Relaciones y Funciones definicion y elementos by P9B7Rcx6

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									                                    Relaciones y Funciones
Introducción
Definiciónes:

    1. Una relación es una correspondencia entre objetos y – en matemáticas – entre números. Por
                                               ejemplo:

                     A cada artículo en la tienda le corresponde un precio

                     A cada amigo en la agenda de teléfonos le corresponde un número de celular

        2. Una función es un tipo especial de relación en la que una cantidad depende de otra. , por
                                                    ejemplo:

                     la estatura de un niño (cantidad de centímetros de altura) depende de la cantidad de
                       alimento que consume

                     La felicidad de la vida depende del grado de satisfacción que obtengamos con nuestro
                      trabajo

Obviamente en los dos ejemplos hay otras cosas que son necesarias para que el niño crezca o para que
uno sea feliz, pero tomo sólo estos factores para no complicarnos el tema.

En matemáticas, estos dos ejemplos se expresarían como:

                     La estatura del niño es función de la nutrición

                     La felicidad es una función de la satisfacción en el trabajo.

Hay que notar que en una relación simple, puede haber muchas correspondencias, por ejemplo,

        aunque un artículo de la tienda valga $1.00, puede haber muchos otros artículos que tengan el
         mismo precio

                   bien, puede que un mismo amigo tenga dos celulares y por lo tanto, a ese amigo le
                                 correspondan dos números en la agenda de teléfonos.

 Estos dos son ejemplos de relaciones que NO SON FUNCIONES. y los objetos o números no dependen
                                            uno del otro

En cambio, en una función a cada valor o número le corresponde sólo un valor. Por ejemplo:

        Si el niño come 3 veces al día crecerá 5 cm al mes y si come sólo una vez al día, crecerá apenas
         1.5 cm al mes

        Si mi trabajo es aburrido seré muy infeliz; si mi trabajo es interesante, seré medianamente feliz
         y si mi trabajo es muy divertido, seré muy feliz.

   Éstas SÍ SON FUNCIONES: cuando crece un número, el otro también crece y se puede decir que los
                            números están “cada oveja con su pareja”

Otra forma de hacer la definición es:
en una relación existen dos conjuntos. A cada elemento de un conjunto le corresponden uno o más
elementos del otro

en una función también existen dos conjuntos. A cada elemento de un conjunto le corresponde sólo un
elemento del otro
                                1
A los dos conjuntos de números que forman parte de las funciones se les da nombres específicos:
Dominio y Contradominio o Rango. Estos son los elementos de las funciones

Ambos conjuntos de números cumple un papel especial dentro de la función porque uno depende do
otro. Por ejemplo, en el ejemplo del niño que come y crece, podemos hacer una tabla:

                    Número de comidas al día       Número de centímetros que crece el niño al mes

                               1                                        1.5

                               2                                        2.1

                               3                                         5

En el segundo conjunto (la columna de la derecha) tenemos los números de los centímetros que crece el
niño y vemos que dependen de los números que están en la columna de la izquierda (primer conjunto),
los cuales indican cuánto come el niño. Ambos números pueden variar (el niño puede variar la cantidad
de comidas que hace al día y por lo tanto también puede variar su estatura). Por eso, a cada conjunto de
números se le llama variable.

Por eso se dice que el primer conjunto es la variable independiente y el segundo conjunto es la variable
dependiente

En pocas palabras, el crecimiento depende de el número de comidas, pero no podemos decir que el
número de comidas dependa de cuánto crezca el niño.

En matemáticas también se puede explicar esto en una gráfica:




En el eje “x” de esta gráfica, estamos representando la variable independiente : el número de comidas;
en el eje “y” estamos representando la variable dependiente: la que depende del número de comidas,
es decir, los cm que crece el niño al mes.

Generalmente así se representan las funciones.

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 Ya que estamos hablando de matemáticas, a partir de aquí voy a considerar conjuntos de números y
no de cosas, porque sabemos que los números siempre representan cosas
En matemáticas estas variables o conjuntos también toman otros nombres:

                 La variable independiente (x)              se llama DOMINIO

                  La variable dependiente (y)       se lama CONTRADOMINIO o rango



Criterio de la línea vertical

Hemos dicho que en una función a cada valor del dominio corresponde sólo uno del contradominio. Esa
es la restricción más importante. Por eso podemos establecer un criterio que se llama de la línea vertical
para poder saber si una gráfica representa una función:

Tomamos la gráfica y si podemos trazar líneas verticales de manera que corten a la gráfica sólo una vez,
                                   entonces sí tendremos una función.
 Si las líneas cortan la gráfica más de una vez, entonces se trata de una relación, pero no una función

Por ejemplo, podemos tomar la gráfica del crecimiento del niño y trazar líneas verticales:




Puse las líneas verticales en punteado. Y si nos damos cuenta, las dos líneas punteadas (verticales) que
cortan a la gráfica sólo la cortan en un punto. Esto sucede porque la gráfica representa una función que
hace rato definimos como “La estatura del niño es función de la nutrición”

Los siguientes son ejemplos de gráficas en los que la línea vertical corta en más de un punto. Es claro
que NO SON FUNCIONES:
Funciones definidas e indefinidas

Hasta aquí hemos viso funciones cuyo dominio es todo el conjunto de números reales, es decir, “x”
puede ser reemplazada con cualquier número real, pero a veces es necesario restringir el dominio para
excluir valores que produzcan expresiones indefinidas.

Por ejemplo, yo puedo poner una función en la que el valor de “y” dependa de la raíz cuadrada de “x”.
Es decir:


Teóricamente puedo poner todos los números reales dentro de la raíz, pero como la raíz cuadrada de un
número negativo no es un número real, sino imaginario, el dominio de esta función sólo puede ser el
conjunto de números reales no negativos. Es decir, puedo poner “4” dentro de la raíz, pero no “-4”,
porque obtengo un número imaginario, es decir, “2i” y si te fijas, puedo graficar el 2, pero no 2i.

Otro ejemplo:

En              puedo poner casi cualquier número como dominio. El que no puedo poner es el cero,
porque la división entre cero se indetermina y se considera   (infinito) y tampoco lo puedo graficar. Por
lo tanto, el dominio de esta función se restringe a todos los números reales que no sean cero.

								
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