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					MATEMÁTICAS

RECREATIVAS

EN EL AULA DE

MATEMÁTICAS


       Sofía Ramos Marqués
FICHA TÉCNICA

TÍTULO UNIDAD: Aritmética

NIVEL: Segundo curso de ESO

BREVE DESCRIPCIÓN Y OBJETIVOS GENERALES:
 En primer lugar repasar las operaciones con
números naturales, los conceptos relacionados con
la divisibilidad y la factorización.
 En segundo lugar conocer algunas de las
características de la aritmética decimal.


CONOCIMIENTOS PREVIOS:

 1.   De medios: Ninguno
 2.   Matemáticos: Operaciones con números
      naturales, criterios de divisibilidad,
      factorización, m.c.d. y m.c.m.
DURACIÓN:

 Mínima: 10 horas
 Máxima: 15 horas


MEDIOS:

 En ocasiones puede resultar útil el uso de la
calculadora(para comprobar resultados).
MATERIAL PARA EL ALUMNO:
 Cada alumno recibirá una colección de
actividades a realizar.

DESCRIPCIÓN DE UNA SESIÓN TIPO:
 Trabajo individual
  % sesión descubrimiento: 80
  % sesión refuerzo: 20
 La primera media hora se dedica a realizar una
actividad inicial de recordatorio y la última media
hora para una o dos actividades recreativas en las
que se agrupará al alumnado por parejas y tras
unos 20 minutos se pondrán en común todos los
resultados en la pizarra y se resolverán las
actividades.

EVALUACIÓN:
 Tipo de centro: Centro de E.S. público.
 Entorno social: Pequeña ciudad.
 Profesor: Sofía Ramos Marqués.
 Estimación teórica: Se espera que el alumno repase
los conceptos aritméticos ya estudiados y los utilize
para resolver las actividades recreativas que
favorezcan su aprendizaje.
 Estimación experimental: No he podido realizar
una estimación experimental por encontrarme
durante este curso impartiendo únicamente clases
de 4º ESO y 1º Bachiller.
LISTA DE PROCEDIMIENTOS:
 En esta unidad se repasan las operaciones con
naturales y se amplía el conocimiento de algunas
propiedades del sistema de numeración decimal.
 Los puntos más importantes son los siguientes:
 1. Suma y resta con naturales.
 2. Multiplicación y división con naturales.
 3. Paridad.
 4. Diversas propiedades de la aritmética
      decimal.
 5. Criterios de divisibilidad. Números primos y
      compuestos.
 6. Factorización.
 7. El m.c.d. y el m.c.m.
 Al final de la unidad aparece un anexo donde se
recapitulan actividades concretas que el alumno
deberá resolver.

DESARROLLO DE LA UNIDAD DIDÁCTICA:
 Esta unidad se desarrolla punto por punto,
haciendo una recopilación de actividades. Cada
una de estas actividades se describe para su
correcta exposición y desarrollo con los alumnos.
PUNTO 1: SUMA Y RESTA DE NATURALES.

 Con el fín de repasar los algoritmos de la suma y
la resta, se plantean varias operaciones con cifras
omitidas que el alumno debe completar.

Actividad 1.1:
Meta: Saber reconstruir la suma a partir de las
cifras de unas sumas.

 453##                            790###
+ 3#479                         + 1#9274

 #6822                             9#9#16


Actividad 1.2:
Meta: Saber reconstruir la resta a partir de las
cifras de unas restas.

  8#2#                                7#9#
 4597                               #819

 #7#4                                 36#0
Actividad recreativa:

  Reemplaza las letras por dígitos en la suma
siguiente(Nota: A letras iguales, dígitos iguales):


               VRS
             + AVV

               MMA
PUNTO 2: PRODUCTO Y DIVISIÓN DE NATURALES

 Con el fín de repasar los algoritmos de la
multiplicación y la división se plantean varias
operaciones con cifras omitidas que el alumno debe
completar.

Actividad 2.1:
Meta: Saber reconstruir un producto a partir de las
cifras de una multiplicación.

    3#1                               4#8#
   #4                                3#7

   1#64                            3#6#4
   6#2                           3###6
                                1####
   8##4
                                1#####4
Actividad 2.2:
 Esta actividad se relaciona con la anterior pero las
estrategias de búsqueda se aplican al caso de una
división.
Meta: recordar el algoritmo de la división y saber
reconstruirla a partir de cifras omitidas.


  43#5  #                    7#3#1  6
   1#    61#                  1#      1#386
    4#                         ##
     #                          52
                                4#
                                  #
                                    
Actividad recreativa:
 Reemplaza las letras por dígitos en la
multiplicación siguiente(Nota: A letras iguales,
dígitos iguales):


              MRSMH
                 M

                 TSLTSH
PUNTO 3: PARIDAD.

 Conocer las reglas de la paridad de la suma y el
producto de varios números enteros.

Actividad 3.1:
 Se entregan diversos casos de sumas y productos
al alumno para que analize el valor de la paridad
resultante, y a partir de aquí se sacan las reglas de
paridad para sumas, restas y productos.

Actividad recreativa:
 La suma de 6 números es par, el producto de los 4
primeros es impar, y el último número es par. ¿El
quinto número es par o impar?
Solución:
 Sean a,b,c,d,e y f los 6 números.
 Si a·b·c·d es impar implica que ninguno de ellos es
par, luego a+b y c+d dan resultado par, y como f es
par, entonces el quinto número ha de ser par para
que la suma (a+b)+(c+d)+e+f sea par.
PUNTO 4: DIVERSAS PROPIEDADES DE LA
ARITMÉTICA DECIMAL.

 El objetivo de este punto es conocer pautas y
regularidades que aparecen en las operaciones
aritméticas habituales.

Actividad 4.1:
 Se da a los alumnos varios productos de dos
números para que obseven que algunos terminan
por 0 y otros no. Se les pide que los analizen y ver
qué es lo que distingue a unos de otros.
Meta:
 Observar que la única forma de que el resultado
de multiplicar dos números acabe en 0 es que entre
sus factores primos aparezcan el 2 y el 5.

Actividad recreativa:
 ¿Cuál es la cifra de las unidades del número
V=1!+2!+3!+.........+97!+98!+99! ?
Actividad 4.2:
 Se da a los alumnos una tabla ordenada del 1 al 9
y se les pide que calculen sucesivamente los
números en los que acaban los cuadrados,los
cubos,las cuartas potencias,etc.....

Actividad recreativa:
  ¿Cuál es la cifra de las unidades del número
[(714957)5 – (403475)4 ]·(3981)7 ?

Solución:
 Tomo la última cifra del número 714957,que es
7,y calculo 75 que acaba en 7.
 Cualquier potencia de un número terminado en
5,acaba en 5.
 Cualquier potencia de un número terminado en
1,acaba en 1.
 Luego la cifra buscada de las unidades es:
(7-5)·1=2
PUNTO 5. CRITERIOS DE
DIVISIBILIDAD.NÚMEROS PRIMOS Y
COMPUESTOS.

 El objetivo del punto es conocer los diferentes
criterios de divisibilidad por 2,3,4,5,7,9 y 11,y
saber distinguir números primos y números
compuestos.

Actividad 5.1:
 Se presenta a los alumnos una tabla con diversos
números de 2,3,4 y 5 cifras. Se les pide que
apliquen los criterios de divisibilidad que conocen
para determinar los primos y compuestos.

Meta:
 Distinguir entre números primos y compuestos y
ciertas propiedades de los números primos(por
ejemplo que no pueden acabar en cifra par excepto
el 2).

Actividad 5.2:
 Encontrar los 10 primeros números primos.
Actividad 5.3:
 Usando la criba de Eratóstenes construir una tabla
de números primos.

Actividad recreativa:
 Encontrar 4 números primos de la forma:
VV,MZM,LABC,SSST.
(Nota: A letras iguales números iguales).

Actividad recreativa:
 Escribe un número de 3 cifras. Luego escríbelo
otra vez y obtendrás un número de 6 cifras. Ahora
divídelo por 1001.¿Has obtenido el número inicial?
¿Porqué?
PUNTO 6: FACTORIZACIÓN.

El objetivo del punto es una vez aprendidos los
criterios de divisibilidad,saber aplicarlos para
factorizar números.

Actividad 7.1:
 Se les da a los alumnos varios números para que
los factoricen aplicando los criterios de
divisibilidad.

Actividad recreativa:
 Sólo hay un número mayor que 1 y menor que
200000000000 que sea al mismo tiempo un
cuadrado, un cubo y una quinta potencia exactas,
¿Cuál es?
PUNTO 7: EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR(M.C.D.)
Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO(M.C.M.).

 El objetivo es una vez saben expresar un número
cualquiera como producto de sus factores primos,
aplicarlo para hallar el m.c.d. y el m.c.m.

Actividad 7.1:
 Calcular el m.c.d. y el m.c.m. de diversos pares de
números.

Actividad recreativa:
 Un gigante y un enano comienzan a caminar
juntos, dando el primer paso los dos con el pie
derecho. Para andar lo mismo que el gigante, el
enano da 3 pasos cada vez que el gigante da 2.
¿Cuándo darán un paso los dos con el pie izquierdo
al mismo tiempo?

Actividad recreativa:
 Tengo un tablero cuadriculado de forma
rectangular de tamaño mn cuadrados de lado. Si
dibujo su diagonal. ¿Por el interior de cuántos
cuadrados pasa?
ANEXO.

PROBLEMA 1.

 Si las letras A,B,C y D representan dígitos distintos.
Busca 4 números representados por ADDD, AACA,
BCDB y BDAC tal que cada uno de ellos sea primo.

Solución:
 Como todos los números son primos, sus últimos
dígitos deben ser cifras impares y diferentes de 5,
por lo que A, B, C y D son 1, 3, 7 y 9.
 Como ADDD y AACA no pueden ser divisibles por
3, tengo que A, C  1, 7  y B, D   3, 9 .
 Tomo A=1 y D=9, entonces obtengo:
ADDD=1999 que es primo, por tanto C=7 y B=3 y
obtengo:
AACA=1171, BCDB=3793 y BDAC=3917 que
resultan ser todos primos.
PROBLEMA 2.

 Encontrar 10 números consecutivos que no sean
primos.

Solución:
 Considero los siguientes 10 números consecutivos;
11!+2, 11!+3, 11!+4, 11!+5,......,11!+11.
 Ninguno de ellos es primo, pues son,
sucesivamente múltiplos de 2, de 3, de 4, de 5,.....,
de 11.
PROBLEMA 3.

 Víctor compra una libreta de 96 hojas y numera
cada una de sus páginas en orden desde la 1ª hasta
la 192ª. Sonia le arranca 25 hojas al azar, anotando
los números de las páginas suprimidas para luego
sumarlos. ¿Podría ocurrir que el resultado de esa
suma diera 1998 ?

Solución:
 Cada hoja tiene 2 páginas, una numerada con un
número par y la otra con uno impar. Si sumo todos
los números, sumaré 25 números pares y 25
números impares. La suma de los 25 pares es un
número par y la suma de los 25 impares es un
número impar. Luego la suma total es un número
impar, por lo tanto nunca puede dar 1998.
PROBLEMA 4.

 Calcular en cuántos ceros termina 100!.

Solución:
 Al multiplicar los 100 primeros números
naturales, se originan ceros al multiplicar un
número par por 5. Por tanto en la descomposición
factorial de 100! Se originarán tantos ceros como
veces aparezca el 5 en ella.
 Cada 5 números aparece un múltiplo de 5, así
pues aparecerán 100:5=20 ceros.
 Pero también hay que tener en cuenta que en los
números 25, 50, 75 y 100 aparece 2 veces el 5 en
su descomposición factorial, luego he de sumar 4
ceros más, es decir, aparecerán en total 24 ceros.
PROBLEMA 5.

 ¿Cuál es la última cifra del número 79998 ?

Solución:
 Calculo la última cifra de las sucesivas potencias
de 7, que acaban respectivamente en 7, 9, 3, 1:

 71 =7
 72 =49
 73 =343
 74 =2401

   Para el resto de potencias se repiten estas mismas
cifras en este orden, así que sólo hará falta calcular
el resto de la división 9998:4

         9998  4
         19     2499
          39
           38
            2
              

 El resto es 2, por tanto el número acabará en 9.

				
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posted:3/31/2012
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