phys1 4 E

							หน่วยที่ 4 ระบบอนุภาค โมเมนตัม
            และการชน



                                 1
จุดศูนย์ถ่วง จุดศูนย์กลางมวล และเซนทรอยด์

   จุดศูนย์ถ่วง จุดศูนย์กลางมวล เซนทรอยด์
   โมเมนตัมเชิงเส้นของระบบอนุภาคและหลักการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น
   พลังงานจลน์และหลักการอนุรักษ์ พลังงานของระบบอนุภาค
   โมเมนตัมเชิงมุมของระบบอนุภาค
   การชน



                                                                 2
จุดศูนย์ถ่วง (Center of Gravity) :
         คือ จุดที่น้าหนักรวมของวัตถุตกผ่าน

              ่
     จุดศูนย์ถวงของระบบมวล m1, m2, m3          ที่ยึดติดกันด้วยแกนเบา
     จะมีลักษณะดังรูป

                    m1         m2    C.G.           m3



                                 (m1+m2+m3)g

                                                                        3
จุดศูนย์กลางมวล (Center of Mass)

     คือต้าแหน่งเฉลี่ยของระบบมวล


     มีความส้าคัญในกรณีที่วัตถุอยู่ห่างไกลจากแรงดึงดูดของดวงดาวใด ๆ
      เพราะจะท้าให้มวลอยู่ในสภาพไร้น้าหนัก

      การหาต้าแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลอาศัยการหาโมเมนต์ของมวล
       แทนโมเมนต์ของแรง


                                                                       4
                                                 y
การหาต้าแหน่งของ C.M.                                                    m2 (x 2 , y 2 )

                                             y
กรณีระบบมวล 3 ก้อน :                                                     CM (x, y)
                                                      m1 ( x 1 , y 1 )
                                                                                       m3 (x 3 , y 3 )

                                                                   x

 คิดโมเมนต์รอบแกน Y จะได้      m1x1 m 2 x 2 m 3 x 3 Mx
                                                     3

                    m1x1 m 2 x 2 m 3 x 3            mi x i
               x                                 i 13
                              M                        mi
                                                      i 1
                                                                                   3

                                  m1 y1  m 2 y 2  m 3 y3                       m y       i       i
คิดโมเมนต์รอบแกน X จะได้ y                                                      i 1
                                                                                     3

                                                                                   m
                                                 M
                                                                                                i
                                                                                    i 1
                                                                                                        5
                                                                                         
จุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาคใน 3 มิติ :                                             mi   ri             C
                                                                                                                     M
                                                                                                    
                                                                                    ri               R
      ถ้าระบบมี n อนุภาค ต้าแหน่งของจุด
       ศูนย์กลางมวลจะเป็น
                                                                                O
                                                n                                         n
                                                                                                    v
                                
    m 1 r1  m 2 r2  . . . m n rn           
                                               i 1
                                                       m i ri
                                                                                  v      å       mi ri
   R                                                                          Þ R=     i= 1
       m 1  m 2  . . . m n                     n

                                               i 1
                                                        mi                                    M

                            n                                                                    n

                          m x                                                                m z
                                                                 n

                                   i       i                    m y    i       i
                                                                                                i 1
                                                                                                         i       i

องค์ประกอบของ R : x       i 1
                              n                          y     i 1
                                                                                         z        n

                                                                                                 m
                                                                   n

                            m
                            i 1
                                       i                         m
                                                                 i 1
                                                                            i
                                                                                                 i 1
                                                                                                             i

                                                                                                                         6
ตัวอย่างที่ 4.1 อนุภาค 3 อนุภาควางในระนาบ xy มีมวลและพิกัดดังนี มวล 3
                กิโลกรัม อยู่ที่พิกัด (3, -2) เมตร มวล 4 กิโลกรัม อยู่ที่พิกัด
                (-2, 4) เมตร มวล 1 กิโลกรัม อยู่ที่พิกัด (2, 2) เมตร จงหา
                พิกัดของศูนย์กลางมวล
                                                              n

                                                             m y
                         n

                        m x    i       i
                                                             i 1
                                                                     i       i
            จาก    x   i 1                    และ     y      n

                                                              m
                           n

                         m
                         i 1
                                    i
                                                              i 1
                                                                         i




       xcm 
                    3 3           4  2   1 2 
                                                             
                                                               3
                                     3  4 1                  8


        ycm 
                     3 2                 4  4   1 2 
                                                                    
                                                                      3
                                            3  4 1                  2
                                                                                 7
จุดเซนทรอยด์ (Centroid, C)
          คือต้าแหน่งเฉลี่ยที่หาได้จากรูปทรงเรขาคณิตของวัตถุ

การหาต้าแหน่งของจุด C:
                                         
 จุด C ของปริมาตร
                          
                          rc   r dV   r dV
                                 dV       V
                                         
  จุด C ของพื้นที่        
                          rc   r ds   r ds
                                 ds      S
                                      
                             r d  r d
   จุด C ของเส้น           rc       
                                 d   L
                                                               8
ตัวอย่าง 4.2 แผ่นเหล็กมวลสม่่าเสมอรูปร่างเหมือนส่วนที่แรเงา มีสเกลในหน่วย
                 เซนติเมตร จงหาพิกัดของศูนย์กลางมวล    y
                                                                                 30
วิธีท้า แบ่งแผ่นเหล็กออกเป็น 3 แผ่นดังรูป                                        20
                  n                                     n                        10
                 m x
                 i 1
                         i       i                     m y
                                                       i 1
                                                                i       i
                                                                                 O               x
   จาก      x      n
                                     และ          y      n                           10 20 30
                  m         i                          m
                                                        i 1
                                                                    i
                  i 1




    xcm 
                  2 10               2  5            2  20           11.7 cm
                                            6


     ycm 
                   2  25              2 10                 2  5      13.3cm
                                              6
                                                                                                 9
ตัวอย่าง 4.3 เด็กมวล 40 กิโลกรัม ยืนที่ท้ายเรือยาว 4 เมตร มวลเรือ
             70 กิโลกรัม ลอยอยู่นิ่งๆ โดยที่ท้ายเรือห่างสะพาน 3 เมตร
               มีเต่าตัวหนึ่งเกาะอยู่บนก้อนหินข้างหัวเรือดังรูป ถ้าเด็กเริ่มเดิน
               มา ทางหัวเรือเพื่อจับเต่า
               a. จงบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบทั้งหมด
               b. เมื่อเขามาถึงหัวเรือ เขาจะอยู่ห่างสะพานเท่าใด
               c. ถ้าเขาสามารถยื่นมือออกมาพ้นเรือได้ไกลที่สุด 1 เมตร
                  เขาจะจับเต่าได้หรือไม่ (ไม่คิดแรงเสียดทานระหว่างเรือกับน้่า)




                                                                            10
วิธีท้า a ) เด็กเดินไปทางขวา เรือถอยมาทางซ้าย แต่ศูนย์กลางมวลของระบบอยู่ที่เดิม
      b) ให้เด็กอยู่ห่างสะพานเป็นระยะ x เมตรเมื่อเดินถึงหัวเรือ
          ก่อนเดิน :    m x  (40)(3)  (70)(5)
                              i i


          หลังเดิน :    m x   40 x    70 x  2
                              i i


        เนื่องจากผลคูณของมวลและต้าแหน่งของจุด C. M. มีค่าคงตัว
             403   705   40 x    70 x  2
                                      61
                           x             5.55 m
                                     11
      c) จับไม่ได้ เพราะเต่าอยู่ห่างสะพาน 7 m แต่เด็กเอื้อมได้ห่างสะพานแค่ 6.55 m
                                                                            11
    โมเมนตัมเชิงเส้นและการดล
    โมเมนตัมเชิงเส้น (Linear momentum) คือ ผลคูณของมวลและความเร็ว
                      p  mv , หน่วย : kg-m/s

                                           dv dp
จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน :     F  ma  m   
                                           dt dt
                 2
                          r    r   r
                ò å F dt = p2 - p1
                  (     )
              1
                              r
                            = J    เรียกว่าการดล (impulse)

                             J
                       F        เรียกว่าแรงดล (impulsive force)
                             t
                                                                 12
     ตัวอย่าง 4.4            ลูกเบสบอลมวล 0.14 kg เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วตามแนวราบ
                             150 km/h เข้ากระทบไม้เบสบอล ลูกเบสบอลพุ่งออกจากไม้ตี
                             ในทิศทาง 35o กับแนวราบด้วยอัตราเร็ว 180 km/h
                             (a) จงค่านวณหาการดลของแรงตีลูกเบสบอล
                             (b) ถ้าการเข้ากระทบของไม้ลูกเบสบอลกินเวลา 1.5 ms
                                 จงหาแรงดลเฉลี่ย
                             (c) จงหาการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของไม้ตี
                     +y                              Y
                                                                   
                                                                  pi
                                                                   
                                                        pf
                              pf                                    J
            
           p f sin 35 
-X                         
                                          +X               
                                                                         X
                         p f cos 35 
             pi
                                                                               13
ตัวอย่าง 4.5   มวล 4.88 kg มีอัตราเร็ว 31.4 m/s เข้ากระทบแผ่นโลหะ
               เรียบท่ามุม 42.0o และ สะท้อนออกด้วยความเร็วเท่าเดิม
               ถามว่าการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมมีค่าเท่าใด




                            420     420

                                     
                                    pi
                                 420
                      p
                                  420   
                                        pf

                                                                     14
                                                     z
                                                                    
                                                                    ri 
            ่
การเคลื่อนทีของระบบอนุภาค                            
                                                     ri
                                                                           CM
 •สมมติระบบประกอบด้วย n อนุภาค                                  R
                                                                                y
  มีมวล m1 , m2 , …m3 ,…mn
                                       x
        ต้าแหน่งของอนุภาคที่ i :     ri  R  ri

        ความเร็วของอนุภาคที่ i :     vi  V  vi


     โมเมนตัมเชิงเส้นของระบบ : P    p    i      m v   i i

                                                                                    15
  โมเมนตัมของระบบในเทอมของจุด C.M. :

                     P       m (V  v)
                                  i      i

                                          
                             mi V   mi vi


ดังนั้นโมเมนตัมของระบบ :

                 P  MV ,          m v     i i
                                                '
                                                     0

โมเมนตัมเชิงเส้นของระบบ = มวลรวมของระบบ x ความเร็วของจุด C. M.

                                                             16
ความเร่งของระบบ:
    ความเร่งของระบบจะเป็นไปตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันข้อที่ 2
                                                      
                                                   dp   
       ส้าหรับอนุภาคที่ i :       Fi  Fij  m i a i  p i
                                      i j             dt
                                   n        n   n              n
ส้าหรับระบบของ n อนุภาค :         F  F
                                  i1
                                        i
                                            i1 j1
                                                      ij      p
                                                               i1
                                                                     i




                                   F                        p
               n   n

               F
              i1 j1
                        ij   0
                                      i                                  i


                                   F  MA
            ความเร่งของระบบ คือ ความเร่งของจุด C.M.
                                                                             17
การอนุรักษ์โมเมนตัมของระบบอนุภาค

   ถ้าไม่มีแรงภายนอกกระท้ากับระบบ หรือ  F  0
                   A0          V  Const.
   ดังนั้นโมเมนตัมของระบบ :

             P  MV   mi vi  Const.

ถ้าไม่มีแรงภายนอกกระท้ากับระบบโมเมนตัมของระบบจะที่มีค่าคงตัว


                                                               18
      ตัวอย่าง 4.6 ปืนใหญ่มีมวล M = 1300 กิโลกรัม ยิงลูกปืนมวล 72 กิโลกรัม
                   ในแนวราบด้วยอัตราเร็วปลายกระบอก v = 55 เมตร/วินาที
                   ปืนใหญ่ถูกติดตังให้ถอยกลับได้อย่างอิสระ จงหา
                  (a) อัตราเร็ว V ของปืนใหญ่ในการถอยกลับเทียบกับผิวโลก
                  (b) อัตราเร็วเริ่มต้น v E ของลูกปืนเทียบกับโลก
      วิธีท้า   จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม :     p i = pf
    ก่อนยิงโมเมนตัมของระบบเป็นศูนย์ เพราะทุกอย่างอยู่นิ่ง: pi = 0
    หลังยิงโมเมนตัมของระบบ = โมเมนตัมของกระบอกปืน + โมเมนตันของลูกปืน
                                    pf  MV  m  vE   MV  m  v  V

อัตราเร็วของกระบอกปืนเทียบกับโลก :      V
                                                mv
                                                    
                                                       72 kg  55 m/s   2.9 m/s
                                               M  m 1300 kg  72 kg

อัตราเร็วของลูกปืนเทียบกับโลก   vE = v + V = 55 m/s + (- 2.9 m/s)= 52.1 m/s
               :                                                                19
ตัวอย่าง 4.7 ระบบประกอบด้วยอนุภาคมวล 2 กิโลกรัม ความเร็ว
              
              v1 2ˆ  10 tˆj เมตร/วินาที และมวล 3 กิโลกรัม ความเร็วคงตัว
                   i
              
              v2  4 เมตร/วินาที (t มีหน่วยเป็นวินาที) เมื่อ t = 0.5 s จงหา
                        i
              a. ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล
             b. ความเร่งของจุดศูนย์กลางมวล
             c. โมเมนตัมรวมของระบบ
  วิธีท้า จาก   MVcm    m v i i



  ความเร็ว :    Vcm 
                           ˆ      ˆ    
                                          ˆ
                         2 2i  10tj  3 4i
                                              
                                                  ˆ      ˆ
                                                16i  20tj      ˆ     ˆ
                                                            3.2i  4tj
                                    23             5
                                 ˆ
            Vcm (t  0.5 s)  3.2i  2 ˆ
                                       j
                     dVcm
  ความเร่ง : acm =          = - 4ˆj      เป็นค่าคงตัว
                      dt
  โมเมนตัม : P = MVcm = 5(3.2iˆ - 2 ˆ) = 16iˆ - 10 ˆ
                                           j          j
                                                                        20
 โมเมนตัมเชิงมุมของระบบอนุภาค
    จากค้าจ้ากัดความ :        L  r x p  r x mv
    โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาค i : Li  ri  mi vi
                                                   
โมเมนตัมเชิงมุมของระบบ :       L   L i   ri  m i v i
      L   mi ( R  ri)x(V  vi)

             mi (R x V  ri x V  R x vi  ri x vi)
                          M            0                  0
           Rx    mV  m r  x V  R x  m v   (r  x m v )
                      i          i i                i i       i   i i

                    '       '
        L  R  MV   ri  m i v i
                                  
            L  L ของศูนย์กลางมวล  L รอบศูนย์กลางมวล
                                                                    21
การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมของระบบอนุภาค
                                      r
                                   ædp        r    rö
  ท้านองเดียวกับโมเมนตัมเชิงเส้น : ç =
                                   ç      å   Fi = F ÷
                                                     ÷
                                   ç dt
                                   è                 ÷
                                                     ø
 อัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม เชิงมุม มีค่าเท่ากับ ทอร์กรวม
                        
                       dL      
              หรือ          i  
                       dt
                                                   dL
ถ้าไม่มีทอร์กจากแรงภายนอก หรือ          0,          0
                                                    dt

  โมเมนตัมเชิงมุม ( L ) ของระบบมีคงตัว (Li = L f )
                                                             22
พลังงานจลน์และหลักการอนุรักษ์พลังงานของระบบ
                                      1          1
     พลังงานจลน์ของระบบ         Ek   mi vi2   mi  vi .vi 
                                      2          2
     เมื่อแทนค่าความเร็วของอนุภาคที่ i : vi  V  vi'       จะได้

Ek   mi V  vi   V  vi   Ek   mi V V  2vi' V  vi'  vi' 
      1          '           '           1
      2                                  2
                                       1             1
             mi vi  0  Ek    mi V   mi vi' 2
                      '                         2

                                       2             2
                                           1       1        
             พลังงานจลน์ของระบบ                           2 
                                      E K  MV    m i v1
                                              2

                                           2       2        
พลังงานจลน์ของระบบ = พลังงานจลน์ของจุด C.M. + พลังงานจลน์ของแต่ละอนุภาครอบจุด C.M.

                                                                              23
การชน (Collision)
   การชนหนึ่งมิติ :
     - จะมีแรงกระท่าที่มีค่าสูงมากกระท่าต่ออนุภาคทั้งก้อนในช่วงเวลาสั้นๆ
       และท่าให้เกิดการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่อย่างฉับพลันก่อนชน
       และหลังชน
     - แรงดังกล่าวคือ แรงดล (impulse force) ซึ่งท่าให้เกิดการดล (impulse)
       มีค่าเป็น                           2
                          J  p2  p1    F dt     
                                            1

     หลังการชนการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบจะมีค่าเป็นศูนย์
                        
              p  p1  p2  ...  0
                                                                           24
ชนิดของการชน
 1. การชนชนิดยืดหยุ่นสมบูรณ์ (Elastic Collision)
                       v       v
     โมเมนตัมคงตัว : pi = p f
      พลังงานคงตัว :     Ek i = Ek f

 2. การชนชนิดไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ (Inelastic Collision)
                          v      v
     โมเมนตัมคงตัว :      pi = p f
    พลังงานไม่คงตัว       Ek i ¹ Ek f
    :
                                                        25
       การชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ในหนึ่งมิติ
                          
            v1i            v2 i
                                                            
                                           v1 f              v2 f
       m1                         m2
                  ก่อนชน                          หลังชน

   กฎการคงตัวของโมเมนตัม :              m1v1i  m2 v2i  m1v1 f  m2 v2 f

                                       1        1       1        1
   กฎการคงตัวของพลังงานจลน์ :            m1v1i  m2v2i  m1v1 f  m2v2 f
                                            2       2       2        2

                                       2        2       2        2
   เมื่อแก้สมการทั้งสองจะได้ความเร็วของอนุภาคหลังชนเป็น :
         m1  m2        2m2                        2m1         m  m1
v1 f            v1i          v2 i      v2 f            v1i  2      v2 i
         m1  m2       m1  m2                    m1  m2      m1  m2
                                                                            26
กรณีพิเศษที่เป็นไปได้
 1. เมื่อ m1 = m2 :      v1 f  v2i ,    v2 f  v1i


                               m1  m2               2m1
 2. เมื่อ v2i = 0 :     v1 f          v1i , v2 f          v1i
                               m1  m2              m1  m2


 3. เมื่อ m2 >> m1 :    v1 f  v1i  2v2i ,     v2 f  v2 i


 4. เมื่อ m1 >> m2 :    v1 f  v1i ,       v2 f  2v1i  v2i

                                                                  27
ตัวอย่าง 4.8
       (a) จงหาสัดส่วนของพลังงานจลน์ที่ลดลงของอนุภาคนิวตรอนมวล m1
           เข้าชนผ่านจุดศูนย์กลางกับนิวเคลียสมวล m2 ที่หยุดนิ่งก่อน
           ถูกชน
       (b) จงหาสัดส่วนของพลังงานจลน์ที่ลดลงของอนุภาคนิวตรอนเมื่อเข้า
             ชนลักษณะนี้กับนิวเคลียสของธาตุตะกั่ว          คาร์บอนและ
ไฮโดรเจน                               v 2i  0
                           v 1i
                  m1                    m2
                 neutron              Nucleus :

Nucleus : Pb (m2 = 206m1), C (m2 = 12m1), H (m2 = m1)

                                                                  28
การชนชนิดไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์
   - เป็นการชนที่มีโมเมนตัมคงตัวแต่พลังงานจลน์ไม่คงตัว

   - หลังการชนมวลทั้งสองจะติดกันไปด้วยความเร็วเท่ากัน

                 m1              m2 
           vf            v1i            v2i
                 m1  m2         m1  m2 

   - ถ้า m2 อยู่นิ่งก่อนถูกชน จะได้
                          m1         
                    vf               v1i
                          m1  m2    
                                                         29
             ื
การชนชนิดไม่ยดหยุ่นและสัมประสิทธิ์ของการคืนตัว
  - อัตราเร็วสัมพัทธ์ก่อนชนและหลังชนมีความสัมพันธ์กับสัมประสิทธิ์
    ของการคืนตัวตามสมการ

         v  1f    v2 f   e  v1i  v2i 
           e=0           การชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์
          0<e<1          การชนแบบไม่ยืดหยุ่น
           e=1           การชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์

                                                                    30
การชนในสองมิติ                                  y

- เกิดขึ้นเมื่ออนุภาคชนกันโดย
  ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล                   m2       2
                                                    1         x
- หลังชนอนุภาคจะไม่             m1   v1i
  เคลื่อนที่ในทิศทางเดิม
จากกฎการคงตัวของโมเมนตัม :                               v1f


p    xi     pxf  m v  m v cos   m v cos 
                      1 1i  1 1f    1   2 2f    2


p   yi      pyf    0  m1v1 f sin 1  m2 v2 f sin 2
ส่าหรับการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ :
                    1       1       1
           Ek  0  m1v1i  m1v1f  m2 v 2f
                        2       2         2

                     2      2       2                          31
ตัวอย่างที่ 4.9 Ballistic Pendulum เป็นเครื่องมือตรวจวัดความเร็วต้นลูกปืน
                 ประกอบด้วยแท่งไม้ขนาดใหญ่ มวล M แขวนด้วยเชือกคู่ ลูกปืน
                 มวล m ถูกยิงเข้าแท่งไม้และฝังตัวอยู่ในแท่งไม้ แท่งไม้พร้อม
                 ลูกปืนจะแกว่งตัวขึ้นถึงต่าแหน่งสูงสุด ได้ความสูงตามแนวดิ่ง h ดัง
                 รูปถ้า M = 5.4 กิโลกรัม, m = 9.5 กรัม จงค่านวณหา
                 (a) ความเร็วต้นของลูกปืน ถ้า h = 6.3 เซนติเมตร
                 (b) พลังงานจลน์เริ่มต้นของลูกปืนและพลังงานจลน์
                       ปริมาณเท่าใดที่ใช้ในการแกว่งตัวของแท่งไม้




                     m

                         v
                                  M
                                                      h

                                                                               32
                              แบบฝึกหัด
1. ระเบิดมวล 1 kg แตกออกเป็นสองเสี่ยง โดยเสี่ยงแรกมีมวล 0.75 kg ความเร็ว
    100 m/s ไปทางตะวันออก จงหามวลและทิศทางของเสียงที่ 2
 2. ระบบอนุภาคมีมวล m1 = 4 kg ,           ˆ          ˆ
                                   v1  (2i  3 ˆ  4k )
                                                j
                    m2 = 6 kg , 2         ˆ          ˆ
                                   v  (3i  2 ˆ  2k )
                                                j
     จงหาโมเมนตัมและพลังงานจลน์ของระบบ
 3. ระบบประกอบด้วยมวล 1 kg จ่านวน 3 อนุภาค อยู่ที่ต่าแหน่ง (x,y,z)=(1,0,0),
    (0,1,0) และ (0,0,1) จงหาต่าแหน่งศูนย์กลางมวลของระบบ
4. ลูกเบสบอลมวล 0.5 kg เคลื่อนที่ตามแนวราบด้วยอัตราเร็ว 120 km/h เข้า
   กระทบไม้เบสบอลกระเต้งออกจากไม้ด้วยอัตราเร็ว 150 km/h ในทิศ 45 องศา
   กับแนวราบ จงหาการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของลูกเบสบอล
                                                                      33
5. ลูกสนุกเกอร์สีขาวเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว 1.5 m/s เข้าชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์
   กับลูกสีแดงที่อยู่นิ่ง หลังชนลูกขาวท่ามุม 60 องศากับแนวเดิม สมมติลูกสนุก
   เกอร์ทั้งสองมีมวลเท่ากัน จงหา
   ก) ขนาดของความเร็วของลูกแดงและลูกขาวหลังชน
   ข) สมมติก่อนชนลูกแดงอยู่กลางโต๊ะพอดี และหลังชนลูกแดงวิ่งลงตรงหลุม
      กลางของโต๊ะ ซึ่งกว้าง 2 เมตร จงหาเวลาที่ลูกแดงวิ่งถึงหลุมหลังจากโดยชน
6. รถพ่วง 50 ตัน วิ่งชนรถฮอนด้าแจ๊ส ที่จอดขวางอยู่บนถนนมิตรภาพหลังชนรถทั้ง
   สองเคลื่อนที่ติดกันไปหากในการชนนี้สูญเสียพลังงาน 25% ในรูปของความร้อน
   จงหามวลของรถฮอนด้าแจ๊ส
7. ลูกปืนมวล 20 g ยิงเข้าหาแท่งไม้มวล 5 kg แล้วฝังตัวในแท่งไม้ท่าให้แท่งไม้และ
   ลูกปืนแกว่งสูงขึ้น 10 cm จงหาความเร็วลูกปืนก่อนกระทบแท่งไม้ (g=10 m/s2)

                                                                         34