas 0,5 i 1
x n
fi
Contoh i 1
Gambarkan histogram dan poligon dari data dengan:
tinggi badan siswa Kelas XI SMU pada fi Frekuensi data ke-i
contoh subbab C! x i Data ke-i
n Banyaknya data
Jawab:
Interval ke-1 pada tabel batas bawah adalah 2. Modus (Mo)
148 dan batas atas adalah 151. Untuk inter-
val ke-2, batas bawah adalah 156 dan batas d1
Mo tb i
atas adalah 155, dan seterusnya. d1 d2
Bab 7 Statistika 43
dengan: Contoh
tb Tepi bawah kelas
1. 10
d1 Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas 10
sebelumnya
8
d2 Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas 8
7
sesudahnya
6
i Panjang kelas 5
4
4
3. Median dan Kuartil
2
Kuartil bawah (Q1) 2
O
1 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5
n f 1
Q1 tb1 4 i
f1 Rataan dari data pada diagram di atas
adalah . . . .
A. 22,51 D. 25,73
dengan: B. 23,46 E. 26,85
tb1 Tepi bawah kelas yang memuat C. 24,58
kuartil bawah Q1 Jawab:
f 1 Jumlah frekuensi sebelum kuartil Nilai
Frekuensi
bawah Q1 Modus data tengah xi · fi
(xi) (fi)
f1 Frekuensi kelas yang memuat
kuartil bawah Q1 17,5 – 12,5 10 2 20
12,5 – 17,5 15 4 60
Median atau Kuartil Tengah (Q2)
17,5 – 22,5 20 7 140
1n ( f )2 22,5 – 27,5 25 10 250
Q2 tb2 2 i 27,5 – 32,5 30 8 240
f2
32,5 – 37,5 35 5 175
tb2 Tepi bawah kelas yang memuat kuartil fi 36 fi . x i
bawah Q2 885
( f )2 Jumlah frekuensi sebelum kuartil fi xi 885
x 24,58
bawah Q2 fi 36
f2 Frekuensi kelas yang memuat kuartil Kunci: C
bawah Q2
2. 10
10
Kuartil Atas (Q3) 9
8 7
3n ( f )3 6
Q3 tb3 4 i 6
f3 4
4
2
tb3 Tepi bawah kelas yang memuat 2
kuartil bawah Q3
O
( f )3 Jumlah frekuensi sebelum kuartil 80,5 84,5 88,5 92,5 96,5 100,5 104,5
bawah Q3
Modus dari data pada diagram di atas
f3 Frekuensi kelas yang memuat kuartil adalah . . . .
bawah Q3
44 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
A. 92,50 D. 96,50 Dari daftar distribusi frekuensi data
B. 93,95 E. 97,93 berkelompok diperoleh kelas modus
C. 95,93 92,5 96,5 dengan:
i 96,5 92,5 4
Jawab:
d1 10 4 6
Nilai Data Nilai Tengah Frekuensi d2 10 9 1
(x i) (f i )
Sehingga,
80,5 – 84,5 82,5 2
6
84,5 – 88,5 86,5 6 Mo 92,5 4
6 1
88,5 – 92,5 90,5 4
6
92,5 4
92,5 – 96,5 94,5 10 7
96,5 – 100,5 98,5 9 24
92,5 95,93
7
100,5 – 104,5 102,5 7 Kunci: C
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 2 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari materi tentang ukuran pemusatan.
• Soal nomor 3 – 4 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang rata-rata yang lebih
diaplikasikan.
• Soal nomor 5 – 7 merupakan kategori soal yang sulit, pelajari tentang rata-rata untuk data
berkelompok.
1. Rata-rata dari nilai ujian Fisika: A. 158 cm D. 162 cm
8, 7, 7, 6, 4, 6, 6, 5, 5 adalah . . . . B. 159 cm E. 163 cm
A. 5,3 D. 5,8 C. 160 cm
B. 5,4 E. 6
C. 5,6 4. Nilai rata-rata ujian Bahasa Inggris 40 siswa
suatu SMU yang diambil secara acak adalah 5,5.
2. Simpangan kuartil dari data 3, 6, 2, 4, 14, 9, 12, 8 Data yang diperoleh sebagai berikut.
adalah . . . .
1 Nilai 4 x 6,5 8
A. 2 D. 4
2 Frekuensi 17 10 6 7
1
B. 3 E. 4
2 Nilai x adalah . . . .
1
C. 3 A. 6 D. 5,7
2
B. 5,9 E. 5,6
3. Tinggi rata-rata tujuh pelajar adalah 161 cm. Jika
C. 5,8
digabung dengan tiga pelajar lagi, tinggi rata-rata
sepuluh pelajar tersebut adalah 160,7 cm. Tinggi 5. Diagram di bawah menyajikan data berat badan
rata-rata tiga pelajar tersebut adalah . . . . (dalam kg) dari 40 siswa, modusnya adalah . . . .
Bab 7 Statistika 45
6. Kuartil bawah dari
12 Nilai Frekuensi
data yang tersaji
pada tabel distribusi 30 – 39 1
frekuensi di samping 40 – 49 3
adalah . . . . 50 – 59 11
8 A. 66,9
60 – 69 21
B. 66,6
6 70 – 79 43
C. 66,2
D. 66,1 80 – 89 32
E. 66,0 90 – 99 9
3
7. Dari data distribusi
1 frekuensi di samping, Kelas Interval f
40–44 45–49 50–54 55–59 60–64 dapat disimpulkan
13 – 70 3
bahwa rata-rata dis-
tribusi adalah . . . . 18 – 12 4
A. 46,1 D. 47,5 13 – 17 7
A. 14
B. 46,5 E. 48,0 B. 15 18 – 22 10
C. 46,9 C. 16 23 – 27 6
D. 17
E. 18
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Tiga kelas A, B, dan C berturut-turut terdiri rupiah, maka penghasilan tahunan dari kedua
dari 10 siswa, 20 siswa, dan 15 siswa. Rata-rata kelompok tersebut adalah . . . .
nilai gabungan dari ketiga kelas adalah 55. Jika A. 4,2 juta rupiah D. 2,34 juta rupiah
rata-rata kelas A dan C berturut-turut 56 dan B. 2,1 juta rupiah E. 2,4 juta rupiah
65, maka rata-rata nilai kelas B . . . . C. 1,86 juta rupiah (SPMB 2002)
A. 45 D. 55,5
B. 47 E. 58 4. Tinggi 12 orang siswa dalam centimeter adalah
C. 51,56 (UMPTN 2001) sebagai berikut.
160 148 156 147 148 158
2. Dari data distribusi
Kelas Interval f 150 148 165 145 158 162
interval frekuensi
di samping, dapat 2 6 2 Kuartil bawah data tersebut adalah . . . .
disimpulkan bahwa 7 11 3 A. 147,5 D. 149
rata-rata distribusi B. 148 E. 149,5
12 16 4
adalah . . . . C. 148,5 (SPMB 2002)
17 21 5
A. 16,50
22 26 6 5. Modus dari kelompok data 3, 6, 7, 5, 8, 4, 5, 9
B. 17,00
adalah . . . .
C. 15,50
D. 15,75 A. 5,0 D. 7,5
E. 17,75 (SPMB 2002) B. 7,0 E. 6,0
C. 5,5 (SPMB 2002)
3. Perbandingan jumlah buruh tetap dan buruh
tak tetap di suatu pabrik adalah 1 : 9. Jika 6. Data berikut adalah hasil ujian Matematika
penghasilan tahunan rata-rata buruh tak tetap suatu kelas di SMU yang nilai rata-ratanya
1,8 juta rupiah dan buruh tak tetap 2,4 juta adalah x.
46 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Nilai 3 4 5 6 7 8 Seorang calon dinyatakan lulus jika nilainya
sama dengan atau di atas rata-rata. Banyaknya
Frekuensi 2 4 8 12 16 4
calon yang lulus adalah . . . .
Siswa dinyatakan lulus bila nilainya lebih besar A. 8 D. 44
atau sama dengan x 1 . Banyaknya siswa B. 18 E. 48
yang lulus ujian ini adalah . . . . C. 38 (SPMB 2004)
A. 20 D. 36 9. Nilai rata-rata tes Matematika dari kelompok
B. 28 E. 40 siswa dan kelompok siswi di suatu kelas
C. 32 (SPMB 2003)
berturut-turut adalah 5 dan 7. Jika nilai
7. Tabel di bawah ini adalah data ujian dari siswa rata-rata di kelas tersebut adalah 6,2, maka
dalam sebuah kelas. perbandingan banyaknya siswa dan siswi
adalah . . . .
Nilai 5 6 7 8 9 A. 2 : 3 D. 3 : 5
Frekuensi 1 4 2 1 2 B. 3 : 4 E. 4 : 5
C. 2 : 5 (SPMB 2004)
Median dari data tersebut adalah . . . .
A. 6 D. 7,5 10. Nilai rata-rata ulangan Matematika dari kedua
B. 6,5 E. 8 kelas adalah 5,38. Jika nilai rata-rata kelas
C. 7 (SPMB 2003) pertama yang terdiri dari 38 siswa adalah 5,8
dan kelas kedua terdiri dari 42 siswa, maka
8. Nilai ujian dari peserta seleksi pegawai di suatu nilai rata-rata kelas kedua adalah . . . .
instansi diperlihatkan dalam tabel berikut. A. 5 D. 5,21
B. 5,12 E. 5,26
Nilai Ujian Frekuensi
C. 5,18 (SPMB 2005)
3 2
11. Jika jangkauan dari data terurut
4 4
x 1, 2x 1, 3x, 5x 3, 4x 3, 6x 2
5 6 adalah 18, maka mediannya adalah . . . .
6 20 A. 9 D. 21
7 10 B. 10,5 E. 24,8
8 5 C. 12 (SPMB 2006)
9 2
10 1
Intersection
Materi tentang statistika berkaitan dengan pengukuran, pencacahan, pengamatan, perhitungan,
dan kesimpulan. Dalam ilmu sosial, statistika sangat berperan penting. Begitu juga dalam ilmu
lainnya, seperti Biologi, Fisika, Kimia, dan lain-lain. Ilmu Statistika sangat diperlukan pada saat
melakukan survei atau pengumpulan data, serta pengolahan data.
Bab 7 Statistika 47
Bab
8 Peluang
A. Kaidah Pencacahan, Permutasi, Nilai tempat puluhan (angka kedua) dapat
dan Kombinasi dipilih dengan 4 cara, yaitu 0, 1, 3, 4
(misalnya angka 4).
1. Aturan perkalian
Nilai tempat satuan (angka ketiga) dapat
Misalkan terdapat n tempat tersedia dipilih dengan 3 cara, yaitu 0, 1, 3
dengan: (misalnya angka 0).
P1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
pertama. Sehingga diperoleh: 4 4 3 48 bilangan.
P2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat Kunci: B
kedua setelah tempat pertama terisi.
P3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
ketiga setelah tempat pertama dan kedua terisi. 2. Permutasi
a. Notasi faktorial
Pn adalah banyak cara untuk mengisi tempat n n (n 1) (n 2) . . . 3 2 1
ke-n setelah tempat pertama, kedua, ketiga, 1 1
. . ., (n 1) terisi.
0! 1
Banyak cara untuk mengisi n tempat yang
tersedia secara keseluruhan adalah b. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda
P1 P2 P3 . . . Pn Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n
unsur yang tersedia adalah
n
Prn , n r
(n r)
Contoh
Banyak permutasi n unsur yang diambil dari n
Diketahui angka-angka 0, 1, 2, 3, 4. Berapa unsur yang tersedia adalah
banyak bilangan tiga angka yang dapat
n
dibentuk dari angka-angka tersebut jika tidak Pn n
boleh ada angka yang sama?
A. 24 bilangan D. 75 bilangan Permutasi dari n unsur yang tersedia jika
B. 48 bilangan E. 96 bilangan terdapat k unsur yang sama adalah
C. 60 bilangan n
P , k n
k
Jawab:
Bilangan tiga angka memiliki nilai tempat • Permutasi dari n unsur yang tersedia jika
ratusan, puluhan, dan ratusan. terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama,
Nilai tempat ratusan (angka pertama) dan m unsur yang sama adalah
dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu 1, 2, 3, n
4 (misalnya angka 2). P , k l m n
k l m
48 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
• Banyak permutasi siklis dari n unsur berbeda
adalah Olimpiade Matematika tingkat SMU. Banyak
kemungkinan jika yang dipilih 5 orang laki-
Psiklis (n 1) laki dan 3 orang perempuan adalah . . . .
A. 24 D. 120
B. 36 E. 144
Contoh C. 72
1. Banyak bilangan empat angka berbeda Jawab:
yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, Lima orang laki-laki dipilih dari enam
5, 7, 8, 9 adalah . . . . orang laki-laki merupakan 5 unsur dari
A. 15 bilangan D. 360 bilangan 6 unsur.
B. 60 bilangan E. 720 bilangan 6
6
C. 240 bilangan C5
5 (6 1)
Jawab: 6
Banyak bilangan itu adalah permutasi 4 5 1
unsur yang diambil dari 6 unsur yang 6 5
6
tersedia 5
6 6! 6 5 4 3 2! Tiga orang perempuan dipilih dari
P4
(6 4)! 2! empat orang perempuan merupakan
6 5 4 3 3 unsur dari 4 unsur.
4 4!
360 bi langan C3
3 (4 1)
Kunci: D
4
2. Ada duabelas buah alat tulis, tujuh buah 3 1
di antaranya pulpen dan lima buah sisa 3
4
pensil. Berapa banyak cara untuk 4
3
menyusun keduabelas alat tersebut secara Dengan menggunakan aturan perkalian
berdampingan? banyak cara untuk memilih 8 orang tersebut
A. 99 bilangan D. 896 bilangan
adalah 6 4 24.
B. 348 bilangan E. 992 bilangan
C. 792 bilangan Kunci: A
Jawab:
Banyaknya unsur n 12, banyak unsur
yang sama k 7 (pulpen) dan l 5 (pensil).
P
12 12 11 10 9 8 7 B. Peluang Suatu Kejadian
7 5 7 5 4 3 2 1
11 9 8 792 bilangan
1. Definisi peluang
Kunci: C
Jika setiap anggota ruang sampel mempunyai
peluang yang sama untuk muncul, maka peluang
kejadian A yang memiliki anggota sebanyak n(A)
3. Kombinasi adalah
Banyak kombinasi r unsur yang diambil dari n n( A)
unsur yang tersedia adalah P(A) ,A S
n(S)
n n
Cr , r n
r (n r) 2. Kisaran nilai peluang
Kisaran nilai peluang adalah 0 P(A) 1.
Contoh • P(A) 0 A merupakan kejadian mustahil
Siswa SMU yang terdiri dari 6 orang laki-laki terjadi.
dan 4 orang perempuan akan mengikuti • P(A) 1 A merupakan kejadian yang pasti
terjadi.
Bab 8 Peluang 49
3. Peluang komplemen suatu kejadian
Jika A adalah komplemen dari kejadian A, dengan A menyatakan kejadian
maka peluang kejadian A adalah P(A ) 1 P(A). bahwa sisi angka sama sekali tidak
muncul.
Dan ini hanya dapat terjadi dalam
Contoh satu cara, yaitu bila semua
1. Irsam melempar sebuah dadu satu kali. pelemparan menghasilkan sisi
Berapakah peluang muncul mata dadu gambar.
bilangan prima? 1
Jadi, P(A )
16
1 1
A. D. 1 15
3 6 P(A) 1
16 16
1 2 Kunci: D
B. E.
2 6
2
C.
3
Jawab: C. Peluang Kejadian Majemuk
Ruang sampel S {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) 6 1. Peluang gabungan dua kejadian
A Himpunan mata dadu bilangan Jika A dan B dua kejadian yang berada dalam
prima ruang sampel S, maka peluang kejadian A B
{2, 3, 5} adalah
n(A) 3
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
n( A) 3 1
P(A)
n( S) 6 2
Jadi, peluang muncul mata dadu bilangan
1 Contoh
prima adalah .
2
Kunci: B Jumlah siswa di kelas ada 40 orang. Bila siswa
yang lulus ujian Matematika ada 25 orang,
2. Sekeping uang logam dilemparkan 4 kali yang lulus ujian Bahasa Inggris ada 30 orang,
berturut-turut. Berapakah peluang dan yang lulus sekurang-kurangnya satu mata
sekurang-kurangnya sisi angka muncul
pelajaran di atas ada 20 orang, maka
sekali?
berapakah peluang siswa yang lulus kedua
1 15
A. D. mata pelajaran tersebut?
2 16
3 3
3 23 A. C.
B. E. 8 16
4 24
3 7
1 B. E.
C. 16 16
16
7
C.
Jawab: 8
Setiap pelemparan menghasilkan dua
Jawab:
kemungkinan, yaitu gambar atau
angka, maka banyaknya ruang S jumlah siswa di kelas
sampel adalah n( A) 25 5
n(S) 25 P(A)
n(S) 40 8
n(S) 24 16
B Kejadian siswa yang lulus ujian
Misalkan A adalah kejadian bahwa Bahasa Inggris.
sisi angka muncul sekali, maka n( B) 30 6
n(B) 30 P(B)
P(A) 1 P(A ) n(S) 40 8
50 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
A B Kejadian siswa yang lulus B {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
sekurang-kurangnya satu mata n(B) 3
pelajaran.
n( B) 3 1
n(A B) 20 P(B)
n(S) 36 12
n( A B) 20 4
P(A B) Dilihat dari A dan B bahwa tidak ada anggota
n(S) 40 8 yang sama, maka A dan B saling lepas
A B Kejadian siswa yang lulus ke sehingga:
dua mata pelajaran. P(A B) P(A) P(B)
Sehingga diperoleh 1 1 2 1 3 1
P(A B) P(A) P(B) P(A B) 6 12 12 12 12 4
4 5 6 Kunci: A
P(A B)
8 8 8
5 6 4 7
P(A B) 3. Peluang dua kejadian saling bebas
8 8 8 8
Kunci: C Jika A dan B kejadian-kejadian yang saling
bebas, maka berlaku aturan berikut.
P(A B) P(A) P(B)
2. Peluang gabungan dua kejadian saling
lepas
Jika A dan B masing-masing dua kejadian Contoh
yang saling lepas, maka peluang gabungan dua
Dua keping mata uang logam dilempar secara
kejadian yang saling lepas adalah
bersamaan. Kejadian A adalah munculnya sisi
P(A B) P(A) P(B) angka pada mata uang logam pertama,
sedangkan kejadian B munculnya sisi yang
sama untuk kedua mata uang logam.
Contoh Berapakah peluang kejadian A dan B?
1 1
A. D.
Berapakah peluang untuk mendapatkan 2 16
jumlah mata dadu 7 atau 10 bila sepasang 1 1
dadu dilemparkan secara bersamaan? B. E.
4 32
1 11 1
A. D. C.
4 36 8
1 1 Jawab:
B. E.
6 72
Ruang sampel S {(G, G), (G, A), (A, G),
5
C. (A, A)} n(S) 4
12
Kejadian A {(A, A), (A, G)} n(A) 2
Jawab: 2 1
P(A)
Banyak anggota ruang sampel dari pelem- 4 2
paran dua dadu adalah n(S) 36. Kejadian B {(A, A), (G, G)} n(B) 2
A Kejadian munculnya jumlah mata
2 1
dadu 7 P(B)
{(1, 6), (2, 5), (3, 5), (4, 3), (5, 2), 4 2
(6, 1)} P(A B) P(A) P(B)
n(A) 6 1 1 1
n( A) 6 1 2 2 4
P(A)
n(S) 36 6 1
Jadi, peluang kejadian A dan B adalah .
B Kejadian munculnya jumlah mata 4
dadu 10, maka Kunci: B
Bab 8 Peluang 51
4. Peluang Kejadian Bersyarat (Pengayaan) Contoh
Kejadian bersyarat merupakan dua kejadian
tidak saling bebas. Peluang kejadian A dengan Diketahui A dan B adalah suatu kejadian
syarat B telah terjadi dinotasikan dengan P(A|B). pada ruang sampel S dengan P(A) 0,75,
Jika P(A B) adalah peluang terjadinya A dan B, P(B) 0,40, dan P(A B) 0,15. Maka
maka berlaku aturan berikut. P(B | A) adalah . . . .
A. 0,02 D. 0,25
P ( A B) P ( B A) B. 0,05 E. 0,50
P ( A | B) atau P ( B | A) C. 0,20
P ( B) P ( A)
Jawab:
P ( A | B) P ( B) Oleh karena A B B A, maka
P ( B | A)
P ( A) P(A B) P(B A)
sehingga diperoleh
P ( B A) 0,15
P ( B | A) 0, 2
P ( A) 0,75
Kunci: C
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari materi kaidah pencacahan.
• Soal nomor 2 – 5 merupakan kategori soal sedang, pahami materi kombinasi, peluang suatu
kejadian, dan peluang kejadian majemuk.
• Soal nomor 6 – 7 merupakan kategori soal yang sulit, pelajari seluruh materi peluang.
1. Dari angka 2, 3, 7, 8, 9 dibuat bilangan yang 5 9
terdiri dari tiga angka yang berbeda. Di antara A. D.
36 36
bilangan-bilangan tersebut, banyaknya bilangan
7 11
yang kurang dari 300 adalah . . . . B. E.
36 36
A. 12 D. 24
8
B. 16 E. 36 C.
36
C. 20
4. Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang
2. Dari dua belas siswa yang terdiri dari delapan dilempar undi satu kali bersama, maka peluang
putra dan empat putri akan dibentuk tim voli untuk memperoleh gambar pada mata uang dan
yang beranggotakan enam orang. Jika bilangan ganjil pada dadu adalah . . . .
disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 1 1
dua orang putri, maka banyak tim yang dapat A. D.
12 3
dibentuk adalah . . . .
1 1
A. 523 D. 581 B. E.
6 2
B. 558 E. 593 1
C. 574 C.
4
3. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. 5. Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang
Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu
10 adalah . . . . kedua 5 adalah . . . .
52 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
6 3 7. Dari empat huruf A, B, C, D, dan empat angka
A. D. 1, 2, 3, 4 akan dibuat plat nomor mobil yang
36 36
5 1 dimulai 1 huruf diikuti dengan 3 angka dan
B. E. diakhiri dengan 1 huruf. Karena pembuat plat
36 36
4 nomor tidak diperbolehkan memuat angka 234,
C. maka banyaknya plat nomor yang dapat dibuat
36
adalah . . . .
6. Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning.
Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning. A. 954 D. 1.024
Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola B. 986 E. 1.030
secara acak. Peluang terambilnya kedua bola C. 1.008
berwarna sama adalah . . . .
1 9
A. D.
8 16
5 7
B. E.
16 8
7
C.
16
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Dari 12 orang yang terdiri atas 8 pria dan A. 20 D. 90
4 wanita akan dibentuk kelompok kerja B. 30 E. 360
beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok C. 60 (SPMB 2003)
kerja ini terdapat paling sedikit 2 pria, maka
banyaknya cara membentuknya adalah . . . . 4. Suatu sekolah membentuk tim delegasi yang
A. 422 D. 462 terdiri dari 4 anak Kelas I, 5 anak Kelas II, dan
B. 448 E. 468 6 anak Kelas III. Kemudian akan ditentukan
C. 456 (UMPTN 2001) pimpinan yang terdiri dari Ketua, Wakil Ketua,
dan Sekretaris, maka banyaknya kemungkinan
2. Dari 10 orang siswa yang terdiri 7 orang putra susunan pimpinan adalah . . . .
dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang A. 156 D. 600
beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan B. 492 E. 720
anggota tim tersebut paling banyak 2 orang C. 546 (SPMB 2004)
putri, maka banyaknya tim yang dapat dibentuk
adalah . . . . 5. Dari angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 akan dibuat
A. 168 D. 231 bilangan yang terdiri atas tiga angka yang
B. 189 E. 252 berbeda. Banyaknya bilangan berbeda yang lebih
C. 210 (SPMB 2002) besar dari 640, tetapi lebih kecil dari 860
adalah . . . .
3. Akan disusun suatu tim peneliti yang terdiri A. 78 D. 96
dari 2 orang matematikawan dan 3 orang B. 84 E. 102
teknisi. Jika calon yang tersedia 3 orang C. 90 (SPMB 2005)
matematikawan dan 5 orang teknisi, maka 6. Dalam babak penyisihan suatu turnamen,
banyak cara menyusun tim tersebut 25 pecatur satu sama lain bertanding satu
adalah . . . . kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi
adalah . . . .
A. 150 D. 270
B. 180 E. 300
C. 200 (SPMB 2006)
Intersection
Materi tentang peluang terkait dengan ilmu statistika. Penerapannya banyak digunakan dalam
bidang pertanian, geofisika, meteorologi, kependudukan, transportasi, industri, dan lain-lain.
Bab 8 Peluang 53
Bab
9 Trigonometri
A. Rumus Trigonometri
20 29
A. D.
29 21
Perhatikan segitiga PQR di R 21 21
B. E.
samping. Segitiga PQR siku-siku 29 35
di P. 29
r C.
PQ disebut sisi di samping y 20
sudut Q dengan panjang x. Jawab:
PR disebut sisi di depan
Berdasarkan teorema Pythagoras
sudut Q dengan panjang y, dan P x Q
QR adalah sisi miring dengan (AC)2 (BC)2 (AB)2
panjang r. 292 212
Rumus perbandingan trigonometri adalah 841 441
sebagai berikut. 400
panjang sisi depan Q y AC 400 20
sin
panjang sisi miring r AC 20
sin B
panjang sisi samping Q x BC 29
cos Kunci: A
panjang sisi miring r
panjang sisi depan Q y
tan
panjang sisi miring x
panjang sisi samping Q 1 x
cotan
panjang sisi depan Q tan y
B. Perbandingan Trigonometri Sudut-
sudut Istimewa (0 , 30 , 45 , 60 , 90 )
panjang sisi miring 1 r
sec 1. Jika 0 , maka x r dan y 0.
panjang sisi samping Q cos x
y 0
panjang sisi miring 1 r sin 0 0
cosec r r
panjang sisi depan Q sin y x r
cos 0 1
r r
y 0
Contoh tan 0 0
x x
Perhatikan segitiga ABC C
y
yang siku-siku di A pada
gambar berikut!
29 cm
Berdasarkan gambar, nilai r
y
sin B . . . . x
O x
A 21 cm B
54 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
2. Jika 90 , maka x 0 dan y r. C
y r 45
sin 90 1
r r
x 0
cos 90 0
r r
45
y r
tan 90 tidak terdefinisi A B
x 0
Dari gambar di atas, ABC adalah segitiga siku-
C
siku samakaki.
ABC ACB 45 dan AB AC
Misalkan panjang AB AC r
(BC)2 (AB)2 (AC)2
A D B r2 r2
2r2
Dari gambar di atas, ABC adalah segitiga BC 2r 2 2r
samasisi dengan AB BC AC.
AC r 1 1
1 sin 45 2
BD AD AB BC 2r 2 2
2
AB r 1 1
1 cos 45 2
AD BC . . . karena AB BC BC 2r 2 2
2
1 AC r
AD AC . . . karena AB AC tan 45 1
2 AB r
ABC BCA CAB 60 Nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut
BCD DCA 30 istimewa adalah sebagai berikut.
Panjang BD a, maka AB 2BD sin cos tan
2a
(AB)2 (AD)2 (DB)2 0 0 1 0
A
(2a)2 (AD)2 a2 1 1 3 1 3
30
2 2 3
(AD)2 4a2 a2 30°
1 2 1 2
3a2 45 1
2 2
AD 3a2 1 3 1 1
60° 60
2 2 3
3a D B
90 1 0
BD a 1
sin 30
AB 2a 2
AD 3a 1 I N G A T
cos 30 3
AB 2a 2 • sin2A cos2A 1
BD a 1 sin A
tan 30 3 • tan A
AD 3a 3 cos A
cos A
AD 3a 1 • cot an A
sin 60 3 sin A
AB 2a 2
• tan A · cotan A 1
BD a 1 1
cos 60 • sec A
AB 2a 2 cos A
1
AD 3a • cosec A
tan 60 3 sin A
BD a
Bab 9 Trigonometri 55
Contoh 3. Relasi di Kuadran III
sin (180 ) sin
Nilai dari cos 30 sin 90 sin 30 cos 90 cos (180 ) cos
adalah . . . . tan (180 ) tan
1 sin (270 ) cos
A. 0 D. 3
2 cos (270 ) sin
1 1
B. E. 3 tan (270 ) cotan
2 2
1
C. 2 4. Relasi di Kuadran IV
2
sin (360 ) sin
Jawab: cos (360 ) cos
cos 30 sin 90 sin 30 cos 90 tan (360 ) tan
1 1 sin (270 ) cos
3 1 0 cos (270 ) sin
2 2
1 1 tan (270 ) cotan
3 0 3
2 2
Kunci: D 5. Relasi antara Sudut Positif dan Sudut
Negatif
sin ( ) sin
cos ( ) cos
C. Perbandingan Trigonometri dan tan ( ) tan
Sudut Berelasi
Contoh
90
1. cos (180 ) sin (90 )
Kuadran II Kuadran I
cos (360 ) . . . .
A. sin D. sin (90 )
0°
360°
B. cos E. sin (90 )
180°
C. cos (180 )
Kuadran III Kuadran IV
Jawab:
270 cos (180 ) sin (90 ) cos (360 )
cos cos cos
Kuadran I II III IV cos
sin sin (90 )
Kunci: D
cos
tan 2. Bentuk sederhana dari
cos 30 sin 15
sin 195 sin 120 . . . .
1. Relasi Kuadran I
sin (90 ) cos 1
cos (90 ) sin A. 1 D. 3
2
tan (90 ) cotan
1
B. 1 E. 2
2
2. Relasi Kuadran II
1
sin (180 ) sin C. 3
2
cos (180 ) cos
tan (180 ) tan Jawab:
sin (90 ) cos sin 195 sin (180 15 ) sin 15
cos (90 ) sin sin 120 sin (90 30 ) cos 30
tan (90 ) cotan
56 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh
Sehingga,
cos 30 sin 15 cos 30 sin 15 1. Diketahui segitiga ABC dengan
1 panjang sisi a dan b berturut-turut 9 cm
sin 195 sin 120 sin 15 cos 30
dan 12 cm. Sudut B 42 , maka besar
Kunci: B C . . . .
(sin 42 0,669 dan cos 42 0,743)
A. 30 D. 108
B. 72 E. 252
C. 102
D. Aturan Sinus, Kosinus, dan Luas
Jawab:
Segitiga Dengan menggunakan aturan sinus
1. Aturan sinus a b
sin A sin B
a b c 9 12
sin A sin B sin C sin A sin 42
9 12
C
sin A 0,669
9 0,669
sin A 0,50
b a 12
A 30
A B
c Sehingga,
C 180 ( A B)
180 (30 42 )
2. Aturan kosinus 180 72 108
a2 b2 c2 2bc cos A Kunci: D
b2 a2 c2 2ac cos B
2. Pada gambar di bawah ini, titik A dan C
c2 a2 b2 2ab cos C merupakan titik-titik ujung sebuah
terowongan yang dilihat dari titik B dan
C
besar sudut penglihatan CBA 60 .
b a C
A B
c
3. Luas segitiga
C A B
b a 3
Jika AB x meter,
2x meter dan BC
A B 2
c
maka panjang terowongan adalah . . . .
1
Luas segitiga ABC dapat ditentukan dengan A. 6 x meter
menggunakan rumus berikut. 2
1
B. 6 x meter
1 4
Luas b c sin A 1
2 C. 13 x meter
2
1 1
Luas a c sin B D. 13 x meter
2 4
1 13
Luas a b sin C E. x meter
2 2
Bab 9 Trigonometri 57
3. Rumus tan ( )
Jawab:
tan tan
AB c 2x m tan ( )
1 tan tan
3
BC a x m
2 tan tan
AC b tan ( )
1 tan tan
Nilai b dapat dihitung dengan meng-
gunakan aturan kosinus.
Contoh
b2 a2 c2 2 · a · c · cos B
2 4 24
3 2 3 1. Jika sin dan sin , dan
x 2x 2 x 2 x cos 60
2 2 5 25
9 2 1 terletak di kuadran II, maka nilai
2 2
x 4x 6x sin ( ) adalah . . . .
4 2
1 2 2 1 2 13 2 4 44
6 x 3x 3 x x A. D.
4 4 4 5 125
x 1 4 100
Jadi, b 13 13 x meter.
2 2 B. E.
Kunci: C 5 125
44
3. Pada jajargenjang PQRS diketahui C.
125
PQ 10 2 cm, PS 8 cm, dan
SPQ 45 . Luas jajargenjang PQRS Jawab:
adalah . . . .
4
A. 20 cm2 Diketahui sehingga
sin
S R 5
B. 40 cm2 diperoleh ukuran berikut.
C. 20 2 cm 2 q p
D. 40 2 cm 2
E. 80 cm2 P s Q
5 4
Jawab:
1
Luas PQS PQ PS sin SPQ 3
2
1 Dengan menggunakan teorema
10 2 8 sin 45 3
2 Pythagoras diperoleh cos .
1 5
40 2 2 (Karena cos di kuadran II negatif,
2
20 2 40 cm2 3
maka cos )
Jadi, Luas PQRS 2 Luas PQS 5
2 40 80 cm2 24
Diketahui juga bahwa sin
Kunci: E 25
sehingga diperoleh ukuran berikut.
25 24
E. Rumus Penjumlahan dan Selisih
Dua Sudut
7
1. Rumus sin ( ) Dengan menggunakan teorema
sin ( ) sin cos cos sin 7
sin ( ) sin cos cos cos Pythagoras diperoleh cos
25
(Karena cos di kuadran II negatif,
2. Rumus cos ( )
cos ( ) cos cos sin sin 7
maka cos )
cos ( ) cos cos sin sin 25
58 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh
Jadi,
sin ( ) sin cos cos sin 10 120
A. D.
4 7 3 24 13 169
10 60
5 25 5 25 B. E.
36 169
28 72 25
C.
125 125 169
28 72 44 Jawab:
125 125 125 Dengan menggunakan teorema
Pythagoras, diperoleh AB 12.
Kunci: C
12
cos A
4 13
2. Jika sin dan sudut lancip, C
4 2
maka nilai tan (45 ) adalah . . . .
13
5
1
A. 2 D. 1
2 A 12 B
1
B. 2 E.
2 sin 2A 2 sin A cos A
1 5 12
C. 2
2 13 13
120
Jawab:
169
4 1 Kunci: D
sin
4 2 2
1 2. Diketahui nilai cos 2 x
1 untuk
2 8
2
45 180 2x 270 . Nilai sin x adalah . . . .
3 4
Sehingga tan (45 ) tan (45 45 ) A. D.
4 3
tan 90
3 1
B. E.
Kunci: E 4 4
4
C.
3
Jawab:
cos 2x 1 2 sin2 x
F. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
1
1 2 sin2 x
8
sin 2 2 sin cos 1
2 sin2 x 1
cos 2 cos2 sin2 8
1 2 sin2 9
2 sin2 x
8
2 cos2 1 9
sin2 x
2 tan 16
tan 2
tan 2 sin x 3, 180 2x 270
4
Contoh 90 x 135
Karena 90 x 135 terletak di Kuadran
1. Misalkan A adalah sudut lancip p
3
5 II, maka nilai sin x .
dan sin A , maka nilai sin 2A 4
13
adalah . . . . Kunci: B
Bab 9 Trigonometri 59
Contoh
G. Rumus Jumlah dan Selisih Sinus
dan Kosinus 2 sin 5 cos 4 2 cos 6 sin 3 sin 3
adalah . . . .
1 1 A. sin D. cos 3
• sin A sin B 2 sin ( A B) cos ( A B)
2 2 B. cos E. sin 9
1 1 C. sin 3
• sin A sin B 2 cos ( A B) sin ( A B)
2 2
Jawab:
cos A cos B 2 cos 1 ( A B) cos 1 ( A B)
2 2 • 2 sin 5 cos 4 sin (5 4 ) sin (5 4)
1 ( A B) sin 1 ( A B) sin 9 sin
cos A cos B 2 sin
2 2 • 2 cos 6 sin 3 sin (6 3 ) sin (6 3 )
sin 9 sin 3
Contoh Sehingga,
2 sin 5 cos 4 2 cos 6 sin 3 sin 3
cos 4 x cos 4 y sin 9 sin (sin 9 sin 3 ) sin 3
. . . .
sin 4 x sin 4 y sin 9 sin sin 9 sin 3 sin 3
A. tan (2x 2y) D. tan (2x 2y) sin
B. tan (2x 2y) E. tan (2x 2y) Kunci: A
C. tan (2x 2y)
Jawab:
cos 4x cos 4y
2 sin 1 (4 x 4 y) sin 1 (4 x 4 y) I. Fungsi Trigonometri dan Grafiknya
2 2
2 sin 2(x y) sin 2(x y)
sin 4x sin 4y 1. Grafik dari fungsi dasar trigonometri
2 cos 1 (4 x 4 y) sin 1 (4 x 4 y) y sin x
2 2
2 cos 2(x y) sin 2(x y) 1 periode
Sehingga, 1
cos 4 x cos 4 y
0
sin 4 x sin 4 y 180 360
2 sin 2( x y) sin 2( x y) 1
2 cos 2( x y) sin 2( x y)
sin 2( x y) y maksimum 1
cos 2( x y) y minimum 1
tan 2(x y) tan (2x 2y) Satu periode 360
y cos x
Kunci: A
1 periode
1
180
H. Rumus Hasil Kali Sinus dan Kosinus 0
360
1
2 sin A cos B sin (A B) sin (A B)
2 cos A sin B sin (A B) sin (A B) y maksimum 1
2 cos A cos B cos (A B) cos (A B) y minimum 1
2 sin A sin B cos (A B) cos (A B) Satu periode 360
60 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
y tan x
y 2 cos 2 3 x
4
1
90 270
y 2 cos 3 x
0 2
180 360
Kunci: C
1
y maksimum
y minimum 2. Mengubah bentuk a cos x b sin x menjadi
k cos (x a)
Satu periode 180
Bentuk umum:
a cos x b sin x k cos (x )
Contoh dengan
Perhatikan grafik berikut! k a2 b2
y b
tan
a
2
1 Contoh
0 x Himpunan penyelesaian persamaan
2
3 3 sin x 3 cos x 2 untuk 0 x 360
1
adalah . . . .
2 A. 15 D. 90
B. 45 E. 115
Persamaan grafik di atas adalah . . . . C. 75
3
A. y 2 sin x Jawab:
2
B. y 2 sin 3 x sin x 3 cos x 2
2
a 3, b 1, dan c 2
3x
C. y 2 cos
2 2
k a2 b2 3 12 2
3x
D. y 2 cos
2
b 1 1
E. y 2 cos 2 x tan
a 3
3
3 3
Jawab: 30
Grafik tersebut adalah grafik kosinus 2 cos ( x 30 ) 2
yang terbalik.
2
Nilai maksimum 2 dan nilai minimum cos ( x 30 )
2
2 Amplitudo 2
cos ( x 30 ) cos 45
4
Periode x 30 45 n 360
3
Sehingga persamaannya adalah x 45 30 n · 360
Amplitudo 1 periode 75 n · 360
x 45 30 n · 360
2 15 n · 360
y 1 2 cos x
4 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 75 dan
Karena grafiknya 3
terbalik 345 .
Periode grafik Kunci: C
Bab 9 Trigonometri 61
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 4 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari materi rumus trigonometri,
perbandingan sudut istimewa, dan persamaan-persamaan trigonometri.
• Soal nomor 5 – 9 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang aturan sinus.
• Soal nomor 10 – 20 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus pelajari semua
materi pada bab ini.
3 , 6. Dari segitiga ABC diketahui 30 dan
1. Diketahui tan x 1,05 dengan x
2 60 . Jika a c 9, maka panjang sisi b
maka sin x . . . . adalah . . . .
20 20
A. D. A. 2 3 D. 3 2
29 29
B. 3 3 E. 3
21 21
B. E. C. 2 2
29 29
9 7. Dari segitiga ABC diketahui b 3 cm dan
C. c 4 cm. Jika luas segitiga 3 cm2, maka
29
sudut A . . . .
tan x A. 30 D. 90
2. sama dengan . . . . B. 45 E. 120
sin x cos x
A. cos2x D. sec2x C. 60
B. sin 2x E. cos x 8. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang
C. cosec 2x sisinya 5 cm, 6 cm, dan 21 cm adalah . . . .
1 21 5
A. D.
1 5
3. sin 5 x 2 , maka x . . . . 1 21 1 5
2 B E.
A. 95 atau 40 D. 55 atau 72 6 3
1 5
B. 40 atau 60 E. 60 atau 75 C.
5
C. 45 atau 63
9. Diketahui ABC dengan panjang sisi
4. Nilai sin 45 cos 15 cos 45 sin 15 sama AB 3 cm, AC 4 cm, dan CAB 60 . CD
dengan . . . . adalah tinggi ABC, panjang CD . . . .
1 1 6 2 3 3 3
A. D. A. cm D. cm
2 2 3 2
1 2 1 3 B. 3 cm E. 2 3 cm
B. E.
2 2 C. 2 cm
1 3
C. 10. y
2
sin A 2
5. . . . .
1 cos A
1 sin A 1 cos A
A. D.
sin A sin A 0 x
1 2 3 4
1 cos A 1 cos A
B. E.
cos A sin A
1 cos A 2
C.
cos A
62 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Jika grafik di atas berbentuk y A sin kx, sin 5 x sin 3 x
maka nilai A dan k adalah . . . . 15. Bentuk senilai dengan . . . .
cos 5 x cos 3 x
A. A 2 dan k A. tan 2x D. cotan 4x
B. A 2 dan k 2
C. A 2 dan k B. tan 4x E. cotan 8x
D. A 2 dan k 2 C. tan 8x
E. A 2 dan k 2
16. Untuk 0 x 360 , himpunan penyelesaian
1 3 dari sin x 3 cos x 3 0 adalah . . . .
11. Penyelesaian persamaan sin ( x 45)
2 A. {120 , 180 } D. {0 , 300 }
untuk 0 x 360 adalah . . . .
A. 75 x 105 B. {90 , 210 } E. {0 , 300 , 360 }
B. 75 x 165 C. {30 , 270 }
C. 105 x 165
17. Himpunan penyelesaian persamaan
D. 0 x 75 atau 165 x 360
E. 0 x 105 atau 165 x 360 6 sin x 2 cos x 2 untuk 0 x 360
adalah . . . .
12. Persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah
adalah . . . . A. {15 , 105 } D. {75 , 345 }
y B. {15 , 195 } E. {105 , 345 }
C. {75 , 195 }
18. Jika 2 cos2 2 x 5 sin 2x 3 0 , maka
2
x nilai sin x . . . .
2 2
1 1
A. 3 atau 3
2 2
1 1
B. 2 atau 2
2 2
y 2 cos x 1
6 1 1
C. 3 atau 3
y 2 cos x 1 6 6
B. 6
1 1 1
C. y 2 cos x D. atau
3 4 4
y 2 cos x 1 1 1
D. 3 atau
E.
2 2
y 2 cos x 2
E. 3 1
19. Jika cot an 54 , maka cosec 9 . . . .
13. Jika diketahui sudut lancip A dengan x
1
cos 2A , maka nilai tan A . . . . x 1 2( x2 1)
3 A. D.
x 1 x 1
1 3 2 5
A. D.
3 5 x 1 x 1
B. E.
1 2 x 1 2
B. E. 6 2( x 1)
2
1 6 2( x2 1)
C. C.
3 x 1
sin 81 sin 21
14. Nilai . . . . d
sin 69 sin 171 20. Nilai maksimum dari
12 cos x 5 sin x 16
1 3
A. 3 D. adalah 3. Maka nilai d adalah . . . .
2
1 3 A. 6 D. 20
B. E. 3
2 B. 9 E. 24
1 3
C. C. 12
3
Bab 9 Trigonometri 63
A. p sin2( )
sin A B. p sin cos ( )
21. Jika A B C 360 , maka 2
B C C. p cos cos ( )
sin D. p cos ( ) sin ( )
2
A. tan A D. 1 E. p cos2( )
2
B. cot an A E. 0 23. Diketahui XY dan XZ merupakan diameter
2 lingkaran. Jika YZ a, maka AB . . . .
B C
C. sec A. a cos
2 B. a sin B
22. Diketahui ABC adalah segitiga lancip, besar C. a tan A
ABC , BCA , dan AC p. CK adalah a
garis tinggi melalui C dan KM adalah garis D. sin
X Y Z
tinggi dalam AKC yang melalui K. Panjang a
AM . . . . E. cos
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Jika dari segitiga ABC diketahui 1 1
A. 2 a D. 3 a
10 3 2 7
AC cm, BC 10 cm, dan sudut B. 3a E. 4a
3
A 60 , maka sudut C adalah . . . . 1
C. 3 a (UMPTN 2001)
A. 105 D. 55 4
B. 90 E. 45 6. Titik-titik sudut segitiga samakaki ABC terletak
C. 75 (UMPTN 2001) pada lingkaran berjari-jari 7 cm. Jika alas
9 AB 2 7 cm, maka tan A . . . .
2. Pada ABC diketahui cos (B C) . Jika
40
panjang sisi AC 10 cm dan AB 8 cm, maka 1 1
A. 6 7 D. 6 7
panjang sisi BC . . . . 7 2
A. 8 2 cm D. 11 2 cm 1
B. 6 7 E. 6 7
6
B. 9 2 cm E. 12 2 cm
C. 1
10 2 cm (UMPTN 2001) C. 6 7 (SPMB 2002)
3
3. Jika sudut lancip yang memenuhi
2 cos2 1 2 sin 2 , maka tan . . . . 7. Diketahui f(x) 2 cos 3x 1. Jika nilai
A. 2 5 D. 5 2 maksimum f(x) adalah a dan nilai minimum f(x)
adalah b, maka a2 b2 . . . .
B. 2 3 E. 5 1
A. 3 D. 18
C. 2 3 (UMPTN 2001)
B. 6 E. 36
4. Bentuk tan2x sec2x identik dengan . . . . C. 12 (SPMB 2002)
A. sin2x cos2x D. sec2x cosec2x
2
B. sec x 2
cos x 2
E. cosec x sec2x 2 tan
8. Nilai dari . . . .
C. cosec2x sin2x (UMPTN 2001) 1 tan 2
5. A A. 2 sin cos D. 2 sin
B. sin cos E. 2 cos
120 C. 1 2 sin (SPMB 2003)
C
B
Jika panjang lintasan langsung dari A ke C 9. Pada sebarang segitiga ABC berlaku
adalah a 7 dan A ke B adalah a, maka panjang a b
. . . .
jalan dari A ke C melalui B adalah . . . . b
64 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
1 sin A sin B 14. Jika untuk 0 , berlaku
sin A
A. 1 D. 3 tan
sin B sin A sin B tan tan tan 3 dan
3
sin ( A B) cos ( A B) sin sin , maka cos( ) . . . .
B. E. 4
sin B cos B A. 0 D. 1
A 1 1
C. 1 tan (SPMB 2003) B. 3 E. 2
B 2 2
C. 1 (SPMB 2004)
3 4
10. Jika sin dan tan , dan adalah
5 3 15. Jika tan tan y p dengan p 0, maka
sudut lancip, maka nilai sin ( ) adalah . . . . cos cos y
9 . . . .
A. D. 1 sin ( y)
25 1
16 32 A. D. 2p
B. E. p
25 25 2
18 B. E. p2
C. (SPMB 2003) p
25 C. p (SPMB 2004)
11. Jika dan merupakan sudut lancip dari suatu
1
segitiga siku-siku dan tan 2 sin , maka 16. Jika 1 tan2x a, a 1 dan 0 x , maka
2
sin2 . . . . sin2x . . . .
4 1 a 1
A. D. A. a D.
5 2 a
5 1
B. E. a 1
4 3 B. a 1 E.
a
2
C. (SPMB 2004) a
3 C. (SPMB 2005)
a 1
12. Pada ABC diketahui D adalah titik tengah
AC. Jika BC a, AC b, AB c, dan BD d, 17. Himpunan nilai x yang memenuhi
maka d2 . . . . 3 sin 2x cos 2x 1 untuk 0 x 2
1 2 1 2 1 2 adalah . . . .
A. a b c
2 4 2 4
A. D. ,
1 2 1 2 1 2 6 3 3
B. a b c
2 4 2
B. E. 0, ,
1 2 1 2 1 2 3 6 3
C. a b c
2 4 2
7 3
C. , , , (SPMB 2005)
1 2 1 2 1 2 6 2 6 2
D. a b c
4 4 2
18. Nilai x yang memenuhi
1 2 1 2 1 2 2 cos2x cos x 1 0, 0 x adalah . . . .
E. a b c (SPMB 2004)
4 4 2 1
A. dan
3
13. Jika 2 tan2x 2 tan x 2 0 dengan batas 1 2
B. dan
3 3
1
x , maka sin x cos x . . . . 1 3
2 C. dan
3 4
3 1 1 3
A. 5 D. 5 D. dan
5 5 4 4
5 3 1 2
B. 5 E. 5 E. dan (SPMB 2005)
4 5 4 3
C. 0 (SPMB 2004)
Bab 9 Trigonometri 65
19. Jika tan x 2 dan sin(x y) 5 cos (y x), 21. Jika tan x 3 sin2x 0, maka nilai
maka tan y sama dengan . . . . sin x cos x . . . .
3 3 1 2
A. D. A. D.
11 11 3 3
1 1 1 1
B. E. B. 2 E. 5
2 2 3 3
C. 0 (SPMB 2006) 1
C. 3 (SPMB 2006)
3
1
20. Jika cos x tan x 3 0 untuk 22. Rentang nilai untuk fungsi y sin2x 4 sin x
2
1 adalah . . . .
1 x 2 , maka cos x . . . . A. 3 y 3 D. 1 y 5
2
B. 3 y 5 E. 1 y 9
2
A. 2 D. 3 C. 2 y 5 (SPMB 2006)
3
2 1
B. 3 E.
3 2
1
C. (SPMB 2006)
2
Intersection
Materi trigonometri ini akan banyak membantu dalam memahami materi tentang limit fungsi
trigonometri, turunan, dan integral pada bab selanjutnya. Trigonometri juga sering digunakan
dalam ilmu Fisika.
66 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab
10 Persamaan dan Garis
Singgung Lingkaran
A. Persamaan-persamaan Lingkaran D. b 12 atau b 12
E. b 12 atau b 12
Jawab:
1. Persamaan lingkaran yang berpusat di
Titik P( 5, b) substitusi ke x2 y2 169
titik O(0, 0) dan berjari-jari r
P( 5, b) ( 5)2 b2.
y
Agar titik P( 5, b) terletak di dalam lingkaran,
haruslah ( 5)2 b2 169
P(x, y) 25 b2 169
r b2 169 25
y b2 144
x
x 12 b 12
O
Jadi, 12 b 12.
Kunci: C
3. Persamaan lingkaran yang berpusat di
Ambil titik P(x, y) sembarang pada lingkaran. titik P(a, b) dan berjari-jari r
Panjang garis OP adalah jari-jari r.
y
(OP)2 (x 0)2 (y 0)2
r2 x2 y2
Q(x, y)
r
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik b
O(0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 y2 r2. P(a, b)
x
O a
2. Kedudukan titik P(a, b) pada lingkaran
x2 y2 r2
• Titik P(a, b) terletak di dalam lingkaran
x2 y2 r2 jika dan hanya jika a2 b2 r2. Ambil titik Q(x, y) sembarang pada lingkaran,
• Titik P(a, b) terletak pada lingkaran maka kuadrat jarak antara titik pusat P(a, b) dan
x2 y2 r2 jika dan hanya jika a2 b2 r2. Q(x, y) adalah (PQ)2 (x a)2 (y b)2 di mana PQ
• Titik P(a, b) terletak di luar lingkaran merupakan jari-jari lingkaran. Jadi persamaan
x2 y2 r2 jika dan hanya jika a2 b2 r2 lingkaran yang berjari-jari r dan berpusat di (a, b)
adalah sebagai berikut.
Contoh (x a)2 (y b)2 r2
Batasan nilai b agar titik P( 5, b) terletak di
dalam lingkaran x2 y2 169 adalah . . . . Sementara bentuk umum persamaan lingkaran
A. 12 b 0 adalah sebagai berikut.
B. b 12 atau b 0
x2 y2 Ax By C 0
C. 12 b 12
Bab 10 Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran 67
Dengan pusat A, B dan jari-jari Jawab:
P
2 2 Persamaan lingkaran
x2 y2 4x 2y 4 0
r A2 B2 C
4 4 Titik R(h, 1) terletak di luar lingkaran
h2 ( 1)2 4(h) 2( 1) 4 0
h2 1 4h 2 4 0
Contoh h2 4h 5 0
(h 5)(h 1) 0
Jari-jari lingkaran pada persamaan
x2 y2 10x 18y 6 0 1 5
adalah . . . . h 1 atau h 5
A. 5 D. 15 Jadi, batasan nilai h adalah h 1 atau
B. 10 E. 18 h 5.
C. 12 Kunci: D
Jawab:
Persamaan lingkaran
x2 y2 10x 18y 6 0, maka diperoleh B. Persamaan Garis Singgung
A 10, B 18, dan C 6 Lingkaran
2
r 102 18
6 1. Persamaan garis singgung yang melalui
4 4
suatu titik pada lingkaran
25 81 6
Persamaan garis singgung lingkaran yang
100 10 berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r adalah sebagai
Jadi, jari-jari lingkaran adalah 10. berikut.
Kunci: B xx1 yy1 r2
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat
4. Kedudukan suatu titik R(h, k) pada di titik P(a, b) dan berjari-jari r adalah sebagai
lingkaran yang berpusat di titik P(a, b). berikut.
Titik R(h, k) terletak di dalam lingkaran (x a)(x1 a) (y b)(y1 b) r2
(x a)2 (y b)2 r2 jika dan hanya jika
2 2 2
(h a) (k b) r . Contoh
Titik R(h, k) terletak pada lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran
(x a)2 (y b)2 r2 jika dan hanya jika
2 2 2 (x 5)2 (y 3)2 61
(h a) (k b) r .
Pada titik ( 1, 2) adalah . . . .
Titik R(h, k) terletak di luar lingkaran
A. 6x 5y 16 D. 5x 6y 16
(x a)2 (y b)2 r2 jika dan hanya jika B. 6x 5y 16 E. 5x 6y 16
2 2 2
(h a) (k b) r . C. 5x 6y 16
Jawab:
Contoh Selidiki dahulu apakah ( 1, 2) terletak pada
lingkaran (x 5)2 (y 3)2 61.
Batasan nilai h agar titik R(h, 1) yang Substitusi titik ( 1, 2) ke persamaan
terletak di luar lingkaran ( 1 5)2 (2 3)2 ( 6)2 (5)2
x2 y2 4x 2y 4 0 adalah . . . . 36 25 61
A. 1 h 5 Persamaan garis singgung
B. 5 h 1 ( 1 5)(x 5) (2 3)(y 3) 61
6(x 5) 5(y 3) 61
C. h 5 atau h 1
6x 30 5y 15 61
D. h 1 atau h 5 6x 5y 16
E. h 1 atau h 5
Kunci: A
68 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
2. Persamaan garis singgung lingkaran
dengan gradien tertentu dengan titik pusat Jadi, persamaan garis singgung adalah
O(0, 0) 4x y 4 17 0 atau 4x y 4 17 0.
Garis y mx c dengan gradien m yang Kunci: B
menyinggung lingkaran x2 y2 r2. Persamaan
garis singgungnya adalah sebagai berikut
3. Persamaan garis singgung lingkaran
gradien tertentu dengan titik pusat
y mx r 1 m2 P(a, b).
Persamaan garis singgung bergradien m yang
menyingung lingkaran (x a)2 (y b)2 r2, adalah
Contoh
y b m(x a) r 1 m2
Persamaan garis singgung pada lingkaran
x2 y2 16 yang tegak lurus terhadap garis
2x 8y 5 0 adalah . . . .
Contoh
A. 4x y 4 17 0
Persamaan garis singgung pada lingkaran
B. 4x y 4 17 0
(x 2)2 (y 3)2 4 yang sejajar dengan
C. x 4y 4 17 0 garis 6x 2y 7 0 adalah . . . .
D. x 4y 4 17 0 A. y 2x 3 3 10
E. x 4y 4 17 0 B. y 2x 3 3 10
Jawab: C. y 3x 3 2 10
Garis f : 2x 8y 5 0 D. y 3x 3 2 10
8y 2x 5
E. y 3x 3 2 10
1x 5
y
4 8 Jawab:
1 Garis g: 6x 2y 7 0
Gradien f : mf
4 2y 6x 7
Garis singgung lingkaran adalah garis 1
y 3x 3
dengan gradien mg. Garis g tegak lurus 2
dengan garis f, maka Gradien mg 3
mg · mf 1 Garis singgung lingkaran h dengan
mg · 1 1 gradien mh. Karena garis g sejajar, maka
4 mh mg
mg 4 mh 3
Persamaan lingkaran: Persamaan garis singgung
x2 y2 16 r 16 4 2
y 3 3(x 2) 2 1 (3)
Persamaan garis singgung y 3 3(x 2) 2 10
y 3x 6 3 2 10
y 4x 4 1 ( 4)2
y 3x 3 2 10
4x 4 17
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
Sehingga diperoleh y 3x 3 2 10 atau y 3x 3 2 10 .
y 4x 4 17 atau y 4x 4 17 Kunci: C
Bab 10 Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran 69
Contoh
C. Persamaan Parabola (Pengayaan)
Koordinat titik fokus dari persamaan parabola
y y2 4y 8x 28 0 adalah . . . .
l1 A. ( 4, 2) D. ( 2, 2)
B. (2, 2) E. ( 2, 2)
B( p, y) A(x, y)
y C. ( 2, 4)
x
Jawab:
p O x F(p, 0)
y2 4y 8x 28 0
2
y 4y 8x 28
2
(y 2) 4 8x 28
l2 2
(y 2) 8x 32
2
(y 2) 8(x 4)
x p
Koordinat puncak ( 4, 2)
1. Persamaan parabola dengan titik puncak (0, 0),
4p 8 p 2
fokus F(p, 0), dan garis direktriks x p adalah
Fokus ( 4 p, 2) ( 4 2, 2)
y2 4px ( 2, 2)
2. Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik Kunci: E
fokus F( p, 0), dan garis direktriks x p adalah
y2 4px
3. Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik
fokus F(0, p), dan garis direktriks y p adalah
D. Persamaan Garis Singgung
Parabola
x2 4py
4. Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik 1. Persamaan garis singgung parabola yang
fokus F(0, p), dan garis direktriks y p adalah berpuncak di A(h, k) pada parabola
(y k)2 4p(x h) dengan gradien m adalah
x2 4py
p
5. Persamaan parabola dengan puncak (h, k), garis (y k) m(x h)
m
direktriks x h p, dan titik fokus F(h p, k)
adalah
2. Persamaan garis singgung parabola yang
(y k)2 4p(x h) berpuncak di A(h, k) pada parabola
(y k)2 4p(x h) dengan gradien m adalah
6. Persamaan parabola dengan puncak (h, k), garis
direktriks x h p, dan titik fokus F(h p, k) p
adalah (y k) m(x h)
m
(y k)2 4p(x h)
3. Persamaan garis singgung parabola yang
7. Persamaan parabola dengan puncak (h, k), garis berpuncak di A(h, k) pada parabola
direktriks y k p, dan titik fokus F(h, k p) (x h)2 4p(y k) dengan gradien m adalah
adalah
(y k) m(x h) m2p
2
(x h) 4p(y k)
8. Persamaan parabola dengan puncak (h, k), garis 4. Persamaan garis singgung parabola yang
direktriks y k p, dan titik fokus F(h, k p) berpuncak di A(h, k) pada parabola
adalah (x h)2 4p(y k) dengan gradien m adalah
(x h)2 4p(y k) (y k) m(x h) m2p
70 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh di mana:
• a2 b2 c2 ; a b
Persamaan garis singgung pada parabola
c
x2 4x 2y 10 0 yang tegak lurus pada • Eksentrisitas: e
a
garis 2x 4y 7 0 adalah . . . . a
A. 2x y 5 0 D. x 2y 5 0 • Direktriks: x
e
B. x 2y 5 0 E. 2x y 5 0
3. Persamaan elips berpusat di (h, k) dengan sumbu
C. 2x y 5 0
utama garis y k dan sumbu sekawan garis x h
Jawab:
adalah
x2 4x 2y 10 0 2 2
x2 4x 2y 10 x h y k
1
(x 2)2 4 2y 10 a2 b2
2
(x 2) 2y 6 di mana:
(x 2)2 2(y 3) • Puncak: (h a, k) dan (h a, k)
Puncak (2, 3) 4p 2 • Titik ujung sumbu minor: (h, k b) dan
1 (h, k b)
p
2 • Fokus: (h c, k) dan (h c, k)
2x 4y 7 0
4. Persamaan elips berpusat di (h, k) dengan sumbu
4y 2x 7
utama garis x h dan sumbu sekawan adalah
1 7 1 garis y k
y1 x m1
2 4 2 2 2
m1· m2 1 (karena tegak lurus) x h y k
1
1 b2 a2
· m2 1
2
di mana:
m2 2
• Puncak: (h, k a) dan (h, k a)
Persamaan garis singgung: • Titik ujung sumbu minor: (h b, k) dan
y k m2(x h) m22p (h b, k)
1 • Fokus: (h, k c) dan (h, k c)
y 3 2(x 2) (2)2 ·
2
1
y 3 2(x 2) 4 · Contoh
2
1
y 3 2(x 2) 4 · Koordinat fokus pada elips
2
y 3 2x 4 2 4x2 9y 48x 72y 144 0 adalah . . . .
y 3 2x 2 A. 6 2 5, 4 D. 6 2 5, 4
2x y 5 0 6 2 5, 4 6 2 5, 4
B. E.
Kunci: A
C. 6 2 5, 4
Jawab:
4x2 48x 9y 72y 144
E. Persamaan Elips (Pengayaan) 4(x2
12x 36) 9(y2 8y 16)
144 144 144
4(x 6)2 9(y 4)2 144
1. Bentuk umum persamaan elips
2 2
Ax2 By2 Cx Dy E 0 dengan x 6 y 4
1
A 0, B 0, dan A B 36 16
Sehingga diperoleh,
2. Persamaan elips yang berpusat di O(0, 0) dan
a2 36, b2 16, h 6, k 4
fokus di F1( c, 0) dan F2(c, 0) adalah
c2 36 16 20 c 2 5
x2 y2 Fokus: (6 2 5 , 4) dan (6 2 5 , 4)
1 Kunci: C
a2 b2
Bab 10 Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran 71
F. Persamaan Garis Singgung Elips • Persamaan garis singgung elips
y 2 m2(x 1) (25)(4) 9
1. Persamaan garis singgung elips y 2 2( x 1) 109
2 2
x h y k
1 dengan gradien m y 2 2x 2 109
2 2
a b
adalah sebagai berikut. y1 2x 4 109
y2 2x 4 109
y k m x h a2 m2 b2
Kunci: D
2. Persamaan garis singgung elips
2 2
x h y k
1 dengan gradien m
b2 a2
adalah sebagai berikut. G. Persamaan Hiperbola (Pengayaan)
y k m x h b2 m2 a2
1. Pada hiperbola, selisih jarak terhadap kedua
fokus sama dengan 2a.
2. Bentuk umum persamaan hiperbola adalah
Contoh Ax2 By2 Cx Dy E 0
Persamaan garis singgung pada elips
9x2 25y2 18x 100y 116 0 dengan A 0, B 0, dan A B.
yang sejajar pada garis 6x 3y 1 0 3. Persamaan hiperbola berpusat di O(0, 0), fokus
adalah . . . . di F1(0, c) dan F2(0, c) adalah
A. x 2 59 atau x 2 59
B. x 4 59 atau x 4 59 x2 y2
1
C. x 4 109 atau x 4 109 a2 b2
D. 2x 2 109 atau 2 x 2 109
di mana: c2 a2 b2
E. 2x 4 109 atau 2 x 4 109
4. Persamaan hiperbola yang berpusat di A(h, k),
Jawab:
sumbu utama sejajar sumbu-x adalah
9x2 25y2 18x 100y 116 0
9(x 1)2 9 25(y 2)2 100 116 0 (x h)2 (y k)2
1
9(x 1)2 25(y 2)2 225 0 a2 b2
9( x 1)2 25( y 2)2 di mana:
1
225 • c2 a2 b2
(x 1)2 (y 2)2 • Sumbu nyata y k dan sumbu sekawan
1
25 9 x h
Sehinga diperoleh • Koordinat puncak: (h a, k) dan (h a, k)
• Koordinat titik ujung: (h, k b) dan (h, k b)
• Pusat: P(1, 2)
• Fokus: (h c, k) dan (h c, k)
• Sejajar pada garis 6x 3y 1 0
c
6x 3y 1 0 • Eksentrisitas: e
a
3y 6x 1 a
• Direktriks: x h
1 e
y 2x m1 m2 2
3
72 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
• Persamaan asimtot:
D. 4x 3y 10 0 dan 4x 3y 22 0
b
(y k) (x h) E. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0
a
2b2 Jawab:
• Panjang latus rectum
a Puncak: (2, 4) dan ( 6, 4)
5. Persamaan hiperbola berpusat di A(h , k) dengan Fokus: (3, 4)
sumbu utama sejajar sumbu-y adalah h a 6
h a 2
(y k)2 (x h)2 2h 4
1
a2 b2 h 2
h a 6 h c 3
di mana:
2 a 6 2 c 3
• c2 a2 b2
a 4 c 5
• Sumbu nyata x h dan sumbu sekawan
k 4
y k
2
• Koordinat puncak: (h, k a) dan (h, k a) b c2 a2
• Koordinat titik ujung: (h b, k ) dan (h b,) 52 ( 4)2
• Fokus: (h , k c) dan (h, k c) 25 16
9
c
• Eksentrisitas: e 3
a b 9
a Persamaan asimtot:
• Persamaan direktriks: y k
e b
• Persamaan asimtot: y k (x h)
a
a
(y k) (x h) 3
b (x 2)
y k
2 2 4
x y
6. Hiperbola 1 mempunyai asimtot 3
2
a b2 (i) y 4
4
(x 2)
b
y x 3 3
a y 4 x
4 2
y2 x2 3 11
7. Hiperbola 1 mempunyai asimtot y x 0
2 2 4 2
a b
a 4y 3x 22 0
y x
b 3
(ii) y 4 (x 2)
4
3 3
Contoh y 4 x
4 2
Persamaan asimtot hiperbola dengan puncak 3 5
y x 0 . . . kedua ruas dikali 4
(2, 4) dan ( 6, 4) serta salah satu titik 4 2
fokusnya adalah (3, 4) adalah . . . . 4y 3x 10 0
A. 4x 3y 10 0 dan 3x 4y 22 0 Jadi, persamaan asimtotnya adalah
B. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0
C. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0 Kunci: B
Bab 10 Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran 73
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 4 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang bentuk umum persamaan
lingkaran.
• Soal nomor 5 – 12 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang syarat garis singgung
dan jarak pada lingkaran.
• Soal nomor 13 – 22 merupakan kategori soal yang sulit, pelajari semua materi lingkaran.
• Soal nomor 23 – 41 merupakan latihan untuk materi pengayaan.
1. Jika titik (a, 1) terletak pada lingkaran 6. Suatu lingkaran menyinggung sumbu-x di titik
x2 y2 4x 6y 27 0, maka nilai a (1, 0). Jari-jari lingkaran sama dengan 2,
adalah . . . . sedangkan pusat lingkaran berada di kuadran
A. 8 atau 4 D. 1 atau 6 I. Jika lingkaran tersebut memotong
B. 6 atau 5 E. 4 atau 5 sumbu-y di titik P dan Q, maka panjang PQ
C. 4 atau 8 sama dengan . . . .
A. 2 2 D. 3 3
2. Jari-jari dan titik pusat lingkaran B. 2 3 E. 4 2
x2 y2 4x 10y 13 0 adalah . . . . C. 3 2
A. 2 dan (2, 5) D. 4 dan ( 2, 5)
B. 2 dan ( 2, 5) E. 4 dan (2, 5) 7. Garis singgung y x3 2x 1 di titik dengan
C. 2 dan ( 2, 5) absis 1 adalah . . . .
y 1x 1
A. y 2x 2 D.
3. Persamaan lingkaran dengan ujung diameter 2 2
A(2, 4) dan B( 4, 2) adalah . . . . B. y x 1 E. y 3x 3
A. (x 3)2 (y 1)2 10 C. y x 1
B. (x 1)2 (y 3)2 10 8. Suatu garis menyinggung kurva
C. (x 1)2 (y 3)2 10 y x3 3x2 2x 5 di titik T(1, 3).
D. (x 1)2 (y 3)2 10 Persamaan garis singgung tersebut adalah . . . .
E. (x 1)2 (y 3)2 10 A. y 5x 7 D. y 7x 5
B. y 5x 10 E. y 7x 10
4. Jarak antara titik pusat lingkaran
C. y 7x 3
x2 4x y2 4 0
dari sumbu-y adalah . . . . 9. Persamaan garis singgung melalui titik (5, 1)
1 pada lingkaran x2 y2 4x 6y 12 0
A. 3 D. 1 adalah . . . .
2
1 A. 3x 4y 19 0
B. 2 E. 1
2 B. 3x 4y 19 0
C. 2 C. 4x 3y 19 0
D. x 7y 26 0
5. Garis x y c akan menyinggung lingkaran
E. x 7y 26 0
x2 y2 4 di titik A dalam kuadran I jika
c . . . . 10. Diketahui kurva dengan persamaan
A. 2 2 D. 8 y x3 5x2 7. Persamaan garis singgung
B. 4 2 E. 8 2 kurva yang berabsis 1 dan tegak lurus
C. 6 y 2x 3 adalah . . . .
74 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
A. x 2y 5 0 D. x y 6 0 A. 3x 4y 2 0
B. x 2y 7 0 E. 2x y 5 0 B. 3x 4y 32 0
C. x y 7 0 C. 3x 4y 32 0
D. 4x 3y 32 0
11. Persamaan garis singgung pada kurva E. 4x 3y 32 0
y 2x2 6x 7 yang tegak lurus garis
x 2y 13 0 adalah . . . . 17. Persamaan garis singgung lingkaran
(x 4)2 (y 3)2 40 yang tegak lurus garis
A. 2x y 15 0
x 3y 5 0, adalah . . . .
B. 2x y 15 0
A. y 3x 1 dan y 3x 30
C. 2x y 15 0 B. y 3x 2 dan y 3x 32
D. 4x 2y 29 0 C. y 3x 2 dan y 3x 32
E. 4x 2y 29 0 D. y 3x 5 dan y 3x 35
E. y 3x 5 dan y 3x 35
12. Salah satu persamaan garis singgung dari titik
(0, 4) pada lingkaran x2 y2 4 adalah . . . . 18. Persamaan garis singgung pada kurva
y ax3 2x2 di titik (1, a 2) dan tegak lurus
A. y x 4 D. y x 3 4
garis x 2y 4 adalah . . . .
B. y 2x 4 E. y x 2 4 A. y 2x 2 D. y 2x 2
C. y x 4 B. y 2x 1 E. y 2x 2
C. y 2x 1
13. Kedua garis lurus yang ditarik dari titik (0, 0)
dan menyinggung lingkaran L dengan 19. P adalah titik potong garis x 4y 4 0 dan
persamaan x 2 y2 4x 10y 20 0, 2x y 10. Persamaan lingkaran yang berpusat
mempunyai gradien . . . . di P dan menyinggung garis 3x 4y 0
adalah . . . .
10 12 5 10 12 5 A. x2 y2 4x 2y 2 0
A. atau
5 5
B. x2 y2 4x 2y 2 0
B. 8 6 5 atau 8 6 5 C. x2 y2 4x 2y 4 0
C. 10 6 5 atau 10 6 5 D. x2 y2 8x 4y 4 0
8 6 5 8 6 5 E. x2 y2 8x 4y 2 0
D. atau
5 5
20. Suatu lingkaran berpusat pada titik potong garis
10 6 5 10 6 5 x y 1 0 dan garis x y 3 0 serta
E. atau
5 5 menyinggung garis 3x 4y 35 0. Persamaan
lingkaran tersebut adalah . . . .
14. Lingkaran yang menyinggung garis x y 5 di
titik (4, 1) dan melalui titik (8, 2) mempunyai A. x2 y2 4x 2y 20 0
2 2
jari-jari . . . . B. x y 2x y 20 0
2 2
A. 1, 4 3 D. 1,7 2 C. x y 4x 2y 20 0
2 2
D. x y 2x y 20 0
B. 1,6 3 E. 2,1 2
2 2
E. x y 4x 2y 20 0
C. 1,7 3
21. Salah satu persamaan garis singgung kurva
15. Garis singgung lingkaran x2 y2 25 di titik y x3 6x2 18x 3 yang tegak lurus dengan
( 3, 4) menyinggung lingkaran dengan pusat garis 9y x 2 0 adalah . . . .
(10, 5) dan jari-jari r. Nilai r adalah . . . .
A. y 9x 7 0 D. y 9x 3 0
A. 3 D. 9 B. y 9x 7 0 E. y 9x 3 0
B. 5 E. 11 C. y 9x 7 0
C. 7
22. Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik
potong garis x 3y 3 0 dan 2x y 4 0
16. Diketahui sebuah lingkaran melalui titik O(0, 0),
serta menyinggung garis 3x 4y 8 0
A(0, 8), dan B(6, 0). Persamaan garis singgung
adalah . . . .
pada lingkaran tersebut di titik A adalah . . . .
Bab 10 Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran 75
A. x2 y2 6x 4y 12 0 C. 3x 4y 2 0
B. x2 y2 6x 4y 4 0 D. 3x 4y 2 0
C. x2 y2 6x 4y 5 0 E. 3x 4y 5 0
D. x2 y2 6x 4y 23 0
29. Diketahui parabola dengan koordinat titik
E. x2 y2 6x 4y 25 0
puncak (2, 3) dan berfokus pada titik ( 1, 3).
23. Garis singgung pada parabola y x2 4 yang Persamaan garis singgung pada parabola
tegak lurus pada garis y x 3 memotong tersebut dengan gradien 3 adalah . . . .
sumbu-y di titik . . . . A. y 3x 4 D. y 3x 4
13 19 B. y 4x 3 E. y 3x 4
A. 0, 4 D. 0, 4 C. y 4x 3
0, 15 0, 21
B. 4 E. 4 30. Koordinat titik fokus elips
17
C. 0, 4 9x2 25y2 36x 50y 164 0 adalah . . . .
A. (6, 1) dan ( 2, 1)
24. Persamaan parabola horizontal dengan
B. ( 6, 1) dan (2, 1)
titik puncak (1, 3) dan melalui titik (3, 7)
C. (1, 6) dan (1, 2)
adalah . . . .
D. (1, 6) dan (1, 2)
A. (y 1)2 8(x 3)
E. (6, 1) dan ( 1, 1)
B. (y 1)2 12(x 3)
C. (y 3)2 6(x 1) 31. Panjang sumbu minor suatu elips horizontal
D. (y 3)2 8(x 1) yang pusatnya M(3, 1) sama dengan 6. Elips
E. (y 3)2 12(x 1) tersebut melalui titik P(8, 3). Persamaan elips
adalah . . . .
25. Persamaan parabola dengan fokus (2, 1) dan
(x 3)2 (y 1)2
garis direktriks x 6 adalah . . . . A. 1
40 9
A. y2 2y 8x 31 0
(x 3)2 (y 1)2
B. y2 2y 8x 33 0 B. 1
42 9
C. y2 2y 8x 35 0
D. x2 8x 8y 18 0 (x 3)2 (y 1)2
C. 1
45 9
E. x2 8x 8y 24 0
(x 3)2 (y 1)2
26. Diketahui suatu parabola dengan titik puncak D. 1
42 18
( 1, 3) dan titik fokus (3, 3). Persamaan garis (x 3)2 ( y 1)2
singgung parabola tersebut yang bergradien 2 E. 1
45 36
adalah . . . .
A. y 2x 3 D. y 2x 8 32. Koordinat fokus suatu hiperbola adalah
B. y 2x 4 E. y 2x 12 (3, 4 5 ) dan (3, 4 5 ), sedangkan salah
C. y 2x 7 satu titik puncaknya (3, 6). Hiperbola tersebut
mempunyai asimtot dengan persamaan . . . .
27. Diketahui parabola dengan puncak (1, 3) dan A. y 2x 1 dan y 2x 5
fokus (1, 2). Persamaan garis singgung parabola B. y 2x 1 dan y 2x 4
tersebut yang sejajar dengan garis 2x y 3 0 C. y x 3 dan y x 1
adalah . . . .
D. y 2x 2 dan y 2x 10
A. 2y 4x 1 D. 2y 4x 1
E. y 2x 3 dan y 2x 8
B. 2y 2x 9 E. 2y 4x 7
C. 2y 4x 11 33. Diketahui hiperbola dengan puncak (0, 6) dan
(0, 0) serta salah satu fokus (0, 8). Persamaan
28. Salah satu persamaan asimtot hiperbola dengan asimtot hiperbola adalah . . . .
persamaan 9x2 16y2 36x 32y 124 0 4x 4x
adalah . . . . A. y 3 dan y 3
3 3
A. 4y 3x 2 0 y 4 x 3 dan y 4x 3
B.
B. 4y 3x 1 0 3 3
76 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
y 3x 3 dan y 3x 3 A. 4x 3y 10 0 dan 4x 3y 2 2
C.
4 4 B. 3x 4y 2 0 dan 3x 4y 10 0
y 3x 3 dan y 3x 3
D. C. 3x 4y 2 0 dan 3x 4y 10 0
4 4
16 x 16 x D. 3x 4y 10 0 dan 3x 4y 2 0
E. y 3 dan y 3
9 9 E. 3x 4y 10 0 dan 3x 4y 2 0
34. Koordinat pusat hiperbola
x2 y2
3x2 4y2 12x 32y 10 0 adalah . . . . 38. Diketahui salah satu asimtot dari 1
4 b2
A. ( 2, 4) D. (2, 4) sejajar dengan garis 6x 3y 5 0. Nilai
B. ( 2, 4) E. (4, 2) b2 . . . .
C. (2, 4) 1
A. D. 16
35. Salah satu asimtot hiperbola
4
B. 1 E. 25
(x 3)2 ( y 1)2 C. 4
1
16 25
39. Persamaan garis singgung pada parabola
memotong sumbu-y di titik . . . .
y2 8x yang sejajar dengan garis 2x y 1 0
A. 0, 2 1 D. 0, 4 1 adalah . . . .
4 4
A. y 2x 1 D. 2y x 1
B. 0, 2 3 E. 0, 4 3 B. y 2x 1 E. y 2x 2
4 4
C. 2y x 1
C. 0, 4 1
2
40. Salah satu persamaan asimtot hiperbola
36. Persamaan hiperbola yang berfokus di titik (x 2)2 (y 1)2
( 8, 1) dan (18, 1) serta jarak kedua puncak 1 adalah . . . .
16 9
hiperbola 24 satuan adalah . . . .
A. 4x 3y 11 0
(x 1)2 (y 5)2 B. 4x 3y 5 0
A. 1
12 5 C. 3x 4y 6 0
(x 5)2 (y 1)2 D. 3x 4y 10 0
B. 1
144 25 E. 3x 4y 6 0
(x 1)2 (y 5)2
C. 1 41. Diketahui persamaan hiperbola
12 5
9x2 4y2 54x 8y 41 0
(y 1)2 (x 5)2 persamaan asimtot hiperbola tersebut
D. 1
25 16 adalah . . . .
(y 1)2 (x 5)2 A. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y 7 0
E. 1
144 25 B. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y 7 0
37. Persamaan garis asimtot hiperbola dengan C. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y 7 0
koordinat titik puncak ( 2, 1) dan (6, 1), serta D. 2x 3y 11 0 dan 2x 3y 7 0
salah satu fokus (7, 1) adalah . . . . E. 2x 3y 11 0 dan 2x 3y 1 0
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Garis x 2y 5 memotong lingkaran 2. Suatu garis lurus mempunyai gradien 3
x2
y 2
4x 8y 10 0 di titik A dan B. dan memotong parabola y 2x2 x 6 di
Panjang ruas garis AB adalah . . . . titik (2, 4). Titik potong lainnya mempunyai
koordinat . . . .
A. 4 2 D. 5 A. (4, 2) D. (3, 2)
B. 2 5 E. 4 B. (3, 1) E. ( 4, 22)
C. 10 (UMPTN 2001) C. (7, 1) (UMPTN 2001)
Bab 10 Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran 77
3. Koordinat titik pada parabola y x2 4x 1 A. 3y 4x 20 0
yang garisnya sejajar sumbu-x adalah . . . . B. 3y 4x 50 0
A. (3, 2) D. (2, 3) C. 4x 3y 10 0
B. (3, 2) E. (2, 3) D. 4x 3y 50 0
C. ( 3, 2) (UMPTN 2001) E. 4x 3y 10 0 (SPMB 2005)
4. Agar parabola y 3px2 2px 1 menyinggung
sumbu-x, maka p . . . . 9. Lingkaran L menyinggung sumbu-x,
A. 0 D. 1 dan 3 menyinggung lingkaran x 2 y2 4 dan
B. 3 E. 0 dan 3 melalui titik B(4, 6). Persamaan L dapat ditulis
C. 1 (SPMB 2002) sebagai . . . .
A. (x 4)2 (y 6)2 144
5. Diketahui dua buah lingkaran yang B. (x 3)2 (y 4)2 5
1x 3
menyinggung sumbu-y dan garis y . C. x2 y2 8x 6y 16 0
3
Jika pusat kedua lingkaran itu terletak pada D. x2 y2 24x 44 0
garis y 3 , maka jarak kedua pusatnya sama E. x2 y2 8x 6y 56 0 (SPMB 2005)
dengan . . . .
10. Jika garis y 7x 3 menyinggung parabola
A. 2 2 D. 3 2 2
y 4x ax b di titik (1, 4), a dan b konstanta,
B. 2 3 E. 5
maka a b . . . .
C. 4 (SPMB 2002)
A. 2 D. 1
6. Lingkaran x2 y2 2ax 2by c 0 menying- B. 1 E. 2
gung sumbu-y bila c sama dengan . . . . C. 0 (SPMB 2005)
A. ab D. a2
2
B. ab E. b2 11. Persamaan lingkaran yang pusatnya berimpit
C. a2b (SPMB 2003) dengan pusat 9x2 4y2 54x 16y 101 0
dan melalui titik (0, 6) adalah . . . .
7. Persamaan lingkaran dengan titik pusat berada
pada parabola y x2 dan menyinggung sumbu-x A. x2 y2 6x 4y 60 0
adalah . . . . B. x2 y2 6x 4y 50 0
A. x2 y2 2ax 2a2y a2 0 C. x2 y2 6x 4y 12 0
B. x2 y2 2ax 2a2y a2 0 D. x2 y2 6x 4y 12 0
C. x2 y2 2ax 2a2y a4 0 E. x2 y2 27x 8y 12 0 (SPMB 2006)
D. x2 y2 2ax 2a2y a2 0
E. x2 y2 2ax 2a2y a2 a4 0 12. Garis y x 8 memotong parabola
(SPMB 2004) y ax2 5x 12 di titik P( 2, 6) dan di titik
Q. Koordinat titik Q adalah . . . .
8. Garis g tegak lurus pada garis 3x 4y 5 0 A. (5, 13) D. (2, 10)
dan berjarak 2 dari pusat lingkaran B. (4, 12) E. (2, 9)
x2 y2 4x 8y 4 0. Persamaan salah satu C. (3, 11) (SPMB 2006)
garis g adalah . . . .
Intersection
Materi lingkaran berhubungan erat dengan materi sebelumnya, yaitu tentang persamaan garis
lurus, gradien, dan persamaan kuadrat.
78 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab
11 Suku Banyak
A. Persamaan Suku Banyak Jawab:
A B 4x
x 2 x 2 2
Misalkan dua buah suku banyak f(x) dan g(x) x 4
yang dinyatakan dalam bentuk umum sebagai A( x 2) B( x 2) 4x
berikut. ( x 2)( x 2) x 2
4
f(x) an xn an 1 xn 1 . . . a2 x2 2
Karena (x 2)(x 2) x 4 sehingga
a1 x a0
berlaku sifat persamaan suku banyak
g(x) bn xn bn 1 xn 1 . . . b2 x2 berikut.
b1 x b0
A(x 2) B(x 2) 4x
Jika f(x) g (x), maka an bn, an bn Ax 2A Bx 2B 4x
1 1,
. . . , a2 b2, a1 b1, a0 b0 (A B)x 2A 2B 4x
A B 4 . . . (1)
2A 2B 0 . . . (2)
Contoh 2A 2B
A B
1. Jika x2 4x 1 (x 1)(x 3) 2k, maka
nilai k adalah . . . . Sehingga dari Persamaan (1) diperoleh
1 A A 4
A. 2 D. 2A 4
2
B. 2 E. 4 A 2 B 2
1 Jadi, 3A 5B 3 2 5 2
C.
2 6 10
Jawab: 4
x2 4x 1 (x 1)(x 3) 2k Kunci: C
x2 4x 1 x2 4x 3 2k
Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak,
maka
3 2k 1
2k 4 k 2 B. Pembagian Suku Banyak dengan x k
Kunci: B
Misalkan f(x) a3x3 a2x2 a1x a0 dibagi
2. Jika 4x A B maka dengan (x k) maka diperoleh hasil bagi H(x) dan
x2 4 x 2 x 2
sisa S. Secara umum dituliskan sebagai berikut.
3A 5B adalah . . . .
A. 2 D. 4 f(x) (x h)H(x) S
B. 6 E. 2
Jika f(x) berderajat 3 dan (x k) berderajat 1,
C. 4
maka H(x) berderajat 2 dan sisa S adalah konstanta.
Bab 11 Suku Banyak 79
Sisa S dapat disajikan dalam bentuk bagan
berikut. C. Pembagian Suku Banyak dengan
ax b
k a3 a2 a1 a0
Bentuk umum suku banyak
b3k b2k b1k f(x) (x k)H(x) S
a3 a2 b3k a1 b2k a0 b1k b
Misalkan k , maka
a
b3 b2 b1 S b
f(x) x H ( x) S
a
Tanda artinya “ dikali k”. 1
f(x) (ax b)H(x) S
a
H ( x)
f(x) (ax b) S
Contoh a
1. Suku banyak x2 4x 8 dibagi dengan
x 1, maka sisanya adalah . . . . Contoh
A. 8 D. 5
B. 3 E. 8 Hasil bagi H(x) dan sisa S dari pembagian
suku banyak f(x) 3x3 x2 x 2 dengan
C. 1
(3x 2) adalah . . . .
Jawab: A. H(x) x2 x 1 dan S 4
B. H(x) x2 x 1 dan S 1
1 1 4 8
C. H(x) x2 x 1 dan S 6
D. H(x) x2 x 1 dan S 4
1 5
E. H(x) x2 x 1 dan S 1
1 5 3
Jadi, sisanya adalah 3. Jawab:
Kunci: B Bentuk 3 x 2 3 x 2
3
2. Suku banyak f(x) x3 x2 (a 2)x 4
2
dibagi dengan (x 1) memberikan sisa 9. 3 1 1 2
3
Maka nilai a adalah . . . .
A. 1 D. 4 2 2 2
B. 2 E. 5 3 3 3 4
C. 3
Jawab: 3 x2 3x 3
Jadi, H(x) x2 x 1 dan
3
1 1 1 a 2 4 S 4.
Kunci: D
1 2 a
1 2 a a 4
9
Jadi, S a 4 D. Pembagian Suku Banyak dengan
9 a + 4
ax 2 bx c
a 5 Suku banyak f(x) dibagi dengan ax2 bx c,
Kunci: E maka hasil bagi H(x) dan sisa S dapat ditentukan
dengan cara pembagian bersusun.
80 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh
f( 4) 2( 4)3 5( 4)2 4( 4) k 0
4 3
Sisa dari f(x) 2x 3x 5x 2 dibagi 128 80 16 k 0
dengan x2 x 2 adalah . . . . 32 k 0
A. 4x 6 D. 2x 4 k 32
B. 6x 4 E. 3x 4
Cara lain:
C. 2x 3
4 2 5 4 k
Jawab:
2x2 x 3
8 12 32
x2 x 2 2x4 3x3 5x 2
2x4 2x3 4x2 2 3 8 k 32
x3 4x2 5x 2 0
3 2
x x 2x Sisa: k 32 0 k 32
3x 2
3x 2 Kunci: E
3x2 3x 6
6x 4
Jadi, S 6x 4.
Kunci: B F. Akar-akar dari Persamaan Suku
Banyak
Misalkan f(x) adalah suku banyak. (x k) faktor
dari f(x) jika dan hanya jika f(x) 0.
E. Teorema Sisa
Contoh
Salah satu akar persamaan x3 7x 6 adalah
Misalkan f(x) adalah suku banyak, maka berlaku
1, akar-akar yang lain adalah . . . .
aturan berikut.
A. x 2 dan x 3
f(x) dibagi (x a), sisa f(a)
B. x 2 dan x 3
f(x) dibagi (x a), sisa f( a) C. x 1 dan x 2
b D. x 1 dan x 3
f(x) dibagi (ax b), sisa f
a E. x 2 dan x 3
f(x) habis dibagi oleh (x a), maka f(a) 0
Jawab:
1 1 0 7 6
Contoh 1 1 6
3 2 1 1 6 0
Suku banyak f(x) 2x 5x 4x k
habis dibagi dengan (x 4), maka nilai k
Hasil bagi H(x) x2 x 6
adalah . . . .
(x 3)(x 2)
A. 6 D. 24
Sehingga persamaan suku banyak dapat
B. 12 E. 32
dituliskan menjadi:
C. 18
(x 3)(x 2)(x 1)
Jawab: Jadi, akar-akar yang lain adalah x 3 dan
Suku banyak f(x) 2x3 5x2 4x k habis x 2.
dibagi (x 4), maka f( 4) 0. Kunci: A
Bab 11 Suku Banyak 81
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 3 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang pembagian suku
banyak.
• Soal nomor 4 – 11 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang kesamaan dan
pembagian suku banyak.
• Soal nomor 12 – 18 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari
semua materi suku banyak.
1. Nilai f(3) untuk suku banyak 6. Suku banyak f(x) x3 6x2 11x 5 dibagi
f(x) x4 2x3 3x2 1 dengan (x a)3 dan sisanya bx c, maka nilai
adalah . . . . a, b, dan c adalah . . . .
A. 55 D. 43 A. a 1, b 2, dan c 3
B. 51 E. 38 B. a 3, b 1, dan c 2
C. 47 C. a 2, b 1, dan c 3
D. a 1, b 3, dan c 2
2. Sisa pembagian dari suku banyak E. a 2, b 3, dan c 1
f(x) 2x 3 x2 5x 4 dibagi x 2
adalah . . . . 7. Suku banyak P(x) x3 (a 1)x2 bx 2a,
A. 4 D. 22 habis dibagi oleh x 2, dibagi x 2 sisanya
B. 6 E. 26 4. Nilai a dan b berturut-turut adalah . . . .
C. 18 A. 7 dan 3 D. 1 dan 3
B. 2 dan 6 E. 4 dan 8
3. Hasil bagi pada pembagian suku banyak C. 3 dan 5
f(x) x4 2x3 3x2 4x 7 dengan x 1
8. Suku banyak x3 Ax2 Bx 6 habis dibagi
adalah . . . .
(x 3x 2). Nilai A B . . . .
A. x3 3x2 6x 10
A. 5 D. 17
B. x3 2x2 x 6
B. 17 E. 19
C. x3 3x2 x 10
C. 5
D. x3 2x2 x 6
E. x3 3x2 6x 10 9. Persamaan x3 2x2 5x 6 0 mempunyai
akar-akar x1, x2, dan x3. Nilai x1 x2 x3 dan
4. Tiga kali nilai suku banyak x3 x2 kx 2
x 1 x 2 x 3 adalah . . . .
pada x 1 sama dengan nilai suku banyak pada
A. 2 dan 6 D. 5 dan 6
x 2. Nilai k yang memenuhi adalah . . . .
B. 6 dan 2 E. 5 dan 6
A. 4 D. 16
C. 2 dan 6
B. 8 E. 20
C. 12 10. Akar-akar persamaan x3 4x2 x 4 0
adalah x1, x2, dan x3. Nilai x12 x2 2 x3 2
5. Nilai suku banyak x 5 x2 ax b pada
adalah . . . .
x 1 adalah 16, dan pada x 2 adalah 26,
A. 2 D. 17
maka nilai a dan b adalah . . . .
B. 14 E. 18
A. a 6 dan b 10
C. 15
B. a 4 dan b 10
C. a 6 dan b 10 11. Jika p dan q merupakan akar-akar rasional dan
D. a 4 dan b 10 persamaan 3x4 8x3 7x 2 0, maka nilai
E. a 4 dan b 10 p q . . . .
82 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
8 5 A. x 7 D. 11x 13
A. D. B. 6x 3 E. 33x 39
3 3
C. 6x 21
7 7
B. E.
3 3 15. Suku banyak (x4 7x3 9x2 13x 7) dibagi
(x 1)(x 3) menghasilkan sisa . . . .
5
C. A. x 1 D. 2x 1
3
B. x 3 E. 2x 3
12. Dua akar dari x4 ax3 (a 8)x2 3x b 0 C. 2x 1
adalah 1 dan 1. Akar-akar yang lain 16. Akar real persamaan x5 2x4 4x2 ax b
adalah . . . . 0 adalah x1 1, x2 3, dan x3. Nilai dari
A. x 5 dan x 2 x1 x2 2x3 . . . .
B. x 2 dan x 5 A. 0 D. 3
C. x 5 dan x 2 B. 1 E. 4
D. x 5 dan x –2 C. 2
E. x 10 dan x 1 17. Diketahui persamaan x3 ax2 x b 0. Jika
13. Jika f(x) dibagi (x 2) sisanya 3, dibagi (x 3) 1, 2, dan adalah akar-akar persamaan
sisanya 7, maka jika f(x) dibagi (x 2)(x 3) tersebut, maka nilai dari 2 2 2
. . . .
sisanya adalah . . . . A. 3 D. 12
A. 2x 1 D. x 2 B. 6 E. 14
B. 2x 1 E. 2x 1 C. 8
C. x 2 18. Suku banyak x4 ax3 2x2 bx 5 jika dibagi
oleh (x 2) bersisa 7, sedangkan suku banyak
14. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x 1)
bersisa 8 dan dibagi (x 3) bersisa 4. Suku tersebut dibagi (x 3) akan memberikan sisa
banyak g(x) jika dibagi (x 1) bersisa 9 dan 182. Nilai dari a2 4ab 4b2 . . . .
jika dibagi (x 3) bersisa 15. Jika h(x) f(x)g(x), A. 1 D. 16
maka sisa pembagian h(x) oleh (x2 2x 3) B. 4 E. 25
adalah . . . . C. 9
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1 4 2. Diketahui h(x) x2 3x 4 merupakan salah
1. f(x) x 2ax2 2a2 habis dibagi (x 4)
2 satu faktor dari g(x) x4 2x3 ax2 14x b.
untuk a . . . . Jika g(x) dibagi dengan x 1 akan tersisa . . . .
A. 8 D. 2 A. 0 D. 12
B. 4 E. 4 B. 3 E. 24
C. 2 (SPMB 2005) C. 9 (SPMB 2006)
Intersection
Agar lebih mudah memahami materi suku banyak ini, kamu harus memahami materi sistem
persamaan linear dan fungsi kuadrat. Materi tentang suku banyak ini sering juga digunakan
dalam ilmu Fisika.
Bab 11 Suku Banyak 83
Bab
12 Fungsi Komposisi
dan Fungsi Invers
A. Fungsi Komposisi (f g)( x) f(g(x)) f(x2 1)
2
2(x 1) 1 2x2 2 1
f
g 2x2 1
(f g)(2) 2(2)2 1
y g(x) 2 4 1 8 1 9
x z f(y)
Kunci: A
A B C
h 2. Jika f(x) 2x dan f(g(x)) 10x 8, maka
g(x) adalah . . . .
g: A B, maka y g(x)
A. 5x 4 D. 20x 16
f: B C, maka z f(y)
B. 5x 4 E. 20x 16
Fungsi komposisi f dan g dapat dituliskan C. 4 5x
h(x) (f g)(x) f(g(x)) Jawab:
f(x) 2x . . . (i)
f g f(g(x)) 10x 8 . . . (ii)
Substitusi (i) ke (ii)
y f(x) z g(y) 2g(x) 10x 8
x
g(x) 5x 4 4 5x
A B C Kunci: C
h
f: A B, maka y f(x)
g: B C, maka z g(y)
Fungsi komposisi g dan f dapat dituliskan
h(x) ( g f )( x) g(f(x)) B. Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Contoh 1. Tidak Komutatif
1. Fungsi f : R R dan g: R R di mana (f g)( x) ( g f )( x)
f(x) 2x 1 dan g(x) x2 1. Maka
( f g)(2) adalah . . . . 2. Asosiatif
A. 9 D. 19
B. 11 E. 22 ( f ( g h))( x) (( f g) h)( x)
C. 15
3. Identitas
Jawab:
f(x) 2x 1 dan g(x) x2 1 (f I ))( x) ( I f )( x) f ( x)
84 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh
Jawab:
Fungsi-fungsi f, g, dan h adalah pemetaan 2x 3
dari R ke R dengan f(x) x 4, g(x) 2 x, f(x) , x 1
x 1
dan h(x) x2 x 1, maka (( f g) h)( x) 2x 3
y
adalah . . . . x 1
A. x2 x 5 D. 7 x x2 y(x 1) 2x 3
B. x2 x 7 E. 5 x x2 yx y 2x 3
2
C. 5 x x (y 2)x y 3
Jawab: y 3
x
Misal: z(x) (f g)( x) y 2
1 x 3
f (g(x)) f(2 x) f (x) , x 2
(2 x) 4 x 2
6 x
(f g) h ( x) ( z h)( x) z(h(x))
2
I N G A T
z(x x 1)
2 ax b
6 (x x 1)
Jika f(x) , maka
6 x2 x 1 cx d
5 x x2 dx b
1
Kunci: E f (x)
cx a
1
( x 2) 3 x 5
f (x 2) , x 0
( x 2) 2 x
Kunci: D
C. Fungsi Invers x 2 3
2. Diketahui f(x , x , dan
2)
2x 3 2
1
1
f (x) adalah invers fungsi f(x). Rumus
Untuk menentukan rumus fungsi invers f (x) f 1(3x 1) adalah . . . .
jika f(x) diketahui adalah sebagai berikut.
3x 1 1
Ubah persamaan y f(x) dalam bentuk x sebagai A. , x
6x 1 6
fungsi y.
3x 1 1
Bentuk x sebagai fungsi y sama dengan f 1
(y). B. , x
6x 1 6
1 1
Ganti f (y) dengan x jadi f (x). 6x 1 , x 1
C.
3x 1 3
6x 1 1
D. , x
Contoh 3x 1 3
3x 1 1
2x 3 E. , x
1. Fungsi f ditentukan oleh f(x) 6x 1 6
x 1
1
dengan x 1. Jika f invers dari f, maka Jawab:
f 1(x 2) adalah . . . . x 2 3
f(x , x
2)
x 1, x x 5 2x 3 2
A. 5 D. , x 0
x 5 x x 2
f(x 2)
2( x 2) 1
x x 5
B. , x 5 E. ,x 1 x
x 5 x 1 f(x)
2x 1
x x
C. , x 1
x 1 f 1(x)
2x 1
Bab 12 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 85
(3 x 1) 4. Fungsi f : R R dan g : R R dengan
1
f (3x 1) 2
2(3 x 1) 1 f(x) 3x 4 dan g(x) , x 1, maka
x 1
3x 1 1 ( g f ) 1 (x 2) . . . .
, x
6x 1 6
5x 12
A. ,x 2
Kunci: B 3x 6
3. Fungsi f : R R dan g: R R ditentu- 6x 3 5
kan dengan B. ,x
2x 5 2
5 3x 4
f(x) , x 0 dan ( f g)( x) ,
x 2x 3x 6 12
1
x 0, maka g ( 5) . . . . C. ,x
5x 12 5
A. 0,2 D. 1,2
B. 0,5 E. 2,8 2x 5 1
D. ,x
C. 0,8 6x 3 2
Jawab: 5x 12
E. ,x 2
5 3x 6
f(x) , x 0
x
Jawab:
3x 4 3x 4
( f g)( x) f ( g( x))
2x 2x ( g f )( x) g(f (x))
5 3x 4 g(3x 4)
g ( x) 2x 2 2
10 x 4 (3 x 4) 1 3x 5
g(x) , x
3x 4 3
5x 2
1 4x 10 ( g f ) 1 ( x)
g (x) , x 3x
3 x 10 3
4( 5) 5( x 2) 2
20 ( g f ) 1 (x
g 1( 5) 2) 3( x 2)
3( 5) 10 15 10
20 4 5 x 12
0,8 , x 2
25 5 3x 6
Kunci: C Kunci: E
86 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Nomor 1 – 9 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang fungsi komposisi.
• Nomor 10 – 18 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari sifat-sifat komposisi.
• Nomor 19 – 22 merupakan ketegori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari semua
materi pada bab ini.
1. Jika f(x) x3 1 dan g(x) 2x 5, maka 6. Diketahui f : R R, g: R R dengan
( g f )( x) adalah . . . . g(x) 3x 7 dan ( g f )( x) 15x2 6x 19.
A. 2x3 1 D. x3 1 Rumus untuk f(x) adalah . . . .
B. 2x 3
3 E. x 3
5 A. 5x2 6x 12 D. 5x2 2x 4
2 2
C. 2x3 3 B. 5x 6x 4 E. 5x 2x 3
2
C. 5x 3x 4
2. Jika f : R R dengan f(x) x 4 dan
g: R R dengan g(x) x 2
1, maka 7. Diketahui fungsi f(x) 2x 3 dan g(x) 3x 1.
(f g)( x 3) . . . . Nilai x yang memenuhi ( f g)( x 4) f(x) 2g(x)
A. x2 3x D. x2 6x 6 adalah . . . .
B. x2 6 E. x2 6x 10 A. 12 D.
1
C. x2
3x 6 2
B. 1 E. 12
3. Diketahui: f(x) 2x 1 C. 2
(f g)( x 1) 2x2 4x 1
8. Diketahui f(x) x 1 dan ( f g)( x) 3x2 4,
Nilai g( 2) . . . .
maka g(4) . . . .
A. 5 D. 1
A. 15 D. 52
B. 4 E. 5
B. 16 E. 57
C. 1
C. 51
4. Diketahui fungsi f(x) 6x 3, g(x) 5x 4, dan
9. Diketahui: g(x) x 4
(f g)( a) 81. Nilai a . . . .
(f g)( x) x2 3x 2
A. 2 D. 2
Nilai f(0) sama dengan . . . .
B. 1 E. 3
A. 20 D. 8
C. 1
B. 16 E. 6
5. Diketahui f : R dan g : R R, didefinisikan C. 15
3
dengan f(x) x 4 dan g(x) 2 sin x. Nilai
10. Jika f(x) 10 3x2, g(x) x 5, dan h(x) 4x,
( f g) 1 adalah . . . . maka (h g f )(2) . . . .
2
A. 4 D. 6 A. 60 D. 48
B. 2 E. 12 B. 48 E. 12
C. 3 C. 12
Bab 12 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 87
11. Jika fungsi g: R R ditentukan oleh 16. Diketahui fungsi f yang dinyatakan dengan
g(x) x2 x 1 dan f : R R sehingga x 4
(f g)( x) 3x2 3x 7, maka f(x) . . . . f(x 3) untuk x 5 dan f 1(x) adalah
2x 5 2
A. 3x 4 D. 3x 4 invers dari f(x). Rumus fungsi f 1(x) . . . .
B. 3x 4 E. 3x 6 1 x 1 5x 4 1
A. , x D. , x
C. 3x 4 1 2x 2 2x 1 2
1 x 1 5x 4 1
2 3x 1 B. , x E. , x
12. Diketahui f ( x) , x . Jika f 1 1 2x 2 2x 1 2
4x 1 4
adalah invers fungsi f, maka f 1
(x 2) . . . . 1 x 1
C. , x
2x 1 2
4 x 5
, x
A. 4x 5 4 17. Jika ( f g)( x) 4x2 8x 3 dan g(x) 2x 4,
maka f 1(x) . . . .
x 4 5
B. , x A. x 9 D. 2 x 1
4x 5 4
x 2 3 B. 2 x E. 2 x 7
C. , x 2
4x 3 4 C. x 4x 3
x 3
D. , x 18. Jika ( f g)( x) x2 4x dan g(x) x 1, maka
4x 3 4
1
f (x) . . . .
x 5
E. , x A. 2 x D. 3 x 2
4x 5 4
B. 3 x 4 E. 4 3x
2x 3 C. x2 6x 5
13. Diketahui f ( x) , x 4 , dan g(x) 2x,
x 4 19. Fungsi f : R R dan g : R R dirumuskan
1
maka ( g f ) ( x) . . . . dengan f(x) 2x 1 dan g(x) 3x 5, maka
x 2 1 4x 10 ( g f ) 1 ( a) 2. Nilai a adalah . . . .
A. ,x D. , x 3
3x 1 3 3 x A. 10 D. 6
2x 5 2 4x 10 B. 6 E. 10
B. , x E. , x 3
3x 2 3 3 x C. 2
4x 6 20. Jika f ( x) x 1 dan ( f g)( x) 2 x 1,
C. , x 4
x 4 maka fungsi g adalah g(x) . . . .
2x 3 A. 2x 1 D. 4x 3
14. Diketahui: f : x , x 4
x 4 B. 2x 3 E. 5x 4
C. 4x 5
( g f )( x) x2 7x 8
5 21. Diberikan fungsi f dan g dengan f(x) 2x 1
Nilai dari g . . . .
8
x
A. 8 D. 0 dan ( f g)( x) , x 1 , maka invers
x 1
B. 6 E. 4 dari fungsi adalah g 1(x) . . . .
C. 4 x
A. , x 1
1 x 1
15. Fungsi invers dari f ( x) (1 x3 ) 5 2 adalah 2x 1
1 B. , x 0
f (x) . . . . 2x
1 5 x 1
C. , x 0
A. 1 (x 2)5 3
D. 1 (x 2) 3 x
5
2x 1
1
D. , x
B. 1 (x 2)5 3
E. (x 2) 3 2x 1 2
5 2x 1
E. , x 0
C. 1 (x 2) 3 2x
88 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
22. f(x) x 2 untuk x 0 A. 1 D. 8
15 B. 3 E. 10
g(x) untuk x 0
x C. 5
1 1
Dengan demikian f g ( x) 1 untuk x
sama dengan . . . .
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Jika f(x) 2 x, g(x) x2 1, dan h(x) 3x, A. x 9 D. 2 x 1
maka (h g f )(3) . . . .
B. 2 x E. 2 x 7
A. 80 D. 80
C. x2 4x 3 (UMPTN 2001)
B. 6 E. 81
C. 6 (UMPTN 2001) 3. Jika f(x) 3x 1
, maka f 1(81) . . . .
A. 1 D. 4
2. Jika ( f g)( x) 4 x2 8x 3 dan g(x) 2x 4, B. 2 E. 5
1 C. 3 (UMPTN 2001)
maka f (x) . . . .
Intersection
Untuk lebih memahami bab ini, kamu harus memahami materi persamaan dan fungsi kuadrat,
sistem persamaan linear, dan suku banyak.
Bab 12 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 89
Bab
13 Limit Fungsi
A. Pengertian Limit di Suatu Titik B. Limit Fungsi Aljabar
Misalkan fungsi f(x) didefinisikan di sekitar 1. Menentukan limit fungsi aljabar berbentuk
x a, maka lim f ( x) L jika dan hanya jika f ( x)
x a lim
x a g ( x)
lim f ( x) lim f ( x) L Jika dengan cara substitusi langsung diperoleh
x a x a
f ( x) 0
l im maka perhitungan limit dilakukan
lim f ( x) L biasa disebut limit kiri x a g ( x) 0
x a dengan cara:
lim f ( x) L biasa disebut limit kanan
x a a. Pemfaktoran
x2 4x 5 ( x 5)( x 1)
l im l im
x 1 x 1 x 1 x 1
Contoh l im x 5 1 5
x 1
2 x2 6 x 6
Nilai l im dengan x 0
x 0 4x
adalah . . . .
b. Substitusi langsung
3
A. 3 D. Misalnya: l im x 5 3 5 2
2 x 3
3 c. Mengalikan dengan akar sekawan
B. E. 3
2
C. 0 x 1 x 1 x 1
lim
Jawab:
x 1 x2 1 x 1 x 1
2 x2 6 x 2 x( x 3) (x 1) x ( x 1)
l im l im x
x 0 4x x 0 4x x 1
x 3
l im d. Aturan L’Hospital
x 0 2
0 3 f ( x) f ( x)
2 lim lim
x a g ( x) x a g ( x)
3
2 x3 1 3 x2 3
Kunci: B lim 2
lim 2 3
x 2 x 1 x 2 2x 2
90 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh f ( x)
lim 0
x g ( x)
3
x 27
Nilai dari l im 2 adalah . . . .
x 3 x 3x
A. 9 D. 3 I N G A T
B. 3 E. 9
C. 0 lim ax2 bx c ax2 dx e
x
Jawab: b d
3 2 2 a
(x 27) (x 3)( x 3x 9)
l im 2 l im
x 3 x 3x x 3 x( x 3)
x2 3x 9
l im Contoh
x 3 x
2
( 3) 3( 3) 9 8 x3 2 x2 x 1
3 l im 2 adalah . . . .
x 2 7x 5x 4 x3
9 9 9 27
9 A. 2 D. 2
3 3
Kunci: A 1
B. E. 4
2
2. Menentukan limit fungsi aljabar berbentuk 1
f ( x) C.
lim 2
x g ( x)
Jawab:
a. Membagi dengan pangkat tertinggi Karena f(x) dan g(x) mempunyai pangkat
Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) sama tertinggi 3, maka f(x) dan g(x) masing-masing
dibagi x3.
dengan pangkat tertinggi variabel x pada g(x),
maka 8 x3 2 x2 x 1
l im 2
f ( x) koefisien variabel x n dari f ( x)
x 2 7x 5x 4 x3
lim
x g ( x) koefisien variabel x n dari g( x) 2 x2 x 1
8
3 3
x x x3
l im
dengan n adalah pangkat tertinggi variabel x. x 2 7x 5x 2
4
Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih x3 x3 x3
besar dari pangkat tertinggi variabel x pada 8 0 0 0
g(x) dan koefisien variabel x yang pangkatnya 0 0 0 4
tertinggi pada f(x) bernilai positif, maka 8
2
f ( x) 4
lim Kunci: A
x g ( x)
Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih
besar dari pangkat tertinggi variabel x pada
b. Mengalikan dengan faktor lawan
g(x) dan koefisien variabel x yang pangkatnya
tertinggi pada f(x) bernilai negatif, maka Bentuk l im [ f ( x) g( x)] dapat dicari dengan
x
f ( x) f ( x) g ( x)
lim cara mengalikan sehingga bentuk limit
x g ( x) f ( x) g ( x)
itu menjadi
Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih
kecil dari pangkat tertinggi variabel x pada g(x), f ( x) g ( x) f 2 ( x) g 2 ( x)
l im [ f ( x) g( x)] l im
maka x f ( x) g ( x) x f ( x) g ( x)
Bab 13 Limit Fungsi 91
Contoh l im f ( x)
f ( x) x c
l im dengan syarat (T. 7)
x 2
4x 5 x 2
6x 3 adalah . . . . x c g ( x) l im g( x)
l im x c
x n
n
A. D. 5 l im ( f ( x)) l im f ( x) (T. 8)
B. 0 E. 10 x c x c
n f ( x) f ( x) ,
C. 1 l im n l im dengan syarat
x c x c
Jawab:
l im f ( x) 0 untuk n genap (T. 9)
x c
2 2
l im x 4x 5 x 6 x 3)
x
lim x2 4x 5 x2 6x 3
Contoh
x
x2 4x 5 x2 6x 3 Jika l im f (x) 2 dan l im g(x) 32, maka
x 3 x 3
x2 4x 5 x2 6x 3 3
nilai l im f ( x) 5 g( x) adalah . . . .
x 3
( x2 4x 5) ( x 2 6 x 3)
l im A. 64 D. 16
x x2 4x 5 x2 6x 3 B. 56 E. 8
10 x 8 C. 36
l im
2
x x 4x 5 x2 6x 3 Jawab:
8 3
10 l im f ( x) 5 g ( x)
x x 3
l im
x 4 5 6 3 T .6
1 1
x x2 x x2 3
l im f ( x) l im 5 g ( x)
10 0 x 3 x 3
1 0 0 1 0 0 T .8
10 10 3
5
1 1 2 l im f ( x) l im 5 g ( x)
x 3 x 3
Kunci: D
T .9
3
l im f ( x) 5 l im g ( x)
x 3 x 3
C. Teorema Limit 2 3 5
32 8 2 16
3 5
Jadi, l im f ( x) g( x) 16 .
Berikut ini adalah teorema limit yang sering x 3
digunakan untuk menentukan limit fungsi aljabar.
Kunci: D
Misalkan n bilangan asli, k konstanta, f dan g
fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:
lim k k (T.1)
x c
lim c c (T.2)
D. Limit Trigonometri
x c
lim kf ( x) k lim f ( x) (T.3) sin x x
x c x c l im 1 l im 1
x 0 x x 0 sin x
lim [ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x) (T.4)
x c x c x c sin ax ax
l im 1 l im 1
l im [ f ( x) g( x)] l im f ( x) l im g( x) (T.5) x 0 ax x 0 sin ax
x c x c x c
tan x x
l im [ f ( x) g( x)] l im f ( x) l im g( x) (T.6) l im 1 l im 1
x c x c x c x 0 x x 0 tan x
92 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
tan ax
1
ax
1
Contoh
l im l im
x 0 ax x 0 tan ax
sin ax a ax a cos 4 x 1
l im l im Nilai dari l im 2 adalah . . . .
x 0 bx b x 0 sin bx b x 0 4x
tan ax a ax a A. D. 2
l im l im
x 0 bx b x 0 tan bx b B. 2 E. 4
C. 0
Jawab:
I N G A T cos 4x 1 2 sin22x
sin 2x 2 sin x cos x
cos 2x cos2x sin2x 1 2 sin2x (1 2 sin 2 2 x) 1 2 sin 2 2 x
lim lim
cos nx 1 - 2 sin2 n x
x 0 4 x2 x 0 4 x2
2
sin 2 2 x
2 lim
cos 2 x x 0 4 x2
cos x sin x 2
cos x sin x sin 2 x
2 lim lim
1x 0 2x
1 cos x 2 sin2 x 0 x
2 2
1 cos 2x (sin x2
cos2x) (cos2x 2(1)
2 2
sin x)
6 cos2x 3(2 cos2x 1) 3 · cos 2x Kunci: D
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 5 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari limit di suatu titik dan
pemfaktoran pada persamaan kuadrat.
• Soal nomor 6 – 14 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari dalil L’Hospital, limit
trigonometri, dan cara menentukan limit fungsi aljabar bentuk l im f ( x) .
x
• Soal nomor 15 – 26 merupakan kategori soal yang sulit, pelajari materi trigonometri dan semua
tentang limit fungsi.
x2 x 12 x2
1. l im . . .. 2. Nilai lim . . . .
x 3 x 3 x 0 1 1 x2
A. 0 D. 7 A. 2 D. 2
B. 3 E. 11 B. 0 E. 3
C. 5 C. 1
Bab 13 Limit Fungsi 93
3. Nilai lim
6 x 1
. . . . 4x 6 x2 3x 18
2 x 2 10. lim . . . .
x 2 x 4 x 3 3 x
1 1 13
A. D. A. 1 D.
2 4 4
1 1 1 27
B. E. B. E.
4 2 2 4
1
C. 0 C.
4
t3 8
4. lim . . . . sin 5 x
t 2 t2 t 6 11. lim . . . .
x 0 sin 3 x
5
A. 0 D. 5
4 A. 1 D.
4 3
B. E. 3
3 B. E. 1
5
12 C. 0
C.
5
12. lim 3x 2 9 x2 2x 5 . . . .
f ( x) f (2) x
5. Jika f(x) x2, maka l im . . . .
x 2 5
21
x 2
A. D.
6 3
A. 0 D. 16
5
B. 4 E. B. 21 E.
3 6
C. 8
C. 12
3
(2 x 1)2 9
6. l im . . . . 4x
x 1 x2 2x 6 13. lim . . . .
x 0 x sin 3 x
A. 3 D. 6
3
B. 0 E. 8 A. D. 3
4
C. 3 B. 1 E. 4
x n
x 2 4
7. l im adalah . . . . C.
x 1 3
x 1
x 1
14. lim . . . .
A. 2n 1 D. n 2 x 1 1 x
B. 2n 1 E. n 2 A. 2 D. 1
C. 2 n B. 5 E.
C. 0
8. lim (2 x 5)(2 x 1) (2 x 5) . . . .
x sin 2 x
2
A. 2 D. 7 15. l im . . . .
x x tan x
B. 3 E. 14 2 2 2
C. 7 1
A. 1 D.
4x 2
9. lim . . . . 1
x 1 2x 1 2x B. E. 1
2
A. 0 D. 2 C. 0
1
B. E. sin 4 x sin 4 x cos 2x
2
16. lim . . . .
C. 1 x 0 6x3
94 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
3 2 x tan x
A. 2 D. 22. Nilai lim . . . .
2 x 1 cos x
5 A. 4 D. 1
B. E. 0
4 B. 1 E. 4
4 C. 0
C.
3
17. Nilai lim x 5 2x 1 . . . . 2 sin x cos x 1
x
23. lim 2
. . . .
x
4
6 cos x 3
A. 1 D. 2 2 1
B. 0 E. A. D.
3 3
C. 1 1 2
B. E.
4 x2 3 3
18. Nilai lim . . . . C.
x 0 1 cos 2 x
A. 2 D. 2 sin 3 x sin 3 x cos 2 x
24. lim . . . .
B. 1 E. 4 x 0 4 x3
C. 1 2
A. 3 D.
1 cos2 ( x 2) 3
19. lim . . . . 3 1
x 2 2 B. E.
3x 12 x 12
2 2
A. 0 D. 1 3
C.
1 4
B. E. 3
3 cos x sin x
1 25. lim . . . .
C. x
4
2x 2
3
A. D. 2
x
20. Nilai lim . . . .
x 2( x ) tan ( x ) 1 2
B. 2 E.
2
1 1
A. D. C. 1
2 3
1 2 cos2 ( x)
B. E.
5 26. lim . . . .
4 x (2 x ) tan ( 2 x)
1 2
C.
4 1
A. 1 D.
x tan 2 x 2
21. Nilai lim . . . . B. 1 E. 0
x 0 1 cos 6 x
1 1
1 C.
A. D. 2
9 3
1 2
B. E.
6 3
2
C.
9
Bab 13 Limit Fungsi 95
S oal-soal UMPTN dan SPMB
9 x2 sin x sin 3 x
1. lim .... 7. lim ....
x 0 x cos x
x 3 4 x2 7 A. 0 D. 3
A. 0 D. 8 B. 1 E. 4
B. 5 E. C. 2 (SPMB 2002)
C. 6,5 (UMPTN 2001) sin x
8. lim ....
x 2
x 1 x 1 cos x
2 sin 1
2 A. 0 D.
2. lim
x 0 x sin x 2
B. E. 4
A. 0 D. 2 C. 1 (SPMB 2002)
1
B.
2
E. 4 x2 16
9. lim . ...
C. 1 (UMPTN 2001) x 4 x 4
A. D. 1
1 sin 2 x
3. lim B. 8 E. 0
x
4
cos2 2 x C. 4 (SPMB 2002)
1 1
A. D. x 1
2 4 10. lim ....
x 1 1 x
1
B. 0 E. A. 2 D. 1
16 B. 5 E.
1
C. (UMPTN 2001) C. 0 (SPMB 2002)
2
2
4 x 2
x 1 11. lim ....
4. lim .... x 0 x
x 1 3 x2 23 x 1 1
A. 0 D.
A. 0 D. 9 4
1 1
1 B. E.
B. E. 4 2
3 1
C. 3 (UMPTN 2001) C. (SPMB 2002)
2
4x
5. lim .... x2 3 a x 3a
x 0 x sin 3 x 12. lim ....
x a x a
3 A. a D. a 3
A. D. 3
4 B. a 1 E. a 4
B. 1 E. 4 C. a 2 (SPMB 2002)
4
C. (SPMB 2002)
3
sin x
2
x2 sin x tan x 13. lim ....
6. lim .... x x
x 0 1 cos 2 x 2
2 4
A. 0 D. 2 1
A. 4 D.
1 2
B. E. 4 1
2 B. 2 E.
C. 1 (SPMB 2002) 4
C. (SPMB 2003)
96 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
19. Jika garis y bx 1 memotong parabola
14. lim x 2x x .... 2
x y x x a di titik (1, 0), maka nilai
1 x2 x a
A. 2 2 D. 2 lim ....
2 x 1 bx 1
B. 2 E. 0
C. (SPMB 2003) A. 3 D. 1
2
B. 1 E. 3
x 3 x 3 C. 0 (SPMB 2005)
15. lim ....
x 3 x 3 1 cos x
20. lim ....
A. 0 D. 12 x 0 2 x sin 3 x
1
B. 3 E. 15 A. 0 D.
C. 6 (SPMB 2004) 3
1 1
B. E.
1 1 12 2
16. lim x2 sin tan .... 1
x x x C. (SPMB 2005)
A. 1 D. 1 6
B. 0 E. 2 21. lim x 1 x x 1 ....
1 x
C. (SPMB 2005)
2 A. 0 D. 1
1
tan 2 2x B. E. 3
17. lim .... 2
x 2 x2 2x 1
C. 3 (SPMB 2006)
1 1 3
A. D.
4 6
2
1 1 1
B. E. x sin x
8 4 2
C. 0 (SPMB 2005) 22. lim ....
x 1 cos2 x
2
x2 sin x 3 cos 2 x 6 A. 1 D. 1
18. lim ....
x 3 9 3x 1
A. 3 D. 3 B. E. 2
2
B. 1 E. C. 0 (SPMB 2006)
C. 0 (SPMB 2005)
Intersection
Materi limit fungsi akan lebih mudah dipelajari apabila kamu mempelajari dan memahami materi
tentang pemfaktoran pada persamaan kuadrat dan trigonometri.
Bab 13 Limit Fungsi 97
Bab
14 Turunan
8. Aturan hasil bagi
A. Aturan Turunan Jika f(x) dan g(x) dengan g(x) 0 mempunyai
turunan f (x) dan g (x) maka
1. Aturan fungsi konstan
f f ( x) g( x) f ( x) g ( x)
Jika f(x) k dengan k konstanta, maka ( x)
g 2
g( x)
f (x) 0
2. Aturan fungsi identitas 9. Aturan rantai
Jika f(x) x, maka Jika f(x) [u(x)]n, dengan n bilangan real,
dan mempunyai turunan u (x), maka
f (x) 1
f (x) n[u(x)]n 1
· u (x)
3. Aturan pangkat
Jika f (x) axn, dengan a 0 dan n bilangan 10. Aturan fungsi trigonometri
asli, maka Jika f(x) sin x, maka
f(x) naxn – 1
f (x) cos x
4. Aturan kelipatan konstanta Jika g(x) cos x, maka
Jika f(x) ku(x) dengan k suatu konstanta dan g (x) sin x
u(x) mempunyai turunan u x), maka Jika h(x) tan x, maka
f (x) ku (x) 1
h (x) atau h(x) sec2x
cos2 x
5. Aturan jumlah
Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai Jika h(x) cotan x, maka
turunan f(x) dan g(x), maka
h (x) cosec2x
(f g) (x) f (x) g (x)
Contoh
6. Aturan selisih 6
1. Turunan dari fungsi f(x) 2x 1
Jika f (x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai x
turunan f (x) dan g (x) maka adalah . . . .
3 3
(f g) (x) f (x) g (x) A. 2 D. 2
x3 x
7. Aturan hasil kali 3 3
B. 2 E. 2
Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai x x
turunan f (x) dan g (x), maka 3
C. 2
(f · g) (x) f (x)g(x) f(x)g (x) x3
98 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Jawab: B. Persamaan Garis Singgung pada
6 6 Kurva
f(x) 2x 1 2x 1
1
x
x2 Persamaan garis yang melalui titik A(x1, y1),
1 dengan gradien m ditentukan dengan rumus berikut.
2x 6x 2 1
1 y y1 m(x x1)
1 1
f (x) 2 6x 2
2
Jika titik A(x1, y1) terletak pada kurva y f(x),
3
2 3 3 maka persamaan garis singgung kurva yang
2 3x 2 3
2
x3 melalui titik A(x 1, y 1) ditentukan oleh rumus
x2
y y1 m(x x1) dengan gradien m f (x1) atau
Kunci: C
dy
2. Turunan dari fungsi f(x) (2x3 5)10 m dx x x1
adalah . . . .
A. 10(2x3 5)9 D. 60x2(2x3 5)9
B. 20(2x3 5)9 E. 80x2(2x3 5)9 Contoh
2 3 9
C. 20x (2x 5)
Persamaan garis singgung kurva
2
Jawab: y 4x 2x 3 yang melalui titik ( 1, 2)
f(x) y (2x3 5)10 adalah . . . .
Misalkan u 2x3 5 maka A. 6x y 4 0 D. x 6y 4 0
dy B. 6x y 4 0 E. x 6y 4 0
y u10 10u9
du C. x 6y 4 0
du
6x2
dx Jawab:
dy du dy
y m f (x1) 8x1 2
du dx dx x x1
10(2x3 5)9 · 6x2 60x2(2x3 5)9 f (1) 8( 1) 2
Cara lain: 8 2
Dengan aturan rantai 6
y [u(x)]n Persamaan garis singgung yang melalui titik
y n[u(x)]n 1 · u (x) ( 1, 2) adalah
10(2x3 5)9 · 6x2 60x2(2x3 5)9 y 2 6(x ( 1))
Kunci: D y 2 6(x 1)
y 6x 6 2
3. Turunan dari fungsi f(x) cos 4 x
adalah . . . . y 6x 4
A. 4 cos3x sin x D. 4 cos x sin3x 6x y 4 0
3
B. 4 cos x sin x E. 4 cos3x sin3x Kunci: B
3
C. 4 cos x sin x
Jawab:
f(x) y cos4x
(cos x)4
u4, dengan u cos x C. Fungsi Turun dan Fungsi Naik
dy du
4u3, sin x
du dx Kurva fungsi y f(x) pada suatu interval.
dy du
y • Jika f (x) 0 pada suatu interval, maka kurva
du dx
4 cos3x · ( sin x) 4 cos3x sin x f(x) naik.
Kunci: A • Jika f (x) 0 pada suatu interval, maka kurva
f(x) turun.
Bab 14 Turunan 99
Contoh Contoh
Diketahui fungsi f(x) x3 3x2 72x 15. Diketahui jumlah dua buah bilangan sama
Kurva f(x) naik pada inteval . . . . dengan 30. Jika perkalian salah satu bilangan
A. 6 x 4 dengan kuadrat bilangan yang lainnya
B. 4 x 6 mencapai nilai maksimum, maka nilai
C. x 4 atau x 6
maksimum fungsi tersebut adalah . . . .
D. x 6 atau x 4
A. 1.000 D. 4.000
E. x 6 atau x 4
B. 2.000 E. 5.000
Jawab: C. 3.000
f(x) x3 3x2 72x 15
f (x) 3x2 6x 72 Jawab:
f(x) naik, syaratnya f (x) 0. Misalkan salah satu bilangan itu adalah c,
3x2 6x 72 0 maka bilangan yang lain 30 c. Perkalian
3(x2 2x 24) 0 salah satu bilangan dengan kuadrat bilangan
(x 6)(x 4) 0 lainnya dirumuskan sebagai berikut.
x 6 atau x 4 6 4 A (30 c)c2
Jadi, fungsi f(x) x3
3x 2
72x 15 naik 30c2 c3
pada interval x 6 atau x 4. dA
0 60c 3c2 0
Kunci: D dc
3c(20 c) 0
c1 0 atau c2 20
Nilai A maksimum diperoleh bila c 20.
D. Nilai Maksimum dan Minimum
A (30 20)(20)2
Suatu Fungsi
10 400
Misalkan A adalah fungsi x. Untuk mencari 4.000
nilai maksimum atau minimum dari A tersebut, Kunci: D
dA
syaratnya adalah A 0 atau 0.
dx
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 7 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang aturan turunan.
• Soal nomor 8 – 15 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang turunan berantai.
• Soal nomor 16 – 25 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari
semua materi pada bab ini.
1. Turunan pertama dari y (2x2 5)2 adalah . . . . 3. Jika f(x) (2x 1)2(x 2), maka f (x) . . . .
A. 4x 10 D. 8x3 40x A. 4(2x 1)(x 3)
B. 16x2 40 E. 16x3 40x B. 2(2x 1)(5x 6)
3 C. (2x 1)(6x 5)
C. 16x 20x
D. (2x 1)(6x 7)
2. f(x) (cos22x sin22x) E. (2x 1)(5x 7)
f (x) . . . .
4. Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan
A. 4 sin 4x D. 2 sin 2x
B. 4 sin 4x E. 2 sin 4x dengan f ( x) 3 x2 5 adalah f (x), maka
C. 2 sin 2x f (x) . . . .
100 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
3x x sin x cos x
A. 2 D. 2 10. Jika f(x) , sin x 0 dan f (x)
3x 5 3x 5 sin x
3 6x adalah turunan f, maka nilai dari f ....
B. E. 2
2 2
3x 5 3x 5 A. 2 D. 1
6 B. 1 E. 2
C.
3 x2 5 C. 0
11. Turunan pertama f(x) 2 cos3(1 2x) adalah
2x 3 f (x) . . . .
5. Diketahui g(x) , f (x) adalah turunan
f ( x) A. 6 cos2(1 2x)
pertama f (x) dan g (x) adalah turunan pertama
B. 6 cos2(1 2x)
g(x). Jika f(1) f (1) 1, maka g (1) . . . .
C. 12 cos2(1 2x)
A. 3 D. 3
D. 1 sin (12 4x) cos (1 2x)
B. 1 E. 4
E. 6 sin (2 4x) cos (1 2x)
C. 1
3 x2 12. Diketahui f(x)
1 cos x
. Jika f (x) turunan
6. Turunan pertama dari f ( x) adalah sin x
2x 1
f (x) . . . .
pertama f(x), maka nilai f 3 . . . .
6x 6 x( x 1)
A. D. A. 2 D. 3
(2 x 1)2 (2 x 1)2
B. 2 3 E. 2
6x 1 6 x(3 x 1) 1 3
B. 2 E. C.
(2 x 1) (2 x 1)2 3
6x 1 13. Turunan pertama fungsi f(x) sin2 (2x3 5)
C. adalah f (x) . . . .
(2 x 1)2
A. 2 cos (2x3 5)
7. Turunan pertama dari f(x) cos2(1 3x) adalah B. 12x2 cos (2x3 5)
f (x) . . . . C. 2 sin (2x3 5) cos (2x3 5)
A. 2 cos (1 3x) D. 3 sin (2 6x) D. 6x2 sin (4x3 10)
B. 6 cos (1 3x) E. 3 sin (2 6x) E. 6x2 cos (2x3 1)
C. 6 cos (1 3x) 14. Turunan pertama dari y xe 2x adalah
dy dy
8. Jika y cos , maka . . . . ....
d dx
cos cos A. e2x 1 D. 2e2x 1
2x
A. D. B. e (2x 1) E. 2e2x(x 1)
2 sin 2 cos 2x
C. 2e
cos 1
B. E. 15. Grafik fungsi f(x) 5 15x 9x2 x3 naik
2 sin 2 cos
untuk x yang memenuhi . . . .
sin
C. A. x 1 atau x 5
2 cos B. 1 x 5
C. 5 x 1
9. Diketahui fungsi f(x) x sin 3x dan g(x) x2. D. x 5 atau x 1
Jika u(x) g(f(x)), maka turunan pertama dari E. 5 x 1
u(x) adalah u (x) . . . .
A. 2(x sin 3x 3x sin 3x 3 sin2x) 1
B. 2x 2 sin 3x 6x cos 3x 3 sin 6x 16. Jika f 4 x 8 4x 2x2, f (3) . . . .
2
C. 2x 6 sin 3x cos 3x A. 8 D. 8
D. 2(x sin 3x 3 sin 3x sin23x) B. 4 E. 10
E. 2x 6 sin 3x 3x cos 3x sin 3x cos 3x C. 4
Bab 14 Turunan 101
17. Perhatikan gambar di bawah. Keliling daerah 21. Dua kebun berdampingan yang masing-masing
yang diarsir adalah 200. Luas daerah yang berukuran x m, y m, dan luas keseluruhan
diarsir mencapai nilai terbesar untuk a sama 24 m2. Supaya panjang pagar yang diperlukan
dengan . . . . sedikit mungkin, maka panjang x dan y
100 berturut-turut adalah . . . .
A. A. 2 m dan 6 m
4 3
200 B. 6 m dan 2 m
B. x x
4 3 C. 3 m dan 4 m
400 b
D. 2 3 m dan 2 3 m
C.
4 3 E. 4 m dan 3 m y y
100
D. 22. Keliling suatu persegipanjang adalah 8 cm dan
5 4
400 a panjangnya (3 x) cm. Persegipanjang tersebut
E. mencapai luas maksimum untuk x . . . .
5 4
A. 4 D. 1
18. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya B. 2 E. 2
persegi adalah 432 cm2. Agar volume kotak C. 1
tersebut mencapai maksimum, maka panjang
3 dy
rusuk persegi adalah . . . . 23. Jika y cos , maka . . . .
x dx
A. 6 cm D. 12 cm
3 3 3
B. 8 cm E. 16 cm A. 3 sin D. sin
x 2 x
C. 10 cm x
3 3 3 3
B. sin E. sin
19. Suatu kebun berbentuk persegipanjang. Salah x 2 x x x
satu sisinya berbatasan dengan sungai. Keliling 3 3
C. sin
kebun tersebut akan dipagari dengan kawat x x
sepanjang 48 meter. Jika sisi yang berbatasan
24. Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak
dengan sungai tidak diberi pagar, maka luas
tanpa tutup dengan alas persegi. Jika jumlah
maksimum kebun tersebut adalah . . . .
luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak
A. 144 m2 x ditentukan sebesar 432 cm2, maka volume kotak
B. 192 m2 terbesar yang mungkin adalah . . . .
y
C. 288 m2 A. 432 cm3 D. 864 cm3
3
x B. 644 cm E. 972 cm3
D. 384 m2 C. 720 cm 3
E. 576 m2 sungai
1 25. Persamaan garis singgung kurva y x 2 x di
20. Fungsi y (p 2)2x3 x2 5px mempunyai
3 titik pada kurva dengan absis 2 adalah . . . .
nilai minimum 27 untuk x 3. Nilai p . . . . A. y 3x 2 D. y 3x 2
A. 8 D. 3
B. y 3x 2x E. y 3x 1
B. 5 E. 5
C. y 3x 1
C. 3
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Garis g menyinggung kurva y sin x cos x di 3 1
1 A. 1 3 D.
titik yang berabsis . Gradien garis yang 2
3 1 3
tegak lurus pada garis g adalah . . . . B. 1 3 E.
2
C. 1 (UMPTN 2001)
102 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
2. Turunan y 2(x 2)(x2 3x 1) adalah 9. Grafik fungsi f(x) 5 15x 9x2 x3 naik
y . . . . untuk x yang memenuhi . . . .
A. 6x2 4x 10 D. 3x2 2x 5 A. x 1 atau x 5 D. x 5 atau x 1
B. 3x2 2x 5 E. 6x2 4x 10 B. 1 x 5 E. 5 x 1
C. 3x2 2x 5 (UMPTN 2001) C. 5 x 1 (SPMB 2002)
3. Persamaan garis singgung pada kurva 10. f(x) sin x cos x sin x cos2x sin x
y 5x2 8x 17 yang tegak lurus garis 3
cos x sin x . . . untuk 0 x . . . .
2x 4y 9 0 adalah . . . .
A. merupakan fungsi naik
A. 2x y 12 0 D. x 2y 12 0
B. merupakan fungsi turun
B. 2x y 12 0 E. x 2y 12 0
C. 2x y 12 0 (UMPTN 2001)
C. mempunyai maksimum saja
D. mempunyai minimum saja
3 E. mempunyai maksimum dan minimum
4. Turunan fungsi y 4 2 x2 3 adalah . . . .
(SPMB 2002)
x
4 11. Grafik fungsi y x4 8x2 9 akan turun pada
A. 4 2
2x 3
D. 3 x 2 x2 3
interval . . . .
3x A. x 3
4
B. 4
2 x2 3
E. 3 x 2 x2 3 B. x 3
16 x C. x 2 atau 0 x 2
C. 4 (UMPTN 2001)
3 2 x2 3 D. x 3 atau 2 x 0
E. 2 x 2 (SPMB 2002)
5. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah
dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya 12. Jika garis singgung pada kurva y x2 ax 9
di titik yang berabsis 1 adalah y 10x 8,
120 maka a . . . .
proyek per hari 3x 900 ratus ribu
x A. 6 D. 9
rupiah. Agar biaya proyek minimum, maka B. 7 E. 10
proyek tersebut diselesaikan dalam waktu . . . . C. 8 (SPMB 2003)
A. 40 hari D. 120 hari
B. 60 hari E. 150 hari 13. Jika f(3 2x) 4 2x x, maka f (1) . . . .
C. 90 hari (UMPTN 2001) A. 4 D. 0
1
6. Jika persamaan garis singgung kurva B. 2 E.
2 2
y ax bx 3 pada titik (1, 1) tegak lurus C. 1 (SPMB 2003)
2 2
garis 6y x 7 0, maka a b . . . .
A. 2 D. 13 14. Garis g melalui titik ( 2, 1) dan menyinggung
B. 8 E. 20 kurva K y 2 x . Jika titik singgung garis
C. 10 (UMPTN 2001) g dan kurva K adalah (a, b), maka a b . . . .
1 A. 3 D. 3
7. Garis singgung kurva y di titik berabsis
2x B. 2 E. 4
1
akan memotong sumbu-x di titik . . . . C. 0 (SPMB 2003)
2
A. (2, 0) D. ( 1, 0) 15. Selisih dua bilangan adalah 10. Pada saat hasil
B. (1, 0) E. ( 2, 0) kali kuadrat kedua bilangan itu maksimum,
C. (0, 0) (UMPTN 2001) jumlah kedua bilangan tersebut adalah . . . .
A. 1 D. 0
8. Garis g menyinggung kurva y x2 2 di titik B. 6 E. 2
1 C. 2 (SPMB 2003)
yang berabsis . Besar sudut yang dibentuk
2
oleh garis g dengan sumbu-x adalah . . . . 1, 3
16. Jika garis k melalui titik 2 dan
A. 30 D. 75
B. 45 E. 90 menyinggung grafik y x2 di kuadran
C. 60 (SPMB 2002) 2
Bab 14 Turunan 103
2 A. 1 x 6 D. x 0 atau x 12
pertama pada titik a, a , maka nilai a B. 0 x 12 E. x 1 atau x 6
2
adalah . . . . C. 6 x 6 (SPMB 2004)
A. 1 D. 4 23. Jika fungsi f(x) x5 15x3 mencapai minimum
B. 2 E. 5 di titik . . . .
C. 3 (SPMB 2003) A. (0, 0) D. (3, 162)
B. (1, 14) E. ( 3, 162)
17. Jika pada interval 0 x 4, turunan fungsi
C. (1, 14) (SPMB 2005)
x
f(x) 2 2 sin 2 bernilai nol di x1 dan x2, x2
24. Kurva y naik untuk . . . .
maka x12 x22 . . . . x2 2
A. 5 D. 17 A. 2 x 2 atau x 2
B. 10 E. 20 B. x 2 atau x 2
C. 13 (SPMB 2003) C. x 2
18. Jumlah dua bilangan adalah 8. Pada saat hasil D. 2 x 2 atau x 2
kali kuadrat kedua bilangan tersebut mencapai E. x 2 (SPMB 2005)
maksimum, maka selisih bilangan terbesar dan x2
terkecil adalah . . . . 25. Kurva y naik pada . . . .
x 1
A. 0 D. 10 A. 2 x 1 atau x 0
B. 4 E. 12 B. x 2 atau 1 x 0
C. 8 (SPMB 2003) C. 2 x 1 atau 1 x 0
D. x 2 atau x 0
19. C
E. x 2 atau x 1 (SPMB 2005)
E
1 cos x
D 26. Turunan pertama dari fungsi f(x)
sin x
A B adalah f (x) . . . .
Jika ABC siku-siku samakaki, AC EC 3 1 sin x 2
A. 2
D.
dan AD CF, maka luas minimum dari segi sin x 1 sin x
empat ABED adalah . . . . sin x 1 1
B. E.
A. 3,375 D. 4,000 cos x 1 1 cos x
2
B. 3,500 E. 4,500 C. (SPMB 2005)
cos x 1
C. 3,750 (SPMB 2004) 27. Turunan pertama dari fungsi y (sin x cos x)2
adalah y . . . .
20. Kurva y x3 6x2 16 naik untuk nilai x yang
A. 0 D. 4 cos2x 2
memenuhi . . . . 2
B. 4 sin x E. 4 cos2x 4
A. x 4 atau x 0 2
C. 4 sin x 2 (SPMB 2005)
B. x 0 atau x 4
28. Nilai maksimum fungsi y 1 sin 2x cos 2x
C. 4 x 1
adalah . . . .
D. 1 x 4 A. 2 D. 1 2 2
E. 0 x 4 (SPMB 2004) B. 1 2 E. 4
21. Persamaan garis singgung pada kurva C. 3 (SPMB 2005)
3
y x di titik yang absisnya 1 adalah . . . . 29. Garis g melalui titik (4, 3) memotong sumbu-x
x
positif di A dan sumbu-y positif di B. Agar luas
A. 2x y 2 0 D. 2x y 2 0
AOB minimum, maka panjang ruas garis AB
B. 2x y 6 0 E. 4x y 6 0
adalah . . . .
C. 4x y 0 (SPMB 2004)
A. 8 D. 12
1 3
22. Grafik fungsi f(x) x 3x2 naik untuk nilai B. 10 E. 10 2
6 C. 8 2 (SPMB 2005)
x yang memenuhi . . . .
104 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
30. Jika fungsi f(x) x(12 2x) 2 mempunyai C. naik hanya untuk 1 x 0
nilai maksimum p dan nilai minimum q, maka D. turun hanya untuk 1 x 0
p q . . . . E. turun untuk 0 x 2 (SPMB 2006)
A. 0 D. 16
B. 4 E. 128 33. Grafik y ax2 3x c melalui titik (1, 5). Jika
C. 8 2 (SPMB 2005)
grafik turunannya y f (x) melalui titik
(2, 5), maka konstanta a dan c adalah . . . .
1 A. a 2 dan c 4
31. Jika f(x) sin x cos 3x, maka f 6 ....
B. a 5 dan c 3
1 1 C. a 1 dan c 1
A. D. 3
2 2 D. a 2 dan c 0
1 1
B. E. 1 3 E. a 3 dan c 5 (SPMB 2006)
2 2
1
1 34. Nilai minimum dari fungsi y x4 6x2 3
C. (SPMB 2005)
2 adalah . . . .
A. 14 D. 11
32. Garis singgung kurva y 3x4 4x3 12x2 15
B. 13 E. 10
akan . . . .
C. 12 (SPMB 2006)
A. selalu naik
B. selalu turun
Intersection
Untuk lebih mudah memahami materi bab ini, sebaiknya terlebih dahulu pelajari materi persamaan
garis lurus.
Bab 14 Turunan 105
Bab
15 Integral
A. Integral Tak Tentu 6 9 2 c1
c1 6 9 2 5
Misal k konstanta real sembarang, f(x) dan g(x) F (x) 9x2 2x 5
merupakan fungsi integral yang dapat ditentukan F(x) F ( x ) dx
fungsi integral umumnya.
(9 x2 2x 5) dx
dx x c 3 2
3x x 5x c2
F(2) 10, maka
k dx kx c
10 3(2)3 (2)2 5(2) c2
1 10 24 4 10 c2
xn dx xn 1 c, dengan n bilangan
n 1 c2 10 24 4 10 8
rasional dan n 1 3 2
Jadi, F(x) 3x x 5x 8
Integral parsial Kunci: C
u dv uv v du
2. Nilai (2 x 5) sin (x2 5x) dx
Integral trigonometri
adalah . . . .
cos x dx sin x c A. cos (x2 5x) c
B. cos (x2 5x) c
sin x dx cos x c
C. (x2 5x) cos (x2 5x) c
sec2 x dx tan x c D. (x2 5x) cos (x2 5x) c
E. cos (x2 5x) sin (x2 5x c)
cosec 2 x dx cotan x c
Jawab:
Misalkan: u x2 5x
du
Contoh 2x 5
dx
1. Jika F (x) 18x 2 dan F (1) 6 dan du (2x 5) dx
F(2) 10, maka nilai fungsi F(x) . . . .
sin u du cos u c
A. 3x3 x2 5x 8
cos (x2 5x) c
B. 3x3 2x2 5x 8
C. 3x3 x2 5x 8 Kunci: A
D. 3x3 2x2 5x 8
E. 3x3 2x2 5x 8
Jawab:
B. Integral Tertentu
F (x) F ( x) dx (18 x 2) dx
9x2 2x c1 Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi kontinu dan
F (1) 6, maka terdefinisi dalam interval [a, b], maka integral
6 9(1)2 2(1) c1 tertentu f(x) dan g(x) dari x a sampai x b,
memenuhi sifat-sifat berikut.
106 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
a
a
f ( x) dx 0 Integral dari a2 x2 dapat diubah ke dalam
a bentuk fungsi trigonometri dengan substitusi variabel
f ( x) dx 0 , di mana f fungsi ganjil.
a trigonometri.
a a
f ( x) dx 2 f ( x) dx, di mana f fungsi Integran Variabel baru Hasil substitusi
a 0
genap. x a sin t a 1 sin 2 t a cos t
b a 2 2
f ( x) dx f ( x) dx a x
a b
x a cos t a 1 cos2 t a sin t
b b
kf ( x) dx k f ( x) dx , di mana k adalah
a a
konstanta real sembarang. 2. Metode Parsial
b b b Pengintegralan parsial dirumuskan sebagai
[ f ( x) dx g( x)] dx f ( x) dx g( x) dx
a a a berikut.
b b b
[ f ( x) dx g( x)] dx f ( x) dx g( x) dx
a a a u dv uv v du
h b b
f ( x) dx f ( x) dx f ( x), untuk a h b
a h a
Contoh Contoh
a 1. Dengan metode substitusi, nilai dari
Jika (3 x2 4 x) dx 10 , maka nilai a
1
sama dengan . . . . 2x 1
dx . . . .
A. 5 D. 5 x 2
x 6
B. 3 E. 9
C. 3
A. x2 x 6 c
Jawab:
a B. x2 x 6 c
(3 x2 4 x) dx 10
1
x3 2x2
a C. 2 x2 x 6 c
10
1
a3 2a2 (1 2) 10 D. 2 x2 x 6 c
a3 2a2 1 10
a3 2a2 9 0 E. 2 x2 x 6 c
(a2 a 3)(a 3) 0
a 3 Jawab:
Jadi, nilai a 3. Misalkan
Kunci: C u x2 x 6 du (2x 1) dx
2x 1 du
dx 2 u c
x 2
x 6 u
C. Teknik Pengintegralan 2 x2 x 6 c
Kunci: D
1. Metode Substitusi
2. Dengan menggunakan rumus parsial, nilai
Misalkan f(x) adalah fungsi yang terdiferensial- x sin x dx adalah . . . .
dari
kan, maka berlaku aturan berikut.
A. x sin x cos x c
n n B. x sin x cos x c
f ( x) f ( x) dx f ( x) d( f ( x))
C. x cos x sin x c
1
f n 1 ( x) c D. x cos x sin x c
n 1
dengan n 1. E. x sin x cos x c
Bab 15 Integral 107
3. Luas daerah dibatasi kurva y f(x) dan
Jawab: sumbu-x
Misalkan: b c
L( R) f ( x) dx f ( x) dx
u x du dx a b
dv sin x dx v sin x dx y
cos x
x sin x dx x( cos x) ( cos x) dx R1
x cos x sin x c y f(x)
Cara lain: a b c
x
R2
x sin x
1 cos x
0 sin x
dipersial integral 4. Luas daerah yang terletak di antara dua
Jadi, kurva
x sin x dx x( cos x) 1( sin x) c b b
L(S) f ( x) dx g( x) dx
x cos x sin x c a a
b
Kunci: C ( f ( x) g( x)) dx
a
y
D. Menentukan Luas Daerah
y1 f(x)
S
1. Luas daerah di atas sumbu-x y2 g(x)
b
L( P ) f ( x) dx
a
x
y a b
y f(x)
Contoh
P
x 1. Luas daerah yang diarsir pada gambar
a b adalah . . . .
2. Luas daerah di bawah sumbu-x y
(2, 4)
b
L(Q) f ( x) dx
a
y
x
( 1, 1)
a b x
Q O
y f(x)
108 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
3
1
satuan luas E. Menentukan Volume Benda Putar
2
B. 1 satuan luas 1. Volume benda putar mengelilingi sumbu-x
4
2
1 b b
C. 5 satuan luas V y2 dx { f ( x)}2 dx
2 a a
1 y
D. 6 satuan luas y f(x)
2
4x
1 f(x)
E. 7 satuan luas
2
x
Jawab: 0 a b
Daerah dibatasi pada x 1 dan
x 2.
Mencari persamaan garis lurus pada
titik ( 1, 1) dan (2, 4). 2. Volume benda putar mengelilingi sumbu-y
y 1 x 1 b b
V x 2 dy { g( y)}2 dy
4 1 2 1 a a
y 1 x 1
y
3 3
x f(y)
y 1 x 1
y b
y x 2
f(y)
Persamaan parabola y x2, maka luas
y
daerah diarsir adalah
y a
2 2 x
L (( x 2) x ) dx
1
2 2
(x 2) dx x2 dx 3. Volume benda putar suatu daerah antara
1 1
2 2
dua kurva
1 2 1 3
x 2x x a. Perputaran mengelilingi sumbu-x
2 1 3 1
1 2 1 b
(2) 2(2) ( 1)2 2( 1) V f 2 ( x) g2 ( x) dx
2 2 a
b
1 2 1 ( y12 y12 ) dx
(2) ( 1)3 a
3 3
1 8 1 y
(2 4) 2
2 3 3 y1 f(x)
3 1
6 (3) 7 3 y2 g(x)
2 2
1
4 satuan luas a b
x
2 O
Kunci: B
Bab 15 Integral 109
b. Perputaran mengelilingi sumbu-y
Jawab:
V
b 2
[ f ( y) 2
g ( y)] dy Ordinat titik potong kurva y x2 dan y 3x
a 1
b
( x12 x22 ) dy f(y) garis y x2 x1 y y2
a
1
g(y) garis y 3x x2 y
y 3
1
Substitusi x y ke y x2
y b 3 y 3x
2 y
y 1y
x1 f(y) 3
1 2
x2 g(y) y y y x2
9
y a y2 9y 0
O
x y(y 9) 0
O x
y 0 atau y 9
Jika daerah yang diarsir pada gambar di atas
Contoh diputar sejauh 360 mengelilingi sumbu-y,
maka volume benda putarnya adalah
Daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 dan 9
garis y 3x diputar sejauh 360 mengelilingi V ( x12 x22 ) dy
0
sumbu-y, maka volume benda putar yang
terjadi adalah . . . . 9 1 2 2
y2 1y dy
1 0 3
A. 13 satuan volume
2 9
y 1 y2 dy
0 9
2
B. 21 satuan volume 9
3 1 2 1 3
y y
2 27 0
3 1 2 1
C. 27
4
satuan volume (9) (9)3
2 27
1 81
27
D. 35 satuan volume 2
6
1
13 satuan volume
1 2
E. 37 satuan volume Kunci: A
2
110 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 10 merupakan ketegori soal yang mudah, pelajari integral tertentu dan integral
tak tentu.
• Soal nomor 11 – 23 merupakan ketegori soal yang sedang, pelajari cara menentukan luas daerah
dan volume benda putar.
• Soal nomor 24 – 30 merupakan ketegori soal yang sulit pelajari semua meteri integral.
1. cos 4 x dx . . . . sin 1
5. x dx . . . .
1 x2
A. sin 4x c
4
B. 2 sin 2x cos 2x c 1
A. sin x2 c D. cos c
C. 4 sin 4x c x
D. 4 sin 4x c B. cos x c E. cos x2 c
1
E. sin 4x c 1
4 C. sin c
x
2. Hasil dari cos x cos 4 x dx . . . . b dx
6. Nilai dari . . ..
1 sin 5 x 1 sin 3 x c a x
A.
5 3 1
1 sin 5 x 1 sin 3 x A. b a D. 2 a b
B. c 2
10 6
B. 2 b a E. 2 b a
2 sin 5 x 2 sin 3 x c
C.
5 3 1
C. a b
1 cos 5 x 1 cos 3 x 2
D. c
2 2
7. x sin 2 x dx . . . .
1 sin 5 x 1 sin 3 x c
E.
2 2 1 ( x cos 2 x 1 sin 2 x)
A. c
2 2
3. Hasil dari 2 (cos x sin2 x) dx . . . .
0 1 ( x cos 2 x 1 sin 2 x) c
B.
2 2
1 1
A. D. 1 ( x cos 2 x 1 sin 2 x)
3 2 C. c
2 2
1
B. E. D. 2(x cos 2x 2 sin 2x) c
2
1 E. 2(cos 2x 2 sin 2x) c
C.
3
sin x dx 3
4. 0
. . . . 8. Nilai (3 x2 2x 2) dx 40, maka nilai
p
A. D. 1p
4 . . . .
2
3 A. 2 D. 1
B. E.
3 2 B. 1 E. 4
C. C. 1
2
Bab 15 Integral 111
a 15. y
9. Diketahui (3 x 2)( x 4) dx 50 . Salah
1 y=x
satu nilai a yang memenuhi adalah . . . .
A. 4 D. 2 y = x2 – 2
B. 2 E. 4
C. 1 x
10. Jika f(x) (3 x2 6x 4) dx dan f(1) 1,
maka f(x) . . . .
A. x3 3x2 4x 3 Luas daerah yang dibatasi garis y x dan
B. x3 6x2 4x 3 parabola y x2 2 adalah . . . .
C. x3 3x2 4x 3 1 1
D. x3 6x2 4x 3 A. 6 D. 3
2 2
E. x3 3x2 4x 2 1 1
B. 5 E. 2
11. Diketahui kurva y f(x) melalui titik (1, 2) 2 2
dan y 4x 8. Koordinat titik balik kurva 1
C. 4
adalah . . . . 2
A. ( 1, 2) D. (2, 4) 16. Jika f(x) (x 2)2 4 dan g(x) f(x), maka
B. (2, 1) E. ( 2, 4) luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g
C. ( 2, 4) adalah . . . .
12. Volume benda putar yang terjadi bila 2
A. 10 satuan luas
3
daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 1,
1
sumbu-x, x 1, dan x 1, diputar mengelilingi B. 21 satuan luas
3
sumbu-x sejauh 360 adalah . . . . 2
C. 22 satuan luas
4 24 3
A. D. 2
15 15 D. 42 satuan luas
3
8 32 1
B. E. E. 45 satuan luas
15 15 3
16 x 2, jika x 2
C. 17. Diketahui f(x) 2
15 x , jika x 2
13. Luas daerah arsiran pada gambar berikut ini 4
Nilai f ( x) dx ....
adalah . . . . 0
1 1 2
A. 5 satuan luas D. 9 satuan luas A. 24 D. 25
3 3 3
2 1 2 1
B. 7 satuan luas E. 10 satuan luas B. 24 E. 26
3 3 3 3
C. 8 satuan luas 1
C. 25
3
2
14. Daerah yang dibatasi oleh kurva y x
18. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
dan garis x y 2 0 diputar mengelilingi
y x2 9x 15 dan y x2 7x 15
sumbu-x sejauh 360 . Volume benda putar yang
adalah . . . .
terjadi adalah . . . .
2 A. 2 2 satuan luas
A. 15 satuan volume 3
3
B. 15
2
satuan volume B. 23 satuan luas
5 5
3 3 1
C. 14 satuan volume C. satuan luas
5 3
2
D. 14 satuan volume D. 32 satuan luas
5 3
3
E. 10
5
satuan volume E. 41 satuan luas
3
112 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
19. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y 2x2,
24. Hasil x 9 x2 dx . . . .
y 4x 22, garis x 0, dan x, 2 adalah . . . .
8
A. satuan luas A. 1 (9 x2 ) 9 x2 c
3 3
10
B. satuan luas
3 B. 2 (9 x2 ) 9 x2 c
12 3
C. satuan luas
3
D.
15
satuan luas C. 2 (9 x2 ) 9 x2 c
3 3
16
E. satuan luas
3 2 (9 2 (9
D. x2 ) 9 x2 x2 ) 9 x2 c
3 9
20. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y x2 3x, sumbu-x, dan garis x 6 1 (9 1 (9
E. x2 ) 9 x2 x2 ) c
adalah . . . . 3 9
1 1
A. 4 satuan luas D. 22 satuan luas
2 2 10 4x
1 25. dx . . . .
3 (x 2)( x 3)
B. 13 satuan luas E. 27 satuan luas
2
C. 18 satuan luas
A. 4 3 ( x2 5x 6)2 c
21. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola
y x2 2x dan garis y x 6 sama
B. 4 ( x2 5x 6)2 c
dengan . . . .
C. 43 ( x2 5x 6)2 c
2
A. 20 D. 20
3
1 5 D. 33 ( x 2 5x 6)2 c
B. 20 E. 20
6 6
1 E. 33 ( x 2 5x 6)2 c
C. 20
3
22. Volume benda putar yang terbentuk karena 2 x2
26. Hasil dari dx . . . .
0 3
perputaran terhadap sumbu-x sejauh 360° dari (9 x3 ) 2
daerah yang dibatasi oleh parabola y x2 dan
2 1
y x sama dengan . . . . A. D.
3 3
8 2 5 2
A. D.
15 15 B. E.
9 9
6 1 4
B. E. C.
15 15 9
4
C. 4 x dx
15 27. Hasil dari . . . .
3 x2 1
23. Daerah D dibatasi oleh kurva y sin x,
0 x p, dan sumbu-x. Jika daerah D diputar 2
A. 63 x2 1 c
360 terhadap sumbu-x, maka volume benda
putar yang terjadi adalah . . . . 2
A. 2
satuan volume B. 33 x 2 1 c
1
B. satuan volume
2 4 3 x2 2
C. 1 c
1 2 3
C. satuan volume
2
2
D. satuan volume D. 4 3 x2 1 c
3
1
E. satuan volume
2 2
E. 33 x 2 1 c
Bab 15 Integral 113
28. Diketahui f(x) ax b, f(x) 0 untuk 0 x 4 7 5
8 A. D.
dan f(x) 0 untuk x 4. Jika f ( x) dx 0, 8 4
0
11
serta luas daerah yang dibatasi oleh B. E.
y f(x), x 0, x 8, dan sumbu-x adalah 6, 8
maka persamaan fungsi f(x) adalah . . . . 9
C.
2 4 1 4 8
A. x D. x
5 5 5 5 30. Daerah R dibatasi oleh parabola y 2x 2
2 4 1 4 dan garis y 8. Garis y c dengan 0 c 8
B. x E. x
5 5 5 5 membagi daerah tersebut menjadi dua bagian,
1 4 yaitu daerah R1 dan R2. Daerah R1 dan R2
C. x
5 5 diputar terhadap sumbu-y sehingga meng-
hasilkan benda putar dengan volume V1 dan
29. Daerah D terletak di kuadran pertama yang V2. Agar V1 dan V2, maka c . . . .
dibatasi oleh parabola y 2x2, parabola y 4x2,
A. 2 2 D. 2 3
dan garis y 3. Volume benda putar yang terjadi
jika diputar terhadap sumbu-y adalah . . . . B. 3 2 E. 4 3
C. 4 2
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Garis g menyinggung y sin x di titik ( , 0). 1
Jika daerah yang dibatasi oleh garis g, garis C. (3 x 4 x2 ) dx
0
1
x , dan kurva y sin x diputar 1 2
2 D. 3 x dx (4 x2 ) dx
0 1
mengelilingi sumbu-x, maka volume benda
putar yang terjadi adalah . . . . 1 2
E. 3 x dx ( x2 4) dx (SPMB 2003)
2 2 0 1
2 2
A. ( 8) D. ( 6)
16 8 4. Perhatikan gambar!
2 2
2 2
B. ( 6) E. ( 8) y
16 6 y x2
2
C. ( 2 6) (UMPTN 2001)
24
y x
2. Jika D adalah daerah yang dibatasi oleh parabola
y 4x x2 serta garis yang melalui (4, 0) dan
puncak parabola, maka luas D adalah . . . .
x
4 26 b
A. D.
3 3
16 28 0 b
B. E. Jika x dx x2 dx , maka luas daerah
3 3 1 0
20 yang diarsir adalah . . . .
C. (UMPTN 2001)
3 1 1
A. D.
3. Luas daerah dalam kuadran I yang dibatasi oleh 2 6
y 4 x2, y 3x, dan y 0 dapat dinyatakan 1 1
sebagai . . . . B. E.
3 8
1
A. (4 x2 3 x) dx 1
0
2
C. (SPMB 2003)
(4 x 2
3 x) dx 4
B. 0
114 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
1
5. Garis singgung kurva y 1, 2
f(x) di titik A. 6 D. 2 atau 2
3 3
sejajar dengan garis 2x y 3 0. Jika 5 5
B. 2 E. atau
f(x) 2x, maka titik potong kurva f(x) dengan 2 2
sumbu-y adalah . . . . 5
C. (SPMB 2005)
A. (0, 1) D. (0, 2) 2
B. (0, l) E. (0, 0) 8.
y
C. (0, 2) (SPMB 2004)
y x2 2
6. Jika b , maka himpunan semua nilai-
b
nilai b yang menghasilkan sin x dx 0
O
adalah . . . . x
A. 0
B. ( , ) y x
C. ( , 0, ) y x2
D. , , 0, ,
2 2 Luas daerah yang diarsir adalah . . . .
11 17
A. D.
E. , , , 0, , , (SPMB 2004) 6 6
2 4 2 4 13 19
B. E.
6 6
7. Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva
15
2 C. (SPMB 2006)
y px dan garis y x adalah , 6
3
maka p . . . .
Intersection
Untuk mempelajari bab ini terlebih dahulu pahami materi tentang persamaan kuadrat dan turunan.
Bab 15 Integral 115
Bab
16 Program Linear
A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Jawab:
Variabel (i) x 0
y
Bentuk umum pertidaksamaan linear dua
variabel adalah sebagai berikut.
x
ax by p O
cx dy q
dengan a, b, c, d, p, q adalah bilangan real dan x, y
(ii) y 0
y adalah peubah atau variabel.
Contoh
x
O
Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan
x 0, y 0, dan 2x y 6, untuk x, y R
adalah . . . . (iii) 2x y 6
y y Untuk menggambar pertidaksamaan
A. D. tersebut, terlebih dahulu ubah pertidaksamaan
3 6 ke bentuk persamaan 2x y 6.
HP Jika x 0 2(0) y 6
x y 6 (0, 6)
O 6 HP
Jika y 0 2x 6
x x 3 (3, 0)
O 3
Untuk menentukan daerah 2x y 6
y y
B. E. ambil titik uji (0, 0).
6
6 O
x 2 · 0 0 6
HP
0 6
3 Dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh
HP
y y
x
3 O
6 6
y
C.
x
O 6
HP
HP
3
x x
O 3 O 3
Kunci: D
116 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
B. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif Substitusi y 0 ke persamaan
2x 3y 12.
2x 3 · 0 12
Bentuk umum fungsi objektif 2x 12
x 6
f(x, y) ax by
Jadi, titik A(6, 0).
Suatu fungsi akan dioptimumkan (maksimum Titik B adalah titik potong antara
atau minimum) disebut fungsi objektif. 2x y 8 dan 2x 3y 12.
Untuk menentukan nilai optimum fungsi Dari 2x y 8, diperoleh
objektif dapat digunakan salah satu metode berikut.
y 8 2x . . . (i)
Metode uji titik pojok
Metode garis selidik Substitusi y pada Persamaan (i) ke
Persamaan 2x 3y 12.
2x 3(8 2x) 12
Contoh 2x 24 6x 12
4x 12
Nilai maksimum fungsi objektif
f(x, y) 3x 5y yang memenuhi 2x y 8, x 3
2x 3y 12, x dan y 0 adalah . . . . Substitusi x 3 ke Persamaan (i)
A. 19 D. 45 y 8 2(3)
B. 20 E. 57 8 6
C. 40 2
Jawab: Jadi, titik B(3, 2).
Dengan menggunakan metode uji titik pojok. Titik C adalah titik potong antara
y 2x y 8 dan sumbu-y.
Substitusi x 0 ke persamaan
8 C
2x y 8
x 0
2 . 0 y 8
y 8
Jadi, titik C(0, 8).
4
Uji titik-titik pojok
B y 0
Titik pojok (x, y) f(x, y) 3x 5y
A
x A(6, 0) 18
O 4 6
B(3, 2) 19
2x y 8 2x 3y 12
C(0, 8) 40
Titik-titik pojoknya adalah titik A, B, dan C. Dari tabel diperoleh nilai maksimum
Titik A adalah titik potong antara garis fungsi objektif f(x, y) 3x 5y adalah
2x 3y 12 dan sumbu-x. f(0, 8) 40.
Bab 16 Program Linear 117
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 merupakan kategori soal yang mudah, kamu pelajari tentang SPLDV.
• Soal nomor 2 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang nilai optimum suatu fungsi
objektif.
• Soal nomor 3 – 6 merupakan kategori soal yang sulit sehingga kamu harus mempelajari dan
memahami seluruh materi bab ini.
1. Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan D. y
x 0, y 0 dan x 2y 4, untuk x dan y R
adalah . . . . 2
A. y
HP
4
x
O 4
y
HP E.
x
O 2
4 O x
HP
y
2
B. 4
2. Seorang pedagang membeli jeruk seharga
HP Rp1.200,00/buah dijual dengan laba Rp300,00/
buah. Sedangkan apel seharga Rp1.000,00/buah
dijual dengan laba Rp200,00/buah. Pedagang
x
2 O tersebut mempunyai modal Rp340.000,00 dan
kiosnya dapat menampung 300 buah, maka
y keuntungan maksimum pedagang tersebut
C. adalah . . . .
A. Rp75.000,00 D. Rp83.000,00
B. Rp78.000,00 E. Rp85.000,00
x C. Rp80.000,00
O 2
HP
2
118 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
3. Perhatikan grafik di bawah ini! A. 36 D. 27
y B. 32 E. 25
C. 30
60 A
5. Nilai maksimum fungsi sasaran z 6x 8y dari
k: 3x y 60
sistem pertidaksamaan
B 4x 2 60
l: x y 40
2x 4y 48
C
m: x 3y 80 x 0, y 0
x adalah . . . .
O 80
A. 120 D. 114
Nilai minimum dari fungsi objektif 6x 8y B. 118 E. 112
adalah . . . . C. 116
A. 240 D. 320 6. Nilai minimum fungsi objektif x 3y yang
B. 280 E. 360 memenuhi pertidaksamaan 3x 2y 12,
x 2y 8, x y 8, y 0 adalah . . . .
C. 300
A. 8 D. 18
4. Nilai maksimum dari bentuk objektif k 3x 4y B. 9 E. 24
yang memenuhi sistem pertidaksamaan
C. 11
x 0
y 0
2x y 11
x 2y 10
dengan x, y R adalah . . . .
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Nilai minimum dari z 3x 6y yang memenuhi
Daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah
syarat:
himpunan semua (x, y) yang memenuhi . . . .
4x y 20
x y 20 A. 2x y 30, 3x 4y 60, x 0, y 0
x y 10 B. 2x y 30, 3x 4y 60, x 0, y 0
x 20 C. x 2y 30, 4x 3y 60, x 0, y 0
y 20
D. x 2y 30, 4x 3y 60, x 0, y 0
adalah . . . .
A. 50 D. 20 E. 2x y 30, 4x 4y 60, x 0, y 0
B. 40 E. 10 (SPMB 2003)
C. 30 (UMPTN 2001)
3. Nilai maksimum dari f(x, y) 10x 20y dengan
2. y kendala x 0, y 0, x 4y 120, x y 60
adalah . . . .
30 A. 400 D. 700
15 B. 500 E. 800
C. 600 (SPMB 2004)
O 15 20
Bab 16 Program Linear 119
4. y A. 9 D. 16
B. 10 E. 20
6
y x C. 12 (SPMB 2005)
6. Nilai z 3x 2y maksimum pada x a dan
1
y b juga memenuhi pertidaksamaan
O 5 6 2x y 0
x 2y 0
Daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah x 2y 8
penyelesaian sistem pertaksamaan linear . . . . maka a b . . . .
A. 6x 5y 30 0, x 6y 6 0, x y 0 A. 2 D. 4
B. 6x 5y 30 0, x 6y 6 0, x y 0 B. 1 E. 6
C. 6x 5y 30 0, x 6y 6 0, x y 0 C. 2 (SPMB 2005)
D. 6x 5y 30 0, x 6y 6 0, x y 0
E. 6x 5y 30 0, x 6y 6 0, x y 0 7. Nilai minimum dari fungsi F x y pada daerah
(SPMB 2004) yang memenuhi pertidaksamaan 4x y 12,
2x y 12, x 2y 6, x 0 dan y 0 adalah
5. Nilai maksimum dari 4x y untuk x dan y A. 0 D. 8
yang memenuhi 5x 3y 20, 3y 5x 10, B. 3 E. 12
x 0, y 0 adalah . . . . C. 6 (SPMB 2006)
Intersection
Untuk menguasai materi program linear sebaiknya pelajari dahulu materi tentang persamaan
linear dua variabel atau tiga variabel. Materi tentang program linear juga banyak digunakan
dalam ilmu ekonomi. Jika kamu ingin menjadi pengusaha yang handal, pahami dan pelajarilah
bab ini dengan saksama.
120 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab
17 Matriks
Contoh
A. Pengertian dan Jenis-jenis Matriks
2
2
C 9 D 1
1. Pengertian matriks 3
Perhatikan susunan kumpulan bilangan di
bawah ini.
c. Matriks persegi
8 4 3
Matriks persegi adalah matriks yang banyak
A 1 6 2 barisnya sama dengan banyak kolomnya.
5 7 9
Matriks adalah susunan kumpulan bilangan Contoh
yang berbentuk persegipanjang dan dinyatakan
dalam baris dan kolom. 2 3 4
Matriks A terdiri dari 4 baris dan 3 kolom, 6 8
E F 1 5 3
6 8
maka matriks A berordo 4 3. 4 6 8
Bentuk umum, matriks berordo i j dengan
i, j bilangan asli, dapat dituliskan sebagai berikut.
a11 a12 a1 j d. Matriks nol
Baris pertama
a21 a22 a2 j Matriks nol adalah matriks yang semua
Baris kedua
Ai j elemennya nol.
ai1 ai2 aij Baris ke-i
Contoh
Kolom Kolom Kolom 0 0 0
pertama kedua ke-j 0 0 0
G H 0 0 0
0 0 0
0 0 0
2. Jenis-jenis matriks
a. Matriks baris e. Matriks identitas
Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari Matriks identitas adalah matriks yang elemen-
satu baris. elemen diagonal utamanya sama dengan 1,
sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0.
Contoh
A (8 4) B (5 1 7) Contoh
1 0 0
1 0
b. Matriks kolom I 0 1 0 J
0 1
0 0 1
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari
satu kolom.
Bab 17 Matriks 121
f. Matriks skalar
Matriks skalar adalah matriks yang elemen- B. Operasi Hitung
elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen
di luar elemen diagonalnya sama dengan 0.
Jika matriks K, L, dan M dapat dioperasikan
Contoh dengan n adalah konstanta, maka berlaku aturan
berikut.
3 0 5 0 0 1. K L L K
K L 0 5 0
0 3 2. (K L) M K (L M)
0 0 5
3. K(L M) KL KM
4. (K L)M KM LM
g. Matriks diagonal 5. K(L M) KL KM
6. M(K L) MK LM
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang
elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. 7. n(K L) nK nL
8. n(K L) nK nL
Contoh 9. (n p)K nK pK
10. (n p)K nK pK
7 0 0
3 0 11. (np)K n(pK)
M N 0 5 0
0 4 12. n(KL) (nK)L K(nL)
0 0 11
13. (KL)M K(LM)
Cara melakukan perkalian dua buah matriks adalah
h. Matriks segitiga atas
Am p Bp n Cm n
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi
yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya
bernilai nol.
Jadi, perkalian matriks dapat dilakukan bergantung
Contoh pada ordo matriks tersebut.
5 3 6 3 2 5 1
Misalnya: A , B
O 0 1 4 1 4 6 2
0 0 8 3 2 5 1
A B
1 4 6 2
11 2 5 1 3 5 2 6 3 1 2 2
0 4 7 3 1 5 4 6 1 1 4 2
P
0 0 6 15
0 0 0 9 15 12 3 4 27 7
5 24 1 8 29 9
i. Matriks segitiga bawah I N G A T
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi Perkalian matriks AB BA
yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya
bernilai nol.
Contoh Contoh
4 0 0
1. Diketahui matriks
Q 2 1 0
3 5 8 2 3 5 4 5 1
A 1 0 8 B 1 0 2
3 0 0 0
3 1 7 3 3 1
2 1 0 0
R
5 13 9 0 Nilai matriks C yang memenuhi
8 1 7 4 2C 3B A adalah . . . .
122 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
7 2 6 10 b 4 2a 3 5
A. C 6 0 5 b 4 10 2a 5 3
1 7 5 b 6 2a 8
7 6 1 b 6 a 4
B. C 2 0 7 atau
6 5 5
25 6b 11
1 6 7
C. C 7 0 2 6b 11 25
5 6 5 6b 36
b 6
7 1 6 5a 18 2
D. C 2 0 5 5a 18 2
6 7 5 5a 20
14 12 2 a 4
E. C 4 0 14
Jadi, a 4 dan b 6.
12 10 10
Kunci: C
Jawab:
4 5 1 2 3 5
2C 3 1 0 2 1 0 8
3 3 1 3 1 7
12 15 3 2 3 5 C. Transpos
2C 3 0 6 1 0 8
9 9 3 3 1 7
Transpos matriks A atau AT adalah sebuah
2 12 3 15 5 ( 3) matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris
2C 1 3 0 0 8 6 ke-i matriks A menjadi kolom ke-j dan sebaliknya
3 9 1 ( 9) 7 3 menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris
14 12 2 ke-i.
2C 4 0 14 Misalnya:
12 10 10
6 5 1 6 2 4
7 6 1 A 2 3 7 , maka AT 5 3 0
C 2 0 7 4 0 9 1 7 9
6 5 5
Kunci: B Sifat-sifat matriks transpos adalah sebagai berikut.
(A B)T AT BT
2. Diketahui matriks (AT)T A
2 1 5 a 4 5
P , Q , R (cA)T cAT, c adalah konstanta
5 6 b 3 11 2
(AB)T BTAT
Bila PQ R, maka nilai a dan b berturut-
turut adalah . . . .
A. a 4 dan b 6
B. a 4 dan b 6 Contoh
C. a 4 dan b 6 Jika matriks
D. a 4 dan b 6 5 3p 5 6
E. a 6 dan b 4 A dan B
6 x 1 3 p
Jawab: Jika AT B, maka nilai x adalah . . . .
PQ R
A. 2 D. 1
2 1 5 a 4 5 B. 0 E. 2
5 6 b 3 11 2
1
10 b 2 a 3 4 5 C.
2
25 6 b 5 a 18 11 2
Bab 17 Matriks 123
Jawab: Jawab:
5 3p 5 6
A , AT 3x x 3
6 x 1 3p x 1 |A| 2
2 x 4
5 6 5 6
AT B
3p x 1 3 p
|A| 3x(x 4) 2(x 3) 2
Sehingga diperoleh, 3x2 12x 2x 6 2 0
3p 3 x 1 p 3x2 14x 6 2 0
p 1 x 1 1 3x2 14x 8 0
x 1 1
(3x 2)(x 4) 0
x 2
2
Kunci: E x atau x 4
3
Kunci: C
D. Determinan dan Invers Matriks
2. Invers matriks
Matriks persegi dengan ordo 2 2.
1. Determinan
Determinan dari matriks persegi A dinotasikan a b
A
dengan |A|. c d
Untuk matriks A berordo 2 2, determinan
Determinan dari matriks A adalah
matriks A didefinisikan sebagai berikut.
a b |A| ad bc
A
c d
Invers dari matriks A, memenuhi AA 1 A 1A I,
a b di mana I matriks identitas. Invers matriks A
Determinan A adalah |A| ad bc
c d atau biasa ditulis A 1 adalah
Untuk matriks B berordo 3 3 determinan matriks
B didefinisikan sebagai berikut. 1 d b
A 1
ad bc c a
a b c
B d e f Suatu matriks mempunyai invers apabila:
g h i matriks tersebut adalah matriks persegi
determinannya tidak sama dengan nol
a b c a b
B d e f d e
g h i g h
Contoh
aei bfg cdh ceg afh bdi Diketahui matriks
1 2 5 5
A dan B
Contoh 3 1 10 0
Jika AX B, maka matriks X adalah . . . .
3x x 3
Diketahui matriks A . Nilai x 1 2 1 2
2 x 4
A. 6 0 D. 6 0
jika det A 2 adalah . . . .
2 3 1 2 1 2
A. D. 5 5
3 4 5 5
B. 3 6 E.
3 3 1
B. E. 4 5 5 5 5
4
1 2
2
C. C. 6 0
3
124 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Jawab: 1 2
1 1 1 2 5 5
AX B A
1 1 5 3 1 3 1
A AX A B 5 5
IX A 1B 1 2
5 5 5 5 1 2
X A 1B X
3 1 10 0 6 0
|A| ( 1)(1) 2( 3) 5 5
1 6 5 Kunci: A
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 4 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang operasi hitung matriks.
• Soal nomor 5 – 9 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang invers pada matriks.
• Soal nomor 10 – 15 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus pelajari determinan
dan akar-akar persamaan kuadrat.
m 0 2 n A. 3 D. 0
1. Jika B. 2 E. 1
0 n 4 5 3m
C. 1
maka m n . . . .
A. 2 D. 2 2 1 x 8
B. 1 E. 3 5. Jika 5 3 y 9 , maka
C. 1
nilai x dan y adalah . . . .
2. Ditentukan A. x 2 dan y 3
a b 2 4 b c 10 7 B. x 3 dan y 2
2
c 4 d 8 2d 4 a 1 . C. x 3 dan y 2
Nilai a b c d adalah . . . . D. x 2 dan y 3
A. 11 D. 7 E. x 3 dan y 2
B. 9 E. 3
4 9 5p 5
C. 8 6. Diketahui matriks A ,B ,
3 4p 1 3
5 2 2 1 10 8
3. Diketahui matriks A ,B , dan C . Jika matriks A B C 1,
9 4 p p q 4 6p
1 0 nilai 2p adalah . . . .
dan A B , maka p q . . . .
0 1 A. 1 D. 1
23 17 1
A. D. B. E. 2
2 2 2
21 15 1
B. E. C.
2 2 2
19
C.
2 1 1 6m 4
7. Diketahui matriks A 2 ,B ,
4m 1 1 1
p 1 p q 1 0 1 0
4. A , B , dan
p 2s s t 0 1 1 8m 1
dan C dengan B adalah invers
2 1 5
Jika A B C , maka q 2t . . . .
Bab 17 Matriks 125
dari matriks B. Jika A2 B 1
C, nilai m yang 3 2
memenuhi adalah . . . . 12. Jika X adalah invers dari matriks 2 2 , maka
A. 2 C. 2
X2 adalah matriks . . . .
1
B. E. 6 31 21
6 2 2 4 2
A. 2 3 D. 1
1 2 2
C. 2
2
21 2
3 2 2
B. E.
8. Diketahui matriks A
2 1
dan B
3 2
.
2 2 31 21
3 5 1 3 4 2
Matriks X berordo 2 2 yang memenuhi 2 21
XB BAB adalah . . . . 2
C.
12 13 0 7 21 3 1
A. D. 2 4
11 16 7 14
13. Jika matriks
0 7 5 7
B. 11 16 E. 4 21 3 1 2 1
A dan B
3 2 1 1
12 13
C. 7 14 memenuhi persamaan A BX, maka X adalah
matriks . . . .
9. Jika x dan y memenuhi persamaan matriks 1 1 1 0
A. 1 2 D. 1 1
p q x p
, p q
q p y q
1 1 1 1
maka x 2y . . . . B. 1 2 E. 1 2
A. 6 D. 1
B. 1 E. 2 1 2
C. 0 C. 1 1
2 3 6 12
10. Diketahui A , B dan
1 2 4 10 4 2
14. Diketahui matriks A dan
A2 xA yB. Nilai xy . . . . 3 4
5 3
1 A
2 1 . Jika AC B dan C 1 adalah
A. 4 D.
2 invers matriks C, maka determinan dari
B. 1 E. 2 matriks C 1 adalah . . . .
1 A. 2 D. 2
C.
2 B. 1 E. 3
C. 1
2 4 1 2
11. Diketahui matriks P , Q ,
3 1 1 2 4 5
15. Diketahui matriks P dan
4 x
7 10
dan B . Jika BT adalah matriks B 3x 2
7 9 Q . Jika x1 dan x2 adalah akar-
1 x
transpos dan matriks A P Q, maka matriks
X(2 2) yang memenuhi persamaan A · X BT akar dari persamaan yang memenuhi
adalah . . . . det (P) det (Q), maka x12 x22 . . . .
2 3 1 3 4 7
A. 3 1 D. 2 1 A. 7 D. 13
9 9
2 3 1 3 8 1
B. 1 1 E. 2 1 B. 10 E. 15
9 9
3 2 2
C. C. 11
1 3 9
126 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. A
p 1 p q
,B
1 0
dan 2 2 31
4
21
2
p 2s s t A. D.
2 3 21 2
1 1 2
C .
0 1
3 2 21 2
Jika A B 2
C , maka q 2t . . . . 4
B. 2 2 E.
A. 3 D. 0 21 21
2 2
B. 2 E. 1
C. 1 (UMPTN 2001) 2 21
2
C. (SPMB 2003)
21 3 1
3 x 2 5 2 4
2. Persamaan merupakan per-
4 5 y 1 6. Diketahui matriks
samaan dua garis lurus yang berpotongan di
titik yang jumlah absis dan ordinatnya sama a b
u v
dengan . . . . P c d , Q , dan PT transpos dari
w z
A. 0 D. 4 e f
B. 2 E. 5 matriks P. Operasi yang dapat dilakukan pada
C. 3 (UMPTN 2001) P dan Q adalah . . . .
3 5 A. P Q dan PQ D. PQ dan QTP
3. Jika A , AT adalah transpos dari B. PTQ dan QP E. PQ dan QPT
1 2
C. PQ dan QP (SPMB 2003)
matriks A, dan A 1 adalah invers dari matriks
A, maka AT A 1 . . . . 7. Jika A, B, dan C matriks 2 2 yang memenuhi
5 4 5 4 0 1 1 0
A. 6 1 D. 4 5 AB dan CB , maka CA 1
1 0 0 1
1 6 5 4 adalah . . . .
B. 6 1 E. 4 5 0 1 1 0
A. 1 0 D. 0 1
1 4
C. 4 1 (SPMB 2002) 0 1 0 1
B. 1 0 E. 1 0
4. Jika p, q, r, dan s memenuhi persamaan
1 0
p q 2a r 1 1 C. 0 1 (SPMB 2003)
2r s q 2p 1 1
maka p q r s 6 adalah . . . . 3 1 2 1
8. Jika matriks A dan B
A. 7 D. 0 3 1 1 1
B. 3 E. 1 memenuhi AX B, maka X adalah
C. (SPMB 2003)
matriks . . . .
1 1 1 0
A. 1 2 D. 1 1
3 2
5. Jika X adalah invers dari matriks 2 2 , maka 1 1 1 1
B. 1 2 E. 1 2
X2 adalah matriks . . . .
1 2
C. 1 1 (SPMB 2003)
Bab 17 Matriks 127
9. Jika x dan y memenuhi persamaan matriks 14. Diberikan dua matriks A dan B dengan
1 x 1 1 4 5 k 9 m
, maka x y . . . . A dan B . Jika AB BA,
3 2 y 2 1 0 2 0 5
A. 4 D. 4 k
maka . . . .
B. 2 E. 8 m
C. 2 (SPMB 2003) 4 10
A. D.
a a 4 3 45
10. Diketahui M dengan a 0. Jika 3
5 a 1 B. E. 2
4
determinan matriks M sama dengan 1, maka 3
M 1 sama dengan . . . . C. (SPMB 2004)
4
8 11 7 11
A. D. 15. Hasil kali semua nilai x sehingga matriks
5 7 5 8
7 11 7 5 x2 2x x 10
B. E. tidak mempunyai invers
5 8 11 8 x 2 x 6
8 11 adalah . . . .
C. (SPMB 2003) A. 20 D. 20
5 7
B. 10 E. 9
11. Dua garis dalam persamaan matriks C. 10 (SPMB 2004)
2 a x 5 16. Nilai p yang memenuhi persamaan matriks
saling tegak lurus jika
b 3 y 4 2 1 6 2p 2 1 0 1
2
a : b . . . . 1 3 4 1 1 1 2 4
A. 6:1 D. 2 : 3 adalah . . . .
B. 3 : 2 E. 1 : 2 A. 2 D. 1
C. 1 : 1 (SPMB 2003) B. 1 E. 2
C. 0 (SPMB 2004)
12. Jika x dan y memenuhi pertidaksamaan matriks
17. Jika konstanta k memenuhi persamaan
p q x p
, p q , maka x 2y . . . . k 1 x 1 0
q p y q , maka x y . . . .
1 0 y 1 k
A. 6 D. 1
A. (2 k)(1 k) D. (1 k)(1 k)
B. 1 E. 2
B. (2 k)(1 k) E. (1 k)(2 k)
C. 0 (SPMB 2003)
C. (2 k)(1 k) (SPMB 2006)
18. Transpos dari matriks Q ditulis Q T. Jika
a 1 2
1 1
13. Jika a bilangan bulat, matriks a 1 a tidak Q dan det (2Q Q T) 0, maka
p 1
5 6 7
mempunyai invers untuk a . . . . nilai p . . . .
A. 5 D. 2 1 1
B. 4 E. 1 A. 1 D. 2 atau 1
2 2
C. 3 (SPMB 2004) 1
B. 1 atau 2 E. 1 atau 1
2
1
C. 2 atau 1 (SPMB 2006)
2
Intersection
Bab ini sangat erat kaitannya dengan materi transfomasi geometri. Untuk memahami materi ini,
terlebih dahulu pahami sistem persamaan linear.
128 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab
18 Vektor
A. Pengertian dan Penulisan Vektor B. Operasi pada Vektor
1. Pengertian vektor Misalkan penjumlahan dari vektor a dengan
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar vektor b adalah vektor c , dituliskan c a b.
dan arah. Besaran yang hanya mempunyai besar Vektor c disebut resultan.
saja tanpa arah disebut besaran skalar. Sifat-sifat penjumlahan vektor.
a b b a
2. Penulisan vektor
(a b) c a (b c)
Suatu vektor dapat dituliskan dengan memakai o a a o a
lambang huruf kecil yang dicetak tebal, misalnya a,
Vektor o adalah unsur identitas.
b, c, . . . , k, l, m, . . . , s, t, u, . . . .
Untuk menghindari kesulitan jika ditulis a b 0 , di mana vektor a merupakan
dengan tulisan tangan, suatu vektor dilambangkan invers penjumlahan dari vektor b .
dengan huruf kecil yang ditambahkan tanda panah
Pengurangan vektor a dengan vektor b dapat
di atas huruf tersebut. Misalnya a, b, c, . . . , k, l,
ditentukan dengan menggunakan invers
m, . . . , s, t, u, . . . . penjumlahan dari sebuah vektor.
Jika vektor a (x, y), maka panjang vektor a Misalnya x a b a ( b)
adalah sebagai berikut.
Contoh
a x2 y2
Diketahui vektor a ( 4, 2, 4) dan vektor
b (0, 3, 4), maka nilai a b ,
adalah . . . .
Contoh
A. 1 D. 6
Diketahui titik A(2, 1, 3) dan B(4, 0, 5), maka B. 17 E. 11
nilai vektor p yang mewakili ruas garis C. 41
berarah dari titik A ke titik B adalah . . . .
A. 3 D. 9 Jawab:
B. 2 E. 12 a ( 4)2 (2)2 (4)2
C. 3 16 4 16 36 6
Jawab: b 02 ( 3)2 42
p ab (4 2, 0 ( 1), 5 3) (2, 1, 2)
0 9 16 25 5
p 22 12 22 Sehingga diperoleh,
4 1 4 9 3 a b 6 5 1
Kunci: C Kunci: A
Bab 18 Vektor 129
8 8
C. Perkalian Skalar Dua Vektor dan
9 9
Proyeksi Vektor 4 4
A. 9 D. 9
Jika a dan b vektor-vektor tak nol dan sudut
8 8
di antara vektor a dan b , maka perkalian skalar 9 9
vektor a dan b didefinisikan
4 4
a b a b cos 9 9
8 8
B. 9 E.
Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor. Jika a , 9
b , c vektor-vektor di R2 atau di R3 dan m, n 8 8
skalar tak nol, maka diperoleh aturan berikut. 9 9
a b b a 8
a( b c) ab ac 9
C. 4
n(a b) ( n a) b a(n b) 9
(m n)a m a na 8
n(a b) na nb 9
A Jawab:
Misalkan proyeksi vektor a pada b
adalah c , maka
a
a b
c 2
b
b
c C
O B
b
b 22 ( 1)2 ( 2)2
Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor 4 1 4 9 3
c . Perhatikan AOC!
c 1 2
cos 0 1
a 2
c a cos 1 2
c 1
32
a b a b 2
a
a b b
2
2 0 2
Panjang proyeksi vektor a pada vektor b 1
9
a b 2
adalah c .
b 8
9
Proyeksi vektor a pada b adalah 2 4
4 1 9
a b 9
c b 8
2 2
b 9
Kunci: A
Contoh 2. Vektor a ( 2, 1, 3) dan vektor
b (1, 3, 2), maka besar sudut antara
1. Diketahui vektor vektor a dan vektor b adalah . . . .
a ( 1, 0, 1), b (2, 1, 2) A. 30 D. 90
maka proyeksi vektor a pada b B. 45 E. 120
adalah . . . . C. 60
130 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
B
Jawab: n
b
C
2 c
a 2 ( 1)2 32 m
a
4 1 9 14 O A
Titik C pada ruas garis AB dengan perbandingan
b 12 ( 3)2 22
m : n sehingga vektor c di R3 adalah
1 9 4 14 mb na
c
2 1 m n
a b 1 3 Contoh
3 2
2 3 6 7 Berapakah koordinat titik pada garis
penghubung A(2, 0, 6) dan B(2, 4, 6) di dalam
a b 7 7
cos dengan perbandingan 3 : 1?
a b 14 14 14
A. (2, 6, 3) D. (2, 3, 6)
60° B. (6, 2, 3) E. (3, 2, 6)
Kunci: C C. (3, 6, 2)
Jawab:
Misalkan titik tersebut adalah C maka
AC : CB 3 : 1
D. Perbandingan Vektor Koordinat titik C adalah
2 2
m n
3 4 1 0
P R 6 6
Q C
3 1
Titik Q membagi PR di dalam sehingga 6 2 8
PQ : QR m : n atau PQ : PR m : (m n) 12 0 12
m 18 6 24 2
3
P Q 4 4
R 6
n
Jadi, koordinat titik C (2, 3, 6).
Titik Q membagi PR di luar sehingga Kunci: D
PQ : QR m : ( n).
Bab 18 Vektor 131
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 6 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang operasi pada vektor.
• Soal nomor 7 – 18 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari tentang panjang proyeksi
vektor.
• Soal nomor 19 – 21 merupakan kategori soal yang sulit, pelajari semua materi vektor.
3 2 1v u 1u 1v
A. D.
3 6 3
1. Besar sudut antara a 2 dan b 3
v 1u 1u 1v
4 3 B. E.
3 6 3
adalah . . . . 1v 1u
C.
A. 180 D. 30 3 6
B. 90 E. 0 5. ABCDEF adalah segi enam beraturan dengan
C. 60 pusat O. Bila AB dan BC masing-masing
dinyatakan oleh vektor u dan v , maka CD
2. Diketahui a 3, b 1, dan a b 1 sama dengan . . . .
Panjang vektor a b . . . . A. u v D. u 2v
A. 3 D. 2 2 B. u v E. v u
C. 2 v u
B. 5 E. 2 3 1
C. 6. Diketahui persegipanjang OACB dan D titik
7
tengah OA, CD memotong diagonal AB di P.
3. Diketahui vektor-vektor Jika OA a dan OB b , maka O P dapat
dinyatakan sebagai . . . .
4 5 7 1 (a 1a 2b
A. b) D.
u 2 , v 3 , dan w 1 2 3 3
5 7 4 1 (a b) 1a 2b
B. E.
3 2 3
vektor 3 u 2v w sama dengan . . . . 2a 1b
C.
3 3
9 7
A. 1 D. 1 7. Diketahui vektor u 2i 4j 6k dan
5 5 v 2 i 2 j 4 k . Proyeksi vektor ortogonal
u pada v adalah . . . .
9 5 A. 4i 8 j 12k D. i 2 j 3k
B. 2 E. 3 B. 4i 4 j 8k E. i j 2k
4 9 C. 2i 2 j 4k
8 8. Diketahui |a| 6, (a b) (a b) 0, dan
C. 2 a (a b) 3. Besar sudut antara vektor a
7 dan b adalah . . . .
A. D.
6 2
4. Dalam ABC, diketahui P titik berat ABC dan
B. E.
4
Q titik tengah AC. Jika CA u dan CB v,
C.
maka PQ . . . . 3
132 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
A. 110 D. 18
2 2
9. Diketahui vektor a 4 dan b m . Jika B. 84 E. 12
5 5 C. 56
proyeksi skalar ortogonal vektor b pada
vektor a sama dengan 3 5 , maka nilai m sama 15. Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut
5
dengan . . . . 60 dengan a 2 dan b 5, maka nilai
A. 4 D. 7 a(b a) ....
B. 5 E. 8 A. 5 D. 9
C. 6 B. 7 E. 10
C. 8
10. Diketahui
a 4i 3j pk 16. Diketahui vektor-vektor a 2i 4j 3 k,
b 3i 4j pk b xi zj 4 k, c 5i 3j 2 k, dan
Jika sudut antara vektor a dan b sama
d 2i zj xk . Jika vektor a tegak lurus
dengan 60 , maka nilai p . . . .
terhadap vektor b dan vektor c tegak lurus
A. 3 D. 6
5 3 terhadap vektor d , maka a b ....
B. E. 3 5
3 A. 6j k D. 2i k
C. 5
B. 4i 2j k E. 4i 6j k
11. Diketahui vektor-vektor a 2i j 9 k,
C. 6i k
b i j 3 k, c 3i 2j k, dan d a 2 b.
Proyeksi vektor d pada vektor c adalah . . . . 17. Vektor yang merupakan proyeksi vektor
(3, 1, 1) pada vektor (2, 5, 1) adalah . . . .
1b 1c
A. D. 1 (2, 5, 1) 1 30(2, 5, 1)
2 7 A. D.
2 3
1b 1b
B. E. 1 (2, 5, 1) 1 (2, 5, 1)
4 7 B. E.
3 4
1c
C. 1 (2, 5, 1)
2
C.
30
12. Diketahui vektor a i j 2 k dan
b ni j 2 k. Jika vektor a dan 18. Titik-titik P, Q, dan R segaris, serta P ( 1, 1)
dan R(3, 5). Jika PQ QR, maka Q . . . .
vektor b membentuk sudut 60 , maka nilai A. (3, 1) D. (1, 3)
n . . . .
B. (2, 2) E. (2, 3)
A. 2 D. 1
C. (1, 1)
B. 1 E. 2
C. 0 19. Diketahui a (x, 1, 5) dan b (6, 3, 6).
13. Diketahui: a Panjang proyeksi a pada b adalah 5 satuan,
3i j k
b 2i 3j 2k maka a sama dengan . . . .
c 6i 6j 3k A. 5 D. 2 10
Proyeksi vektor (a 2 b) pada c adalah . . . . B. 6 E. 3 10
A. 2i 2j k D. 2i 2j k C. 30
B. 3i 4j 3k E. 2i 2j k
1 2
C. 3i j 2k
20. Diketahui vektor a x , b
1 , dan
14. Diketahui titik A(7, 4, 1), B(2, 4, 9), dan 1 2
C(1, 3, 2). Jika P terletak pada AB dengan 2
panjang proyeksi a pada b adalah . Sudut
AP : PB 2 : 3, maka panjang |CP | . . . 6
satuan panjang. antara a dan b adalah a, maka cos a . . . .
Bab 18 Vektor 133
2 2 x
A. D.
3 6 6 21. Sudut antara vektor u 1 dan vektor
1 6 3
B. E.
3 3
1
2
C. v 3 adalah . Nilai x . . . .
3 3
2
A. 46 D. 5
B. 10 E. 2
46
C.
5
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. ABCDEF adalah segi enam beraturan dengan 4. Diberikan matriks dan vektor-vektor sebagai
pusat O. Bila AB dan BC masing-masing berikut.
dinyatakan oleh vektor u dan v , maka 2 2 1
p
CD . . . . A 2 1 ,a 2 ,b , dan AT me-
q
A. u v D. u 2v 3 2 2
B. u v E. v u
nyatakan transpos dari A. Jika vektor AT a
C. 2v u (SPMB 2002) tegak lurus dengan vektor b , maka nilai p
sama dengan . . . .
2. Diketahui kubus OABC.DEFG. Jika A. q D. 2q
OA B. q E. 3q
(1, 0, 0), OC (0, 0, 1), vektor proyeksi
C. 2q (SPMB 2004)
AF ke OF adalah . . . .
1 2 5. Bila panjang proyeksi vektor b i 2 j pada
A. (1, 1, 1) D. (1, l, 1) vektor a xi y j dengan x, y 0 adalah 1,
2 3
maka nilai 4x 3y 1 . . . .
3 1 1 1 A. 1 D. 2
B. (1, 1, 1) E. , ,
3 3 3 3 B. 1 E. 3
2 C. 0 (SPMB 2004)
C. 3 (1, 1, 1) (SPMB 2003)
3 6. Diketahui bidang empat ABCD,
pada
3. Jika sudut antara vektor a DA a, DB b, dan DC c. Jika titik Q pada AB
i 2j p k dan
dengan AQ : QB 1 : 2 dan titik R pada BC
b i 2j p k adalah 60 , maka p . . . . dengan BR : RC 1 : 2, maka QR . . . .
1 1 a b c 2a b c
A. atau D. A. D.
2 2 5 atau 5 3 3
a b c 2a b c
1 1 B. E.
B. 1 atau 1 E. 5 atau 5 3 3
2 2
2a b c
C. 2 atau 2 (SPMB 2003) C. (SPMB 2004)
3
134 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
7. Diberikan vektor-vektor posisi a i 2 k dan A. D.
4
b 3i k . Notasi x menyatakan panjang
B. E.
vektor x . Sudut antara vektor b a ab 2 5
dengan b a a b adalah . . . . C. (SPMB 2006)
3
Intersection
Materi ini banyak diaplikasikan dalam ilmu Fisika.
Bab 18 Vektor 135
Bab
19 Transformasi Geometri
A. Translasi (Pergeseran) A( 1, 3) A (2, 5)
1 a 2 a 3
h 3 b 5 b 2
Titik P(a, b) ditranslasikan dengan T1 k , a 3
maka diperoleh bayangan P (a h, b k). Kemudian Jadi, nilai T .
b 2
m Kunci: A
bayangan P ditranslasikan dengan T2 n , maka 2. Bayangan lingkaran
diperoleh (x 5)2 (y 2)2 9 jika ditranslasikan
2
T2 m oleh T 1 adalah . . . .
n
P (a h, b k) P (a (h m), b (k n))
A. (x 7)2 (y 3)2 9
2 2
P (a h m, b k n) diperoleh dengan B. (x 7) (y 3) 9
2 2
h m C. (x 7) (y 3) 9
mentranslasikan P(a, b) dengan T . D. (x 7) 2
(x 2
3) 9
k n
2 2
Translasi T1 kemudian dilanjutkan dengan T2 E. (x 3) (y 7) 9
ditulis T2 T1 . Jawab:
Ambil sebarang titik P(a, b) pada
h m
P(a, b) T2 T1
k n P (a n m, b k n) (x 5)2 (y 2)2 9, maka
(a 5)2 (b 2)2 9 . . . (*)
2
Translasikan titik P dengan T 1
Contoh sehingga diperoleh
1. Translasi T memetakan titik A( 1, 3) T
2
1
ke titik A (2, 5), maka translasi T P(a, b) P (a ( 2), b 1)
adalah . . . . P (a 2, b 1)
3 2
A. D. a a 2 a a 2
2 3
b b 1 b b 1
2 3
B. E. Substitusi a dan b ke (*).
3 2
3 ((a 2) 5)2 ((b 1) 2)2 9
C. 2 2
2 (a 2 5) (b 1 2) 9
Jawab: (a 7)2 (b 3)2 9
a
Misalkan translasi T Jadi bayangan lingkaran adalah
b
T a
b
(x 7)2 (y 3)2 9
A( 1, 3) A( 1 a, 3 b) Kunci: B
136 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
6. Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis x h
B. Refleksi (Pencerminan) menghasilkan bayangan titik G(2h a, b).
1. Pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu-x A(a, b) Garis y h
G(2h a, b)
menghasilkan bayangan titik B(a, b).
Bentuk matriks transformasinya adalah
A(a, b) Sumbu-x B(a, b) 1 0 a 2h
G
0 1 b 0
Matriks transformasi untuk pencerminan
terhadap sumbu-x adalah 7. Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y k
1 0 1 0 a menghasilkan bayangan titik H(a, 2k b).
0 1 sehingga B 0 1 b
.
Garis y k
A(a, b) H(a, 2k b)
2. Pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu-y
menghasilkan bayangan titik C( a, b).
Bentuk matriks transformasinya adalah
A(a, b) Sumbu- y C( a, b) 1 0 a 0
H
0 1 b 2k
Matriks transformasi untuk pencerminan
terhadap sumbu-y adalah Contoh
1 0 1 0 a
0 1 , sehingga C . 1. Bayangan dari titik P( 2, 5) jika
0 1 b
dicerminkan terhadap garis x 3
3. Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y x adalah . . . .
menghasilkan bayangan titik D(b, a). A. ( 2, 11) D. ( 8, 5)
B. ( 2, 1) E. (2, 5)
Garis y x
A(a, b) D(b, a) C. ( 4, 5)
Jawab:
Matriks transformasi untuk pencerminan
P(a, b) Garis x h P (2h a, b)
terhadap garis y x adalah
P( 2, 5) Garis x 3 P (2( 3) ( 2), 5)
0 1 0 1 a
1 0 sehingga D . P ( 6 2, 5)
1 0 b
P ( 4, 5)
4. Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis
Kunci: B
y x menghasilkan bayangan titik E( b, a).
2. Bayangan parabola y 2x2 4x 7
A(a, b) Garis y x E( b, a) yang dicerminkan terhadap garis y 2
adalah . . . .
Matriks transformasi untuk pencerminan A. y 2x2 4x 11
terhadap garis y x adalah B. y 2x2 4x 11
0 1 0 1 a C. y 2x2 4x 11
1 0 sehingga E 1 0 b . D. y 2x2 4x 11
5. Pencerminan titik A (a, b) terhadap titik asal O E. y 2x2 4x 11
menghasilkan bayangan titik F( a, b). Jawab:
Ambil sembarang titik P(a, b) pada
O(0, 0)
A(a, b) F( a, b) y 2x2 4x 7 sehingga
b 2a2 4a 7 . . . (*)
Matriks transformasi untuk pencerminan Refleksikan titik P terhadap garis
terhadap titik asal O adalah y 2.
1 0 1 0 a P(a, b) Garis y 2 P (a, 2( 2) b)
0 1 sehingga F 0 1 b
.
P (a, 4 b)
Bab 19 Transformasi Geometri 137
Titik A(x, y) diputar sebesar radian terhadap
a a titik pusat P(a , b) sehingga diperoleh A (x , y ), maka
b 4 b b 4 b terdapat hubungan berikut.
Substitusi nilai a dan b ke (*) x (x a) cos (y b) sin a
4 b 2(a )2 4(a ) 7 y (x a) sin (y b) cos b
b 2(a )2 4a 7 4 atau dapat ditulis dalam bentuk matriks
2
b 2(a ) 4a 11
b 2(a )2 4a 11 x cos sin x a a
y 2x2 4x 11 A
y sin cos y b b
Kunci: A
Contoh
C. Rotasi (Perputaran) 1. Titik H(2, 3) diputar 60 berlawanan
dengan arah jarum jam terhadap titik
pusat O(0, 0). Bayangan titik H oleh rotasi
1. Rotasi terhadap titik pusat O(0, 0) tersebut adalah . . . .
y
3 3
A (x , y ) A. H 1 3, 3
2 2
3 3
B. H 1 3, 3
2 2
A(x, y)
3 1
C. H 3,
2 2
1 3
x D. H 3,
O B A 2 2
Jika titik A(x, y) diputar sebesar radian 3
E. H 3, 3
terhadap titik pusat O, maka diperoleh bayangan 2
titik A (x , y ), maka terdapat hubungan berikut. Jawab:
x x cos y sin
60 dan H(2, 3)
y x sin y cos
x 2 cos 60 3 sin 60
atau dapat ditulis dalam bentuk matriks
1 1 3
2 · 3 3 1 3
2 2 2
x cos sin x y 2 sin 60 3 · cos 60
A
y sin cos y 1 1 3
2 · 3 3 · 3
2 2 2
Tabel hasil rotasi terhadap pusat O(0,0) adalah
3 3
sebagai berikut. H (x , y ) 1 3, 3
2 2
Titik Asal Bayangan Kunci: A
90 (x, y) ( y, x)
180 (x, y) ( x, y) 2. Bayangan parabola y x2 2x 4 yang
dirotasikan sebesar 90 berlawanan
270 (x, y) (y, x)
dengan arah perputaran jarum jam
360 (x, y) (x, y) dengan titik pusat Q(2, 3) adalah . . . .
A. x y 4y 2
2. Rotasi terhadap titik pusat P(a, b) B. x y2 4y 2
2
C. y x 4x 2
A (x , y )
D. y x2 4x 2
A(x, y)
E. y x2 4x 2
P(a, b) Jawab:
Ambil sembarang titik A(a, b) pada
y x2 2x 4 sehingga
138 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Dinyatakan dalam bentuk matriks adalah sebagai
b a2 2a 4 . . . (*) berikut.
Rotasikan titik A sebesar 90 berlawanan
arah jarum jam dengan titik pusat x k 0 x
A
Q(2, 3), dengan rotasi ini diperoleh titik y 0 k y
A (a , b ).
a cos 90 sin 90 a 2 2
2. Dilatasi terhadap titik pusat P(a, b)
b sin 90 cos 90 b 3 3
0 1 a 2 2 Jika titik A(x, y) dilatasikan terhadap titik pusat
P(a, b) dengan faktor skala k dan diperoleh bayangan
1 0 b 3 3
titik A (x , y ), maka
(b 3) 2 b 5 x a k(x a)
a 2 3 a 1 y b k(y b)
Sehingga titik A ( b 5, a 1) Secara matematis dituliskan sebagai berikut.
a b 5 b 5 a
b a 1 a b 1 A(x, y) A P ( a, b), k A (k(x a) a, k(y b) b)
Substitusi nilai a dan b ke persamaan (*)
5 a (b 1)2 2(b 1) 4 Dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut.
5 a b2 2b 1 2b 2 4
5 a b2 4b 7 x k 0 x a a
A
a b2 4b 2 y 0 k y b b
a b2 4b 2
x y2 4y 2
Jadi, bayangan parabola y x2 2x 4
yang dirotasikan sebesar 90 berlawanan
Contoh
arah jarum jam terhadap titik pusat Bayangan titik A( 2, 7) yang dilatasikan oleh
Q(2, 3) adalah x y2 4y 2. [P(2, 1), 3] adalah . . . .
Kunci: B A. A ( 10, 19) D. A (10, 19)
B. A (10, 19) E. A ( 19, 10)
C. A ( 10, 19)
Jawab:
D. Dilatasi (Perkalian)
A( 2, 7), P(2, a), k 3
1. Dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) x 3 0 2 2 2
A
y 0 3 7 1 1
Jika titik A(x, y) dilatasikan terhadap titik pusat
O(0, 0) dengan faktor skala k dan diperoleh bayangan 3 0 4 2
titik A (x , y ), maka terdapat hubungan berikut. 0 3 6 1
x kx 12 2 10
y ky 18 1 19
Secara matematis ditulis Jadi, bayangan titik A adalah A ( 10, 19).
O, k Kunci: A
A(x, y) A (kx, ky)
Bab 19 Transformasi Geometri 139
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 3 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari materi tentang pencerminan.
• Soal nomor 4 – 11 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari materi tentang komposisi dua
rotasi berurutan yang sepusat.
• Soal nomor 12 – 18 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari
semua materi tentang matriks transformasi.
1. Bayangan titik ( 5, 10) dicerminkan terhadap A. x 2y 4 0 D. 2x y 4 0
garis y x adalah . . . . B. x 2y 4 0 E. 2x y 4 0
A. (10, 5) D. (5, 10) C. 2x y 4 0
B. (5, 10) E. ( 10, 5)
C. ( 10, 5) 6. Bayangan ABC dengan A(2, 1), B(6, 1), dan
C(5, 3) karena refleksi terhadap sumbu-y
2. Bayangan garis y 2x 2 yang dicerminkan dilanjutkan rotasi (O, 90 ), maka akan
terhadap garis y x adalah . . . . diperoleh . . . .
x A. A ( 1, 2), B (1, 6), dan C ( 3, 5)
A. y x 1 D. y 1
2 B. A ( 1, 2), B (1, 6), dan C ( 3, 5)
x 1 C. A (1, 2), B ( 1, 6), dan C ( 3, 5)
B. y x 1 E. y
2 2 D. A ( 1, 2), B ( 1, 6), dan C ( 3, 5)
x
C. y 1 E. A ( 1, 2), B ( 1, 6), dan C ( 3, 5)
2
7. Luas bayangan persegipanjang PQRS dengan
3. Suatu garis 3x 4y 2 0 jika digeser
P( 1, 2), Q(3, 2), R(3, 1), S( 1, 1) karena
ke kanan sejauh 1 satuan, persamaannya
dilatasi [O, 3] dilanjutkan rotasi terhadap pusat
menjadi . . . .
A. 3x 4y 5 0 O dengan sudut adalah . . . .
2
B. 3x 4y 1 0 A. 36 D. 96
C. 3x 4y 6 0 B. 48 E. 108
D. 3x 4y 2 0 C. 72
E. 3x 4y 3 0
8. Bayangan titik A(x, y) karena refleksi terhadap
4. Bayangan titik (6, 2) oleh rotasi berlawanan garis x 2, dilanjutkan refleksi terhadap garis
arah jarum jam sejauh 1 20 dilanjutkan y 3, dan rotasi terhadap pusat O dengan sudut
dengan 2 40 terhadap titik asal
adalah . . . . radian adalah ( 4, 6). Koordinat titik A
2
A. (3 3, 3 2 1) adalah . . . .
B. (1 3, 3 2 1) A. (2, 10) D. ( 10, 2)
C. (3 3 1, 3 2 1) B. (2, 10) E. (10, 2)
D. ( 3 2, 2 1) C. (10, 2)
E. ( 2 1, 23 2)
9. Bayangan titik A karena rotasi pusat ( 1, 1)
5. Persamaan peta garis x 2y 4 0 yang
dirotasikan dengan pusat (0, 0) sejauh 90 , dengan sudut dilanjutkan dilatasi pusat
2
dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis (1, 2) dengan faktor skala 2 adalah (1, 4).
y x adalah . . . . Koordinat titik A adalah . . . .
140 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
A. (3, 3) D. (3, 3) A. A( 1, 3), B(2, 5), dan C(1, 2)
B. A( 1, 3), B( 2, 5), dan C( 1, 2)
B. 3, 1 E. ( 3, 3)
2 C. A( 1, 3), B( 2, 5), dan C(1, 2)
C. ( 3, 3) D. A(3, 1), B(5, 2), dan C(2, 1)
E. A(3, 1), B(5, 2), dan C(2, 1)
10. Bayangan kurva y x2 3x 1 karena
dirotasikan sejauh 180 searah jarum jam 15. Persamaan peta kurva y x2 7x 10 oleh
dengan titik pusat O(0, 0), kemudian dilanjut- transformasi berturut-turut terhadap rotasi
pusat O dengan sudut putar 90 , dilanjutkan
kan oleh pencerminan terhadap garis y x
dengan dilatasi pusat A(3, 1) dan faktor skala 2
adalah . . . .
adalah . . . .
A. y x2 3x 1 D. y x2 3y 1 A. y2 16y 2x 48 0
2 2
B. y x 3x 1 E. y x 3x 1 B. y2 16y 2x 49 0
2
C. y x 3x 1 C. y2 16y 2x 49 0
1 D. y2 8y x 28 0
11. Grafik parabola y 2x2 4 ditranslasi oleh E. y2 8y 4x 48 0
3
kemudian didilatasi oleh [O, 2] dengan O adalah
16. Diketahui:
titik (0, 0), maka bayangannya adalah . . . .
T1 adalah transformasi pencerminan terhadap
A. y x2 4x 18
sumbu-x.
B. y x2 4x 18
T2 adalah transformasi pencerminan terhadap
C. y x2 8x 9
garis y x.
D. y x2 8x 9
T3 adalah rotasi pusat O dan sudut putar 90
E. y x2 4x 9 T4 adalah transformasi yang bersesuaikan
12. Bayangan dari garis 2x 3y 8 0 oleh 3 2
dengan matriks .
2 1
transformasi rotasi terhadap O sebesar
2 Bayangan titik A oleh transformasi
radian, kemudian dilanjutkan dengan
pencerminan terhadap sumbu-y adalah . . . . T4 T1 T2 T3 adalah A (8, 6). Koordinat titik
A. 2x 3y 8 0 D. 3y 2y 8 0 A adalah . . . .
B. 3x 2y 8 0 E. 2y 3x 8 0 A. (4, 2) D. ( 2, 4)
C. 2x 3y 8 0 B. ( 4, 2) E. (4, 6)
C. (2, 4)
13. Bayangan titik M(x, y) oleh transformasi yang
2 1 17. Segitiga PQR dengan P( 2, 2), Q( 1, 4), R( 2, 4)
bersesuaian dengan matriks dilanjut-
1 0
1 2
3 2 ditransformasi oleh matriks . Luas
kan dengan 2 0
0 1 adalah titik M ( 50, 5).
bayangan segitiga PQR adalah . . . satuan luas.
Koordinat titik M adalah . . . .
A. 3 D. 9
A. ( 50, 5) D. (15, 30)
B. 4 E. 12
B. ( 15, 30) E. (5, 10) C. 7
C. ( 5, 10)
18. Elips dengan persamaan 4x2 9y2 36 digeser
14. Koordinat bayangan titik-titik sudut segitiga 1
ABC karena dicerminkan terhadap garis y x 2 kemudian diputar 90 dengan pusat
dan dilanjutkan oleh transformasi yang ( 1, 2). Persamaan bayangan elips tersebut
2 1 adalah . . . .
bersesuaian dengan matriks adalah
1 3 A. 4(x 3)2 9(y 3)2 36
A (5, 0), B (12, 11), dan C (5, 5). Koordinat B. 9(x 1)2 4(y 2)2 36
titik-titik sudut segitiga ABC semula C. 4(x 1)2 9(y 2)2 36
adalah . . . . D. 9(x 1)2 4(y 2)2 36
E. 4(x 1)2 9(y 2)2 36
Bab 19 Transformasi Geometri 141
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Suatu gambar dalam bidang xy diputar 45° 2. Transformasi T berupa rotasi yang disusul
searah perputaran jarum jam, kemudian dengan pencerminan terhadap garis y x. Jika
dicerminkan terhadap sumbu-x. Matriks yang rotasi itu berupa rotasi sebesar 90° terhadap
menyatakan hasil kedua transformasi tersebut pusat koordinat dengan arah perputaran jarum
adalah . . . . jam, maka matriks transformasi T dapat ditulis
2 1 1 2 1 1 sebagai . . . .
A. D. 1 0 0 1
2 1 1 2 1 1
A. D. 1 1
0 1
2 1 1 2 1 1
B. E. 1 0 1 1 1
2 1 1 2 1 1 B. E.
0 1 2 1 1
2 1 1 0 1
C. (SPMB 2002) C. (SPMB 2005)
2 1 1 1 0
Intersection
Agar lebih mudah mempelajari matriks transformasi, terlebih dahulu pahami tentang perkalian
matriks. Materi tentang transformasi sering diaplikasikan dalam bidang fotografi dan arsitek.
142 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab
20 Deret,
Barisan, Deret ,
dan Notasi Sigma
A. Barisan B. Deret
Perhatikan barisan di bawah ini! Banyaknya suku-suku dari suatu barisan disebut
(i) 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . . deret. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
(ii) 1, 4, 7, 10, 13, 16, . . . . n
Pada (i), suku pertama barisan tersebut adalah U1 U2 U3 . . . . Un Ui
i 1
3, bilangan sesudahnya adalah sebagai berikut.
5 3 2 Untuk bentuk 2 4 8 16 32 . . . dapat
7 5 2 dilihat bahwa suku berikutnya adalah suku
9 7 2 sebelumnya dikali 2.
11 9 2 4 2 2
13 11 2 8 4 2
16 8 2
Terlihat jelas bahwa suku berikutnya selalu
ditambah 2, sehingga barisan tersebut mempunyai Pada deret, beda disebut rasio atau ditulis r
beda 2. dan suku pertama ditulis a. Rasio adalah hasil bagi
Pada barisan, bilangan pertama disebut suku suku kedua dengan suku pertama, atau suku ketiga
pertama dan ditulis dengan a, beda ditulis b, dengan suku kedua, dan seterusnya.
sedangkan banyaknya suku ditulis dengan n, untuk
suku tertentu ditulis Un. U2 U3 Un
r ...
Bentuk umum barisan adalah U1 U2 Un 1
U1, U2, U3, . . . . , Un Contoh
Suku kelima dan rasio pada deret
243 81 27 . . .
Contoh
secara berturut-turut adalah . . . .
Suku pertama dan beda pada barisan 1
A. 9 dan 3 D. 3 dan
6, 15, 24, 33, 42, . . . secara berturut-turut 3
adalah . . . . 1
B. 3 dan 3 E. 9 dan
A. 6 dan 9 D. 9 dan 15 3
1
B. 6 dan 11 D. 11 dan 15 C. dan 3
3
C. 6 dan 15
Jawab:
Jawab: Deret 243 81 27 . . .
Barisan: 6, 15, 24, 33, 42, . . . .
U2 81 1
a 6 b 15 6 r U1 243 3
9
U1 243
Kunci: A
Bab 20 Barisan, Deret, dan Notasi Sigma 143
Contoh
1
U2 243 81 1. Banyaknya suku pada barisan 12, 20, 28,
3
1 36, . . . , 652 adalah . . . .
U3 81 27
3 A. 80 D. 83
1 B. 81 E. 85
U4 27 9
3
C. 82
1
U5 9 3
3 Jawab:
Kunci: D
a 12, b 20 12 8, Un 652
Un a (n 1)b
652 12 (n 1)8
652 12 8n 8
8n 8 640
C. Barisan dan Deret Aritmetika 8n 640 8
8n 648
n 648 : 8
1. Barisan aritmetika
n 81
Perhatikan barisan di bawah ini!
Jadi, banyaknya suku adalah 81.
(i) 4, 7, 10, 13, 16, . . .
(ii) 28, 24, 20, 16, 12, . . . Kunci: B
(iii) 9, 14, 19, 24, 29, . . . 2. Jika jumlah n suku pertama suatu barisan
Selisih dua suku yang berurutan pada barisan- adalah 2n2(n 1), maka suku kelima
barisan di atas selalu tetap, barisan tersebut barisan tersebut adalah . . . .
dinamakan barisan aritmetika. Selisih dua suku A. 96 D. 200
berurutan disebut beda. B. 104 E. 208
Rumus suku ke-n barisan aritmetika C. 136
adalah sebagai berikut.
Jawab:
Sn 2n2(n 1)
Un a (n 1)b
Un Sn Sn 1
U5 S5 S4
2. Deret Aritmetika 2(5)2(5 1) 2(4)2(4 1)
Bila U1, U2, U3, . . . , Un merupakan barisan 2 · 25 · 4 2 · 16 · 3
aritmetika, maka U1 U2 U3 . . . Un disebut 200 96 104
deret aritmetika. Kunci: B
Jika jumlah n suku yang pertama dari deret
aritmetika dilambangkan dengan Sn, maka
n
Sn (2a (n 1)b)
2
D. Barisan dan Deret Geometri
Karena Un a (n 1)b, maka Sn juga dapat
ditulis menjadi rumus berikut. 1. Barisan geometri
n Perhatikan barisan di bawah ini!
Sn (a Un) (i) 3, 9, 27, 81, . . .
2
(ii) 2, 4, 8, 16, . . .
Bila Sn 1 U1 U2 U3 . . . Un 1 (iii) 1, 5, 25, 125, . . .
Sn U1 U2 U3 . . . Un 1 Un
Ketiga barisan di atas memiliki perbandingan
Sn Sn 1 Un dua suku yang berurutan selalu konstan, maka
untuk setiap n. barisan tersebut adalah barisan geometri.
144 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Perbandingan dua suku yang berurutan disebut
rasio, dituliskan dengan r.
A. 5 D. 8
Rumus suku ke-n barisan geometri B. 6 E. 12
C. 7
Un
Un arn 1
dengan r Jawab:
Un 1
32
a dan Sn 3
21
2. Deret geometri
1
r 1, maka diperoleh
Bila U1, U2, . . . , Un merupakan barisan 2
geometri, maka U1 U2 U3 . . . Un disebut a (1 rn )
deret geometri. Sn
1 r
Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama n
deret geometri, maka berlaku aturan berikut. 32 1 1
21 2
3
1
a (1 rn ) 1
2
Sn , 1 r 1
1 r n
32 1 1
n
a (r 1) 21 2
Sn , r 1 atau r 3
r 1 1
2
n
3 32 1
1
2 21 2
Contoh n
1 3 21
1
1. Suatu barisan geometri suku keduanya 6 2 2 32
dan suku keempatnya 54. Bila rasio- 1
n
63
nya positif, maka suku keenamnya 1
2 64
adalah . . . .
n
A. 486 D. 62 1 63
1
B. 243 E. 60 2 64
n
C. 81 1 1
2 64
Jawab: n 6
U2 ar 6 1 1
U4 ar3 54 ar · r2 54 2 2
n 6
6 · r2 54
Kunci: B
r2 9
r 3
ar 6
a · 3 6
a 2 E. Notasi Sigma dan Induksi
U6 ar5 Matematika
2 · (3)5
2 · 243 486
1. Notasi Sigma
Kunci: A
Notasi sigma dilambangkan dengan ” ”, yaitu
2. Suku pertama sebuah deret geometri sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan.
Berikut ini adalah sifat-sifat notasi sigma.
adalah 32 dan rasionya adalah 1 .
21 2 n n
ai aj
Banyaknya suku bila Sn 3 adalah . . . .
i 1 j 1
Bab 20 Barisan, Deret, dan Notasi Sigma 145
n Akan dibuktikan rumus benar untuk n 1
k nk, k konstanta 2
2(1) 1) = 1 benar
i 1
n n
Andaikan rumus benar untuk n k
kai k ai 1 3 5 . . . (2k 1) = k2 benar
i 1 i 1
Akan dibuktikan rumus benar untuk n k 1
n n n
1 3 5 . . . (2k 1) + 2 k 1 1
(ai bi ) ai bi
i 1 i 1 i 1 = k2 + 2 k 1 1
n m n 2
ai ai ai , 1 m n = k + 2k 1
i 1 i 1 i m 1 = (k 1)2 . . . benar
n n k Jadi, rumus berlaku untuk semua bilangan asli n.
ai ai k
i m i m k
Contoh
I N G A T Bentuk umum dari deret 1 3 5 7 ...
adalah . . . .
Teori Binomial Newton
n n
n A. (n 1) D. (2n 1)
n
a b n
Ck an k bk k 1 k 1
k 0 n n
B. (k 1) E. (2k 1)
k 1 k 1
n
2. Induksi Matematika C. (2n 1)
k 1
Induksi matematika merupakan cara
pembuktian dalam matematika. Ada tiga langkah Jawab:
pembuktian. Pada notasi sigma tersebut, k = 1 disebut
Buktikan rumus benar untuk n 1 batas bawah dan n batas atas. Penjumlahan
tersebut merupakan penjumlahan n bilangan
Anggap rumus benar untuk n k
ganjil pertama, sehingga
Buktikan rumus benar untuk n k 1
n
Misalnya akan dibuktikan untuk semua bilangan 1 3 5 7 . . . (2k 1)
asli n bahwa k 1
1 3 5 . . . (2n 1) = n2 Kunci: E
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 6 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari tentang barisan dan deret
arimetika.
• Soal nomor 7 – 23 merupakan kategori soal yang sedang, pahami materi tentang barisan dan
deret aritmetika, barisan dan deret geometri, serta notasi sigma.
• Soal nomor 24 – 31 merupakan kategori soal yang sulit, pahami semua materi pada bab ini.
146 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
1. Jika Sn n2 2n adalah jumlah n suku pertama 1 3
suatu deret aritmetika, suku kedelapan deret A. n(n 3) D. n(n 1)
2 2
tersebut adalah . . . . 1 3
A. 9 D. 21 B. n(n 1) E. n(n 2)
2 2
B. 13 E. 24 1
C. 15 C. n(n 2)
2
2. Jumlah n suku pertama suatu deret adalah 8. Pertambahan penduduk tiap tahun suatu desa
3n 2n, jumlah U2 U3 U4 adalah . . . . mengikuti aturan deret geometri. Pertambahan
A. 80 D. 95 penduduk pada tahun 1989 sebesar 48 orang
B. 84 E. 97 dan tahun 1991 sebesar 432 orang. Pertambahan
C. 89 penduduk tahun 1994 adalah . . . .
A. 11.472 D. 11.712
3. Banyaknya suku suatu deret aritmetika
B. 11.568 E. 11.776
adalah 16, suku terakhir 45 dan jumlah
C. 11.664
deret sama dengan 280. Suku pertama deret
ini adalah . . . . 9. Suku ke-5 dan suku ke-9 suatu deret geometri
A. 10 D. 8 adalah 48 dan 768. Jumlah enam suku pertama
B. 8 E. 10 deret tersebut adalah . . . .
C. 5 A. 171 D. 205
4. Suku ke-n suatu deret aritmetika adalah B. 189 E. 212
Un 3n 5. Rumus jumlah n suku pertama C. 193
deret tersebut adalah . . . . 25
n (3n 10. Diketahui (2 pk) 40, maka nilai
A. Sn 7)
2 k 5
n (3n 25
B. Sn 5) pk
2 . . . .
n (3n k 5
C. Sn 4)
2 A. 20 D. 82
D. Sn n (3n 3) B. 28 E. 42
2 C. 30
E. Sn n (3n 2)
2 7 k 1
11. Hasil dari 1 adalah . . . .
5. Jumlah n buah suku pertama dari suatu deret 2
k 1
aritmetika dinyatakan oleh Sn 4n2 3n, suku 127 127
kelima dan beda dari deret tersebut berturut- A. D.
1.024 128
turut adalah . . . . 127 255
A. 115 dan 8 D. 39 dan 4 B. E.
256 256
B. 76 dan 8 E. 39 dan 4 255
C. 39 dan 8 C.
512
6. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga 12. Dari deret aritmetika diketahui suku tengah
sama dengan 8, sedangkan jumlah semua suku 32. Jika jumlah n suku pertama deret adalah
pada urutan genap sama dengan 8 . Suku 672, banyak suku deret itu adalah . . . .
3
kelima deret tersebut adalah . . . . A. 17 D. 23
1 B. 19 E. 25
A. D. 3 C. 21
4
2
B. E. 4 5 6
3
13. Nilai (3n 7) (5n 6) . . . .
C. 2 n 1 n 2
7. Pada deret aritmetika Sn U1 U2 . . . Un, A. 140 D. 171
semua sukunya positif. Jika U1 · U4 36 dan B. 155 E. 181
U2 · U3 54, maka Sn . . . . C. 165
Bab 20 Barisan, Deret, dan Notasi Sigma 147
50 20. Hasil kali suku kedua dan suku keempat dari
14. (n 2) . . . . suatu barisan geometri yang semua sukunya
n 1 positif adalah 16. Jika jumlah tiga suku pertama
52 56 adalah 7, maka suku pertamanya adalah . . . .
A. n D. (n 4)
n 3
1
n 3 A. D. 2
54 2
60
B. (n 2) E. (n 8) 5
B. 1 E.
n 3 n 3 2
3
55 C.
2
C. (n 3)
n 3 21. Jumlah suatu deret geometri terhingga adalah
6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor
15. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
ganjil adalah 4. Suku keenam deret tersebut
5n
Sn n2 . Beda dari deret aritmetika adalah . . . .
2
tersebut adalah . . . . 1 4
A. D.
32 32
A. 51 D. 2
1
2 2 2 6
B. E.
32 32
B. 2 E. 51
2 3
C.
C. 2 32
16. Jumlah n buah suku pertama suatu deret 22. Un adalah suku ke-n suatu deret. Jika suku
n (5n 19). pertama deret itu 100 dan Un 1 Un 6
aritmetika dinyatakan oleh Sn
2 untuk setiap n, maka jumlah semua suku deret
Beda deret tersebut sama dengan . . . .
itu yang bernilai positif adalah . . . .
A. 5 D. 3
A. 844 D. 884
B. 3 E. 5
B. 848 E. 886
C. 2
C. 864
4
17. Dari suatu deret geometri, suku ketiga dan 23. Jumlah tak hingga suatu deret geometri
3
32
suku keenam . Jumlah sampai tak hingga adalah 16 dan jumlah semua suku pada urutan
81
deret itu sama dengan . . . . 16
genap adalah . Suku ke-7 deret tersebut
A. 2 D. 1 3
adalah . . . .
1 1
B. E. 9
9 A. 8 D.
8
1
C. 3
3 B. 4 E.
8
18. Diketahui Un adalah suku ke-n suatu deret arit- 1
C.
metika dan U1 U2 U3 9, U3 U4 U5 15. 4
Jumlah lima suku pertama deret tersebut 24. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2 m dan
adalah . . . . 4
A. 4 D. 15 memantul kembali dengan ketinggian kali
5
B. 5 E. 24 tinggi sebelumnya. Pemantulan ini terus
C. 9 berlangsung terus-menerus hingga bola
berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola
19. Suku pertama deret geometri tak hingga adalah adalah . . . .
5 dan jumlah suku yang bernomor ganjil adalah A. 14 m D. 20 m
9. Jumlah deret geometri tak hingga tersebut B. 16 m E. 22 m
untuk rasio positif adalah . . . .
C. 18 m
1 1
A. 7 D. 22
2 2 25. Diberikan barisan persegipanjang yang
B. 10 E. 27 sebangun, sisi panjang yang ke-(n 1) sama
C. 15 dengan sisi pendek ke-n. Jika persegipanjang
148 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
yang pertama berukuran 6 3 cm, jumlah luas 29. Keliling suatu segitiga yang sisi-sisinya
semua persegipanjang itu adalah . . . . membentuk deret aritmetika adalah 12 cm. Jika
A. 15 cm2 D. 24 cm2 sudut di hadapan sisi terpanjang adalah 120°,
B. 18 cm2 E. 27 cm2 maka luas segitiga tersebut adalah . . . .
C. 21 cm 2 4 3 cm2 12 3 cm 2
A. D.
3 5
26. Diketahui barisan geometri dengan U1 4 3
x 8 3 cm2 24 3 cm2
B. E.
3 5
dan U4 x x . Rasio barisan geometri tersebut 12 cm2
C.
adalah . . . . 5
30. Rasio suatu deret geometri tak berhingga adalah
A. x2 4 x D. x
4
(x 2)
B. x2 E. x r lim 2
. Suku pertama deret
x 2 2x 6x 4
4 itu merupakan hasil kali skalar vektor
C. x3
a i j 2k dan b 2i j k . Jumlah
27. Banyak bilangan antara 2.000 dan 6.000 yang deret geometri tak berhingga tersebut
dapat disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 adalah . . . .
dan tidak ada angka yang sama adalah . . . . 1
A. D. 2
A. 1.680 D. 1.050 4
1
B. 1.470 E. 840 B. E. 4
3
C. 1.260 4
C.
3
28. Suatu keluarga mempunyai enam anak yang
usianya pada saat ini membentuk barisan 31. Tiga buah bilangan membentuk barisan
aritmetika. Jika usia anak ketiga adalah 7 tahun aritmetika yang jumlahnya 12 dan hasil kalinya
dan usia anak kelima adalah 12 tahun, maka 63. Jika bilangan terkecil dari ketiga bilangan
jumlah usia enam anak tersebut adalah . . . . itu adalah k, maka nilai 2k . . . .
A. 48,5 tahun D. 50,0 tahun 1
A. D. 8
B. 49,0 tahun E. 50,5 tahun 2
C. 49,5 tahun B. 4 E. 9
C. 7
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Sebuah deret aritmetika mempunyai suku terjadi deret aritmetika. Jumlah deret
umum an dan beda 2. Jika a2 a4 a6 . . . aritmetika yang terjadi adalah . . . .
a20 138, maka jumlah lima suku pertama A. 120 D. 600
deret tersebut adalah . . . . B. 360 E. 720
C. 480 (UMPTN 2001)
2
A. 11 D. 9
5 3. Seorang pedagang beras pada bulan Januari
4 dapat menjual 90 kg, bulan Februari, Maret,
B. 10 E. 9
5 dan seterusnya selama satu tahun selalu
C. 10 (UMPTN 2001)
bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya.
Jika keuntungan per kilogram Rp300, maka
2. Antara bilangan 8 dan 112 disisipkan 10 bilangan keuntungan rata-rata tiap bulan sama
sehingga bersama kedua bilangan tersebut dengan . . . .
Bab 20 Barisan, Deret, dan Notasi Sigma 149
A. Rp14.500,00 D. Rp174.000,00 1
A. 1 D. 2
B. Rp29.000,00 E. Rp348.000,00 2
C. Rp43.500,00 (UMPTN 2001) 1
B. 2 E. 3
2
4. Ditentukan rasio deret geometri tak hingga C. 3 (SPMB 2002)
adalah 3log (2x 1). Jika deret ini mempunyai 9. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah
jumlah (konvergen), maka nilai x yang 6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor
memenuhi adalah . . . . ganjil adalah 4. Suku keenam deret tersebut
1 2 2 adalah . . . .
A. x D. x 2
2 3 3 1 4
A. D.
1 1 2 32 32
B. x 2 E. x
2 2 3 2 6
B. E.
2 32 32
C. x 2 (UMPTN 2001)
3 3
C. (SPMB 2002)
32
5. Sepotong kawat panjangnya 124 cm dipotong
menjadi 5 bagian sehingga panjang potong- x 1 1 1
potongannya membentuk barisan geometri. 10. Agar deret geometri , , , . . .
x x x( x 1)
Jika potongan kawat yang paling pendek adalah jumlahnya mempunyai limit, maka nilai x harus
4 cm, maka potongan kawat yang paling panjang memenuhi . . . .
adalah . . . . A. x 0 D. x 2
A. 60 cm D. 72 cm B. x 1 E. x 0 atau x 2
B. 64 cm E. 76 cm C. 0 x 1 (SPMB 2002)
C. 68 cm (UMPTN 2001)
11. Jika n suku pertama deret aritmetika
6. Tiga buah bilangan merupakan suku-suku ditentukan oleh S n 2n 2 n. Jika U n
beraturan suatu deret aritmetika. Selisih menyatakan suku ke-n deret tersebut, maka
bilangan ketiga dengan bilangan pertama U12 adalah . . . .
adalah 6. Jika bilangan ketiga ditambah 3, maka A. 41 D. 49
ketiga bilangan tersebut merupakan deret B. 47 E. 300
geometri. Jumlah dari kuadrat bilangan- C. 48 (SPMB 2002)
bilangan tersebut adalah . . . .
A. 21 D. 116 12. Jumlah 6 suku pertama deret aritmetika adalah
B. 35 E. 126 24, sedangkan jumlah 10 suku pertamanya
adalah 100. Suku ke-21 adalah . . . .
C. 69 (UMPTN 2001)
1 1
7. Sebuah deret geometri tak hingga dengan suku A. 50 D. 69
2 2
umum Un memenuhi 1 1
3 3 3 B. 53 E. 60
log U1 log U2 log U3 3 dan U1 U2 8 2 2
Jumlah deret tersebut adalah . . . . 1
C. 56 (SPMB 2003)
1 17 2
A. D.
4 2
13. Hasil kali suku kedua dan suku keempat dari
27 27
B. E. suatu barisan geometri yang semua sukunya
4 2 positif adalah 16. Jika jumlah tiga suku pertama
3 adalah 7, maka suku pertamanya adalah . . . .
C. (UMPTN 2001)
2
1
A. D. 2
8. Suatu deret aritmetika terdiri dari sepuluh suku 2
dan jumlahnya 145. Jika jumlah dari suku 5
B. 1 E.
keempat dan suku kesembilan sama dengan 2
lima kali suku ketiganya, maka beda deret 3
adalah . . . . C. (SPMB 2003)
2
150 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
14. Tiga bilangan membentuk suatu deret geometri. Jumlah luas seluruh segitiga adalah . . . .
Jika hasil kalinya adalah 216 dan jumlahnya A. 8a2 D. 2a2
26, maka rasio deret tersebut adalah . . . .
B. 4a2 E. a2
1 1 2
A. 3 atau D. 3 atau C. 3a (SPMB 2004)
3 2
1 1 20. Suku ketiga suatu deret aritmetika adalah
B. 3 atau E. 2 atau 11 dan suku akhirnya 23. Jika suku tengahnya
3 2
14, maka jumlah semua suku deret tersebut
C. 3 atau 2 (SPMB 2003)
adalah . . . .
15. log b log ab2 log a2b3 . . . log a9b10 sama A. 88 D. 100
dengan . . . . B. 90 E. 110
A. log 45a log 55b C. 98 (SPMB 2005)
B. (log a)45 (log a)45
21. Jika suku ke-n suatu deret adalah Un 22x n,
C. (45) 1og a (55) log b maka jumlah tak hingga deret tersebut
D. (91) log a (101) log b adalah . . . .
E. 45 1og ab (SPMB 2004) A. 22x 2
D. 22x 1
16. Suku pertama suatu deret geometri adalah B. 22x 1
E. 22x 2
a 2 dengan a 0 dan suku kedua adalah ap. C. 22x (SPMB 2005)
Jika suku kesepuluh deret tersebut adalah a70, 22. Suatu populasi hewan mengikuti hukum
maka p adalah . . . . pertumbuhan berikut
A. 3 D. 6
N(t) 100.000 2t 2
B. 4 E. 8
C. 5 (SPMB 2004) N(t) besar populasi pada saat t
t waktu dalam satuan tahun
17. Pada saat awal pengamatan delapan virus jenis Agar besar populasi menjadi 3 kali lipat populasi
tertentu, setiap 24 jam masing-masing virus awal (saat t 0), maka t . . . .
membelah diri menjadi dua. Jika setiap 96 jam A. 10
log 3 D. 2
log 3 2
seperempat dari seluruh virus dibunuh, maka 10 2
B. log 3 2 E. log 3
banyaknya virus pada hari ke-6 adalah . . . . 2
C. log 3 4 (SPMB 2005)
A. 96 D. 224
B. 128 E. 256 23. Diberikan suku banyak f(x) x3 3x2 a. Jika
C. 192 (SPMB 2004) f (2), f (2), f(x) membentuk barisan aritmetika,
maka f (2) f(2) . . . .
18. Diketahui persamaan parabola y ax2 bx c. A. 37 D. 63
Jika a, b, dan c bcrturut-turut merupakan suku B. 46 E. 72
pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan
C. 51 (SPMB 2005)
aritmetika, serta garis singgung parabola
tersebut di titik (1, 12) sejajar dengan garis 24. Jumlah deret tak hingga
y 6x, maka nilai 3a 2b c = . . . .
1 1 1
A. 14 D. 20 1 sin2 sin4 sin6 . . .
3 3 3
B. 16 E.. 22 adalah . . . .
C. 18 (SPMB 2004)
4 1
A. D. 3
19. Diketahui segitiga siku-siku samakaki pertama 7 4
memiliki panjang sisi siku-siku a. Dibuat segitiga 3
B. E. 4
siku-siku samakaki kedua dengan panjang sisi 4
miring sama dengan panjang sisi siku-siku C. 2 (SPMB 2005)
segitiga pertama. Segitiga siku-siku samakaki 25. Bilangan ylog (x 1), ylog (x 1), ylog (3x 1),
ketiga, keempat, dan seterusnya masing-masing merupakan tiga suku berurutan dari deret
dibuat dengan panjang sisi miring sama dengan aritmetika. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah
panjang sisi siku-siku segitiga sebelumnya. adalah 6, maka x y . . . .
Bab 20 Barisan, Deret, dan Notasi Sigma 151
A. 2 D. 5 28. Tiga bilangan membentuk suatu deret geometri
B. 3 E. 6 naik. Jika jumlahnya 26 dan hasil kalinya 216,
C. 4 (SPMB 2006) maka rasio deretnya adalah . . . .
A. 1 D. 4
26. Suku kelima suatu deret aritmetika sama
B. 2 E. 2
dengan tiga kali suku kedua deret tersebut. Jika
C. 3 (SPMB 2006)
jumlah empat suku pertama adalah 16, maka
jumlah 10 suku pertama sama dengan . 29. Jika suku ke-n dari deret geometri adalah
. . . Un 6 3 n, maka jumlah n suku pertamanya
A. 32 D. 96 adalah . . . .
B. 48 E. 100 1
A. (1 3 n) D. 3(1 3 n)
C. 64 (SPMB 2006) 3
2
27. Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan B. (1 3 n) E. 6(1 3 n)
3
suku pertama a dan rasio r dengan 0 r 1
2
adalah S. Jika suku pertama tetap dan rasio C. 1 (1 3 n) (SPMB 2006)
3
berubah menjadi 1 r, maka jumlahnya
menjadi . . . . 30. Jika jumlah 10 suku pertama deret aritmetika
1 a (a 2) (a 2 2) (n 3 2) . . .
S
A. S 1 D.
r 1 r adalah 55 2 , maka a . . . .
S 1 A. 1 D. 2
B. E. S 1
r r B. 2 E. 2 2
1
1 C. 2 (SPMB 2006)
C. S r (SPMB 2006) 2
r
Intersection
Materi ini akan sangat memudahkan kamu untuk menghitung jumlah atau hasil kali satu bilangan
yang tak terhingga banyaknya.
152 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Bab
21 Fungsi Eksponen dan
Logaritma
A. Persamaan Eksponen 1
A. {0, 2} D. 0,
2
Persamaan eksponen adalah persamaan di mana B. 0, 1 E.
1, 2
2 2
eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel. 1, 2
Ada beberapa bentuk persamaan eksponen, yaitu C. 2
sebagai berikut.
Jawab:
af(x) ag(x), maka f(x) g(x)
x x2
af(x) bf(x), maka f(x) 0 22 x 2 2x
4x
f(x)g(x) f(x)h(x), maka
2x 4x x2
g(x) h(x) 2x 2x
f(x) 1 • 2x 4x x2
f(x) 1, apabila g(x) dan h(x) keduanya 2
x 2x 0
genap atau keduanya ganjil. x(x 2) 0
f(x) 0, apabila g(x) dan h(x) keduanya x 0 atau x 2
positif.
• 2x 1 x 1
2
Contoh 1
• 2x 1 x
2
1. Penyelesaian persamaan 1 ke g(x) dan h(x) apakah
Substitusi x
2x 1 x 1 adalah . . . . 2
3 9
keduanya ganjil atau genap.
1
A. 0 D. 2 g 1 2 1 1
2 • 2 2
1 1
B. 1 E. 3 2
2 2 h 1 4 1 1 2 1
• 2 2 2 4
C. 2
2 1
Jawab: 4
1 (2 x 1) Keduanya tidak ganjil atau genap. Jadi
32 32( x 1)
1 (2 x x 1 bukan penyelesaian.
1) 2( x 1) 2
2
x 1 2x 2 • 2x 0 x 0
2
x 21 • g(0) 2 0 0
2
• h(0) 4(0) (0)2 4
Kunci: D Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
2. Himpunan penyelesaian dari 1, 2 .
x 2
4x x2
4 x2 2x adalah . . . . Kunci: C
Bab 21 Fungsi Eksponen dan Logaritma 153
2. Penyelesaian dari
B. Pertidaksamaan Eksponen 2
log (x2 8) 5log (x2 8) adalah . . . .
1
A. 3 D.
Jika af(x) ag(x), maka 3
f(x) g(x), untuk a 1 B. 1 E. 2
f(x) g(x), untuk 0 a 1 C. 1
Jawab:
2
Contoh log (x2 8) 5log (x2 8)
x2 8 1
Himpunan penyelesaian 3 x 2
9x 3
x2 9
adalah . . . .
x 3
A. x 8 D. x 8
Jadi, penyelesaiannya x 3 dan x 3.
1
B. x 8 E. x Kunci: A
8
C. x 8 3. Himpunan penyelesaian dari
x 2 x 2
Jawab: log (x 3) log (x2 3x 5)
3x 2 9x 3 adalah . . . .
3x 2 32(x 3) A. { 4, 2} D. { 4, 2}
x 2 2x 6 B. { 2, 4} E. {2, 4}
x 8 C. { }
x 8
Jawab:
Jadi, HP: {x x 8, x R}. x 2
log (x 3) x 2
log (x2 3x 5)
2
Kunci: A x 3 x 3x 5
x2 2x 8 0
(x 4)(x 2) 0
x 4 atau x 2
C. Persamaan Logaritma Selidiki apakah f(x) 0, g(x) 0, h(x) 0
dan f(x) 1.
a
log f(x) b, maka f(x) ab, dengan syarat f( 4) 4 2 6 0
f(x) 0 f(2) 2 2 0
a a
log f(x) log g(x), maka f(x) g(x), dengan Karena jika x 4 dan x 2 nilai
syarat f(x) 0 dan g(x) 0 f(x) 0, maka x –4 dan x 2 bukan
a b penyelesaian.
log f(x) log f(x), maka f(x) 1
f(x) f(x) Jadi, tidak ada solusi atau himpunan
log g(x) log h(x)
Jika f(x) 0, g(x) 0, h(x) 0, dan f(x) 1, penyelesaiannya adalah { }.
maka g(x) h(x) Kunci: C
Contoh
3
1. log (x 5) 2, maka nilai x adalah . . . .
A. 7 D. 12
D. Pertidaksamaan Logaritma
B. 9 E. 14
C. 11 Jika alog f(x) alog g(x), maka
f(x) 0
Jawab:
3 3 g(x) 0
log (x 5) log 9
f(x) g(x), untuk a 1
(x 5) 9
f(x) g(x), untuk 0 a 1
x 14
Kunci: E Himpunan penyelesaiannya adalah
(i) (ii) (iii)
154 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
Contoh
(ii) x2 x 2 0
1. Penyelesaian dari (x 2)(x 1) 0
18
log (x2 x 2) 1 adalah . . . .
A. { 4 x 1 atau 2 x 5}
B. { 5 x 2 atau 1 x 4}
C. { 4 x 1 atau 2 x 5}
D. { 5 x 2 atau 1 x 4}
E. { 5 x 1 atau 2 x 4} x 2 atau x 1
Jawab: Dari (i) dan (ii) diperoleh,
18
log (x2 x 2) 1
18
log (x2 x 2) 18
log 18
(i) x2 x 2 18
2
x x 20 0
5 2 1 4
(x 5)(x 4) 0
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
5 4 { 5 x 2 atau 1 x 4}.
5 x 4 Kunci: B
S oal Pemantapan Ujian Nasional
Kompas
• Soal nomor 1 – 2 merupakan kategori soal yang mudah, pelajari persamaan eksponen.
• Soal nomor 3 – 6 merupakan kategori soal yang sedang, pelajari persamaan dan pertidaksamaan
eksponen, serta persamaan logaritma.
• Soal nomor 7 – 11 merupakan kategori soal yang sulit, sehingga kamu harus mempelajari
semua materi pada bab ini.
2
1. Nilai x pada persamaan 16x adalah . . . .
2 C. 5 2 2 6
1 1
A. D.
8 4 D. 2 5 2 6
1 1
B. E. E. 5 2 2 6
4 8
C.
1 3. Nilai x yang memenuhi persamaan 4x 2x 12
2 adalah . . . .
A. 3 D. 3
2. Nilai x dari persamaan x 2 3 x 2 2
adalah . . . . B. 2 E. 4
C. 2
A. 2 5 6 3 x
1 3
4. Nilai x dari 4 adalah . . . .
B. 2 5 2 6 2
Bab 21 Fungsi Eksponen dan Logaritma 155
11 11 A. x 3
A. x D. x
3 3 1
B. x
11 11 3
B. x E. x 1
3 3
C. 1 x atau x 3
3 3
C. x
11 1
D. x 1 atau x 3
5. 3
Jika log (1 log x) 3
1, maka nilai x yang 3
berlaku adalah . . . . E. 1 x 3
1 9. Nilai x yang memenuhi
A. D. 3 2
9 log 2log (2x 1 15) 1 2
log x
1 adalah . . . .
B. E. 9
3
C. 1 2
A. log D. 3 atau 5
5
6. Himpunan penyelesaian dari B. 2
log 5 E. 5 atau 3
33x 2 · 33(x 1) 29 adalah . . . . C. 5
log 2
1 1
A. D. 10. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
3 9
2 2 1
B. E. 3 3
3 9 2 log x log 81
x
log 3
C. 1
adalah . . . .
7. Jika 22x 1 3 · 2x 2 0, maka batasan nilai A. x 3 atau x 9
x adalah . . . . B. x 3 atau x 3
1 C. x 9 atau x 3
A. x 2 D. 0 x 1 D. 3 x 3, x 1
2
E. 3 x 9, x 1
1
B. x 2 E. x 1
2 11. Himpunan penyelesaian dari
3
1 log (x 5) 3 log (x 2) 3 log (28 4x) 0
C. 2 x adalah . . . .
2
A. {3, 6} D. { 3}
8. Nilai-nilai x yang memenuhi 3log x – xlog 3 0
B. {3, 6} E. {6}
adalah . . . .
C. { 3, 6}
S oal-soal UMPTN dan SPMB
1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan A. 10 D. 0
x2 3 x 15 B. 6 E. 2
1 32 adalah . . . . C. 2 (UMPTN 2001)
2
A. x 5 D. x 5 3. Nilai-nilai yang memenuhi pertidaksamaan
3
B. x 2 E. x 2 atau x 5 log (x2 8x) 2 adalah . . . .
A. 1 x 0
C. 2 x 5 (UMPTN 2001)
B. 0 x 8
C. 8 x 9
x2 16 D. x 1 atau x 8
2. Jumlah akar-akar persamaan log 1
x E. 1 x 0 atau 8 x 9
sama dengan . . . . (UMPTN 2001)
156 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
4. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan: 5 5
A. x 1 D. x
3 12 2 2
log x 3 adalah . . . . 5 5
x B. x 0 E. 1 x
2 2
A. {x R x 2 atau x 6} 5
C. x 1 (SPMB 2005)
B. {x R 0 x 2 atau x 6} 2
C. {x R x 0 atau 2 x 6} 10. Jika a 0, b 0, dan alog b b
log a4 4 0,
D. {x R 1 x 1 atau x 6} maka a2b 2log b . . . .
E. {x R 2 x 6} (SPMB 2002) A. 1 D. 1
B. 0 E. 2
5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan C. 3 (SPMB 2004)
2 2
log (x 2) log (x 5) 3 adalah . . . .
A. {x 3 x 6} 11. Semua nilai-nilai x yang memenuhi
a
B. {x 5 x 6} 2 log b c log a
2 x x 6 c
adalah . . . .
C. {x x 2 atau x 5} log b
D. {x x 2 atau 5 x 6} A. 2 x 3
E. {x 3 x 2 atau 5 x 6} B. x 2 atau x 3
(SPMB 2002) 1 17 1 17
C. x
2 2
6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1 17 1 17
24x 22(x 1) 3 0 adalah . . . . D. x atau x
2 2
A. {x l x 3 } E. semua bilangan real
B. {x 0 x 3 (SPMB 2004)
log 2}
C. {x x 0 atau x 2
log 3 } 12. Hasil kali semua nilai x yang memenuhi
12 x3 2 x2 3 x 6 4 x2 4 x 8
D. {x 0 x log 3 } persamaan 4 2 0
2 adalah . . . .
2 A. 4 D. 3
E. {x 0 x log 3 } (SPMB 2003)
B. 2 E. 4
C. 2 (SPMB 2004)
2
log (a2 x2 ) a x
7. log 1 . . 13. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan
log a a
24x 1 5 22x 1
32, maka x1 x2 ..
A. 2 D. 1 A. 1 D. 4
B. 2 E. 6
B. 1 E. 2
C. 3 (SPMB 2004)
C. 0 (SPMB 2003)
14. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan
8. Nilai x yang memenuhi 2x 1 3y 7
3 2x 1 3y 1 1
(4log x )2 2log x 0 adalah . . . .
4 maka nilai x y adalah . . . .
1 A. 0 D. 4
A. 16 atau 4 D. 8 atau
2 B‘ 2 E . 5
1 C. 3 (SPMB 2004)
B. 16 atau E. 8 atau 4
4
15. Jika u x2 dan xlog 10 ulog (5u 40), maka
C. 8 atau 2 (SPMB 2003)
nilai u adalah. . . .
9. Semua bilangan real x yang memenuhi per- A. 25 D. 28
2 x x2 2
B. 26 E. 30
tidaksamaan 1 2x 3x 5
adalah . . . . C. 27 (SPMB 2004)
8
Bab 21 Fungsi Eksponen dan Logaritma 157
16. Jika a 1, maka penyelesaian 1
A. D. 1
a
log (2 x 1 3
log a 1 0 adalah .. 10
1
A. 1 D. 4 B. E. 10
4
B. 2 E. 5 3
C. (SPMB 2005)
C. 3 (SPMB 2004) 4
21. Nilai x yang memenuhi persamaan
1
17. Penyelesaian 22 x 2
adalah . . . .
1
8x 1 3
92 x
A. 2 D. 1 3x 1
adalah. . . .
27
B. 1 E. 2 A. 16 D. 5
C. 0 (SPMB 2004) B. 7 E. 6
C. 4 (SPMB 2005)
18. Nilai x yang memenuhi persamaan
42x 1 34x 1 432 adalah . . . .
81 1 x 1 y 1
1 22. Jika log log log , maka 2x 3y
A. D. 1 x y 81
2
sama dengan . . . .
B. 0 E. 2
A. 162 D. 81
1 B. 81 E. 162
C. (SPMB 2004)
2 C. 0 (SPMB 2006)
19. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 1 1 1
1 23. Jika p x2 x2 x3 x 3 dan
2 2
log (2x 7x) 2 adalah . . . .
1 1 1 p
1 q x2 x 2 x x 3 , maka . . . .
A. 4 x q
2
1 A. 3
x D. x3 x
B. x 4
2 3 3
C. 0 x 4 B. x2 E. x x2
1 C. x (SPMB 2006)
D. x 4 atau x
2
1 24. Jika (3 x 1) 3 (3 x 1) 3 2 3 3x 33,
1
E. 4 x 3 atau 0 x maka . . . .
2 2
A. x 0
(SPMB 2005) B. x 3log 6
C. x log 6
20. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 3
D. x log 6
4(log x)(1 log x) 3, maka x1x2 . . . .
E. tidak ada nilai x yang memenuhi
(SPMB 2006)
Intersection
Agar lebih mudah mempelajari materi bab ini, sebelumnya kamu harus sudah memahami materi
bentuk pangkat, akar, dan logaritma pada Bab 1. Materi fungsi eksponen dan logaritma ini
berhubungan erat juga dengan materi persamaan dan fungsi kuadrat. Materi yang kamu bahas
ini juga ada hubungannya dengan Geografi atau ilmu bumi.
158 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional dan SPMB 2007 Matematika SMA
