ECUACIONES INECUACIONES YS ISTEMAS1 by 252s8ux

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									                                             1º de Bachillerato: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.



                   ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

        Concepto                  Procedimiento                             Ejemplo
Ecuaciones de 2º grado     Son aquéllas que, una vez           Es una ecuación de 2º grado
con una incógnita.         reducidas al máximo                 reducida y completa:
                           sometiéndolas a las
                           transformaciones anteriores,          3 
                                                               x x 2 0
                                                               2
                           tienen la forma:
                           x b 
                           a2 x c 0                           Son ecuaciones incompletas de 2º
                           “a” no puede ser cero, pero         grado:
                           sí “b” ó “c” o ambos, en            2x2  0
                           estos casos la ecuación se
                           llama incompleta                    x2  9  0
                                                               x2  5x  0
Resolución de ecuaciones   1º caso: ax  0 . La única          Resuelve:
                                        2
de 2º grado incompletas    solución es x=0.                    3x2  0
                                                               2x2  8  0
                           2º caso: a c0. Tiene
                                        2
                                     x
                           dos soluciones que son              3x2  9x  0
                           números opuestos, en                La 1ª es:
                           efecto:                                 0
                                                               x2   0
                                                                   3
                           ax2  c
                                                               x  0 0
                                  c
                           x2                                La 2ª:
                                  a                            2x2  8
                                    c                              8
                           x                                x2   4
                                    a                              2
                           3º caso: a  x .
                                      2
                                     x b 0                     x  4 2
                           Tiene dos soluciones, una
                                                               La 3ª:
                           de ellas es x=0 y la otra –
                           b/a, en efecto, sacando             x (3 x  9)  0
                           factor común la “x”:                x0
                           x (ax  b )  0
                                                               3x  9  0
                           x0
                                                                     9
                           ax  b  0                          x    3
                                                                     3
                                 b
                           x
                                 a
Resolución de ecuaciones   Si en la ecuación reducida          Resuelve:
de 2º grado completas      de 2º grado ninguno de los            5 
                                                               x x 4 0
                                                               2
                           coeficientes a,b y c son            Tenemos que:
                           ceros, las soluciones se            a=1
                           encuentran aplicando la             b=-5
                           fórmula siguiente:                  c=4
                                                               Y las soluciones son:
                                 c
                             b 4
                             b 2 a                                 5  25 16
                           x                                  x              
                               a
                               2                                       2
                                                                           5 3
                                                                        x        4
                                                                 5 3       2
                                                                     
                                                                   2   x  5  3  1
                                                                       
                                                                             2


                                                                                         Página 1 de 4
                                          1º de Bachillerato: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.



Número de soluciones de    En una ecuación de 2º grado      La ecuación:
la ecuación de 2º grado    el número que resulta al           3 
                                                            x x 2 0
                                                            2
                           hacer las operaciones            Tiene dos soluciones ya que:
                           b2  4ac , se llama               2 4 10
                                                            (3  
                                                             )   2
                           discriminante y según su
                                                            La ecuación:
                           valor puede ocurrir:
                                                              4 
                                                            x x 4 0
                                                            2

                           -Si es positivo, hay dos         Sólo tiene una solución, pues:
                           soluciones.                      ) 44 0
                                                            (4   
                                                              2
                           -Si es negativo no hay
                                                            La ecuación:
                           solución.
                           -si es cero, sólo hay una        x  
                                                            2
                                                              x 1 0
                           solución                         No tiene soluciones pues:
                                                            1   
                                                            2
                                                               41 3
Ecuaciones bicuadradas     Tienen la forma general:         x  x 
                                                             4
                                                               52 4 0
                           a4x 
                              2
                           x b c0                           x
                                                             2
                                                               t
                           Se resuelven haciendo el
                           cambio de variable:              t  t 
                                                             2
                                                               5 4 0
                           x2  t
                           con lo que se convierte en         5 2 6
                                                                  
                                                                51 4
                           una de 2º grado:                 t      
                           a  t 
                            2
                           t b c 0
                                                                2    
                                                                     1
                                                            Entonces para x:
                           Si resolvemos para “t” y
                           deshacemos el cambio de              
                                                            x 4 x 4
                                                            2
                                                                    2
                           variable, podemos encontrar
                           que hay 2, 4 o ninguna             
                                                            x 1 x 1
                                                            2
                                                                   1
                           solución
Ecuaciones con “x” en el   Se suprimen los                   1 1    3
denominador                denominadores igual que si            
                           los denominadores fuesen             
                                                             x x3 1 0
                           numéricos teniendo en            Tenemos que:
                           cuenta que el m.c.m. ahora         c 1 ( )
                                                            m 0 x 3
                                                               m x
                           es un polinomio                  10(x  3) 10x  3x(x  3)
                                                            10x  30 10x  3x2  9x
                                                            3x2  9x 30  0
                                                            x2  3x 10  0
                                                                  3  9  40 x  2
                                                            x               
                                                                       2      x  5
Ecuaciones con radicales   Son aquéllas que tienen la          4x  5  x  2
                           incógnita bajo un signo
                           radical. Para resolverlas:       4x  5  (x  2)2
                                Dejaremos el radical
                                    aislado en un           4x  5  x2  4x  4
                                    miembro.
                                Elevaremos ambos
                                                            x2  1  0
                                    miembros al             x  1  1
                                    cuadrado.
                                                            Vamos si ambas son válidas. Para
                                Una vez eliminado el       x=1:
                                    radical,
                                    procederemos como             
                                                               41 5 1 1
                                    en cualquier otra
                                    ecuación.                  
                                                              9 2
                                Tras obtener las           es falso. X=1 es solución extraña.
                                    soluciones hay que      Para x=-1




                                                                                      Página 2 de 4
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                                     comprobarlas en la        4 5 
                                                               1 2
                                     ecuación inicial pues
                                     al elevar al cuadrado   11 
                                     pueden aparecer       cierto, x=1 es válida
                                     soluciones extrañas.
                                SISTEMAS DE ECUACIONES
Sistemas de ecuaciones      Un sistema de dos              Resuelve:
lineales.                   ecuaciones lineales con una    3  y 
                                                             x 5 1
                            incógnita es una expresión                   
                            de la forma:                   x y 5
                                                                2 1
                              x b
                             ay c                        Sustitución:
                                                            x  15  2y
                             'x b  '
                            a  'y c 
                            Se resuelven por los             3(1 5  2 y )  5 y  1
                            métodos de:                      45  6y  5 y  1
                                 Sustitución.
                                 Igualación                 6 y  5 y  1  45
                                 Reducción                   1 1y   4 4
                            Ya conocidos del curso             44
                            anterior                          y   4
                                                               11
                                                               5 24 7
                                                             x 1  
Sistemas de ecuaciones no   Son aquellos en los que          Resuelve:
lineales.                   alguna de las incógnitas está    xy y1
                                                             2
                                                               x2 2
                            elevada a una potencia,                 
                            están multiplicadas entres sí,    
                                                             xy1    
                            o tienen algún radical.          Despejamos y en la 2ª y sustituimos
                            Generalmente, el método          en la 1ª:
                            más adecuado para
                                                              y 1x
                            resolverlas suele ser el de
                            sustitución.                     x2  x(1x) (1x)2  21
                                                             x2  x x2 12x  x2  21
                                                             x2 x 20  0
                                                                   1 180 5
                                                             x           
                                                                      2    4
                                      INECUACIONES
Inecuaciones                Una inecuación es una
                            desigualdad, es decir, una
                            ecuación en la que hemos
                            cambiado el signo “=” por
                            uno de los signos
                            “ , , ,  ”.
                            Una inecuación puede tener
                            infinitas soluciones o
                            ninguna.
                            También existen los
                            sistemas de inecuaciones.
                            Al resolver una inecuación,
                            hay que proceder como en
                            las ecuaciones con la
                            diferencia de que al
                            multiplicar o dividir ambos
                            miembros por un número, si
                            éste es negativo, hay que
                            cambiar el sentido de la
                            desigualdad (por ejemplo, en



                                                                                       Página 3 de 4
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                           el momento de despejar la
                           incógnita).
Inecuaciones con una       Procederemos como en las         Resuelve:
incógnita.                 ecuaciones                       2 (x  2 )
                           correspondientes                             2x
                           procurando expresar el                 3
                           resultado en forma de            2x  4
                           intervalo o de unión de                    2x
                                                                3
                           intervalos
                                                            2x  4  6x
                                                            2x  6x  4
                                                            4x  4
                                                            x  1
                                                            La forma de expresar la solución es:
                                                            x1 
                                                                , 
                                                            Observa que el intervalo es abierto
                                                            pues el signo era > si hubiese sido
                                                             , el intervalo sería cerrado
Sistemas de inecuaciones   La solución está formada por     2  0
                                                             x 4     
con una incógnita.         las soluciones comunes a                  
                           todas las que forman el                x 
                                                             x   
                                                             2 7    3
                           sistema                                2 
                                                            De la 1ª se obtiene:
                                                            x  2
                                                            Y de la 2ª:
                                                             x 4x
                                                             4 1     6
                                                             x 0
                                                             5   2
                                                            x4
                                                            la solución común es
                                                            2,4  (vale el 4 pero no -2)
Inecuaciones en valor      En uno de los miembros           resuelve:
absoluto                   aparece el signo del valor        2 
                                                             x2 4
                           absoluto. Hay que recordar
                           el significado del concepto       2
                                                             x2 4 s 2
                                                                   i x2 0
                           valor absoluto:                  
                              x i 
                              s x0
                                                              i x2 0
                                                             x2 4s 2
                                                             2
                            
                           x                               resolviendo el sistema obtenido nos
                              xs 
                              i x0
                                                           sale.
                                                            x3
                                                            x  1
                                                            Siendo la solución:
                                                             1,3




                                                                                      Página 4 de 4

								
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