Operaciones by 147j6z

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									1.1.2. Operaciones, Leyes y representación de diagramas de Venn

Operaciones con conjuntos

 Existen operaciones que nos permiten crear nuevos conjuntos a partir de otros
conocidos. Definimos la unión A  B y la intersección A  B de dos conjuntos A y B
como sigue:

       A  B = { x : x  A o x  B o ambas }

      AB={x:xAyxB}

        Añadimos “o ambas” para dar énfasis y claridad a la definición de A  B. En
español la palabra o tiene dos significados. A veces es el o inclusivo que significa lo
uno, lo otro o ambos. Esta es la interpretación cuando un programa de estudios dice:
se deben incluir dos años de ciencias o dos años de matemáticas. Otras veces o es el o
exclusivo y significa lo uno o lo otro pero no ambas. Es el o que se utiliza en un menú
que ofrece sopa o ensalada. En matemáticas siempre utilizamos o como el o inclusivo
mientras que no se especifique lo contrario. Dos conjuntos A y B son disjuntos si no
tienen elementos comunes, es decir, si A  B = .

      Para dos conjuntos A y B, el complemento relativo A \ B es el conjunto de
elementos que están en A y no están en B.

      A\B={x:xAyxB}={xA:xB}

      Es el conjunto que se obtiene al quitar de A los elementos que están en B

        Añadimos “o ambas” para dar énfasis y claridad a la definición de A  B. En
español la palabra o tiene dos significados. A veces es el o inclusivo que significa lo
uno, lo otro o ambos. Esta es la interpretación cuando un programa de estudios dice:
se deben incluir dos años de ciencias o dos años de matemáticas. Otras veces o es el o
exclusivo y significa lo uno o lo otro pero no ambas. Es el o que se utiliza en un menú
que ofrece sopa o ensalada. En matemáticas siempre utilizamos o como el o inclusivo
mientras que no se especifique lo contrario. Dos conjuntos A y B son disjuntos si no
tienen elementos comunes, es decir, si A  B = .

      Para dos conjuntos A y B, el complemento relativo A \ B es el conjunto de
elementos que están en A y no están en B.

      A\B={x:xAyxB}={xA:xB}

Es el conjunto que se obtiene al quitar de A los elementos que están en B.

      La diferencia simétrica A  B de los conjuntos A y B es el conjunto

      A  B = (A  B) \ (A  B) = (A \ B) (B \ A)

      A veces es conveniente ilustrar las relaciones entre conjuntos con dibujos
llamados diagramas de Venn, en donde los conjuntos corresponden a subconjuntos
del plano.   Ejemplo:  Sea A = {n  N : n = 7}, B = {n  N : n es par y n = 16} y E = {n 
N : n es par}. Entonces tenemos




       A  B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16},

       A  B = {0,2,4,6},

       A \ B = {1,3,5,7},

       B \ A = {8,10,12,14,16},

       A  B = {1,3,5,7,8,10,12,14,16}.

        En general es conveniente trabajar en un conjunto finito como N, R o?*. Esto
es, conviene fijar un conjunto U que llamamos conjunto universal o universo, y
considerar solamente elementos de U y subconjuntos de U. Para A  U el complemento
relativo U \ A recibe el nombre de complemento absoluto o sencillamente
complemento y se denota por Ac. Nótese que el complemento relativo A \ B puede
escribirse en términos del complemento absoluto: A \ B = A  Bc

Ejemplo:Sea A = {n  N : n = 7}, B = {n  N : n es par y n = 16} y E = {n  N : n es par}.
Entonces tenemos




       A  B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16},

       A  B = {0,2,4,6},

       A \ B = {1,3,5,7},

       B \ A = {8,10,12,14,16},

       A  B = {1,3,5,7,8,10,12,14,16}.
        En general es conveniente trabajar en un conjunto finito como N, R o?*. Esto
es, conviene fijar un conjunto U que llamamos conjunto universal o universo, y
considerar solamente elementos de U y subconjuntos de U. Para A  U el complemento
relativo U \ A recibe el nombre de complemento absoluto o sencillamente
complemento y se denota por Ac. Nótese que el complemento relativo A \ B puede
escribirse en términos del complemento absoluto: A \ B = A  Bc

Ejemplo:




Leyes de álgebra de conjuntos
AB=BA
                                          Leyes conmutativas
AB=BA
(A  B)  C = A  (B  C)
                                          Leyes asociativas
(A  B)  C = A  (B  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
                                          Leyes distributivas
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
AA=A
                                          Leyes de la idempotencia
AA=A
A=A

AU=U
                                          Leyes de Identidad
A=

AU=A
(Ac )c = A

A  Ac = U

A  Ac =                                 Complementación

Uc = 

c = U
(A  B)c = Ac  Bc
                                          Leyes de DeMorgan
(A  B)c = Ac  Bc
       Gracias a las leyes asociativas podemos escribir los conjuntos A  B  C y A  B
 C sin paréntesis y no causar confusión.

       Las pruebas que utilizan diagramas de Venn parecen mucho más fáciles que las
pruebas en las que analizamos las inclusiones mediante elementos. Los diagramas de
Venn para A, B, C tiene 8 regiones y comprenden todas las posibilidades lógicas por lo
que las demostraciones que utilizan diagramas de Venn son de hecho válidas.

Una objeción mucho más seria para las demostraciones con diagramas de Venn es que
ocultan los procesos de pensamiento que se requieren para llevarlas a cabo; es decir,
no se especifica la lógica que debe utilizarse para sombrear los diagramas. Otra razón
para no utilizar diagramas de Venn es que son muy difíciles de dibujar cuando hay más
de tres conjuntos.




Cetina López Wendy. OPERACIONES, LEYES Y VENN EULER. México. 2005. pp. 4.

								
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