calcul des structures portiques methode des deplacements jexpoz by Q10p66Jm

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									 Hautes Etudes d’Ingénieur
 13, rue de Toul             HEI 4 BTP
 59046 Lille Cedex




           CHAPITRE II
      CALCUL DES PORTIQUES
PAR LA MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS
                               I. Définitions


Un portique est un assemblage de poutres dont les lignes
moyennes appartiennent à un plan (Oxy) et qui sont chargées dans
ce plan.
Le point d’assemblage de plusieurs poutres s’appelle un nœud.
Les poutres sont considérées comme encastrées aux nœuds, on dit
ainsi que les nœuds sont rigides.

II. Conventions de signes sur les éléments poutres
II.1 Déplacements des nœuds
En un nœud i d’une poutre, le déplacement di à 3 composantes (ou 3
degrés de liberté)
                          v1        q1               q2
                                          v2
      u i 
d i  vi 
                             u1               u2
      θ i 
       
              II. Conventions de signes sur les éléments poutres

II.2 Eléments de réduction
Chaque section droite est sollicitée par un effort normal N, un
effort tranchant T et un moment fléchissant µ. Dans les sections
extrêmes, les sens positifs sont les suivants:
                                                                  µ2
                     N1                            T2


                                                             N2
                µ1             T1


II.3 Forces extérieures

                                         M1             M2
                          Y1                  Y2

                                    X1             X2
         III. Définition des vecteurs force et déplacement nodaux

Pour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et déplacement {d}
s’écriront:            X1                         u1 
                      Y                          v 
                       1                          1
                       M1                        q1 
                F                     d    
                      X2                         u 2 
                       Y2                        v 2 
                                                  
                       M2                        q 2 
Notre objectif est d’établir la relation de rigidité d’un élément
poutre, c’est-à-dire:                               u 1   X1 
                                                   v   Y 
                                                    1  1 
                                                   q 1   M 1 
    K   d   F                      K       
                                                   u 2   X 2 
                             dimension 6x6          v 2   Y2 
                                                      
                                                   q 2  M 2 
           IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire

IV.1 En repère local
a) Matrice de rigidité due aux efforts selon x* (cf chapitre précédent)




                        X1  EA  1  1  u1 
                                1 1  u 
                       X 2  L          2 


Soit:         X1     1       0 0 - 1 0 0  u1 
             Y       0       0 0 0 0 0  v1 
              1                           
              M1  EA  0      0 0 0 0 0 q1 
                                          u 
              X 2  L - 1     0 0 1 0 0  2 
                       
              Y2     0       0 0 0 0 0  v 2 
                                          
              M2     0       0 0 0 0 0 q 2 
                IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
                                  IV.1 En repère local

b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z*
On impose une rotation q1 au nœud 1 en bloquant les autres
déplacements
        M1
                      1                        2
                                                         M2
                          q1
                 Y1                                Y2
                                                                 4EI
Le moment M1 nécessaire pour produire q1 est (p 21) : M1            q1
                                                                  L
                                               2EI
Il produit un moment M2 au nœud 2 : M 2           q1
                                                L
SMt/1=0  M1+M2+Y2L=0                  6EI
                                  Y2   2 q1
                                         L
                                   6EI
De plus, on a Y1+Y2=0         Y1  2 q1
                                    L
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
                IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
                                  IV.1 En repère local

b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z*
De même, on impose une rotation q2 au nœud 2 en bloquant les autres
déplacements
        M1
                   1                          2
                                                           M2
                                         q2

                Y1                                Y2
                                                            4EI
Le moment M2 nécessaire pour produire q2 est : M 2             q2
                                                             L
                                                  2EI
Il produit un moment M1 au nœud 1 : M1               q2
                                                   L
SMt/2=0  M1+M2-Y1L=0           6EI
                                     q2
                                  Y1 
                                   2
                                  L
                              6EI
De plus, on a Y1+Y2=0  Y2   2 q 2
                               L
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
                IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
                                  IV.1 En repère local

b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z*
En superposant les deux cas, on obtient:



                  0     0      0     0 0        0 
            X1   0    0
                              6 EI
                                      0 0
                                               6 EI   u 
           Y                                   2 
                                                          1
                               L2               L      v 
            1              4 EI             2 EI   1 
            M1  0     0
                                L
                                      0 0
                                                 L 
                                                      q 1 
              0      0      0     0 0        0  u 2 
           X2               6 EI             6 EI   
            Y2  0     0    2      0 0      2 v 2 
                             L                L   
           M 2             2 EI             4 EI  q 2 
                  0
                  
                         0
                                L
                                      0 0
                                                 L  
                IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
                                  IV.1 En repère local

c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y*
On impose un déplacement v1 au nœud 1 et on bloque tous les autres
déplacements
                    1
        M1
              v1    1                          2
                                                          M2

                   Y1                              Y2
                                                         6EI v 2  v1 6EI
Nous avons des moments (2.4 p 23) M1  M 2                          2 v1
                                                          L      L     L
SMt/2=0  M1+M2-Y1L=0           12EI
                                  Y1 
                                   3
                                      v1
                                  L
                              12EI
De plus, on a Y1+Y2=0  Y2   3 v1
                               L
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
                IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
                                  IV.1 En repère local

c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y*
De même, on impose un déplacement v2 au nœud 2 et on bloque tous
les autres déplacements
                                               2
        M1
                    1                          2        v2
                                                             M2

                  Y1                               Y2
                                           6EI v 2  v1    6EI
Nous avons des moments M1  M 2                         2 v2
                                            L      L        L
SMt/1=0  M1+M2+Y2L=0           12EI
                                 Y2 
                                    3
                                      v2
                                   L
                              12EI
De plus, on a Y1+Y2=0  Y1   3 v 2
                               L
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
                IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
                                  IV.1 En repère local

c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y*
En superposant les deux cas, on obtient:




                 0    0          0 0        0       0
           X1  0 12 EI         0 0
                                            12 EI
                                           3        0  u1 
          Y         L3                     L          
           1      6 EI                    6 EI        v1 
           M1  0               0 0      2        0  q 
                       L2
             0                                      1 
                                              L
                       0          0 0        0       0 u 2
          X2                                           
           Y2  0  12 EI       0 0
                                           12 EI
                                                     0  v 2 
                     L3                   L3          
          M 2     6 EI                    6 EI       q 2 
                 0               0 0      2        0
                      L2                     L        
              IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
                                IV.1 En repère local

Conclusion : La matrice de rigidité de l’élément poutre en repère
local est obtenue en superposant les cas a), b) et c):


        EA                      EA                
        L      0      0              0       0 
                                  L
            12 EI   6 EI             12 EI  6 EI   u 
 X1   0                           3         2 
                                 0                      1
Y           L 3
                      L 2
                                        L     L  v 
 1         6 EI   4 EI              6 EI  2 EI   1 
 M1   0                       0   2
               L 2
                       L                L      L   q 1 
    EA                     EA                   u 2 
 X2                                         0   
        L      0      0               0
 Y2                           L
                                                    v 2 
   0       12 EI
             3
                      6 EI
                     2          0
                                     12 EI
                                             2  q 2 
                                              6 EI
M 2          L      L               L3      L   
        0    6 EI   2 EI
                                 0   2
                                       6 EI  4 EI 
       
              L 2
                       L                L      L  
                          
                              
                           * 
                          K e 
                              
                IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
                                  IV.1 En repère local

Cas particuliers : La poutre est rigide-articulée ou articulée-rigide
(p 63-65)


IV.2 En repère global
La matrice de rotation est la suivante:

                                      0
                             
                                
                                        0
                                            
                                 0
                                      0   1
                                            
Au nœud 1 (par exemple), nous avons les relations:

         X *1         X1                u *1        u1 
         *                                *
         Y 1     Y1                v 1     v1 
                                                         
        M 1 
            *
                        M1 
                                         q 1 
                                               *
                                                          q1 
                                                           
                                          
                IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
                                  IV.1 En repère global

Pour la poutre 1-2, on peut donc écrire :

  X *1         0      0     0 0   X1 
  *           0      0     0 0  Y1 
 Y 1                                
  M *1   0                    0 0   M1 
  * 
                  0   1
                       
                           0
                                        X  soit
                                  0  2 
                                                          F   F
                                                            *

 X 2   0       0   0
  Y*2   0      0 0           0  Y2 
  *                                 
 M 2   0       0   0    0     0 1  M 2 

                   
De même, on a : d *   d 

                                                       
En repère local, la relation de rigidité s’écrit : K e*  d *  F*


On cherche à établir la relation de rigidité en repère global, soit :
                            K e   d   F
                    IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
                                          IV.1 En repère global


On a la relation de rigidité en repère local :           K  d  F 
                                                            e
                                                                *       *       *


     
et : d *   d 

   K   d   F 
      e
          *                   *



               
De plus : F*   F

     
 K *   d    F
   e


                          
Ou encore :   K e   d   F
                    1        *



Comme on a :                
                         1           t



                                                                         
La relation de rigidité en repère global s’écrit :   K e   d   F
                                                    
                                                               
                                                                    t       *


                                                        K e 
                                                             matrice de rigidité
                                                             en repère global
                    V. Transformation des chargements en forces nodales

      La relation {F}=[Ke].{d} qu’on doit résoudre n’est valable que
      lorsque les forces {F} sont appliquées aux nœuds.
      Une charge répartie ou concentrée (en travée) doit donc être
      décomposée en forces nodales appelées forces de blocage.
      On cherche donc à déterminer Yi et Yj qui correspondent aux
      réactions des nœuds au chargement considéré (p 71 à 75).
                    p                                                 p

      1                              2                    1                         2
M1                                            M2   M1                                      M2


     Y1             l                    Y2             Y1            l               Y2
                                                     *                         
       X* 0                X * 0                   X 0            X * 0 
       1                       2
                                                        1                 2
                                                                                      
             pl                                               p                 p 
 Y1   Y1                                                          Y2   Y2 
                                     pl 
                        Y2   Y2                 Y1   Y1 
   *      *               *       *                  *      *          *       *

            2                     2                       2                2 
       * pl 2               *      pl 2              * pl            *      pl 
       M1                  M2                     M1             M2   
            12                     12                     8                 8
                  VI. Equation d’équilibre d’un élément poutre

Les équations d’équilibre d’un élément poutre chargé entre les nœuds
s’écriront:
                         i  K ii d i  K ij d j  Yi
                                                         Forces de blocage

                          j  K jid i  K jjd j  Y j
   Forces de raideur




Où i et j sont les systèmes de forces extérieures qui sollicitent
directement les nœuds i et j :

                             Pxi            Pxj 
                                                
                       i   Pyi  et  j   Pyj 
                            M              M 
                             zi             zj 
                         VII. Effet thermique sur les poutres

Les expressions en repère local des forces de blocage sont les
suivantes :
                  EAT                             - EAT 
            *i   0                         *j       0   
                                                            
                   0 
                                                    
                                                          0   
                                                               



La relation de rigidité avec effet thermique dans les poutres s'écrit alors
:

                              (e)        (e)
                         K ii d i  K ij d j   i(e)  Yi
                                                              (e)
                Fi(e)
                              (e)        (e)
                         K ji d i  K jj d j   j(e)  Yj
                                                              (e)
                Fj(e)
                    VIII. Tableau de localisation




e    i    j    EA/L    12EI/L3   6EI/L2   4EI/L     j      

….   ….   ….   ….        ….      ….       ….      …. …. ….

								
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