CLASSES DE MATHEMATIQUES SPECIALES PC* 1996 by Efo396

VIEWS: 6 PAGES: 11

									  Pc* - Analyse – JFBoutemy                                                                                                 Page 55


  III- SERIES, SERIES ENTIERES, SERIES DE FOURIER.

  Objectifs:
   - Approfondir l’étude des séries de nombres réels ou complexes; comparaison à une intégrale, produit de Cauchy.
  - Etudier les propriétés élémentaires des séries entières et des séries de Fourier.
  - Exploiter la représentation des fonctions par des séries entières ou des séries de Fourier pour l’étude de fonctions définies comme
  solutions d’une équation, en relation avec l’enseignement des autres disciplines scientifiques.



  1. Séries de nombres réels ou complexes.

a) Comparaison d’une série à une intégrale.

  Théorème: (Comparaison d'une série de nombres réels positifs à une intégrale) étant donnée une
  fonction f continue par morceaux sur [0,+[ à valeurs réelles positives décroissante, la série de terme
                    n
  général wn=            f (t )dt  f (n) est convergente.
                   n 1

  Théorème: En particulier la série               f (n) converge si et seulement si f est intégrable sur [0, +[.
                                  n
  Proposition: 0  wn =  ( f (t )  f (n))dt  f(n-1) – f(n).
                                 n 1
                                                                                                          
  Proposition: si la série converge alors lim f(x) = 0 et si Rn est le reste, 0 
                                                      x                                             n
                                                                                                              f (t ) dt -Rn  f(n)
  Proposition: un encadrement analogue peut être obtenu lorsque f est croissante.
                                                                                                       n
  Proposition: Si f est C1 , une intégration par parties permet d'écrire wn =   (t  n  1) f '(t )dt
                                                                                                      n 1

  Théorème: Equivalent de n!  n e      2n (formule de Stirling).
                                             n   -n

  Remarque: La démonstration de la formule de Stirling n'est pas exigible des étudiants.
  § Exemple: encadrement du reste d'une série convergente, pour une série de nombres réels positifs.
  encadrement des sommes partielles d'une série divergente.
  exemples: de recherche de valeurs approchées de la somme d'une série convergente.

  Exemple :
                                                                    1
   Etudier les séries de termes généraux: un=                     
                                                                           .
                                                                n . ln( n)

                                              1
  On suppose n >1. Si >1, n un =                  0 donc la série est CV.
                                            ln( n )
                                                                                                1
  Si  =1, la série est DV car la série est de même nature que l’intégrale de                          sur [2, +[
                                                                                             x ln( x )
      x          ln x
          dt       du
  Or               (u=ln(t)) et la fonction 1/u n’est pas intégrable sur [ln2, +[ .
      2
        t ln t ln 2 u
                                                  1            1
  Si 0 <1, un0 mais la série est DV car                        qui est le TG d’une série DV
                                              n . ln( n) n. ln( n)
  Si  <0, un donc la série est DV.


  Ex1* Etudier les séries de termes généraux:
                    1                                                         1
  a] un=                                                 b] un=
           n.ln( n).ln(ln(n))                                      n.ln( n).[ln(ln(n))]2
  Pc* - Analyse – JFBoutemy                                                                                                                      Page 56




b) Produit de deux séries absolument convergentes.

  Définition: produit de Cauchy de deux séries                                u   n    et    v  n   de nombres complexes: wn=                   u v
                                                                                                                                                 p q n
                                                                                                                                                           p q   .

  Théorème: Si les séries          v sont absolument convergentes, la série  w
                                       u  n   et          n                                                                             n   l’est aussi.
                                                                                      
  Proposition: Dans ces conditions,  w =(  u )(  v )        n               p              q
                                                    n 0               p 0            q 0

  Remarque: La démonstration de ce résultat n'est par exigible des étudiants.

  Exemple 1 :
                                                           1 1        1
  Etudier la convergence de la série de terme général wn=  1   ...  z n
                                                           2 3        n

                                                                                                                                      zp q
  Posons, pour n>0, un = zn/n et, pour n quelconque, vn = zn. Alors wn =                                  u v
                                                                                                         p q n
                                                                                                                   p q   =     z
                                                                                                                             p  q n p

                          1 n
  Donc wn =      
                 p  q n p
                            z et la série proposée est ABSCV pour |z|<1



  Exemple 2 :
                                   
                     zn
  On pose exp(z) =  n! . a] MQ cette série est absolument convergente pour tout z dans C.
                   0

  b] Montrer que exp(z+z’) = exp(z) . exp(z’).

                                                                              un1     z
  a] La règle de d’Alembert donne, pour z non nul,                                        0 pour tout z. La série est donc absolument
                                                                               un    n 1
  convergente pour tout z dans C.
                                             z p z' q                      n! z p z ' q  1 n p p q ( z  z ' )n
  b] Posons wn =           upvq =
                         p q n
                                        
                                       pqn p! q!
                                                      =            
                                                               p  q n   p!q! n!
                                                                                        =  Cn z z ' =
                                                                                         n! p 1        n!
  Le produit de Cauchy de 2 séries absolument convergentes est une série absolument convergente et le produit
                         
                               ( z  z ' )n
  donne   w0
                 n   =    0        n!
                                            = exp(z+z’) = exp(z) . exp(z’)




  2. Séries entières.

  Objectifs: - Etudier la convergence d’une série entière et les propriétés de sa somme, grâce au concept fondamental de rayon de
  convergence.
                  - Introduire la notion de développement d’une fonction en série de Taylor, notamment pour le développement en série
  entière des fonctions élémentaires.
  Rem: En ce qui concerne le développement de t  e tz où t est réel et z complexe, il s’agit d’établir que cette fonction, déjà étudiée en
  première année, est aussi égale à t  exp tz, définie à partir de la série exponentielle d’un nombre complexe.
  Rem: Les coefficients des séries entières considérées dans ce paragraphe sont réels ou complexes.
  Pc* - Analyse – JFBoutemy                                                                         Page 57

a) Rayon de convergence d’une série entière.

  Définition: A une suite (an) de nombres complexes on associe la série entière       a   n   zn d'une variable
  complexe z.
  Définition: R = sup{ |z| / | an zn | borné}est le rayon de convergence (fini ou non) de la série entière.
  Remarque: L'étude de la série sur le cercle |z| = R est hors programme.
  Théorème: (Lemme d’Abel) Si il existe un nombre réel  > 0 tel que |an|n soit borné, alors pour tout
                                                                   n
                                                           z
  nombre complexe z tel que |z| < , |anz | est dominé par   .
                                           n
                                                           
                                                            
  Théorème: La série est absolument convergente sur le disque (ouvert) de convergence.
  Théorème: Elle est normalement convergente sur tout compact du disque de convergence;
  Théorème: La somme de la série entière est continue sur le disque ouvert de convergence.
  Théorème: Le rayon de convergence de la somme (an  bn ) z n est R = inf(Ra ,Rb ) si Ra Rb
                                                                            R  Ra =Rb s’ils sont égaux
  Théorème: Linéarité de la somme
  Théorème: Si R est le rayon de convergence du produit de Cauchy de deux séries entières alors, dans
  tous les cas,               R  inf(Ra ,Rb ).
  Théorème: Somme du produit de Cauchy :        exp(z + z') = exp z . exp z'.

b) Séries entières d’une variable réelle.
   Théorème: Etant donnée une série entière      a  n  t n d'une variable réelle t dont le rayon de convergence R
  est strictement positif, une primitive sur l'intervalle ]-R,R[ de la somme f de cette série s'obtient en
  intégrant terme à terme.
  Théorème: Invariance du rayon de convergence d'une série entière par intégration ou par dérivation
                                   t n1
  terme à terme :  an t n ,  an        et  nant n1 ont même rayon de convergence.
                                  n 1
  Théorème: Soit f la somme d'une série entière  an t n dont le rayon de convergence est R >0
  Alors f est de classe C sur ]-R.R[. Et  k1 Dkf s'obtient par dérivation terme à terme.
                                                                    1
  Théorème: En particulier, pour tout entier k positif ou nul, ak  f (k ) (0) .
                                                                    k!
  Théorème: Si de plus, la série  an t converge pour t = R, (resp pour t = -R), la somme de la série est
                                         n


  continue sur [0 , R] (resp [ -R , 0]) résultat admis.
  Définition Une fonction f est développable en série entière sur un intervalle ]-r, r[, où r > 0 si et ssi il
  existe une série entière  an t n de rayon de convergence R r et telle que  an t n = f(t).
                                                                                         t k (k )
                                                                                      k! f (0) .
  Définition Si f est C sur un intervalle ]-r, r[, où r >0, la série de Taylor de f est

  Théorème: Si f est développable en série entière et est C sur un intervalle ]-r, r[, alors son
  développement en série entière (D.S.E.) est son développement en série de Taylor.
  Proposition: Développement en série de Taylor de e tz où z est complexe, de sin t, de cos t.
  Proposition: Développement de ln(1+t), de (1 t ) où  est réel.
  Méthode: mettre en valeur l'emploi de séries entières et de séries de Fourier pour la recherche et l'étude
  de solutions d'équations différentielles.
Pc* - Analyse – JFBoutemy                                                                                         Page 58


                                           ( 1) n
                                               
Exemple 1 :                Montrer que            = ln 2
                                       n0 n  1

                                              xn
On sait que sur ]-1,+1[ , ln(1+x) =  (1) n1   . Sur [0,1] la série est alternée et le module du TG tend
                                   n1        n
vers 0 en décroissant donc (cf théo spé alterné) le reste vérifie |Rn|  xn/n  1/n 0
La série entière CV uniformément sur [0,1] donc elle est continue sur [0,1].
                                   1n                
                                                        ( 1) n
Conclusion : ln(1+1) =  ( 1) n1 c’est à dire                = ln 2
                         n1        n               n0 n  1



                                                                      2
Exemple 2 : Développer en séries entières f(z)=                                  (rayon de convergence ?)
                                                              (1  z )(1  z 3 )
                                                                          2


Les 2 polynômes 1+z2 et 1-z3 sont des polynômes premiers, on peut donc écrire (cf identité de Bezout)
               2          az  b cz 2  dz  e                       1
f(z) =                  =        +               avec a i +b = 2         =(1-i) donc a= -1 , et b = 1.
       (1  z )(1  z )
             2       3
                          1 z 2
                                      1 z 3
                                                                  1  i3
                                             1
De même c+d+e = 1 et c j2 +d j +e = 2            = -2 j2 = 2+2 j d’où (d-c) j+ (e-d ) = 2 + 2 j
                                         1 j  2


On en tire d = c + 2 = e donc 3c +4 = 1 soit c = -1 et d = e = 1.
                                  z 1      z2  z 1
Finalement, sur ]-1,+1[, f(z) =         +                = (1-z)  (1) n z 2 n + (1+z-z2)  z 3n
                                 1 z 2
                                               1 z 3
                                                                 n0                       n0
              
soit f(z) =   a z
              0
                  n
                       n
                             avec a6k = 2 , a6k+1 = 0, a6k+2 = 0, a6k+3 = 0, a6k+4 = 2, a6k+5 = -2.

Pour z=1, le terme général ne tend pas vers 0, donc le rayon de CV est R=1.

                                         arctan x
Exemple 3 : On pose f(x) =                         pour x  0. MQ’on peut prolonger f en une fonction C
                                             x
                                           ièmes
sur R. Calculer alors les dérivées n             en 0.
                                   2 n 1
                                 x
On sait que arctan x =  (1) n            avec un rayon de convergence R = 1.
                       n 0     2n  1
                                                                      x2n
On peut donc affirmer que pour tout x  0 et |x|<1, f(x) =
                                                               n 0
                                                                      (1)n
                                                                     2n  1
                                                                            .

Le prolongement par continuité de f par f(0) = 1 admet donc un développement en série entière
                              x2n
et le DSE de f est  (1) n         Donc ce prolongement est Csur ]-1 , +1[.
                   n 0      2n  1
Comme par ailleurs f était C sur R*, on peut donc affirmer que le prolongement est Csur R.
Dans ces conditions f (2n)(0) =(-1)n (2n)!/(2n+1) et f (2n+1)(0) = 0



Ex1*Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes:
      ( n  1) 5 2 n               ( 1) n n                         ( 1) n (n  1) 3 n
      2n  1 z .                  n z                                                        e
                                                                                                              3
                                                                                                     n
a]                           b]                               c]                      z    d]            zn
                                                                             n!
                                            na
     ( n) n n                         1                               1 n
e]        z                 f]   cos  z n                 g]          z               h]    n! z   n2

       n!                             n                                n
Pc* - Analyse – JFBoutemy                                                                                                                     Page 59

Ex2**Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes et calculer leurs sommes:
     
          1  bn n                         
                                                  n 1                                                   
                                                                                                             n 1                        
a]    n z
     n 1
                                     b]    (n  1)n(n  2) z n                                     c]    (n  3)n! z n           d]    cos(nt ) z     n

                                          n2                                                            n0                            n0
                                                                         
                                    1                                                 n
                  1        1                                                        x
e]    1  2  3 ... n  z
                         
                                               n
                                                                     f]   n p
                                                                          n0
                                                                                            où p est fixé
     n 1

                                                                                                                                        an
Ex4**MQ si la série a                               n   zn a un rayon de CV  0, alors le rayon de CV de                           n! z     n
                                                                                                                                                  est infini.

Ex3**Calculer le rayon de convergence des séries entières a                                                 n   zn où an est donné par:
            1
         p  p si n  3 p
                                                                         b p si n = 2p +1                              1 si n est premier
a] an =  1                                                       b] an =                                      c] an = 
         p      si n  3 p  1
        p                                                                0 si n = 2p                                   0 sinon
        ( b) p si n  3 p  2
        
        
Ex5***On donne une suite (an ) de limite a  0. Quel est le rayon de convergence de la série entière
     an
n          z n . On notera f(z) la somme de cette série.
Déterminer la limite de f(x)/ ln(1-x) lorsque x  1-0 dans R.
Ex6*Développer en séries entières les fonctions suivantes                                           (rayon de convergence ?)
                                                                 2
                       1                          z                                                           x sin t
a] f(z)=                         b] f(z)=                                                          c] f(x)=          dt
                (1  z )(1  z )
                       2      3
                                          (1  z )( 2  z ) 2                                                0    t
                  1 x                                                                                                        sin t
d] f(x)=                                  e] f(x)= Arc sin x                                       f] f(x)= Arc tan                   où t  ]0,/2[
                  1 x                                                                                                      cos t  x

Ex7** MQ  (n )1 = ln 2 et que  21 1  
            1                            n                                   n
                                  ( )
                               n0 n       4                      n0


Ex8**On pose f(x)= arctan x pour x  0, MQ on peut prolonger f en une fonction C sur R.
                               x
                              ièmes
Calculer alors les dérivées n       en 0.
Ex9**Quel est le domaine de convergence des séries suivantes?
      (2n  1) n                                     n!                    ( 1) n 1                                         ( z  3) 2 n
a]    2n1 nn ( z  1) n b]                        nn ( z  3)n . c]     2n ( z  2) 2 n                         d]    (n  1) ln(n  1)
                                                                                             n2
     ( z  2) n
                       2
                                                    n                        1
e] 
         nn
                                          f] 
                                               ( z  2) n
                                                            g]             1  n  ( z  1) n
                                                                                  
                                                                                                                    h]   n   x



  (1) n
i]                n   x
                                          j]  (cos nx)enx

Ex10*On donne l’équa-diff          (E) : (1+x2).y’’-2y=0. Déterminer les solutions de (E) développables en
séries entières. Calculer les coefficients puis calculer la somme de ces séries entières.
Ex11**MQ la fonction f définie par f(x)= Arc sin2x est solution d’une équa-diff linéaire (E).
                                                    1 x
Déterminer les solutions de (E) développables en séries entières. En déduire le DSE de f.
Pc* - Analyse – JFBoutemy                                                                                Page 60


Quelques développements en séries entières                                    indispensables
          x  R, z C
 1
             = 1-z+z2-z3+……..+(-1)n zn+……                                =  ( 1) n z n                 R=1
1 z                                                                         n 0

 1
             = 1+z+z2+z3+……..+zn+……                                      =  zn                          R=1
1 z                                                                         n 0

                                                                                            xn
ln(1+x)      = x - x2 /2 + x3/3 - …..+ (-1)n+1 xn /n +…..                =    (1)n1
                                                                              n1           n
                                                                                                         R=1

                                                                                     xn
- ln(1-x)    = x + x2 /2 + x3/3 - …..+ xn /n +…..                        =   n
                                                                              n 1
                                                                                                         R=1

                 x3 x5          n x
                                    2 n 1
                                                                                           x 2 n1
 arctan x    =x-   +   - …+ (-1)           +…..                          =  (1) n                      R=1
                 3   5            2n  1                                      n 0        2n  1
1 1 x              x3 x5      x 2 n1                                           x 2 n1
 ln
2 1 x
             =x+
                    3
                      +
                        5
                          - …+
                               2n  1
                                       +…..                              =    2n  1
                                                                             n0
                                                                                                         R=1

                                                                                  zn
   ez        = 1 + z + z2 /2 + z3/6 - …..+ zn /n ! +…..                  =    n!
                                                                             n 0
                                                                                                         R=

                                                                                 (1) n z 2 n1
  sin z      = z - z3/3 ! - …..+ (-1)n z2n+1 / (2n+1) ! +…..             =   n0 ( 2n  1)!
                                                                                                         R=

                                                                              ( 1) n z 2 n
  cos z            2        4              n     2n
             =1 - z /2 + z /4 ! - …+ (-1) z / (2n) ! +…                  =                              R=
                                                                          n0    ( 2n)!
                                                                                 z 2 n1
  sh z       = z + z3/6 - ……...+ z2n+1 / (2n+1) ! +…..                   =    (2n  1)!
                                                                             n0
                                                                                                         R=

                                                                                  z 2n
  ch z       =1 + z2 /2 + z4/4 ! + …+ z2n / (2n) ! +…                    =    (2n)!
                                                                             n 0
                                                                                                         R=

                          (  1)                         
                                                (  1)...(  n  1)
 (1+x)      = 1+ x +               x2 +….+                            xn+…..                           R=1
                                2                        n!
                                  1 1 3
                                    ( )...(  n)                        (1) n1 (2n)! n
  1 x    = 1 + x /2 - x2/8+….+ 2 2          2    xn+...        =                        x              R=1
                                                                  n0 ( 2 n  1)( 2 n!)
                                                                                   n    2
                                         n!
                               1  3       1
   1                               ( )...(  n)                                 (2n)!
          = 1- x /2+3 x /8- + 2 2
                         2                   2     xn +…        =  (1) n n 2 x n                       R=1
  1 x                                  n!                         n0         (2 n!)
                                  1 1      3
                                    ( )...(  n)                                (2n)!
  1 x    = 1 - x /2 - x2/8 - ….- 2 2        2    xn +…         = 1-                         xn         R=1
                                                                      n1 ( 2n  1)( 2 n!)
                                                                                      n     2
                                          n!
                                  1 3      1
   1                                ( )...(  n)                         (2n)!
          = 1+ x /2+3 x2/8… + 2 2           2     xn +…         =  n 2 xn                               R=1
  1 x                                   n!                        n0 ( 2 n!)

                                     1 3       1
                                      ( )...(  n) x 2 n1               ( 2n)! x 2 n1
 Arcsin x = x - x3 /6 + 3x5/40 …+ 2 2           2           +.. =  n 2                                  R=1
                                             n!      2n  1        n0 ( 2 n!) 2 n  1


Il faut que vers le 1er mai, au faîte      du travail, vous connaissiez ces                       DSE.
  Pc* - Analyse – JFBoutemy                                                                                             Page 61


  3. Séries de Fourier.

  Objectifs: - Etudier les coefficients de Fourier d’une fonction f périodique, et notamment leur comportement asymptotique en fonction
  de la régularité de f.
                   - Etudier la convergence en moyenne quadratique des sommes partielles Sp(f) de la série de Fourier de f en utilisant la
  structure d’espace préhilbertien.
                   - Etudier la convergence ponctuelle des sommes Sp(f): convergence normale, théorème de Dirichlet.
  Rem 1 exploiter l’interprétation en termes d’analyse harmonique des signaux périodiques.
  Rem 2 Dans ce chapitre, les fonctions considérées sont à valeurs complexes, 2-périodiques et continues par morceaux sur R. Le cas
  des fonctions T-périodiques s’y ramène par changement de variable.

a) Coefficients de Fourier.

  Définition: {f : R C / 2périodiques continues par morceaux } est un espace vectoriel.
  Définition: d’une fonction 2-périodique continue par morceaux f à partir d'une fonction g continue par
  morceaux sur un segment de longueur 2.
  Proposition: Intégrale sur une période d'une fonction f à valeurs complexes 2-périodique continue par
  morceaux sur R.
                                                                             1 
  Définition: coefficients de Fourier d'une telle fonction: f (n) = cn(f)=     f (t ) e dt .
                                                                                            int

                                                                            2
                     1                               1                           1 
  Théorème: cn(f)= (an(f) - i bn(f) ) avec an(f) =  f (t ). cosnt dt , bn(f) =  f (t ).sin nt dt .
                     2                                                         
  Proposition: Coefficients de Fourier de f ; cas d'une fonction à valeurs réelles.
  Proposition: Coefficients de Fourier de t  g(t) = f(-t) : cn(g)= c n (f)
                cas d'une fonction paire : bn(f) = 0
                cas d'une fonction impaire : an(f) = 0
  Proposition: Effet d'une translation g : t  f(t+a). cn(g)= eina cn(f).
  Définition de la série de Fourier de f, 1er terme : c0(f) , terme général : c-n(f ) e-inx + cn(f) einx
                                                                                                              p
  Définition: Pour tout entier naturel p, la somme partielle de rang p est : Sp(f)(x)=                       c ( f )e
                                                                                                            n p
                                                                                                                    n
                                                                                                                          inx
                                                                                                                                .

  Définition: Lorsque qu'en un point x de R les sommes partielles Sp(f) convergent, la série de Fourier est
  dite convergente au point x et la somme de la série de Fourier est, par définition, la limite des sommes
  Sp(f)(x).
  Théorème: L'application F qui à f associe f est linéaire.
                                                              1 
                                                             2 
  Théorème: La suite f est bornée et || f ||  || f ||1 =        f (t ) dt .

  Théorème:(Coefficients de Fourier d'une dérivée): si f est 2-périodique continue sur R et de classe C1
  par morceaux sur R, alors cn(Df) = i.n cn(f).
  Proposition: Si f est 2-périodique de classe Ck-1 sur R et de classe Ck par morceaux sur R, alors cn(f)
  est dominée par |n|-k au voisinage de l'infini.
  Théorème: Extension au cas où f est de classe Ck-1 sur R et de classe Ck par morceaux sur R.
  Pc* - Analyse – JFBoutemy                                                                                        Page 62


b) Convergence en moyenne quadratique.

  Objectifs: Dans ce paragraphe, on considère des fonctions 2-périodiques continues sur R.
  Remarque: Il convient d'effectuer une brève extension au cas des fonctions continues par morceaux;
  Remarque: les démonstrations concernant cette extension ne sont par exigibles des étudiants.
                                                                  1 
                                                                 2 
  Définition: Produit scalaire hermitien (f,g)  (f|g)=                    f (t ) g (t )dt sur l'espace vectoriel C2 des
  fonctions 2-périodiques continues sur R;
  Théorème: norme associée f  ||f||2.
  Proposition: Les fonctions t  en(t) = eint, où n parcourt Z, forment une famille orthonormale et, pour
  tout n, cn(f) = (en | f).
  Théorème: La projection orthogonale d'un élément f de C2 sur le sous espace vectoriel Pp engendré par
  les en, où |n | p, est la somme partielle Sp(f).
  Proposition: En particulier, l'application qui à tout élément P de Pp associe ||f -P||2 atteint son minimum
  en un point et un seul, à savoir Sp(f).
  Théorème: Relation ||f||2=(||Sp(f)||2)2+d(f,Pp)2.

                                                                         .
                                                p

                                                c (f)
                                                                          2
                                                                 f
                                                            2
  Proposition: Inégalité de Bessel:                 n                 2
                                                                               En particulier, cn(f) et c-n(f) tendent vers 0.
                                            n p

  Théorème: (Convergence en moyenne quadratique) pour tout élément f de C2 , les sommes partielles
  Sp(f) convergent en moyenne quadratique vers f.
  Proposition: Formule de Parseval: expressions du carré de la norme et du produit scalaire à l'aide des
  coefficients de Fourier.
  Théorème: L'application linéaire f  f est injective.

c) Convergence ponctuelle.

  Théorème: (Convergence normale) lorsque f est 2-périodique continue sur R et de classe C1 par
                                      p
  morceaux sur R, les sommes        c (f)
                                    n p
                                            n           sont majorées.

  Théorème: Dans ces conditions, les sommes partielles Sp(f) de la série de Fourier de f convergent
  normalement vers f sur R.
  Proposition: En particulier, pour tout nombre réel x, la série de Fourier de f converge en ce point, et sa
  somme est égale à f(x).
  Théorème: ( de Dirichlet) soit f une fonction 2-périodique de classe C1 par morceaux sur R, alors pour
  tout nombre réel x, la série de Fourier de f converge en ce point et sa somme est égale à
   1
     lim f ( x  h)  f ( x  h) où h tend vers 0, h>0.
   2 h
  En particulier, en tout point x où f est continue, la somme de la série de Fourier de f est égale à f(x).
  Remarque: La démonstration du théorème de Dirichlet n'est pas exigible des étudiants.
  § Exemples de recherche et d'emploi de développements en série entière ou en série de Fourier de
  fonctions d'une variable réelle;
  Exemples: utilisation de tels développements pour l'approximation d'une fonction.
Pc* - Analyse – JFBoutemy                                                                                  Page 63



Exemple 1 :
On donne f, 2.-périodique, définie par: f(x) = -x sur l’intervalle ]0, 2[.
Développer en série de Fourier la fonctions f . Que donne le calcul de f(/2)?

L’examen du graphe de f permet de constater que f est impaire. Les coefficients a n sont donc nuls.
                 a  2                                  
            1                                        2
bn     =
                      
                       a
                            f ( x) sin nx dx =
                                                         (  x) sin nx dx car f est impaire.
                                                         0
                                                             
           2 1                2         1
       =     n (  x) cosnx -   (1) n cos nxdx = 2/n
                            0    0
La fonction f est 2.-périodique, C1 par morceaux. Sa série de Fourier converge donc vers la fonction f à
condition de la prolonger par
                                 1
                                    f ( x  0)  f ( x  0) aux points x où f est discontinue.
                                 2
              
                  2                        
                                               2            
                                                                                            
                                                                                                    1             
Alors f(x) =       sin nx et f(/2) =  sin n =                        sin(2k  1) donc 
                                                                    2
                                                                                                         (1) k 
             n 1 n                       n 1 n      2     k 0 2 k  1            2       k 0 2 k  1          4


Exemple 2 :
Développer en série de Fourier la fonction f 2.-périodique, définie par:
f(x) = 1 sur l’intervalle ]0, [ et
f(x) = -1 sur l’intervalle ], 2[. Que donne le calcul de f(/2)?

L’examen du graphe de f permet de constater que f est impaire. Les coefficients a n sont donc nuls.
               a  2                                       4
           1                                     2              si n impair
 bn =
                         f ( x) sin nx dx =  sin nx dx =  n
                                             0
                                                                             car f est impaire.
                   a                                        0 si n pair
                                                            
On peut utiliser le théorème de Dirichlet : La fonction f est 2.-périodique, C1 par morceaux. Sa série de Fourier
converge donc vers la fonction f à condition, aux points x où f est discontinue, de la prolonger par
1
   f ( x  0)  f ( x  0); c’est à dire f(0) = f(k) = 0 .
2
                 
                           4
Alors f(x) =                     sin(2 p  1) x
                p 0  ( 2 p  1)


               
                                                                        
                                                                               1                
                                                                         2k  1 (1)
                     4
f(/2) =         (2k  1) sin(2k  1) 2 = 1donc
               k 0                                                     k 0
                                                                                        k
                                                                                            
                                                                                                4


Exemple 3 :
Développer en série de Fourier la fonctions f 2.-périodique, définie par f(x) = | sin x |.
Que donne le calcul de f(0)?

L’examen du graphe de f permet de constater que f est paire. Les coefficients bn sont donc nuls.
La fonction f est -périodique, continue et C1 par morceaux. Sa série de Fourier converge donc normalement vers
la fonction f .
                 a                       
            2                          2                            4
a0     =
                   f ( x)dx =   sin x dx = 
                       a                   0
                 a                                          /2
            2                                        4
an     =
                     a
                           f ( x) cos2nx dx =
                                                              sin x.cos2nx dx car f est paire.
                                                              0
Pc* - Analyse – JFBoutemy                                                                                                   Page 64

               /2                                                                                                  /2
                                                 2  cos(2n  1) x cos(2n  1) x 
           sin( x  2nx)  sin( x  2nx) dx =   2n  1  2n  1 0
          2
      =
         0                                                                     
          2     1        1      4        1 
      =      2n  1  2n  1 =    4 n 2  1 
                                              
                                                                     2 4   cos 2kx
Finalement, en tout point x de R on a donc f(x) =                     +             = | sin x |
                                                                       1 4k 2  1
                                     
                                             1            1
Pour x = 0 on obtient donc         4k
                                     1
                                             2
                                                 1
                                                      =
                                                          2
Remarque : On peut noter que la fonction f est périodique de période ce qui permet d’expliquer la seule
présence de termes en cos 2kx dans le DSF de f.

Ex1**Développer en série de Fourier les fonctions f 2.-périodiques, définies par:
a] f(x) = x2 si 0 < x < 2.. Que donne le calcul de f(0)?
b] f(x) = A. x2 + B. x + C             si 0 < x < 2..
                                                           cos( nx )                 1
 Déterminer les valeurs de A, B, C pour obtenir n1             2
                                                                      , en déduire n1 2 .
                                                               n                       n
c] f(x) = (  - x )/2 si 0 < x < 2.. d] f(x) = x/2 si - < x < .
           x     si   / 2  x   / 2
e] f(x) =                               .On examinera ce qui se passe lorsque x = -/2 ou x = /2 ou x = 3./2
             x si  / 2  x  3 / 2
f] f(x) = sup( 0, sin x ).                 g] f(x) = ex si - < x < . Que se passe-t-il si x = .
Ex2**MQ on peut trouver une suite de coefficients dn tels que
 x R, | sin x | =  d sin nx (p’t’être que le DSF de | sin x | est utile).
                                        2
                           n1   n


Ex3**Pour chacune des fonctions dont le développement en série de Fourier a été obtenu dans le 1°,
on tracera les graphes des sommes partielles pour des petites valeurs de n (2, 4, 8, 16, par exemple) et on
examinera ce que donne la formule de Parseval.
Ex4**Etudier la convergence des séries de Fourier suivantes:
        ( 1) n n3                                        n3  n  1                                                 1
   n2 n4  1 sin nx                                n1 n(n3  1) sin nx                                 
                                                                                                           
a]                                                b]                                                  c]                cos nx
                                                                                                             n0
                                                                                                                   n 1
                                                                                                                     2


           1                                           sin( 2n  1) x
d] n0                                           e] n0
    
                sin nx avec a>0                                         avec a>0
        na                                                   na
                                                                                                                  1
Ex5**a] Déterminer A et B pour que,                                n  N*,   
                                                                              0
                                                                                      ( At 2  Bt ).cos nt dt 
                                                                                                                   n2
                                                                          sin((2n  1)t / 2)  sin(t / 2)
                     
                       n
b] On pose fn(t)=      k 1
                               cos( kt ) . Montrer que fn(t)=
                                                                                  2 sin(t / 2)
                          1 2
                   k 1 k 2  6   n où n  0 si n  .
                         n
c] En déduire que

Ex6**Soit f(x) = n1 (1)n1 sin nx .
                                        n
a] MQ la fonction f est continue sur ] -,+ [.
                                   sin kx              d
b] On pose fn(x)= k 1 ( 1) k 1
                     n
                                          . Expliciter    f n ( x) .
                                     k                 dx
c] En déduire une expression de f sur ] -,+[ en utilisant la fonction g de période 2
définie par g(x) = x/2 sur ]-,+ [.
d] Tracer les graphes de fn pour n = 1, 2, 3, 10, 50, etc........
Pc* - Analyse – JFBoutemy                                                                                                      Page 65

Ex7***On a trouvé, rue des Morillons, un développement en série de Fourier perdu par un taupin
                          sinnx
distrait: (  - x )/2 = 
                                   
                                si 0 < x < 2..
                                   n1
                            n
                                              sin kx                            sin((2n  1) x / 2)
                                  
                                       n
On pose alors Sn(x) =                  k 1
                                                       et        Dn(x) =                            .
                                                k                                  2 sin( x / 2)
                                               x            x   sin nt
a] Montrer que x/2 +Sn(x) =  Dn (t )dt =                             dt + wn(x) où wn(x)  0 si n
                                               0            0     t
                                sint
b] En déduire que        
                         0         t
                                      dt = /2.

                                        x
                                       cos   for     0 xT /2
Ex8**       Expand the function f: x      T                    in cosine serie.
                                       0
                                              for T / 2  x  T
Ex9***Using the notation of the preceding problem, show that
                     
                   sint         sin t
lim Sn (/n) =   
                 0   t
                        dt > 
                              0    t
                                       dt = /2.
Comment: Thus, near x = 0, (a point of discontinuity), the partial sums of the Fourier
series of function f exceed the value of the function at x = 0 by the amount
   sint
0 t dt - /2 = 0,28. This illustrates the so-called Gibbs phenomenom, according to which the Fourier
series of a discontinuous function « overshoots » its limiting value at a point of discontinuity.
Ex10***Développer en série de Fourier les fonctions f de période T =2., définies par:
a] f(x) = 1/ (cos x + ch a ). on supposera a>0.
                                                                                                                 1                   1
                                                                                                       (                     
                                                                                                                               
b] f(x) = ch ( x ) si - < x < . On en déduira la somme des séries :                                                    et            .
                                                                                                      k 0
                                                                                                             2
                                                                                                                  k 2 )2      n1
                                                                                                                                     n4
c] f(x) = cos ( x ) si - < x < .
                 sin x
d] f(x) =                    où {-1, 0, 1 }.
           1  2 cos x  2
                    sin x 
e] f(x) = Arctan               , où ||  1.
                   1  cos x 
Ex11****a] Coefficients de Fourier de f 2.périodique tq                                       f(x) = - ln(2 sin x/2 ) si 0 < x < 2..
                                                                                   t
b] Peut-on utiliser ces résultats pour calculer                   0
                                                                          ln2 (2 sin )dt ?
                                                                                    2
                                                                            
                                                                               
Ex12**Calculer la somme de la série                               ½+           n1
                                                                                   r n cos nx , où |r|<1.

								
To top