Rumus Matematika Praktis 6 SD

Document Sample
Rumus Matematika Praktis 6 SD Powered By Docstoc
					                               http://rahasiasuksesbelajar.com




         E-book 2
     Ini contoh Rumus Matematika Praktis,
 disamping untuk membantu anak-anak, ebook ini
juga sangat bermanfaat bagi orang tua / kakak dan
   anak-anak yang masih duduk di kelas 4 dan 5.
          Rumus lengkap ada di e-book 9
         http://rahasiasuksesbelajar.com



                                  Rumus Matematika Praktis -1
                                                                  http://rahasiasuksesbelajar.com




A. Mengenal Bilangan Bulat


                           Bilangan bulat positif
  Bilangan Bulat           Bilangan nol
                           Bilangan bulat negatif

     bilangan bulat negatif              bilangan bulat positif
                                   nol


    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

  B = { ... 7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
  Ciri bilangan positif → ke kanan, maju, naik, ditambah, laba, diberi
  Ciri bilangan negatif → ke kiri, mundur, turun, dikurang, rugi, diminta, pinjam,
  hutang




B. Operasi Bilangan Bulat

  1. Penjumlahan

     contoh :
     2+3=5




        -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
     Rumus
       a        +      b       =         c                         Syarat
       +        +      +       =         +
       -        +      -       =         -
       +        +      -       =         -       bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b
       -        +      +       =         +       bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b




                                                                     Rumus Matematika Praktis -2
                                                        http://rahasiasuksesbelajar.com

  2. Pengurangan
     2 – 3 = 2 + (-3) = -1




        -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
     Rumu
       a      –      b       =     c                    Syarat
       +      –      +       =     -    bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b
       -      –      -       =     +    bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b
       +      –      -       =     +
       -      –      +       =     -


C. Sifat Komutatif pada Penjumlahan dan Perkalian
    Rumus penjumlahan komutatif         =a+b =b+a
    Rumus perkalian komutatif           =axb =bxa
    Contoh soal :
    Penjumlahan komutatif               = 13 + 15 = 15 + 13 = 28
    Perkalian komutatif                 = 20 x 14 = 14 x 20 = 280


D. Sifat Asosiatif pada Penjumlahan dan Perkalian
    Rumus penjumlahan komutatif               = a +( b + c ) = ( b + c ) + a

    Rumus perkalian komutatif                 = (a x b) x c = c x ( b x a )


    Contoh soal :
    Penjumlahan komutatif        = (19 + 12) + 8 = 19 + (12 + 8) = 39
    Perkalian komutatif = (10 x 15) x 30 = 10 (15 x 30) = 4500


E. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan dan Pengurangan
    Rumus Perkalian terhadap Penjumlahan Distributif
    = a x (b+ c) = (a x b) + (a x c)

    Contoh soal :
    13 x (17 + 14) = (13 x 17) + (13 x 14)

                    = (13 x 17) + (13 x 14)

                                                            Rumus Matematika Praktis -3
                                                       http://rahasiasuksesbelajar.com

                    = 221 + 182

                    = 403


F. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan dan Pengurangan
    Rumus Perkalian terhadap Pengurangan Distributif
    = a x (b- c) = (a x b) - (a x c)

    Contoh soal :
    25 x (22 – 15) = (25 x 22) – (25 x 15)
                    = 550 – 375
                    = 175


G. Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat
     Contoh soal :

     3.000 – 450 x 30 : 25 + 850 = . . .

     Langkah-langkah untuk mengerjakan adalah sebagai berikut.

     1.   Kerjakan operasi perkalian terlebih dahulu

     2.   Lanjutkan dengan operasi pembagian

     3.   Lakukan operasi pengurangan

     4.   Terakhir selesaikan operasi penjumlahan

     Jawab

      3.000 – 450 x 30 : 25 + 850

      = 3.000 – 13.500 : 25 + 850

      = 3.000 –        540    + 850

      = 2.460 + 850

      = 3.310

    Jadi, 3.000 – 450 x 30 : 25 + 850 = 3.310




                                                          Rumus Matematika Praktis -4
                                                                 http://rahasiasuksesbelajar.com



H. Operasi Bilangan Bulat Dalam Garis Bilangan
●. Ada 3 jenis bilangan bulat
  a. Bilangan bulat positif
  b. Bilangan bulat nol (0)
  c. Bilangan bulat negatif.
     Ada juga yang meneglompokkan bilangan bulat ganjil dan genap
     Intinya kalau ditaruh pada garis bilangan batasannya adalah angka nol
     Kalau ditarik ke kanan positif semakin besar, sebaliknya kalau ditarik ke kiri
     dari nol adalah negatif dan semakin kecil.
                                              Lihat garis bilangan
                  Negatip                                                   Positip
                                 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1   2 3 4 5   6 7




I. PEMFAKTORAN FPB dan KPK


  1. PEMFAKTORAN
      a) Faktor Prima
         Contoh :
         1) Faktor prima dari 180 = ....

               180

              2        90
                                               maka faktor prima dari 180 adalah 2,
                   2        45
                                               3, dan 5
                       3         15
                             3        5


         2) Faktor prima dari 3150 adalah 2, 3, 5, 7, sebab faktorisasi prima dari :
                                      2   2
              3150 = 2 x 3 x 5 x 7 , maka faktor primanya = 2, 3, 5, 7


      b. Faktorisasi Prima
         Contoh : Faktorisasi prima dari 180 = ... .


                                                                      Rumus Matematika Praktis -5
                                                                  http://rahasiasuksesbelajar.com

      Sebab                  180                     maka faktorisasi prima dari 180 =

                         2         90                22 x 3 2 5

                              2        45

                                   3        15
                                        3        5


2. FPB
  - Untuk menentukan FPB, pilihlah faktor yang sama dan pangkat kecil
  - Jika faktor sama, pangkat sama diambil salah satu


  Contoh soal :
  FPB dari 72 dan 84 adalah… .


  Jawab :
  Cara 1)
  Faktor dari 72 dan 84 :
  72 = 2 x 2 x 3 x 6
  84 = 2 x 2 x 3 x 7
  Jadi FPB = 2 x 2 x 3 = 12


  Cara 2)
                    i
                 ag
           dib          72    84
      2
                        36    42
      2
                        18    21
      3
                        6      7

  Jadi FPB = 2 x 2 x 3 = 12


3. KPK
  -       Untuk menentukan KPK diambil satu dari setiap faktor
  -       Kalau faktor sama pangkat berbeda diambil yang pangkatnya lebih tinggi
  -       Kalau faktor sama, pangkat sama diambil salah satu




                                                                      Rumus Matematika Praktis -6
                                                   http://rahasiasuksesbelajar.com

Contoh soal :
KPK dari 24, 36 dan 40 adalah… .


Jawab :
Cara 1)
      24                         36                      40

  2           12            2         18             2        20

          2        6              2        9              2        10

               2        3              3       3               2        5

KPK = 23 x 32 x 5 = 360


Cara 2)
 dibagi       24       36   40
   2          12       18   20
   2          6        9    10
   2          3        9     5
   3          1        3     5
   3          1        1     5
   5          1        1     1

KPK = 23 x 32 x 5 = 360




                                                      Rumus Matematika Praktis -7
                                                     http://rahasiasuksesbelajar.com




Macam – macam pecahan

   Biasa    Sederhana Campuran Desimal         Persen          Permil
     1
     2
                –        –       0,5            50 %           500 0 00
     3
     4
                –          –        0,75           75 %        750 0 00
    16
    12
                4
                3
                           1
                          13        1,33       133 %          1333 0 00
    54
    48
                9
                8
                           1
                          18        1,25      112,5 %         1125 0 00



A. Menentukan Pecahan Senilai

   Contoh soal :
         6 6 x 2 12
   a.     =     =
         9 9 x 2 18
         6   6:3   2
   b.      =     =
         9   9:3   3


B. Menyederhanakan Bilangan Pecahan

   Contoh soal :
                                            12
   Tentukan pecahan paling sederhana dari      !
                                            16
   Jawab:
   1. Lakukan faktorisasi dari 12 dan 16 dengan membuat pohon faktor.
   2. Bagilah pembilang dan penyebut masing-masing dengan FPB




                                                          Rumus Matematika Praktis -8
                                                    http://rahasiasuksesbelajar.com




        12        = 22
        16        = 24
        FPB dari 12 dan 16 adalah 22 = 4.
         12   12 : 4   3
            =        =
         16   16 : 4   4
                                                 12       3
        Jadi, pecahan paling sederhana dari         adalah .
                                                 16       4


C. Mengurutkan Pecahan

  Contoh soal :
                           2 1 1 2      5
  Diketahui pecahan-pecahan , , , , dan .
                           3 4 2 6     12
  * Urutan pecahan di atas dari yang terkecil.
  * Urutan pecahan di atas dari yang terbesar.

  Jawab :
  Ada 2 cara untuk mengerjakan contoh soal di atas
  1. Mengubah pecahan-pecahan di atas menjadi pecahan yang berpenyebut
     sama dengan mencari KPK nya.
  2. Mengubah pecahan di atas menjadi angka desimal.
  3. Mengurutkan sesuai permintaan soal


  Cara 1 : dicari dengan pohon faktor KPK dari penyebut adalah 12
             2 2x 4    8
              =     =
             3 3x 4   12
             1   1x 3   3
               =      =
             4   4 x 3 12

                                                       Rumus Matematika Praktis -9
                                                   http://rahasiasuksesbelajar.com

         1   1x 6    6
           =      =
         2   2x6    12
         2   2x2    4
           =      =
         6   6 x 2 12
          5    5x1    5
            =       =
         12   12 x 1 12
Jika penyebutnya telah sama, kemudian lakukan perbandingan pembilangnya,
untuk mengurutkannya. Sehingga dapat ditentukan urutannya berikut ini.
a. Urutan pecahan dari yang terkecil adalah
   3 4 5 6      8
    , , , , dan .
  12 12 12 12  12
  Jadi, urutan pecahan dari yang terkecil adalah
  1 2 5 1     2
   , , , , dan .
  4 6 12 2    3


b. Urutan pecahan dari yang terbesar adalah
   8 6 5 4      3
    , , , , dan .
  12 12 12 12  12
  Jadi, urutan pecahan dari yang terbesar adalah
  2 1 5 2     1
   , , , , dan .
  3 2 12 6    4


Cara 2 : Dengan merubah pecahan biasa menjadi Desimal
         2 1 1 2      5
          , , , , dan .
         3 4 2 6     12
         2
             0,666
         3
         1
             0,25
         4
         1
             0,50
         2
         2
             0,333
         6
          5
            .  0,416
         12




                                                    Rumus Matematika Praktis -10
                                                    http://rahasiasuksesbelajar.com

   Setelah menjadi angka desimal tinggal diurutkan dengan cara mengurutkan
   bilangan dibelakang koma dari yang paling dekat dengan koma, dari yang
   terkecil atau yang terbesar. Apabila bilangan dibelakang koma sama besar,
   maka lihat bilangan berikutnya dan seterusnya.

   Hasil dari urutan terkecil :
   0,25 ; 0,333 ; 0,416 ; 0,50 dan 0,666
          1 2 5 1     2
           , , , , dan .
   atau   4 6 12 2    3


   Hasil dari urutan terbesar :
   0,666 ; 0,50 ; 0,416 ; 0,333 ; 0,25
          2 1 5 2     1
           , , , , dan .
   atau   3 2 12 6    4



   Untuk lebih meningkatkan pemahaman urutkan soal berkut dari yang terbesar
   dan terkecil ?

      5      8     3       2
   a). ;0,72; ;80%; ;0,56;
      6      9     4       4
      3       6     2       1
   b). ;0,712; ;85%; ;0,46;
      4       9     3       2


D. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Desimal
   Untuk merubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal, gunakan dengan cara
   berikut (Poro gapit = Jawa ). Pembilang dibagi penyebut.
   Contoh soal :
   3
     =...
   5
   Jawab :
   Cara 1)
   3
     artinya 3 : 5, sehingga
   5




                                                     Rumus Matematika Praktis -11
                                                            http://rahasiasuksesbelajar.com




           3
   Jadi,     = 0,6
           5
   Cara 2)
   3 2   6
    x =    = 0,6
   5 2  10




E. Mengubah Bentuk Desimal ke Bentuk Pecahan Biasa


   1. Carilah         terlebih   dahulu   FPB   pembilang     dengan   penyebut    dengan
       menggunakan pohon faktor
   2. Bagilah pembilang dan penyebut dengan FPB tersebut

   Contoh soal :
   Ubahlah menjadi pecahan biasa !
   0,4 = .....
            4
   0,4 =      (FPB pembilang dan penyebut adalah 2, maka masing-masing
           10
                 dibagi dengan bilangan 2).
            4   2
   0,4 =      =
           10   5
                  2
   Jadi, 0,4 =
                  5


F. Mengubah Persentase menjadi Pecahan
   Untuk merubah prosentase menjadi pecahan tidaklah sulit.

   1. Langkah pertama jadikan prosentase menjadi bentuk pecahan biasa




                                                             Rumus Matematika Praktis -12
                                                  http://rahasiasuksesbelajar.com


   2. Langkah kedua pembilang dan penyebut dibagi dengan angka yang sama
      atau dibagi dengan FPB nya.


   Contoh soal :

   1. 20% = …..

   2. 75% = …..


   Jawab
             20
   1) 20% = 100  FPB dari 20 dan 100 adalah 20
               20 20    1
                 :   
               100 20   5
             75
   2) 75% = 100  FPB dari 75 dan 100 adalah 25
                75 25 3
                 :  
               100 25 4


G. Mengalikan Pecahan dengan Bilangan Asli
   1. Mengalikan Pecahan dengan Bilangan Bulat pada dasarnya mengalikan
      pembilang dengan bilangan bulat, kemudian dibagi dengan penyebut.
   2. Apabila antara pembilang dengan penyebut ternyata dapat disederhanakan,
      akan lebih baik disederhanakan agar bilangan pebilangnya tidak terlalu
      besar.

   Contoh soal :


               4
                 x 28 = . . .
               7


   Jawab Cara 1 :
               4
                 x 28
               7


                                                   Rumus Matematika Praktis -13
                                                 http://rahasiasuksesbelajar.com

               4 x 28
          =
                 7
               112
          =
                7
          = 16


  Jawab Cara 2 :
             4
              x 28
             7
             4      4
            : 28
           1 7
              4 x4
           
                1
            16


H. Pembagian dalam Pecahan
  1. Jadikan soal yang dibagi dan pembagi menjadi pecahan semua.

  2. Rubahlah bentuk pembagian menjadi perkalian, INGAT posisi bilangan
     pembagi karena dirubah menjadi perkalian harus dilakukan pembalikan
     fungsi yang semula penyebut harus diposisikan sebagai pembilang dan
     sebaliknya.

  3. Lakukan langkah operasional pembilang dikalikan pembilang,kemudian
     dibagi penyebut dikalikan penyebut.

  4. Kalau bilangannya bias disederhanakan antara pembilang dengan penyebut,
     sederhanakan dulu supaya lebih mudah (bilangannya tidak terlalu besar)



  Contoh soal :
               1
           5     : 3 = ……
               4
                         21 3
                     =     :
                         4   1
                         21 1
                     =     x
                         4   3



                                                  Rumus Matematika Praktis -14
                                                     http://rahasiasuksesbelajar.com

                           21
                      =
                           12
                                9
                      =1
                               12
                               3
                      =1
                               4
   Atau bisa juga dikerjakan dengan cara berikut :
                 1
             5     : 3 = ……
                 4

                           21 1
                       7
                            x
                           4   31

                           7
                      =
                           4
                               3
                      =1
                               4
   Contoh soal :
                 1    1
             4     : 2 = ……
                 6    2
                                   25 5
                           =         :
                                   6   2
                               5       1
                             25 2
                               x
                             36   51

                               5
                           =
                               3
                                   2
                           =1
                                   3




I. Penjumlahan Pecahan dengan Bilangan Campuran
  Ada beberapa cara sederhana untuk menyelesaikan penjumlahan bilangan
  pecahan campuran. Perhatikan cara berikut ini :


  Cara 1 :
  1. Semua bilangan dijadikan pecahan

                                                      Rumus Matematika Praktis -15
                                                       http://rahasiasuksesbelajar.com

2. Tentukan KPK dari penyebutnya.
3. Kemudian lakukan operasi penjumlahan


Cara 2 :
1. Kelompokkan bilangan bulat dengan bilangan bulat, bilangan pecahan
   dengan bilangan pecahan
2. Bilangan         bulat   dikelompokkan    menjadi      satu,    bilangan     pecahan
   dikelompokkan kemudian dicari KPK dari penyebut bilangan pecahan
3. Setelah      ketemu      KPKnya   dari   penyebutnya     baru    dilakukan    operasi
   penjumlahan


Contoh soal :

       1   1
   2     +3 =...
       4   2

   Jawab :

Jawab Cara 1.

        1. Jadikan menjadi pecahan semua
        2. Cari KPK dari kedua penyebutnya ; dari 2 dan 4, KPK ketemu 4.
               9   7
           =     +
               4   2
               9   14
           =     +
               4    4
               9  14
           =
                 4
               23
           =
               4
                 3
           = 5
                 4


Jawab Cara 2.

Bilangan bulat dikelompokkan menjadi satu sesama bilangan bulat, kemudian
bilangan pecahan juga dikelompokkan menjadi satu kelompok sesama bilangan
pecahan.


                                                        Rumus Matematika Praktis -16
                                                  http://rahasiasuksesbelajar.com

 KPK dari pecahan dari 2 dan 4, ketemu adalah 4

                 1   1
             2     +3 =...
                 4   2

                           1  1
             =(2+3)+(        + )
                           4  2
                      1   2
             =5+(       +   )
                      4   4
                  3
             =5
                  4


J. Menentukan Nilai Pecahan dari suatu Kuantitas Bilangan

  Contoh soal :
   5
     x 16 ton = . . . kg
   8
  Jawab :

     5
             2
      x 16 ton
     8
     1


  = 5 x 2 ton = 10 ton
  = 10 x 1.000 kg = 10.000 kg
          5
  Jadi,     x 16 ton = 10.000 kg
          8




                                                   Rumus Matematika Praktis -17
                                                   http://rahasiasuksesbelajar.com




A. PERPANGKATAN / KUADRAT
  Perpangkatan atau kuadrat adalah perkalian berulang pada angka atau
  bilangan yang bersangkutan.


  Perhatikan !
                                Tabel 1
                                12 = 1 x 1 = 1
                                22 = 2 x 2 = 4
                                32 = 3 x 3 = 9
                                42 = 4 x 4 = 16
                                52 = 5 x 5 = 25
                                62 = 6 x 6 = 36
                                72 = 7 x 7 = 49
                                82 = 8 x 8 = 64
                                92 = 9 x 9 = 81


  Dari Tabel 1 di atas ada 2 bilangan bersifat istimewa yaitu :
  a. Bilangan 1 ( dalam posisi sebagai satuan )
  b. Bilangan 5 ( dalam posisi sebagai satuan )
    *. Bilangan 1 dalam posisi sebagai satuan apabila dikuadratkan hasil
      satuannya adalah 1. ( Perhatikan tabel 2 )




                                                    Rumus Matematika Praktis -18
                                                 http://rahasiasuksesbelajar.com

   A. MISTERI ANGKA 1
                               Tabel 2
                        12 = 1 x 1       =   1
                           2
                        11 = 11 x 11 = 121
                        212 = 21 x 21 = 441
                        312 = 31 x 31 = 961
                        412 = 11 x 11 = 1681
                        512 = 51 x 51 = 2601
                        612 = 61 x 61 = 3721
                        712 = 71 x 71 = 5041
                        812 = 81 x 81 = 6561
                        912 = 91 x 91 = 8281
Hasil pengamatan :
1. Semua bilangan pada tabel di atas, apabila dikuadratkan hasil kuadratnya
   pada bilangan satuan adalah 1.
2. Angka 0 pada posisi puluhan lazimnya tidak ditulis, kecuali pada proses olah
   data. Maksudnya begini, bilangan 1 pada tabel di atas sejatinya adalah 01. (
   Paham ya maksudnya ? )
3. Kakaknya bilangan 1 adalah bilangan 2. (betulkan...?)


   Kesimpulan dari hasil pengamatan dapat diciptakan rumus praktis
   sebagai berikut.
   RUMUS PRAKTIS :
   a. Hasil pengkuadratan bilangan yang satuannya 1, pasti hasil kuadratnya
      menghasilkan bilangan satuan 1, kemudian tulis pada posisi satuan
   b. Kalikan bilangan puluhan yang dikuadratkan dengan kakaknya bilangan
      1 yaitu bilangan 2, hasilnya tulis pada posisi bilangan puluhan
   c. Kuadratkan bilangan puluhan, hasilnya tulis pada posisi ratusan dan
      seterusnya.


   Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut !




                                                   Rumus Matematika Praktis -19
                                              http://rahasiasuksesbelajar.com

Perhatikan hasil pengkuadratannya :
Contoh soal 1 :
312 = 961
       Bilangan 1 pada 961 adalah hasil kuadrat dari bilangan satuan pada
       31 yang dikuadratkan
       Bilangan 6 pada 961 adalah hasil kali bilangan puluhan (3) pada
       bilangan 31 yang dikuadratkan kemudian dikalikan dengan bilangan
       2 ( kakaknya bilangan 1 )
       Bilangan 9 pada 961 adalah hasil kuadrat dari bilangan puluhan (3)
       pada bilangan 31 yang dukuadratkan




 Contoh soal 2 :
 412 = 1681
           Bilangan 1 pada 1681 adalah hasil kuadrat dari bilangan satuan
           pada 41 yang dikuadratkan
           Bilangan 8 pada 1681 adalah hasil kali bilangan puluhan (4) pada
           bilangan 41 yang dikuadratkan kemudian dikalikan dengan bilangan
           2 ( kakaknya 1 )
           Bilangan 16 pada 1681 adalah hasil kuadrat dari bilangan puluhan
           (4) pada bilangan 41 yang dikuadratkan.


 Contoh soal 3 :
     712      = 5041
                Bilangan 1 pada 5041 adalah hasil kuadrat dari bilangan
                satuan pada 71 yang dikuadratkan
                Bilangan 4 pada 5041 adalah hasil kali bilangan puluhan (7)
                pada bilangan 71 yang dikuadratkan kemudian dikalikan
                dengan bilangan 2 ( kakaknya 1 ), ditulis 4, nyimpan puluhan
                1 ya…ingat.
                Bilangan 50 pada 5041 adalah hasil kuadrat dari bilangan
                puluhan ( 7 ) pada bilangan 71 yang dikuadratkan = 49 plus
                simpanan 1


                                                Rumus Matematika Praktis -20
                                              http://rahasiasuksesbelajar.com

  Untuk lebih memahami cobalah Anda kerjakan latihan berikut :
               1.   512 = …………
               2.   612 = …………
               3.   812 = …………
               4.   1012 = …………
               5.   1112 = …………
               6.   1212 = …………
               7.   1512 = …………
               8.   1612 = …………
               9.   1812 = …………
               10. 1912 = …………


B. MISTERI ANGKA 5
   Sekarang kita bahas Misteri Keistimewaan bilangan 5. Siap ya…? OK
   1. Bilangan 5 dalam posisi sebagai satuan apabila dikuadratkan hasil
      kuadratnya pasti menunjukkan bilangan 25.
   2. Bilangan 5 dalam posisi sebagai satuan apabila dikuadratkan hasil
      kuadratnya pada bilangan puluhan adalah 2 dan pada bilangan satuan
      adalah 5. ( Perhatikan tabel 3 )
      Perhatikan tabel di bawah ini
                               Tabel 3
                        52 = 5 x 5   =   25
                      152 = 15 x 15 = 225
                      252 = 25 x 25 = 625
                      352 = 35 x 35 = 1225
                      452 = 45 x 45 = 2025
                      652 = 65 x 65 = 4225
                      752 = 75 x 75 = 5625
                      852 = 85 x 85 = 7225
                      952 = 95 x 95 = 9025




                                               Rumus Matematika Praktis -21
                                                      http://rahasiasuksesbelajar.com

   Mari kita amati bersama :
   1. Semua bilangan pada tabel di atas, apabila dikuadratkan hasilnya kuadratnya
      selalu menunjukkan bilangan puluhan 2 dan bilangan satuan 5 atau dengan
      kata lain ditulis 25.
   2. Hasil pada bilangan ratusan atau depannya bilangan …25, merupakan hasil
      kali bilangan puluhan yang dikuadratkan dengan kakaknya bilangan tersebut.


Kesimpulan kuadrat dari bilangan yang bersatuan 5 dapat dibuat rumus
praktis sebagai berikut :
RUMUS PRAKTIS :
   1. Semua bilangan yang bersatuan 5 apabila dikuadratkan, hasil kuadrat nya
      adalah bilangan puluhan 2 dan bilangan satuan 5. Atau gampangnya pasti
      menghasilkan angka ……25 (dua bilangan dari belakang)
   2. Posisi bilangan ratusan atau ribuan,merupakan hasil perkalian bilangan
      puluhan yang dikuadratkan dengan kakaknya bilangan tersebut.


      Perhatikan contoh hasil kuadrat berikut :
      252    = 625
                Bilangan satuan 25 pada hasil 625, merupakan pengkuadratan
                bilangan satuan 5 pada 25 yang dikuadratkan.       Tulis ….25 (dari
                belakang ya!!!)
                Bilangan 6 pada hasil 625 merupakan hasil perkalian antara
                bilangan puluhan (2) dikalikan dengan kakaknya bilangan tersebut,
                yaitu (3). Tulis di-depan-nya 25 menjadi 625.


      Perhatikan contoh lagi hasil kuadrat berikut :
      552 = 3025
             Bilangan satuan 25 pada hasil 3025, merupakan pengkuadratan
             bilangan satuan 5 pada 55 yang dikuadratkan. Tulis seperti contoh di
             atas.
             Bilangan 30 pada hasil 3025 merupaka hasil perkalian antara bilangan
             puluhan (5) dikalikan dengan kakaknya bilangan tersebut, yaitu (6).
             Tulis di-depan-nya … 25, menjadi 3025.


                                                        Rumus Matematika Praktis -22
                                                    http://rahasiasuksesbelajar.com

       Perhatikan contoh lagi… hasil kuadrat berikut :
       852   = 7225
               Bilangan satuan 25 pada hasil 7225, merupakan pengkuadratan
               bilangan satuan 5 pada 85 yang dikuadratkan. Lihat contoh di atas.
               Bilangan 72 pada hasil 7225 merupakan hasil perkalian antara
               bilangan puluhan (8) dikalikan dengan kakaknya bilangan tersebut,
               yaitu (9). Tulis di-depan-nya ….25, menjadi 7225. OK. Mudah kan?




       Agar Anda lebih mendalam coba kerjakan latihan berikut ini !
       952   = ……………..
       1052 = ……………..
       1152 = ……………..
       1252 = ……………..
       1352 = ……………..
       1452 = ……………..
       2152 = ……………..
       2252 = ……………..
       3252 = ……………..
       4252 = ……………..


B. MENARIK AKAR KUADRAT
  Akar kuadrat adalah invers atau kebalikan dari pengkuadratan. Untuk mencari
  akar kuadrat dari suatu bilangan.
  1.     Mencoba dengan mengalikan angka tertentu.
  2.     Bilangan yang ditarik akar kuadrat dibayangkan dan dikelompokkan dua –
         dua dari belakang.
  3.     Mencari dengan faktorisasi prima




                                                      Rumus Matematika Praktis -23
                                                         http://rahasiasuksesbelajar.com

Contoh soal 1 :
      1296 = ....
     Jawab :

                  1296 = 36
                   9
     3x3
+                 396
6                 396
     6x6
                   0



Contoh soal 2 :

       625 = ....
     Jawab :

                  625 = 25
                  4
     2x2
+                 225
4                 225
     5x5
                   0
Ada cara yang sangat sederhana dan dijamin hasilnya pasti benar, yaitu
dengan     menggunakan ilmu          “Niteni”     atau   “mencermati”   terhadap   hasil
pengkuadratan suatu bilangan.


Perhatikan tabel berikut !
                                        Tabel 4
                    12 = 1 x 1 = 1              92 = 9 x 9 = 81
                    22 = 2 x 2 = 4              82 = 8 x 8 = 64
                    32 = 3 x 3 = 9              72 = 7 x 7 = 49
                    42 = 4 x 4 = 16             62 = 6 x 6 = 36



Dari tabel di atas ditemukan hasil pengamatan sebagai berikut !
a.   Bilangan 1 dan 9 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan
     menghasilkan bilangan satuan 1


                                                           Rumus Matematika Praktis -24
                                                   http://rahasiasuksesbelajar.com

   b.   Bilangan 2 dan 8 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan
        menghasilkan bilangan satuan 4
   c.   Bilangan 3 dan 7 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan
        menghasilkan bilangan satuan 9
   d.   Bilangan 4 dan 6 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan
        menghasilkan bilangan satuan 6
INGAT ! PENARIKAN AKAR adalah KEBALIKAN dari PENGKUADRATAN !
Kesimpulan :
   1.   Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 1, maka hasil
        penarikan akarnya pada bilangan satuan harus bilangan 1 atau 9
   2.   Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 4, maka hasil
        penarikan akarnya pada bilangan satuan harus bilangan 2 atau 8
   3.   Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 9, maka hasil
        penarikan akarnya pada bilangan satuan harus bilangan 3 atau 7
   4.   Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 6, maka hasil
        penarikan akarnya pada bilangan satuan harus bilangan 4 atau 6
   5.   Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 2 atau 3, maka
        hasil penarikan akarnya pasti bilangan campuran (bulat + pecahan)
   6.   Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 5, maka hasil
        penarikan akarnya pasti bilangan harus bilangan bersatuan 5




                                                     Rumus Matematika Praktis -25
                                                  http://rahasiasuksesbelajar.com

Dari hasil pengamatan di atas dapat dibuat Rumus Praktis.
Untuk membuat Rumus Praktis, dibutuhkan bantuan tabel 5 dan 6.
Anda disarankan untuk hafal terhadap angka pedoman pada tabel 5 dan 6
berikut ini.
                                    Tabel 5.
                                 102 = 100
                                 202 = 400
                                 302 = 900
                                 402 = 1600
                                 502 = 2500
                                 602 = 3600
                                 702 = 4900
                                 802 = 6400
                                 902 = 8100


                                    Tabel 6.
                                  52 =    25
                                  152 = 225
                                  252 = 625
                                  352 = 1225
                                  452 = 2025
                                  552 = 3025
                                  652 = 4225
                                  752 = 5625
                                  852 = 7225
                                  952 = 9025


Dengan hafal data pada tabel di atas, dalam menjawab soal penarikan akar kuadrat
dapat dilakukan dengan cepat dan pasti benar.




                                                    Rumus Matematika Praktis -26
                                                       http://rahasiasuksesbelajar.com

Perhatikan Tabel 4
Contoh soal :
1.   961 = n (Bilangan yang satuannya 1 apabila ditarik akar, maka hasilnya
                jawaban pada bilangan satuan harus 1 atau 9)
         Jawab no. 1.
          -     Bilangan satuan hasil penarikan akar harus bilangan 1 atau 9
          -     Angka   = 961 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 30 2 = 900, maka
                jawabnya harus > 30
          -     Angka        = 961 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 352 = 1225,
                maka jawabnya harus < 35
          -     Jadi jawabnya adalah 30 < n < 35
                Maka jawabnya dipastikan adalah= 31

2.   784 = n (Bilangan yang satuannya 4 apabila ditarik akar, maka hasilnya
                jawaban pada bilangan satuan harus 2 atau 8)
         Jawab no. 2.
          -     Bilangan satuan hasil penarikan akar harus bilangan 2 atau 8
          -     Angka = 784 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 25 2 = 625,    maka
                jawabnya harus > 25
          -     Angka = 784 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 30 2 = 900,    maka
                jawabnya harus < 30
          -     Jadi jawabnya adalah 25 < n < 30
                Maka jawabnya dipastikan adalah = 28

3.   729 = n (Bilangan satuan yang diakar 9, bilangan satuan pada jawaban harus
                 3 atau 7)
         Jawab no. 3.
          -     Bilangan satuan hasil penarikan akar harus bilangan 3 atau 7
          -     Angka = 729 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 25 2 = 625,    maka
                jawabnya > 25
          -     Angka = 729 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 30 2 = 900,    maka
                jawabnya < 30
          -     Jadi jawabnya adalah 25 < n < 30
                Maka jawabnya dipastikan adalah = 27

                                                         Rumus Matematika Praktis -27
                                                      http://rahasiasuksesbelajar.com

4.   1936 = n (Bilangan satuan yang diakar 6, bilangan satuan pada jawaban harus 4
                atau 6)
         Jawab no. 4.
          -    Bilangan satuan hasil penarikan akar harus bilangan 4 atau 6
          -    Angka = 1936 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 40 2 = 1600, maka
               jawabnya > 40
          -    Angka = 1936 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 45 2 = 2025, maka
               jawabnya < 45
          -    Jadi jawabnya adalah 25 < n < 30
               Maka jawabnya dipastikan adalah = 44


5.   9025 = n (Bilangan satuan yang diakar 5, bilangan satuan pada jawaban hanya
                angka 5)
         Jawab no. 5.
          -    Ingat, bilangan satuan hasil penarikan harus bilangan 5
          -    Angka = 9025 = jawab untuk satuannya adalah 5
          -    Ingat pengkuadratan bilangan yang bersatuan 5, setelah ditulis 25 dari
               belakang, depannya hasil perkalian bilangan adik dan kakak !
          -    Angka = 90 = hasil perkalian bilangan 9 x 10 (adik x kakak ) Maka
               jawabnya dipastikan = 95


Untuk lebih mendalami coba Anda kerjakan latihan berikut :
          1.    1521 = ………..

          2.    2601 = ………..

          3.    4761 = ………..

          4.    6561 = ………..

          5.    1024 = ………..

          6.    2304 = ………..

          7.    2704 = ………..

          8.    1089 = ………..

          9.    2209 = ………..


                                                        Rumus Matematika Praktis -28
                                                    http://rahasiasuksesbelajar.com

            10. 3969 = ………..

            11. 1936 = ………..

            12. 3136 = ………..

            13. 5476 = ………..

            14. 7396 = ………..

            15. 9025 = ………..



C. MENARIK AKAR KUADRAT SUATU BILANGAN YANG
   TERLETAK DI ANTARA DUA BILANGAN

Untuk bilangan yang satuannya 2 dan 3 dipastikan hasilnya penarikan akan pasti
pecahan, bukan angka bulat seperti contoh-contoh di atas.




Contoh soal :
 12 = ......
Jawab :
Perhatikan garis bilangan berikut.




 12 terletak    9 antara 16 dan.
Maka, terletak antara 3 dan 4
   1. 12 – 9 = 3
   2. 16 – 9 = 7
 12    =3
       = 3,43




                                                      Rumus Matematika Praktis -29
                                                        http://rahasiasuksesbelajar.com

D. PANGKAT TIGA dan MENARIK AKAR PANGKAT TIGA

1. PANGKAT TIGA
Pada dasarnya pangkat tiga merupakan perkalian berulang pada bilangan yang
sama sampai tiga kali.


Perhatikan tabel berikut !
                                        Tabel 7
                               13 = 1 x 1 x 1 =   1
                                 3
                               2 =2x2x2=          8
                               33 = 3 x 3 x 3 = 27
                               43 = 4 x 4 x 4 = 64
                               53 = 5 x 5 x 5 = 125
                               63 = 6 x 6 x 6 = 216
                               73 = 7 x 7 x 7 = 343
                               83 = 8 x 8 x 8 = 512
                               93 = 9 x 9 x 9 = 729


Dari pencermatan data di atas bahwa pada hasil pemangkatan atau pangkat 3 dari
suatu bilangan yang yang bersatuan antara 1 sampai 9, dapat dikelompokkan
sebagai berikut :
Kelompok 1 :
   Bilangan bersatuan 1 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 1
   Bilangan bersatuan 4 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 4
   Bilangan bersatuan 5 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 5
   Bilangan bersatuan 6 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 6
   Bilangan bersatuan 9 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 9
Kelompok 2 :
   Bilangan bersatuan 3 dipangkatkan 3, hasil bilangan satuannya adalah 7
   Bilangan bersatuan 7 dipangkatkan 3, hasil bilangan satuannya adalah 3
    Bilangan 3 dan 7 adalah kelompok berkebalikan
Kelompok 3 :
   Bilangan bersatuan 2 dipangkatkan 3, hasil bilangan satuannya adalah 8


                                                          Rumus Matematika Praktis -30
                                                       http://rahasiasuksesbelajar.com

   Bilangan bersatuan 8 dipangkatkan 3, hasil bilangan satuannya adalah 3
    Bilangan 2 dan 8 adalah kelompok berkebalikan


Contoh soal :
    1. 113 = n--------- 11 x 11 x 11 = 1331
    2. 143 = n--------- 14 x 14 x 14 = 2744
    3. 153 = n--------- 15 x 15 x 15 = 3375
    4. 163 = n--------- 16 x 16 x 16 = 4096
    5. 193 = n--------- 19 x 19 x 19 = 6859
    6. 233 = n--------- 23 x 23 x 23 = 12167
    7. 273 = n--------- 27 x 27 x 27 = 19683
    8. 223 = n--------- 22 x 22 x 22 = 10648
    9. 283 = n--------- 28 x 28 x 28 = 21952


2. MENARIK AKAR PANGKAT
     Menarik akar pangkat tiga, pada dasarnya sama dengan menarik akar pangkat
     dua atau kuadrat.
     1. Kalau bilangan yang ditarik akar pangkat tiga masih sederhana gunakan
        faktorisasi prima
     2. Tetapi kalau yang ditarik akar pangkat tiga bilangannya besar, maka akan
        lebih cepat dan benar dalam mengerjakan soal, pakailah tabel pedoman
        sebagaimana tercantum pada tabel di bawah ini.
                                          Tabel 8
                                   53 =         125
                                      3
                                   15 =        3.375
                                   253 =     15.625
                                   353 =     42.875
                                   453 =     91.125
                                   553 = 166.375
                                   653 = 274.625
                                   753 = 421.875
                                   853 = 614.125
                                   953 = 857.375

                                                        Rumus Matematika Praktis -31
                                                              http://rahasiasuksesbelajar.com

                                                  Tabel 9
                                            103 =     1.000
                                              3
                                            20 =      8.000
                                            303 =    27.000
                                            403 =    64.000
                                            503 = 125.000
                                            603 = 216.000
                                            703 = 343.000
                                            803 = 512.000
                                            903 = 729.000




Contoh soal :
1.   3
         8        =...

2.   3
         27       =...
Jawab: Kalau angkanya masih sederhana seperti contoh di atas gunakan dengan
cara faktorisasi prima.
Jawab :
1.           Faktorisasi prima dari 8 yaitu 2 x 2 x 2
             Maka:
             3
                 8 =       3
                               2x2x2
                       3
                  =            23 = 2
             Jadi,     3
                               8     =2


2.           Faktoriasi prima dari 27 yaitu 3 x 3 x 3
             Maka :
             3
                 27 =          3
                                   3x3x3

                     =         3
                                   33 = 3

             Jadi,     3
                           27 = 3




                                                               Rumus Matematika Praktis -32
                                                      http://rahasiasuksesbelajar.com

Tetapi kalau angkanya yang ditarik akar pangkat tiga seperti di bawah ini !


Contoh soal :
        3
   1.       17576 = n
        Jawab 1.
        Angka satuan yang ditarik akar adalah 6, maka jawab pada satuan harus 6
        Angka 17576 > 15625 (253), berarti jawabnya > 25 (lihat table 8)
        Angka 17576 < 27000 (303), berarti jawabnya < 30 (lihat table 9)
        Jadi jawabannya 25 < n < 30
        Ya…. n = 26


        3
   2.       5832 = n
        Jawab 2.
        Angka satuan yang ditarik akar adalah 2, maka jawab pada satuan harus 8
        Angka 5832 > 3.375 (153), berarti jawabnya > 15 (lihat table 8)
        Angka 5832 < 8000 (203), berarti jawabnya < 20 (lihat table 9)
        Jadi jawabannya 15 < n < 20
        Ya…. n = 18


        3
   3.       1728 = n
        Jawab 3.
        Angka satuan yang ditarik akar adalah 8, maka jawab pada satuan harus 2
        Angka 1728 > 1000 (103), berarti jawabnya > 10 (lihat table 9)
        Angka 1728 < 3.375 (153), berarti jawabnya < 15 (lihat table 8)
        Jadi jawabannya 10 < n < 15
        Ya…. n = 12


   4.   3
            3375 = …………
        Jawab 4.
        Angka satuan yang ditarik akar adalah 5, maka jawab pada satuan harus 5
        Angka 3375 > 1000 (103), berarti jawabnya > 10 (lihat table 9)
        Angka 3375 < 8000 (203), berarti jawabnya < 20 (lihat table 9)
        Ya.. jawabannya = 15

                                                        Rumus Matematika Praktis -33
                                                         http://rahasiasuksesbelajar.com



     5.    3
               4913 = …………
           Jawab 5.
           Angka satuan yang ditarik akar adalah 3, maka jawab pada satuan harus 7
           Angka 4913 > 3.375 (153), berarti jawabnya > 15 (lihat table 8)
           Angka 4913 < 8000 (203), berarti jawabnya < 20 (lihat table 9)
           Jadi jawabannya 15 < n < 20
           Ya…. n = 17


Nah untuk melatih agar Anda lebih terampil, kerjakan latihan berikut !
1.   3
         1331    = ……….

2.   3
         2744   = ……….

3.   3
         3375    = ……….

4.   3
         6859    = ……….

5.   3
         12167 = ……….

6.   3
         19683 = ……….

7.   3
         32768 = ……….

8.   3
         54872 = ……….

9.   3
         54872 = ……….

10. 3 54872 = ……….




                                                           Rumus Matematika Praktis -34
                                                      http://rahasiasuksesbelajar.com




A. Lambang Bilangan Romawi
      I     = untuk satu
      V     = untuk lima
      X     = untuk sepuluh
      L     = untuk lima puluh
      C     = untuk seratus
      D     = untuk lima ratus
      M     = untuk seribu


B. Penulisan Bilangan Romawi
  1. Bilangan romaswi dibaca dari kiri ke kanan
  2. Jika suatu angka diikuti dengan angka lain yang nilainya sama atau lebih kecil
     dari angka tersebut, maka nilai angka yang mengikuti harus ditambah dengan
     nilai angka yang diikuti
            Contoh soal :
            13 = XIII      artinya = 10 + 1 + 1 + 1
            27 = XXVII     artinya = 10 + 10 + 5 + 1 + 1
  3. Jika suatu angka diikuti dengan angka lain yang nilainya lebih besar dari pada
     angka yang diikuti, maka nilai angka yang mengikuti harus dikurangi dengan
     nilai angka yang diikuti.


            Contoh Soal :
            90     = XC, artinya = 100 – 10
            900    = CM, artinya = 1000 – 100
            49 = XLIX, artinya = ( 50 – 10 ) + ( 10 – 1 )




                                                        Rumus Matematika Praktis -35
                                                   http://rahasiasuksesbelajar.com

       Catatan Penting :
          1. I hanya bisa mengurangi V dan X saja
          2. X sebagai pengurang L
          3. C sebagai pengurang D
          4. V bukan sebagai lambang bilangan pengurang
          5. L bukan sebagai lambang bilangan pengurang
          6. D bukan sebagai lambang bilangan pengurang
          7. L Tidak boleh diulang
          8. D Tidak boleh diulang

4. Sistem pengurangan angka pada lambing bilangan Romawi dapat dilakukan
  maksimum 3 kali
  Contoh soal :

  1988 = MCMLXXXVIII, 1000 + ( 1000-100)+ 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1
  133 = CXXXIII, 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1
  134 = CXXXIV, 100 + 10 + 10 + 10 + ( 5 - 1 )
  138 = CXXXVIII, 100 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1
  149 = CXLIX, 100 + ( 50 - 10 ) + ( 10 - 1 )




                                                       Rumus Matematika Praktis -36

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:399
posted:3/15/2012
language:Indonesian
pages:36