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vortrag5_Radici_CesaroFejerKern-farbig

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					  THEMA 5: CESARO-SUMMATION UND FEJÉR-KERN
                                            Tiziana Radici
                                          5. November 2007




1. CESARO SUMMATION

Definition: Allgemein ist
                                                    

                                                   a
                                                   k 0
                                                            k



            eine beliebige Reihe mit Partialsummen
                                                           n
                                                s n :  a k
                                                          k 0

            und mit dem arithmetischen Mittel
                                         s0  s1    s n
                                n :                      , für n  0
                                               n 1
            dieser Partialsummen.
                                                                      
             n wird als Cesaro-Mittel bezeichnet, und die Reihe  a k heißt C-summierbar
                                                                     k 0


            gegen s , wenn
                                                 lim  n  s
                                                 n

            gilt.


Beispiel:   Eine Reihe muss nicht notwendig konvergieren, um Cesaro-summierbar zu sein, wie
            folgendes Beispiel zeigt: Die alternierende Reihe
                                    

                                  (1)
                                  k 0
                                            k
                                                 1 1 1 1 1 

                                                                 1
            ist divergent, besitzt hingegen die C-Summe            . Dies geht unmittelbar aus der
                                                                 2
            folgenden Tabelle hervor:



                                                                                                1
       n       0              1        2           3            4           5        6        …
      an       1              -1       1           -1           1           -1       1        …
      sn       1              0        1            0           1           0        1        …
      n       1              1/2     2/3         1/2          3/5          1/2     4/7       …




Satz 1:            Besitzt eine Reihe die Summe s , so ist sie auch C-summierbar gegen s.
Satz 1 folgt aus dem folgenden Lemma.

Lemma:        Die Folge der sukzessiven arithmetischen Mittel ( n ) n einer gegen  konvergenten

Folge s=   (sn )n konvergiert ebenfalls gegen  .

Bew. Lemma :              Anstelle der Folge s betrachten wir die gegen 0 konvergente Folge der
              y k : s k   .

              Wie man leicht sieht, ist
                                                y0  y1  y 2    y n
                                      n                             .
                                                         n 1

              Zu vorgegebenem   0 gibt es ein k 0 mit yk   für alle k  k 0 . Setzt man
 k0
  yk : c(k0 ) , so gilt für alle n  k    0
k 0

              n                   n
             yk   yk  c(k0 )  (n  k0 )  c(k0 )  n .
            k 0              k 0
              Hieraus folgt

                             1 n       c( k )
                                  yk  0    2 , .für n groß genug.
                           n  1 k 0  n 1
              Dies beweist die Behauptung.

2.            FEJÉR KERN

Definition:        Die Cesaro-Mittel  N der Fourier-Reihe einer Funktion f  R2 werden Fejér-Mittel
                   genannt.
Definition:        Die Funktion


                                                                                                   2
                                                        1 N
                                         K N (t ) :          Dk (t )
                                                       N  1 k 0
               heißt Fejér Kern und ist natürlich ebenfalls ein trigonometrisches Polynom N  ten
               Grades.
               Integraldarstellung
                                                       
                                                 1
                                      N ( x) 
                                                2      f (x  t)K
                                                       
                                                                      N   (t )dt

               der Fejér-Mittel  N .


Darstellung:




Eigenschaften des Fejér-Kerns:          Für alle N  0 gilt:
                                                    1 1  cos((N  1)t )
                                                    N 1                          (t  2Z )
                                                           1  cost
                            (a)         K N (t )                                              ,
                                                   N  1                          (t  2Z )
                                                   
                                                   



                                                                                                    3
                                   (b)       K N (t )  0              t ,

                                                   
                                               1
                                   (c)
                                              2    K
                                                   
                                                            N   (t )dt  1 ,

                                                                  1
                                   (d)      K N (t )                               (  t   ) .
                                                         ( N  1)(1  cos  )


Beweis: (a)           Der Beweis stützt sich auf die Formel

                                1  1 
                      2 sin  k  t  sin t   coskt  cosk  1t  .
                           
                                2  2 
                                      
                      Ist t  2Z , so erhalten wir:

                                                                 1 
                                                        sin   k  t 
                                                            
                                              1 N                2 
                                  K N (t )        
                                             N  1 k 0         1 
                                                           sin  t 
                                                                2 
                                                                        N
                                                1
                                  
                                                    1 
                                                                        (cos(kt)  cos((k  1)t )
                                      2( N  1) sin  t  k 0
                                                        2

                                                    2 
                                               1
                                                          (1  cos((N  1)t )
                                      ( N  1)(1  cos t )                                  □

                      Ist t  2Z , dann erhalten wir:

                                              1 N
                                  K N (t )         (2k  1)
                                             N  1 k 0
                                       1  N ( N  1)        
                                         2           N  1
                                      N 1    2             
                                   N 1                                                    □
        (b) und (c) folgen aus (a) bzw. aus der Eigenschaft des Dirichletkerns
                 
                           (t )dt  1 ), und aus (a) ergibt sich schließlich (d), da cos auf 0,   monoton fällt.
             1
        (
            2   D
                 
                       N




                                                                                                                  4
Satz 2:   In jedem Stetigkeitspunkt x 0 der Funktion f  R2 gilt lim  N ( x0 )  f ( x0 ) .
                                                                                    N 




                             1 
           Mit  N ( x0 ) 
                                                                                           
                                 f ( x0  t ) K N (t )dt
                                                                                     1
Beweis:
                            2 
                                                                              und
                                                                                    2    K
                                                                                           
                                                                                                N   (t )dt  1 ergibt sich:


                                      1 
              N ( x0 )  f ( x0 )       ( f ( x0  t )  f ( x0 )) K N (t )dt ,
                                     2 
           und hieraus folgt wegen K N (t )  0 , t :
                                              
                                     1
             N ( x0 )  f ( x0 ) 
                                    2           f ( x0  t )  f ( x0 ) K N (t )dt
                                             

                 1                                                          1
            
                2         f ( x0  t )  f ( x0 ) K N (t )dt 
                                                                           2        f ( x0  t )  f ( x0 ) K N (t )dt
                     t                                                          t 

           Da f beschränkt ist, gibt es ein M mit

                                       f ( x)  M ,                      x  0,2  .

           Und mit der Eigenschaft (d) des Fejér Kerns ergibt sich

                                                       1                                   1
                        N ( x0 )  f ( x0 ) 
                                                      2 2          K N (t )dt  M
                                                                  t 
                                                                                           2       K
                                                                                                 t 
                                                                                                     
                                                                                                         N   (t )dt

                                                                     2M
                                                         
                                                      2       ( N  1)(1  cos  )              □


Satz 3:   Ist die    2 -periodische       Funktion           f     an jedem Punkt stetig (d.h.                  f  C2 ),
                                                                                                                      0
                                                                                                                              so

          konvergieren die Fejér-Mittel  N ( f ) auf 0,2  gleichmäßig gegen f .


Beweis: Wie Beweis von Satz 2, denn f ist gleichmäßig stetig auf 0,2  .




                                                                                                                              5

				
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