generating the mass of gauge fields by 9Q1057zw

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									Baryons in holographic QCD:
  Stability and ρ-meson effects
    based on K. Nawa, H. Suganuma, and T. Kojo,
     hep-th/0612187 (2006) to be published in PRD,
     Prog. Thoer. Phys. Suppl. 168 (2007) .


   名和 要武, 菅沼 秀夫, 古城 徹
   京都大学 原子核理論研究室
                 Contents

1, Introduction - historical review
    Skyrmion : large Nc の観点から
    Including (axial) vector meson:
       Hidden local symmetry → 5-D Open-Moose model

2, Sakai-Sugimoto (S.S) model:
    String theory → 5-D unified theory of mesons
3, Brane-induced Skyrmion: ρメソンの効果

4, Summary & Future work
                          INTRODUCTION
 Skyrmion: メソン場の ソリトン としてバリオンを記述したもの
  cf) magnetic monopole              中心にバリオンを置いたのと
     中心から磁場が出るような                    等価なメソン場の配位を考えることに
     ゲージ場の配位                         よりバリオンを間接的に表現

                                      配位の トポロジカル電荷
     中心に置かれた磁荷を表現
                                            バリオン数 と同定

                                         T.H.R. Skyrme, Proc. Roy. Soc.
 Skyrme model:                           A260 (1961) 127




 chiral sym. から 一意的に 決まる         非線形項 (Skyrme term) を手で加える
この項だけでは ソリトン は安定化しない             この項だけ取る理由は?
(Derrick の定理)

      70年代後半の Witten のバリオンに対する
      large Nc の議論によりその重要性が再認識された
   バリオンを中間子のソリトンで記述 ( large Nc 描像 )

1/Nc (1/3) : 1/3 は小さくないがQCDの良い 展開パラメータ として期待される
           ( cf: QED (e~1/3, but α=1/137), 臨界現象におけるε(= 4-D, D=3) 展開 )

          1/Nc を良い展開とする解釈の下で説明できる現象が多々ある
           ( cf:       OZI rule, Regge phen., apparent absence of exotics, ..)

ソリトンの例;(1+1)-D kink
  キンク解(ソリトンの一種)                            局所化した粒子描像
                                     E


                                                                          対応
 Witten の large-Nc QCDの解析(1979);

                   ,

 中間子の弱い相互作用系になる。バリオンは重くなって現れない。                      バリオンを中間子のソリトンで記述
                                                     (カイラル・ソリトン描像)
πのみ含んだ Skyrme model (Nf = 2) によるバリオンの研究
                     Adkins, Nappi, Witten, NPB228, 552 (1983)
バリオン数=1のHedgehog 解


  p, n, Δの量子数へ projection するために集団座標 A(t) を導入.
  状態を具体的に構成             調べたい物理量のオペレータの期待値を取る.

  モデルのパラメータは2つ → MN , MΔ- MN にフィット.
   ex)           Theory             exp.
         fπ     64.5 MeV.        94 MeV.
         μp        1.88             2.73
         μn      - 1.32           - 1.91

 ~ 30 % 程度の誤差の範囲でバリオンの静的性質を説明.
現象論で重要な light vector meson ρ、ω、A1 まで入れれば
         バリオンの記述を定性・定量的に改善できるかもしれない.
Including (axial) vector meson
   vector, axial-vector meson の chiral Lagrangian への導入は
                   chiral sym. だけでは一意的に決まらない.
 popular な導入の仕方の一つは hidden local sym. Bando et al,        PRL54, 1215 (1983)
             に対する gauge boson としての導入

Open-Moose model (HLS の拡張)             Son-Stephanov, PRD69, 065020 (2004)




                     hidden SU(2) local symmetry
                                                   gauge boson
  K →∞ として連続化し、k を五次元目の座標 u と解釈.
  π:




                                   5-D Yang-Mills theory
                                           of mesons !!

   無限個の vector meson が 5-D のゲージ場を五次元目
                    についてモード分解した結果として現れる.
但し、metric は unknownなので、質量等は metric の与え方に依る.
   metric に依らず導かれるもの    Weinberg sum rule, VMD
                        meson mass, vector meson decay const.
metric を(手で)与えて導かれるもの
                        pion-vector coupling, etc.
                      Motivation
πのみ含んだ Skyrmion はバリオンの性質を定性的に比較的良く再現し、
定量的にも 30%程度の誤差の範囲で実験値を再現する.

現象論的に重要な (axial) vector meson 等の resonance の寄与を
含めることで更なる改善がなされるかもしれない.

一方で、resonance の導入の仕方は chiral         sym. だけからは一意的には決まらない
HLS を拡張して 5-D Yang-Mills のゲージ場の固有モードとして
resonance を導入するアイデアは美しいが、metric をどう与えたら良いか
ははっきりとしない.
ゲージ/重力 双対性に基づく、ホログラフィックQCD模型 (2005年、酒井・杉本)
                                    [T.Sakai and S.Sugimoto, Prog. Theor. Phys. 113, 843 (2005)]



String theory を介して (large Nc) QCD   と   5-D Yang-Mills を対応付けた!.

    (axial) vector meson による Skyrmion の性質の変化を見る.
                                    ( 今回は ρメソンの寄与まで)
10-D string theory からQCDに対応するゲージ理論を作              x 0~3 :fixed
る
                                  D4-ブレーン×NC枚 左手系クォー
                 D8-ブレーン×Nf枚                  ク
Note:                                                      x5~9
Kaluza-Klein mass: MKK
以上では QCDには現れない                              グルーオン
余計なモードを含む.                                                 x5~9
                                    x4
                 D8-ブレーン×Nf枚
                                              右手系クォーク
                                                   (probe 近似)
        開弦の振動モード                          D4 のみ SUGRA 近似
                         Gauge/Gravity       8-8 horizon
        low energy          duality
        Nc-color QCD
                       SUGRA 近似による制限
    strong coupling region               chiral sym. breaking
                                                  &
                                          color confinement
  D4ブレーンの古典超重力解を背景にした、D8ブレーンの有効作用
     8-8 horizon     Probe 近似 (~quench 近似のイメージ)
                         D8 による D4 brane への影響を無視

   D8ブレーンは9次元の「膜」    D4 の古典超重力解を、メトリックに反映させ


対称的な剰余 4 次元空間は積分する
 9 4=5

    ~
                      5-D Yang-Mills with nontrivial metric
五次元目についてモード展開



            π中間子の場                           (擬)ベクトル中間子の場
   5次元のゲージ場を「モード展開」して、4次元の有効理論を作る
各メソン場に対する五次元目の波動関数
          π              ρ, A1, ρ’, …
              1


          0
                  z           0         z



          5-D → 4-D reduction
五次元目の運動                対応する4次元の場の質量
  に対する固有値
五次元目の 3次、4次、               対応する4次元の場の
…                          3点、4点、…vertex
の波動関数の重なり
 πと (axial) vector meson との相互作用は meson
                         が重くなるほど小さくなっていく.
               用いた近似のまとめ
       Probe 近似                       Nc >> Nf
  classical SUGRA 解
    による近似
超重力サイドの高エネルギーパート(E>MKK)は、余計なモードまで
含んでいる可能性のある理論のスペクトルと対応してしまう危険性がある.

 今の近似の範囲内で超重力サイドから説明できるのは、
               1/Nc の leading part
      QCDの
               low energy strong coupling region

                   Wess-Zumino term を通じてcouple
                      large ’tHooft coupling の next order
       π、ρ、ω                    A1, ρ’, …

  0               MKK ~ 1 GeV                               E
ホログラフィックQCD模型
が与える、
4次元の中間子有効理論
(π中間子とρ中間子)

 π中間子:
         Note:
         1、πの非線形項として Skyrme term だけ現れる.
 π中間子の1次形式:




         2、Skyrme term と ρ-meson terms が共存する.
π中間子の擬ベクトルカレント:
              ,
 π中間子のベクトルカレント:
         3、12個の結合定数が、たった 2つのパラメータで決ま
             ,
         る!          ;紫外発散のカットオフスケール

                     ; large-Ncの有効理論
              fit
        バリオンに対応するヘッジホッグ・ソリトン解
 B=1のヘッジホッグ(はりねずみ)型のソリトン解を探す。
                   [T.H.R. Skyrme, Proc. R. Soc. A260, 127 (1961)]

π中間子;                                            パウリ行列


ρ中間子;


         (π中間子)                            (ρ中間子)




        振幅が減衰する。




* バリオンに対応する安定なヘッジホッグ・ソリトン解が存在。
  ρ中間子の自由度が入ることで、π中間子が
* 部分的にρ中間子に置き換わる。    振幅F(r)の減衰。
         バリオンの中核におけるρ中間子の効果
         バリオン(カイラル・ソリトン)の全エネルギー密度と
         ρ中間子を含む相互作用項のエネルギー密度の比較




 様々な相互作用項が微妙なバランスで釣り合っている.

ρ中間子の相互作用項を適当に入れるとソリトンがつぶれてしまうことがあ
るが、S.S   model で same order の項を consistent に取り扱えば安定
化する.
      バリオンの実験値(質量・半径)との比較
  インプットとして、π中間子の崩壊定数とρ中間子の質量を与える。
            MeV         MeV     実験値 :



バリオンの質量:          ,   平均二乗半径:
                      Summary
 4-D のメソンのダイナミクスが、非自明なメトリックを持つ
  5-D のゲージ理論で統一的に記述できる可能性が出てきた.
 さらに、5-D のメトリックは超弦理論を介して低エネルギー、
    強結合領域における QCD から説明できる可能性がある.

                      String theory

                                      5-D gauge theory
low energy,
strong coupling QCD                   4-D hadron dynamics


今回の解析では、S.S model の結果導かれる、
chiral symmetry だけからは決まらない π、ρの項まで含めた
有効相互作用を用いて Skyrmion を構成し、安定な Skyrmion を得た.
          Perspective & Speculation

現時点ではまだ実際のバリオンの量子数になっていない。
→ アイソスピン空間で回転させて良いアイソスピン状態に射影する必要あり

今回のρメソンの効果は電磁相互作用から決まる物理量:
 EM form factor, magnetic moment, EM charge radius
の諸量との一致を改善する可能性がある(Vector Meson Dominance )

系統的に ω、A1 程度まで効果を入れる(5-D instanton に近付ける)
 特に ω は Skyrmion の安定性、電磁的性質に重要な役割を果たす
                          (Wess-Zumino term を通じて)


与えられた有効相互作用を真面目に扱い、現実との差異を検討することは
 5-Dのメトリック、large Nc 近似の検証、etc. を行なううえで重要.

もしうまくいけば、もっと広い範囲への応用を考えていくことができる.
Appendix
      バリオンの実験値(質量・半径)との比較
  ホログラフィックQCD模型は2つのパラメータしか持たない;
           ; 紫外発散のカットオフスケール

           ; large-Ncの有効理論。


  インプットとして、π中間子の崩壊定数とρ中間子の質量を与える。
               MeV              MeV


バリオンの質量:                 ,    平均二乗半径:


                                        実験値 :


                                      実空間で‘回転’させて
                                      量子化し、さらに
                                      ダイナミカルなπ中間子雲を
                                      考慮することで、
                                      平均二乗半径の実験値への
                                      漸近が期待される。
πのみ含んだ Skyrme model (Nf = 2) によるバリオンの研究
                         Adkins, Nappi, Witten, NPB228, 552 (1983)

1, static energy についての変分 ( π場の分布 → Hedgehog (H.H.) Ansatz )
  この段階ではスピン・アイソスピンの良い状態ではない .

2, p, n, Δの量子数へ projection するために集団座標 A(t) を導入.


3, この解を元の Lagrangian に戻し、A(t) についての Hamiltonian を構成 .

4, A(t) についての Lagrangian に対して Noether current を計算 .
    → 保存電荷の固有状態としてバリオンを分類、具体的に状態を構成 .



  後は計算したい物理量に対応する operator の期待値を取る.
                 ゲージ/重力 双対性とは?
10次元時空上にDブレーンを適当に配置して、                  枚のD4ブレーンの方が
その表面の「開弦」の振動モードがクォークとグルーオンに           とても重いことにして、
対応させられるようにする。                         曲がった時空で表現。




10次元時空

             開弦の振動モード               重力理論側での
                         ゲージ/重力
                          双対性       「古典的」な取り扱いの近似の良さ
     クォークとグルーオンを含
     む
     ゲージ理論(QCD)




                                  非摂動的なQCDと
           ;固定かつ十分大きい。
                                  摂動的な超弦理論が
                                  双対になっている!!!
         強結合ゲージ理論
     (非摂動領域のQCD)
D4ブレーンの古典超重力解を背景にした、D8ブレーンの有効作用
       D8ブレーンは9次元の「膜」

                              : D8ブレーンの表面張力
                              : ディラトン場
   D4の古典超重力解を、メトリックに反映させる。




      対称的な剰余4次元空間は積分する。

                    9   4=5



        ~

            5次元のゲージ理論
  π中間子と、無限個のベクトル中間子・擬ベクトル中間子を
  含む、『中間子の統一理論』。
    5次元のゲージ場を「モード展開」して、4次元の有効理論を作る
  完全性を張った直交基底関数           ,   で5次元のゲージ場を「モード展開」す

                1


            0
                      z               0     z




          π中間子の場                          (擬)ベクトル中間子の場
                    質量の軽い順に、交互に。。。

π中間子と結合定数が                    :ベクトル       B場の質量:
最も大きいのは、                                  パリティ変換性:
最も質量の軽いρ中間子である。               :擬ベクトル

                              :ベクトル

                              :擬ベクトル
Including (axial) vector meson
   vector, axial-vector meson の chiral Lagrangian への導入は
                   chiral sym. だけでは一意的に決まらない.

Hidden Local Symmetry (HLS)       Bando et al, PRL54, 1215 (1983)




Open-Moose model
    無限個の decay constant, gauge coupling constant が
                         五次元目のメトリックとして解釈される.
              QCDと超弦理論の双対性(duality)
      非摂動的(すなわち強結合)なQCDは面白いが、計算が困難。

    ゲージ/重力 双対性に基づく、ホログラフィックQCD模型 (2005年、酒井・杉本)
                             [T.Sakai and S.Sugimoto, Prog. Theor. Phys. 113, 843 (2005)]


      非摂動的なQCDが、摂動的な超弦理論で解析可能!!
      中間子のたくさんの性質を、ひとつの枠組みで統一的に記述。


      カラーの数    が大きいときに良い近似を使っている。

      Large- QCDは、中間子が弱く結合した系となり、バリオンが直接的な自由度では
      現れない(1974年、’tHooft)
                          [‘tHooft, Nucl. Phys. B72, 461(1974); B75, 461(1974)]




      バリオンをホログラフィックQCD模型でどう記述する?

    カイラル・ソリトン描像
*     4次元の中間子の場に現れる、「古典ソリトン解」として
      バリオンを記述しよう!!
    5次元のゲージ場を「モード展開」して、4次元の有効理論を作る
完全性を張った直交基底関数            ,   で5次元のゲージ場を「モード展開」す

               1


           0
                     z          0      z




         π中間子の場                     (擬)ベクトル中間子の場

    『      ,       は中間子の5次元目の波動関数と解釈できる』
1       ; つまり5次元目で激しく振動するほど、4次元時空では‘重く’見える。
               ‘質量’の起源は、5次元目の振動である!!

2     は少し振動しているが、ゼロモード(エネルギーを持たない)。

           つまり、π中間子は曲がった5次元時空の‘測地線’に対応。
           だから4次元時空では質量0に見える!!
     5次元のゲージ場を「モード展開」して、4次元の有効理論を作る
完全性を張った直交基底関数                  ,      で5次元のゲージ場を「モード展開」す

               1


           0
                           z                  0               z




          π中間子の場                                         (擬)ベクトル中間子の場

3   重い中間子ほど、π中間子と波動関数が重ならなくなる。

        4次元上では、小さい結合定数として現れる。
               より重いベクトル中間子は、π中間子と小さい微分断面積しか
               持たないことがParticle Data Group によって実験的に確認。 J. Phys. G33,1(2006)]
                                                    [PDG,


4   バリオンをソリトン(‘大振幅’のπ中間子の場)で表現する。

        一番質量の軽いρ中間子を主要な寄与として解析。
    カイラル対称性の自発的破れと、カラーの閉じ込め現象の‘関係’

         D4-brane×NC    左手系のクォー
                        ク

    D8            4-8
                                       左手系と右手系のDブレーンが
                             グルーオン
                  4-4                  つながって一つのDブレーンになる。
    D8            4-8                ;非摂動QCDのカイラル対称性の破れ。
10次元時空
                        右手系のクォーク
                                                                                左手系の世界
                                                  8-8
                                                                              D8


 色を持った粒子はホライゾン(地平面)
 の内側に入って見えなくなる。
                                                           ホライゾン
;非摂動QCDのカラーの閉じ込め現象。                                        (地平面)
                                                                               右手系の世界


                                     格子QCD数値シミュレーションでも、
                                     二つの相転移が同じ臨界温度(170MeV)で起こる。


                残ったDブレーンからは、カラー無色な中間子が出てくる。
                ただしバリオンは直接的自由度としては出てこない(Large-                                  QCDの性質)
                                      [‘tHooft, Nucl. Phys. B72, 461(1974); B75, 461(1974)]
        超弦理論のDブレーンからQCDを作る

    超弦理論は10次元時空上で構成される。

    Dブレーンという「膜」状のソリトンが存在する。



*   QCDに対応するゲージ理論を作る

    10次元時空上にDブレーンを適当に配置して、
    その表面の「開弦」の振動モードがクォークとグルーオンに
    対応させられるようにする。
                       D4-ブレーン×NC枚
                                     左手系クォーク


                 D8-ブレーン×Nf枚


                                               グルーオン

                 D8-ブレーン×Nf枚

        10次元時空
                                     右手系クォーク
                    Duality between QCD and superstring theory
         Recent remarkable progress in the concept of gauge/gravity duality
      successfully describes the non-perturbative properties of QCD (meson dynamics)
      from the multi- D4/D8/D8 system (Sakai-Sugimoto model).
                                                                   [T.Sakai and S.Sugimoto, Prog. Theor. Phys. 113, 843 (2005)]
                  Meson spectra of (axial) vector mesons.
                  Hidden local symmetry.    [Bando, et al.,1985]

                  Vector meson dominance. [Sakurai, 1969]
                  KSRF relation. [Kawarabayashi, Suzuki, Riazuddin, and Fayyazuddin, 1966]
                  GSW model.     [GellMann, Sharp, and Wegner, 1962]


         Holographic description is reliable for large-                      limit.
        Large-     QCD becomes equivalent with the weak coupling system of
      mesons (and glueballs); baryon does not directly appear as a dynamical
      degrees of freedom.                       [‘tHooft, Nucl. Phys. B72, 461(1974); B75, 461(1974)]




    How to describe a baryon in the large-                                        holographic model ?

                  picture
* Chiral solitontopological.soliton in the four-dimensional meson effective action
      Baryon as a
         induced by the holographic model (Brane-induced Skyrmion).
                          wave functions, energy density, total mass, size, etc
Baryons in Holographic QCD


     Kanabu NAWA ( Kyoto Univ. )
           In collaboration with

     Hideo SUGANUMA ( Kyoto Univ. )
     Toru KOJO ( Kyoto Univ. )
                                    INTRODUCTION
         Recent remarkable progress in the concept of gauge/gravity duality
      successfully describes the non-perturbative properties of QCD (meson dynamics)
      from the multi- D4/D8/D8 system (Sakai-Sugimoto model).
                                                                   [T.Sakai and S.Sugimoto, Prog. Theor. Phys. 113, 843 (2005)]
                  Meson spectra of (axial) vector mesons.
                  Hidden local symmetry.    [Bando, et al.,1985]

                  Vector meson dominance. [Sakurai, 1969]
                  KSRF relation. [Kawarabayashi, Suzuki, Riazuddin, and Fayyazuddin, 1966]
                  GSW model.     [GellMann, Sharp, and Wegner, 1962]


         Holographic description is reliable for large-                      limit.
        Large-     QCD becomes equivalent with the weak coupling system of
      mesons (and glueballs); baryon does not directly appear as a dynamical
      degrees of freedom.                       [‘tHooft, Nucl. Phys. B72, 461(1974); B75, 461(1974)]




    How to describe a baryon in the large-                                        holographic model ?

                  picture
* Chiral solitontopological.soliton in the four-dimensional meson effective action
      Baryon as a
         induced by the holographic model (Brane-induced Skyrmion).
                          wave functions, energy density, total mass, size, etc
                        Massless modes on Dp-brane

   Superstring theory has 10 dimensional space-time.
   Dp-brane is (p+1) dimensional membrane (‘1’ denotes ‘time’) in 10 dim.
                               D-brane is a soliton-like object in the super string theory.

   Open string on Dp-brane (p-p string) has 10 massless scalar modes (Bosons).
                                       (p+1) modes        [10 (p+1)] modes

                          Gauge fields ;                     Scalar fields ;


                                                                             local-boost
                                        topological
           p-p string                                                        excitation
                                        excitation
                                                                             of Dp-brane.
                                        of Dp-brane.
                                                                            NG modes with
                                                                            the spontaneous symmetry
           10 dim.                                                          breaking of translational inv.
                                                                            by Dp-brane soliton in 10 dim.
Dp-brane



   p-p string also includes same number of massless superpartners (Fermions)                        .
   Infinite number of massive modes.
Witten’s construction of four-dimensional pure Yang-Mills theory from D4 brane
                                                                              [E. Witten, Adv.Theor.Math.Phys. 2 (1998), 505]
       Flat
       physical space   extra-dimensions
time



                                                    D4-brane×NC


                                                                                              5 gauge fields 5 NG modes

                                                                   4-4                                  ,    ,
                                                                                                                 Super-partner
                   x4
                                                               x 5~9
                                                               x 0~3 : unplotted.
* Construction of massless gauge fields from the fluctuation modes of 4-4 string.
          D4 is compacted about   direction to S 1 with period   .
             Anti-periodic boundary condition for all fermions (SUSY is completely broken).



                              Kinetic term of mass less fermionic modes induces large mass
                              after the reduction into four-dimensinal space time.



             Scalar fields     and         becomes massive with loop corrections after SUSY breaking.
Witten’s construction of four-dimensional pure Yang-Mills theory from D4 brane
                                                                               [E. Witten, Adv.Theor.Math.Phys. 2 (1998), 505]
       Flat
       physical space   extra-dimensions
time



                                                    D4-brane×NC


                                                                                               5 gauge fields 5 NG modes

                                                                      4-4                                ,    ,
                                                                                                                  Super-partner
                   x4
                                                                                 x 5~9               x 0~3 : unplotted.

* Construction of massless gauge fields from the fluctuation modes of 4-4 string.
                                              1
             D4 is compacted about            direction to   S   with period       .
             Anti-periodic boundary condition for all fermions (SUSY is completely broken).



                              Kinetic term of mass less fermionic modes induces large mass
                              after the reduction into four-dimensinal space time.



             Scalar fields     and         becomes massive with loop corrections after SUSY breaking.
                                    Sakai-Sugimoto model
       Construction of massless QCD from D4/D8/D8 system (Holographic QCD)
                                                                 [T.Sakai and S.Sugimoto, Prog. Theor. Phys. 113, 843 (2005)]


                                                                            QCD = YM + quarks
                                                                                  Fundamental rep. of U(Nc) group : quark
D4/D8/D8 branes extend to any directions in 10 dim.
                                                                                           Index on D4 brane ( color )
c.f.   D4/D6/D6   [M. Krunczenski, et al., JHEP05, 041 (2005)]
                                                                                              Index on D8 brane ( flavor )

                                                          D4-brane×NC
                                                                                                        D8-brane×Nf,L
                                                                          4-8


                                                                            4-4                                    ,    ,
                                                                                                       Adjoint rep. of U(Nc) group
                  x4                                                      4-8                                              : gluon
                                                                                                        D8-brane×Nf,R
                                                                                           x 5~9
                                                                                           x 0~3 : unplotted.

                                                                  : quark
                               Gauge/gravity duality
   According to the remarkable progress in the concept of gauge/gravity duality,
   D brane is known to have a classical supegravity description.
                                 Discovery of AdS/CFT correspondence
                                 (duality between N-4 SUSY YM theory and type II B string thoery)
                                                                                        [Maldacena ’97]

                               The mass of D brane is proportional
  Multi D brane system         to the folding number N of D brane.
                                                                         Supergravity description
                                The existence of D brane
             D4×Nc,                                                         with curved space-time
                                with large N is represented
 D4×Nc       D8-D8×Nf
                                by the curved space-time.
                                                                        Classical supergravity solution
                                                                        can be treated as the tree-level
 Pure YM    Massless QCD                 gauge/gravity
                                           duality
                                                                        approximation of string theory.
                                                             1) Curvature of space-time everywhere is
      Gauge theory                                              sufficiently small relative to the F-string tension.
                                                             2) String loop effect can be neglected
                                                                by the small local string coupling        .




            fixed and large.
                                   Non-perturbative property of QCD can be
                                   successfully described by the tree level approximation
Strong coupling gauge theory.
   (non-perturbative QCD)          of the string theory !!!
                            Probe approximation with
                      Massless QCD is constructed by D4×Nc and D8-D8×Nf.
                        Mass of D brane is proportional to the folding number N of D brane.
                        Probe D8-D8 branes are placed in the D4 classical SUGRA background.

                            light probe                                       light probe



                               heavy object                                               SUGRA solution.
                                                    Probe approx.



                                                                    direction shrinks (           ) at            ;
Invariant             D4 classical SUGRA solution:
infinitesimal                                                                                            there appear
distance in 10 dim.
space-time.
                                                                                                         the horizon because of
                                                                                                         the heavy D4 brane !!!




                                              8-8
                                                                                             D8-brane
                                                                       U



                      x4                              horizon
         Chiral symmetry breaking and color confinement in the holographic model

                         D4-brane×NC                 : quark

                                                                                      8-8                      L
                  D8                 4-8                                                                                D8
                                                                                                       U
                                     4-4
                                                     : gluon
    x4            D8                 4-8
                                                                                            horizon
                                              x5~9                                                            R
x0~3 unplotted.
   :                             : quark

                  1) D8 and D8 branes are interpolated into one D8 brane.


                    ; Holographic manifestation of ‘chiral symmetry breaking’.

                  2) Colored objects appear only from the open strings attached on D4×Nc brane.
                    ; ‘Color confinement’ in low-energy scale.

                    Two independent chirality spaces are connected by the ‘worm hole’,
                    into which the colored objects are absorbed.
                                      Color singlet objects (mesons and baryons)
                                      appear from the fluctuation modes of residual D8 brane.
                                       Large-Nc QCD becomes equivalent with the weak coupling system
                                       of mesons and glueballs; baryon does not appear as a direct degrees
                                       of freedom.              [‘tHooft, Nucl. Phys. B72, 461(1974); B75, 461(1974)]
                   Non-abelian Dirac-Born-Infeld (DBI) action of D8 brane
                            with D4 SUGRA background
                               D8 brane is 9-dimensional membrane.



                                                                                 : surface tension of D8 brane.
                       D4 classical SUGRA solution:
                                                                                 : dilaton field.
                                                                                  and




                                              Integration about

                   D8-brane




                                                                                  Induced measure along

                                          -
                                         9 4=5dim.
                                                                                  the curved fifth dim. . z

                                  ~

leading order of              5dim. YM theory is regarded as the ‘unified meson theory’,
1/Nc expansion.
                              including pions and infinite tower of massive (axial) vector mesons !!!
                                 Mode expansion of the gauge fields
                                          =

                         gauge;     is a scalar mode for   and is absorbed by        , c.f. unitary gauge in
                                  generating the mass of gauge fields.                     the non-abelian Higgs model.
                     +
                         gauge; popular gauge in the Hidden Local Symmetry approach [Bando et al.].
             [                 ] In this gauge, four-dimensional effective action has definite Parity and G-Parity.
     With these gauge fixing, gauge field can be expanded by using complete orthogonal basis as follow:




                                                                                                   ;pion field

                                                                                       (adjoint rep. of U(Nf)
                 1
                                                                                        local gauge group)
                                                                                       ;(axial) vector meson fields
            0
                                  z                  0                      z

        support the boundaries
of the gauge field
                                              is highly oscillating basis
at            .
                                      for large eigen-value .
                                                                                Vector and axial vector mesons
                                                                                alternately appear about the index n.
          Physical meaning of the basis                             ,
    and      are the ‘wave functions’ of mesons in the extra-fifth dimension z.




                       Mass term of               :                     with             .
                        Large oscillation of meson wave function
                        in the extra-fifth direction induces
                        large mass of (axial) vector mesons !!!
                                                          vector and axial vector mesons
                                                          appear alternately in the excitation spectra.
0               z

                              is the zero-mode           Pion corresponds to the ‘geodesic’
                       with the curved measure.          of the curved space-time, appearing as
                                                         the mass less object in flat 4 dim. space-time.

                       Smaller overlap of wave functions of pion and heavier (axial) vector mesons
                       gives smaller coupling constant in the 4 dim. space-time through z-integral.
    1                         Smaller cross section between pion and heavier vector mesons
                              are experimentally observed in particle data group.

0
               z
                    * If the main part of the chiral soliton is still constructed by the
                      (large amplitude) pion fields, the effect of heavier (axial) vector mesons
                      for the chiral soliton are expected to be small;            .
Meson effective action
with pions and mesons,
induced by
the holographic model.




Pion field:


1-form of chiral field:


Axial vector current:
                          ,
Vector current:
                              ,
                                  .
                         Coupling constants
Holographic QCD has intrinsically two scale parameters:
                     ~ Kaluza-Klein mass = ultraviolet cut-off scale of the theory.

                           ~ DBI action corresponds to the leanding term of 1/Nc expansion.

By fixing two parameters (e.g., experimental inputs into        and     ),
all the coupling constants in the effective action are uniquely determined !!!
         How to describe baryon in the large Nc holographic model ?

For large Nc, QCD becomes week coupling system of mesons (and glueballs);
baryon dose not directly appear as a dynamical degrees of freedom.
                                                     [‘tHooft, Nucl. Phys. B72, 461(1974); B75, 461(1974)]
                       g meson ~ 1/Nc
For large Nc, mass of baryon becomes proportional to Nc;
                      M baryon  1/cN c
                                                     [E.Witten, Nucl. Phys. B160, 57 (1979)]
                                 N


    Chiral soliton picture
*        Baryon as a topological soliton in the 4dim. meson effective action.
            Standard Skyrme model, based on the non-linear sigma model
            as the pions effective action; [T.H.R. Skyrme, Proc. R. Soc. A260, 127 (1961)]




                                                           ,


         Brane-induced Skyrmion as a topological soliton
         in the 4dim. effective meson action induced by the holographic model,
         which is a correspondent of a baryon in the large Nc holographic QCD.
           Configuration Ansatz for pion and                            -meson fields           ANW Units.

* Hedgehog Ansatz for pion field;

         with boundary condition                                        giving unit topological charge.

                                                                             [T.H.R. Skyrme, Proc. R. Soc. A260, 127 (1961)]
    Hedgehog Ansatz for         -meson field;
*
                                                         (Wu-Yang-’tHooft-Polyakov Ansatz)
                                                         ;same for the gauge field in the ’tHooft Polyakov monopole.
    Adkins-Nappi-Witten (ANW) unit;
                 [G.S. Adkins et al, Nucl. Phys. B228, 552 (1983)]


                                                                     All the effect of physical parameters:
                         ,
                                                                     are fully extracted into the unit                  ,
                                                                     of quantities.
                                                                         (Scaling property of Brane-induced Skyrmion,
                         ,                                                which is same as standard Skyrmion)

                                         : Skyrme parameter
Energy function of Brane-induced Skyrmion
          with hedgehog Ansatz
     Pion and        meson configurations in Brane-induced Skyrmion

Stable Skyrme soliton solution exists in the four-dimensional meson effective action
                     induced by the holographic QCD.
           (Chiral profile)                           ( meson profile)




        shrinkage




     Pions are slightly replaced by meson degrees of freedom
     through the interaction channels in the holographic model.
                                        Shrinkage of pion fields         .
Total energy of Brane-induced Skyrmion
Total energy of Brane-induced Skyrmion in ANW unit:




                                    Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield (BPS)
                                    saturation energy, originated from the unit topological charge.

   c.f. Standard Skyrmion:
                                     [G.S. Adkins et al, Nucl. Phys. B228, 552 (1983)]

Total energy decreases by ~10% because of the interactions
between pions and -mesons induced by the holographic model.

   (Energy of each terms in Brane-induced Skyrmion)


                                                                                         1


                                                                                         2
                                                                                         3
                                                                                         4
                2                                                                        5
         1                                               11                              6
                    3   4   5                  9    10                                   7
                                6
                                                                                         8
                                           8                                             9
                                      7                                                  10
                                                                                         11
         Root-mean-square radius of Brane-induced Skyrmion




                                                          Root-mean-square radius:




                                                          average energy density:




             Root-mean-square radius of Bran-induced Skyrmion:



             c.f. Standard Skyrmion:



Some part of total baryon mass is carried by the heavy   mesons in the core.
      Shrinkage of total size by ~10% relative to the standard Skyrmion.
                ‘Active’     mesons in the core of a Baryon (Skyrmion)
                         (Comparison of total enegy density and
                          each energy density in -meson channels)




    The effect of  mesons for the total mass and size of baryon is relatively small
*   with ~10% modifications.

        meson degrees of freedom are so much active
*   in the deeper interior of a baryon,
    by using various interaction channels with  ,   , and baryon (Skyrmion).
        Recovering the physical unit for the quantities of Brane-induced Skyrmion
    Holographic QCD has intrinsically two scale parameters:        ,
    Experimental inputs for the pion decay constant   and     -meson mass   :   Experimental data ~ 0.8
                                                                                Without dynamical pion cloud
                                                                                (from quark model) ~ 0.6
                                                                                [Isgur and Karl, PRD 20,1191(1979)]




    In the holographic model, the consistency with    and    gives reasonable hedgehog baryon mass,
*   and smaller baryon size.
    Some enhancement of total size is expected by rotating HH solution (semi-classical quantization),
*   and also taking into account the dynamical pion cloud.
                                  Summary
   We discuss the properties of Brane-induced Skyrmion
in the four-dimensional meson effective action induced by the holographic model,
which should be a correspondent of baryon in the holographic QCD.
                      ; effects of mesons for baryon.

Four-dimensional meson effective action with large amplitude pions and    mesons
are uniquely derived from the holographic model.
Stable Skyrme soliton exists, which is regarded as a baryon in the holographic model.
Total energy decreased by ~10% [in ANW unit] with the interactions of pions and   mesons.
Total size shrinks by ~10% [in ANW unit] with the existence of heavy   mesons
in the core of baryon.
   mesons are so much active in the deeper interior of baryon.
 Recovering the physical unit for the total energy and size of Brane-induced Skyrmion
 with                                 ;
    Recovering the physical unit for the quantities of Brane-induced Skyrmion
Holographic QCD has intrinsically two scale parameters:          ,
Experimental inputs for the pion decay constant     and    -meson mass     :            Experimental data ~ 0.8
                                                                                        Without dynamical Pion cloud
                                                                                        (from quark model) ~ 0.6
                                                                                            [Isgur and Karl, PRD 20,1191(1979)]




           Masses of    and     can be classically estimated by rotating Skyrmions
           with moment of inertia J in ANW unit. (                            )



            In order to fit the small      splitting experimentally observed,
            small Skyrme parameter              is taken by Adkins et. al.
                                                                          [Adkins et.al.]
            In order to fit the experimental value of nucleon mass,
            small pion decay const.                  is taken by them.

                          Too large baryon size:

In the holographic model, the problems of too small pion decay const. and too large baryon size
are improved, with the consistency of the experimental value of -meson mass !
                             Including the Chern-Simons term for rigorous estimation of                 splitting
                             as the next order of 1/Nc expansion.
                Duality between QCD and superstring theory
          In 2005, non-perturbative aspects of QCD can be successfully described
          by the tree-level superstring theory ; ‘holographic QCD’ .
                                                               [Sakai and Sugimoto, PTP 113, 843(2005)]




10dim.


                      Open string                                Classical D4 supergravity
                      spectrum         gauge/gravity             background.
                                         duality
            gauge theory with
            quarks and gluons


                                           Large-Nc QCD becomes equivalent with
                                           the weak coupling system of mesons and glueballs.
                                           (baryon dose not directly appear as a dynamical
                                            degrees of freedom).                           [`tHooft (1974)]
                    fixed and large.

   Strong coupling gauge theory.                 How to describe baryon in
         (non-perturbative QCD)                  the large Nc holographic model                 ?
  5次元のゲージ場を「モード展開」して、4次元の有効理論を作る
完全性を張った直交基底関数          ,   で5次元のゲージ場を「モード展開」す

            1


        0
                   z          0       z




                ;π中間子の場           ;(擬)ベクトル中間子の場
                               Revival of Skyrme model in 1979
  * Skyrme model            [T.H.R. Skyrme, Proc. R. Soc. A260, 127 (1961); Nucl. Phys. 31, 556 (1962)]

                The description of baryon as a finite energy / non-trivial solution (soliton)
                of meson field  ; non-linear  model with SU(2)V .

  * 1/Nc expansion for SU(Nc) gauge theory.
                For large Nc, QCD becomes week coupling system of mesons (and glueballs);
                                                                                         [‘tHooft, Nucl. Phys. B72, 461(1974); B75, 461(1974)]
                                              g meson ~ 1/Nc
                For large Nc, mass of baryon becomes proportional to Nc;
                                             M baryon  1/cN c
                                                                                         [E.Witten, Nucl. Phys. B160, 57 (1979)]
                                                        N

                                            M baryon  1/ Nmeson for large Nc
                                                          gc


      c.f.   Classical ‘kink’ solution in (1+1) scalar field  ( x, t ) theory

                          L( x, t )  1 (    )  1  ( 2  m
                                                                          2
                                      2                 4                     2
                                                                                   )2
                                                                                                                     kink solution.



  
                                                                                                                      point particle
             meson                                                                                                    picture.

kink        baryon                                                 Non-perturbative phenomena
                                                                                                                     energy density of kink.
                             Skyrme model is effective theory
                             for non-perturbative ( low-energy ) QCD.
  5次元のゲージ場を「モード展開」して、4次元の有効理論を作る
完全性を張った直交基底関数       ,   で5次元のゲージ場を「モード展開」す

            1


        0
                z               0     z




       π中間子の場                       (擬)ベクトル中間子の場


                        :ベクトル       B場の質量:
                                    パリティ変換性:
                        :擬ベクトル

                        :ベクトル

                        :擬ベクトル
D4ブレーンの古典超重力解を背景にした、D8ブレーンの有効作用
           D8ブレーンは9次元の「膜」

                                : D8ブレーンの表面張力
                                : ディラトン場
     D4の古典超重力解を、メトリックに反映させる。




           対称的な剰余4次元空間は積分する。

                      9   4=5



       ~

           5次元のゲージ理論
  π中間子と、無限個のベクトル中間子・擬ベクトル中間子を
  含む、『中間子の統一理論』。
ホログラフィックQCD模型
が与える、
4次元の中間子有効理論
(π中間子とρ中間子)

 π中間子:


 π中間子の1次形式:



π中間子の擬ベクトルカレント:
              ,
 π中間子のベクトルカレント:
                  ,


12個の結合定数が、
たった2つのパラメータで
決まる!!!
  π中間子の崩壊定数:


  ρ中間子の質量:

                      .

								
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