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					 ボース・アインシュタイン凝縮体(BEC)
      における粒子生成:
曲った時空上の場の量子論とのアナロジー

         栗田泰生(関学理工)
共同研究者
  小林未知数(東大理)       石原秀樹(阪市理)
  森成隆夫(京大基研)       坪田誠(阪市理)
        市大コロキウム 2008年5月23日
            目次
•   曲がった時空上の場の量子論(粒子生成)
•   時空のアナロジーとは何か?
•   ボース・アインシュタイン凝縮体(BEC)
•   BECを用いたアナロジー
•   実験による検証を目指して
•   まとめ
1. Introduction
研究背景

      曲った時空上の場の量子論

特徴: 時空がダイナミカルに変化 ⇒ 粒子生成
                           WMAPによるCMB
 例1    ・インフレーションなどの宇宙膨張
           ⇒ 量子ゆらぎの生成


 例2    ・星の重力崩壊でブラックホール形成
          ⇒ Hawking 輻射




曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もない。
Introduction

                Hawking 輻射
   • 古典的にはブラックホールからは外へは何も出てこない。
   • 量子論的には、熱輻射が出てくることがある。(Hawking 輻射)
   • 輻射の温度は、 (Hawking 温度)

                   (   はブラックホール表面での重力加速度)

      で与えられる。


   重力崩壊などのダイナミカルな過程で静的なブラックホールが形成されたとすると、
   そのブラックホールは熱的なスペクトルの輻射(Hawking 輻射)を放出します。
Introduction

                 Hawking 温度
       典型的な Hawking 温度         太陽質量



                              ブラックホール質量
      実際に宇宙にあると考えられているブラックホールはもっと重い。

       CMBの温度よりもずっと低い!


   • 天文学的ブラックホールからの Hawking 輻射を見ることは絶望的


     曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もない。
Introduction

                 アナロジー          Unruh PRL (1981)


   • 曲った時空上の場は、流体上の励起場(音波)と似ている。

   • 調べてみると、従う方程式も同様である。

   • したがって、曲った時空上の場の理論の予言は、流体上の音波にも当て
     はまると期待される。

         ⇒ 流体を用いて、曲った時空上の場の量子論を検証しよう!
             ブラックホール熱力学
 Classical
• 一般相対論を用いて調べると、ブラックホールは熱力学法則に類似した
   性質を持つ.
  (0): ブラックホールの表面重力加速度 は、horizon上で一定.
  (1):

 (2): ブラックホールhorizonの面積    は減少しない.

 Quantum

• 曲った時空上の場の量子論            Hawking 輻射

                          : ブラックホールエントロピー

              ブラックホールは熱的!
         粒子生成について:1
スカラー場   の運動方程式:

                                時空の情報が必要
方程式の解の中で
Klein-Gordon 内積に関して正規直交となる関数系   を用意する。




  Klein-Gordon 内積:

量子場をモード関数        で展開
                          展開係数が生成・消滅演算子
        粒子生成について:2
     初期の時空


   時空がダイナミカルに時間発展

     最終的な時空


時間発展により時空計量は変化する    初期の真空状態:

                    一般に終状態での number op.の期待値は
                    ゼロではない。


⇒ 解の自然な完全系も変わる。
             粒子生成について:3

 終時刻での完全系で初期の完全系を展開:

                          Bogoliubov coefficients




初期真空状態:




Number op.     このように終状態では粒子が生成される!
2.アナロジー
analogy

          完全流体でのアナロジー
                               Unruh PRL (1981)
  • 完全流体の式(渦なし):

                                       摂動場
                           背景流体



  • 摂動場が従う方程式:



                                  音速




    音波(摂動場)は、曲った時空上の波動方程式に従うと見ることができる。
analogy
             流体を用いたアナロジー
 • 曲がった時空上の場は、流体上を伝わる励起場(音波)と類似.

          時空(重力場)        流体

          物質場(光など)      励起場(音波など)

 • 流体上の音波(励起) と 時空上の場 は同様の方程式に従う.




          流体上の音波は、曲がった時空上の場とみなせる。


            曲がった時空上の場の理論的効果は、
            流体上の励起場でも起こると期待される
analogy

            超音速面がある場合
  •   亜音速と超音速が共にあるような                          Unruh (1981)
                                                                                    PRL46 (1981) 1351



      流れを考えます。          •   Analogy of Hawking radiation in perfect fluids (without vortex).

                                                                                           perturbation
                                                                           Background



  •   音波は、超音速面を超えて      •   Perturbed field of velocity potential obeys



      上流に伝わることが出来ません。                                                          Local velocity of sound




  •
                                Field equation on spacetime with the metric
    この音波の因果構造は
                                 Sonic horizon
    ブラックホールに似ています。
  • このとき、超音速面は時空の意味で
    の horizon に対応します。



          アナロジー時空計量 :
analogy

               Unruh (1981)     Assumption
                                for the state



  • 超音速面がある流体で、流体と共に超音速面に流れ落ちる観測者が場
    の状態を真空状態とみるような量子状態が実現したとすると、超音速面
    から熱輻射が放出される.

  • 期待される輻射の温度;



                                    超低温!


                         系の典型的なスケール

          古典流体では観測不可能
             と思われる。
                        BECを考えよう!
3. Bose-Einstein 凝縮体
        (BEC)
BEC

      冷却原子 Bose-Einstein 凝縮体
  • 複数のボース粒子は同じ状態を占めることができる。
  • 閉じ込めポテンシャルを用意して、束縛状態を作ると低温では多くのボー
    ス粒子が、基底状態に入る。 ⇒ 凝縮
  • 1995年頃から、希ガス原子を冷却して凝縮体を実験的に作る技術が開
    発・進展し続けている。



                              今では、百万個単位の原子を
                              凝縮可能。

                              また温度も 1nK以下まで
                              到達できそう。

         400nK, 200nK, 50nK
BEC

            Gross-Pitaevskii 方程式
                                            ボース粒子の
                                            消滅演算子
      ボース場を凝縮体部分とその他に分解:

      凝縮体のダイナミクスを記述する方程式:    Trapping      Atomic
                             potential   interaction



             とすると
                              連続の式


                                         オイラー型の式

      ここで
                    凝縮体の位相が速度ポテンシャル
BEC

            Gross-Pitaevskii 方程式
                                            ボース粒子の
                                            消滅演算子
      ボース場を凝縮体部分とその他に分解:

      凝縮体のダイナミクスを記述する方程式:    Trapping      Atomic
                             potential   interaction



             とすると
                              連続の式


                                         オイラー型の式

      ここで
                    凝縮体の位相が速度ポテンシャル

       凝縮が起こったとき、
       が満たされて、完全流体と同様になることがわかる。
BEC

               BEC上の励起場
  • BEC上の励起場は、Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式に従う.
  • BdG方程式:




      の解で完全性                  を満たす完全系で場を展開



                        より

         凝縮体上に励起する場の量子論が構成される。
 Bogoliubov準粒子のスペクトル
• 凝縮体が定常なときに励起場のスペクトルを調べると、




                 Excitation spectrum for initial state
       800
       700
       600                                               低エネルギー励起は、フォノン的!
       500                                                        Bogoliubov 準粒子
  Ei




       400
       300                                               小さなスケールで分散関係が変更
       200                                               されるような理論になっている。
       100
        0
             0      100 200 300 400 500 600
                             i
4. Analogy in BEC
Analogy in BEC


      Bogoliubov準粒子の場の理論
  • 流体上に生成・消滅する Bogoliubov 準粒子の場の理論を、
    曲った時空上のスカラー場の理論のように書き換えることができる。

      凝縮体波動関数:             Gross-Pitaevskii 方程式
      励起場:
      場の再定義:               Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式




    流速:
                 有効時空の計量
    音速:
                            凝縮体の情報で決まっている!
Analogy in BEC


   Bogoliubov 準粒子の場の理論2
• 注目する場をBogoliubov 準粒子の生成消滅演算子を respect して展開




   このとき展開関数は、Klein-Gordon 内積に関して正規直交になる!
                                       の完全性と対応




     Bogoliubov 準粒子は、曲った時空上の量子とみなすことが出来る。
     (生成・消滅演算子レベルで対応)
Analogy in BEC


   Bogoliubov 準粒子の場の理論2
• • 注目する場をBogoliubov ~ 「アナロジー時空上の量子」して展開
    「BEC上のフォノン」 準粒子の生成消滅演算子を respect
   (生成消滅演算子を対応させることが出来る)

  • それぞれの理論がほぼ同じ.
    (BdG方程式 ⇔ 曲った時空上の場の運動方程式)

  • このとき展開関数は、Klein-Gordon 内積に関して正規直交になる!
    曲がった時空上QFTで知られている粒子生成の計算が可能
        (粒子生成が実際に起こると期待)



     Bogoliubov 準粒子は、曲った時空上の量子とみなすことが出来る。
     (生成・消滅演算子レベルで対応)
Analogy in BEC

                 BECでの粒子生成
• 注目する量子場を時間発展の前後で展開:

                              Bogoliubov 変換



                    initial


                    final


• 相対論的な内積の下で完全系:
Analogy in BEC

                                       最後のハミルトニアン対角化



                     終状態


                                             B-dGを解くと時間発
                 dynamical evolution
                                             展がわかる。

                     初期状態


                                       初期のハミルトニアン対角化



       終時刻で      と       の内積を計算 ⇒ 粒子生成

                                       ここで


                                 終時刻での Klein-Gordon 内積
5.実験による検証に向けて
                   我々の戦略
• 冷却原子BECを膨張
  ⇒ 超音速面(ホライズン)が形成. Kurita, Morinari PRA 76 (2007) 053603
• 超音速面から熱的なスペクトルのフォノンが生成と予想.
• この熱輻射を冷却原子BECを用いて検証するという実験提案
  をしたい。



• 膨張BEC中で生成されるフォノンのスペクトルを求めよう!.
          数値計算のセットアップ
簡単のため擬一次元系を考える
     (ディスク型BEC)

(1) who = whoi にて定常状態を用意
(2) t = 0 において whof = 0.707 whoi としてBECを膨張・
  収縮 シミュレーションパラメー             物理量のユニット
    ター:87Rb原子気体BEC
                         Kurita, Morinari PRA 76 (2007) 053603

          膨張BECでの超音速面の形成
                                     凝縮体の大きさ
(1)振動数who = whoi の
  閉込めポテンシャルで
  定常状態を用意
(2) t = 0 において
 whof = 0.707 whoi として
 BECを膨張・収縮                          超音速面の位置


  音速
  粒子生成(数値計算結果)
    初期状態には励起(フォノン)はなかった。
    時間発展後、フォノンが生成される
preliminary


                           の時
                 プランク分布でフィットすると
                 1.4 nK の輻射
         Hawking 温度
• Hawking輻射の温度(アナロジー時空での公式)

  BEC上フォノンにとっての有効計量の言葉では
                         超音速面の位置




  アナロジー時空(凝縮体)が準静的な場合の近似式
   粒子生成のスペクトル再び

preliminary
   粒子生成のスペクトル再び
      Hawking 温度と一致
preliminary
           まとめ1
• 曲った時空の場の量子論の検証という目的で、流体を用い
  たアナロジーを考えることができる。

• 量子効果に興味がある場合、量子流体 ⇒ BECは有望

• BECは実験技術的にも進歩が目覚しく、実際に実験できそ
  う。(BEC中のフォノンは観測できる!)
             まとめ2
•   BECを膨張 ⇒ 超音速面(ホライズン)が形成.
•   曲がった時空上QFTとのアナロジーにより準静的な
    超音速面から熱的な輻射が放出されると期待.
研究の現状

• 「曲がった時空上の量子」と「Bogoliubov準粒子」の対応関
  係を明確に定式化.
  ⇒ BdG方程式を解くことで粒子生成の計算が可能に.
• 数値シミュレーションにより粒子生成を計算している段階
• 今のところ、プランク分布でフィットしたときの温度が、
  Hawking温度と一致している.
              今後
• 膨張BECは、膨張宇宙のモデルにもなるので、膨張宇宙で
  の粒子生成を議論できる。

• BECの言葉で、Hawking 輻射とはどのような現象であるの
  か?について基礎研究ができないか? (微視的な理論がわ
  かっている。)
• 関連したエントロピーの起源は?
                数値計算法

  1次元シミュレーション:        数値計算法:
                      空間:エリアジング完全除去の元での
  全格子点数:1024
                      チェビシェフ-ガラーキン法
  空間刻み: Dx = 0.0625   (境界条件:ディリクレ境界条件)
  時間刻み: Dt = 1×10-    時間:4次のルンゲ-クッタ法
  8




                       チェビシェフ多項式波動関数の基
                       底とし、2048個のチェビシェフ多
                       項式で波動関数を展開する。その
                       うち1024個を実際の計算に用い、
                       残り1024個をエリアジング除去に
                       用いる。ハミルトニアンを対角化す
                       る際にも2048個の基底を用いる
境界条件を満たすチェビシェフ多項式
analogy

              Case 1: 流速がない場合
  • 部屋の空気を流体と
   して考えましょう。                     )   ))
    音波(速度ポテンシャル)が
    従う式:
                                          計量(  )で表さ
                                          れる時空上の波動
                                          方程式
          :sound velocity   2階対称テンソル

                                          アナロジー時空
                                           は平坦時空
           アナロジー時空計量
analogy

          Case 2: 流速がある場合
  • 風(流速)がある状況を考えます。

                      )   )   )
  音波(速度ポテンシャル)が従う式:



                                  :horizon


          アナロジー時空計量
        初期状態について
                       preliminary
• BEC をダイナミカルにするために
  系のハミルトニアンを少し変更した。
• 曲った時空上の場合、理論を
  変更しない。
• ところで膨張・収縮 BECの場合、
  系はほぼ周期的で一周期後の状態は
  ポテンシャルを変更する前の状態に
  非常に近い。
• 初期に用意した真空と一周期後の
  の状態はほぼ同じ。

 初期状態として一周期後の状態を選べば、
 真空に近い状態から出発して、理論を変えずに議論できる。
                   膨張・収縮するBEC
                                凝縮体の大きさ
(1)振動数who = whoi の
  閉込めポテンシャルで
  定常状態を用意
(2) t = 0 において 、
  閉じ込めポテンシャルの
  振動数を
   whof = 0.707 whoi
  と変更

				
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posted:3/6/2012
language:Japanese
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